上海交大版大学物理第一章答案

习题1

1-1．已知质点位矢随时间变化的函数形式为(cos sin )r =R ωt i ωt j +

其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：(1) 由(cos sin )r =R ωt i ωt j +

，知：cos x R t ω= ，sin y R t ω=

消去t 可得轨道方程：222x y R +=

∴质点的轨道为圆心在（0，0）处，半径为R 的圆；

（2）由d r v dt

= ，有速度：sin Rcos v R t i t j ωωωω=-+

而v v

=，有速率：1

222[(sin )(cos )]v R t R t R ωωωωω=-+=。

1-2．已知质点位矢随时间变化的函数形式为

24(32)r t i t j =++

，式中r 的单位为m ，t 的单位为s 。求：（1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t s 的位移；（3）0=t 和1=t s 两时刻的速度。

解：（1）由2

4(32)r t i t j =++ ，可知24x t = ，32y t =+ 消去t 得轨道方程为：x =2(3)y -，∴质点的轨道为抛物线。

（2）从0=t 到1=t s 的位移为：j i j j i r r r

243)54()0()1(+=-+=-=∆

（3）由d r

v dt

=

，有速度：82v

t i j =+

0=t 和1=t 秒两时刻的速度为：(0)2v j = ，(1)82v i j =+

。

1-3．已知质点位矢随时间变化的函数形式为

22r t i t j =+

，式中r 的单位为m ，t 的单位为s.求：

（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

解：(1)由d r v dt

= ，有：22v t i j =+ ，d v

a dt

= ，有：2a i = ；

（2）而v v =，有速率：1

222[(2)2]v t =+=∴

t dv

a dt

==

222t n a a a =+有：

n a ==

1-4．一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为h ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解法一：以地面为参照系，坐标如图，设同一时间内螺钉下落的距离为

1y ，升降机上升的高度为2y ，运动方程分别为

2

012

1gt t v h y -

+= （1） 2201

2

y v t at =+ （2）

相遇时y 1=y 2 即得： a

g h t +=

2。

解法二：以升降机为非惯性参照系，则重力加速

度修正为'g g a =+，

利用22

1t g h '=，有：a

g h g h t +='=

22。

1-5．一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求：

（1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨

（3）落地前瞬时小球的d r d t

，解：（1）如图，可建立平抛运动学方程：

0x v t = ，212

y h g t =- ，∴201()2

r v t i h g t j =+-

；

（2）联立上面两式，消去t 得小球轨迹方程：

2

20

2gx y h v =-+（为抛物线方程）

； （3）∵20

1()2r v t i h g t j =+-

，∴0d r v i g t j d t =- ， 即：0v v i g t j =-

，d v g j d t

=-

在落地瞬时，有：t =0d r v i j d t =

又∵ v =

=∴212220[()]

g t dv

dt v gt ==+。

1-6．路灯距地面的高度为1h ，一身高为2h 的人在路灯

下以匀速1v 沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度2v .

证明：设人向路灯行走，t 时

足的坐标为2x ，

由相似三角形关系可得：121x x x -∴1

1212

h x x h h =-

两边对时间求导有：11212d x h d x d t h h d t =- ，考虑到：21d x v d t

=，

知人影中头的速度：21112

d x h v v d t h h ==-影（常数）。

1-7．一质点沿直线运动，其运动方程为

2242t t x -+=(m)，在 t 从0到3s 的时间间隔内，质点走过的路程为多少？

解：由于是求质点通过的路程，所以需考虑在0~3s 的时间间隔内，质点速度为0的位置：

t dt

dx v 44-== 若0=v 解得 s t 1=，

m x x x 22)242(011=--+=-=∆

m x x x 8)242()32342(2133-=-+-⨯-⨯+=-=∆

m x x x 1021=∆+∆=∆。

1-8．一弹性球直落在一斜面上，下落高度cm 20=h ，斜面对水平的倾角 30=θ，问它第二次

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