矩阵分析第二章
矩阵分析第2章习题解
第二章习题1、 用初等变换把下列矩阵化为标准型 （1）322253λλλλλλ⎛⎫- ⎪+⎝⎭ （2）23100(1)λλ⎛⎫- ⎪-⎝⎭ （3）22211λλλλλλλλλ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭（4）2(1)0000(1)λλλλ+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭解: （1）322253λλλλλλ⎛⎫- ⎪+⎝⎭2122()23233235351102033r r λλλλλλλλλλλλλ-⎛⎫+⎛⎫+ ⎪ ⎪⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭32103λλλλ⎛⎫ ⎪--⎝⎭（2）231(1)λλ⎛⎫-⎪-⎝⎭212222(3)32211110331(3)(1)4(1)r r λλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪-+-----⎝⎭⎝⎭[因为32331λλλ-+-除以21λ-商为3λ-余式为4(1)λ-]222222114(1)(3)(1)(3)(1)4(1)11λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫------ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭211(3)(1)42224(1)011(1)(3)(1)(1)4c c λλλλλλλλ+-+-⎛⎫⎪ ⎪--+-+-⎝⎭31(1)(1)λλλ-⎛⎫⎪+-⎝⎭（3）22211λλλλλλλλλ⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪+⎝⎭222101λλλλλλλλ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭222221001(1)(1)λλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪-⎪ ⎪++-++-++⎝⎭43321000λλλλλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪----⎝⎭ 43210002λλλλ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ 221(1)λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪+⎝⎭(4)2(1)000000(1)λλλλ+⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭ 2(1)00021λλλλλλ+⎛⎫⎪⎪⎪++⎝⎭32(2)(1)000(2)1r r λλλλλλλ-++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭1(2)0000(1)λλλλλλ-+⎛⎫⎪⎪⎪+⎝⎭21(2)00(2)000(1)λλλλλλλ-+⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪+⎝⎭ 210(1)000(1)λλλλ⎛⎫⎪+⎪⎪+⎝⎭2100(1)000(1)λλλλ⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭2、试证：Jordan 块 10()0100J αααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于0000αεαεα⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，这里0ε≠是任意实数。
史荣昌魏丰版矩阵分析第二章(2)
证：必要性，设 A 可对角化，则存在可逆矩阵 P， 使得
⎡λ1
⎤
⎢ P −1 AP = ⎢
λ2
⎥ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎣
λn
⎥ ⎦
对于任意常数 k，
⎡λ1
⎢ kI − A = kI − P ⎢
λ2
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥ P −1 ⎥
λn
⎥ ⎦
⎡k − λ1
⎢ = P⎢
⎢ ⎢ ⎣
k − λ2
⎤
⎥
⎥ P −1 ⎥
k
−
λn
⎡⎣ X1,
X2,
X
3
⎤⎦
⎢ ⎢
0
−1
1
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦
= ⎡⎣− X1, − X 2 , X 2 − X3 ⎤⎦
从而可得
AX1 = − X1, AX2 = − X2 , AX3 = X2 − X3
整理以后可得三个线性方程组
(I + A)X1 = 0 (I + A)X2 = 0 (I + A)X3 = X2
k≥3
⎢ O ０0 ⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
(1) 每个Jordan 块 Ji 对应属于 λi 的一个特征向量； (2) 对于给定的 λi，其对应的Jordan 块的个数 等于λi 的几何重复度； (3) 特征值 λi 所对应的全体Jordan 块的阶数之和 等于 λi 的代数重复度.
根据 rank(kI − A)l = rank(kI − J )l , l = 1,2,
(λ − 1)2(λ − 2)⎥⎦
所以 A 的初等因子为 (λ −1)2 , λ − 2 .
故 A 的标准形为
矩阵分析 第二章
第2章范数理论及其应用2.1向量范数及l p范数定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值||x||，它满足以下三个条件：1)非负性：||x||≥0,且||x||=0⇔x=0;2)齐次性：||k⋅x||=|k|⋅||x||，k∈K；3)三角不等式：||x+y||≤||x||+||y||.则称||x||为V上向量x的范数，简称为向量范数。
可以看出范数||⋅||为将V映射为非负数的函数。
注意：2)中|k|当K为实数时为绝对值，当K为复数域时为复数的模。
虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何n维线性空间在一个基下都代数同构于常用的n维复(或实)列向量空间，因此下面我们仅仅讨论n维复(或实) 列向量空间就足够了。
下面讨论如下：1.设||⋅||为线性空间V n的范数，任取它的一个基x1,x2,…,x n,则对于任意向量x,它可以表示为x=ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n其中，(ξ1,ξ2,…,ξn)T为x的坐标。
由此定义C n(或R n)中的范数如下：||ξ||C =ϕ(ξ)=||ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n||则容易验证||ξ||C确实为C n中的范数.2.反之, 若||ξ||C为C n中的范数，定义V n的范数如下：||x||=φ(x)=||ξ||C其中x=ξ1x1+ξ2x2+…+ξn x n。
则容易验证φ(x)确实为V n的范数。
这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维复(或实)列向量空间的范数之间的关系。
这也是为我们只讨论n维复(或实)列向量空间的范数的理由.范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。
范数与函数性质1. 范数是凸函数，即|| (1-λ)x+λy||≤(1-λ)||x||+λ||y||其中0≤λ≤ 1。
向量的范数类似于向量长度。
性质2. (范数的乘法)若||⋅||为线性空间V上的向量范数，则k||⋅|| 仍然为向量范数, 其中k > 0.性质3. 设||⋅||comp为R m上的范数，且对x∈ (R+)m为单调增加的(即,若x,y∈(R+)m,且x i≤y i,那么||x||comp≤||y|| comp成立.),那么，对于给定的m个n维线性空间V上的范数||⋅||i,i=1,2,…,m,我们可以定义一个复合范数为||x||=||U(x)|| comp ,其中，U(x)=( ||x||1,||x||2, …,||x||m)T.证明：非负性和齐次性是显然的，仅需证明三角不等式。
第2章 内积空间-1
矩阵分析简明教程
范数还具有下列平行四边形法则和勾股定理。
性质2 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中 的任意向量 α、β ÎV ，有：
一般地，可令
1 1
2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
n
n
(n , 1 ) (1, 1)
1
(n , 2 ) (2 , 2 )
2
(n , n1 ) (n1 , n1 )
n1
至此，我们就得到了矩阵计算中具有基础性作用的
Gram-Schmidt正交化方法。
4
矩阵分析简明教程
定理2.2.1 任一n维欧氏空间 V 都存在标准正交基。
当 0 时，取 即得等式
2
矩阵分析简明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程
类似于高等数学，根据柯西-施瓦茨不等式，我们称
arccos ( , ) , [0, ], 、 0
为欧氏空间 V 中向量 与 的夹角。 特别地，当 ( , ) 0 时，称 与 正交或垂 直，记为 。
矩阵分析简明教程
另外欧氏空间中的范数显然具有下列性质。 性质1 如果 V 是数域 R 上的欧氏空间，则对V 中 的任意向量 α、β ÎV ，具有下列三条性质（非负性、 正齐性和三角不等式）：
定义了内积的线性空间V 为实内积空间，简称欧氏空间。
矩阵分析简明教程
例1 在 Rn中，对任意两个向量 (a1, a2 ,, an )T Rn 及 (b1, b2 ,, bn )T Rn
定义了标准内积
( , ) T T
《几何与代数》 科学出版社 习题解析第二章
第二章 矩阵
习题解析
则 A ( E B)
n
0 0 1 2 0 0 , B3 B4 Bn 0(n 3) B 0
n(n 1) n 2 2 n E n B B B 2！
n 1
第二章 矩阵
习题解析
1 n 6(4) 设 A 1 ,计算 A . 0 1 0 解 设 A E B, B 0 1 0 n n
(r) P,Q可逆,A m n
=PE
(r) m nQ.
7 max r A , r B r A, B r A r B
6) r(A) r(B) r(AB) r(A) + r(B)
5) If AB 0, then r A r B n.
单位矩阵
第二章 矩阵
§2.1 矩阵的代数运算
• 矩阵乘法交换率一般不成立 (AB)k Ak Bk (A+B)2 A2 + B2+2AB (A+B)(AB) A2B2 矩阵乘积可交换的情况： 1. 方阵 AkAl=AlAk 2. 对角矩阵 = 3. (a Em) Am×n = Am×n (a En) AA* A* A A E 5. AA1 A1 A E 4. • 矩阵乘法消去率一般不成立. AB O A O or B O • 但是，消去率在A可逆时成立. AB O, A 0 B O
T T
T
第二章 矩阵
习题解析
9.
已知3级方阵A按列分块为A (1 , 2 , 3 )，
且 A 5, 若B (1 2 2 ,31 4 3 ,5 2 )，求 B .
矩阵分析课件
的次数低。
定理 2.1.4 任意一个非零的n阶 矩阵 A
都等价于一个对角矩阵，即
A( )
d1( )
参照例 2.1.2 的方法可把二阶矩阵用初等变换化某一
个元素成常数。
1
A 0
0
1 C2C3 0
0
1 C3 C2 0
0
0
3 2 2 4 3 2
0
3 2 1
4 3 2
0
3 2 2 4 3 2
0
2 1
0
0
0
2
2 1
4 3 2
0
1
0
2
2
3
2 5
3
然后用初等变换把公因子 所在的行、列的
其余元素均化为零。
A( )
2 3
2
2
3
5
23r1
r2
0
2 5
3
(
2
10
3)
( 5)C1C2
0
0
(
2
10
3)
3
3C2 0
0 ( 2 10 3)
例 2.1.2 用初等变换把 矩阵
1 2
A( )
【证明】必要性：设 A()可逆，在式(2.1.1)
的两边求行列式得
A( ) B( ) 1
(2.1.2)
因为 A( ) 和 B( ) 都是 的多项式，所以根
据式(2.1.2)推知，A( ) 和 B( ) 都是零次多
项式，此即 A( ) 是非零的常数.
第2章 内积空间-2
1 2
1 2
cos sin
sin cos
1 2
G
1 2
就是一个正交变换。因为此变换的矩阵表示 G 是正
交矩阵。
矩阵分析简明教程
例2 HouseHolder变换
如图，
e2
x
x ( x, e1 )e1 ( x, e2 )e2 ,
2β
y
e1
因此向量 x 关于“与 e2 轴正交的直线”对称的镜
一、正交补与投影定理
定义 2.4.1 设 V1,V2 是数域 R上欧氏空间 V 的
两个子空间。向量 V 。如果对任意 V1 ，都 有 ( , ) 0 ，则称 与子空间 V1 正交，记
为 V1 。如果对任意 V2 ，都有 V1 ， 则称子空间 V1 与 V2 正交，记为 V1 V2
就称 x 为方程组的最小二乘解，这种方法就称为
最小二乘法。
矩阵分析简明教程
令 y A x ，显然 y R( A) ，因此求不相容方 程组的最小二乘解的问题即为在 R( A) 中找出向 量 Ax，使得向量b 到 Ax 的距离比到子空间 R( A) 中其它向量的距离都短，即Ax 是向量 b 在 R( A)
1. 正交投影的概念
定义 设 V1 是数域 R上欧氏空间V 的子空间。
向量 V 。如果有 1 V1 , 2 V1 使得
1 2
则称 1 是 在 V1 上的正交投影。
定理 （投影定理）设 V1 是数域 R 上欧氏空间V 的
子空间，则对任意 V ， 在 V1 上存在唯一 的正交投影。
矩阵分析简明教程
设 Rn 为单位向量，对任意 Rn ，定义
H ( E 2 H )
称H 为Householder 变换（初等反射变换），则 H 是 Rn 的正交变换。
矩阵分析引论--第二章 内积空间-复内积空间、正规矩阵
从而有
11
AAH Q
2 2
Q1 AH A,
n n
所以 A 是正规矩阵. 必要性 (用数学归纳法) 对于一阶矩阵显然成立.
假设定理对于n-1阶矩阵成立，
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第二章第六七节 复内积空间与正规矩阵
设1为A的一个特征值， A1 11, 1为A的属于1的一个单位特征向量，
由引理，存在以1为第一个列向量的酉矩阵Q1， Q1 (1, 2 ,, n ),
且对任何 , V ，都有 (T ,T ) ( , ) ，
则线性变换T 称为V 的一个酉变换.
定义2-11：若 A C nn , 且 AH A AAH E, 则 A 称为酉矩阵.这里 AH是 A 的共轭转置.
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第二章第六七节 复内积空间与正规矩阵
酉矩阵的性质:
(1) 酉矩阵的行列式的模等于1; (2) A1 AH , ( A1 )H ( AH )1 A; (3) 酉矩阵的逆矩阵仍为酉矩阵,
E Q11Q1 (Q111,Q11 2 ,,Q11 n ),
于是有
Q111 (1,0,,0)T ,
Q11 AQ1 Q11( A1, A 2 ,, A n ) 1 b2 bn
(1Q111,Q11 A 2 ,,Q11 A n )
0
B
0
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第二章第六七节 复内积空间与正规矩阵
T1,T 2 ,,T n 也是V 的一个标准正交基；
（4）T在V 的任一标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
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第二章第六七节 复内积空间与正规矩阵
第七节
正规矩阵
定义2-12：设 A C nn ，且 AH A AAH ， 则称A为正规矩阵,
《矩阵分析》课件
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
将矩阵分解为一个正交矩阵Q和 一个上三角矩阵R的乘积。
Jordan标准型及其性质
Jordan标准型定义： 设A是n阶方阵，如果 存在一个可逆矩阵P， 使得P^(-1)AP为 Jordan矩阵，则称A 可以相似对角化为 Jordan标准型。
Jordan标准型的性质
Jordan标准型是唯一 的，即对于给定的方 阵A，其Jordan标准 型是唯一的。
Jordan标准型中的每 个Jordan块对应A的 一个特征值。
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不 能由其中的部分向量线性表示出来。换句话说， 只有当这组向量中任何一个向量都不能由其余向 量线性表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
初等变换和行阶梯形式
初等变换：对矩阵进行以下三种变换称为初等变 换 对调两行（列）。
以数k≠0乘某一行（列）中的所有元。
初等变换和到另一行（列）的对应元上去。
02
行阶梯形式：一个矩阵经过初等行变换可以化为行阶梯形式，
其特点是
非零行在零行的上面。
03
初等变换和行阶梯形式
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
矩阵的特征值与特征向量分析及应用-毕业论文
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！)矩阵的特征值与特征向量分析及应用毕业论文摘要特征值和特征向量是高等代数中的一个重要概念，为对角矩阵的学习奠定了基础.本文在特征值和特征向量定义的基础上进一步阐述了特征值和特征向量的关系.本文还研究矩阵的特征值和特征向量的求解方法.再列举了特征值和特征向量相关的性质.最后给出了阵的特征值与特征向量在生活中的运用，并应用于实例.关键词：矩阵特征值特征向量1AbstractEigenvalues and eigenvectors are important concepts of advanced algebrawhich laid the foundation for the diagonal matrix learning. This paper, on the basis of the definition of eigenvalues and eigenvectors, study the relationship of them. This also study the solution method of eigenvalues and eigenvectors. And then lists the related properties of eigenvalues and eigenvectors. Finally, use the matrixeigenvalues and eigenvectors in ordinary live, and application in real examples. Keywords: matrix ; eigenvalue ; eigenvector目录引言第一章、本征值和本征向量的关系1.1 本征值与本征向量的定义1.2 求解本征值与本征向量的方法探索第二章、矩阵的特征多项式和特征根2.1 矩阵的特征多项式和特征根的定义2.2 求解特征根和特征向量的方法2.3 线性变换的特征根与特征向量的求法第三章、特征值和特征向量在生活中的应用3.1 经济发展与环境污染的增长模型3.2 莱斯利（Leslie）种群模型四、结论引言矩阵是高等代数课程的一个基本概念，是研究高等代数的基本工具.。
矩阵分析课件
初等变换及其性质
初等行变换
01
对矩阵进行某行乘以非零常数、交换两行、某行加上另一行的
若干倍的操作。
初等列变换
02
对矩阵进行某列乘以非零常数、交换两列、某列加上另一列的
若干倍的操作。
初等变换的性质
03
不改变矩阵的秩，且任意多次初等变换可用一个初等变换表示
。
矩阵等价性判断方法
1 2
矩阵等价的定义
若两个矩阵经过有限次初等变换可以相互转化， 则称这两个矩阵等价。
对角化条件及判别方法
对角化条件
n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
判别方法
计算A的特征多项式，求出全部特征值。对于每个特征值，求解(A-λE)x=0得到对应的特征向量。如果所有特征 向量线性无关，则A可对角化。
应用案例：动力学系统稳定性分析
01
系统稳定性定义
动力学系统的稳定性是指系统在受到微小扰动后，能否恢复到原来的平
06
CATALOGUE
矩阵函数与微分运算
常见矩阵函数类型及性质介绍
指数函数
矩阵指数函数具有类似于标量指数函数的性质， 如可微性、可积性等。
三角函数
矩阵三角函数与标量三角函数有类似的性质，如 周期性、奇偶性等。
ABCD
对数函数
矩阵对数函数在某些条件下可以定义为矩阵指数 函数的反函数，具有一些独特的性质。
标准型转化过程
通过正交变换或配方法，可以将二次型转化为标准型，即$f = lambda_1y_1^2 + lambda_2y_2^2 + ... + lambda_ny_n^2$，其中$lambda_i$为特征值。
正定、负定和半正定矩阵判别方法
矩阵分析引论第(2)章
第二章内积空间§1 内积空间的概念§2 正交基及子空间的正交关系§3 内积空间的同构§4 正交变换§5 点到子空间的距离与最小二乘法§6 复内积空间（酉空间）§7 正规矩阵§8 厄米特二次型§9 力学系统的小振动()()()()()()()())( ,,,),( )3( )( ,,, 2 ;,, )1( , , V z z y z x z y x R y x y x x y y x y x R V ∈+=+∈==→λλλ满足：向量的内积内积的定义时，等号成立当且仅当,0),( (4)θ=≥x x x 此时的V 就成为（实）内积空间1. 内积空间的概念()()()为一个内积空间。
可正定义内积为中的任二向量维线性空间若对例n n i i i nnn R y x y x R n ,,,,,,,,, 112121∑==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=ηξηηηξξξ()()()()()()()()()0,,3;,,,)2(;,, )1(,==+=+=y x z x y x z y x y x y x y x θθλλ的性质：内积内积空间之例例1 n 维线性空间R n ()()∑====ni ii n n y x y x 12121),( ,ηξηηηξξξ 此称为欧几里德空间（欧氏空间）()()()为一个内积空间。
可正定义内积为中的任二向量维线性空间若对例n n i i i nnn R y x y x R n ,,,,,,,,, 112121∑==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=ηξηηηξξξ()()()()()()()()()0,,3;,,,)2(;,, )1(,==+=+=y x z x y x z y x y x y x y x θθλλ的性质：内积内积空间之例例2 n 2维线性空间R n ×n ∑==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nj i ijij nn n n n n nn n n n n ba B Ab b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 1,212222111211212222111211),( ,()()()为一个内积空间。
矩阵分析引论--第二章 内积空间-内积空间的同构、正交变换、点到子空间的距离
(T ,T ) ( , ) , , V ,
则T 一定是线性变换，因而是正交变换.
( , ) 0 0. (T( ) T T , T( ) T T ) 0,
T( ) T T , (T(k ) kT ,T(k ) kT ) 0, T(k ) kT .
第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定义2-8：设V是内积空间， , V , 则d( , ) 称为向量与的距离.
距离具有以下性质：
(1) d( , ) d( , ); (2) d( , ) d( , ) d( , ); (3) d( , ) 0,等号成立当且仅当 .
(4) T 在V 的任一标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
定理2-6的证明
证 (1) (2), (T,T ) (, ), 取 = , 即可得.
(2) (3), 取 i j , 由 | T || | 可得
(T(i j ),T(i j )) (i j ,i j ), 整理可得 (T i ,T i ) 2(T i ,T j ) (T j ,T j )
例2: 设T是内积空间V 的一个线性变换. 证明： T是正交变换的充要条件是：T 保持任意两向 量的距离不变，即
| T T || |, , V .
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第二章第三四五节 内积空间的同构与正交变换、最小二乘法
思考：内积空间的保持距离不变的变换是否一
定是线性变换？ 平移变换:T = +0.
线性空间同构
(2) (k ) k ( ); (3) ( ( ), ( )) ( , ). ——保内积不变
史荣昌魏丰版矩阵分析第二章(1)
例1
求下列 λ 矩阵的Smith标准形。 标准形
0 0 (λ − 1)2 0 0
⎡ 0 ⎢ 0 ⎢ (1) ( ) ⎢ 0 ⎢ 2 ⎣λ − λ
3
3
2
⎡ 1− λ ⎢ A(λ ) = ⎢ λ ⎢1 + λ 2 ⎣
λ2 λ ⎤ ⎥ λ −λ ⎥ λ 2 −λ 2 ⎥ ⎦
⇒ D3 (λ ) = λ + λ
2
注意 ：观察 D1 (λ ), D2 (λ ), D3 (λ ) 三者之间的关系。 定理： 等价 λ 矩阵有相同的各阶行列式因子，从而 有相同的秩 有相同的秩。
0 ⎤ −λ ⎥ ⎥ −λ 2 ⎥ ⎦
0 ⎡1 ⎢0 −λ ⎢ 2 ⎢ 0 − λ ⎣
⎤ ⎥ 3 2 −λ − λ + λ ⎥ −λ 4 − λ 3 − λ ⎥ ⎦ 0
⎤ ⎥ ⎥ λ (λ + 1)⎥ ⎦ 0 0
0 ⎤ −λ 3 − λ 2 + λ ⎥ ⎥ −λ 2 − λ ⎥ ⎦
⎡1 0 ⎢0 λ ⎢ ⎢ ⎣0 0
i列 i
行 j 行
定理 对一个 m × n 的 λ -矩阵 A( λ ) 的行作初等行变 换，相当于用相应的 m 阶初等矩阵左乘 A(λ ) 。对 A( λ ) 的列作初等列变换，相当于用相应的 n 阶初 等矩阵右乘 A(λ ) 。
P ( i , j )−1 = P ( i , j ), P ( i ( c ))−1 = P ( i ( c −1 )),
⎡ λ2 + λ − 4 λ−2 λ −1 ⎤ ⎢ 2 ⎥ 2 ⎢ 4λ + 3λ − 7 3λ − 3 λ + 3λ − 4 ⎥ ⎢ 4λ 2 + 3λ − 5 3λ − 2 λ 2 + 3λ − 4 ⎥ ⎣ ⎦
矩阵分析_第二章 北京理工大学
要（2）式成立，取
Q0 D0 , Q1 D1 AQ0 , Q2 D2 AQ1 , , Qk Dk AQk 1 , , Qm 1 Dm 1 AQm 2 ,U 0 Dm AQm 1
定理 A ~ B E A E B 的证明
0 A2 ( ) 0
0 0 A3 ( )
对于 A3 ( ) ，其初等因子为 , 1, 1 由上面的定理可知 A( ) 的初等因子为
, , , 1, 1, 1
的秩为4，故
因为
A( )
A( )
的不变因子为
d 4 ( 1)( 1), d 3 ( 1), d 2 , d1 1
1 0 0, D3 ( ) 1 1
D3 ( ) 1 D2 ( ) 1, D1 ( ) 1
1 0 0 1 D4 ( ) 0 0
5
4 3
0 0 1
4
2
3
2
2 3 4 5
d1 ( ) 1, d2 ( ) 1, d3 ( ) 1 4 3 2 d 4 ( ) 2 3 4 5
例 如果 5 6 矩阵 A( ) 的秩为4，其初等因
子为 , , , 1,( 1) ,( 1) ,( i )
2 2 3 3
( i ) 求 A( ) 的Smith标准形。
3
解：首先求出 A( ) 的不变因子
d 4 ( 1) ( i ) ( i )
E U ( ) P ( E A)V 1 ( ) R( ) [( E A)Q( ) U 0 ]P ( E A)V 1 ( ) R( ) U 0 P ( E A)[Q( ) P V ( ) R( )]
矩阵分析引论--第二章 内积空间-厄米特二次型
称为二次型. 当aij是实数时, f 称为 实二次型 .
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第二章第八节 厄米特二次型
二次型的矩阵表示
a11
f
x1
,
x2
,,
xn
a21
an1
记
a11
A
a21
a12
a22
an1 an2
a12 a22
a1n x1 a2n x2
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第二章第八节 厄米特二次型
定理2-10：对于厄米特二次型f ( X ) X H AX， 存在酉变换X QY (Q是酉矩阵),使 f 化为 标准形：
f 1 y1 y1 2 y2 y2 n yn yn
1 | y1 |2 2 | y2 |2 n | yn |2
则有标准形
f 3 y2 y2 2 y3 y3 .
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第二章第八节 厄米特二次型
定义2-14：设A为厄米特矩阵,若X 0,有 f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是正定的，也称 A 为正定的； f ( X ) X H AX 0,
则称 f 是负定的，也称 A为负定的； f ( X ) X H AX 0,
1 (2,i,1)T , 2 (i,1,i)T ,3 (0,1,i)T ,
1
1 (2,i,1)T , 6
2
1 (i,1,i)T 3
,3
1 (0,1,i)T , 2
以1, 2 , 3作为列向量构成酉矩阵
2 6
i 3
0
Q i 1 1 ,
6 3 2
1 6
i 3
i 2
作酉变换 X= QY (Y=(y1, y2, y3)T ),
矩阵分析第二章 共112页
其为中di|d 1i, 1()(si 是1 ,互异,r的 1 复)，数所，e i以j 是满非足负如整下数关。系因
0 e11 e21 0 e12 e22
er1 er2
定义
称为
0 e1s e2 s ers
2
2 4 4 2 3 7
0
1
2 3 4
0
1
2 3 4
1
2
0
0
2
1
0 4 2 3 1 2 3 4
1
0
0
0
2
1
B ()P ()A ()Q ()
矩阵Smith标准形的存在性
定 理 任意一个非零的mn型的 矩阵都等价于
一个对角矩阵，即
d1 ( )
d2()
A( )
dr ( )
0
0
其中 r 1,di()是首项系数为1的多项式且
d i()d i 1 () (i 1 ,2 , ,r 1 )
相当于用相应的 阶m初等矩阵左乘 A。( 对 ) A ( ) 的列作初等列变换，相当于用相应的 n 阶初等矩阵右
乘 A( ) 。 定义 如果A ( ) 经过有限次的初等变换之后变成 B ( ) ，则称 A ( ) 与 B ( ) 等价，记之为
A() B()
定理 A ( ) 与 B ( ) 等价的充要条件是存在两个可逆 矩阵 P ( ) 与 Q ( ) ，使得
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d1 (λ ) = d 2 (λ ) = d 3 (λ ) = 1, d1 (λ ) = (λ − a) 4
定义：设 定义： 设A(λ)的秩为r, 则对1≤k≤r, A(λ)的全部k阶子式的最 高首一公因式Dk(λ)为A(λ)的k阶行列式因子。对 行列式因子。对k>r, 定义 Dk(λ) = 0 定理：等价矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子 定理： 等价矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子 证明思路：只要证明 证明思路： 只要证明λ-矩阵经一次初等变换后, 秩与行列式 因子不变即可。
r1 ← r1 − r2 ( −1)⋅ r1
2 0 1 ↔c 2 2 c → 3 − 2 4 + 3 − 5 + 3 − 4 λ λ λ λ λ 2 λ − 2 λ +λ −4 λ −1
1 2
2 0 1 → 0 ( 4 λ + 1 )( λ − 1 ) ( λ + 4 )( λ − 1 ) 0 λ (λ − 1) λ −1
2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 4
− 1 r ←r +(λ −a ) r −1 c ←c + ( λ − a ) c → −1 4 (λ − a ) 1 1 −1)⋅ r ; ( −1)⋅r ; ( −1)⋅r ( → 1 4 (λ − a )
1 2 2 λ − 1 ( − a ) ↔c c → 0 −1 λ −a λ − a − 1 r ←r + (λ −a ) r −1 c ←c + ( λ − a ) c → (λ − a ) 3 −1 公因子1 λ − a − 1 − 1 ↔c c → − 1 (λ − a ) 3 λ −a 0
a11 (λ ) a12 (λ ) a (λ ) a ( λ ) 21 22 A(λ ) = M M am1 (λ ) am 2 (λ )
定义：如果 定义： 如果A(λ)中有一个r (r≥1)阶子式不为零，而所有r+1 阶子式(如果有的话)全为零，则称A(λ)的秩为 的秩为r，记为 rank A(λ) = r 定义：设 定义 ：设A(λ), 如果∃另一个λ-矩阵B(λ), 满足 A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = E (单位矩阵) 则称A(λ)为可逆的，称 为可逆的，称B(λ)为A(λ)的逆矩阵， 的逆矩阵，记为A−1(λ) 可逆λ-矩阵也称为 矩阵也称为幺模矩阵 也称为幺模矩阵(unimodular matrix) 定理： 定理 ：A(λ)可逆 ⇔ det A(λ) = 非零常数 证明：“ 证明：“⇒”设A(λ)可逆，则∃B(λ)满足A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = E，从而|A(λ)B(λ)| = |E| = 1，从而|A(λ)| = 非零常数。 ~ “⇐”设d = |A(λ)| = 非零常数，则 d −1 A(λ ) 是一个λ-矩
公因子λ 0 d1 (λ ) = 1 1 0 , ← c + c ; ( −1)⋅c λ 0 0 d 2 (λ ) = λ c → 0 0 λ (λ + 1) d 3 (λ ) = λ (λ + 1)
例 3：
A(λ ) = λ (λ + 1) 2
第二章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形
第一节
λ-矩阵及标准形
定义：设 定义 ：设aij(λ) (i = 1, 2, L, m; j = 1, 2, L, n)为数域F上的多 项式， 项式，则称
L a1n (λ ) L a 2 n (λ ) O M L amn (λ ) 为多项式矩阵或λ-矩阵， 矩阵，称多项式aij(λ) (i = 1, 2, L, m; j = 1, 2, L, n)中最高的次数为A(λ)的次数 例 1：数字矩阵A, 特征矩阵(λE−A)
然后再对A1(λ)进行上述类似操作，如此反复，即可把A(λ) 化成所需形式
1− λ 例 2：把λ-矩阵 A(λ ) = λ 1 + λ2
λ2 λ λ2
λ − λ 化成Smith标准形 − λ2
解：
公因子1
1− λ A(λ ) = λ 1 + λ2 1 λ2 r ←r −r → 0 λ 0 0
定义：如果 定义： 如果A(λ)经过有限次的初等变换之后变成B(λ)，则 称A(λ)与B(λ)等价，记之为 等价，记之为A(λ) ≅ B(λ) 定理：任意一个非零的 定理： 任意一个非零的n阶λ-矩阵A(λ)都等价于一个对角矩 阵，即
d 1 (λ ) d ( λ ) 2 O A(λ ) ≅ d r (λ ) 0 O 0 其中r≥1, di(λ)是首项系数为1的多项式, di(λ)|di+1(λ) (i=1,2,L, r−1)。称与A(λ)等价的上式右端矩阵为A(λ)的Smith标准形
3 3 2 2 2 3
λ (λ + 1) ←c + λ ( λ + 2) c 2 λ ( λ 1 ) c → +
2 2 3
1
1 2 → λ ( λ + 1 )
r1 ↔ r3 c1 ↔ c3 r2 ↔ r3 c 2 ↔ c3
证明思路：构造性。把 证明思路： 构造性。把A(λ)变换为a11(λ)能整除所有其它元 素（a11(λ)为A(λ)所有元素的公因子）且首项系数等于1的形 式，并令d1(λ) = a11(λ)，则
d1 (λ ) A(λ ) ≅
, 其中d1 (λ )能整除A1 (λ )所有元素 A1 (λ )
~ −1 ~ 阵, 其中 A(λ ) 是A(λ)的伴随矩阵。可知：d A(λ ) A(λ ) = E ⇒ A(λ)可逆
定义：下列各种类型的变换，叫做 定义： 下列各种类型的变换，叫做λ-矩阵的初等变换： 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的任二行(列)互换位置; ri ↔ rj (ci ↔ cj) (2) 非零常数d乘矩阵的某一行(列); d⋅ri (d⋅ci) (3) 矩阵的某一行(列)的ϕ(λ)倍加到另一行(列)上去，其中 ϕ(λ)是λ的一个多项式。 rj ← rj + ϕ(λ)ri (cj ← cj + ϕ(λ)ci) 定义：对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换，得到的 定义： 对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换，得到的 λ-矩阵，称为 矩阵，称为初等 称为初等λ-矩阵: P(ri ↔ rj) = P(ci ↔ cj); P(d⋅ri) = P(d⋅ci); P(rj ← rj + ϕ(λ)ri) = P(ci ← ci + ϕ(λ)cj) 都是可逆λ-矩阵 定理：对一个 定理： 对一个m×n的λ-矩阵A(λ)做初等行变换，相当于用相 应的m阶初等λ-矩阵左乘A(λ) ；对A(λ)做初等列变换，相当 于用相应的n阶初等λ-矩阵右乘A(λ)
Di (λ ) d i (λ ) = (i = 1, 2, L, r ) Di −1 (λ )
r2 ← r2 − ( 3λ − 2 ) r1 r3 ← r3 − ( λ − 2 ) r1
0 0 1 0 ( 1 ) ( 1 ) → − − λ λ λ 0 (λ − 1)(λ + 4) (λ − 1)(4λ + 1) 公因子(λ−1)
c 2 ← c 2 − 2 c1 c 2 ↔ c3 r2 ↔ r3
λ (λ + 1) λ
3 3 2
λ (λ + 1) c ←c + c λ → (λ + 1) 2 公因子1 λ (λ + 1) r ←r −(λ + 2) r λ λ → − λ (λ + 2) 1 λ (λ + 1) r ← r − λr 2 λ (λ + 1) 0 → − λ ( λ + 2) 1
公因子λ(λ+1) λ (λ + 1) d1 (λ ) = 1 d 2 (λ ) = λ (λ + 1) d 3 (λ ) = λ (λ + 1) 2
1 → λ (λ + 1) , 2 λ ( λ 1 ) +
例 4：
公因子1
3λ2 + 2λ − 3 2λ − 1 λ2 + 2λ − 3 2 2 A(λ ) = 4λ + 3λ − 5 3λ − 2 λ + 3λ − 4 λ2 + λ − 4 − − 2 1 λ λ
3 3 1 3 3 2 3
λ2 λ λ2
1 λ2 λ c ←c + c − λ → 0 λ 1 λ2 − λ2
1 1 3 2 2 2 1 3 3 1
λ −λ − λ2
λ 0 1 0 c ←c − λ c c ← c − λc − λ →0 λ −λ 0 0 − λ (λ + 1) − λ (λ + 1)
1 1 3
4λ2 + 3λ − 7 3λ − 3 λ2 + 3λ − 4 2 r ←r + r 2 → 4λ + 3λ − 5 3λ − 2 λ + 3λ − 4 λ2 + λ − 4 − 2 − 1 λ λ 2 1 0 2 2 λ λ λ λ λ 4 3 5 3 2 3 4 → + − − + − 2 λ λ−2 λ −1 +λ −4
r3 ← r3 − ( λ + 4 ) r2 ( −1)⋅c3