第2章 图像几何变换
第二讲 图的几何变换
第二讲 图象的几何变换这一讲我们将介绍图象的几何变换，包括图象的平移，旋转，镜象变换，转置，放缩等。
如果你熟悉矩阵运算，你将发现，实现这些变换是非常容易的。
1．平移(translation)平移变换大概是几何变换中最简单的一种了。
图1.平移的示意图如图1所示，初始坐标为（x0,y0）的点经过平移（tx,ty ）(以向右，向下为正方向）后，坐标变为（x1,y1）。
这两点之间的关系是x1=x0+tx; y1=y0+ty.以矩阵的形式表示为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1010001100111ty tx y x y x (1)我们更关心的是它的逆变换： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1010001111100ty tx y x y x (2) 这是因为：我们想知道的是平移后的图象中每个像素的颜色。
例如我们想知道，新图中左上角点的RGB 值是多少？很显然，该点是原图中的某一点经过平移后得到的，这两点的颜色肯定是一样的，所以只要知道了原图那点的RGB 值即可。
那么到底新图中的左上角点对应原图中的哪一点呢？将左上角点的坐标（0,0）代入公式(2)，得到x0=-tx ；y0=-ty ；所以新图中的(0,0)点的颜色和原图中（-tx,-ty ）的一样。
这样就存在一个问题：如果新图中有一点（x1,y1），按照公式(2)得到的(x0,y0)不在原图中该怎么办？通常的做法是，把该点的RGB 值统一设成(0,0,0)或者(255,255,255)。
另一个问题是：平移后的图象是否要放大？一种做法是不放大，移出的部分被截断，如下图所示，图2为原图，图3为移动后的图。
这种处理，文件大小不会改变。
图2.移动前的图图3. 移动后的图还有一种做法是：将图象放大，使得能够显示下所有部分。
如图4所示。
图4. 移动后图象被放大这种处理，文件大小要改变。
设原图的宽和高分别是w1,h1则新图的宽和高变为w1+|tx| 和h1+|ty|，加绝对值符号是因为tx,ty 有可能为负（即向左，向上移动）。
图像的几何变换
x' x x
y'
y
y
即：g(x,y)=f(x’, y’)
图像的平移：例如
x 1, y 2
下移1行， 右移2列
123 1
2
3
x=[1,2,3] ; y=[1,2,3] x’=[2,3,4] ; y’=[3,4,5]
12 1 2 3 4
345
•注意：平移后的景物与原图像相同，但“画布 〞一定是扩大了。否那么就会丧失信息。
y=[1/1.2,2/1.2,3/1.2,4/1.2]==[0.83,1.67,2.5,3.33]=[j1,j2,j3,j3],放大后 的图对应原图的1，2，3，3列
所以，新图3行3列，对应于原图2行3列 新图3行4列，对应于原图2行3列
图像放大:思考问题
如果放大倍数太大，按照前面的方法处理会出现 马赛克效应。
例如，原图第1列(从0开始计数)数据应该对应新图哪一列数据？
1=(Y+0.5)* (3/8)-0.5
Y=3.5
cvFloor(3.5)=3
返回不大于参数的最大整数值
例如，原图第1行(从0开始计数)数据应该对应新图哪一行数据？
1=(X+0.5)* (3/4)-0.5
Y=1.5
cvFloor(1.5)=1
设原图像大小为M*N, 缩小为k1M*k2N, 〔k1<1，k2<1〕。算法步骤如下： 1〕设原图为F(i,j), i=1,2,…,M, j=1,2,…,N.
压缩后图像是G(x,y), x=1,2,…,k1M, y=1,2,…,k2N. 2〕G(x,y)=F(c1*x,c2*y), c1=1/k1 c2=1/k2
x '' x ' x
图像处理几何变换讲课文档
其逆运算为
x
fx
0
0
x
0
y 0
fx
0
y
0
1
0
0
0
1
1
x0 y0 1
1 fx 0
0
0 1
x y 1
0 0
现在二十三页，总共一百五十页。
▪ 分为按比例缩小和不按比例缩小两种。
▪ 图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可相应 缩小。
点的比例缩放、反射、错切和旋转等各种 c 变d 换 。因此，为了能够
用统一的矩阵线性变换形式，表示和实现这些常见的图像几何变
换，就需要引入一种新的坐标，即齐次坐标。利用齐次坐标来变
换处理，才能实现上述各种2D图像的几何变换。
现在八页，总共一百五十页。
齐次坐标
现设点P0(x0,y0)进行平移后，移到P(x,y)，其中x方向的平移量 为Δx，y方向的平移量为Δy。那么，点P(x,y)的坐标为
x x0 x y y0 y
如图所示。这个变换用矩阵的形式可以表示为
x 1 0x0 x y 0 1y0 y
现在九页，总共一百五十页。
x
O
y0
P0(x0 , y0)
y
y x0
P(x , y)
x
点的平移
现在十页，总共一百五十页。
a b
而平面上点的变换矩阵 T 中没有引入平移常量，无
l
m
s
3×3的阶矩阵T可以分成四个子矩阵。其中，
a b c d 这 2 一2 子矩
阵可使图像实现恒等、 比例、 反射（或镜像）、 错切和旋转变
换。[l m]这一行矩阵可以使图像实现平移变换。[p q]T这一列矩阵可以
5.1 图像变换(二)
y0 1]
[ x1 y1 1] [ x0 y0
N y0 1]
主要内容
2.1 基本知识
2.2 图像平移
2.3 图像镜像
2.4 图像转置
2.5 图像缩放 2.6 图像旋转
图像转置
1、图像转置的公式
图像转置即为行列互换，(x0,y0)是原图像上的点，转置后对应的新坐标点 为: x1=y0; y1=x0; 注意：图像尺寸有可能改变。
x1 x
y0 b
y1 y
2. 程序实现：
3. MATLAB中实现平移的函数
主要内容
2.1 基本知识
2.2 图像平移
2.3 图像镜像 2.4 图像转置 2.5 图像缩放 2.6 图像旋转
图像镜像
垂直镜像：图像的上半部分和下半部分以图像水平
中轴线为中心轴进行对换。
水平镜像：图像的左半部分和右半部分以图像竖直 中轴线为中心轴进行对换。
x0 x1 x a b y0 y L L 旋 转
y1=y0cos(a)-x0sin(a);
0 y1
2. 程序实现：
3、图像以图像中心为中心点的旋转公式
(x0,y0)是原图像上的点，L为(x0,y0)到原点的 距离。有：sin(b)=(x0-M/2)/L cos(b)=(y0-N/2)/L sin(a+b)=(x1-M/2)/L=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) cos(a+b)=(y1-N/2)/L=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) 旋转后对应的新坐标点为:
2.3 图像镜像
2.4 图像转置 2.5 图像缩放
2.6
图像旋转
图像旋转
图像几何变换讲解102页PPT
图像几何变换讲解
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
图像几何变换
2、图像比例缩放
([x] , [y])
([x]＋ 1 , [y])
q
([x] , [y]＋ 1)
x,y 1－q
x
1
0
x
x0
y 0
1
y
y0
1
0
0
1
1
3、图像平移
x＝2,y＝1
图像平移
4、图像镜像
图像的镜像变换也可以用矩阵变换表示。设点P0(x0, y0)进 行镜像后的对应点为P(x, y)，图像高度为fHeight，宽度为 fWidth，原图像中P0(x0, y0)经过水平镜像后坐标将变为 （fWidth-x0，y0），垂直镜像后坐标将变为(x0，fHeight-y0)矩 阵表达式为：
在下面的算法中直接采用了前一种做法。实际上，这 也是一种插值算法， 称为最邻近插值法（Nearest Neighbor Interpolation）。
2、图像比例缩放
最简单的比例缩小是当 fx=fy=1／2时，图像被缩到一 半大小，此时缩小后图像中的(0， 0)像素对应于原图 像中的(0， 0)像素； (0， 1)像素对应于原图像中的(0， 2)像素； (1， 0)像素对应于原图像中的(2， 0)像素， 依此类推。
6、灰度插值
由于许多输入像素可能映射到输出图像的边界之外，故向 前映射算法有些浪费。而且，每个输出像素的灰度值可能 要由许多输入像素的灰度值来决定，因而要涉及多次计算。 如果空间变换中包括缩小处理，则会有四个以上的输入像 素来决定一输出像素的灰度值。如果含有放大处理，则一 些输出像素可能被漏掉(如果没有输入像素被映射到它们附 近位置的话)。 而向后映射算法是逐像素、逐行地产出输出图像。每 个像素的灰度级由最多四个像素参与的插值所唯一确定。 当然，这种算法需按空间变换所定义的方式随机访问输入 图像，因而可能有些复杂。虽然如此，像素填充法对一般 的应用更为切实可行。
重要 图像的几何变换
图像的几何变换，是指使用户获得或设计的原始图像，按照需要产生大小、形状和位置的变化。
从变换的性质分，图像的几何变换有位置变换(平移、镜像、旋转）、形状变换（比例缩放、错切）和复合变换等。
1. 图像的位置变换主要包括图像平移变换、图像镜像变换和图像旋转变换等，下面针对这三个主要的位置变换进行分析。
平移变换的几点说明:(1)平移后图像上的每一点都可以在原图像中找到对应的点。
对于不在原图像中的点，可以直接将它的像素值统一设置为0或者255（对于灰度图就是黑色或白色）。
(2)若图像平移后图像不放大,说明移出的部分被截断。
(3) 若不想丢失被移出的部分图像，将新生成的图像扩大.图像镜像变换图像的镜像变换不改变图像的形状。
图像的镜像(Mirror)变换分为三种：水平镜像，垂直镜像和对角镜像。
1. 图像水平镜像图像的水平镜像操作是将图像左半部分和右半部分以图像垂直中轴线为中心进行镜像对换。
2. 图像垂直镜像图像的垂直镜像操作是将图像上半部分和下半部分以图像水平中轴线为中心进行镜像对换。
3. 图像对角镜像图像的对角镜像操作是将图像以图像水平中轴线和垂直中轴线的交点为中心进行镜像对换。
相当于将图像先后进行水平镜像和垂直镜像。
图像旋转变换旋转(rotation)有一个绕着什么转的问题，通常的做法是以图像的中心为圆心旋转，将图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。
图像的旋转变换是图像的位置变换，但旋转后，图像的大小一般会改变。
和图像平移一样，在图像旋转变换中既可以把转出显示区域的图像截去，旋转后也可以扩大图像范围以显示所有的图像。
2. 图像形状变换图像比例缩放变换图像比例缩放是指将给定的图像在x轴方向按比例缩放fx倍，在y轴方向按比例缩放fy倍，从而获得一幅新的图像。
(1). 图像的比例缩小变换从数码技术的角度来说，图像的缩小是将通过减少像素个数来实现的，因此，需要根据所期望缩小的尺寸数据，从原图像中选择合适的像素点，使图像缩小之后可以尽可能保持原有图像的概貌特征不丢失，下面介绍两种简单的图像缩小变换。
图像几何变换讲课文档
阿诺德变换
• i'=(i+j)mod N j'=(i+2j)mod N
第五十三页，共53页。
第十五页，共53页。
2.7.变成“畸形”
第十六页，共53页。
第十七页，共53页。
第十八页，共53页。
2.8.实现动作
第十九页，共53页。
第二十页，共53页。
第二十一页，共53页。
2.9.实现表情
第二十二页，共53页。
第二十三页，共53页。
2.10.不同图像变换
第二十四页，共53页。
3.3.旋转
第三十八页，共53页。
第三十九页，共53页。
3.4.仿射变换
x’= a10*x + a01*y + a00 y’= b10*x + b01*y + b00
第四十页，共53页。
4.图像几何变换的插值技术
• 当对一幅图像进行缩放、旋转、平移后，如 何得到新的图像？哪种方法更好？
• 由原来图像中已知灰度和坐标，推导出变换 之后的坐标，从而将已知灰度作为新坐标的 灰度值；（正向映射）
小孔成像模型
第四十八页，共53页。
点距模型
第四十九页，共53页。
边距模型
第五十页，共53页。
5.图像加密（图像置乱）
• 伪随机图像加密（伪随机几何变换） • 阿诺德变换 • 幻方变换（魔方变换）
第五十一页，共53页。
图像伪随机加密
• 原图像中的像素映射到新图像中的伪随机 的一个位置；或者新图像中的像素来之原 图像中的一个随机位置。
第二十五页，共53页。
第二十六页，共53页。
第二十七页，共53页。
几何变换概念
几何变换概念几何变换是指平面上的图形在不同的变换规律下发生形状、位置或尺寸的改变。
几何变换包括平移、旋转、镜像和伸缩等基本变换方式，它们在数学以及计算机图形学等领域有着广泛的应用和深入的研究。
一、平移平移是指图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离。
平移不改变图形的形状和大小，只是将图形整体移动到新的位置上。
平移变换通过向量的概念来描述，可以用坐标表示。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形平移d个单位长度，则平移后的点P'(x',y')的坐标为x'=x+d，y'=y+d。
二、旋转旋转是指图形围绕某个中心点按一定角度进行转动。
旋转变换可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
旋转变换同样涉及到坐标的变化。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形绕原点顺时针旋转θ角度，则旋转后的点P'(x',y')的坐标为x'=x*cosθ-y*sinθ，y'=x*sinθ+y*cosθ。
三、镜像镜像是指图形沿着一个直线进行翻转。
直线称为镜像轴，镜像轴可以是任意一条线段，即使不在图形内部也可以。
镜像变换同样可以通过坐标来描述。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形关于镜像轴进行翻转，则镜像后的点P'(x',y')的坐标根据镜像轴的位置不同而有所区别。
四、伸缩伸缩是指图形在某个中心点按一定比例进行放大或缩小。
伸缩变换可以分为两种情况：等比例伸缩和非等比例伸缩。
等比例伸缩保持图形的形状不变，只改变尺寸大小；非等比例伸缩则同时改变图形的形状和尺寸。
伸缩变换同样可以使用坐标来表示。
设P(x,y)是原来图形上的一个点，若要将图形以中心点O为中心进行放大/缩小，比例为r，则伸缩后的点P'(x',y')的坐标为x'=r*x，y'=r*y。
综上所述，几何变换是数学中重要的概念，它是对图形进行形状、位置或尺寸改变的方式。
图像的几何变换共45页
15、机会是不守纪律的。——雨果
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
图像的几何变换
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
拉
60、生活的道路一旦选定，就要Hale Waihona Puke 敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
几何变换
1 1 2 3
2
3
-3 -2 -1 1 2 3
y 4
发生问题：矩阵下标不能为负
图像的镜像
同理：垂直镜像计算公式为：
x' x (垂直镜像) y' y
1 1 2 2 3 1 2 3
-3
-2 -1
x 4
3
发生问题：矩阵下标不能为负
最简单的是减小一半，这样只需取原图 的偶（奇）数行和偶（奇）数列构成新 的图像。
1 1 3 16 3 1
钟形 3
9 9 3
3 9 9 3
1 3 3 1
三次B样条 4 6 4
16 24 16 4 24 36 24 6 16 24 16 4
1 4 6 4 1
3.1
图像插值放大示例：
图像的几何变换
(a) 原始图像
（b）最近邻插值放大图像
������
图像的缩小操作中，是在现有的信息里如何挑 选所需要的有用信息。
图像的放大操作中，则需对尺寸放大 后所多出来的空格填入适当的值，这 是信息的估计问题，所以较图像的缩 小要难一些。
按比例放大图像
如果需要将原图像放大k倍，则将一个像素值添 在新图像的k*k的子块中。
图像的任意不成比例放大
图像旋转的后处理源自图像旋转出现的两个问题的 本质 都是因为像 素值的填充是不连续的。 因此可以采用插值填充的方法来解决。
图像旋转的后处理
最简单的方法是行插值（列插值）方法
1. 找出当前行的最小和最大的非背景点的坐标，记 作：(i,k1)、(i,k2)。 2. 在(k1,k2)范围内进行插值，插值的方法是：空 点的像素值等于前一点的像素值。 3. 同样的操作重复到所有行。
图像几何变换的原理及应用
图像几何变换的原理及应用1. 引言图像几何变换是指通过对图像进行旋转、平移、缩放和仿射变换等操作，改变图像的位置、大小和形状，以达到特定的目的。
在计算机视觉、图像处理和计算机图形学等领域中，图像几何变换被广泛应用于图像的校正、增强、变换和特征提取等任务。
2. 原理图像几何变换的原理基于几何学的相关理论。
对于二维图像来说，可以通过变换矩阵对图像进行坐标变换，从而实现图像的几何变换。
以下是常见的图像几何变换操作及其原理：2.1 旋转旋转是指将图像按一定角度绕某个中心点进行旋转变换。
旋转操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1其中，θ表示旋转的角度。
通过对每个像素进行坐标变换，可以实现图像的旋转。
2.2 平移平移是指将图像沿着水平或垂直方向进行平移操作，即改变图像的位置。
平移操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：1 0 tx0 1 ty0 0 1其中，tx和ty分别表示在x轴和y轴上的平移距离。
通过对每个像素进行坐标变换，可以实现图像的平移。
2.3 缩放缩放是指改变图像的尺寸大小。
缩放操作可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：sx 0 00 sy 00 0 1其中，sx和sy分别表示在x轴和y轴上的缩放比例。
通过对每个像素进行坐标变换，并根据缩放比例进行采样，可以实现图像的缩放。
2.4 仿射变换仿射变换是指通过线性变换和平移来对图像进行变换。
仿射变换可以通过变换矩阵实现，变换矩阵如下所示：a11 a12 txa21 a22 ty0 0 1其中，a11、a12、a21和a22分别表示仿射变换的线性变换部分，tx和ty分别表示平移部分。
通过对每个像素进行坐标变换，并根据变换矩阵进行计算，可以实现图像的仿射变换。
3. 应用图像几何变换在各个领域中有着广泛的应用，以下列举了一些常见的应用场景：3.1 图像校正在图像处理中，由于各种因素的影响，例如相机畸变、透视变换等，图像可能会出现失真或畸变。
图像的几何变换
f 21
f 22
#
f n1
#
f n2 "
0 ⎤ f1n −1 ⎥ ⎥ f 2 n −11 ⎥ ⎥ # ⎥ f nn −1 ⎥ ⎦ 255 ⎤ f 1n −1 ⎥ ⎥ f 2 n −11 ⎥ ⎥ # ⎥ f nn −1 ⎥ ⎦
（2.2.6）
⎡255 255 255 " ⎢255 f f12 " 11 ⎢ H = ⎢255 f 21 f 22 " ⎢ # # ⎢ # ⎢ ⎣255 f n1 f n 2 "
T
的坐标，可以实现平移变换，变换结果如下：
⎡ x ⎤ ⎡1 0 Δx ⎤ ⎡ x0 ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢ 0 1 Δy ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ y0 ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 0 1 ⎥ ⎦⎢ ⎣1⎥ ⎦
现对式（2.1.5）中的各个矩阵进行定义：
（2.1.5）
⎡ 1 0 Δx ⎤ ⎥ T=⎢ ⎢0 1 Δy ⎥ 为变换矩阵； ⎢ ⎣0 0 1 ⎥ ⎦ ⎡ x⎤ ⎥ P=⎢ ⎢ y ⎥ 为变换后的坐标矩阵； ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
⎡ f11 ⎢f F = ⎢ 21 ⎢ # ⎢ ⎣ f n1 ⎡0 ⎢0 ⎢ G = ⎢0 ⎢ ⎢# ⎢ ⎣0
f12 f 22 #
" "
f1n −1 f 2 n −1 # f nn −1
f n2 "
0 f11 0 f 12
f1n ⎤ f 2n ⎥ ⎥ # ⎥ ⎥ f nn ⎦
（2.2.5）
" " "
[x0
y 0 ] 中引入第 3 个元素，增加一个附加坐标，扩展为 3×1 的列矩阵 [x0
T
y 0 1] 。
第2章-图像几何变换
原始图
8-连接
m-连接
第2讲
第9页
像素间的连通
通路:由一系列依次连接的像素组成
从具有坐标(x, y)的像素p到具有坐标(s, t)的像素q的 一条通路由一系列具有坐标(x0, y0),(x1, y1)，…，(xn, yn)的独 立像素组成。这里(x0, y0) = (x, y)，(xn, yn) = (s, t)，且(xi, yi) 与(xi-1, yi-1)邻接，其中1 ≤ i ≤ n，n为通路长度 ；
0 1
第2讲
第23页
2.3 形态变换
2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4
变换体系 一般仿射变换 特殊仿射变换 变换的层次
第2讲
第24页
2.3.1 变换体系
形态变换
将平面区域映射到平面区域 (1) 将一个组合区域映射为另一个组合区域 (2) 将单个区域映射为一个组合区域 (3) 将一个组合区域映射为单个区域
a22
t
y
p
y
1 0 0 1 1
A t q H A p 0T 1 p
一个平面上的仿射变换有6个自由度
第2讲
第28页
2.3.2 一般仿射变换
仿射变换
线性分量A可考虑成两个基本变换的组合:旋转和非各
向同性放缩 ：
A R( )R()DR()
D
1
0
0
2
第2讲
第29页
2.3.2 一般仿射变换
第2讲
第13页
2.1.3 像素间的距离
距离量度函数,对p(0,0),q(4,3)两点
距离计算示例
DE = 5
D4 = 7
D8 = 4
第2讲
第14页
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2.3.2 一般仿射变换
仿射变换
一个非奇异线性变换接上一个平移变换
q x a11 q a y 21 1 0 a12 a22 0 t x px p ty y 1 1
A q HA p T 0
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
（没有非各向同性放缩 ）
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
5
第2 讲
第32页
ห้องสมุดไป่ตู้
2.3.3 特殊仿射变换
2. 等距变换
等距（isometry）指在2-D空间中保持 两点间 所有距离（iso表示相同，metric表示测度）
R q HI p T 0 t p 1
x' e cos y ' e sin 1 0
e sin e cos 0
t x x t y y 1 1
e = 1，那么等距还能保持朝向且是欧氏变换。e = –1，将反 转朝向，即变换矩阵相当于一个镜像与一个欧氏变换的组合
完全在一个图像子集中的像素组成的通路上的像素 集合构成该图像子集中的一个连通组元。 如果 S 中只有1个连通组元，即 S 中所有像素都互相
连通，则称 S 是一个连通集。
第2 讲 第11页
2.1.3 像素间的距离
像素在空间中的接近程度可用像素间的距离测量。
设有3个像素p，q，r，坐标(x, y)，(s, t)，(u, v) 距离量度函数需满足下面三个条件：
s (> 0)表示各向同性放缩，R是一个特殊的2 × 2正交 矩阵（RTR = RRT = I），对应这里的旋转。典型特例为纯旋 转（此时t = 0）和纯平移（此时R = I） 。
第2 讲 第31页
2.3.3 特殊仿射变换
相似变换的性质：
• 保形性（保持形状）或保角性 • 相似变换可以保持两条曲线在交点处的角度 平面上的相似变换有4个自由度，所以可根 据2组点的对应性来计算。
第2 讲
第22页
2.2.2 坐标变换讨论
坐标变换
反变换
T 1 1 0 x0 0 1 y 0 0 0 1
S 1 0 1 S x 0 1 Sy 0 0 0 0 1
-1 R
cos( ) sin( ) 0 cos sin( ) cos( ) 0 sin 0 0 0 1
r
4-邻域——N4(p)：
r
p r
r
对角邻域——ND(p)：
8-邻域——N8(p)：
s r s
第2 讲
s p s
s
s
r p r
s r s
第5页
2.1.2 像素间的连接
（adjacency, 邻接）vs. (connectivity, 连接)
邻接：邻接仅考虑像素间的空间关系
连接：两个像素是否连接取决于下面2条件：
第2 章
图像几何变换
2.0 成像几何
2.1 像素间联系
2.2 基本坐标变换 2.3 形态变换 2.4 几何失真校正
第2 讲 第1页
2.0 成像几何
1、投影变换
将3-D客观场景投影到2-D图像平面
成像过程
三个坐标系统： 1）世界坐标系统 XYZ 2）摄像机坐标系统 xyz 3）图像平面 xy 从 XYZ 到 xyz，从 xyz 到 xy
sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
第20页
0 1 0 0
sin 0 cos 0
cos sin R 0 0
2.2.2 坐标变换讨论
变换级连
对一个坐标为 v 的点的平移、放缩、绕 Z 轴 旋转变换可表示为：
第2 讲
第26页
2.3.1 变换体系
投影变换
通用的非奇异齐次线性变换
A q HP p T v t p u
A是一个2×2的非奇异矩阵，t是一个2×1的矢量， 而矢量v = [v1, v2]T
其中矩阵H只能定义一个比例因子，可用8个独立的 参数表示，因此，一个投影变换共有8个自由度（degrees of freedom，dof），可根据4组点的对应性来计算 。
连通 ：连接是连通的一种特例，若通路上的所有像素灰
度值均满足连接特性的相似准则，则p和q是连通的。
第2 讲
第10页
像素集合的邻接，连接和连通
S T
0 0 0 1 1 0 0 0 1
像素集合的邻接和连通
对2个图像子集 S 和 T 来说，如果S中的一个或一些
像素与 T 中的一个或一些像素邻接，则可以说2个图像子集 S 和 T 是邻接的。
将单个区域映射为一个组合区域
将一个组合区域映射为单个区域
第2 讲
第25页
2.3.1 变换体系
投影变换
q = Hp
q x h11 q h y 21 qz h31 h12 h22 h32 h13 p x p h23 y h33 pz
v' R S(Tv ) Av
用单个变换矩阵的方法可对点矩阵v 变换 这些矩阵的运算次序一般不可互换
第2 讲 第21页
2.2.2 坐标变换讨论
变换的推广(3-点映射变换)：将一个三角形映射
为另一个三角形，而将一个矩形映射为一个平行 四边形;
拉伸(stretch):一个方向放大，其正交方向缩小； 剪切(shearing)：仅水平或垂直坐标之一发生平移 ；
距离量度函数（点p(x,y),q(s,t))
(1) 欧氏（Euclidean）距离
DE ( p, q) [( x s)2 ( y t )2 ] 1 / 2
(2) 城区（city-block）距离(pq间的D4距离）
D4 ( p, q) x s y t
(3) 棋盘（chessboard）距离(pq间的D8距离）
1 1 0
0 0 1
0 0 0
1 1 0
0 0 1
第7页
像素间的连接方式
3种连接
(3) m-连接（混合连接）： 2个像素 p 和 r 在V 中取值 且满足下列条件之一
① r 在N4(p)中
② r 在ND(p)中且集合N4(p)∩N4(r)不包含V中取值 （这个集合是由 p 和 r 的在V中取值的 4-连接像素组成的）
2.2.1 图像坐标变换
旋转变换（绕X轴，Y轴，Z轴）
1 0 R 0 0 cos 0 R sin 0
第2 讲
0 cos sin 0 0 0 0 1
0 sin cos 0
0 0 0 1
第2 讲 第8页
像素间的连接方式
3种连接
混合连接的应用：消除8-连接可能产生的歧义性
原始图 8-连接 m-连接
第2 讲
第9页
像素间的连通
通路：由一系列依次连接的像素组成
从具有坐标(x, y)的像素p到具有坐标(s, t)的像素q的 一条通路由一系列具有坐标(x0, y0)，(x1, y1)，…，(xn, yn)的 独立像素组成。这里(x0, y0) = (x, y)，(xn, yn) = (s, t)，且(xi, yi)与(xi-1, yi-1)邻接，其中1 ≤ i ≤ n，n为通路长度 ；
1. 相似变换
矩阵表达：
q x s cos q y s sin 1 0 s sin s cos 0
t p 1
t x p x t y p y 1 1
分块矩阵：
sR q HS p T 0
D8 ( p, q) max ( x s , y t )
第2 讲 第13页
2.1.3 像素间的距离
距离量度函数，对p(0,0),q(4,3)两点
距离计算示例
DE = 5 D4 = 7 D8 = 4
第2 讲
第14页
2.1.3 像素间的距离
距离量度函数
等距离轮廓图案
D4距离
3 3 3 2 3 2 1 3 2 2 1 0 1 3 2 3 1 2 3 2 3
(1) ( D( p, q) 0 ( D( p, q) 0 当且仅当
两个像素之间的距离总是正的
p q)
(2) (3)
第2 讲
D( p, q) D( q, p)
距离与起终点的选择无关
D( p, r ) ≤ D( p, q) D( q, r ) 最短距离是沿直线的
第12页
2.1.3 像素间的距离
- sin cos 0
0 0 1
第23页
第2 讲
2.3 形态变换 2.3.1 2.3.2 变换体系 一般仿射变换
2.3.3
2.3.4
特殊仿射变换
变换的层次
第2 讲
第24页
2.3.1 变换体系
形态变换
将平面区域映射到平面区域
(1) 将一个组合区域映射为另一个组合区域
(2)
(3)
第2 讲
第16页
2.1.3 像素间的距离
用距离定义邻域
考虑在空间点 (xp, yp)的像素 p 4-邻域——N4(p) 8-邻域——N8(p)
N 4 ( p) r D4 ( p, r ) 1
N8 ( p) r D8 ( p, r ) 1
第2 讲
第17页
2.2 基本坐标变换 2.2.1 2.2.2 图像坐标变换 坐标变换讨论
D8距离
2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 0 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2