复变函数第五章留数学习方法指导

第五章 留数

留数（Residue ）理论是复积分理论和复级数理论相结合的产物，它既是复积分问题的延续，又是复级数应用的一种体现，它对复变函数论本身以及实际应用都有着重要的作用．例如，它能给复积分的计算提供一种有效的方法，能为解析函数的零点和极点的分布状况的研究提供一种有效的工具．另外，它还能为数学分析中一些复杂实积分的计算提供有效地帮助．

本章，我们首先引进孤立奇点处留数的定义，利用洛朗展式建立留数计算的一般方法——洛朗展式法，以及各类孤立奇点处留数计算的更细致的方法．在此基础上，再建立反映复变函数沿封闭曲线积分与留数之间密切关系的留数定理，从而有效地解决“大范围”积分计算的问题．其次，介绍留数定理的两个方面的应用．一方面建立利用留数定理计算数学分析中某些定积分和反常积分的计算方法，另一方面建立讨论区域内解析函数的零点和极点分布状况的有效方法，即幅角原理与儒歇定理．

一．学习的基本要求

1．掌握函数在其孤立奇点处的留数的概念以及函数在孤立奇点处的留数计算的一般方法，即洛朗展式法．注意函数在有限孤立奇点处的留数和孤立奇点∞处的留数在定义方面的差异以及罗郎展式法方面的差异．并能熟练地运用洛朗展式法求函数在其孤立奇点处的留数． 2．熟练掌握函数在各类有限孤立奇点处的留数的具体计算方法以及孤立奇点∞处留数的的两种具体计算方法：

洛朗展式法：

1Res ()z f z β-=∞

=-，其中1β-为()f z 在∞处的洛朗展式中1z 的系数．

化为有限点处的留数：20

11

Res ()Res

()z z f z f z z

=∞

==-． 3．了解有限可去奇点处的留数与可去奇点∞处的留数的差异，理解为什么函数在可去奇点

∞处的留数一般不一定为零？

4．掌握留数定理以及含∞的留数定理（即留数定理的推广），并能熟练地运用它们计算函

数沿封闭曲线的积分．能用留数定理导出第3章中的柯西定理和柯西积分公式，从而正确地认识为什么留数定理可以看成柯西定理和柯西公式的统一．

5．了解利用留数计算实积分的基本思想或基本原理：通过适当方法将实积分转化为适当复变函数沿封闭曲线的积分．

熟悉将实积分转化为适当复变函数沿适当封闭曲线的积分的两种途径：

途径一：通过适当变量替换． 途径二：作适当补充路径．

6．熟悉补充积分路径计算积分时，常用的如下三个引理：

引理0 设函数()f z 在角形闭区域

上连续，且lim ()z z D

z f z A →∞∈⋅=，记 0{,}R z z z R z D Γ=-=∈，R Γ的方向是逆时针，则

21lim

()d ()R

R f z z i A θθΓ→+∞

=-⎰

．

［提示］利用积分的估值性，并注意到0lim()()z z D

z z f z A →∞

∈-=，

210

1

d ()R

z i z z θθΓ=--⎰

以及

00210()()()()()d ()d d R

R

R z z f z A z z f z A

f z z i A z z z z R

θθΓΓΓ------=

≤-⎰

⎰

⎰．

引理1 设函数()f z 在闭区域

:D 1020arg()z z θθπ≤≤-≤≤，00r z z ≤-<+∞

上连续，记0{,}R z z z R z D Γ=-=∈，0m >，R Γ的方向是逆时针，若lim ()0z z D

f z →∞

∈=，

则

lim

()d 0R

imz R f z e z Γ→+∞

=⎰

．

［提示］利用积分的估值性，并注意到

其中用到了约当不等式：当02

π

θ≤≤

时，

2

sin θθθπ

≤≤．

引理2 设函数()f z 在圆环形闭区域

:D 1020arg()2z z θθπ≤≤-≤≤，000z z r ≤-≤

上连续，记0{,}r z z z r z D Γ=-=∈，r Γ的方向是逆时针，且

00lim()()z z z D

z z f z A →∈-=，

则

210lim ()d ()r

r f z z i A θθ+

Γ→=-⎰

．

［提示］利用积分的估值性，并注意到

210

1

d ()r

z i z z θθΓ=--⎰

，以及 00210()()()()()d ()d d r

r

r

z z f z A z z f z A

f z z i A z z z z r

θθΓΓΓ------=

≤-⎰

⎰

⎰．

7．熟练掌握以下几种类型的实积分利用留数来计算的方法

① 形如

20

(cos ,sin )d R πθθθ⎰

或(cos ,sin )d R π

π

θθθ-⎰

的积分，

其中(cos ,sin )R θθ是三角有理函数，且分母函数在[0,2]π或[,]ππ-上恒不为零． 特别，当(cos ,sin )R θθ是偶函数时，还可考虑积分

(cos ,sin )d R π

θθθ⎰

．

注意：● 当被积函数是2

cos θ或2

sin θ的有理函数时，可先用公式

21cos (1cos 2)2θθ=+或21

sin (1cos 2)2

θθ=-

降次，再计算．

● 当被积函数是

(cos ,sin )cos R m θθθ⋅或(cos ,sin )sin R m θθθ⋅

时，可利用欧拉公式将积分先化为 再计算．

② 形如

()d R x x +∞-∞

⎰

的反常积分，其中()R x 为实有理函数．