矩阵分析第二章
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第二章 λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形
第一节
λ-矩阵及标准形
定义：设 定义 ：设aij(λ) (i = 1, 2, L, m; j = 1, 2, L, n)为数域F上的多 项式， 项式，则称
L a1n (λ ) L a 2 n (λ ) O M L amn (λ ) 为多项式矩阵或λ-矩阵， 矩阵，称多项式aij(λ) (i = 1, 2, L, m; j = 1, 2, L, n)中最高的次数为A(λ)的次数 例 1：数字矩阵A, 特征矩阵(λE−A)
3 3 2 2 2 3
λ (λ + 1) ←c + λ ( λ + 2) c 2 λ ( λ 1 ) c → +
2 2 3
1
1 2 → λ ( λ + 1 )
r1 ↔ r3 c1 ↔ c3 r2 ↔ r3 c 2 ↔ c3
2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 4
− 1 r ←r +(λ −a ) r −1 c ←c + ( λ − a ) c → −1 4 (λ − a ) 1 1 −1)⋅ r ; ( −1)⋅r ; ( −1)⋅r ( → 1 4 (λ − a )
3 3 1 3 3 2 3
λ2 λ λ2
1 λ2 λ c ←c + c − λ → 0 λ 1 λ2 − λ2
1 1 3 2 2 2 1 3 3 1
λ −λ − λ2
λ 0 1 0 c ←c − λ c c ← c − λc − λ →0 λ −λ 0 0 − λ (λ + 1) − λ (λ + 1)
1 1 3
4λ2 + 3λ − 7 3λ − 3 λ2 + 3λ − 4 2 r ←r + r 2 → 4λ + 3λ − 5 3λ − 2 λ + 3λ − 4 λ2 + λ − 4 − 2 − 1 λ λ 2 1 0 2 2 λ λ λ λ λ 4 3 5 3 2 3 4 → + − − + − 2 λ λ−2 λ −1 +λ −4
r1 ← r1 − r2 ( −1)⋅ r1
2 0 1 ↔c 2 2 c → 3 − 2 4 + 3 − 5 + 3 − 4 λ λ λ λ λ 2 λ − 2 λ +λ −4 λ −1
1 2
2 0 1 → 0 ( 4 λ + 1 )( λ − 1 ) ( λ + 4 )( λ − 1 ) 0 λ (λ − 1) λ −1
公因子λ(λ+1) λ (λ + 1) d1 (λ ) = 1 d 2 (λ ) = λ (λ + 1) d 3 (λ ) = λ (λ + 1) 2
1 → λ (λ + 1) , 2 λ ( λ 1 ) +
例 4：
公因子1
3λ2 + 2λ − 3 2λ − 1 λ2 + 2λ − 3 2 2 A(λ ) = 4λ + 3λ − 5 3λ − 2 λ + 3λ − 4 λ2 + λ − 4 − − 2 1 λ λ
证明思路：构造性。把 证明思路： 构造性。把A(λ)变换为a11(λ)能整除所有其它元 素（a11(λ)为A(λ)所有元素的公因子）且首项系数等于1的形 式，并令d1(λ) = a11(λ)，则
d1 (λ ) A(λ ) ≅
, 其中d1 (λ )能整除A1 (λ )所有元素 A1 (λ )
a11 (λ ) a12 (λ ) a (λ ) a ( λ ) 21 22 A(λ ) = M M am1 (λ ) am 2 (λ )
定义：如果 定义： 如果A(λ)中有一个r (r≥1)阶子式不为零，而所有r+1 阶子式(如果有的话)全为零，则称A(λ)的秩为 的秩为r，记为 rank A(λ) = r 定义：设 定义 ：设A(λ), 如果∃另一个λ-矩阵B(λ), 满足 A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = E (单位矩阵) 则称A(λ)为可逆的，称 为可逆的，称B(λ)为A(λ)的逆矩阵， 的逆矩阵，记为A−1(λ) 可逆λ-矩阵也称为 矩阵也称为幺模矩阵 也称为幺模矩阵(unimodular matrix) 定理： 定理 ：A(λ)可逆 ⇔ det A(λ) = 非零常数 证明：“ 证明：“⇒”设A(λ)可逆，则∃B(λ)满足A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = E，从而|A(λ)B(λ)| = |E| = 1，从而|A(λ)| = 非零常数。 ~ “⇐”设d = |A(λ)| = 非零常数，则 d −1 A(λ ) 是一个λ-矩
定义：如果 定义： 如果A(λ)经过有限次的初等变换之后变成B(λ)，则 称A(λ)与B(λ)等价，记之为 等价，记之为A(λ) ≅ B(λ) 定理：任意一个非零的 定理： 任意一个非零的n阶λ-矩阵A(λ)都等价于一个对角矩 阵，即
d 1 (λ ) d ( λ ) 2 O A(λ ) ≅ d r (λ ) 0 O 0 其中r≥1, di(λ)是首项系数为1的多项式, di(λ)|di+1(λ) (i=1,2,L, r−1)。称与A(λ)等价的上式右端矩阵为A(λ)的Smith标准形
r3 ← r3 − ( λ + 4 ) r2 ( −1)⋅c3
d1 (λ ) = 1, d1 (λ ) = (λ − 1)Hale Waihona Puke Baidu d1 (λ ) = (λ − 1) 2 (λ + 1)
例 5：
λ − a − 1 a 1 − − λ 公因子1 A(λ ) = λ − a −1 λ − a −1 λ − a λ − a 0 − 1 ↔c c → λ − a −1 λ − a − 1 2 r ←r +(λ −a ) r (λ − a ) −1 c ←c + ( λ − a ) c → λ − a − 1 公因子1 λ − a
d1 (λ ) d ( ) λ 2 O d r (λ ) • 设A(λ ) ≅ Smith 标准形 0 O 0
其中di(λ) (i = 1, 2, L, r)为首一多项式 为首一多项式, di(λ) | di+1(λ) (i = 1, 2, L, r−1)。则： Dk(λ) = d1(λ)d2(λ)Ldk(λ) ⇒ Dk(λ) | Dk+1(λ) (k = 1, 2, L, r−1) ⇒ d1(λ) = D1(λ),
0 0 1 c ← c − λc (λ − 1) 0 →0 2 0 ( 1 )( 4 ) ( 1 ) (λ + 1) λ λ λ − + − −
3 3 2
0 0 1 →0 (λ − 1) 0 2 0 0 ( − 1 ) (λ + 1) λ
r2 ← r2 − ( 3λ − 2 ) r1 r3 ← r3 − ( λ − 2 ) r1
0 0 1 0 ( 1 ) ( 1 ) → − − λ λ λ 0 (λ − 1)(λ + 4) (λ − 1)(4λ + 1) 公因子(λ−1)
c 2 ← c 2 − 2 c1 c 2 ↔ c3 r2 ↔ r3
然后再对A1(λ)进行上述类似操作，如此反复，即可把A(λ) 化成所需形式
1− λ 例 2：把λ-矩阵 A(λ ) = λ 1 + λ2
λ2 λ λ2
λ − λ 化成Smith标准形 − λ2
解：
公因子1
1− λ A(λ ) = λ 1 + λ2 1 λ2 r ←r −r → 0 λ 0 0
Di (λ ) d i (λ ) = (i = 1, 2, L, r ) Di −1 (λ )
公因子λ 0 d1 (λ ) = 1 1 0 , ← c + c ; ( −1)⋅c λ 0 0 d 2 (λ ) = λ c → 0 0 λ (λ + 1) d 3 (λ ) = λ (λ + 1)
例 3：
A(λ ) = λ (λ + 1) 2
4 4 3 3 4 4 3 1 2 3
d1 (λ ) = d 2 (λ ) = d 3 (λ ) = 1, d1 (λ ) = (λ − a) 4
定义：设 定义： 设A(λ)的秩为r, 则对1≤k≤r, A(λ)的全部k阶子式的最 高首一公因式Dk(λ)为A(λ)的k阶行列式因子。对 行列式因子。对k>r, 定义 Dk(λ) = 0 定理：等价矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子 定理： 等价矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子 证明思路：只要证明 证明思路： 只要证明λ-矩阵经一次初等变换后, 秩与行列式 因子不变即可。
~ −1 ~ 阵, 其中 A(λ ) 是A(λ)的伴随矩阵。可知：d A(λ ) A(λ ) = E ⇒ A(λ)可逆
定义：下列各种类型的变换，叫做 定义： 下列各种类型的变换，叫做λ-矩阵的初等变换： 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的任二行(列)互换位置; ri ↔ rj (ci ↔ cj) (2) 非零常数d乘矩阵的某一行(列); d⋅ri (d⋅ci) (3) 矩阵的某一行(列)的ϕ(λ)倍加到另一行(列)上去，其中 ϕ(λ)是λ的一个多项式。 rj ← rj + ϕ(λ)ri (cj ← cj + ϕ(λ)ci) 定义：对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换，得到的 定义： 对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换，得到的 λ-矩阵，称为 矩阵，称为初等 称为初等λ-矩阵: P(ri ↔ rj) = P(ci ↔ cj); P(d⋅ri) = P(d⋅ci); P(rj ← rj + ϕ(λ)ri) = P(ci ← ci + ϕ(λ)cj) 都是可逆λ-矩阵 定理：对一个 定理： 对一个m×n的λ-矩阵A(λ)做初等行变换，相当于用相 应的m阶初等λ-矩阵左乘A(λ) ；对A(λ)做初等列变换，相当 于用相应的n阶初等λ-矩阵右乘A(λ)
λ (λ + 1) λ
3 3 2
λ (λ + 1) c ←c + c λ → (λ + 1) 2 公因子1 λ (λ + 1) r ←r −(λ + 2) r λ λ → − λ (λ + 2) 1 λ (λ + 1) r ← r − λr 2 λ (λ + 1) 0 → − λ ( λ + 2) 1
1 2 2 2 1 2 2 1
− 1 2 λ − 1 ( − a ) ↔c c → 0 −1 λ −a λ − a − 1 r ←r + (λ −a ) r −1 c ←c + ( λ − a ) c → (λ − a ) 3 −1 公因子1 λ − a − 1 − 1 ↔c c → − 1 (λ − a ) 3 λ −a 0
第一节
λ-矩阵及标准形
定义：设 定义 ：设aij(λ) (i = 1, 2, L, m; j = 1, 2, L, n)为数域F上的多 项式， 项式，则称
L a1n (λ ) L a 2 n (λ ) O M L amn (λ ) 为多项式矩阵或λ-矩阵， 矩阵，称多项式aij(λ) (i = 1, 2, L, m; j = 1, 2, L, n)中最高的次数为A(λ)的次数 例 1：数字矩阵A, 特征矩阵(λE−A)
3 3 2 2 2 3
λ (λ + 1) ←c + λ ( λ + 2) c 2 λ ( λ 1 ) c → +
2 2 3
1
1 2 → λ ( λ + 1 )
r1 ↔ r3 c1 ↔ c3 r2 ↔ r3 c 2 ↔ c3
2 3 3 3 2 2 3 3 2 3 4
− 1 r ←r +(λ −a ) r −1 c ←c + ( λ − a ) c → −1 4 (λ − a ) 1 1 −1)⋅ r ; ( −1)⋅r ; ( −1)⋅r ( → 1 4 (λ − a )
3 3 1 3 3 2 3
λ2 λ λ2
1 λ2 λ c ←c + c − λ → 0 λ 1 λ2 − λ2
1 1 3 2 2 2 1 3 3 1
λ −λ − λ2
λ 0 1 0 c ←c − λ c c ← c − λc − λ →0 λ −λ 0 0 − λ (λ + 1) − λ (λ + 1)
1 1 3
4λ2 + 3λ − 7 3λ − 3 λ2 + 3λ − 4 2 r ←r + r 2 → 4λ + 3λ − 5 3λ − 2 λ + 3λ − 4 λ2 + λ − 4 − 2 − 1 λ λ 2 1 0 2 2 λ λ λ λ λ 4 3 5 3 2 3 4 → + − − + − 2 λ λ−2 λ −1 +λ −4
r1 ← r1 − r2 ( −1)⋅ r1
2 0 1 ↔c 2 2 c → 3 − 2 4 + 3 − 5 + 3 − 4 λ λ λ λ λ 2 λ − 2 λ +λ −4 λ −1
1 2
2 0 1 → 0 ( 4 λ + 1 )( λ − 1 ) ( λ + 4 )( λ − 1 ) 0 λ (λ − 1) λ −1
公因子λ(λ+1) λ (λ + 1) d1 (λ ) = 1 d 2 (λ ) = λ (λ + 1) d 3 (λ ) = λ (λ + 1) 2
1 → λ (λ + 1) , 2 λ ( λ 1 ) +
例 4：
公因子1
3λ2 + 2λ − 3 2λ − 1 λ2 + 2λ − 3 2 2 A(λ ) = 4λ + 3λ − 5 3λ − 2 λ + 3λ − 4 λ2 + λ − 4 − − 2 1 λ λ
证明思路：构造性。把 证明思路： 构造性。把A(λ)变换为a11(λ)能整除所有其它元 素（a11(λ)为A(λ)所有元素的公因子）且首项系数等于1的形 式，并令d1(λ) = a11(λ)，则
d1 (λ ) A(λ ) ≅
, 其中d1 (λ )能整除A1 (λ )所有元素 A1 (λ )
a11 (λ ) a12 (λ ) a (λ ) a ( λ ) 21 22 A(λ ) = M M am1 (λ ) am 2 (λ )
定义：如果 定义： 如果A(λ)中有一个r (r≥1)阶子式不为零，而所有r+1 阶子式(如果有的话)全为零，则称A(λ)的秩为 的秩为r，记为 rank A(λ) = r 定义：设 定义 ：设A(λ), 如果∃另一个λ-矩阵B(λ), 满足 A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = E (单位矩阵) 则称A(λ)为可逆的，称 为可逆的，称B(λ)为A(λ)的逆矩阵， 的逆矩阵，记为A−1(λ) 可逆λ-矩阵也称为 矩阵也称为幺模矩阵 也称为幺模矩阵(unimodular matrix) 定理： 定理 ：A(λ)可逆 ⇔ det A(λ) = 非零常数 证明：“ 证明：“⇒”设A(λ)可逆，则∃B(λ)满足A(λ)B(λ) = B(λ)A(λ) = E，从而|A(λ)B(λ)| = |E| = 1，从而|A(λ)| = 非零常数。 ~ “⇐”设d = |A(λ)| = 非零常数，则 d −1 A(λ ) 是一个λ-矩
定义：如果 定义： 如果A(λ)经过有限次的初等变换之后变成B(λ)，则 称A(λ)与B(λ)等价，记之为 等价，记之为A(λ) ≅ B(λ) 定理：任意一个非零的 定理： 任意一个非零的n阶λ-矩阵A(λ)都等价于一个对角矩 阵，即
d 1 (λ ) d ( λ ) 2 O A(λ ) ≅ d r (λ ) 0 O 0 其中r≥1, di(λ)是首项系数为1的多项式, di(λ)|di+1(λ) (i=1,2,L, r−1)。称与A(λ)等价的上式右端矩阵为A(λ)的Smith标准形
r3 ← r3 − ( λ + 4 ) r2 ( −1)⋅c3
d1 (λ ) = 1, d1 (λ ) = (λ − 1)Hale Waihona Puke Baidu d1 (λ ) = (λ − 1) 2 (λ + 1)
例 5：
λ − a − 1 a 1 − − λ 公因子1 A(λ ) = λ − a −1 λ − a −1 λ − a λ − a 0 − 1 ↔c c → λ − a −1 λ − a − 1 2 r ←r +(λ −a ) r (λ − a ) −1 c ←c + ( λ − a ) c → λ − a − 1 公因子1 λ − a
d1 (λ ) d ( ) λ 2 O d r (λ ) • 设A(λ ) ≅ Smith 标准形 0 O 0
其中di(λ) (i = 1, 2, L, r)为首一多项式 为首一多项式, di(λ) | di+1(λ) (i = 1, 2, L, r−1)。则： Dk(λ) = d1(λ)d2(λ)Ldk(λ) ⇒ Dk(λ) | Dk+1(λ) (k = 1, 2, L, r−1) ⇒ d1(λ) = D1(λ),
0 0 1 c ← c − λc (λ − 1) 0 →0 2 0 ( 1 )( 4 ) ( 1 ) (λ + 1) λ λ λ − + − −
3 3 2
0 0 1 →0 (λ − 1) 0 2 0 0 ( − 1 ) (λ + 1) λ
r2 ← r2 − ( 3λ − 2 ) r1 r3 ← r3 − ( λ − 2 ) r1
0 0 1 0 ( 1 ) ( 1 ) → − − λ λ λ 0 (λ − 1)(λ + 4) (λ − 1)(4λ + 1) 公因子(λ−1)
c 2 ← c 2 − 2 c1 c 2 ↔ c3 r2 ↔ r3
然后再对A1(λ)进行上述类似操作，如此反复，即可把A(λ) 化成所需形式
1− λ 例 2：把λ-矩阵 A(λ ) = λ 1 + λ2
λ2 λ λ2
λ − λ 化成Smith标准形 − λ2
解：
公因子1
1− λ A(λ ) = λ 1 + λ2 1 λ2 r ←r −r → 0 λ 0 0
Di (λ ) d i (λ ) = (i = 1, 2, L, r ) Di −1 (λ )
公因子λ 0 d1 (λ ) = 1 1 0 , ← c + c ; ( −1)⋅c λ 0 0 d 2 (λ ) = λ c → 0 0 λ (λ + 1) d 3 (λ ) = λ (λ + 1)
例 3：
A(λ ) = λ (λ + 1) 2
4 4 3 3 4 4 3 1 2 3
d1 (λ ) = d 2 (λ ) = d 3 (λ ) = 1, d1 (λ ) = (λ − a) 4
定义：设 定义： 设A(λ)的秩为r, 则对1≤k≤r, A(λ)的全部k阶子式的最 高首一公因式Dk(λ)为A(λ)的k阶行列式因子。对 行列式因子。对k>r, 定义 Dk(λ) = 0 定理：等价矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子 定理： 等价矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子 证明思路：只要证明 证明思路： 只要证明λ-矩阵经一次初等变换后, 秩与行列式 因子不变即可。
~ −1 ~ 阵, 其中 A(λ ) 是A(λ)的伴随矩阵。可知：d A(λ ) A(λ ) = E ⇒ A(λ)可逆
定义：下列各种类型的变换，叫做 定义： 下列各种类型的变换，叫做λ-矩阵的初等变换： 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的任二行(列)互换位置; ri ↔ rj (ci ↔ cj) (2) 非零常数d乘矩阵的某一行(列); d⋅ri (d⋅ci) (3) 矩阵的某一行(列)的ϕ(λ)倍加到另一行(列)上去，其中 ϕ(λ)是λ的一个多项式。 rj ← rj + ϕ(λ)ri (cj ← cj + ϕ(λ)ci) 定义：对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换，得到的 定义： 对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换，得到的 λ-矩阵，称为 矩阵，称为初等 称为初等λ-矩阵: P(ri ↔ rj) = P(ci ↔ cj); P(d⋅ri) = P(d⋅ci); P(rj ← rj + ϕ(λ)ri) = P(ci ← ci + ϕ(λ)cj) 都是可逆λ-矩阵 定理：对一个 定理： 对一个m×n的λ-矩阵A(λ)做初等行变换，相当于用相 应的m阶初等λ-矩阵左乘A(λ) ；对A(λ)做初等列变换，相当 于用相应的n阶初等λ-矩阵右乘A(λ)
λ (λ + 1) λ
3 3 2
λ (λ + 1) c ←c + c λ → (λ + 1) 2 公因子1 λ (λ + 1) r ←r −(λ + 2) r λ λ → − λ (λ + 2) 1 λ (λ + 1) r ← r − λr 2 λ (λ + 1) 0 → − λ ( λ + 2) 1
1 2 2 2 1 2 2 1
− 1 2 λ − 1 ( − a ) ↔c c → 0 −1 λ −a λ − a − 1 r ←r + (λ −a ) r −1 c ←c + ( λ − a ) c → (λ − a ) 3 −1 公因子1 λ − a − 1 − 1 ↔c c → − 1 (λ − a ) 3 λ −a 0