九江学院专升本高数真题

1．已知x x x f 3)1(2

+=-，则=)(sin x f ______.

2．已知⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+>=0,0,1sin )(2x x a x x

x x f 在R 上连续，则=a _____. 3．极限=+∞

→x

x x

x 2)1(

lim _________. 4．已知)1ln(2x x y ++=，则='y _____.

5．已知函数xy

e z =，则此函数在（2，1）处的全微分=dz _____________. 1．设)(x

f 二阶可导，a 为曲线)(x f y =拐点的横坐标，且)(x f 在a 处的二阶导数等于零，则在a 的两侧（ ）

A ．二阶导数同号 B.一阶导数同号 C.二阶导数异号 D.一阶导数异号 2．下列无穷级数绝对收敛的是（ ）

A ．

∑∞

=--1

1

1)

1(n n n B ．∑∞=--111)1(n n n C ．∑∞=--1121)1(n n n D ．∑∞

=--1

1)1(n n n 3．变换二次积分的顺序

⎰⎰

=20

22

),(y

y dx y x f dy （ ）

A ．

⎰⎰

20

2

),(x

x

dy y x f dx B ．⎰⎰4

2

),(x

x dy y x f dx

C ．

⎰⎰

4

22

),(x

x dy y x f dx D ．⎰⎰4

2),(x x

dy y x f dx

4．已知⎰

⎰=

x t x

t dt

e

dt e x f 0

22

02

2

)()(，则=+∞

→)(lim x f x （ ）

A ．1

B ．-1

C ．0

D ．+∞

5．曲面3=+-xy z e z

在点（2，1，0）处的切平面方程为（ ）

A ．042=-+y x

B ．042=-+y x

C ．02=++y x

D ．042=++y x 三、计算下列各题（每小题7分，共35分） 1．求极限)1

11(

lim 0--→x x e x 2．求不定积分⎰

xdx x cos 2

3．已知02sin 2

=-+xy e y x

，求

dx

dy

4．求定积分

⎰-+

5

2

1

11dx x

5．求二重积分⎰⎰+D

d y x σ)23(，其中D 是由两坐标轴及直线3=+y x 所围成的闭区

域。

四、求幂级数

∑

∞

=-1

)3(n n

n

x 的收敛半径和收敛域。（9分）

五、已知),(xy y x f z +=，且f 具有二阶连续偏导数，试求y

x z

∂∂∂2。（9分）

六、求二阶微分方程x

xe y y y =+-6'5''的通解。（9分）

七、设0>>a b ，证明不等式b

a a

b a b -<-ln ln 。（8分）

九江学院2008年“专升本”高等数学试卷

注：

1．请考生将试题答案写在答题纸上,在试卷上答题无效.

2．凡在答题纸密封线以外有姓名、班级学号、记号的，以作弊论. 3．考试时间:120分钟

一、 填空题（每题3分，共15分）

1． 设函数⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=≠+=0,0

,)1()(2

x k x x x f x 在0=x 处连续，则参数=k __________.

2． 过曲线2

x y =上的点（1，1）的切线方程为_______________. 3． 设x y arccos =，则==0|'x y _______________. 4． 设1)('=x f ，且0)0(=f ，则

⎰

=dx x f )(_______________.

5． 设y

e x z +=2

，则z 的全微分=dz _______________. 二、 选择题（每题3分，共15分）

1．设)(x f y =的定义域为（0，1]，x x ln 1)(-=ϕ，则复合函数)]([x f ϕ的定义域为

（ ）

A.（0,1）

B.[1,e]

C.（1,e]

D.（0,+∞）

2．设23

23

1)(x x x f -=

，则)(x f 的单调增加区间是（ ） A.（-∞,0） B.（0,4） C.（4, +∞） D. （-∞,0）和（4, +∞）

3．函数a a x x f (||)(+=为常数）在点0=x 处（ ）

A.连续且可导

B.不连续且不可导

C.连续且不可导

D.可导但不连续 4．设函数3

)(x x f =，则x

x f x x f x ∆-∆+→∆)

()2(lim

等于（ ）

A.2

6x B.3

2x D.2

3x 5．幂级数

∑∞

=-1

)2

1(

n n

x 的收敛区间为（ ） A.[-1,3] B.（-1,3] C.（-1,3） D.[-1,3） 三、计算题（每题7分，共42分） 1．3

sin lim

x

x

x x -→ 2．⎰

xdx x sin

3．已知⎪⎩⎪⎨⎧==⎰t

a y udu a x t

sin sin 0（a 为非零常数），求dx dy

4．求直线2=+y x 和曲线2

x y =及x 轴所围平面区域的面积. 5．计算二重积分

⎰⎰

D

ydxdy ，其中D 是由2

2,x y y x ==所围平面区域. 6．求微分方程x

x

y xy ln '+

=的通解. 四、设二元函数)ln(2

2

y x z +=，试验证2=∂∂+∂∂y

z y x z x

（7分） 五、讨论曲线123

4+-=x x y 的凹凸性并求其拐点.（7分）

六、求幂级数

∑∞

=-11

1n n x n

的收敛域，并求其和函数.（9分） 七、试证明：当0≥x 时，x e x

≥-1（5分）