(全国通用版)202x-2021x版高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.2 函数的极值与导数讲义 新
1．3.2 函数的极值与导数1．极值点与极值(1)极小值与极小值点如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：①f(a)□01<f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝a附近的函数值；②f′(a)＝□020；③在x＝a附近的左侧，f′(x)□03<0，函数单调递□04减；在x＝a附近的右侧，f′(x)□05>0，函数单调递□06增．(2)极大值与极大值点如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：①f(b)□07>f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函数值；②f′(b)＝□080；③在x＝b附近的左侧，f′(x)□09>0，函数单调递□10增；在x＝b附近的右侧，f′(x)□11<0，函数单调递□12减．2．求函数f(x)极值的方法与步骤解方程f′(x)＝0，当f′(x)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)□13>0，右侧f′(x)□14<0，那么，f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)□15<0，右侧f′(x)□16>0，那么，f(x0)是极小值．(3)如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0□17不是极值点．函数极值点的两种情况(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，反过来不一定成立．(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y ＝|x |在x ＝0处不可导，但x ＝0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f ′(x )＝0的根或不可导点两种情况．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f (x )＝x 3＋ax 2－x ＋1必有2个极值．( ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x 轴平行或重合．( ) (3)函数f (x )＝1x有极值．( )答案 (1)√ (2)√ (3)× 2．做一做(1)函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极大值点的个数为________．(2)函数f (x )＝ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是________． (3)已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，则f (x )的极小值是________． 答案 (1)2 (2)a <0 (3)1探究1 求已知函数的极值 例1 求下列函数的极值． (1)f (x )＝3x＋3ln x ；(2)f (x )＝x 3－3x 2－2在(a －1，a ＋1)内的极值(a >0)． [解] (1)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝3x －1x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x )－＋因此当x＝1(2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：当0<a<1时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值；当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；当1<a<3时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极小值f(2)＝－6，无极大值；当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当0<a<1时，f(x)有极大值－2，无极小值；当1<a<3时，f(x)有极小值－6，无极大值；当a＝1或a≥3时，f(x)无极值．[条件探究] 若将本例(2)中a>0改为a<0，结果会怎样？[解] 由例1(2)中表可得：当－1<a<0时，f(x)在(a－1，a＋1)内有极大值f(0)＝－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．综上得，当－1<a<0时，f(x)有极大值－2，无极小值．当a≤－1时，f(x)无极值．拓展提升求函数极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，设解为x0，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．注意：如果在x0附近的两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点．例如，对于函数f(x)＝x3，我们有f′(x)＝3x2.虽然f′(0)＝0，但由于无论是x>0，还是x<0，恒有f′(x)>0，即函数f(x)＝x3是单调递增的，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．一般地，函数y＝f(x)在一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．【跟踪训练1】求下列函数的极值．(1)f(x)＝2xx2＋1－2；(2)f (x )＝x 2e －x.解 (1)函数的定义域为R . f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝－1时，函数有极小值，且极小值为f (－1)＝－3； 当x ＝1时，函数有极大值，且极大值为f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R .f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x＝x (2－x )e －x.令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：由上表可以看出，当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e 2.探究2 已知函数的极值求参数例2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值． [解] 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)， 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数； 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值． 所以a ＝2，b ＝9. 拓展提升已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，研究函数性质时，应注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．【跟踪训练2】 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f (x )在点x ＝0处取得极值，并且在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性．(1)某某数b 的值； (2)某某数a 的取值X 围．解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f (x )在点x ＝0处取得极值，所以f ′(0)＝0，解得b ＝0.(2)令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＝0， 解得x ＝0或x ＝－23a ．依题意有－23a >0.又函数在单调区间[0,2]和[4,5]上具有相反的单调性， 所以必有2≤－23a ≤4，解得－6≤a ≤－3.探究3 利用极值判断方程根的个数例3 已知曲线f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 与x 轴只有一个交点，某某数a 的取值X 围． [解] f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.列表：x (－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞) f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值所以当x＝－1时，f(x)有极小值f(－1)＝a－5；当x＝3时，f(x)有极大值f(3)＝a＋27.画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．所以a－5>0或aa>5或a<－27.故实数a的取值X围为a>5或a<－27.拓展提升(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题．一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．【跟踪训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，某某数a的取值X围．解(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2. (2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如右图所示，当5－42<a <5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的解．1.在极值的定义中，取得极值的点的横坐标称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质．可导函数f (x )在点x ＝x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0且在x ＝x 0两侧f ′(x )符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.1．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为( ) A ．1，－3 B ．1,3 C ．－1,3 D ．－1，－3 答案 A解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝0.① 又当x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3.2．设函数f (x )＝x e x ，则( ) A ．x ＝1为f (x )的极大值点 B ．x ＝1为f (x )的极小值点 C ．x ＝－1为f (x )的极大值点 D ．x ＝－1为f (x )的极小值点 答案 D解析 求导得f ′(x )＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)，令f ′(x )＝e x(x ＋1)＝0，解得x ＝－1，易知x ＝－1是函数f (x )的极小值点．3．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________． 答案 10 －98解析 f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)，在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0，在(－1,5)上f ′(x )<0，所以f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (5)＝－98.4．函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为________． 答案y ＝－1e解析 由题知y ′＝e x ＋x e x，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e . 5．已知函数f (x )＝x 3－3x ＋a (a 为实数)，若方程f (x )＝0有三个不同实根，某某数a 的取值X 围．解 令f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x <－1时，f ′(x )>0； 当－1<x <1时，f ′(x )<0； 当x >1时，f ′(x )>0.所以当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝2＋a ； 当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－2＋A ．因为方程f (x )＝0有三个不同实根，所以y ＝f (x )的图象与x 轴有三个交点，如图． 所以极大值2＋a ＞0，极小值－2＋a ＜0， 解得－2＜a ＜2，故实数a 的取值X 围是(－2,2)．。
2021年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数教案新人教A版选修
2021年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数教案新人教A版选修教学目标：
(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的
学习习惯。
教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。
教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法：发现式、启发式
教学手段：多媒体课件等辅助手段。
教学过程预设：。
(全国通用版)202x-2021x版高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1
t的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、
乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是
A.v甲>v乙
√B.v甲<v乙
C.v甲＝v乙
D.大小关系不确定
解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义 知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率 v乙＝kBC.因为kAC<kBC，所以v甲<v乙.
思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？ 答案 对山路 AB 来说，用ΔΔyx＝xy22－－xy11可近似地刻画其陡峭程度.
梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1. (2)实质： 函数值 的增量与 自变量 的增量之比.
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢.
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两
点，则平均变化率 ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1 表示割线P1P2的 斜率 .
知识点二 瞬时速度
思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段 时间内的平均速度. 答案 Δs＝5(1＋Δt)2－5＝10Δt＋5(Δt)2， v ＝ΔΔst＝10＋5Δt. 思考2 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一 速度？ 答案 当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于 10，这时的平均速度即为当 t＝1 时的 瞬时速度.
解析 答案
类型二 求瞬时速度
例3 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝
t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
全国通用高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数(二)学
（全国通用版）2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数（二）学案新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（全国通用版）2018-2019版高中数学第一章导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数（二）学案新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.3.1 函数的单调性与导数（二)学习目标 1.会利用导数证明一些简单的不等式问题。
2。
掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．1．函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x）:f′(x)的正负f(x）的单调性f′(x)〉0单调递增f′(x）<0单调递减特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0,其余的点恒有f′(x）>0，则f（x)仍为增函数（减函数的情形完全类似)．②f(x）为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b）都有f′（x)≥0且在(a,b）内的任一非空子区间上f′(x）不恒为0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a,b）上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”（向上或向下）越小慢比较“平缓”（向上或向下)3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题（1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2）注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．（3）如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号"或“和"字等隔开．1．如果函数f（x）在某个区间内恒有f′(x）＝0，则f（x)在此区间内没有单调性．（√) 2．函数在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大．（√）类型一利用导数求参数的取值范围例1 若函数f（x)＝kx－ln x在区间(1,＋∞）上单调递增,则k的取值范围是________．考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数(或其范围）答案[1，＋∞)解析由于f′(x）＝k－错误!，f(x)＝kx－ln x在区间（1，＋∞）上单调递增，等价于f′（x）＝k－错误!≥0在(1,＋∞）上恒成立．由于k≥错误!，而0<错误!〈1，所以k≥1.即k的取值范围为［1,＋∞）．引申探究1．若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围．解∵f′（x）＝k－错误!，又f(x）在（1，＋∞）上单调递减,∴f′（x)＝k－错误!≤0在(1,＋∞）上恒成立,即k≤错误!，∵0<错误!<1,∴k≤0.即k的取值范围为（－∞，0］．2．若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围．解f（x)＝kx－ln x的定义域为（0，＋∞），f′（x)＝k－错误!。
高中数学第1章导数及其应用1.1.3导数的几何意义b22b高二22数学
合作探究 提素养
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求曲线(qūxiàn)在某点处切线的方程
【例 1】 已知曲线 C：y＝x3. (1)求曲线 C 在横坐标为 x＝1 的点处的切线方程； (2)第(1)小题中的切线与曲线 C 是否还有其他的公共点？
[思路探究] (1)先求切点坐标，再求 y′，最后利用导数的几何意 义写出切线方程．
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1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)导函数 f′(x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同．
()
(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点．
(3)函数 f(x)＝0 没有导函数．
() ()
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当堂达标 固双基
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1．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 2x－y＋1＝0，
则( )
A．f′(x0)＞0
B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
[解析] 由切线方程可以看出其斜率是 2，又曲线在该点处的切 线的斜率就是函数在该点处的导数．
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①
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因为点 A(1,0)，Px0，x10在切线上， 所以xx100－－10＝－x120， 解得 x0＝12.故切线的斜率 k＝－4. 故曲线过点 A(1,0)的切线方程为 y＝－4(x－1)， 即 4x＋y－4＝0.
高中数学第1章导数及其应用1.1.3导数的几何意义a22a高二22数学
(1)∵切线与直线 y＝4x－3 平行， ∴2x0＝4，即 x0＝2. ∴y0＝x20＋6＝10.，即过曲线 y＝x2＋6 上点(2,10)的切线与 直线 y＝4x－3 平行． ∴切线方程为 y－10＝4(x－2)，即 4x－y＋2＝0.
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(2)∵切线与直线 2x－y＋5＝0 垂直， ∴2x0·2＝－1，得 x0＝－14. ∴y0＝x20＋6＝9176，即过曲线 y＝x2＋6 上点－14，9176的切线 与直线 2x－y＋5＝0 垂直． ∴切线的方程为 y－9176＝－12x＋14， 即 8x＋16y－95＝0.
∴－12－4a＋b＝－16，① 当 x＝－2 时，－32＋y＋20＝0，∴y＝12， ∴f(－2)＝8＋4a－2b＝12，② 由①②得ab＝＝10，. 答案：(1,0)
12/8/5．已知曲线 f(x)＝x2＋6 的切线分别符合下列条件，求切线 的一般式方程：
(1)平行于直线 y＝4x－3； (2)垂直于直线 2x－y＋5＝0.
S＝12a－23a·a3＝16a4＝83， 解得 a＝±2.
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课堂(kètáng)基础达标
即学即练 稳操胜券(wén cāo shèng
quàn)
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1．下列说法正确的是( ) A．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有 切线 B．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则 f′(x0)必存在 C．若 f′(x0)不存在，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 斜率不存在 D．若曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则 f′(x0)有可 能存在
新教材2025版高中数学第1章导数及其应用1
1．1.3 导数的几何意义新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数❶，就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率，即k＝________．批注❶函数在某点的导数不存在时，切线有可能存在，此时切线垂直于x轴．基础自测1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线的斜率．( )(2)直线与曲线相切，则直线与已知的曲线只有一个公共点．( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线．( )2．曲线y＝f(x)在x＝1处的切线如图所示，则f′(1)＝( )A.1 B．－C． D．－13．已知函数y＝f(x)的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝－x＋1，则f′(1)＝( )A．1 B．－1C．0 D．不存在4．已知函数f(x)在x0处的导数为f′(x0)＝1，则函数f(x)在x＝x0处切线的倾斜角为________．题型探究·课堂解透——强化创新性导数的几何意义例1 函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是( )A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2)B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3)C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)方法归纳曲线在某点处切线的斜率就是该点的导数值，此时该点既在曲线上又在切线上．巩固训练1 如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( )A.－2B．2C．3D．无法确定在某点处的切线问题例2 已知曲线C：y＝x3＋.求曲线C在横坐标为2的点处的切线方程．方法归纳求曲线在某点处的切线方程的一般步骤巩固训练2 曲线f(x)＝x3－3x在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝kx＋b，则实数b＝( )A．－16 B．16C．－20 D．20过某点的切线问题例3 求过点(2，0)且与曲线y＝f(x)＝相切的直线方程．方法归纳求曲线y＝f(x)的切线方程时，肯定要弄清晰是求某点处的切线方程，还是求过某点的切线方程．后者须要先设出切点坐标，求出切点坐标后，再利用直线的点斜式方程求解．巩固训练3 求曲线y＝f(x)＝x2过点P(1，1)的切线方程．1．1.3 导数的几何意义新知初探·课前预习[教材要点]要点f′(x0)[基础自测]1．(1)√(2)×(3)×2．解析：由图可知切线斜率为，∴f′(1)＝.答案：C3．解析：由切线方程y＝－x＋1知切线斜率k＝f′(1)＝－1.答案：B4．解析：设切线的倾斜角为α，则tan α＝f′(x0)＝1，又α∈[0，π)，所以α＝.答案：题型探究·课堂解透例1 解析：如题图所示，依据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1斜率k1>0，f′(3)表示切线l3斜率k3>0，又由平均改变率的定义，可得＝f(3)－f(2)，表示割线l2的斜率k2，结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．答案：C巩固训练1 解析：由题图，f′(5)＝－1，且f(5)＝－5＋8＝3，所以f(5)＋f′(5)＝2.答案：B例2 解析：将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，∴切点P(2，4)．在曲线上另取一点Q(2＋d，(2＋d)3＋)，∵k PQ＝＝4＋2d＋d2，当d→0时，k PQ→4，所以切线的斜率为4，∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.巩固训练2 解析：因为＝＝d2－6d＋9，所以当d→0时，d2－6d＋9→9.所以曲线f(x)＝x3－3x在点(－2，f(－2))处的切线的斜率为9.又f(－2)＝(－2)3－3×(－2)＝－2，所以在点(－2，f(－2))处的切线方程为y＝9x＋16.故b＝16.答案：B例3 解析：设切点为Q(x0，y0)，因为＝＝，所以当d→0时，则f′(x0)＝，又f(x0)＝，所以切线方程为y－＝(x－x0)，切线过点(2，0)，所以－＝(2－x0)，解得x0＝1，所以切线方程是y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0. 巩固训练3 解析：设切点为)，因为＝＝2x0＋d，所以当d→0时，2x0＋d→2x0，所以f′(x0)＝2x0，所以切线方程是＝2x0(x－x0)，切线过点(1，1)，则＝2x0(1－x0)，解得x0＝1，所以切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.。
(全国通用版)202x-2021x版高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例 新
A.8
20 B. 3
√C.－1
D.－8
解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)， 所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为
10 3 A. 3 cm
√20 3
跟踪训练1 (1)已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆 6πS
柱的高h的值为__3_π___.
解析 答案
(2)将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆， 100π
当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为__4_＋__π__cm.
解析 答案
类型二 实际生活中的最值问题
10.8－310x2，0<x≤10， 每千件的销售收入为 R(x)万元，且 R(x)＝10x8－130x020，x>10. (1)求年利润 W(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式；
解答
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年 利润最大，并求出最大值.
解答
命题角度2 用料、费用最少问题 例3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只 需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万 元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋ x )x万元.假设桥 墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的 费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式；
解答
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销 售该商品所获得的利润最大.
解答
反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件， 建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有 (1)利润＝收入－成本. (2)利润＝每件产品的利润×销售件数.
高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义学案新人教A版选修2-2(2021学年)
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1。
1.３ 导数的几何意义一、学习要求1.理解导数的定义；2。
了解导数几何意义，会求曲线在某点处的切线的斜率，进而求出切线的方程; 二、先学后讲 1.导数的几何意义（1)函数的平均变化率的几何意义是:过曲线上,两点的割线的斜率。
（2）函数在点的导数：00000()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆ 。
（3)导数的几何意义:函数在点处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。
即00000()()()limlim x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆。
2.函数的导数 当时，表示函数在点的导数,它是一个确定的数; 当变化时,是的一个函数，称它为的导函数(简称导数）。
记作:0()()()lim lim x x y f x x f x y f x x x∆→∆→∆+∆-''===∆∆．TBAOxy【要点说明】（1)函数在某一点处的导数是导函数当时的一个函数值.所以在求函数在某一点处的导数时,一般先求出函数的导函数,然后计算这一点的函数值;（２)利用导数求曲线的切线方程时,要先判断已知点是否在曲线上。
(名师名校推荐)2020-2021最新年高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与
1.3.2 函数的极值与导数[课时作业] [A 组 基础巩固]1．下列函数存在极值的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝x －e xC ．f (x )＝x 3＋x 2＋2x －3D ．f (x )＝x 3解析：A 中f ′(x )＝－1x2，令f ′(x )＝0无解，且f (x )的图象为双曲线．∴A 中函数无极值．B中f ′(x )＝1－e x，令f ′(x )＝0可得x ＝0.当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0.∴y ＝f (x )在x ＝0处取极大值，f (0)＝－1.C 中f ′(x )＝3x 2＋2x ＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y ＝f (x )无极值．D 也无极值．故选B.答案：B2.如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，下列说法错误的是( ) A ．－2是函数y ＝f (x )的极小值点 B ．1是函数y ＝f (x )的极值点C ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率大于零D ．y ＝f (x )在区间(－2,2)上单调递增解析：f ′(1)＝0，但在1的相邻的左右两侧的导函数值同号，故1不是f (x )的极值点，故选B.答案：B3．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－1C ．－1D ．－3解析：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，则知在区间(－∞，－1)和(2，＋∞)上，f ′(x )<0，在区间(－1,2)上f ′(x )>0，故当x ＝－1时，f (x )取极小值． 答案：C4．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点，则有( ) A ．a ＝－2，b ＝4 B ．a ＝－3，b ＝－24 C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－4解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有x ＝－2和x ＝4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.答案：B5．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c ，其导函数图象如图所示，则函数f (x )的极小值是( )A ．a ＋b ＋cB ．8a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c解析：由函数导函数的图象可知，函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，∴函数f (x )在x ＝0时取得极小值c .答案：D6．已知函数f (x )＝x 3＋ax 在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ， 令f ′(x )＝0，∴a ＝－3x 2， ∴a ＜0时，存在两个极值点． 答案：a ＜07．设a ∈R ，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则a 的取值范围为________． 解析：∵y ＝e x＋ax ， ∴y ′＝e x＋a ，由于y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点，即方程e x＋a ＝0有大于零的解． 即a ＝－e x (x >0)，∵当x >0时，－e x<－1， ∴a <－1.答案：(－∞，－1)8．已知函数f (x )＝x 3－3x 的图象与直线y ＝a 有相异三个公共点，则a 的取值范围是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，y ＝f (x )的大致图象如图，观察图象得－2<a <2时恰有三个不同的公共点． 答案：(－2,2) 9．求下列函数的极值． (1)f (x )＝x 4－2x 2； (2)f (x )＝x 2e －x .解析：(1)函数f (x )的定义域为R.f ′(x )＝4x 3－4x ＝4x (x ＋1)(x －1)．令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－1或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －0 ＋ f (x )极小值极大值极小值当x ＝0时，函数有极大值，且f (0)＝0； 当x ＝－1或x ＝1时，函数有极小值， 且f (－1)＝f (1)＝－1. (2)函数的定义域为R.f ′(x )＝(x 2ex )′＝x 2′e x －e x ′x 2ex 2＝2x e －x－x 2e －x＝x (2－x )e －x＝－e －x·x (x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) －0 ＋0 －f (x )极小值极大值当x ＝0时，函数有极小值，且f (0)＝0； 当x ＝2时，函数有极大值，且f (2)＝4e2.10．已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋2bx 在点x ＝1处的极小值为－1，试确定a ，b 的值，并求f (x )的单调区间．解析：由已知f ′(x )＝3x 2－6ax ＋2b ， ∴f ′(1)＝3－6a ＋2b ＝0，① 又∵f (1)＝1－3a ＋2b ＝－1，② 由①②解得a ＝13，b ＝－12，∴f (x )＝x 3－x 2－x ，由此得f ′(x )＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)， 令f ′(x )>0，得x <－13或x >1，令f ′(x )<0，得－13<x <1，∴f (x )在x ＝1的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0， 即f (x )在x ＝1处取得极小值， 故a ＝13，b ＝－12，且f (x )＝x 3－x 2－x ，它的单调增区间是(－∞，－13)和(1，＋∞)，它的单调减区间是(－13，1)．[B 组 能力提升]1．如图所示的是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.169解析：由图象可得：⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋b －c ＋d ＝0d ＝08＋4b ＋2c ＋d ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1c ＝－2d ＝0，所以f ′(x )＝3x 2－2x －2，由题意可得：x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，故x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的根，所以x 1＋x 2＝23，x 1x 2＝－23，则x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝169.答案：D2．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值解析：①当k ＝1时，f (x )＝(e x －1)(x －1)，此时f ′(x )＝e x (x －1)＋(e x －1)＝e x·x －1，且f ′(1)＝e －1≠0，∴A ，B 项均错；②当k ＝2时，f (x )＝(e x －1)·(x －1)2，此时f ′(x )＝e x(x －1)2＋(2x －2)(e x －1)＝e x ·x 2－2x －e x ＋2＝e x (x ＋1)(x －1)－2(x －1)＝(x －1)[e x(x ＋1)－2]，易知g (x )＝e x(x ＋1)－2的零点介于0,1之间，不妨设为x 0，则有答案：C3．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值，在x ＝3处有极小值，则a ＝________，b ＝________.解析：y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，方程y ′＝0有根－1及3， 由根与系数的关系应有 ⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－2a 3－3＝b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－9.答案：－3 －94．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d (b ，c ，d 为常数)，当k ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f (x )－k ＝0只有一个实根；当k ∈(0,4)时，f (x )－k ＝0有3个相异实根，现给出下列四个命题：①f (x )－4＝0和f ′(x )＝0有一个相同的实根； ②f (x )＝0和f ′(x )＝0有一个相同的实根；③f (x )－3＝0的任一实根大于f (x )－1＝0的任一实根； ④f (x )＋5＝0的任一实根小于f (x )－2＝0的任一实根． 其中正确命题的序号是________．解析：由题意y ＝f (x )图象应为先增后减再增，极大值为4，极小值为0，f (x )－k ＝0的根的问题可转化为f (x )＝k ，即y ＝k 和y ＝f (x )图象交点个数问题．根据图象可知答案为：①②④.答案：①②④5．设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．解析：(1)因为f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1， 故f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b .从而f ′(x )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 62＋b －a 26，即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a 6对称，从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1，f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝1.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在(－2,1)上为减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数．从而函数f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝21，在x 2＝1处取得极小值f (1)＝－6. 6．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋a (a 为常数)，直线l 与函数f (x )， g (x )的图象都相切，且l 与函数f (x )图象的切点的横坐标为1.(1)求直线l 的方程及a 的值；(2)当k >0时，试讨论方程f (1＋x 2)－g (x )＝k 的解的个数．解析：(1)由直线l 与函数f (x )图象的切点的横坐标为1，得f ′(1)＝1，即直线l 的斜率为1，则切点为(1，f (1))，即(1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1.①∵g ′(x )＝x ，且切线l 的斜率为1，∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋a ， 则直线l ：y －⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ＝x －1，即y ＝x －12＋a .② 由①②可得－12＋a ＝－1，∴a ＝－12.(2)∵f (1＋x 2)－g (x )＝k ， 即ln(1＋x 2)－12x 2＋12＝k .设y 1＝ln(1＋x 2)－12x 2＋12，y 2＝k ，则y 1′＝2x 1＋x2－x ＝x1－x x ＋11＋x2. 令y 1′＝0，得x 1＝0，x 2＝1，x 3＝－1，当x 变化时，y 1′，y 1的变化情况，列表如下：x (－∞，－1)－1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)y 1′ ＋0 － 0 ＋ 0 －y 1极大值ln 2极小值12极大值ln 2函数y 1的大致图象如图：方程y 1＝y 2，①当0<k <12时，有2个解；②当k ＝12时，有3个解；③当12<k <ln 2时，有4个解；④当k ＝ln 2时，有2个解； ⑤当k >ln 2时，没有解．。
2021-2022年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数说课稿新人教A版选修
实用文档2021-2022年高中数学第一章导数及其应用1.3.1函数的单调性与导数说课稿新人教A版选修【三维目标】知识技能：(1)探索函数的单调性与导数的关系;(2)会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间;过程方法：(1)在“分析、实验、讨论、总结”的探究过程中,发展学生自主学习能力；(2)强化数形结合思想.情感态度：(1)培养学生的探究精神；(2)体验动手操作带来的成功感. 【教学重点难点】教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间. 教学难点：探索函数的单调性与导数的关系. 【教学过程】（一）设问篇：有效设问，引入新课如何判断函数 (x ＞0)的单调性，你有几种方法？ （利用选号程序，挑选一名幸运的同学，可提升学生注意力 ）设计意图：利用问题吸引学生，达到激发学习兴趣的目的.若学生能说出单调区间，则追问端点“1”的由来；若学生不清楚单调性，则引导他们用定义法求解，但判断差值的正负会很麻烦.有便捷而通用的方法吗？从而引入新课.（二）观察篇：观察分析，初步探究首先由陈若琳跳水视频引入，高台跳水是教材一以贯之的例子，这样即引起学生注意，又体现新教材强调背景的特点.思考1:图（1）为高度h 随时间t 变化的函数 图象.图（2）为速度v 随时间t 变化的函数图象，分析运动员从起跳到最高点，及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 设计意图：“学会看图是21世纪青年人必须具备的能力”，让学生观察高度和速度图象，体会这二者的关系.hv实用文档（图1） （图2）思考2：在函数 的单调区间上，其导数的解析式是什么？观察导数图象，通过（图2）回答导数在相应单调区间上的正负.思考3：导数与切线斜率有什么关系？曲线切线斜率变化与图像的升降有什么关系？ 设计意图：新课标强调“加强几何直观，重视图形在数学学习中的作用”.所以，我鼓励学生借助直观分析切线斜率的正负与图象升降的关系，并用几何画板动态演示，有效促进了学生探索问题的本质.在几何画板的动态演示中，让学生反复观察图形来感受导数在研究函数单调性中的作用，一方面加强学生对导数本质的认识，把他们从抽象的极限定义中解放出来；另一方面体现数学直观这一重要的思想方法对数学学习的意义和作用.（三）操作篇：动手操作，深入探究思考4：这种情况是否具有一般性呢？设计意图：在学生得到初步结论之后，为了检验这一结论的普遍性，引领学生从具体的函数出发，体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，降低思维难度.为了让这一过程更加直观，组织学生动手操作：把牙签当切线，移动牙签观察导数正负与函数单调性的关系.让学生在老师的引导下自主探索,体会探究后的成功感,树立自信心.并将观察结果填入下表t o m n n t o m 单调性导数的正负 函数及图象切线斜率k的正负22(1)y x x =≥设计意图：灵活使用教材，不拘泥于教材，上述图象没有使用课本中提到的图象，并将的定义域设为。
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跟踪训练1 已知y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函 数)，则所给四个图象中，y＝f(x)的图象大致是
√
解析 答案
类型二 利用导数求函数的单调区间 命题角度1 不含参数的函数求单调区间 例2 求下列函数的单调区间. (1)y＝12x2－ln x；
解答
(2)y＝x＋bx(b>0).
解答
反思与感悟 求函数y＝f(x)的单调区间的步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域. (2)求导数y′＝f′(x). (3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数. (4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数.
跟 踪 训 练 2 函 数 f(x) ＝ (x2 ＋ 2x)ex(x∈R) 的 单(－2调－递2，减－区2＋间 2为) _解__析___由__f_′__(_x_)＝__(_x_2＋__4_x. ＋2)ex<0，即x2＋4x＋2<0， 解得－2－ 2<x<－2＋ 2. 所以 f(x)＝(x2＋2x)ex 的单调递减区间为(－2－ 2，－2＋ 2).
第一章 §1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数(一)
学习目标
1.理解导数与函数的单调性的关系. 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法. 3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 函数的单调性与导函数的关系 思考 观察图中函数f(x)，填写下表.
导数值 f′(x)>0
切线的
斜>率0
<0
k____
倾斜 曲线的变化 函数的单调
锐
上升
递增
角
趋势
性
钝
下降
递减
角 _____
_____
梳理 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内 单调递增 ； (2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内 单调递减 .
2.函数f(x)在某区间内单调递增，则一定有f′(x)>0.( × )
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题型探究
类型一 函数图象与导数图象的应用
例1 已知函数y＝f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表.f(x)的导函数y＝ f′(x)的图象如图所示.
x
－1
0
4
5
f(x)
1
221
给出下列关于函数f(x)的说法：
①函数y＝f(x)是周期函数； ②函数f(x)在[0,2]上是减函数；
③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1<a<2时，函数y＝f(x)－a有4个零点.
其中正确说法的个数是
√ A.4 B.3 C.2 D.1
解析 答案
反思与感悟 (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间 (a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0， 则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函 数，不具有单调性. (2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大.
解答
达标检测
1.函数f(x)＝x＋ln x
√A.在(0,6)上是增函数
B.在(0,6)上是减函数
C.在0，1e上是减函数，在1e，6上是增函数
D.在0，1e上是增函数，在1e，6上是减函数
12345
答案
2.若函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为
√
解析 由f(x)的图象可知，函数f(x)的单调递增区间为(1,4)，单调递减区 间为(－∞，1)和(4，＋∞)，因此，当x∈(1,4)时，f′(x)>0，当x∈(－∞， 1)或x∈(4，＋∞)时，f′(x)<0，结合选项知选C.
解析 答案
命题角度2 含参数的函数求单调区间 例 3 讨论函数 f(x)＝12ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性.
解答
反思与感悟 (1)讨论参数要全面，做到不重不漏. (2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为 二次不等式求解.
跟踪训练3 设函数f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.
解 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a. 若a≤0，则f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增. 若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增. 综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.
解析 f′(x)＝3x2＋2bx＋c， 由题意知，f′(x)＝0即3x2＋2bx＋c＝0的两根为－1和2.
－1＋2＝－23b， 由－1×2＝3c，
得b＝－32， c＝－6.
12345
解析 答案
5.试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间.
12345
解答
规律与方法
1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反 映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 2.利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.
知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)； (3)解不等式 f′(x)>0 ，解集在定义域内的部分为增区间； (4)解不等式 f′(x)<0 ，解集在定义域内的部分为减区间.
[思考辨析 判断正误]
1.函数f(x)在定义域上都有f′(x)<0，则函数f(x)在定义域上单调递减. (×)
12345
解析 答案
3.函数f(x)＝3＋x·ln x的单调递增区间是
A.0，1e
B.(e，＋∞)
√C.1e，＋∞
D.1e，e
解析 f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)>0，
即
ln
x＋1>0，得
1 x>e.
故函数 f(x)的单调递增区间为1e，＋∞.
12345
解析 答案
4.若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为[－1,2]，则b＝_－__32_，c＝ _－__6__.