n次方根的定义(精)
4-1-1 n次方根与分数指数幂 课件 高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，
再把所得的幂相乘
m
n
正数的正分数指数幂：a n a m (a 0, m, n N * , n 1)
正数的负分数指数幂： a
m
n
1
a
m
n
1
n
a
m
(a 0, m, n N * , n 1)
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
泛的应用.
第4章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.1.1 n次方根与分数指数幂
• 1.理解n次方根、根式的概念.
• 2.能正确运用根式的性质化简或求值,能进行根式与分数指数幂之间
的相互转化.
初中已经学过整数指数幂．
a
底数
n
指数
幂
a a a...a a
n
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，
*
m
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义．
指数运算性质
① = + > , , ∈
②
③
= > , , ∈
=
> , ∈
同底数幂相乘，底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
幂的乘方，底数不变，指数相乘
良渚遗址位于浙江省杭州市余杭区
良渚和瓶窑镇，1936年首次发现.
这里的巨型城址，面积近360万平
方米，包括古城、水坝和多处高等
级建筑. 考古学家利用遗址中遗存
的碳14的残留量测定，古城存在
的时期为公元前3300年~2500年，
n次方根的定义.
一、n 次方根的定义 引例（1）(±2)2＝４，则称±2为4的 ； （2）23=8，则称2为8的 ；（3）(±2)4=16，则称±2为16的 。
定义：一般地，如果x n =a (n>1,且n ∈N*),那么x 叫做a 的n 次方根。
记作,其中n 叫根指数,a 叫被开方数。
练习:(1)25的平方根等于_______________ (2)27的立方根等于_________________ (3)-32的五次方根等于_______________ (4)81的四次方根等于_______________ (5)a 6的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于________________ 二、n 次方根的性质：1）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
表示（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.表示。
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0。
记作00=a探究：归纳： 1、当n 为奇数时, 2、当n 为偶数时,例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零）练习１：练习２：(1)当6<a<7,则(2)=---22)7()6(aa =-++625625na x= 一定成立吗？ a a nn =.na )0>±a a n（_____233=-）（______844=-）（_____)3()32=>-a a （=nn a a =nn a a{,0,≥<-=a a a a (2) (4))ab .>_____________________________==三、分数指数幂注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示； （2）根式与分式指数幂可以互化. 例如： 5102552510)(a a a a=== （a ＞0）4123443412)(a a a a === （a ＞0）规定：正分数指数幂的意义是 负分数指数幂的意义是如0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义。
2020高中数学 2.1.1N次方根的概念及性质教案 新人教A版必修1
n次方根的概念和性质一、教学分析分数指数幂是必修一第二章第一节的内容，是研究基本初等函数之一的指数函数的基础。
分数指数幂不同于整数指数幂，要理解分数指数幂，首先要深入理解n次方根的概念和性质.根式的概念教学是一个难点，但它是后续学习所必需的。
教学中可考虑以具体的例子为载体，类比平方根、立方根的定义，给出n次方根的定义，可以在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子。
将平方根和立方根的性质推广到n次方根时，多给学生提供一些实例，经过比较让学生自己归纳出结论。
教学时，要让学生充分体会当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。
对于结论0的n次方根都是0，要启发学生用n次方根的定义去理解。
根式的概念源于方根的概念，根据n次方根的意义就能得到n次方根的性质1。
但性质2是不能由n次方根的意义直接得出的，因此，教学中可让学生从具体实例中自己探究归纳得出结论。
二、学情分析学生在义务阶段的学习中已经知道了平方根和立方根的概念，掌握了平方根和立方根的相关性质。
然而知识需在运用中得到巩固，学生较长时间不接触平方根和立方根的知识，所以在教学中以正方形的面积和正方体的体积为例，帮助学生回顾平方根和立方根的概念。
教学中要充分利用学生已有的知识，着眼于学生的最近发展区，为学生提供学生感兴趣的的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能。
由此，学生将很容易类比平方根和立方根的知识，得出n次方根的概念及其表示方法。
然而，让学生直接抽象地得出n次方根的相关性质，难度很大，学生的抽象概论能力还需进一步培养，所以，教学中应用大量丰富的实例，让学生从实例中观察，归纳得出结论。
通过本节课的学习，不仅要求学生掌握n次方根的相关知识，同时要培让学生感受基本数学思想，数学方法。
三、教学目标：（1）知识与技能：n次方根的概念，根式的性质（2）过程与方法：类比平方根和立方根，得出n次方根的概念；根据n次方根的概念，结合具体实例，总结n次方根性质；（3）情感态度价值观：类比思想，分类讨论思想；四、教学重难点重点：n次方根的概念和性质，难点：n次方根的性质五、教学过程1.触景生情问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%。
n次方根与分数指数幂课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
根式的概念
式子
n
a
叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
根式
根指数
n
被开方数
a
根式的性质：
1. 1)
2 2
4
4
5
2)
-6
5
6
0 0
4
4
3)
4)
6 6
5
5
( a) a
n
2. 1)
4
2
4
2
4
2)
n
n
(2) 2 3)
4
5
(6)
a, n为奇数
, ≥ -,
(3)
-, < -
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为 (-)( -) =
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
无理数指数幂
4．将下列根式与分数指数幂进行互化．
3 2
(1)a · a ；(2)
3
答案 1a
2
3
－4
2
a b
3
ab2(a>0，b>0)．
2
3
• 3 a 2 a3 • a a
3
2
3
a ,
a 4b 2 • 3 ab 2 a 4b 2 • ab
11
3
1
2 3
1
3
a
根号和开方公式
根号和开方公式
根号和开方的公式如下：
1.根号的定义：对于一个非负实数a，根号下a表示一个非负实数x，满足x的平方等于a。
即，根号下a = x，其中x ≥ 0，且x的平
方等于a，即x² = a。
2.开方的定义：如果一个正数a的n次方等于b，那么a就称为数
b的n次方根（简称根）。
而开n次方就是求b的n次方根，记作
“ **n√a** ”，即为求解方程xⁿ = a。
以下是一些关于根号和开方的拓展：
1.根号和开方都可以用于解决各种实际问题，如计算三角形的斜
边长度、计算圆的直径与面积等。
2.根号和开方也有很多应用，如在高等数学、物理学、工程学以
及计算机科学中都有广泛的应用，是数学实践中必不可少的重要工具。
3.在计算开方时，有些数可以直接求出，而对于一些数来说，需
要使用近似算法才能得到解，如牛顿迭代法、二分法等。
4.在实际应用中，由于计算机的存在，人们可以得到更高精度、更快速的计算结果，从而更好地满足实际应用的需求。
沪教版(五四制)七年级数学下册课件：12.4 n 次方根(共12张PPT)
新课学习
哪个数的5次 方是243呢？
3
3 3
243 81 27 3 9 3
32 的5次方根. 例题1 （1）求 243 （2）求 (8) 2 的6次方根.
解 （1）5
32 5 25 5 2 5 2 5 ( ) 243 3 3 3
6
（ 2）
( 8) 6 82 6 (23 ) 2
a
怎样表示呢？
• 求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方， a叫做被开方数，n叫做根指数.
新课学习
例如：求16的4次方根.
解： ∵24=16，(-2)4=16， ∴±2都是16的4次方根，
16 2.
4
又如：求-32的5次方根.
解： ∵(-2)5=-32， ∴-2是-32的5次方根，
5 32 2.
12.4 n 次方根
复习引入
类比平方根与立方根， 什么叫n次方根、 开n次方呢？
1、什么叫平方根？什么叫开平方？ • 如果一个数的平方等于a,那么这个数 叫做a的平方根． • 求一个数a的平方根的运算叫做开平方． 2、什么叫立方根、什么叫开立方？
• 如果一个数的立方等于a,那么这个数 叫做的立方根. •求一个数a的立方根的运算叫做开立方.
2、5的n次方根是多少？ 解 当n是奇数时, 5的n次方根是
n
5.
当n是偶数时， 5的n次方根是 n 5.
课堂小结
一. 概念：（１）n次方根
（２）开n次方
• 如果xn=a，那么x叫做a的n次方根. • 求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方.
二. “n次方根”分类讨论
（1）当n为偶数时， 记作 正数a有2个互为相反数的偶次方根， 0的偶次方根等于0， n 0 0. 负数没有偶次方根 .
n次方根的概念
n次方根的概念
一、定义
n次方根是指一个数的n次方等于另一个数的运算，即被开方数的n次方根等于该数。
n次方根通常使用符号√（n）表示，其中n表示根数。
二、不同根数的概念
1. 平方根：根数为2，表示一个数的平方根。
2. 立方根：根数为3，表示一个数的立方根。
3. 四次方根：根数为4，表示一个数的四次方根。
4. 五次方根：根数为5，表示一个数的五次方根。
5. n次方根：根数为n，表示一个数的n次方根。
三、求n次方根的方法
求n次方根的一般方法有以下两种：
1. 迭代法：迭代法是一种基于数学公式和程序控制结构的求解方法。
它通过重复迭代的步骤，逐步逼近求解方程的根。
2. 牛顿-拉弗森方法：牛顿-拉弗森方法是一种数值计算方法，可以求函数的零点。
求n次方根时，可以将其转化为一个函数的零点问题，然后使用牛顿-拉弗森方法来求解。
四、n次方根的实际应用
n次方根在实际生活和工作中具有广泛的应用，如计算机科学中的编码系统、密码学、数字信号处理、图像处理等领域。
同时，n次方根也应用于物理学领域，如热力学、光学等，以及统计学和金融学等领域。
在日常生活中，n次方根也常常用于计算直线距离、概率计算等。
总之，n次方根是一种重要的数学概念，具有广泛的实际应用价值。
2020高中数学 2.1.1N次方根的概念及性质教案 新人教A版必修1
n次方根的概念和性质一、教学分析分数指数幂是必修一第二章第一节的内容，是研究基本初等函数之一的指数函数的基础。
分数指数幂不同于整数指数幂，要理解分数指数幂，首先要深入理解n次方根的概念和性质.根式的概念教学是一个难点，但它是后续学习所必需的。
教学中可考虑以具体的例子为载体，类比平方根、立方根的定义，给出n次方根的定义，可以在给出定义前，让学生类比平方根、立方根举些例子。
将平方根和立方根的性质推广到n次方根时，多给学生提供一些实例，经过比较让学生自己归纳出结论。
教学时，要让学生充分体会当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。
对于结论0的n次方根都是0，要启发学生用n次方根的定义去理解。
根式的概念源于方根的概念，根据n次方根的意义就能得到n次方根的性质1。
但性质2是不能由n次方根的意义直接得出的，因此，教学中可让学生从具体实例中自己探究归纳得出结论。
二、学情分析学生在义务阶段的学习中已经知道了平方根和立方根的概念，掌握了平方根和立方根的相关性质。
然而知识需在运用中得到巩固，学生较长时间不接触平方根和立方根的知识，所以在教学中以正方形的面积和正方体的体积为例，帮助学生回顾平方根和立方根的概念。
教学中要充分利用学生已有的知识，着眼于学生的最近发展区，为学生提供学生感兴趣的的内容，调动学生的积极性，发挥其潜能。
由此，学生将很容易类比平方根和立方根的知识，得出n次方根的概念及其表示方法。
然而，让学生直接抽象地得出n次方根的相关性质，难度很大，学生的抽象概论能力还需进一步培养，所以，教学中应用大量丰富的实例，让学生从实例中观察，归纳得出结论。
通过本节课的学习，不仅要求学生掌握n次方根的相关知识，同时要培让学生感受基本数学思想，数学方法。
三、教学目标：（1）知识与技能：n次方根的概念，根式的性质（2）过程与方法：类比平方根和立方根，得出n次方根的概念；根据n次方根的概念，结合具体实例，总结n次方根性质；（3）情感态度价值观：类比思想，分类讨论思想；四、教学重难点重点：n次方根的概念和性质，难点：n次方根的性质五、教学过程1.触景生情问题1 据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP （国内生产总值）年平均增长率可望达到7.3%。
12.4_n次方根
平方根的概念:
如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a 的平方根 求一个数a的平方根的运算叫做开平方. a叫 做被开方数. 立方根的概念: 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立
3 方根.用 a
表示,读作“三次根号3aa ”,
中的a叫
做被开方数,3叫做根指数.
求一个数a的立方根的运算叫做开立方
问题1：
（1）2 128
7
128 7 如果 x 128，那么x= 2 。
7
2
5
3 243 3 243 （2） 5 如果 y 243，那么y= 3
5
结论： 任何实数a有且只有一个 奇次方根，用 n a 表示
问题2： 6 6 2 64 2 64 （1） 6 如果 x 64 ，那么x= 2
2
（3）求 6 729 的值
练习
计算：
3 216
4 81
5 243
1 6 8
2
作业布置
1 . 课本和练习册上的练习 2 . 预习新课
(2) 3 81 3 81 4 如果 y 81 ，那么y= 3
4
4
结论：正数a的偶次方根有两个 且互为相反数，用 n a 表示
问题3：负数有偶次方根吗？零 的n次方根是多少？ 结论： 负数没有偶次方根
零的n次方根是零
例题：
32 （1）求 243的5次方根
（2）求 8 的6次方根
问题1: 如果一个数的n次方(其中n
பைடு நூலகம்
是大于1的整数)等于a，你能否类比 平方根和立方根说明这个数的意义？
定义：
如果一个数的n次方等于a,那么这个数 叫做a的n次方根 当n是奇数时，这个数是a的奇次方根 当n是偶数时，这个数是a的偶次方根 求一个数a的n次方根的运算，就叫做开 n次方，a叫做被开方数，n叫做根指数
数学-n次方根与分数指数幂
n次方根与分数指数幂数学分数指数 1.理解n次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.3.会对分式和分数指数幂进行转化.4.掌握并运用有理数指数幂的运算性质．导语公元前五世纪，古希腊有一个数学学派名叫毕达哥拉斯学派，其学派中的一个成员希伯斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，2也不能用分数来表示，希伯斯的发现导致了数学史上第一个无理数的诞生．这就是本节课我们要学习的根式．一、n次方根问题1 如果x2＝a，那么x叫做a的什么？这样的x有几个？x3＝a呢？提示 如果x2＝a，那么x叫做a的平方根，这样的x有两个；如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，这样的x有一个．问题2 类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？提示 比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根．知识梳理1．n次方根的定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2．n次方根的性质n为奇数n为偶数a∈R a>0a＝0a<0x＝n a x＝±n a x＝0不存在3.根式n a式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．4．根式的性质(1)负数没有偶次方根．n0(2)0的任何次方根都是0，记作＝0.n a(3)()n＝a(n∈N*，且n>1)．n an(4)＝|a|＝Error!(n为大于1的偶数)．注意点：n a n a n an(1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0；(2)()n与意义不同，3(－3)34(－3)44－3n a n an比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠；n a n an n a n an(3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对n an于要注意运算次序．例1 (1)化简下列各式：5(－2)55－2①＋()5；6(－2)662②＋()6；4(x＋2)4③.解 ①原式＝(－2)＋(－2)＝－4.②原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.③原式＝|x＋2|＝Error!x2－2x＋1x2＋6x＋9(2)已知－3<x<3，求－的值．(x－1)2(x＋3)2解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|，∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.∴原式＝Error!延伸探究 在本例(2)中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？(x－1)2(x＋3)2解 原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.∵x≤－3，∴x－1<0，x＋3≤0，∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.n an n a反思感悟 正确区分与()nn an n an(1)中的a可以是全体实数，的值取决于n的奇偶性．n a n a(2)()n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．跟踪训练1 化简下列各式：7(－2)7(1)；(2)＋；(π－4)23(π－4)3(3)(a ≤1)；4(3a －3)4(4)＋；3a 34(1－a )4解 (1)＝－2.7(－2)7(2)＋＝|π－4|＋π－4＝4－π＋π－4＝0.(π－4)23(π－4)3(3)∵a ≤1，∴＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .4(3a －3)4(4)＋＝a ＋|1－a |＝Error!3a 34(1－a )4二、分数指数幂问题3 那么被开方数的指数不能被根指数整除的根式，比如，，，，a >0，是3a 24a 23a 59a 3否也可以表示为分数指数幂的形式？如何表示？提示 ＝，＝＝，＝，＝＝.3a 223a 4a 224a 12a 3a 553a 9a 339a 13a 知识梳理根式与分数指数幂的互化(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；m na nam (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；1m nm naa-=1nam (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．注意点：(1)分数指数幂不可理解为个a 相乘，它是根式的一种写法；(2)正数的负分数m na mn 指数幂总表示正数，而不是负数．整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )；③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．拓展：①＝a r －s (a >0，r ，s ∈Q )．②r ＝(a >0，r ，s ∈Q )aras (a b )arbr 注意点：(1)记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘；(2)不要自创公式，严格按照公式化简、运算．例2 (1)化简的结果是( )1312527-⎛⎫⎪⎝⎭A. B. C ．3 D ．53553(2)(a >0)的分数指数幂表示为( )3a ·a A ． B ． C ． D ．都不对12a 32a 34a (3)化简·(a >0)的结果是( )a 3a 2A. B. C. D.3a 6a 71a 6a 6a答案 (1)A (2)A (3)B解析 (1)原式＝＝－1＝.13353⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭(53)35(2)＝＝.3123a ⨯12a (3)原式＝·＝＝.12a 23a 76a 6a 7反思感悟 根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．跟踪训练2 (1)求值：＝________.3－827(2)用分数指数幂表示a ·(a >0)＝________.51a 3答案 (1)－ (2)2325a 解析 (1)原式＝＝＝－.13827⎛⎫- ⎪⎝⎭13323⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭23(2)原式＝a ·＝.35a-25a 三、有理数指数幂的运算性质例3 ＝________.(式中的字母均是正数)121121332a b a b ---⎛⎫答案 1a解析 原式＝21111323221566ab aba b⎛⎫⨯--⎪⎝⎭⋅⋅⋅⋅111155513223666615156666aba b aa ba b--+---⋅⋅===⋅⋅＝a －1＝.1a (2)计算：－－(π－3)0＋.25913827⎛⎫ ⎪⎝⎭1214-⎛⎫ ⎪⎝⎭解 原式＝－－1＋2＝2.5323反思感悟 关于指数式的化简、求值问题(1)无论是化简还是求值，一般的运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减．(2)仔细观察式子的结构特征，确定运算层次，避免运用运算性质时出错．跟踪训练3 (1)－(－2)0－＋－2；12124⎛⎫ ⎪⎝⎭23278-⎛⎫ ⎪⎝⎭(32)(2)(x ，y >0)．1411333442236x x y x y ---⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解 (1)原式＝－1－＋2＝－1－＋＝.12232⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦23332-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(23)32494912(2)原式＝.()()14113233442236xyxy -+++⨯-÷-=⎡⎤⎣⎦1．知识清单：(1)n 次方根的概念、表示及性质．(2)根式的概念及性质．(3)分数指数幂与根式的相互转化．(4)分数指数幂的运算性质．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：(1)对于，当n 为偶数时，a ≥0.na(2)混淆()n 和.na nan1．()4运算的结果是( )42A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．不确定答案 A 解析 ()4＝2.422．若a <，则化简的结果是( )14(4a －1)2A ．4a －1 B ．1－4a C ．－ D ．－4a －11－4a答案 B解析 ∵a <，14∴4a －1<0，∴＝|4a －1|＝－(4a －1)＝1－4a .(4a －1)23．下列运算结果中，正确的是( )A ．a 2·a 3＝a 5 B ．(－a 2)3＝(－a 3)2C ．(－1)0＝1 D ．(－a 2)3＝a 6a 答案 A解析 A 项，a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5，故A 项正确；B 项，(－a 2)3＝－a 6，(－a 3)2＝a 6，故B 项错误；C 项，当a ＝1时无意义，故C 项错误；D 项，(－a 2)3＝－a 6，故D 项错误．4．计算：0.25×－4－4÷20－＝________.(－12)12116-⎛⎫⎪⎝⎭答案 －4解析 原式＝×16－4÷1－－114(14)＝4－4－4＝－4.课时对点练1．若a 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( )A. B. C. D.4a 25a 5－a 4a答案 D解析 当a <0时，a 的偶次方根无意义．2．若＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( )a －2A ．[2，＋∞)B ．[2,4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，4)∪(4，＋∞)答案 B解析 由题意可知Error!∴a ≥2且a ≠4.3．化简(其中a >0，b >0)的结果是( )3(8a －327b 3)4A. B ．－ C. D ．－2a 3b 2a 3b 1681a 4b 4181a 4b 4答案 C解析 ＝＝4＝.3(8a －327b 3)44333323a b -3⎛⎫ ⎪⎝⎭(2a －13b)1681a 4b 44．下列等式一定成立的是( )A ．＝a B ．＝03132a a ⋅1122a a ⋅C ．(a 3)2＝a 9 D ．113126a a a÷=答案 D解析 同底数幂相乘，指数相加，故A ，B 错误；因为(a m )n ＝a mn,3×2＝6，故C 错误；同底数幂相除，指数相减，故D 正确．5．若a >0，将表示成分数指数幂，其结果是( )a 2a ·3a 2A ． B ． C ． D ．12a 56a 76a 32a 答案 C解析 由题意得＝＝.a 2a ·3a 211223a--76a 6．(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A ．－＝x 12()x -B.＝(y >0)6y 213yC ．＝(x >0)34x-4(1x )3D ．＝(x >0)3412x 答案 BCD解析 A 项错误，－＝(x ≥0)，而＝(x ≤0)；x 12x -12()x -－x B 项正确，＝(y >0)；6y 213y C 项正确，＝(x >0)；33441xx -⎛⎫= ⎪⎝⎭4(1x )3D 项正确，(x >0)．313124342x x ⨯⨯==7．当x <0时，x ＋＋＝________.4x 43x 3x 答案 1解析 原式＝x ＋|x |＋＝x －x ＋1＝1.xx 8．方程3x －1＝的解是________．19答案 x ＝－1解析 3x －1＝＝3－2⇒x －1＝－2⇒x ＝－1.199．化简下列各式：(1)＋；(5－3)2(5－2)2(2)＋(x ≥1)．(1－x )2(3－x )2解 (1)＋＝|－3|＋|－2|＝3－＋－2＝1.(5－3)2(5－2)25555(2)当1≤x <3时，＋＝|1－x |＋|3－x |＝x －1＋3－x ＝2；(1－x )2(3－x )2当x ≥3时，＋＝|1－x |＋|3－x |＝x －1＋x －3＝2x －4.(1－x )2(3－x )2所以原式＝Error!10．(1)化简：(a >0，b >0)；211511336622263a b a b a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)求值：0＋2－2×－0.010.5.(235)12124-⎛⎫ ⎪⎝⎭解 (1)211511336622263a b a b a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝2×(－6)×211115326236(3)ab+-+-.5336ab =(2)0＋2－2×－0.010.5(235)12124-⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1＋×141122419100⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1＋×－1423110＝1＋－＝.16110161511．若有意义，则x 的取值范围是( )()3412x --A ．R B.∪(－∞，12)(12，＋∞)C. D.(12，＋∞)(－∞，12)答案 D 解析 将分数指数幂化为根式，可知需满足1－2x >0，解得x <.1212．已知m 10＝2，则m 等于( )A. B ．－ C. D ．±102102210102答案 D解析 ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m ＝±.10213．化简·的结果为( )－a 3a A ． B ． C ． D ．25a -()56a --()56a -56a -答案 B解析 原式＝.()()()115236a a a --⋅-=--14．如果45x ＝3,45y ＝5，那么2x ＋y ＝________.答案 1解析 由45x ＝3，得(45x )2＝9.又45y ＝5，则452x ×45y ＝9×5＝45＝451，即452x ＋y ＝451，∴2x ＋y ＝1.15．化简：(＋)2 021·(－)2 021＝________.3232答案 1解析 原式＝[(＋)·(－)]2 021＝12 021＝1.323216．若a ，b ，c 为正实数，a x ＝b y ＝c z ，＋＋＝0，求abc .1x 1y 1z 解 设a x ＝b y ＝c z ＝k ，则k >0，a ＝，b ＝，c ＝，1xk 1yk 1zk 因此abc ＝＝k 0＝1.111111yx y zxzk k k k++=。
七年级(下) n次方根
一、 乘方的运算：
2 2 4 平方： 2 2 、 、 3 立方： 23 、 33 、43 n次方(n是大于3的整数)： 2n 、 3n 、 4n 二、 开平方与开立方： 开平方： 4 、 16 、 64 3 3 开立方： 3 8 、 27 、 64 三、 逆运算： 平方 开平方 、立方 开立方 n次方 ？
6
= 64 ,
-64 ; = (-2) 64 , 那么x = ±2 ;
6
(2)
34 = 81 , (3) 4 = -81 ; 如果 y 4 = 81 , 那么 y = ±3 ;
2 -27 ; = ( 3 ) 3 如果 z 2 = 9 , 那么 z =
2
(3)
= 27 ,
±3;
结论2：
1. 正数a的偶次方根有两个，它们互为相 n 反数，正n次方根用“ a ” 表示，负n 次 -n a 方根用“ ”表示，其中被开方数 naa ＞ 0，根指数n是正偶数(当n=2时，在 中省略n). 2. 负数的偶次方根不存在.
第十二章 第4节：n次方根
我们将平方根和立方根的概念加以推广： 1. n次方根的定义：如果一个数的n次方(n是大于1的整数) 等于a，那么这个数叫做a的n次方根； 其中，当n=2时，这个数叫做a的平方根； 当n=3时，这个数叫做a的立方根；
2. 求一个数a的n次方根的运算叫做开n次方，a叫做被开 方数，n叫做根指数；用符号如何表示？ 3. 有时n次方根简称“方根”；开n次方简称“开方”；
例题1：
32 2 (1) 求 的 5 次方根：243 3
(2) 求(-8)² 的 6 次方根： 2 (3) 求 625 的4次方根： 5
7
= 128 ,
第1课时 n次方根
6 1 2 3 4 5
7 8 9 10 11 12 13 14
31
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7．当 2－x有意义时，化简 x2－4x＋4－ x2－6x＋9的结果是________．
解析：因为 2－x有意义，所以 2－x≥0， 即 x≤2， 所以原式＝ （x－2）2－ （x－3）2 ＝(2－x)－(3－x)＝－1. 答案：－1
12
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反思感悟 判断关于n次方根的结论应关注两点
(1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．
13
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题型二 利用根式的性质化简与求值
例 1 (链接教材 P105 例 1)化简：
9 10 11 12 13 14
33
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A．5－2a
B．2a－5
C．1
D．－1
解析：C 原式＝|2－a|＋|3－a|，因为 2<a<3，所以原式＝a－2＋3－a＝ 1.
4 1 2 3
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
28
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5．(多选题)a 是实数，则下列式子中有意义的是( ABC )
C．4 256＝±4 D． （x＋y）2＝|x＋y|
7
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解析：BD 负数的 3 次方根是一个负数，3 －27＝－3.故 A 错误；16 的 4 次方根有两个，为±2，故 B 正确；4 256＝4，故 C 错误； （x＋y）2是非 负数，所以 （x＋y）2＝|x＋y|，故 D 正确．
4.1.1.1高教版-中职数学-n次根式
4.1.1分数指数幂---n次根式一、教材分析本节课是新课标职业高中数学基础模块上册第四章实数指数幂第一课时，也是指数运算的入门。
n次是初中平方根与立方根概念的拓展与延伸，同时也是学习分数指数幂的基础。
教材通过二次方根、三次方根扩充到n次方根以及根式的性质，本节内容是分数指数幂的基础和前提，便于我们将整数指数幂推广到分数指数幂，为研究后期的运算法则做好准备。
同时，通过对n次根式的学习，进一步培养和提升了学生的数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养。
二、学情分析我所教授的班级是商务专业，该专业的人才培养方向对数学的运算能力要求较高，而本章的指数与对数函数模型与该专业很多专业知识也联系紧密。
本班学生活泼好动，个性鲜明，头脑聪明灵活，但学习起点低，学习基础弱，部分学生有厌学现象，基础薄弱的学生“望数生畏”，游离于数学学习之外。
上课注意力不易集中，对数学的兴趣不易做到持之以恒，对枯燥持久的讲授方式容易厌倦。
基于这样的学情，在教学设计的过程中，我尽力做到思路清晰，简洁明了，通熟易懂，通过师生互动，生生互动，小组内优带差，优比优，打破课堂的沉闷，慢慢让学生体会到学习数学的快乐以及学习数学的价值。
三、教学设计基于本节课的内容和学生实际，作如下教学设计。
章前设疑回顾旧知得出概念最近呢，老师碰到一个问题想请同学们解决一下。
经过几年的努力，终于有了一笔存款，但银行有两种储蓄方法：1、存期一年，到期后连本带息自动转存，三年后取出；2、存三年期，到期取出；（一年期年利率2.50％，三年期年利率3.25％）三年后，哪种方式获利更多？你能帮我解决这个问题吗？解决过程中我们又是根据什么数学模型来计算的呢？从今天开始，我们便将进入第四章《对数函数与指数函数》的神奇世界。
章前设疑，激发兴趣.将问题发送至钉钉家校本，让同学们课后解决并提交方案。
学生利用原有的知识基础以及专业知识解决问题。
经过第三章《函数》的学习，学生已经对函数的概念、基本性质、以及研究函数的基本方法等函数的“共性”有了一定的了解，那么第四章的三类函数又有什么“个性”呢？结合学生专业特色和生活实际，在章前设疑，激发学生的求知欲望.初中我们学习过：,.x a a a=±一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即其中叫做的算术平方根例如：若23x=，则x= ；3±叫做3的；3叫做3的；332,=x a x a a=、若则叫做的立方根（三次方根）.3338,2x x x==例如：则；=0,则x=0;x=-8,x=-2.一个正数的立方根是一个正数，一个负数的立方根是一个负数，0的立方根是0.（实数a的立方根只有一个.）引导学生回顾二次方根，立方根的概念及运算。
1.2.1《n次方根 》-根式的概念-高职数学
当 n 为偶数时， n an = | a | =
a (a≥0)
－a (a＜0)
P11-13 习题 1-2
则 －5 是 －125 的三次方根（立方根）; (3) 6 4 = 1 296，
则 6 是 1 296 的 4 次方根．
结论：
(1) 当 n 为奇数时： 正数的 n 次方根为正数，负数的 n 次方根为负数．
记作 x = n a
(2) 当 n 为偶数时: 正数的 n 次方根有两个（互为相反数）．
记作 x = ± n a
练习：求值
（2）x2 144 解：因为（12）2 144，所以x 12
（1））4 54
（4）(5)2
1．方根：x n = a（ n ＞ 1，n N ），
则 x 叫做 a 的 n 次方根．
2．根式
n a 叫做根式，n 叫根指数，a叫做被开方数.
根式的性质：
(1) ( n a ) n = a．
1.2.1 根式的概念
一、根式 1．n次方根
一般地，若 x n = a（ n ＞ 1，n R ），
则 x 叫做 a 的 n 次方根．
例如： (1) 3 2 = 9 ，
则 3 是 9 的二次方根（平方根）； (－3) 2 = 9，
则 －3 也是 9 的二次方根（平方根）； (2) (－5) 3 = －125，
根式的性质：
(2) 当 n 为奇数时， n an = a； 当 n 为偶数时， n an = | a | =
例如
a (a≥0)
－a (a＜0)
3 (2)3 = －2； 4 34 = 3；
5 25 = 2； (3)2 = 3．
4.1 第1课时 n次方根公开课一等奖优秀课件
第一课时 n次方根
课标要求
素养要求
1.理解n次方根、n次根式 理解n次方根及n次根式的
的概念.
概念，正确运用根式运算
2.能正确运用根式运算性 性质，化简求值，发展数
质化简求值.
学抽象及数学运算素养.
一、知识回顾
1、平方根
如果
x2
a ,那么 x叫做 a
x
的平方根；
a
x 3 a
2、立方根 如果 x3 a ,那么 x叫做 a 的立方根
观察归纳 形成概念
(2)4 16 -2和2称为16的四次方根
(2)5 32 -2称为-32的五次方根
二、n次方根定义：
如果一个数的 n次方等于a(n 1, n N *) 那么这个数叫做 a的 n次方根．
,
n为奇数
n a , n为偶数
33 27
3 3 27
(2)3 8
2 3 8
(2)5 32
(2)2 4
(3)2 9
2 5 32
2 4
3 9
(2)4 16
2 4 16
三、根式有关概念
根指数 根式
na
被开方数
2 x x (x 0)
x2 x (x R)
根式的运算性质：
n na a
n
an
a
a
n为奇数 n为偶数
课堂练习：判断题
1
5 2
5
2
(对); 2 4 (-2)4 2
(错);
4
3 4 2 2
(错); 413 513 5 (对);
5 2n b2n b (错); 6 4 b8 b2 (对);
n次方根与分数指数幂 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
[课后作业]
1.课本 107 页
2．课本 109 页
练习 1、2、3 题
习题 4、5 题
明确目标
1.根据具体实例，了解指数的拓展过程．
2.理解根式的性质，会进行简单的n次方
根的运算．
3.理解分数指数幂的意义及分数指数幂与
根式的互化．
4.掌握指数的运算性质，会利用整体代换
的思想求值.
发展素养
1.借助n次方根及根式的概念，分数指
数幂的含义，提升数学抽象素养．
2.通过分数指数幂、运算性质的推导，
m
n
定 a>0?
n
m
m
n
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即 a ＝a ＝0，无研究
价值．
m
n
n
3
2
2
②若 a<0，a ＝ am不一定成立，如(－2) ＝ －23无意义，故为了避
免上述情况规定了 a>0.
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知识点三 有理数指数幂与无理数指数幂
(一)教材梳理填空
1．有理数指数幂的运算性质：
(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)．
rs
a
(2)(ar)s＝
(a＞0，r，s∈Q)．
rbr
r
a
(3)(ab) ＝
(a＞0，b＞0，r∈Q)．
例2
求值：
16
(
)
8
(1)
；(2) 81
2
3
3
4
；
例 3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中 a 0 ）
x的n次方根的公式
x的n次方根的公式我们需要明确一点，x的n次方根只有在x大于等于0的时候才有意义。
因为在实数范围内，负数的n次方是不存在的。
那么，x的n次方根的计算公式是什么呢？我们可以通过以下方式来求解：假设x的n次方根为y，即y = x^(1/n)，其中^表示乘方运算。
我们可以将这个问题转化为求解方程x = y^n，即求解y使得y^n = x成立。
接下来，我们来讨论一下具体的计算方法。
当n为正整数时，我们可以使用迭代法来逼近解。
具体步骤如下：1. 初始化一个值y0，作为迭代的起始点。
2. 根据迭代公式y(i+1) = (1/n) * ((n-1) * y(i) + x / (y(i)^(n-1)))，来生成新的逼近值y(i+1)。
3. 不断重复步骤2，直到y(i+1)与y(i)的差值足够小，即满足要求的解近似值。
当n为分数时，我们可以将其转化为一个整数次方根的问题。
具体步骤如下：1. 将n写成分数的形式，即n = a/b，其中a和b为整数，且b不等于0。
2. 将x的a次方根记为y1，即y1 = x^(1/a)。
3. 将y1的b次方记为y，即y = y1^b，即y = (x^(1/a))^b。
4. 则y即为x的n次方根。
需要注意的是，当n为负数时，x的n次方根是不存在的，因为在实数范围内，负数的n次方是没有意义的。
当n为0时，x的n次方根定义为1，无论x的值是多少。
总结一下，求解x的n次方根可以通过迭代法、转化为整数次方根、以及特殊情况的处理来实现。
在实际应用中，我们可以利用计算器或编程语言中的数学函数来求解。
通过本文的介绍，相信大家对求解x的n次方根有了更深入的了解。
数学中的公式和运算方法可以帮助我们解决各种实际问题，是我们学习和探索的重要工具之一。
希望大家能够在数学学习中取得更好的成绩，运用数学知识解决实际问题。
n次方根与分数指数幂
4．1 指 数4．1.1 n 次方根与分数指数幂学习目标 1.理解n 次方根、n 次根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简、求值.3.学会根式与分数指数幂之间的相互转化．知识点一 n 次方根、n 次根式 1．a 的n 次方根的定义一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *. 2．a 的n 次方根的表示n 的奇偶性 a 的n 次方根的表示符号a 的取值范围n 为奇数 naa ∈R n 为偶数±na[0，＋∞)3.根式式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． 知识点二 根式的性质 1.n0＝0(n ∈N *，且n >1)．2．(n a )n ＝a (a ≥0，n ∈N *，且n >1)． 3.na n ＝a (n 为大于1的奇数)．4.na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0(n 为大于1的偶数)．知识点三 分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1) 负分数指数幂 规定：1m nm naa-=＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义知识点四 有理数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )．1．当n ∈N *时，(n－3)n 都有意义．( × )2．()()634222.-=-( × )3．a 2·12a ＝a .( × ) 4．分数指数幂m na 可以理解为mn个a 相乘．( × )一、n 次方根的概念例1 (1)若81的平方根为a ，－8的立方根为b ，则a ＋b ＝________. 答案 7或－11解析 81的平方根为－9或9， 即a ＝－9或9，－8的立方根为－2，即b ＝－2， ∴a ＋b ＝－11或7.(2)若4x －2有意义，求实数x 的取值范围．解 ∵4x －2有意义，∴x －2≥0， ∴x ≥2，即x 的取值范围是[2，＋∞)．反思感悟 (1)方根个数：正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．(2)符号：根式na 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定．①当n 为偶数，且a ≥0时，na 为非负实数；②当n 为奇数时，na 的符号与a 的符号一致． 跟踪训练1 (1)已知x 7＝8，则x 等于( ) A ．2 2 B.78 C ．－78 D ．±78 答案 B解析 因为7为奇数，8的7次方根只有一个78.(2)若42x ＋5有意义，则x 的取值范围是________；若52x ＋5有意义，则x 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－52，＋∞ R 二、利用根式的性质化简或求值 例2 化简： (1)4(3－π)4； (2)(a －b )2(a >b )；(3)(a －1)2＋(1－a )2＋3(1－a )3. 考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简解 (1)4(3－π)4＝|3－π|＝π－3.(2)∵a >b ，∴(a －b )2＝|a －b |＝a －b .(3)由题意知a －1≥0，即a ≥1.原式＝a －1＋|1－a |＋1－a ＝a －1＋a －1＋1－a ＝a －1.反思感悟 (1)n 为奇数时⎝⎛⎭⎫n a n ＝na n＝a ，a 为任意实数．(2)n 为偶数时，a ≥0，⎝⎛⎭⎫na n 才有意义，且⎝⎛⎭⎫na n ＝a ；而a 为任意实数时n a n均有意义，且na n ＝|a |.跟踪训练2 化简： (1)7(－2)7； (2)4(3a －3)4(a ≤1)； (3)3a 3＋4(1－a )4.考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简解 (1)7(－2)7＝－2.(2)∵a ≤1，∴4(3a －3)4＝|3a －3|＝3|a －1|＝3－3a .(3)3a 3＋4(1－a )4＝a ＋|1－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧1，a ≤1，2a －1，a >1.三、根式与分数指数幂的互化例3 (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝()12x -(x >0) B.6y 2＝13y (y <0)C ．34x-＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x >0) D ．13x-＝－3x (x ≠0)答案 C解析 －x ＝12x -(x >0)；6y 2＝126(||)y ＝13y -(y <0)；31344()xx --=＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x >0)； 11331xx -⎛⎫= ⎪⎝⎭＝31x(x ≠0)． (2)将下列根式化成分数指数幂的形式(其中a >0，b >0)． ①3a ·4a ； ②a a a ；③(3a )2·ab 3.解 ①3a ·4a ＝1173412;a a a ⋅= ②原式＝17118824;a a a a ⋅⋅=③原式＝21713336222.a a b a b ⎛⎫⋅⋅= ⎪⎝⎭反思感悟 根式与分数指数幂的互化(1)根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．(2)在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．跟踪训练3 把下列根式表示为分数指数幂的形式，把分数指数幂表示为根式的形式： (1)34()a b --(a >b )； (2)3(x －1)5；(3)13a 2； (4)37().a b -解 (1)34()a b --＝14(a －b )3；(2)3(x －1)5＝53(1);x - (3)13a 2＝23;a -(4)37()a b -＝7(a －b )3.1．已知(a －b )2＝a －b ，则( ) A ．a >b B ．a ≥b C ．a <b D ．a ≤b答案 B 解析(a －b )2＝|a －b |＝a －b ，所以a －b ≥0，所以a ≥b ，故选B.2．在①4(－4)2n ；②4(－4)2n ＋1，③5a 4，④4a 5中，n ∈N *，a ∈R 时各式子有意义的是( )A ．①②B ．①③C ．①②③④D ．①②④答案 B3．化简3－a ·6a 的结果为( ) A ．－a B ．－－a C.－a D.a 考点 根式与分数指数幂的互化 题点 根式化为分数指数幂 答案 A 解析 显然a ≥0.∴3－a ·6a ＝1111136362a a aa +-⋅=-=-＝－a .4.⎝⎛⎭⎫12－1－4·(－2)－3＋⎝⎛⎭⎫140－129-＝________.答案196解析 原式＝2－4×⎝⎛⎭⎫－18＋1－13 ＝2＋12＋1－13＝196.5．化简(1－a )2·41(a －1)3＝________. 答案 4a －1解析 要使原式有意义，则a －1>0.(1－a )2·4⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －13＝|1－a |·34(1)a -- ＝(a －1)·34(1)a --＝14(1)a -＝4a －1.1．知识清单：(1)n 次方根的概念、表示及性质． (2)根式的性质．(3)根式与分数指数幂的互化． 2．常见误区：(1)根式中根指数要求n >1且n ∈N *.(2)对于na ，当n 为偶数时，a ≥0.1．已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102 B ．－102 C.210 D ．±102考点 n 次方根及根式概念 题点 n 次方根及根式概念 答案 D解析 ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m ＝±102.故选D. 2．若2<a <3，化简(2－a )2＋4(3－a )4的结果是( )A ．5－2aB ．2a －5C ．1D ．－1 考点 根式的化简 题点 条件根式的化简答案 C解析 ∵2<a <3，∴a －2>0，a －3<0， ∴(2－a )2＋4(3－a )4＝|2－a |＋|3－a |＝a －2＋3－a ＝1.3．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是( ) A ．()131-和()261- B ．0－2和120 C ．122和144 D ．324-和⎝⎛⎭⎫12－3答案 C解析 选项A 中，()131-和()261-均符合分数指数幂的定义，但()131-＝3－1＝－1，()261-＝6(－1)2＝1，故A 不满足题意；选项B 中，0的负指数幂没有意义，故B 不满足题意； 选项D 中，324-和⎝⎛⎭⎫12－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D 不满足题意；选项C 中，122＝2，144＝422＝122＝2，满足题意． 故选C.4.⎝⎛⎭⎫1120－(1－0.5－2)÷23278⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．－13 B.13 C.43 D.73答案 D解析 原式＝1－(1－22)÷⎝⎛⎭⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 5．设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．12a B ．56a C ．76a D ．32a 答案 C解析a 2a ·3a 2＝22＝25132a a⨯＝a 2·56a-＝526a-＝76a .6．若x ≠0，则|x |－x 2＋x 2|x |＝________. 答案 1解析 ∵x ≠0，∴原式＝|x |－|x |＋|x ||x |＝1.7．若x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则(x 2 019)y ＝________. 答案 －1 解析 因为x 2＋2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，所以(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝|x ＋1|＋|y ＋3|＝0，所以x ＝－1，y ＝－3.所以(x 2 019)y ＝[(－1)2 019]－3＝(－1)－3＝－1.8.614－3338＋30.125的值为________． 答案 32解析 原式＝⎝⎛⎭⎫522－3⎝⎛⎭⎫323＋3⎝⎛⎭⎫123＝52－32＋12＝32. 9．计算下列各式的值． (1)12121；(2)126449-⎛⎫⎪⎝⎭；(3)3410000-；(4)2312527-⎛⎫⎪⎝⎭.解 (1)11 (2)78 (3)11 000 (4)92510．计算：(1)481×923；(2)23×33×63； (3)549－321027＋30.125－1； (4)3(－8)3＋4(3－2)4－3(2－3)3. 考点 根式的化简题点 根据根式的意义进行化简解 (1)原式＝434×321232⨯⨯＝43243+＝43143＝763.(2)原式＝2×123×133×163＝2×1112363++＝6.(3)原式＝499－36427＋3⎝⎛⎭⎫18－1 ＝73－43＋2＝3. (4)原式＝－8＋|3－2|－(2－3) ＝－8＋2－3－2＋ 3 ＝－8.11.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋0.1的图象如图所示，则4(a －b )4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a答案 D解析 由题图知f (－1)＝a －b ＋0.1<0， ∴a －b <0.∴4(a －b )4＝|a －b |＝－(a －b )＝b －a .12．若代数式2x －1＋2－x 有意义，则4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4＝________.答案 3 解析 ∵2x －1＋2－x 有意义，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2－x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤2，∴12≤x ≤2.∴4x 2－4x ＋1＋24(x －2)4 ＝(2x －1)2＋24(x －2)4＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1＋2(2－x )＝3.13．计算：3⎝⎛⎭⎫19－293·(32＋3)＋(3)4－(2)4(3－2)0＝________. 答案 4 解析 原式＝1－23·(32＋3)＋9－41＝(1－2)(1＋2)＋5＝4.14．若x －1＋4x ＋y ＝0，则x ＝________，x 2 019＋y 2 020＝________. 答案 1 2解析 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y ＝0，得x ＝1，y ＝－1， ∴x 2 019＋y 2 020＝2.15．设f (x )＝x 2－4，若0<a ≤1，则f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝________. 考点 根式的化简题点 条件根式的化简答案 1a－a 解析 f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋1a 2－2 ＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪a －1a ， 因为0<a ≤1，所以a ≤1a， 故f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝1a－a . 16．已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －b a ＋b的值． 解 因为a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝6，ab ＝4， 因为a >b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， 所以a －b a ＋b ＝15＝55.。
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一、n 次方根的定义 引例
（1）(±2)2＝４，则称±2为4的 ； （2）23=8，则称2为8的 ；
（3）(±2)4=16，则称±2为16的 。
定义：一般地，如果x n =a (n>1,且n ∈N*),那么x 叫做a 的n 次方根。
记作
,其中n 叫根指数,a 叫被开方数。
练习:
(1)25的平方根等于_______________ (2)27的立方根等于_________________ (3)-32的五次方根等于_______________ (4)81的四次方根等于_______________ (5)a 6的三次方根等于_______________ (6)0的七次方根等于________________ 二、n 次方根的性质：
1）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。
表示
（2）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数.表示。
（3）负数没有偶次方根, 0的任何次方根都是0。
记作00=a
探究：
归纳： 1、当n 为奇数时, 2、当n 为偶数时,
例1、求下列各式的值（式子中字母都大于零）
练习１：
练习２：
(1)当6<a<7,则
(2)
=
---22)7
()6(a
a =
-++625625n
a x= 一定成立吗？ a a n
n =
.n
a )0>
±a a n
（_____23
3
=-）（______84
4
=-）（_____
)3()32=>-a a （=n
n a a =n
n a a
{0
,0
,≥<-=a a a a (2) (4))a b .>_____________________________
==
三、分数指数幂
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示； （2）根式与分式指数幂可以互化. 例如： 5
102
5525
10
)(a a a a
=== （a ＞0）
4
123443412)(a a a a === （a ＞0）
规定：正分数指数幂的意义是 负分数指数幂的意义是
如
0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义。
性质：(整数指数幂的运算性质对于有理指数幂也同样适用）
例1、求值
例2、用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0)
s
r s
r
a
a a +=),,0(Q s r a ∈>rs s r a
a =)(),,0(Q s r a ∈>r r r a a a
b =)()
,0,0(Q r b a ∈>>定义： )
1 , , , 0 ( *
> ∈ > = n N n m a a a n m n
m
且 例2化简下列各式的值：
（1） （3） （4） （5)1,,0(>∈>=*n N n m a a a n m n m
且)1,,0(1
>∈>=*-n N n m a a a n m n m
且_____8116______41______100
_____84
332
13
2=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛=
=-
--4
101
648
27
()()
_______2_______
132
2
3
2
3==
⋅b
a a
b
b
a
a a
311a
8387-
⋅b a 3
4
3
43
4
51
5
15==-
例3、用分数指数幂的形式表示下列各式（其中a ＞0）
a a ∙3＝2
13a a ∙＝2
13+
a
＝27a 322a a ∙＝3
22a a ∙＝3
83
22a a
=+
3
a a ＝2
13
1)(a a ∙＝3
26
1216
12
1a a
a a ==∙+
例4、计算下列各式（式子中字母都是正数）： （1）（22
13
2b a ）（－63
12
1b a ）÷（－36
56
1b a ） ＝［2×（－6）÷（－3）］6
531216
12132-+-+b
a
＝4a
（2）（8
834
1
)-n m ＝（328
838
4
1)()--=n m n m 无理数指数幂
25中指数是无理数，近似值看表
一般地，无理数指数幂 ( m >0, m 是无理数)是一个确定的实数。
有理数指
数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。
课外练习：
1、已知
的值求x x x
a a 6
323
2,1a ---+-=+
2、计算下列各式
3、已知，求下列各式的值31
=+-x
x
（1）x
x 2
12
1-+ （2）
x
x 2
12
1-
-
a
m 2 1
2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 1
2
1 )
1 ( b
a b
a b
a b a - + +
+ - )
( ) 2 )2 ( 2
2 2 2 - - - ÷ + - a a a a
46394
369)()(a a ⋅
4、化简 的结果是（ ）
5、2-(2k+1)-2-(2k-1)+2-2k 等于( )
A.2-2k
B. 2-(2k-1)
C. -2-(2k+1)
D.2
6、若 有意义，则x 的取值范围是
7、_______3210
10102
y
-3x x
===，则，若
y
8、计算下列各式：
（1）4
325)12525(÷- （2）
3
2
2a
a a ∙（a ＞0）
10、化简的结果是)1)(1)(1)(1)(1(22222
2
14
18
116
132
1
-
-
-
-
-
+++++
( )
A )
21(321
1
21--- B
)
21(321
1
--- C
2
1321
-
- D )1(2
11232
1
-
-
9、 , 下列各式总能成立的是（ ） R
b a ∈ b a b a b a b a b a b a b a b a + = + - = - + = + - = - 10 10 4 4 4
4 2 2 8
8 2 2 6 6 6 ) ( D C ) (
B ) ( A 2
4816 D. C. B. .A a
a a a 2 1 )
1 | (| -
- x。