函数作图的基本步骤与方法(精)

(5)根据以上讨论, 列表、描点并作出函数 y = ƒ(x)的 图形.
2
例32 作函数 f ( x )
1 2
e

x2 2
的图形.
解 (1)定义域 D (, ) (2)因ƒ(–x) = ƒ(x), 则ƒ(x)为偶函数, 其图形关于 y 轴对 称, 从而只讨论 ƒ(x) 在 [0, ) 的情形
x
f ( x) f ( x)
0
0
(0, 1)
1
(1, )
–
极大值
ƒ(x)
1 2
– –
拐点
–
0
(1, 1 2 e )
– +
4
(5)描出点(0,
1 2
),(1,
1 2 e
)
(6)综合上述讨论, 可画出函数 在 y 轴右侧的图形, 再按图形 关于y轴对称, 画出y轴左侧的 图形. 如左图:
(3)
2 y 0是曲线的一条水平渐近线
x
当x 时, lim
x2 令 2
1
e
x2 2
0
(4) f ( x )
x 2
e
0, 得唯一驻点 x 0
x2 令 2
f ( x )
( x 1)( x 1) 2
e

0, 得 x 1.
3
用点 x 1将区间 [0， )分成两个子区间 (0,1)与 (1, ), 并列表如下：
y xe x 的
1
2
x
单调性、极值、极值点、凹
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令f ( x) 0, 得x 0.列表讨论如下 :
x
f ( x) f ( x)
0 0 拐点
(0, 1) – –
1
(1, 2) – +
2 0 极小值
y 4 3 2 1 –2 –1 o
(2, )
+ +
ƒ(x)
间断
由对称性知, 点(0, 0)为拐点.
(5)由以上讨论, 结合ƒ(x)的奇偶 性, 就可画出函数的完整图形. 作业: 讨论函数 性及拐点.
1
(3)求 f ( x) 0 和 f ( x) 0 在函数定义域内的全部 实根及 f ( x) 和 f ( x) 不存在的点, 并用这些根和点
把函数的定义域分成几个子区间, 以确定函数的单
调区间、凹性区间、极值和拐点. (4)根据需要, 在各部分子区间内选取图形上的关键 点(如极值点、拐点与坐标轴之交点及间断点等), 并 补充一些各部分区间内的特殊点, 有利于决定图形变 化趋势的点.
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(3)当x 1时, y , 所以 x 1 是一条铅垂渐近线. b2 4ac
a lim f ( x) 2 lim(1 2 )1 x x x x 1 2x 而b lim[ f ( x ) ax ] lim( x 2 x) 0 x x x 1
y x是曲线的一条斜渐近线 4 x( x 2 3) 2 x2 2 x4 4 x2 1 f ( x ) (4) f ( x ) 1 2 2 2 2 ( x 2 1)3 ( x 1) ( x 1)
6
令f ( x ) 0, 得x 2 5 2( y 3)
y 0.4 0.3 0.2 0.1 o
•
•
–2 –1
•
1 2
5
x
例32 作函数
f ( x) x
2x x2 1
的图形.
解 (1)定义域 D (, 1) (1,1) (1, ) (2) x = ±1 为无穷间断点. 而ƒ(–x) = –ƒ(x),则ƒ(x)为奇函数, 其图形关于原点对称, 从而只讨论ƒ(x)在 (0,1) (1, ) 的情形.
§4.6 函数作图的基本步骤与方法 利用函数的性态如函数的单调性、极值、凹性、 拐点、渐近线及基本性质如周期性、对称性等; 再 利用描点(特殊选点)作图,就可比较准确地作出函数图 形. 描绘函数图形的一般步骤是: (1)确定函数 y = ƒ(x) 的定义域, 讨论其周期性和对称性;
(2)确定曲线的渐近线;