备战2020高考数学黄金30题系列之压轴题—专题02 数列(解析版)

专题2 数 列

1．（2020·荆门市龙泉中学高三月考）数列{}n a 满足(

)*

121211,n n n n n n n n a a a a a a a a n N

+++++=++≠∈，且

11a =，22a =．若()()sin 0,0n a A n c ωϕωϕπ=++><<，则实数A = ．

【解析】数列{}n a 满足(

)*

121211,n n n n n n n n a a a a a a a a n N

+++++=++≠∈，且1

1a

=，22a =．

令1n =，得：33212a a =++，解得33a =；令2n =，得：44623a a =++，解得41a =；令3n =，得：

55313a a =++，解得52a =；…；可得3n n a a +=，11a =，22a =，33a =．

∵()()sin 0,0n a A n c ωϕωϕπ=++><<，∴23π

ω

=，解得23

πω=

． ∴()2sin 03n a A n c πϕϕπ⎛⎫

=++<<

⎪⎝⎭

， ∴21sin 3A c πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，22sin 23A c πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，23sin 33A c πϕ⎛⎫

=⨯++

⎪⎝⎭． 化为：21sin 3A c πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，2sin 3A c πϕ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭

，3sin A c ϕ=+．

∴sin sin 13A A πϕϕ⎛⎫++=

⎪⎝⎭，2sin sin 23A A πϕϕ⎛⎫

-+= ⎪⎝⎭

，

即

3sin cos 122

A A ϕϕ+=①

3sin cos 22A A ϕϕ=② ①+②得：3sin 3A ϕ=，即sin 1A ϕ=，

cos 1ϕ=-，即cos 3

A ϕ=-

，联立解得：tan ϕ=0ϕπ<<，

∴23ϕπ=

，∴A =．

【押题点】数列递推关系；数列与三角函数的周期性

2．（2020·安徽六安一中高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =且11n n S n a +++=(*)n N ∈，数

列1n n a ⎧⎫⎨

⎬+⎩⎭

的前n 项和为n T ，不等式19

173

21n n T m a ++-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是______________． 【答案】(,2]-∞

【解析】当1n =时，由122S a +=及11a =可得23a =，由11n n S n a +++=① 可得2n ≥时，1n n S n a -+=②，

由①－②可得11n n n a a a ++=-，即121n n a a +=+，∴112(1)n n a a ++=+，其中2n ≥， 当1n =时，21142(1)a a +==+，故

11

21

n n a a ++=+对任意的1n ≥总成立，即{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故12n

n a +=，则12n n

n

n

a =+，

则231232222

n n n

T =++++L ③，

2341112322222

n n n

T +=++++L ④ 由③-④可得23111

11

(1)

111112

22112222222212

n n n n n n n n n T +++-+=++++-=-=--L ，∴2

22n

n

n T +=-

， 由1917321n n T m a ++

-+≥，得191323222

n n m +-+-≥， 设1

13222n n n A +-=+

，则122152n n n n A A ++--=，易得{}n A 在7n ≤时递减，在8n ≥时递增，且788913

2,222

A A =-=-， 故{}n A 的最小值为89322A =-

，故9933

222

m --≥，解得2m ≤．故答案为：(,2]-∞． 【押题点】数列的通项公式与前n 项和的关系；错位相减法；数列不等式恒成立问题

3．（2020·四川树德中学二诊）已知函数2

()(1)x f x e x =+，令1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=()

*n ∈N ，

若()2

()x

n n

n n f x e

a x

b x

c =++，[]m 表示不超过实数m 的最大整数，记数列22n n n a c b ⎧⎫

⎨⎬-⎩⎭

的前n 项和为n S ，

则[]20003S = ． 【答案】4

【解析】由题意，函数2

()(1)x f x e x =+，且1()()f x f x '=，1()()n n f x f x +'=()

*n ∈N ，

可得21()()(43)x f x f x e x x '==++，2

21()()(67)x f x f x e x x '==++

232()()(813)x f x f x e x x '==++，243()()(1021),x f x f x e x x '==++L L

又由()2

()x

n n

n n f x e

a x

b x

c =++，可得{}n a 为常数列，且1n a =，

数列{}n b 表示首项为4，公差为2的等差数列，∴22=+n b n ， 其中数列{}n c 满足21324314,6,8,,2n n c c c c c c c c n --=-=-=-=L ， ∴2121321(1)(42)

()()()412

n n n n n c c c c c c c c n n --+=+-+-++-=+

=++L ，

∴22

2211

22(1)(22)n n n a c b n n n n ⨯==-++-+，

又由

2211111111,,(2)(1)1(1)1n n n n n n n n n n n

>=-<=-≥++--， 可得数列1{

}(1)n n +的前n 项和为111111

1122311

n n n -+-++-=-++L ，

数列1{

}(1)n n -⋅的前n 项和为11111131

12334121

n n n +-+-++-=-++L ，

∴数列22n n n a c b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭

的前n 项和为n S ，满足11

11213n S n n <--

<++， ∴2000113(1)32033(0120120)S -

<-<，即200033

332920012001

S <--<，又由[]m 表示不超过实数m 的最大整数，∴[]200034S =，故答案为：4．

【押题点】导数的计算；等差数列的通项公式；累加法求解数列的通项公式；裂项法求数列的和

4．（2020·山西长治3月网考）定义R 在上的函数()f x 为奇函数，并且其图象关于x ＝1对称；当x ∈（0，1]时，f （x ）＝9x ﹣3．若数列{a n }满足a n ＝f （log 2（64+n ））（n ∈N +）；若n ≤50时，当S n ＝a 1+a 2+…+a n 取的最大值时，n ＝ ． 【答案】26

【解析】∵函数()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，又∵其图象关于直线x ＝1对称， ∴()()11f x f x -=+，即()()2f x f x -=+，