(人教版初中数学)第5章-相交线与平行线教案

教案
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第5章-相交线与平行线
1.相交线
同一平面中,两条直线的位置有两种情况：
相交：如图所示,直线AB与直线CD相交于点O,其中以O为顶点共有4个角：∠1,∠2,∠3,∠4；
邻补角：其中∠1和∠2有一条公共边,且他们的另一边互为反向延长线.像∠1和∠2这样的角我们称他们互为邻补角；
对顶角：∠1和∠3有一个公共的顶点O,并且∠1
的两边分别是∠3两边的反向延长线,具有这种位
置关系的两个角,互为对顶角；
∠1和∠2互补,∠2和∠3互补,因为同角的补角
相等,所以∠1＝∠3.
所以,对顶角相等
例题：
1.如图,3∠1＝2∠3,求∠1,∠2,∠3,∠4的度
数.
2.如图,直线AB、CD、EF相交于O,且AB CD
127,则
⊥,∠=︒
FOB__________.
2_______,∠=
∠=
C
E
A 2 O B
1
F
D
垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直,其中
一条叫做另一条的垂线,它们的交点叫做垂足.如图所示,图
中AB⊥CD,垂足为O.垂直的两条直线共形成四个直角,每个
直角都是90︒.
例题：
如图,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,∠1＝26︒,求∠EOD,∠2,∠3的度数.(思考：∠EOD可否用途中所示的∠4表示？)
垂线相关的基本性质：
（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；
（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短；
（3）从直线外一点到直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.
例题：假设你在游泳池中的P点游泳,AC是泳池的岸,如果此时你的腿抽筋了,你会选择那条路线游向岸边？为什么？
*线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.如何作下图线段的垂直平分线？
练一练：
一副三角板如图所示放置在一起,则图中∠1的度数是多少？
2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线.
平行线公理：经过直线外一点,有且只有一条直线和已知直线平行.
如上图,直线a与直线b平行,记作a//b
3.同一个平面中的三条直线关系：
三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点,有两个交点,有三个交点,没有交点.
（1）有一个交点：三条直线相交于同一个点,如图所示,以交点为顶点形成各
个角,可以用角的相关知识解决；
例题：
如图,直线AB,CD,EF相交于O点,∠DOB是它的余角的两倍,∠AOE＝2∠DOF,且有OG⊥OA,求∠EOG的度数.
（2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行,被第三条直线所截.）如
图所示,直线AB,CD平行,被第三条直线EF所截.这三条直线形成了两个顶点,围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：
*同位角：没有公共顶点的两个角,它们在直线AB,CD的同侧,在第三条直线EF 的同旁（即位置相同）,这样的一对角叫做同位角；
*内错角：没有公共顶点的两个角,它们在直线AB,CD之间,在第三条直线EF的两旁（即位置交错）,这样的一对角叫做内错角；
*同旁内角：没有公共顶点的两个角,它们在直线AB,CD之间,在第三条直线EF 的同旁,这样的一对角叫做同旁内角；
指出上图中的同位角,内错角,同旁内角.
两条直线平行,被第三条直线所截,其同位角,内错角,同旁内角有如下关系：
两直线平行,被第三条直线所截,同位角相等；
两直线平行,被第三条直线所截,内错角相等
两直线平行,被第三条直线所截,同旁内角互补.
如上图,指出相等的各角和互补的角.
例题：
1.如图,已知∠1＋∠2＝180︒,∠3＝180︒,求∠4的度数.
2.如图所示,AB//CD,∠A＝135︒,∠E＝80︒.求∠CDE的度数.
练一练：
1.如图,∠AOB的两边OA和OB均为平面反光镜,∠AOB＝40︒,在OB上有一点P,从P点射出一条光线经OA上的Q点反射后,反射光线QR恰好与OB平行,则∠QPB 的度数是多少？
2.如图,已知AB//EF,BC⊥CD,∠ABC＝30︒,∠DEF＝45︒,则∠CDE等于多少度？写出求解过程.
3.如图,已知AB//CD,直线EF分别交AB,CD于E,F,∠BEF的平分线与∠DEF的角平分线交于点P,求证：∠P＝90︒.
平行线判定定理：
两条直线平行,被第三条直线所截,形成的角有如上所说的性质；那么反过来,如果两条直线被第三条直线所截,形成的同位角相等,内错角相等,同旁内角互补,是否能证明这两条直线平行呢？答案是可以的.
两条直线被第三条直线所截,以下几种情况可以判定这两条直线平行：
平行线判定定理1：同位角相等,两直线平行
如图所示,只要满足∠1＝∠2（或者∠3＝∠4；∠5
＝∠7；∠6＝∠8）,就可以说AB//CD
平行线判定定理2：内错角相等,两直线平行
如图所示,只要满足∠6＝∠2（或者∠5＝∠4）,就
可以说AB//CD
平行线判定定理3：同旁内角互补,两直线平行
如图所示,只要满足∠5+∠2＝180︒（或者∠6+∠4
＝180︒）,就可以说AB//CD
平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线,两条直线平行
这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况,由上图中∠1＝∠2＝90︒就可以得到.
例题：
1.已知：AB//CD,BD平分∠ABC,DB平分∠ADC,求证：DA//BC
A
B1
2D
C
3
4
2.
已知：AF 、BD 、CE 都为直线,B 在直线AC 上,E 在直线DF 上
,且∠=∠12,∠=∠C D ,求证：∠=
∠A F .
D E
F 3
1
24
A B C
练一练：
1.已知：如图,AB//CE,∠=︒∠=︒A B 6045，,求：∠ACD 的度数.
A B C E
D
2
1
2.如图,CD 平分∠ACB,DE ∥BC,∠AED=80°,求∠EDC 的度数.
3.如图,已知AB ∥CD,∠B=65°,CM 平分∠BCE,∠MCN=90°,求∠DCN 的度数.
（3）有三个交点
当三条直线两两相交时,共形成三个交点,12个角,这是三条直线相交的一般情况.如下图所示：
你能指出其中的同位角,内错角和同旁内角吗？
三个交点可以看成一个三角形的三个顶点,三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边.
（4）没有交点：
这种情况下,三条直线都平行,如下图所示：
即a//b//c.这也是同一平面内三条直线位置关系的一种特殊情况.
例题：
如图,CD∥AB,∠DCB=70°,∠CBF=20°,∠EFB=130°,问直线EF与CD有怎样的位置关系,为什么？
练习：
1.如图,∠1=1
2
∠2,∠1+∠2=162°,求∠3与∠4的度数.
2.如图,AB∥CD,HP平分∠DHF,若∠AGH=80°,求∠DHP的度数.
3.根据下列证明过程填空：
如图,BD⊥AC,EF⊥AC,D、F分别为垂足,且∠1=∠4,求证：∠ADG=∠C
证明：∵BD⊥AC,EF⊥AC( )
∴∠2=∠3=90°
∴BD∥EF( )
∴∠4=_____( )
∵∠1=∠4( )
∴∠1=_____( )
∴DG∥BC( )
∴∠ADG=∠C( )
4.阅读下面的证明过程,指出其错误.
已知△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：过A作DE∥BC,且使∠1=∠C
∵DE∥BC(画图)
∴∠2=∠B(两直线平行,内错角相等)
∵∠1=∠C(画图)
∴∠B+∠C+∠3=∠2+∠1+∠3=180°
即∠BAC+∠B+∠C=180°
5.已知：如图,CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°, 求证：DA⊥AB.。