变分原理在物理学中的应用

F ()
1 2
2d
v
v
dv ( 1
s2
2
f1 2
f2 )ds Fmin
上列各式中都未计入第一类边界条件。若计入,则描述静电场中非齐次第三类边界条件下泊松场的 条件变分原理为：
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F ()
1 2
2d
v
v
dv ( 1
s2
2
f1 2
f2 )ds Fmin
L(T ,T0; , 0 ; i , i0 )d
此时泛函 的极值条件 0
2.3 变分原理在光学中的应用 费马原理指出：光沿所需时间为极值(极大值、恒值、极小值)的路径传播。假设 y=f(x) 为光的路
径，则光程可以下式表示：
A[ f ] x1 n(x, f (x)) 1 f (x)2 dx x x0
1900 年
希尔伯特(Hilbert)发表的第 20 和 23 个数学问题促进了变分思想更深远的发展。
20 世纪初
David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue 和 Jacques Hadamard 等人做出重要贡献。
20 世纪 30 年代 Marston Morse 将变分法应用在 Morse 理论中。
Eground H
这对于所猜测的任何φ都适用。 2.5.2 波函数问题
给定一个描述所研究的体系的哈密顿算符 H 和任意可归一化的并带有适当体系未知波函数参数的函 数Ψ，我们定义泛函：
那么变分原理说明：
Hˆ
（1）ε≥ E0 ，式中 E0 是该哈密顿算符的具有最低能量的本征态（基态）。 （2）ε= E0 当且仅当Ψ确切地等同于研究体系的基态。 上述变分原理是变分法的基本原理，用于量子力学和量子化学来近似求解体系基态。
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波导中的电磁场方程组为波动方程(不考虑介质的损耗),将正弦时间因素分离以后,不管横电波还 是横磁波都可归结为亥姆霍茨方程:
2 h 2 0
式中(齐次边界条件)为： h2 2B - 2
这方程形式上属于椭圆型方程,所以不难理解,对应于它的变分原理
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F ()
1 2 d
导体表面电荷的分布使存储在静电场中的能量最小。可按下式及具体的边界条件决定场中的电位分布:
F ( )
1 2
v
2 d
Fm in
上式表示无限空间内静电场中的变分原理,但在实际问题中,往往需分析、计算有限区域内的电位分 布,因此有必要将汤姆生定理加以推广。
2.1.1 均匀介质中静电场的变分原理
描述静电场的定解问题为:
Hamilton 原理的泛函为:
其约束条件为：
t1 t0
L(qs
,
qs
,
t
)dt
2.4.1.1
F (qs , t) 0
2.4.1.2
由约束条件解得不独立的广义坐标
q (q ,t) 1,2，，； n g
2.4.1.3
将式 2.4.1.3 代入式 2.4.1.2，可得:
t1 t0
2
h 22ds
Fm in
2.2 变分原理在热学中的应用
经典力学中的变分原理在非平衡热力学中得到极大地发展, 这些变分原理包括最小熵产生原理; 超量熵产生最小定理和局部动力势变分原理。
2.2.1 最小熵产生定理
在线性非平衡热力学中, 证明了最小熵产生定理: 对于充分接近平衡区的定态, 熵产生达到最小, 在同一边界条件下, 与此参考态相邻近的态, 具有较高的熵产生。最小熵产生定理意味着存在一个变分 原理[3]。熵产生率的时间变化率 dp 是一个热力学宏观参数的泛函。
L~(q
,
q
,
t
)dt
2.4.1.4
将式 2.4.1.4 变分，并令 0 ；经分部积分，并按惯例在时域边界 t t0 和 t t1 处取qs 0 ，
可得
t1
(
L
t0 1 q
d dt
L q
)q
dt
0
由于q0 的任意性，由上式可得:
这就是著名的 Lagrange 原理。
源自文库
L q
d dt
L q
F ()
1
2 1 2
d
1 d
2 1 2
s1 s2
n
ds
Fm in
2.1.3 恒定磁场中的变分原理
由于m 只适用无源区域,所以具有混合边界条件下的变分原理为:
F (M
)
V
2
m
2
d
(
s2
f 2m
1 2
f1m 2 )ds Fmin
其中 m s1 f0
2.1.4 正弦交变涡流场中的变分原理
将括号中的第一项用分部积分处理，可得欧拉-拉格朗日方程
d dx
n(x,
f0)
f0
1 f02
ny
(x,
f0
)
1 f0(x)2
0
光线的路径可由上述的积分式而得。这可以看作上面 E-L 方程的特例。 2.4 变分原理在力学中的应用 2.4.1 一般力学的变分原理
一般力学的变分原理是指 Hamilton 原理。在这里，我由 Hamilton 原理推导出我们常用的 Lagrange 原理[4]。
3.总结
现代数学和数学物理相结合形成二大研究方向: 其一为数学物理中的微分几何方法; 其二为数学 物理中的泛函分析方法。现代数学物理方法即是基于泛函空间、拓朴流型和群论等现代数学方法应用于 求解数学物理问题的新发展。应用现代变分理论求解力学和物理问题的步骤可用下表 3.1 描述。
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1810~1831 年 Vincenzo Brunacci, Carl Friedrich Gauss, Simeon Poisson ， Mikhail Ostrogradsky 和 Carl Jacobi 对于这两者的区别都曾做出过贡献。
1842 年
柯西 Cauchy 浓缩和修改了变分法，建立了一套严格的理论。
dt
在定态满足: dp 0 dt
2.2.2 超量熵产生最小定理
把熵看作非平衡定态的一个函数, S0 为参考态的熵值。 S 在 S0 邻近可展开为
S
S0
S
1
2
2S
在力学平衡范围内能证明
2.2.3 局部动力势与变分原理
1 d 2s
2 dt
J X
在偏微分方程理论中, 将其化为等价的变分方程和积分方程求解, 可以降低对解的光滑性要求, 这也是求广义解的基本出发点。经典变分法中, 在一次连续可微函数集中求出二阶的 Euler 方程的解, 放宽了可取函数范围。在非平衡热力学中, 将可取函数范围放宽到最大范围——热力学的涨量参量, 实 质上是应用 GalerRin 方法来推广 Hamilton 原理。
其中 s1 f0
凡是具有第一类边界条件的静电场中,都存在和上式类似的条件变分原理。
2.1.2 不均匀介质中静电场的变分原理
如果静电场存在于分层均匀介质中,那么不同介质中场量中不能用同一函数表达,因此,场能应分区 进行积分,如有二种不同介质,则有
we
1
2 1
1
2 d
1
2 2
2
2 d
对应的变分原理为:
0
2.4.2 广义的变分原理
一类变量的广义的变分原理的泛函为：
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t1 t0
L(qs
,
qs
,
t
)dt
二类变量的广义的变分原理的泛函为：
2
t1 t0
T
(qs
,
vsq
,
t
)
v(qs
,
t
)
n s 1
T vsq
(qs
vsq
)dt
三类变量的广义的变分原理的泛函为：
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变分原理在物理学中的应用
[摘要] 从变分法出发，简述了变分原理的建立和发展;并就变分原理在各个学科的应用予以列举，为变分原理的初
学者作以引导。
[关键字] 变分法；变分原理；发展历程；应用。
引言
变分原理愈来愈引起重视。 固体力学变分原理的发展最为成熟,流体力学变分原理近年来也获得突 破, 电磁学、传热学等领域变分原理在不断应用和发展。这是因为变分原理与有限元结合起来使古典的 变分原理焕发青春[1]。本文就变分原理的发展历程和变分原理在物理学中的应用予以概括, 以形成一个 了解变分原理的脉络，为更好的应用变分原理打下基础。
泛空方程:
边界条件:
2 -
在场域 V 内
f0
n
f2
n
f1
f2
若为齐次的第二类边界条件:
第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件
F ( ) 1
2
2d dv Fm in
v
若为非齐次的第二类边界条件,
F () 1 2
2d dv f2ds Fmin
v
s2
若为非齐次的第三类边界条件:
1.变分原理发展简史
年份
历史事件
1696 年
约翰·伯努利提出最速曲线问题开始出现
1733 年
欧 拉 首 先 详 尽 的 阐 述 了 这 个 问 题 . 他 的 《 变 分 原 理 》 (Elementa Calculi Variationum)寄予了这门科学这个名字。
1786 年
拉格朗日确定了变分法, 但在对极大和极小的区别不完全令人满意。
1849~1885 年 Strauch, Jellett, Otto Hesse, Alfred Clebsch 和 Carll 写了一些其他有价值 的论文和研究报告。
1872 年
Weierstrass 系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化。他 关于这个理论的著名教材是划时代的, 并且他可能是第一个将变分法置于一个稳 固而不容置疑的基础上的。
在涡流场中的分析中,一般可以忽略位移电流而只考虑传导电流。
描述涡流场的电磁场方程组为：
H J J0
E B
t
•B 0
•D P
J rE
则变分原理为：
F ( A ) 1 ( A 2 )d
V
1 jwr A 2d
2
Je A d Fm in
2.1.5 正弦交变波导场中的变分原理
其中折射率 n(x,y) 依材料特性而定。 若选择
f (x) f0 (x) f1(x)
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则 A 的一阶导数 (A 对ε的微分)为：
A[ f0, f1]
x1 [ n(x,
x x0
f0) 1
f0(x) f1(x) f 0( x) 2
ny (x,
f0)
f1
1 f0(x)2 ]dx
3
t1 t0
T
(qs
,
vsq
,
t
)
v(qs
,
t
)
n s 1
psq (qs
vsq )dt
2.5 变分原理在量子力学中的应用
2.5.1 基态能量问题
计算一个哈密顿量为 H 的体系的基态能量 Egs，换句话说，已经道体系的哈密顿算符 H。如果不能 解薛定谔方程来找出波函数，可以任意猜测一个归一化的波函数，比如说φ，结果是根据猜测的波函数 得到的哈密顿算符的期望值将会高于实际的基态能量。换言之：
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20 世纪 60 年代 Lev Pontryagin, Ralph Rockafellar 和 Clarke 广义变分法理想控制论发展了新 的数学工具.
2.变分原理在各个学科中的应用
2.1 变分原理在电磁场中的应用 在静电场中可根据汤姆生(Thomson)定理得出静电场中的变分原理[2]。汤姆生定理指出:静电场中,
表 3.1 在泛函分析中线性泛函分析是发展较成熟的部分,主要包括抽象空间理论, 线性算子理论和广义函 数理论; 相对而言, 非线性泛函分析正处于蓬勃发展阶段, 它为数学物理问题中非线性方程的定性分 析和求解, 为研究无穷维空间的微积分, 变分问题, 分叉、混沌和突变理论提供强有力的工具。
参考文献
[1]高金华,沈远胜.变分原理的直接寻优算法及最小二乘法变分原理.[N]上海大学学报.1997.6 1-2 [2]盛剑霓.电磁场中的变分原理.[J]高等学校电工课程教学工作通讯.1983.12 1-7 [3]徐硕昌.关于力学变分原理及应用的几点注记.[N]重庆建筑大学学报.2000.12 4-6 [4]梁立孚.变分原理及其应用.[M]哈尔滨工程大学.2005.6 7-24