黑龙江省高考数学一模试卷(理科)A卷
2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷(理科)-含详细解析
2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（理科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.设集合A={-1，0，1}，B={x|2x＞2}，则A∩B=（）A. B. C. D.3.若x，y满足不等式组，则z=2x-3y的最小值为（）A. B. C. D.4.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），若e=p，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A. B. C. D.6.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2，a7=15，则{a n}的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.运行如图程序，则输出的S的值为（）A. 0B. 1C. 2018D. 20178.已知函数f（x）=ln（x+1）-ax，若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，则实数a的值为（）A. B. C. 1 D. 29.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AB1D=，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=cos x-sin x在（0，α）上是单调函数，且f（α）≥-1，则α的取值范围为（）A. B. C. D.11.已知半圆C：x2+y2=1（y≥0），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ=，则t的取值范围是（）A. B.C. D.12.在边长为2的菱形ABCD中，BD=2，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B-AC-D的余弦值为，则所得三棱锥A-BCD的内切球的表面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知cosα=-，则cos2α=______．14.在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为______（用数字作答）．15.已知函数f（x）是奇函数，且0≤x1＜x2时，有＜1，f（-2）=1，则不等式x-3≤f（x）≤x的解集为______．16.已知数列{a n}的前n项和S n满足，S n=3a n-2，数列{na n}的前n项和为T n，则满足T n＞100的最小的n值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且S=bc cos A，C=．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若c=，求S的值．18.如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，PA⊥BD，AB=2，PA=PD=CD=BC=1．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．19.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）将学生日均体育锻炼时间在，）的学生评价为锻炼达标．（Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表；并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d临界值表20.已知O为坐标原点，椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线y=-与椭圆C相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l：y=k（x+c）与椭圆C相交于E，D两点，使得（）＜1？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由！21.已知函数f（x）=e x-ax．（Ⅰ）若函数f（x）在x∈（，2）上有2个零点，求实数a的取值范围．（注e3＞19）（Ⅱ）设g（x）=f（x）-ax2，若函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2证明：＜．22.已知曲线C1的参数方程为（α为参数），P是曲线C1上的任一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹为C2．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：sinθ-cosθ=交曲线C2于M，N两点，求|MN|．23.已知函数f（x）=|x-2|．（Ⅱ）对a+b=1（a，b＞0）及∀x∈R，不等式f（x-m）-（-x）≤恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．【解答】解：=．故选：B．2.【答案】A【解析】【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义．【解答】解：B={x|x＞1}；∴A∩B=∅．故选：A．3.【答案】D【解析】解：画出x，y满足不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数z=2x-3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）当目标函数过点A时，z取得最小值，∴z的最小值为2×2-3×3=-5．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．4.【答案】A【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p=2，又e=p，所以e==2，可得c2=4a2=a2+b2，可得：b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y=±．故选：A．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用．5.【答案】B【解析】解：图标第一部分的面积为8×3×1=24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32=9π，图标第三部分的面积为π×22=4π，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，若S4=3S2，a7=15，则4a1+6d=3（2a1+d），a1+6d=15，解可得a1=3，d=2；故选：B．解可得d的值，即可得答案．本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2017+（sin+sin）+（sin+sin）+…+（sin+sin）的值，可得：S=2017+（sin+sin）+（sin+sin）+…+（sin+sin）=2017．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】B【解析】解：f （x）的定义域为（-1，+∞），因为f′（x）=-a，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，可得1-a=2，解得a=-1，故选：B．求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．9.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=a，则A（1，0，0），D（0，0，0），=（-1，-a，-1），=（0，-a，-1），∵∠AB1D=，∴cos==，解得a=，B1（1，，1），B（1，0），C1（0，，1），=（0，），=（-1，0，1），设直线AB1与BC1所成角为θ，则cosθ===．∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与BC1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cosx-sinx=2cos（x+）在（0，α）上是单调函数，∴+α≤π，∴0＜α≤．又f（α）≥-1，即 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，∴α∈（0，]，故选：C．利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，由此可得α的取值范围．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|=|t|，由于BP与x轴垂直，且∠BPQ=，则在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=|t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值-，则t 取得最小值-，t=0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为[-，0）]；故选：A．根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：如下图所示，易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND是二面角B-AC-D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，可得BO⊥平面ACD．因为在△BDN中，，所以，BD2=BN2+DN2-2BN•DN•cos∠BND=，则BD=2．故三棱锥A-BCD为正四面体，则其内切球半径．因此，三棱锥A-BCD的内切球的表面积为．故选：C．作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B-AC-D的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥B-ACD为正四面体，根据内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．13.【答案】【解析】解：∵cosα=-，∴cos2α=2cos2α-1=2×（-）2-1=．故答案为：．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】120【解析】解：（2+x）5的展开式的通项是，所以在（1+x）（2+x）5=（2+x）5+x（2+x）5的展开式中，含x3的项为，所以x3的系数为120．故答案为：120．根据（2+x）5的展开式的通项公式，计算在（1+x）（2+x）5的展开式中含x3的项是什么，从而求出x3的系数．本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．15.【答案】[0，2]【解析】解：由x-3≤f（x）≤x等价为-3≤f（x）-x≤1设g（x）=f（x）-x，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（-x）=-f（x），则有g（-x）=f（-x）-（-x）=-f（x）+x=-[f（x）-x]=-g（x），即函数g（x）为R上的奇函数，则有g（0）=0；又由对任意0≤x1＜x2时，有＜1，则==-1，∵＜1，∴=-1＜0，即g（x）在[0，+∞）上为减函数，∵g（x）是奇函数，∴g（x）在（-∞，+∞）上为减函数，∵f（-2）=1，∴g（-2）=f（-2）-（-2）=1+2=3；g（2）=-3，g（0）=f（0）-1=-1，则-3≤f（x）-x≤1等价为g（2）≤g（x）≤g（0），∵g（x）是减函数，∴0≤x≤2，即不等式x-3≤f（x）≤x的解集为[0，2]；故答案为：[0，2]．根据条件构造函数g（x）=f（x）-x，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．16.【答案】7【解析】解：根据题意，数列{a n}满足S n=3a n-2，①当n≥2时，有S n-1=3a n-1-2，②，①-②可得：a n=3a n-3a n-1，变形可得2a n=3a n-1，当n=1时，有S1=a1=3a1-2，解可得a1=1，则数列{a n}是以a1=1为首项，公比为的等比数列，则a n=（）n-1，数列{na n}的前n项和为T n，则T n=1+2×+3×（）2+……+n×（）n-1，③则有T n=+2×（）2+3×（）3+……+n×（）n，④③-④可得：-T n=1+（）+（）2+……×（）n-1-n×（）n=-2（1-）-n×（）n，变形可得：T n=4+（2n-4）×（）n，若T n＞100，即4+（2n-4）×（）n＞100，分析可得：n≥7，故满足T n＞100的最小的n值为7；故答案为：7．根据题意，将S n=3a n-2变形可得S n-1=3a n-1-2，两式相减变形可得2a n=3a n-1，令n=1求出a1的值，即可得数列{a n}是以a1=1为首项，公比为的等比数列，即可得数列{a n}的通项公式，进而可得T n=1+2×+3×（）2+……+n×（）n-1，由错位相减法分析求出T n的值，若T n＞100，即4+（2n-4）×（）n＞100，验证分析可得n的最小值，即可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析数列{a n}的通项公式，属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵S=bc sin A=bc cos A，∴sin A=2cos A，可得：tan A=2，∵△ABC中，A为锐角，又∵sin2A+cos2A=1，∴可得：sin A=，cos A=，又∵C=，∴cos B=-cos（A+C）=-cos A cos C+sin A sin C=-，（Ⅱ）在△ABC中，sin B==，由正弦定理，可得：b==3，∴S=bc cos A=3．【解析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得tanA=2，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，cosA，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosB的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理可得b的值，即可得解S的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵AB∥CD，∠BCD=，PA=PD=CD=BC=1，∴BD=，∠ABC=，，∴，∵AB=2，∴AD=，∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵PA⊥BD，PA∩AD=A，∴BD⊥平面PAD，∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．解：（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO=，由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，，0），B（，，0），C（-，，0），P（0，0，），=（-1，0，0），=（-，，），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=，得=（0，，），∵=（，，-），∴cos＜，＞==-，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用职权向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．K2==≈6.061＞5.021．（6分）所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．（Ⅱ）（i）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2．则P（（X=0）==，P（（X=1）==，P（（X=2）==，可得X的分布列为：可得数学期望E（X）=0×+1×+2×=．【解析】（I）列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判定定理即可得出结论．（Ⅱ）（i）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．本题考查了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵在=1（a＞b＞0）中，令x=c，可得y=±，∵过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，∴=3，∵直线y=-与椭圆C相切，∴b=，∴a=2∴a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c=1，则直线l的方程为y=k（x+1），联立，可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，则△=64k4-4（4k2+3）（4k2-12）=144（k2+1）＞0，∴x1+x2=-，x1x2=，∴y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=-，∵（）＜1，∴•＜1，∴（x2-1，y2）（x1-1，y1）=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2＜1，即++1-＜1，整理可得k2＜4，解得-2＜k＜2，∴直线l存在，且k的取值范围为（-2，2）．【解析】（Ⅰ）由题意可得=3，以及直线y=-与椭圆C相切，可得b=，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=0，得a=，令h（x）=，x∈（，2），h′（x）=，故h（x）在（，1）递减，在（1，2）递增，又h（）=2，h（2）=，h（1）=e，故h（2）＞h（），故a∈（e，2）；（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2=e x-ax-ax2，故g′（x）=e x-2ax-a，∵x1，x2是函数g（x）的两个不同的极值点（不妨设x1＜x2），易知a＞0（若a≤0，则函数f（x）没有或只有1个极值点，与已知矛盾），且g′（x1）=0，g′（x2）=0，故-2ax1-a=0，-2ax2-a=0，两式相减得2a=，于是要证明＜ln（2a），即证明＜，两边同除以，即证（x1-x2）＞-1，即证（x1-x2）-+1＞0，令x1-x2=t（t＜0），即证不等式t-e t+1＞0，当t＜0时恒成立，设h（t）=t-e t+1，则h′（t）=-[-（+1）]，设k（t）=-（+1），则k′（t）=（-1），当t＜0时，k′（t）＜0，k（t）递减，故k（t）＞k（0）=0，即-（+1）＞0，故h′（t）＜0，故h（t）在t＜0时递减，h（t）在t=0处取最小值h（0）=0，故h（t）＞0得证，故＜．【解析】（Ⅰ）问题转化为a=，令h（x）=，x∈（，2），根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）求出2a=，问题转化为证（x1-x2）-+1＞0，令x1-x2=t（t＜0），即证不等式t-e t+1＞0，当t＜0时恒成立，设h（t）=t-e t+1，则h′（t）=-[-（+1）]，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得（x-3）2+（y-1）2=4，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），则PQ中点的轨迹方程为（2x-3）2+（y-1）2=4．（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为y-x=1，∴联立y-x=1与（2x-3）2+（y-1）2=4得x=，∴|MN|==．【解析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得圆C1的普通方程，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），将P的坐标代入C1的方程即可得；（Ⅱ）先把l的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入C2的直角坐标方程可得M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长|MN|．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）+f（2x+1）=|x-2|+|2x-1|=，＜，，＞当x＜时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当≤x≤2时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1][3，+∞）．（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（a+b）（+）=5++≥5+2=9，∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，∴-13≤m≤5．【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出+的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。
黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第一次模拟考试(3月)数学(理)试卷(解析版)
2019年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.A.B.C.D.【答案】B 【解析】解：．故选：B ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2. 设集合0，，，则A. B. C.D.【答案】A 【解析】解：；．故选：A ．可解出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义．3. 若x ，y 满足不等式组，则的最小值为A.B.C.D.【答案】D【解析】解：画出x ，y 满足不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数知，，，当目标函数过点A 时，z 取得最小值， 的最小值为．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.已知双曲线的离心率为e，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线C的渐近线方程为B. C. D.A.【答案】A【解析】解：抛物线的焦点坐标为，则，又，所以，可得，可得：，所以双曲线的渐近线方程为：．故选：A．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用．5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：图标第一部分的面积为，图标第二部分的面积和第三部分的面积为，图标第三部分的面积为，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6.设等差数列的前n项和为，且，，则的公差为A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】解：根据题意，设等差数列的公差为d，若，，则，，解可得，；故选：B．根据题意，设等差数列的公差为d，分析可得，，解可得d的值，即可得答案．本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．7.运行如图程序，则输出的S的值为A. 0B. 1C. 2018D. 2017【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，可得：．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数a的值为A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】解：f的定义域为，因为，曲线在点处的切线方程为，可得，解得，故选：B．求出函数的导数，利用切线方程通过，求解即可；本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．在长方体中，，，则直线与所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设，则0，，0，，a，，，，，，解得，，，，，0，，设直线与所成角为，则．直线与所成角的余弦值为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.已知函数在上是单调函数，且，则的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：函数在上是单调函数，，．又，即，则，，故选：C．利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得，则，由此可得的取值范围．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．9.已知半圆C：，A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使，则t的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则，由于BP与x轴垂直，且，则在中，，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，有最大值2，有最大值，则t取得最小值，时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为；故选：A．根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在中，，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析的最值，即可得t的范围，综合可得答案．本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．10.在边长为2的菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：如下图所示，易知和都是等边三角形，取AC的中点N，则，．所以，是二面角的平面角，过点B作交DN于点O，可得平面ACD．因为在中，，所以，，则．故三棱锥为正四面体，则其内切球半径．因此，三棱锥的内切球的表面积为．故选：C．作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出，，可得出二面角的平面角为，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥为正四面体，根据内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.已知，则______．【答案】【解析】解：，．故答案为：．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．12.在的展开式中，的系数为______用数字作答．【答案】120【解析】解：的展开式的通项是，所以在的展开式中，含的项为，所以的系数为120．故答案为：120．根据的展开式的通项公式，计算在的展开式中含的项是什么，从而求出的系数．本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．13.已知函数是奇函数，且时，有，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】解：由等价为设，又由函数是定义在R上的奇函数，则有，则有，即函数为R上的奇函数，则有；又由对任意时，有，则，，，即在上为减函数，是奇函数，在上为减函数，，；，，则等价为，是减函数，，即不等式的解集为；故答案为：．根据条件构造函数，判断函数的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数，利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．14.已知数列的前n项和满足，，数列的前n项和为，则满足的最小的n值为______．【答案】7【解析】解：根据题意，数列满足，当时，有，，可得：，变形可得，当时，有，解可得，则数列是以为首项，公比为的等比数列，则，数列的前n项和为，则，则有，可得：，变形可得：，若，即，分析可得：，故满足的最小的n值为7；故答案为：7．根据题意，将变形可得，两式相减变形可得，令求出的值，即可得数列是以为首项，公比为的等比数列，即可得数列的通项公式，进而可得，由错位相减法分析求出的值，若，即，验证分析可得n的最小值，即可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析数列的通项公式，属于基础题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）15.已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，的面积为S，且，．Ⅰ求的值；Ⅱ若，求S的值．【答案】解：Ⅰ，，可得：，中，A为锐角，又，可得：，，又，，Ⅱ在中，，由正弦定理，可得：，．【解析】Ⅰ由已知利用三角形面积公式可得，利用同角三角函数基本关系式可求，，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求的值．Ⅱ利用同角三角函数基本关系式可求，利用正弦定理可得b的值，即可得解S的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.如图，四棱锥中，，，，，．Ⅰ求证：平面平面ABCD；Ⅱ求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ，，，，，，，，，，，，，平面PAD，平面ABCD，平面平面ABCD．解：Ⅱ取AD中点O，连结PO，则，且，由平面平面ABCD，知平面ABCD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，0，，0，，，设平面PBC的法向量y，，则，取，得，，，直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出，，从而平面PAD，由此能证明平面平面ABCD．Ⅱ取AD中点O，连结PO，则，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用职权向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17.某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：平均每天锻炼的时间单位：分钟时间将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”．Ⅰ请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表；并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？Ⅱ在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，求这10人中，男生、女生各有多少人？从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．参考公式：，其中临界值表．所以在犯错误的概率不超过的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关分Ⅱ在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2．则X可得数学期望．【解析】列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判定定理即可得出结论．Ⅱ在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．本题考查了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知O为坐标原点，椭圆C：的左、右焦点分别为，，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，直线与椭圆C相切．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ是否存在直线l：与椭圆C相交于E，D两点，使得？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】解：Ⅰ在中，令，可得，过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，，直线与椭圆C相切，，，．故椭圆C的方程为；Ⅱ由Ⅰ可知，则直线l的方程为，联立，可得，则，，，，，，，即，整理可得，解得，直线l存在，且k的取值范围为．【解析】Ⅰ由题意可得，以及直线与椭圆C相切，可得，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；Ⅱ联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．19.已知函数．Ⅰ若函数在上有2个零点，求实数a的取值范围注Ⅱ设，若函数恰有两个不同的极值点，证明：．【答案】解：Ⅰ由，得，令，，，故在递减，在递增，又，，，故，故；Ⅱ，故，，是函数的两个不同的极值点不妨设，易知若，则函数没有或只有1个极值点，与已知矛盾，且，，故，，两式相减得，于是要证明，即证明，两边同除以，即证，即证，令，即证不等式，当时恒成立，设，则，设，则，当时，，递减，故，即，故，故在时递减，在处取最小值，故得证，故．【解析】Ⅰ问题转化为，令，，根据函数的单调性求出a的范围即可；Ⅱ求出，问题转化为证，令，即证不等式，当时恒成立，设，则，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思想，是一道综合题．20.已知曲线的参数方程为为参数，P是曲线上的任一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹为．Ⅰ求曲线的直角坐标方程；Ⅱ以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l：交曲线于M，N两点，求．【答案】解：Ⅰ利用消去可得，设PQ的中点坐标为，则P点坐标为，则PQ中点的轨迹方程为．Ⅱ直线的直角坐标方程为，联立与得，．【解析】Ⅰ利用消去可得圆的普通方程，设PQ的中点坐标为，则P点坐标为，将P的坐标代入的方程即可得；Ⅱ先把l的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入的直角坐标方程可得M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．21.已知函数．Ⅰ解不等式；Ⅱ对及，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ当时，由，解得；当时，不成立；当时，由，解得．所以不等式的解集为．Ⅱ，，，对于，恒成立等价于：对，，即，．【解析】Ⅰ根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．Ⅱ利用1的代换，结合基本不等式先求出的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。
哈尔滨市高考数学一模试卷(理科)A卷
哈尔滨市高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设集合A={x|﹣1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B=（）A . {1，2，3}B . {0，1，2，3}C . {2}D . {﹣1，0，1，2，3}2. （2分）在复平面内，复数对应的点的坐标为（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·广元模拟) 现用随机模拟方法近似计算积分 dx，先产生两组（每组1000个）在区间[0，2]上的均匀随机数x1 ， x2 ， x3 ，…，x1000和y1 ， y2 ， y3 ，…，y1000 ，由此得到1000个点（xi ， yi）（i=1，2，…，1000），再数出其中满足 + ≤1（i=1，2，…，1000）的点数400，那么由随机模拟方法可得积分 dx的近似值为（）A . 1.4B . 1.6C . 1.8D . 2.04. （2分） (2017高二上·衡阳期末) 执行如图所示的程序框图，则输出的a值为（）A . ﹣3B .C . ﹣D . 25. （2分） (2017高一下·西安期中) 下列不等式中正确的是（）A . sin π＞sin πB . tan π＞tan（﹣）C . sin（﹣）＞sin（﹣）D . cos（﹣π）＞cos（﹣π）6. （2分）(2017·嘉兴模拟) 函数f（x）=（）x﹣x2的大致图象是（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·乾安期中) 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（）A . y=x+1B . y=﹣x2C . y=x|x|D . y=x﹣18. （2分） (2016高一下·舒城期中) 等差数列{an}的前n项和为Sn ，若S2=2，S4=10，则S6等于（）A . 12B . 18C . 24D . 429. （2分）(2016·安徽) 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A . 必要不充分条件B . 充分不必要条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2017高二下·太和期中) 如图，F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l交C于A、B两点，若C的离心率为，|AB|=|AF2|，则直线l的斜率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高一上·平坝期中) 假如国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 200 km的某地，他应付的邮资是（）A . 5.00元B . 6.00元C . 7.00元D . 8.00元12. （2分）已知函数，若，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·张家口期末) 若向量 =（0，1），| |=| |，• = ，则||=________．14. （1分） (2016高一下·河源期末) 已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为________．15. （1分）若（1+x）n=1+a1x+a2x2+a3x3+…+xn（n∈N*），且a1：a3=1：2，则n=________．16. （1分）函数f（x）=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为________三、解答题 (共7题；共55分)17. （5分） (2017高一下·长春期末) 在△ABC中，=60°，c= a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.18. （10分） (2018高三上·双鸭山月考) 已知数列与，若且对任意正整数满足数列的前项和．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和19. （5分）佛山某中学高三（1）班排球队和篮球队各有10名同学，现测得排球队10人的身高（单位：cm）分别是：162、170、171、182、163、158、179、168、183、168，篮球队10人的身高（单位：cm）分别是：170、159、162、173、181、165、176、168、178、179．（Ⅰ）请把两队身高数据记录在如图4所示的茎叶图中，并指出哪个队的身高数据方差较小（无需计算）；（Ⅱ）利用简单随机抽样的方法，分别在两支球队身高超过170cm的队员中各抽取一人做代表，设抽取的两人中身高超过178cm的人数为X，求X的分布列和数学期望．20. （10分） (2018高二下·南宁月考) 已知椭圆的左，右焦点分别为F1 ， F2 ，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M.（1）求点M的轨迹的方程；（2）设与x轴交于点Q，上不同于点Q的两点R、S，且满足，求的取值范围．21. （15分）(2016·大连模拟) 设函数f（x）=x2﹣aln（x+2），g（x）=xex ，且f（x）存在两个极值点x1、x2 ，其中x1＜x2 ．（1）求实数a的取值范围；（2）求g（x1﹣x2）的最小值；（3）证明不等式：f（x1）+x2＞0．22. （5分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数）．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，设曲线C′上任一点为M（x，y），求x+2y的最小值．23. （5分）解关于x的不等式：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。
2022年黑龙江省哈师大附中高考理科数学一模试卷及答案解析
2022年黑龙江省哈师大附中高考理科数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{x |x ≤0} B ．{x |0≤x ＜2或x ＞4} C ．{x |2≤x ≤4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4}2．（5分）已知向量a →与b →的夹角为2π3，|a →|=√2，则a →在b →方向上的投影为（ ）A ．√62B ．√22C ．−√22D ．−√623．（5分）已知S n 为等差数列{a n }的前n 项之和，且S 3＝15，S 6＝48，则S 9的值为（ ） A ．63 B ．81C ．99D ．1084．（5分）已知a =243，b =425，c =2513，则（） A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b5．（5分）已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．（5分）将函数y ＝sin （2x +π5）的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间[3π4，5π4]上单调递增B ．在区间[3π4，π]上单调递减C ．在区间[5π4，3π2]上单调递增D ．在区间[3π2，2π]上单调递减7．（5分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，AC ＝2√2，则异面直线BD 与AC 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8．（5分）某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为（ ） A ．2735B ．1335C ．935D ．6359．（5分）中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列．中国的目标是到2030年成为主要的太空大国．它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ） A ．24种B ．48种C ．96种D ．144种10．（5分）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F ，过其准线与x 轴的交点E 作直线l ，若直线l 与抛物线相切于点M ，则∠EMF ＝（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π311．（5分）已知椭圆C ：x 216+y 29=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的个数是（ ） （1）||+||=4；（2）存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°；（3）直线P A 1与直线P A 2的斜率之积为−916；（4）若△F 1PF 2的面积为2√7，则点P 的横坐标为±43√5． A ．1B ．2C ．3D ．412．（5分）已知函数f(x)=e xx2+2klnx −kx ，若x ＝2是函数f （x ）的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞，e 24]B ．(−∞，e 2]C ．（0，2]D ．[2，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上）13．（5分）若（1﹣2x ）2022＝a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2022x 2022，则a 12+a 222+⋯+a 202222022的值 ．14．（5分）已知圆的半径为2，在圆C 内随机取一点M ，则过点M 的所有弦的长度都大于2√3的概率为 ．15．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各顶点都在球O 的球面上，且AB ＝AC ＝1，BC =√3，若这个三棱柱的体积为√3，则球O 的表面积为 ． 16．（5分）已知椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1（a 1＞b 1＞0）与双曲线C 2：x 2a 22−y 2b 22=1（a 2＞b 2＞0）有相同的焦点F 1、F 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2，点P 为椭圆C 1与双曲线C 2的第一象限的交点，且∠F 1PF 2=π3，则1e 1+1e 2取最大值时e 1+e 2的值为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为p 2=41+3sin 2θ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =6t −my =√3t （t 为参数，m ∈R ）．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若曲线C 上的动点M 到直线l 的最大距离为6√1313，求m 的值．18．（12分）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： （Ⅰ）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布； （Ⅱ）他能过关的概率．19．（12分）已知数列{a n }是等差数列，{b n }是递增的等比数列，且a 1＝1，b 1＝2，b 2＝2a 2，b 3＝3a 3﹣1．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若c n ＝2a n(b n −1)(b n+1−1)，求数列{c n }的前n 项和S n ．20．（12分）如图，AD ∥BC 且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，EG ∥AD 且EG ＝AD ，CD ∥FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2．（Ⅰ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ； （Ⅱ）求二面角E ﹣BC ﹣F 的正弦值；（Ⅲ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长．21．（12分）已知函数f(x)=x 22−a(x −1)+(a −1)lnx ，a ＞2．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若f （m ）＝f （1）且m ＞1，证明：∀x ∈（1，m ），（a ﹣1）lnx ＞x ﹣1． 22．（12分）如图，已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2√2，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，C 、D 在椭圆Γ上，点D 在第一象限，CB 的延长线交椭圆Γ于点E ，直线AE 与椭圆Γ、y 轴分别交于点F 、G ，直线CG 交椭圆于点H ，联结FH ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线AE 、CG 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；（3）求直线FH 的斜率k 的最小值．2022年黑龙江省哈师大附中高考理科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．{x |x ≤0} B ．{x |0≤x ＜2或x ＞4} C ．{x |2≤x ≤4}D ．{x |0＜x ≤2或x ≥4}【解答】解：∵集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}， ∴∁R B ＝{x |x ＜2或x ＞4}，A ∩（∁RB ）＝{x |0≤x ＜2或x ＞4}． 故选：B ．2．（5分）已知向量a →与b →的夹角为2π3，|a →|=√2，则a →在b →方向上的投影为（ ）A ．√62B ．√22C ．−√22D ．−√62【解答】解：因为向量a →与b →的夹角为2π3，|a →|=√2，则a →在b →方向上的投影为，|a →|cos2π3=−√2×12=−√22； 故选：C ．3．（5分）已知S n 为等差数列{a n }的前n 项之和，且S 3＝15，S 6＝48，则S 9的值为（ ） A ．63B ．81C ．99D ．108【解答】解：依题意，数列{a n }为等差数列， 所以S 3，S 6﹣S 3，S 9﹣S 6也成等差数列， 又S 3＝15，S 6﹣S 3＝48﹣15＝33，所以S 9﹣S 6＝2（S 6﹣S 3）﹣S 3＝66﹣15＝51， 所以S 9＝S 3+S 6﹣S 3+S 9﹣S 6＝15+33+51＝99． 故选：C ．4．（5分）已知a =243，b =425，c =2513，则（ ） A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b【解答】解：∵a =243=423，b =425=（22）25=245＜243＜a ，c =2513=523＞423=243=a ，综上可得：b ＜a ＜c ， 故选：A ．5．（5分）已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【解答】解：圆的标准方程为M ：x 2+（y ﹣a ）2＝a 2（a ＞0）， 则圆心为（0，a ），半径R ＝a ， 圆心到直线x +y ＝0的距离d =√2， ∵圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2， ∴2√R 2−d 2=2√a 2−a 22=2√a 22=2√2，即√a22=√2，即a 2＝4，a ＝2，则圆心为M （0，2），半径R ＝2，圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的圆心为N （1，1），半径r ＝1， 则MN =√12+12=√2， ∵R +r ＝3，R ﹣r ＝1， ∴R ﹣r ＜MN ＜R +r ， 即两个圆相交． 故选：B ．6．（5分）将函数y ＝sin （2x +π5）的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间[3π4，5π4]上单调递增B ．在区间[3π4，π]上单调递减C ．在区间[5π4，3π2]上单调递增D ．在区间[3π2，2π]上单调递减【解答】解：将函数y ＝sin （2x +π5）的图象向右平移π10个单位长度，得到的函数为：y ＝sin2x ，增区间满足：−π2+2k π≤2x ≤π2+2kπ，k ∈Z ， 减区间满足：π2+2kπ≤2x ≤3π2+2kπ，k ∈Z ， ∴增区间为[−π4+k π，π4+k π]，k ∈Z ， 减区间为[π4+k π，3π4+k π]，k ∈Z ，∴将函数y ＝sin （2x +π5）的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数在区间[3π4，5π4]上单调递增．故选：A ．7．（5分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，AC ＝2√2，则异面直线BD 与AC 所成的角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【解答】解：取BC 1中点E ，连接DE ，BE ，∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 为A 1B 1的中点，∴DE ∥AC ，∴∠BDE 是异面直线BD 与AC 所成的角（或所成角的补角）， ∵AB ＝BC ＝2，BB 1＝1，AC ＝2√2，∴DE =12AB =√2，BD ＝BE =√12+12=√2， ∴△BDE 是等边三角形，∴∠BDE ＝60°， ∴异面直线BD 与AC 所成的角为60°． 故选：C ．8．（5分）某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为（ ） A ．2735B ．1335C ．935D ．635【解答】解：某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动， 现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数n =C 84=70，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数m =C 41C 22C 32C 21C 21+C 42C 22C 22=54，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为P =m n =5470=2735． 故选：A ．9．（5分）中国航天工业迅速发展，取得了辉煌的成就，使我国跻身世界航天大国的行列．中国的目标是到2030年成为主要的太空大国．它通过访问月球，发射火星探测器以及建造自己的空间站，扩大了太空计划．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ） A ．24种B ．48种C ．96种D ．144种【解答】解：首先将程序B 和C 捆绑在一起，再和除程序A 之外的3个程序进行全排列，最后将程序A 排在第一步或最后一步， 根据分步计数原理可得A 22A 44A 21＝96种． 故选：C ．10．（5分）已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F ，过其准线与x 轴的交点E 作直线l ，若直线l 与抛物线相切于点M ，则∠EMF ＝（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【解答】解：（1）由题意可得E （−p2，0），设切点M （ y 022p ，y 0），y 0＞0，则k EM =y 0y 022p +p2=2py 0y 02+p 2，所以过切点M 的切线方程为x =y 02+p 22py 0y −p 2，代入抛物线的方程可得y 2−y 02+p 2y 0y +p 2＝0，所以Δ＝（−y 02+p 2y 0）2﹣4p 2＝0，可得（y 02﹣p 2）2＝0，所以y 0＝p ，x 0=p2，即M （p 2，p ），所以MF ⊥x 轴，|MF |＝|EF |， 所以∠EMF =π4． 故选：C ．11．（5分）已知椭圆C ：x 216+y 29=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的个数是（ ） （1）||+||=4；（2）存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°；（3）直线P A 1与直线P A 2的斜率之积为−916；（4）若△F 1PF 2的面积为2√7，则点P 的横坐标为±43√5．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由椭圆C ：x 216+y 29=1的方程可得a 2＝16，b 2＝9，即a ＝4，b ＝3，c =√a 2−b 2=√16−9=√7，所以由题意可得|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝8，故（1）不正确；因为c ＜b ，所以以焦点为直径的圆与椭圆无交点，即不存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°，故（2）不正确；由椭圆的方程可得A 1（﹣4，0），A 2（4，0），设P （x ，y ），则x 216+y 29=1，所以k PA 1•kPA 2=y x+4⋅y x−4=y 2x 2−16=9(1−x 216)x 2−16=−916，故（3）正确； S△F 1PF 2=12•|F 1F 2|•|y P |=12•2√7•|y P |＝2√7，可得|y P |＝2，代入椭圆的方程可得x P 216+49=1，解得|x P |=4√53，即x P ＝±4√53，所以（4）正确； 故选：B ．12．（5分）已知函数f(x)=e xx2+2klnx −kx ，若x ＝2是函数f （x ）的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(−∞，e 24]B ．(−∞，e2]C ．（0，2]D ．[2，+∞）【解答】解：∵函数f （x ）的定义域是（0，+∞），∴f ′（x ）=e x (x−2)x 3+2k x −k =(e x−kx 2)(x−2)x 3， ∵x ＝2是函数f （x ）的唯一一个极值点，∴x ＝2是导函数f ′（x ）＝0的唯一根， ∴e x ﹣kx 2＝0在（0，+∞）无变号零点， 即k =e x x 2在x ＞0上无变号零点，令g （x ）=e x x 2， 因为g '（x ）=e x (x−2)x 3， 所以g （x ）在（0，2）上单调递减，在x ＞2 上单调递增， 所以g （x ）的最小值为g （2）=e 24， 所以必须k ≤e 24，故选：A ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上） 13．（5分）若（1﹣2x ）2022＝a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2022x2022，则a 12+a 222+⋯+a 202222022的值 ﹣1 ．【解答】解：当x ＝0时，a 0＝1，当x =12时，a 0+a 12+a 222+⋯+a202222022=0， ∴a 12+a 222+⋯+a 202222022=−1．故答案为：﹣1．14．（5分）已知圆的半径为2，在圆C 内随机取一点M ，则过点M 的所有弦的长度都大于2√3的概率为14．【解答】解：根据题意，如图，要使过点M 的所有弦都大于2√3，必有|OM |＜1， 所以点M 在以O 为圆心，1为半径的圆的内部，所以过点M 的所有弦的长度都大于2√3的概率P =π4π=14； 故答案为：14．15．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各顶点都在球O 的球面上，且AB ＝AC ＝1，BC =√3，若这个三棱柱的体积为√3，则球O的表面积为20π．【解答】解：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2，可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C，△ABC中，cos A=AB2+AC2−BC22AB×AC=−12，∵A∈（0，π），∴A=2π3，∴S△ABC=12×AB×AC×sin A=12×1×1×sin2π3=√34，∴三棱柱的体积为√3，∴S△ABC×OO1=√3，∴OO1＝4，根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O1A=BC2sinA=1，∴球O的半径R＝OA=√22+12=√5，∴球O的表面积为4πR2＝20π．故答案为：20π．16．（5分）已知椭圆C1：x2a12+y2b12=1（a1＞b1＞0）与双曲线C2：x2a22−y2b22=1（a2＞b2＞0）有相同的焦点F1、F2，椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2，点P为椭圆C1与双曲线C2的第一象限的交点，且∠F1PF2=π3，则1e1+1e2取最大值时e1+e2的值为4√33．【解答】解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由椭圆的定义得m+n＝2a1①，由双曲线的定义得|m﹣n|＝2a2②，①2+②2得，m2+n2＝2（a12+a22），①2﹣②2得，mn＝a12﹣a22，由余弦定理可得（2c）2＝m2+n2﹣2mn cos∠F1PF2，所以a 12+3a 22＝4c 2③， 设a 1＝2c cos θ，a 2=2√33c •sin θ， 所以1e 1+1e 2=a 1c +a 2c=2cos θ+2√33sin θ=4√33sin （θ+π3）， 当θ+π3=2k π+π2（k ∈Z ）即θ=π6+2k π时，1e 1+1e 2最大值为4√33， 此时，e 1+e 2=c a 1+c a 2=12cosθ+2√33sinθ=12cos(π6+2kπ)2√33sin(π6+2kπ)=√33+√3=4√33． 故答案为：4√33． 三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为p 2=41+3sin 2θ，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为{x =6t −my =√3t （t 为参数，m ∈R ）．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若曲线C 上的动点M 到直线l 的最大距离为6√1313，求m 的值．【解答】解：（1）曲线的极坐标方程为p 2=41+3sin 2θ，转换为直角坐标方程为：x 2+4y 2＝4， 整理得：x 24+y 2=1，直线l 的参数方程为{x =6t −my =√3t （t 为参数，m ∈R ）．转换为直角坐标方程为：x ﹣2√3y +m ＝0， （2）把x 24+y 2=1转换为参数方程为：{x =2cosθy =sinθ（θ为参数），由于：线C 上的动点M （2cos θ，sin θ）到直线l 的最大距离为6√1313， 则：d =|2cosθ−2√3sinθ−m|√13=|4sin(θ+α)−m|√13，当m ＞0时，√13=6√1313， 解得：m ＝2， 当m ＜0时，√13=6√1313，解得：m ＝2（舍去）， 故：m ＝2．18．（12分）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： （Ⅰ）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布； （Ⅱ）他能过关的概率．【解答】解：（Ⅰ）记抽到他会背诵的古诗词的数量为X ，则X 的所有可能取值为0，1，2，3， 又P(X =k)=C 6k C 43−kC 103，k ＝0，1，2，3， 所以P(X =0)=C 43C 103=4120=130，P(X =1)=C 61C 42C 103=36120=310，P(X =2)=C 62C 41C 103=60120=12， P(X =3)=C 63C 103=20120=16， 故X 的分布列为：X 0123p1303101216（Ⅱ）他能过关的概率为P(X ≥2)=P(X =2)+P(X =3)=12+16=23．19．（12分）已知数列{a n }是等差数列，{b n }是递增的等比数列，且a 1＝1，b 1＝2，b 2＝2a 2，b 3＝3a 3﹣1．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）若c n ＝2a n(b n −1)(b n+1−1)，求数列{c n }的前n 项和S n ．【解答】解：（1）设数列{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q （q ≠1）的等比数列，由a 1＝1，b 1＝2，b 2＝2a 2，b 3＝3a 3﹣1． 可得2q ＝2（1+d ），2q 2＝3（1+2d ）﹣1， 解得d ＝0，q ＝1（舍去）或d ＝1，q ＝2， 则a n ＝1+n ﹣1＝n ，b n ＝2•2n ﹣1＝2n ；（2）c n ＝2a n(b n −1)(b n+1−1)=2n(2n −1)(2n+1−1)=12n −1−12n+1−1，则S n ＝1−122−1+122−1−123−1+123−1−124−1+⋯+12n −1−12n+1−1＝1−12n+1−1．20．（12分）如图，AD ∥BC 且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，EG ∥AD 且EG ＝AD ，CD ∥FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2．（Ⅰ）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ； （Ⅱ）求二面角E ﹣BC ﹣F 的正弦值；（Ⅲ）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长．【解答】（Ⅰ）证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA →、DC →、DG →的方向为x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．可得D （0，0，0），A （2，0，0），B （1，2，0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1，2），G （0，0，2），M （0，32，1），N （1，0，2）．设n 0→=(x ，y ，z)为平面CDE 的法向量，则{n 0→⋅DC →=2y =0n 0→⋅DE →=2x +2z =0，不妨令z ＝﹣1，可得n 0→=(1，0，−1)； 又MN →=(1，−32，1)，可得MN →⋅n 0→=0． 又∵直线MN ⊄平面CDE ， ∴MN ∥平面CDE ；（Ⅱ）解：依题意，可得BC →=(−1，0，0)，BE →=(1，−2，2)，CF →=(0，−1，2)． 设n →=(x ，y ，z)为平面BCE 的法向量，则{n →⋅BC →=−x =0n →⋅BE →=x −2y +2z =0，不妨令z ＝1，可得n →=(0，1，1)． 设m →=(x ，y ，z)为平面BCF 的法向量，则{m →⋅BC →=−x =0m →⋅CF →=−y +2z =0，不妨令z ＝1，可得m →=(0，2，1)． 因此有cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=3√1010，于是sin ＜m →，n →＞=√1010．∴二面角E ﹣BC ﹣F 的正弦值为√1010；（Ⅲ）解：设线段DP 的长为h ，（h ∈[0，2]），则点P 的坐标为（0，0，h ）， 可得BP →=(−1，−2，ℎ)，而DC →=(0，2，0)为平面ADGE 的一个法向量， 故|cos ＜BP →，DC →＞|=|BP →⋅CD →||BP →|⋅|DC →|=√ℎ+5．由题意，可得√ℎ2+5=sin60°=√32，解得h =√33∈[0，2]．∴线段DP 的长为√33．21．（12分）已知函数f(x)=x 22−a(x −1)+(a −1)lnx ，a ＞2．（1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若f （m ）＝f （1）且m ＞1，证明：∀x ∈（1，m ），（a ﹣1）lnx ＞x ﹣1． 【解答】（1）解：f （x ）的定义域是（0，+∞）， f ′（x ）＝x ﹣a +a−1x =(x−1)(x−a+1)x， 令f ′（x ）＝0，解得x ＝1或x ＝a ﹣1， ∵a ＞2，∴a ﹣1＞1，故f （x ）在（0，1）递增，在（1，a ﹣1）递减，在（a ﹣1，+∞）递增； （2）证明：令h （x ）＝lnx ﹣x +1，则h ′（x ）=1−xx， 由h ′（x ）＞0，解得0＜x ＜1，由h ′（x ）＜0，解得x ＞1， 故h （x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减， 故h （x ）≤h （1）＝0，即lnx ≤x ﹣1， 欲证：∀x ∈（1，m ），（a ﹣1）lnx ＞x ﹣1， 即证：∀x ∈（1，m ），a ﹣1＞x−1lnx， 令g （x ）=x−1lnx ，x ∈（1，m ），则g ′（x ）=lnx−1+1x (lnx)2，∵lnx ≤x ﹣1，∴lnx ﹣1+1x≥0，故g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，m ）单调递增， ∴g （x ）＜g （m ）=m−1lnm ，问题转化为只需证明a ﹣1＞m−1lnm ， ∵f （m ）＝f （1），∴m 22−a(m −1)+(a −1)lnm =12，可得a ﹣1=m 22+12−mm−1−lnm ，则需证明lnm ＞2(m−1)m+1，令H （x ）＝lnx −2(x−1)x+1（x ＞1），则H ′（x ）=(x−1)2x(x+1)2＞0，H （x ）在（1，+∞）单调递增，故H （x ）＞H （1）＝0，即lnx ＞2(x−1)x+1，从而证明结论成立． 22．（12分）如图，已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2√2，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，C 、D 在椭圆Γ上，点D 在第一象限，CB 的延长线交椭圆Γ于点E ，直线AE 与椭圆Γ、y 轴分别交于点F 、G ，直线CG 交椭圆于点H ，联结FH ．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设直线AE 、CG 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值；（3）求直线FH 的斜率k 的最小值．【解答】解：（1）因为椭圆的长轴长为4，焦距为2√2， 所以2a ＝4，2c ＝2√2， 解得a ＝2，c =√2， 所以b 2＝a 2﹣c 2＝2， 所以椭圆的方程为x 24+y 22=1．（2）证明：设A （x 0，0），B （﹣x 0，0），C （﹣x 0，y 0），D （x 0，y 0），E （﹣x 0，﹣y 0），所以k 1＝k AE =−y 0−x 0−x 0=y02x 0，直线AE 的方程为y =y 02x 0x −y02， 令x ＝0，得y G =−y 02， k 2＝k CG =y 0−(−y02)−x 0−0=−3y02x 0，所以k 1k 2=y 02x 0−3y 02x 0=−13，故k 1k 2为定值−13．（3）由（2）知直线CG 的方程为y =−3y 02x 0x −y 02， 将直线CG 与椭圆联立，得（1+9y 022x 02）x 2+3y 02x 0x +12y 02﹣4＝0， 所以x H +（﹣x 0）=−3y 02x 01+9y 022x 02，得x H =(2x 02+3y 02)x 02x 02+9y 02，所以H （(2x 02+3y 02)x 02x 02+9y 02，−(4x 02+9y 02)y 02x 02+9y 02），同理，将直线AE 的方程与椭圆的方程联立，可得（1+y 022x 02）x 2−y 02x 0x +12y 02﹣4＝0，所以﹣x 0+x F =y 02x 01+y 022x 02，解得x F =(2x 02+3y 02)x 02x 02+y 02，所F （(2x 02+3y 02)x 02x 02+y 02，y 032x 02+y 02），所以k =y H −yF x H −x F=−(4x 02+9y 02)y 02x 02+9y 02−y 022x 02+y 02(2x 02+3y 02)x 02x 02+9y 02−(2x 02+3y 02)2x 02+y 02=2x 02+3y 024y 02•y 0x 0≥2√6x 02y 024y 02•y 0x 0=√62，当且仅当2x 02＝3y 02时，取等号， 所以k min =√62．。
哈尔滨市高考数学一模试卷(理科)A卷(模拟)
哈尔滨市高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共10题；共20分)1. （2分）若复数x＋yi满足：（x，y∈R，i是虚数单位），则=（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·福建期末) 定义集合A={x|2x≥1}，B={y|y= }，则A∩∁RB=（）A . （1，+∞）B . [0，1]C . [0，1）D . [1，+∞）3. （2分）设函数f（x）=|sin（x+ ）|（x∈R），则f（x）（）A . 周期函数，最小正周期为πB . 周期函数，最小正周期为C . 周期函数，最小正周期为2πD . 非周期函数4. （2分） (2018高二上·宾县期中) 若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k的条件是A . ？B . ？C . ？D . ？5. （2分） (2018高三上·吉林月考) 下列命题中，为真命题的是（）A . ,使得B .C .D . 若命题P：，使得，则：，都有6. （2分） (2017高二上·长沙月考) 某公司10位员工的月工资（单位：元）为，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·太谷期中) 已知平面向量 =（3，1），，且，则x=（）A . ﹣3B . ﹣1C . 3D . 18. （2分） (2017高一下·济南期末) 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（）A .B .C .D .9. （2分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“k=1”是“|AB|=”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2018高一下·黑龙江期末) 四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题： (共5题；共5分)11. （1分）若（1+2x）n（n∈N*）二项式展开式中的各项系数之和为an ，其二项式系数之和为bn ，则=________．12. （1分） (2016高二下·静海开学考) 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．13. （1分）下列命题的否定为假命题的是________．①∀x∈R，﹣x2+x﹣1＜0；②∀x∈R，|x|＞x；③∀x，y∈Z，2x﹣5y≠12；④∃x∈R，Tsin2x+sinx+1=0．14. （1分）(2017·大庆模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的半径为________．15. （1分） (2016高一上·江阴期中) 若关于x的方程log |x+a|=|2x﹣1|有两个不同的负数解，则实数a的取值范围是________．三、解答题： (共6题；共55分)16. （5分）已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边，若△ABC面积为，c=2，A=60°，求a，b及角C的值．17. （5分） (2017高二下·莆田期末) 已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动《男生女生向前冲》．活动共有四关，若四关都闯过，则闯关成功，否则落水失败．设男生闯过一至四关的概率依次是，，，，女生闯过一至四关的概率依次是，，，．（Ⅰ）求男生甲闯关失败的概率；（Ⅱ）设X表示四人冲关小组闯关成功的人数，求随机变量X的分布列和期望．18. （10分）已知等比数列的公比，，是方程的两根．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．19. （10分） (2017高二下·河北开学考) 如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，PB=AB=BC=2，∠ABC=120°，，D为AC上一点，且AD=3DC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若E为PA中点，求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．20. （15分）(2017·长沙模拟) 已知f（x）=ax3﹣x2﹣x+b（a，b∈R，a≠0），g（x）= （e是自然对数的底数），f（x）的图象在x=﹣处的切线方程为y= ．（1）求a，b的值；（2）探究直线y= ．是否可以与函数g（x）的图象相切？若可以，写出切点的坐标，否则，说明理由；（3）证明：当x∈（﹣∞，2]时，f（x）≤g（x）．21. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 过椭圆 =1的右焦点F作斜率k=﹣1的直线交椭圆于A，B 两点，且共线．（1）求椭圆的离心率；（2）当三角形AOB的面积S△AOB= 时，求椭圆的方程．参考答案一、选择题： (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题： (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题： (共6题；共55分) 16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、。
2022年黑龙江省哈尔滨市高考理科数学一模试卷及答案解析
2022年黑龙江省哈尔滨市高考理科数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M ＝{x |（x ﹣a ）（x ﹣3）＝0}，N ＝{x |（x ﹣4）（x ﹣1）＝0}，则下列说法一定正确的是（ ）A ．若M ∪N ＝{1，3，4}，则M ∩N ＝∅B ．若M ∪N ＝{1，3，4}，则M ∩N ≠∅C ．若M ∩N ＝∅，则M ∪N 有4个元素D ．若M ∩N ≠∅，则M ∪N ＝{1，3，4}2．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β B ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αC ．若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥βD ．若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥β3．（5分）使“a ＜b ”成立的必要不充分条件是“（ ）” A ．∀x ＞0，a ≤b +xB ．∃x ≥0，a +x ＜bC ．∀x ≥0，a ＜b +xD ．∃x ＞0，a +x ≤b4．（5分）已知a ＞0，且a 2﹣b +4＝0，则2a+3ba+b（ ）A ．有最大值176B ．有最大值145C ．有最小值176D ．有最小值1455．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切．设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，下列选项中满足题意的方程为（ ） A ．x 281+y 216=1 B ．x 265+y 281=1C ．x 2100+y 264=1D ．x 264+y 2100=16．（5分）已知函数f （x ）＝2sin x +cos x 满足f(x 0)=3√55(x 0∈(0，π2))，则tan x 0＝（ ） A ．2B ．112C ．12D ．2117．（5分）在数列{a n }中，a 1＝1，n （n +1）（a n +1﹣a n ）＝1（n ∈N *），则a 21＝（ ） A ．2120B ．1920C ．4121D ．40218．（5分）已知平面向量a →，b →满足|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14，则|b →|＝（ ）A ．1B ．2C ．54D ．529．（5分）已知球O 为正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为1，高为3，则球O 的表面积是（ ） A ．4πB ．31π3C ．16π3D ．31π1210．（5分）已知f （x ）＝3sin （2x +φ）（φ∈R ）既不是奇函数也不是偶函数，若y ＝f （x +m ）的图像关于原点对称，y ＝f （x +n ）的图像关于y 轴对称，则|m |+|n |的最小值为（ ） A ．πB ．π2C ．π4D ．π811．（5分）已知EF 是圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +3＝0的一条弦，且CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣3＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是（ ） A ．3√2+1 B ．4√2+2 C ．4√3+1 D ．4√3+212．（5分）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点、左焦点、上顶点分别为A ，F ，B ，若坐标原点O 关于直线BF 的对称点恰好在直线AB 上，则椭圆C 的离心率e ∈（ ） A ．(0，14)B ．(14，12)C ．(12，34)D ．(34，1)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）复数2+i 2i−1的共轭复数是 ．14．（5分）在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 在棱AA 1上，AE ＝3A 1E ，点G 是棱CD 的中点，点F 满足BF →=14BB 1→，则直线EF 与直线D 1G 所成角的余弦值为 ． 15．（5分）已知点P （﹣1，0）在直线l ：ax +y ﹣a +2＝0（a ∈R ）上的射影为M ，点N （0，3），则线段MN 长度的最小值为 ．16．（5分）以原点为对称中心的椭圆C 1，C 2焦点分别在x 轴，y 轴，离心率分别为e 1，e 2，直线l 交C 1，C 2所得的弦中点分别为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），若x 1x 2＝2y 1y 2≠0，2e 12﹣e 22＝1，则直线l 的斜率为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =tsinα（t 为参数，α为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=√85−3cos2θ．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P （﹣1，0），直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，与y 轴交于M 点，若|P A |，|PM |，|PB |成等比数列，求直线l 的普通方程．18．（12分）在①（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，②（sin A +sin B ）（a ﹣b ）＝c （sin C ﹣sin B ），③tanA +tanB +tanC =√3tanBtanC ，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若____． （1）求A ；（2）若点M 在线段AC 上，∠ABM ＝∠CBM ，BM =53√7，且cosB =17，求c ． 19．（12分）2021年“远大美乐杯”四川男子篮球联赛在绵阳进行，大赛分为常规赛和季后赛两种．常规赛分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）．假设下面是宜宾队在常规赛42场比赛中的比赛结果记录表：阶段比赛场数 主场场数获胜场数 主场获胜场数第一阶段 22 11 14 8 第二阶段2010148（1）根据表中信息，是否有85%的把握认为宜宾队在常规赛的“胜负”与“主客场”有关？（2）假设宜宾队与某队在季后赛的总决赛中相遇，且每场比赛结果相互独立，并假设宜宾队除第五场比赛获胜的概率为12外，其他场次比赛获胜的概率等于其在常规赛42场比赛中获胜的频率．记X 为宜宾队在总决赛中获胜的场数． （ⅰ）求X 的分布列；（ⅱ）求宜宾队获得本赛季的总冠军的概率．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P （K 2≥k ）0.250 0.150 0.100 k1.3232.0722.70620．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马P ﹣ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，CB ＝CP ，E 为棱PC 的中点，F 为棱PB 上一点，FP ＜FB ，连接DB ，DE ，DF ，EF ． （Ⅰ）求证：DE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若EF ⊥PB ，连接BE ，判断四面体DBEF 是否为鳖臑、若是，写出其每个面的直角；若不是，写出其不是直角三角形的面；（Ⅲ）延长FE ，BC 交于点G ，连接DG ，若二面角F ﹣DG ﹣B 的大小为π3，求PF PB．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）长轴长为4，P 在C 上运动，F 1，F 2为C 的两个焦点，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12．（1）求C 的方程；（2）已知过点M （0，m ）（﹣b ＜m ＜b ）的动直线l 交C 于两点A ，B ，线段AB 的中点为N ，若OA →⋅OB →−OM →⋅ON →为定值，试求m 的值． 22．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣（a +1）lnx −1x ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＝0时，f （x ）≥mxe x −1x +x +1恒成立，求m 的取值范围．2022年黑龙江省哈尔滨市高考理科数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝{x|（x﹣a）（x﹣3）＝0}，N＝{x|（x﹣4）（x﹣1）＝0}，则下列说法一定正确的是（）A．若M∪N＝{1，3，4}，则M∩N＝∅B．若M∪N＝{1，3，4}，则M∩N≠∅C．若M∩N＝∅，则M∪N有4个元素D．若M∩N≠∅，则M∪N＝{1，3，4}【解答】解：当a≠3时，M＝{x|（x﹣a）（x﹣3）＝0}＝{a，3}，当a＝3时，M＝{3}，N＝{x|（x﹣4）（x﹣1）＝0}＝{1，4}，若M∪N＝{1，3，4}，则a＝3或a＝1或a＝4，M∩N可能为空集，也可能不为空集，A，B错误；若M∩N＝∅，则a≠1，a≠4，但可能a＝3，M∪N可能有4个元素，也可能有3个元素，C错误；若M∩N≠∅，则a＝1或a＝4，M∪N＝{1，3，4}，D正确．故选：D．2．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m∥n，则n∥αC．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β【解答】解：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α与β平行或相交，故A错误；对于B，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；对于C，若m∥n，n⊥β，m⊂α，则m⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；对于D ，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 与相交、平行或n ⊂β，故D 错误． 故选：C ．3．（5分）使“a ＜b ”成立的必要不充分条件是“（ ）” A ．∀x ＞0，a ≤b +xB ．∃x ≥0，a +x ＜bC ．∀x ≥0，a ＜b +xD ．∃x ＞0，a +x ≤b【解答】解：A 选项，（b +x ）∈（b ，+∞），故a ≤b ， 即A 选项命题等价于a ≤b ；故A 正确， B 选项，（a +x ）∈[a ，+∞），故b ＞a ， 即B 选项命题等价于a ＜b ；故B 错误， C 选项，（b +x ）∈[b ，+∞），故a ＜b ， 即C 选项命题等价于a ＜b ；故C 错误， D 选项，（a +x ）∈（a ，+∞），故a ＜b ， 即D 选项命题等价于a ＜b ，故D 错误． 故选：A ．4．（5分）已知a ＞0，且a 2﹣b +4＝0，则2a+3b a+b（ ）A ．有最大值176B ．有最大值145C ．有最小值176D ．有最小值145【解答】解：由a 2﹣b +4＝0，得b ＝a 2+4，则a +b ＝a 2+a +4，即a a+b=a a 2+a+4，又a ＞0，所以2a+3b a+b=3−aa+b =3−a a 2+a+4=3−1a+4a+1≥31√a⋅4a+1=3−15=145， 当且仅当a =4a ，即a ＝2，b ＝8时等号成立，所以2a+3b a+b有最小值145，无最大值，故选：D ．5．（5分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切．设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，下列选项中满足题意的方程为（ ） A ．x 281+y 216=1 B ．x 265+y 281=1C ．x 2100+y 264=1 D ．x 264+y 2100=1【解答】解：∵用面积为144的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切，∴4ab ＝144，即ab ＝36，对于A ，a ＝9，b ＝4，满足a ＞b ＞0且ab ＝36，故A 正确， 对于B ，a =√65，b ＝9，不满足a ＞b ＞0，故B 错误， 对于C ，a ＝10，b ＝8，不满足ab ＝36，故C 错误， 对于D ，a ＝8，b ＝10，不满足a ＞b ＞0，故D 错误． 故选：A ．6．（5分）已知函数f （x ）＝2sin x +cos x 满足f(x 0)=3√55(x 0∈(0，π2))，则tan x 0＝（ ） A ．2B ．112C ．12D ．211【解答】解：由题意知，f （x 0）＝2sin x 0+cos x 0=3√55， 因为sin 2x 0+cos 2x 0＝1，所以sin 2x 0+(3√55−2sinx 0)2=1， 化简可得5sin 2x 012√5sin x 0+45=0，解得sin x 0=25√5或√5，当sin x 0=25√5时，cos x 0=3√55−2sin x 0=115√5；当sin x 0=2√5时，cos x 0=3√55−2sin x 0=−√55＜0（舍）， 所以sin x 0=25√5，cos x 0=115√5， 所以tan x 0=sinx 0cosx 0=211． 故选：D ．7．（5分）在数列{a n }中，a 1＝1，n （n +1）（a n +1﹣a n ）＝1（n ∈N *），则a 21＝（ ） A ．2120B ．1920C ．4121D ．4021【解答】解：由题意得，a n +1﹣a n =1n(n+1)=1n −1n+1，所以a 21＝a 21﹣a 20+a 20﹣a 19+•+（a 2﹣a 1）+a 1=120−121+119−120+•+1−12+1＝2−121=4121． 故选：C ．8．（5分）已知平面向量a →，b →满足|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14，则|b →|＝（ ） A ．1B ．2C ．54D ．52【解答】解：∵|a →−2b →|=√19，|a →|＝3，若cos ＜a →，b →＞=14， ∴a →2−4a →•b →+4b →2=9﹣4×3|b →|×14+4|b →|2=19， 解得：|b →|＝2或|b →|=−54（舍去）， 故选：B ．9．（5分）已知球O 为正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的外接球，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面边长为1，高为3，则球O 的表面积是（ ） A ．4πB ．31π3C ．16π3D ．31π12【解答】解：设正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的高为h ，底面边长为a ，设球O 的半径为R ， 则三棱柱底面三角形的外接圆半径r 满足2r =asin π3，解得r =√33a ， 由题意可知，a ＝1，h ＝3，所以R 2=(√33a)2+(12ℎ)2=a 23+ℎ24=13+94=3112，则球O 的表面积为S ＝4πR 2=31π3． 故选：B ．10．（5分）已知f （x ）＝3sin （2x +φ）（φ∈R ）既不是奇函数也不是偶函数，若y ＝f （x +m ）的图像关于原点对称，y ＝f （x +n ）的图像关于y 轴对称，则|m |+|n |的最小值为（ ） A ．πB ．π2C ．π4D ．π8【解答】解：可设φ0 满足“φ0∈(0，π2)∪(π2，π)且φ＝2t π+φ0，t ∈Z “ 则f （x ）＝3sin （2x +φ0）．注意到五点法的最左段端点是(−φ02，0)，而T 2=π2，T 4=π4， 故有|m|=min(|−φ02|，|π−φ02|)=min(φ02，π−φ02)；|n|=|−φ02+π4|=|π−2φ0|4， 当φ0∈(0，π2) 时，|m|=φ02；|n|=π−2φ04， 此时|m|+|n|=π4，当φ0∈(π2，π) 时．此时|m|=π−φ02；|n|=2φ0−π4故选：C ．11．（5分）已知EF 是圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +3＝0的一条弦，且CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，当弦EF 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣3＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则线段AB 长度的最小值是（ ） A ．3√2+1B ．4√2+2C ．4√3+1D ．4√3+2【解答】解：由题可知：圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y +3＝0，即（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝2，圆心C （1，2），半径r =√2，又CE ⊥CF ，P 是EF 的中点，所以CP =12EF ＝1，所以点P 的轨迹方程（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1，圆心为点C （1，2），半径为R ＝1，若直线l ：x ﹣y ﹣3＝0上存在两点A ，B ，使得∠APB ≥π2恒成立，则以AB 为直径的圆要包括圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝1，点C （1，2），到直线l 的距离为d =√12+(−1)2=2√2，所以AB 长度的最小值为2（d +1）＝4√2+2， 故选：B ． 12．（5分）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左顶点、左焦点、上顶点分别为A ，F ，B ，若坐标原点O 关于直线BF 的对称点恰好在直线AB 上，则椭圆C 的离心率e ∈（ ） A ．(0，14)B ．(14，12)C ．(12，34)D ．(34，1)【解答】解：由题可得BF 是∠ABO 的角平分线，则由角平分线性质可得√a 2+b 2b=a−c c，代入b ²＝a ²﹣c ²，可得2a 2−c 2a 2−c 2=a 2−2ac+c 2c 2，即2−e 21−e 2=1−2e+e 2e 2，整理得2e ³﹣2e ²﹣2e +1＝0，令f （x ）＝2x ³﹣2x ²﹣2x +1，0＜x ＜1，则f '（x ）＝6x ²﹣4x ﹣2＝2（x ﹣1）（3x +1）， 所以f （x ）在（0，1）上单调递减，因为f （14）=1332＞0，f （12）=14−12−1+1=−14＜0，由函数零点存在性定理可知e ∈（14，12），故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）复数2+i 2i−1的共轭复数是 i ． 【解答】解：∵2+i2i−1=(2+i)(−2i−1)(1−2i)(1+2i)=−5i 5=−i ，∴复数2+i2i−1的共轭复数是i ．故答案为：i ．14．（5分）在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 在棱AA 1上，AE ＝3A 1E ，点G是棱CD 的中点，点F 满足BF →=14BB 1→，则直线EF 与直线D 1G 所成角的余弦值为 45．【解答】解：分别取AB ，BB 1中点M ，N ，连接A 1M ，A 1N ，MN ，如图：所以在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1M ∥D 1G ，因为AE ＝3A 1E ，点F 满足BF →=14BB 1→，所以A 1E ＝BF ＝NF =12，又因为AA 1∥BB 1，所以四边形A 1EFN 为平行四边形，所以EF ∥A 1N ， ∴A 1M ＝A 1N =√22+12，MN =√12+12，在△A 1MN 中，cos ∠MA 1N =A 1M 2+A 1N 2−MN 22×A 1M×A 1N =2×√5×√5=45，直线EF 与直线D 1G 所成角的余弦值为45．故答案为：45．15．（5分）已知点P （﹣1，0）在直线l ：ax +y ﹣a +2＝0（a ∈R ）上的射影为M ，点N （0，3），则线段MN 长度的最小值为 4−√2 ． 【解答】解：直线l ：ax +y ﹣a +2＝0（a ∈R ）， 即（x ﹣1）a +y +2＝0，令x ﹣1＝0，且y +2＝0， 得x ＝1，y ＝﹣2，所以直线l 恒过定点Q （1，﹣2），由于点P （﹣1，0）在直线l 上的射影为M ，即∠PMQ ＝90°， 所以点M 在以PQ 为直径的圆上，该圆的圆心为PQ 的中点C （0，﹣1），且半径为√2， 由点N 到圆心C 的距离为NC ＝4， 所以线段MN 的最小值为NC ﹣r ＝4−√2， 故答案为：4−√2．16．（5分）以原点为对称中心的椭圆C 1，C 2焦点分别在x 轴，y 轴，离心率分别为e 1，e 2，直线l 交C 1，C 2所得的弦中点分别为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），若x 1x 2＝2y 1y 2≠0，2e 12﹣e 22＝1，则直线l 的斜率为 ±1 ． 【解答】解：设椭圆C 1：x 2a 12+y 2b 12=1，C 2：y 2a 22+x 2b 22=1，再设直线l 交C 1于A 、B ，直线l 交C 2于C 、D ， M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）分别为AB ，CD 的中点， x 1=x A +x B2，y 1=y A +y B 2， 分别把A 、B ，C 代入两曲线方程，利用{ x A 2a 12+y A 2b 12=1x B 2a 12+y B 2b 12=1，作差法可得y 1x 1⋅k AB =−b 12a 12=e 12−1， 同理C 、D 代入两曲线方程，通过作差法可得：y 2x 2⋅k CD =−a 22b 22=1e 22−1，设k AB ＝k CD ＝k ， ∴y 1y 2x 1x 2⋅k 2=e 12−1e 22−1，∵2e 12﹣e 22＝1，∴e 22=2e 12−1， 又x 1x 2＝2y 1y 2≠0，∴y 1y 2x 1x 2=12，得12k 2=e 12−1e 22−1=e 12−12(e 12−1)=12．可得k ＝±1． 故答案为：±1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤．17．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+tcosαy =tsinα（t 为参数，α为直线的倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=√85−3cos2θ．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P （﹣1，0），直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，与y 轴交于M 点，若|P A |，|PM |，|PB |成等比数列，求直线l 的普通方程．【解答】解：（I ）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=√85−3cos2θ， ∴ρ2=85−3(cos 2θ−sin 2θ)①，∵{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2②，∴联立①②可得，x 24+y 2=1．（II ）把直线l 的参数方程{x =−1+tcosαy =tsinα代入x 24+y 2=1 可得，（1+3sin 2α）t 2﹣2cos αt﹣3＝0，由韦达定理可得，t 1t 2=−31+3sin 2α，点M 对应的参数为x M ＝﹣1+t 3cos α＝0， 所以t 3=1cosα，∵|P A |，|PM |，|PB |成等比数列， ∴|P A |•|PB |＝|PM |2，即|−31+3sin 2α|=|1cosα|2，化简整理可得，2sin 2α＝cos 2α， ∴tan 2α=12，即直线l 的斜率为±√22，故直线l 的方程为x −√2y +1=0 或x +√2y +1=0．18．（12分）在①（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，②（sin A +sin B ）（a ﹣b ）＝c （sin C ﹣sin B ），③tanA +tanB +tanC =√3tanBtanC ，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若____． （1）求A ；（2）若点M 在线段AC 上，∠ABM ＝∠CBM ，BM =53√7，且cosB =17，求c ．【解答】解：（1）若选①：因为（2b ﹣c ）cos A ＝a cos C ，由正弦定理得（2sin B ﹣sin C ）cos A ＝sin A cos C ，即2sin B cos A ＝sin C cos A +sin A cos C ， 所以2sin B cos A ＝sin B ， 因为0＜B ＜π， 所以sin B ≠0， 可得cos A =12，因为0＜A ＜π，故A =π3．若选②：∵（sin A +sin B ）（a ﹣b ）＝c （sin C ﹣sin B ）， ∴由正弦定理可得：（a +b ）（a ﹣b ）＝c （c ﹣b ）， 即：b 2+c 2﹣a 2＝bc ， 由余弦定理得cos A =12， ∵A ∈（0，π）， ∴A =π3．选择条件③，tan A +tan B +tan C =√3tan B tan C ， 因为tan A ＝﹣tan （B +C ）=−tanB+tanC1−tanBtanC ， 所以﹣tan A +tan A tan B tan C ＝tan B +tan C ， 即tan A +tan B +tan C ＝tan A tan B tan C ， 所以tan A tan B tan C =√3tan B tan C ， 因为tan B tan C ≠0，所以tan A =√3， 因为A ∈（0，π），所以A =π3． （2）因为cosB =17，可得1﹣2sin 2B 2=17，可得sinB 2=√217，cos B 2=2√77， 在△ABM 中，sin ∠AMB ＝sin （π3+∠ABM ）=√32×2√77+12×√217=3√2114，由正弦定理可得csin∠AMB=5√73√32，可得c ＝5．19．（12分）2021年“远大美乐杯”四川男子篮球联赛在绵阳进行，大赛分为常规赛和季后赛两种．常规赛分两个阶段进行，每个阶段采用循环赛，分主场和客场比赛，积分排名前8的球队进入季后赛．季后赛的总决赛采用五场三胜制（“五场三胜制”是指在五场比赛中先胜三场者获得比赛胜利，胜者成为本赛季的总冠军）．假设下面是宜宾队在常规赛42场比赛中的比赛结果记录表：阶段 比赛场数 主场场数获胜场数 主场获胜场数第一阶段 22 11 14 8 第二阶段2010148（1）根据表中信息，是否有85%的把握认为宜宾队在常规赛的“胜负”与“主客场”有关？（2）假设宜宾队与某队在季后赛的总决赛中相遇，且每场比赛结果相互独立，并假设宜宾队除第五场比赛获胜的概率为12外，其他场次比赛获胜的概率等于其在常规赛42场比赛中获胜的频率．记X 为宜宾队在总决赛中获胜的场数． （ⅰ）求X 的分布列；（ⅱ）求宜宾队获得本赛季的总冠军的概率．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．P （K 2≥k ）0.250 0.150 0.100 k1.3232.0722.706【解答】解：（1）由题意的列联表：主场 客场 合计 胜利 16 12 28 失败 5 9 14 合计212142∵K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=42(16×9−5×12)221×21×14×28=127≈1.714≤2.072，∴没有85%的把握认为宜宾队在常规赛的“胜负”与“主客场”之间有关． （2）（ⅰ）由题意：宜宾队在常规赛中获胜的概率为：2842=23，X 的可能取值为0，1，2，3，且P(X =0)=C 33(1−23)3=127， P(X =1)=C 31⋅23⋅(1−23)2⋅(1−23)=227， P(X =2)=C 42⋅(23)2⋅(1−23)2⋅(1−12)=427，P(X =3)=C 33⋅(23)3+C 32⋅(23)2⋅(1−23)⋅23+C 42⋅(23)2⋅(1−23)2⋅12=2027，故X 的分布列为：X 0123P1272274272027（ⅱ）甲队获得本赛季的总冠军的概率为：C 33⋅(23)3+C 32⋅(23)2⋅(1−23)⋅23+C 42⋅(23)2⋅(1−23)2⋅12=2027． 20．（12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在阳马P ﹣ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，CB ＝CP ，E 为棱PC 的中点，F 为棱PB 上一点，FP ＜FB ，连接DB ，DE ，DF ，EF ． （Ⅰ）求证：DE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）若EF ⊥PB ，连接BE ，判断四面体DBEF 是否为鳖臑、若是，写出其每个面的直角；若不是，写出其不是直角三角形的面；（Ⅲ）延长FE ，BC 交于点G ，连接DG ，若二面角F ﹣DG ﹣B 的大小为π3，求PF PB．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD ⊥BC ， 由地面ABCD 为长方形，有BC ⊥CD ， 而PD ∩CD ＝D ，所以BC ⊥平面PCD ． 而DE ⊂平面PCD ，所以BC ⊥DE ，又PD ＝CD ，点E 是PC 的中点，所以DE ⊥PC ． 而PC ∩BC ＝C ， 所以DE ⊥平面PBC ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，而PB ⊂平面PBC ，所以PB ⊥DE ． 又PB ⊥EF ，DE ∩EF ＝E ，所以PB ⊥平面DEF ．由DE ⊥平面PBC ，PB ⊥平面DEF ，可知四面体DBEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体DBEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB ，∠DEF ，∠EFB ，∠DFB ． （Ⅲ）由题意可知，以D 为坐标原点，射线DA ，射线DC ，射线DP 分别为x ，y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，设PD ＝DC ＝2，则CB =CP =2√2， 由题意可知，二面角F ﹣DG ﹣B 即为平面DEF 与平面ABCD 所成的角，则D （0，0，0），B(2√2，2，0)，C （0，2，0），P （0，0，2），E （0，1，1），设F （x ，y ，z ），PF →=λPB →，则(x ，y ，z −2)=λ(2√2，2，−2)，所以{x =2√2λy =2λz =−2λ+2，即F(2√2λ，2λ，−2λ+2)，则DE →=(0，1，1)，DF →=(2√2λ，2λ，−2λ+2)， 设平面FDG的法向量n 2→=(x 1，y 1，z 1)，则{DE →⋅n 2→=0DF →⋅n 2→=0，即{0+y 1+z 1=02√2λx 1+2λy 1+(−2λ+2)z 1=0，令z 1=√2λ，则{x 1=2λ−1y 1=−√2λz 1=√2λ，所以n 1→=(2λ−1，−√2λ，√2λ)，又平面BDG 的法向量为n 1→=(0，0，1)， 因此，cos ＜n 1→，n 2→＞=√2λ1×√(2λ−1)2+(−√2λ)2+(√2λ)2=12，整理得2λ28λ2−4λ+1=14，解得λ=14，所以PF PB=14．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）长轴长为4，P 在C 上运动，F 1，F 2为C 的两个焦点，且cos ∠F 1PF 2的最小值为12． （1）求C 的方程；（2）已知过点M （0，m ）（﹣b ＜m ＜b ）的动直线l 交C 于两点A ，B ，线段AB 的中点为N ，若OA →⋅OB →−OM →⋅ON →为定值，试求m 的值． 【解答】解：（1）由题意得a ＝2， 设|PF 1|，|PF 2|长分别为p ，q ．则cosθ=p 2+q 2−4c 22pq =(p+q)2−4c 2−2pq 2pq =2b 2−pq pq =2b 2pq −1≥2b 2(p+q 2)2−1=2b 2a 2−1， （当且仅当p ＝q 时取等号） 从而2b 2a 2−1=12，得b 2a 2=34，∴a 2＝4，b 2＝3，则椭圆的标准方程为x 24+y 23=1．（2）①若直线l 的斜率不存在，易得OA →⋅OB →−OM →⋅ON →=−3； 若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ，联立{y =kx +mx 24+y 23=1，得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12＝0，易知Δ＞0恒成立， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则N(x 1+x 22，y 1+y 22)， 且x 1+x 2=−8km4k 2+3，x 1x 2=4m 2−124k 2+3，OA →⋅OB →=OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2−m ⋅y 1+y 22=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)−m2(kx 1+m +kx 2+m) =(k 2+1)x 1x 2+km 2(x 1+x 2)=(k 2+1)4m 2−124k 2+3+km 2⋅−8km4k 2+3=−12k 2+4m 2−124k 2+3=−3(4k 2+3)+4m 2−34k 2+3=−3+4m 2−34k 2+3，要使上式为常数，必须且只需4m 2﹣3＝0，即m =±√32∈(−√3，√3)． 此时OA →⋅OB →−OM →⋅ON →=−3为定值，符合题意．综上可知，当m =±√32时，能使得若OA →⋅OB →−OM →⋅ON →=−3． 22．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣（a +1）lnx −1x ． （1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当a ＝0时，f （x ）≥mxe x −1x +x +1恒成立，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）因为f （x ）＝ax ﹣（a +1）lnx −1x， 所以f ′（x ）＝a −a+1x +1x 2=ax 2−(a+1)x+1x 2=(ax−1)(x−1)x 2， 当a ＝0时，f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 当a ＜0时，f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当0＜a ＜1时，f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，1a）上单调递减，在（1a，+∞）上单调递增，当a ＝1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＞1时，f （x ）在（0，1a）上单调递增，在（1a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，综上所述，当a ≤0时，f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 当0＜a ＜1时，f （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，1a）上单调递减，在（1a，+∞）上单调递增，当a ＝1时，f （x ）在（0，+∞）上单调递增，当a ＞1时，f （x ）在（0，1a）上单调递增，在（1a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（2）当a ＝0时，由f （x ）≥mxe x −1x+x +1恒成立， 可得lnx +x +1≤﹣mxe x 恒成立， 即ln （xe x ）+1≤﹣mxe x 恒成立，令xe x ＝t ＞0，则lnt +1≤﹣mt （t ＞0）恒成立， 即lnt+1t≤−m （t ＞0）恒成立，令g （t ）=lnt+1t （t ＞0）， 则g ′（t ）=−lntt 2=0，得t ＝1， 所以函数g （t ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 所以g （t ）max ＝g （1）＝1， 所以﹣m ≥1，即m ≤﹣1，所以m 的取值范围为（﹣∞，﹣1]．。
2021年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷(理科)
2021年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若i为虚数单位，则＝（）A．B．C．D．2．（5分）已知集合A＝{x|x＝4n﹣1，n∈N}，B＝{3，8，14}，则A∩B的真子集个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．（5分）某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品的售价x（单位：元）和销售量y（单位：百个）售价x4a 5.56销售量y1211109用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的线性回归方程＝﹣1.4x+17.5，那么表中实数a的值为（）A．4B．4.7C．4.6D．4.54．（5分）若过椭圆C：＝1（a＞b＞0）的上顶点与左顶点的直线方程为x﹣2y+2＝0（）A．＝1B．＝1C．＝1D．＝15．（5分）《周髀算经》中提出了“方属地，圆属天”，就是人们常说的“天圆地方”．我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种“外圆内方”“天地合一”的哲学思想．现将铜钱抽象成如图所示的图形，正方形的边长为a（0＜a＜r），若在圆内随机取一点（）A．B．C．D．1﹣6．（5分）已知等比数列{a n}中，a n a n+1＝4n，则公比q为（）A．B．2C．±2D．±7．（5分）函数y＝（x3﹣x）•3|x|的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法“在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比t＝，则＝（）A．4B．﹣1C．2D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．6B．7C．D．10．（5分）函数y＝sin2x﹣cos2x的图象所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变（x）的图象，则下列说法不正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．函数f（x）的图象关于（，0）对称D．函数f（x）在[，]上递增11．（5分）在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2AD，若双曲线E以A，B为焦点，D 两点，则双曲线E的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）若直角坐标平面内A，B两点满足：①点A，B都在函数f（x）的图象上；②点A，B关于原点对称，则称点（A，B）（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数f（x）＝．恰有两个“姊妹点对”，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜e﹣2B．0＜a≤e﹣2C．0＜a＜e﹣1D．0＜a≤e﹣1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省2021年高考数学一模试卷(理科)A卷
黑龙江省2021年高考数学一模试卷（理科）A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合集合，则集合（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·齐齐哈尔模拟) 设 ( 为虚数单位），其中是实数，则等于（）A . 5B .C .D . 23. （2分） (2019高二上·诸暨月考) 设为实数，命题：， .则命题的否定是（）A . ：，B . ：，C . ：，D . ：，4. （2分） (2016高一下·深圳期中) 设向量，满足| + |= ，| ﹣ |= ，则• =（）A . 1B . 2C . 3D . 55. （2分）若向量=（1，2），=（4，5），则=（）A . （5，7）B . （﹣3，﹣3）C . （3，3）D . （﹣5，﹣7）6. （2分）已知函数，在下列给出结论中：①是的一个周期；②的图象关于直线对称；③在上单调递减.其中，正确结论的个数为（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个7. （2分） (2016高二下·信宜期末) 曲线y= 与直线y=2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高一下·哈尔滨期末) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B . 4C . 2D .9. （2分） (2020高二下·杭州月考) 等差数列的前项和为，若，，则（）A . 48B . 22C . 12D . 3610. （2分） (2020高二上·青白江月考) 若直线被圆所截得的弦长为，则实数的值为（）A . 0或4B . 0或3C . -2或6D . -1或11. （2分） (2015高三上·邢台期末) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且A= ，b+2c=8，则当△ABC的面积取得最大值时a的值为（）A . 2B . 2C .D . 412. （2分） (2019高一上·鲁山月考) 已知函数，若实数是方程的解，且，则的值（）A . 等于零B . 恒为负C . 恒为正D . 不大于零二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·灌云期中) 函数f（x）= 在R上为单调函数，则a的取值范围为________．14. （1分） (2019高三上·湖南月考) 在公差大于0的等差数列中，，且，，成等比数列，则数列的前21项和为________.15. （1分） (2018高二上·哈尔滨期中) 已知实数、满足 ,若，则的最大值是________．16. （1分）已知函数f（x）= ，其中m＞0，若对任意实数b，使得关于x的方程f（x）=b至多有两个不同的根，则m的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2020高一上·天津月考)（1）若关于x的不等式的解集为求关于x的不等式的解集.（2）已知，其中m∈R.①写出命题p与q对应不等式的解集；②当m>0时.若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.18. （10分） (2018高二上·黑龙江月考) 已知数列是等比数列，，是和的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．19. （10分）(2019·贵州模拟) 在中，内角 A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，已知．（1）求A；（2）已知，的面积为的周长．20. （5分）(2016·韶关模拟) 已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E 是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为，当F是PC中点时，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．21. （5分）(2017·红桥模拟) 已知椭圆E：（a＞b＞0）的离心率，且点在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的垂直平分线经过点．求△AOB（O为坐标原点）面积的最大值．22. （10分） (2020高二下·越秀期中) 已知函数（1）若函数在x=1时取得极值，求实数a的值；（2）当0＜a＜1时，求零点的个数.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、22-1、22-2、。
2022年黑龙江省实验中学高考理科数学一模试卷及答案解析
2022年黑龙江省实验中学高考理科数学一模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A＝{x|﹣2＜x≤2，x∈Z}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．[﹣1，1]C．{﹣1，0，1}D．[﹣1，0]2．复数z满足（﹣2﹣i）z＝5（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．命题“∀1≤x≤2，x2﹣2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是（）A．a≥1B．a≥3C．a≥2D．a≤44．数列{a n}满足a1+3a2+32a3+⋯+3n﹣1a n=n3(n∈N∗），则a1a2a3⋯a10等于（）A．(13)55B．1−(13)10C．1−(13)9D．(13)665．“堑堵”是中国古代数学名著《九章算术》中记载着的一种多面体．如图，网格纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某“堑堵”的三视图．则该“堑堵”的表面积等于（）A．10+2√13B．12+2√13C．16+2√13D．426．已知点P （m ，﹣3）为角α终边上一点，且1+cosαsinα−tanα2=2，则m ＝（ ）A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣37．已知|a →|＝3，b →=（﹣3，4），若a →在b →上的投影为−13，则|3a →−2b →|＝（ ）A ．√151B ．√211C ．√201D ．√1618．由曲线y ＝x 2+1，直线y ＝﹣x +3及坐标轴所围成图形的面积为（ ） A ．73B ．83C ．103D ．39．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，若PF 2→=3F 2Q →，若△PQF 1是以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率e ＝（ ） A ．3B ．2C ．√2D ．√310．设f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f （x ﹣2）＝f （x +2），且当x ∈[﹣2，0]时，f(x)=(12)x −1．若在区间（﹣2，6]内关于x 的方程f （x ）﹣log a （x +2）＝0（a ＞1）恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．（1，+∞）D ．(√43，2)11．已知圆锥SO 1的顶点和底面圆周均在球O 的球面上，且该圆锥的高为8．母线SA ＝12，点B 在SA 上，且SB ＝2BA ，则过点B 的平面被该球O 截得的截面面积的最小值为（ ） A ．27πB ．32πC ．45πD ．81π12．已知f （x ）＝alnx ，g （x ）＝（a +2）x ﹣x 2，若存在x 0∈[1e ，e]，使得f （x 0）≤g （x 0）成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[e 2−2ee−2，+∞) B ．[1−2ee−2e 2，+∞) C ．[﹣1，+∞） D ．[0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l 1：（a ﹣2）x ﹣3y +5＝0和l 2：3x ﹣（b +1）y ﹣7＝0互相垂直，且a ，b ∈R +，则2a+1b 的最小值为 ．14．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线l ：x ＝﹣1，点M 在抛物线C 上，点M 在直线l ：x ＝﹣1上的射影为A ，且直线AF 的斜率为−√3，则△MAF 的面积为 ． 15．在空间四边形ABCD 中，AD ＝2，BC ＝2√3，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF =√7，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为 ．16．过椭圆的左焦点F 作直线交椭圆于A 、B 两点，若|AF |：|BF |＝2：3，且直线倾斜角为π4，则椭圆的离心率 ．三、解答题（共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S n ＝a n +1﹣2． （1）求{a n }的通项公式； （2）若b n ＝log 22n a n+13，求数列{1b n b n+1}的前n 项和T n ．18．（12分）已知不等式|2x﹣3|+|2x+1|＞ax﹣1．（1）当a＝1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R，求a的取值范围．19．（12分）已知函数f （x ）=√3sin(ωx +φ)+2sin 2(ωx+φ2)−1(ω＞0，0＜φ＜π)为偶函数，且f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为π2．（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，若g （x ）﹣m ＝0在[−π12，π6]上有两个不同的根，求m 的取值范围．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，∠BF 1O =π3，BA →⋅BF 1→=5．（1）求C 的方程；（2）过F 1且斜率为k 的直线l 交C 于M ，N 两点，若点F 2在以MN 为直径的圆内，求k 的取值范围．21．（12分）已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝AA 1＝4，BC ＝2，∠ACB ＝90°，A 1B ⊥AC 1． （1）求证：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ；（2）若∠A 1AC ＝60°，在线段AC 上是否存在一点P 使平面BA 1P 和平面A 1ACC 1所成角的余弦值为√34？若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣mx +1，m ∈R ．（1）已知函数f （x ）在点（1，f （1））处与x 轴相切，求实数m 的值； （2）在（1）的结论下，对于任意的0＜a ＜b ，证明：f(b)−f(a)b−a＜1a−1．2022年黑龙江省实验中学高考理科数学一模试卷参考答案与试题解析一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A＝{x|﹣2＜x≤2，x∈Z}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．[﹣1，1]C．{﹣1，0，1}D．[﹣1，0]解：∵A＝{x|﹣2＜x≤2，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．复数z满足（﹣2﹣i）z＝5（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i解：∵复数z满足（﹣2﹣i）z＝5（i为虚数单位），∴z=5−2−i=5(−2+i)(−2−i)(−2+i)=−2+i，∴z的虚部为1，故选：A．3．命题“∀1≤x≤2，x2﹣2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是（）A．a≥1B．a≥3C．a≥2D．a≤4解：对于命题“∀1≤x≤2，x2﹣2a≤0”是真命题，故2a≥（x2）max恒成立；故a≥2，即A＝{a|a≥2}所以命题“∀1≤x≤2，x2﹣2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件集合B满足A⊆B，故对于选项中只有A满足条件；故选：A．4．数列{a n}满足a1+3a2+32a3+⋯+3n﹣1a n=n3(n∈N∗），则a1a2a3⋯a10等于（）A．(13)55B．1−(13)10C．1−(13)9D．(13)66解：∵数列{a n}满足a1+3a2+32a3+⋯+3n﹣1a n=n3(n∈N∗），①∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+⋯+3n﹣2a n﹣1=n−13，②①﹣②得：3n ﹣1a n =13⇒a n =13n ，（n ≥2）， 由①得a 1=13适合上式， 故a n =13n ， ∴a 1a 2a 3⋯a 10=131+2+ (10)1355，故选：A ．5．“堑堵”是中国古代数学名著《九章算术》中记载着的一种多面体．如图，网格纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某“堑堵”的三视图．则该“堑堵”的表面积等于（ ）A ．10+2√13B ．12+2√13C ．16+2√13D ．42解：由三视图可知：原几何体是一个直三棱柱，如图直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，且AB ＝3，AC ＝2，AA 1＝2，且AB ⊥AC ， 所以上、下底面面积为12×3×2=3，S ABB 1A 1=3×2=6，S ACC 1A 1=2×2=4，S BCC 1B 1=2×√22+32=2√13， 所以该“堑堵”的表面积等于3+3+6+4+2√13=16+2√13， 故选：C ．6．已知点P （m ，﹣3）为角α终边上一点，且1+cosαsinα−tanα2=2，则m ＝（ ）A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣3解：点P （m ，﹣3）为角α终边上一点，且1+cosαsinα−tanα2=2，所以1+cosαsinα−1−cosαsinα=2，则2cosαsinα=2，整理得tan α＝1， 即tanα=−3m =1， 解得：m ＝﹣3． 故选：D ．7．已知|a →|＝3，b →=（﹣3，4），若a →在b →上的投影为−13，则|3a →−2b →|＝（ ）A ．√151B ．√211C ．√201D ．√161解：因为|a →|＝3，b →=（﹣3，4），a →在b →上的投影为−13，所以a →⋅b →|b →|=−13，所以cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=−13×13=−19，所以a →•b →=|a →||b →|cos ＜a →，b →＞=3×5×（−19）=−53所以|3a →−2b →|=√(3a →−2b →)2=√9a →2−12a →⋅b →+4b →2=√9×9−12×(−53)+4×25=√201． 故选：C ．8．由曲线y ＝x 2+1，直线y ＝﹣x +3及坐标轴所围成图形的面积为（ ） A ．73B ．83C ．103D ．3解：如图，由方程组{y =x 2+1y =−x +3，解得{x =1y =2或{x =−2y =5．∴在第一象限内，曲线y ＝x 2+1与直线y ＝﹣x +3交于（1，2）． ∴所求围成的图形的面积S =∫ 10（x 2+1）dx +∫ 31（﹣x +3）dx ＝（13x 3+x ）|01+（3x −12x 2）|13=13+1+3=103．故选：C ．9．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，若PF 2→=3F 2Q →，若△PQF 1是以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率e ＝（ ） A ．3B ．2C ．√2D ．√3解：设|QF 2|＝m ，则|PF 2|＝3m ， ∵△PQF 1是以Q 为顶角的等腰三角形， ∴|QF 1|＝4m ， 由|QF 1|﹣|QF 2|＝2a ， ∴3m ＝2a ， ∴m =23a ，又|PF 1|＝2a +3m ＝4a ，在△PF 1F 2和△QF 1F 2中，利用余弦定理可得649a 2+49a 2−4c 22×83a×23a =649a 2×2−16a 22×83a×83a =−18，∴c =√2a ， ∴e =ca =√2． 故选：C ．10．设f （x ）是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f （x ﹣2）＝f （x +2），且当x ∈[﹣2，0]时，f(x)=(12)x −1．若在区间（﹣2，6]内关于x 的方程f （x ）﹣log a （x +2）＝0（a ＞1）恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，+∞）D．(√43，2)解：∵f（x﹣2）＝f（x+2），∴f（x）＝f（x+4），∴f（x）周期为4，做出y＝f（x）在（﹣2，6]上的函数图象如图所示：∵关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）＝0（a＞1）恰有3个不同的实数根，∴y＝f（x）与y＝log a（x+2）（a＞1）的函数图象在（﹣2，6]上有3个交点，∴{log a4＜3log a8＞3，解得：√43＜a＜2．故选：D．11．已知圆锥SO1的顶点和底面圆周均在球O的球面上，且该圆锥的高为8．母线SA＝12，点B在SA上，且SB＝2BA，则过点B的平面被该球O截得的截面面积的最小值为（）A．27πB．32πC．45πD．81π解：如图所示：设球的球心为O，半径为R，则SO1＝8，OA＝R，AO1=√SA2−SO12=4√5，所以OA2=OO12+AO12，即R2=(R−8)2+(4√5)2，解得R＝9，取SA的中点N，则BN＝2，所以ON=√R2−AN2=3√5，OB=√ON2+BN2=7，设点C为截面圆周上一点，若截面面积最小，则OB⊥截面，此时截面圆半径为r=√R2−OB2=4√2，所以截面面积的最小值为πr2＝32π．故选：B．12．已知f（x）＝alnx，g（x）＝（a+2）x﹣x2，若存在x0∈[1e，e]，使得f（x0）≤g（x0）成立，则实数a的取值范围是（）A．[e2−2ee−2，+∞)B．[1−2ee−2e2，+∞)C．[﹣1，+∞）D．[0，+∞）解：∵f（x0）≤g（x0），∴alnx0≤(a+2)x0−x02，即(x0−lnx0)a≥x02−2x0，设F（x）＝x﹣lnx，求导F'（x）=x−1 x，当0＜x＜1时，F'（x）＜0，F（x）单调递减，当x＞1时，F'（x）＞0，F（x）单调递增，∴F（x）≥F（1）＝1＞0，∴a≥x02−2x0x0−lnx0，记G（x）=x2−2xx−lnx，x∈[1e，e]，∴G'（x）=(2x−2)(x−lnx)−(x−2)(x−1)(x−lnx)2=(x−1)(x−2lnx+2)(x−lnx)2，∵x∈[1e，e]，∴2﹣2lnx＝2（1﹣lnx）≥0，∴x﹣2lnx+2＞0，∴当x∈[1e，1]时，G'（x）≤0，G（x）单调递减，当x∈[1，e]时，G'（x）＞0，G（x）单调递增，∴G（x）min＝G（1）＝﹣1，∴实数a的取值范围为[﹣1，+∞）．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l1：（a﹣2）x﹣3y+5＝0和l2：3x﹣（b+1）y﹣7＝0互相垂直，且a，b∈R+，则2a +1b的最小值为3+2√2．解：∵直线l1：（a﹣2）x﹣3y+5＝0和l2：3x﹣（b+1）y﹣7＝0互相垂直，∴3（a﹣2）+3（b+1）＝0⇒a+b＝1，∵a，b为正数，∴2a +1b=（2a+1b）（a+b）＝3+2ba+a b≥3+2√2b a⋅a b=3+2√2，当且仅当a=√2b时，等号成立，可得2a +1b的最小值为：3+2√2，故答案为：3+2√2．14．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线l：x＝﹣1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝﹣1上的射影为A，且直线AF的斜率为−√3，则△MAF的面积为4√3．解：令准线l与x轴交于点N，如图所示，∵准线l：x＝﹣1，∴|FN|＝2，∵直线AF的斜率为−√3，∴∠AFN＝60°，|AF|＝4，∵抛物线的定义可得，|MA|＝|MF|，∴△AMF是边长为4的等边三角形，∴S△MAF=12×4×4×√32=4√3．故答案为：4√3．15．在空间四边形ABCD中，AD＝2，BC＝2√3，E，F分别是AB，CD的中点，EF=√7，则异面直线AD与BC所成角的大小为30°．解：取AC中点O，连接EO，FO，∵在空间四边形ABCD 中，AD ＝2，BC ＝2√3，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，EF =√7， ∴EO ∥BC ，FO ∥AD ，EO =12BC =√3，FO =12AD ＝1， ∴∠EOF 是异面直线AD 与BC 所成角（或所成角的补角）， cos ∠EOF =2×√3×1=−√32，∴∠EOF ＝150°，∴异面直线AD 与BC 所成角的大小为30°． 故答案为：30°．16．过椭圆的左焦点F 作直线交椭圆于A 、B 两点，若|AF |：|BF |＝2：3，且直线倾斜角为π4，则椭圆的离心率√25． 解：作准线与x 轴交点为M ，过A ，B 准线的垂线，垂足分别为C 、D ，过A 作AH ⊥BD ，垂足为H ，交x 轴于E ，设|AB |＝5t ，因为|AF |：|BF |＝2：3，则|AF |＝2t ，|BF |＝3t ， 因为AB 倾斜角为π4，所以∠ABH =π4，则|BH |=√22|AB |=5√22t ，|BH |=3e t −2e t =1e t =5√22t ， 所以e =√25． 故答案为：√25．三、解答题（共70分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S n ＝a n +1﹣2． （1）求{a n }的通项公式； （2）若b n ＝log 22n a n+13，求数列{1b n b n+1}的前n 项和T n ．解：（1）∵S n ＝a n +1﹣2，∴当n ≥2时，S n ﹣1＝a n ﹣2，∴S n ﹣S n ﹣1＝a n +1﹣2﹣（a n ﹣2）即a n ＝a n +1﹣a n ，∴a n +1＝2a n ， ∵a 1＝S 1＝a 2﹣2且a 1＝1，∴a 2＝3，∴a 2＝3a 1，∴对任意n ∈N *且n ≥2时，都有a n +1＝2a n ，∵a 2＝3，∴a n ≠0， ∴a n+1a n=2，∴数列{a n }从第二项起是以3为首项，2为公比的等比数列，∴{a n }的通项公式为a n ={1，n =13⋅2n−2，n ≥2；（2）∵b n ＝log 22n a n+13=log 22n ⋅3⋅2n−13=2n ﹣1，∴1b n b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12（12n−1−12n+1）∴T n =12（1−13+13−15+•+12n−1−12n+1） =12（1−12n+1）=n 2n+1． 故数列{1b n b n+1}的前n 项和T n =n2n+1． 18．（12分）已知不等式|2x ﹣3|+|2x +1|＞ax ﹣1． （1）当a ＝1时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R ，求a 的取值范围． 解：（1）令f （x ）＝|2x ﹣3|+|2x +1|，则f （x ）={−4x +2，x ≤−124，−12＜x ＜324x −2，x ≥32，当a ＝1时，不等式为|2x ﹣3|+|2x +1|＞x ﹣1，当x ≤−12时，不等式为﹣4x +2＞x ﹣1，解得x ＜35，所以x ≤−12； 当−12＜x ＜32时，不等式为4＞x ﹣1，解得x ＜5，所以−12＜x ＜32； 当x ≥32时，不等式为4x ﹣2＞x ﹣1，解得x ＞13，所以x ≥32． 综上所述，不等式的解集为R ；（2）作出函数f （x ）={−4x +2，x ≤−124，−12＜x ＜324x −2，x ≥32的图象如图所示，其中点A （32，4），令y ＝ax ﹣1，则其过定点P （0，﹣1）， 因为不等式的解集为R ， 所以−4≤a ＜4−(−1)32−0，即−4≤a ＜103， 故实数a 的取值范围为[−4，103)．19．（12分）已知函数f （x ）=√3sin(ωx +φ)+2sin 2(ωx+φ2)−1(ω＞0，0＜φ＜π)为偶函数，且f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为π2．（Ⅰ）求f （x ）的解析式；（Ⅱ）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，若g （x ）﹣m ＝0在[−π12，π6]上有两个不同的根，求m 的取值范围．解：（Ⅰ）∵函数f （x ）=√3sin （ωx +φ）+2sin 2(ωx+φ2)−1 =√3sin （ωx +φ）﹣cos （ωx +φ）＝2sin （ωx +φ−π6）为偶函数， ∴φ−π6=k π+π2，k ∈Z ， 令k ＝0，可得φ=2π3，∴f （x ）＝2sin （ωx +π2）＝2cos ωx ． ∵f （x ）图象的相邻两对称轴间的距离为12×2πω=π2，∴ω＝2，∴f （x ）＝2cos2x ．（Ⅱ）将函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，可得y ＝2cos （2x −π3）的图象； 再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数g （x ）＝2cos （4x −π3）的图象，若g （x ）﹣m ＝0在[−π12，π6]上有两个不同的根， 则cos （4x −π3）=m2在[−π12，π6]上有两个不同的根，即函数y ＝cos （4x −π3）的图象和直线y =m2在[−π12，π6]上有两个不同的交点． ∵4x −π3∈[−2π3，π3]，cos （−π3）＝cos π3=12，cos0＝1， ∴12≤m 2＜1，求得1≤m ＜2，故m 的取值范围为[1，2）． 20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，∠BF 1O =π3，BA →⋅BF 1→=5．（1）求C 的方程；（2）过F 1且斜率为k 的直线l 交C 于M ，N 两点，若点F 2在以MN 为直径的圆内，求k 的取值范围．解：（1）椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），∠BF 1O =π3∴bc=√3①，设B （0，b ），A （﹣a ，0），BA →=(−a ，−b)，BF 1→=(−c ，−b)，BA →⋅BF 1→=5=ac +b 2②，∵a 2＝b 2+c 2③，联立①②③可得到a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1， 椭圆方程为：x 24+y 23=1；（2）由已知可得直线l 的斜率存在为k ， 直线l 的方程为y ＝k （x +1）， 由可得（3+4k ）2x 2+8k 2x +4k 2﹣12＝0， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 且Δ＞0恒成立，由点F 2在以MN 为直径的圆内， 则∠MF 2N ＞90°，即有F 2M →⋅F 2N →＜0，则（x 1﹣1，y 1）⋅（x 2﹣1，y 2）＜0，即（x 1﹣1）（x 2﹣1）+y 1y 2＜0， 所以（x 1﹣1）（x 2﹣1）+k （x 1+1）k （x 2+1）＜0， 整理可得（k 2+1）x 1x 2+（k 2﹣1）（x 1+x 2）+k 2+1＜0， 则（k 2+1）4k 2−123+4k 2−(k 2−1)8k 23+4k 2+k 2+1＜0，整理可得7k 2＜9，k 2＜97，−3√77＜k ＜3√77， 故k 的取值范围是（−3√77，3√77）． 21．（12分）已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝AA 1＝4，BC ＝2，∠ACB ＝90°，A 1B ⊥AC 1． （1）求证：平面A 1ACC 1⊥平面ABC ；（2）若∠A 1AC ＝60°，在线段AC 上是否存在一点P 使平面BA 1P 和平面A 1ACC 1所成角的余弦值为√34？若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．（1）证明：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，四边形A 1ACC 1是平行四边形，而AC ＝AA 1，则平行四边形A 1ACC 1是菱形，连接A 1C ，如图，则有A 1C ⊥AC 1，因A 1B ⊥AC 1，A 1B ∩A 1C ＝A 1，A 1B ，A 1C ⊂平面A 1BC ，于是得AC 1⊥平面A 1BC ，而BC ⊂平面A 1BC ，则AC 1⊥BC ，由∠ACB ＝90°，得AC ⊥BC ，AC ∩AC 1＝A ，AC ，AC 1⊂平面A 1ACC 1，从而得BC ⊥平面A 1ACC 1，又BC ⊂平面ABC ，所以平面A 1ACC 1⊥平面ABC ．（2）解：在平面A 1ACC 1内过C 作Cz ⊥AC ，由（1）知平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，则Cz ⊥平面ABC ，以C 为原点，射线CA ，CB ，Cz 分别为x ，y ，z 轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，因∠A 1AC ＝60°，AC ＝AA 1＝4，BC ＝2，则C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，2，0)，A 1(2，0，2√3)，假设在线段AC 上存在符合要求的点P ，设其坐标为P （λ，0，0），（0≤λ≤4）， 则有BA 1→=(2，−2，2√3)，BP →=(λ，−2，0)，设平面BA 1P 的一个法向量n →=(x ，y ，z)，则有{n →⋅BA →=2x −2y +2√3z =0n →⋅BP →=λx −2y =0，令x ＝2得n →=(2，λ√3)，而平面A 1ACC 1的一个法向量m →=(0，1，0)， 依题意，|cos〈n →，m →〉|=|n →⋅m →||n →||m →|=λ√22+λ2+(λ−2√32=√34，化简整理得：3λ2+λ﹣4＝0 而0≤λ≤4，解得λ＝1，所以在线段AC 上存在一点P ，且P 是靠近C 的四等分点，使平面BA 1P 和平面A 1ACC 1所成角的余弦值为√34．22．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣mx +1，m ∈R ．（1）已知函数f （x ）在点（1，f （1））处与x 轴相切，求实数m 的值；（2）在（1）的结论下，对于任意的0＜a ＜b ，证明：f(b)−f(a)b−a ＜1a −1．（1）解：由f （x ）＝lnx ﹣mx +1，m ∈R ，可得f′(x)=1x −m(x ＞0)， 依题意函数f （x ）在点（1，f （1））处与x 轴相切，可得f '（1）＝1﹣m ＝0，即m ＝1．（2）证明：由（1）知m ＝1，得f （x ）＝lnx ﹣x +1，对于任意的0＜a ＜b ，f(b)−f(a)b−a ＜1a −1，可化为(lnb−b)−(lna−a)b−a ＜1a −1其中0＜a ＜b ，⇔ln b a b a −1＜1，其中0＜a ＜b ， 令b a =t ，则问题转化为lnt t−1＜1，t ＞1⇔lnt −t +1＜0，t ＞1，即f （t ）＜0，t ＞1，因为f （x ）＝lnx ﹣x +1，所以f′(x)=−(x−1)x ， 由f '（x ）＞0得x ∈（0，1），由f '（x ）＜0得x ∈（1，+∞），即函数f （x ）在（0，1）递增，在（1，+∞）上递减，且f （1）＝0，于是f （t ）＜0，t ＞1，成立．故对于任意的0＜a ＜b ，f(b)−f(a)b−a＜1a −1成立．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
黑龙江省高考数学一模试卷（理科）A卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2017·鹰潭模拟) 已知（ +i）•z=﹣i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（）
A . 第一象限
B . 第二象限
C . 第三象限
D . 第四象限
2. （2分）(2017·南海模拟) 已知A={x∈N|﹣1＜x＜2}，B={x∈R|x2+5x﹣14＜0}，则A∩B=（）
A . {x|﹣1＜x＜2}
B . {0，1}
C . {x|﹣7＜x＜2}
D . {0，1，2，3，4}
3. （2分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）
A . 若m∥α，n∥α，则m∥n
B . 若m⊥α，α⊥β，则m∥β
C . 若m⊥α，α⊥β，则m⊥β
D . 若m⊥α，m∥β，则α⊥β
4. （2分） (2017高一下·池州期末) 如图，在圆心角为90°的扇形中以圆心O为起点作射线OC，则使得∠AOC 与∠BOC都不小于30°的概率是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分）(2017·渝中模拟) 下图为某一函数的求值程序框图，根据框图，如果输出的y的值为3，那么应输入x=（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 6
6. （2分）(2017·宿州模拟) 向量，满足| |=1，| |=2，•（+ ）=0，则
在方向上的投影为（）
B . -
C . 0
D . -
8. （2分） (2016高三上·吉安期中) 已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（）
A . [ ，5]
B . [0，5]
C . [0，5）
D . [ ，5）
9. （2分） f（x）=sin（2x+）的图像按平移后得到g（x）图像，g（x）为偶函数，当||最小时，=（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分） (2016高二下·大庆期末) 定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0， ]时，f（x）=cosx，则f（）的值为（）
A . ﹣
C . ﹣
D .
二、填空题：. (共5题；共5分)
11. （1分）(2019·奉贤模拟) 双曲线的一条渐近线的一个方向向量，则
________
12. （1分）已知：在△ABC中，角A，B，C所对三边分别为a，b，c若tanAcotB+1= ，则角A=________．
13. （1分）(2017·运城模拟) 已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则a=________．
14. （1分）(2017·大庆模拟) 巳知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（0，+∞）时，都有不等式f（x）+xf'（x）＞0成立，若，则a，b，c的大小关系是________．
15. （1分）(2017·重庆模拟) 用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b．
其中真命题的序号是________．
三、解答题： (共6题；共60分)
16. （10分） (2015高一下·西宁期中) 在△ABC中，已知角A，B，C所对的三条边分别是a，b，c，且
．
（1）求角B的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
17. （5分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；
②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
18. （15分） (2016高二上·芒市期中) 已知数列{an}中，a1=3，an+1=can+m（c，m为常数）
（1）当c=1，m=1时，求数列{an}的通项公式an；
（2）当c=2，m=﹣1时，证明：数列{an﹣1}为等比数列；
（3）在（2）的条件下，记bn= ，Sn=b1+b2+…+bn，证明：Sn＜1．
19. （10分） (2017高二下·双流期中) 在如图的平面多边形ACBEF中，四边形ABEF是矩形，点O为AB的中点，△ABC中，AC=BC，现沿着AB将△ABC折起，直至平面ABEF⊥平面ABC，如图，此时OE⊥FC．
（1）求证：OF⊥EC；
（2）若FC与平面ABC所成角为30°，求二面角F﹣CE﹣B的余弦值．
20. （10分）已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），离心率是，原点与C直线x=1的交点围成的三角形
面积是．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l过点（，0）与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），D是椭圆C的右顶点，求∠ADB 是定值．
21. （10分）(2020·西安模拟) 已知函数
（1）当时，求的极值；
（2）若有两个不同的极值点，求的取值范围;
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题：. (共5题；共5分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题： (共6题；共60分) 16-1、
16-2、
17-1、
18-1、18-2、18-3、
19-1、19-2、
20-1、
20-2、21-1、
21-2、。