第五节 曲线的上下凸性和拐点资料
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微积分 第四章 第五节 曲线的凸性、拐点与渐近线
当x 0时， y 0,
曲线 在 [0,) 为下凸的；
点(0,0)是曲线的拐点.
y
y x3
Ox
7
例2 求曲线 y 3x4 4 x3 1的凹凸区间及拐点.
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36 x( x 2).
3
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
， ex(1) y e x (1 )e y
取 ，即得 ． 1
ex ey
x y
e 2
2
2
11
故 (0, 0) 不是拐点.
所以曲线无拐点.
y
y 3 x2
o
x
10
利用函数曲线弧的凹凸性可以证 明一些不等式
*例 4
试证明 ex
ey
x y
e 2
，其中 x
y．
2
证 令 y ex ，显然 y ex 0 ，所以 y 在 ex (,) 上是凹的，
据定义有，对于任意 x y 及 (0,1) ，有
第五节 曲线的凸性与拐点
一、曲线的凸性与拐点
问题:如何研究曲线的弯曲方向? y
o
x
1
曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向.
设 f ( x) 是定义在区间 I 上的函数， P1 , P2 是曲线 C：
y f ( x) ( x I ) 上的任意两点, 线段 P1P2 称为曲线 C 的
弦，C 上介于 P1 , P2 之间的曲线段 P1P2 称为 C 的弧.
y f (x)
o x1 x1 x2 x2
2
xo
x1 x1 x2 x2
曲线 在 [0,) 为下凸的；
点(0,0)是曲线的拐点.
y
y x3
Ox
7
例2 求曲线 y 3x4 4 x3 1的凹凸区间及拐点.
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36 x( x 2).
3
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
， ex(1) y e x (1 )e y
取 ，即得 ． 1
ex ey
x y
e 2
2
2
11
故 (0, 0) 不是拐点.
所以曲线无拐点.
y
y 3 x2
o
x
10
利用函数曲线弧的凹凸性可以证 明一些不等式
*例 4
试证明 ex
ey
x y
e 2
，其中 x
y．
2
证 令 y ex ，显然 y ex 0 ，所以 y 在 ex (,) 上是凹的，
据定义有，对于任意 x y 及 (0,1) ，有
第五节 曲线的凸性与拐点
一、曲线的凸性与拐点
问题:如何研究曲线的弯曲方向? y
o
x
1
曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向.
设 f ( x) 是定义在区间 I 上的函数， P1 , P2 是曲线 C：
y f ( x) ( x I ) 上的任意两点, 线段 P1P2 称为曲线 C 的
弦，C 上介于 P1 , P2 之间的曲线段 P1P2 称为 C 的弧.
y f (x)
o x1 x1 x2 x2
2
xo
x1 x1 x2 x2
高等数学 上、下册3_5 曲线的凹凸性与拐点
由 定 义 知 ， 曲 线 yx2是 凹 的 ， 曲 线 y x是 凸 的 .
对 于 fx的 增 减 性 可 有 fx的 导 数 ， 即 fx来 判
定 ， 由 此 可 得 出 曲 线 凹 凸 性 的 判 别 法 .
定理 设函数f x在区间a,b上具有二阶导数， （1）如果在a,b上fx0，则曲线yf x在 a,b上为凹弧； （2）如果在a,b上fx0，则曲线yf x在 a,b上为凸弧.
当 x 0 , 时 ， y 0 ， 故 曲 线 y ln x在 0 , 上 凸 的 .
例 3 判 断 曲 线 y x 3 的 凹 凸 性 . 解y3x2，y6x
当x0时，y0，故曲线yx3在 ,0上是凸的； 当x0时，y0，故曲线yx3在 0,上是凹的. 点0,0为曲 线yx3凹凸弧的 分界点 ，称 为曲线 yx3的 拐
点.
定义 2 设函数 y f x在所考虑的区间内是连续的， 则曲线 y f x上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.
由例 3 可以看出，求曲线的拐点，实际上就是找二阶
导数 f x取正、负值的分界点.于是有以下结论： 若在 x0处 f x0 0，而在 x0的左右两侧 f x异号，则
第五节 曲线的凸凹性与拐点
在讨论函数的图形时，只知道它的增减性是不够
的，例如，图 3-8 中，函数 y x2与 y x ，当 x 0时都
是单调增加的，但它们曲线的弯曲方向是不同的，因此
有必要讨论曲线的凹凸性.
观察 y x2的图形，它是一条沿 y x 轴正向上升且向上弯曲的曲线， 曲线总位于切线的上方，切线斜
点(x0, f (x0 ))一定是曲线 y f x的拐点. 判断曲线 y f x的凹凸性与求拐点的一般步骤如下： (1)求出 f x； (2)找出方程 f x0 0的实根； (3) f x0 0的实根将函数定义域分成若干区间，在每
对 于 fx的 增 减 性 可 有 fx的 导 数 ， 即 fx来 判
定 ， 由 此 可 得 出 曲 线 凹 凸 性 的 判 别 法 .
定理 设函数f x在区间a,b上具有二阶导数， （1）如果在a,b上fx0，则曲线yf x在 a,b上为凹弧； （2）如果在a,b上fx0，则曲线yf x在 a,b上为凸弧.
当 x 0 , 时 ， y 0 ， 故 曲 线 y ln x在 0 , 上 凸 的 .
例 3 判 断 曲 线 y x 3 的 凹 凸 性 . 解y3x2，y6x
当x0时，y0，故曲线yx3在 ,0上是凸的； 当x0时，y0，故曲线yx3在 0,上是凹的. 点0,0为曲 线yx3凹凸弧的 分界点 ，称 为曲线 yx3的 拐
点.
定义 2 设函数 y f x在所考虑的区间内是连续的， 则曲线 y f x上的凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点.
由例 3 可以看出，求曲线的拐点，实际上就是找二阶
导数 f x取正、负值的分界点.于是有以下结论： 若在 x0处 f x0 0，而在 x0的左右两侧 f x异号，则
第五节 曲线的凸凹性与拐点
在讨论函数的图形时，只知道它的增减性是不够
的，例如，图 3-8 中，函数 y x2与 y x ，当 x 0时都
是单调增加的，但它们曲线的弯曲方向是不同的，因此
有必要讨论曲线的凹凸性.
观察 y x2的图形，它是一条沿 y x 轴正向上升且向上弯曲的曲线， 曲线总位于切线的上方，切线斜
点(x0, f (x0 ))一定是曲线 y f x的拐点. 判断曲线 y f x的凹凸性与求拐点的一般步骤如下： (1)求出 f x； (2)找出方程 f x0 0的实根； (3) f x0 0的实根将函数定义域分成若干区间，在每
函数的凸性与拐点
y
yf( x )
o
x1
x2
x3 x
定理
设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：
) f 为 I 上的增函数， (1) f为I上凸函数, (2
(3) 对I上的任意两点 x1, x2 有
f x f x f x x x . 2 1 1 2 1
证
, x x x 任取I上两点 x 及充分小的正数h ,由于 1 2 1 2
引理
f为I上的凸函数的充要条件：对于I上的任意三点， 总有 x x x 1 2 3 f f x f x x f x 2 1 3 2 . x x x x 2 1 3 2 几何上表示凸函数对应 的曲线，其割线斜 上升的 必要性
证:
x 3 x 2 记 , 则 x x 1 x . 2 1 3 x 3 x 1 由f 的凸性知道 : f ( x ) f ( x ( 1 ) x ) f x 1 f x 2 1 3 1 3
x h x x x h , 1 1 2 2
根据f 的凸性及引理有
( 1 ) ( 2 ) :
f x f x h f ( x ) f x f x h f x 1 1 2 1 2 2 . h x x h 2 1
f x f x h f ( x ) f x f x h f x 1 1 2 1 2 2 . h x x h 2 1
abc abc a b c . a b c 3
例5 设 f 为开区间 I内的凸（凹）函数，证明 f在I内任一点 都存在左，右导数。
证
仅证凸函数存在右导数，其余类似可证。 f ( x h ) f ( x ) 0 0 x ( a , b ), 要证 lim 存在。 0 h 0 h f ( x h ) f ( x )则 0 0 0 h h , 有 令 F ( h ) , 1 2 h
yf( x )
o
x1
x2
x3 x
定理
设f为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：
) f 为 I 上的增函数， (1) f为I上凸函数, (2
(3) 对I上的任意两点 x1, x2 有
f x f x f x x x . 2 1 1 2 1
证
, x x x 任取I上两点 x 及充分小的正数h ,由于 1 2 1 2
引理
f为I上的凸函数的充要条件：对于I上的任意三点， 总有 x x x 1 2 3 f f x f x x f x 2 1 3 2 . x x x x 2 1 3 2 几何上表示凸函数对应 的曲线，其割线斜 上升的 必要性
证:
x 3 x 2 记 , 则 x x 1 x . 2 1 3 x 3 x 1 由f 的凸性知道 : f ( x ) f ( x ( 1 ) x ) f x 1 f x 2 1 3 1 3
x h x x x h , 1 1 2 2
根据f 的凸性及引理有
( 1 ) ( 2 ) :
f x f x h f ( x ) f x f x h f x 1 1 2 1 2 2 . h x x h 2 1
f x f x h f ( x ) f x f x h f x 1 1 2 1 2 2 . h x x h 2 1
abc abc a b c . a b c 3
例5 设 f 为开区间 I内的凸（凹）函数，证明 f在I内任一点 都存在左，右导数。
证
仅证凸函数存在右导数，其余类似可证。 f ( x h ) f ( x ) 0 0 x ( a , b ), 要证 lim 存在。 0 h 0 h f ( x h ) f ( x )则 0 0 0 h h , 有 令 F ( h ) , 1 2 h
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
凹
x
o
x
弦在曲线上方
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1 )
凸
f ( x)
y
f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x2 )
x1 x 2 x x 2 2
o
x1 x1 x 2 2
x2 x
o
x1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
一、曲线凹凸的定义
对 I 上任意两点x1 , x2， 定义1：若函数 f ( x)在区间 I上连续，
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) （1）如果恒有 f ( 2 ) 2 那么称 f ( x)在 I 上的图形是凸的。
_
（2）如果恒有 那么称
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
f ( x )的极值点. 拐点：
凹
f ( x) 0
凸
f ( x) 0
f ( x )
f ( x )
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
四、计算凹凸区间与拐点的步骤
1）求函数的定义域； 2）求 f ( x)； 3）求出 f ( x) 0的点，和 f ( x) 不存在的点；
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y y
o
凹
x
o
x
弦在曲线上方
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1 )
凸
f ( x)
y
f ( x)
f ( x2 )
f ( x1 )
f ( x2 )
x1 x 2 x x 2 2
o
x1 x1 x 2 2
x2 x
o
x1
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
一、曲线凹凸的定义
对 I 上任意两点x1 , x2， 定义1：若函数 f ( x)在区间 I上连续，
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) （1）如果恒有 f ( 2 ) 2 那么称 f ( x)在 I 上的图形是凸的。
_
（2）如果恒有 那么称
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) 2 2
f ( x )的极值点. 拐点：
凹
f ( x) 0
凸
f ( x) 0
f ( x )
f ( x )
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
四、计算凹凸区间与拐点的步骤
1）求函数的定义域； 2）求 f ( x)； 3）求出 f ( x) 0的点，和 f ( x) 不存在的点；
曲线的凹凸性与拐点
曲线的凹凸性与拐点在数学中，曲线的凹凸性以及拐点对于研究曲线的性质和变化具有重要的意义。
凹凸性可以帮助我们理解曲线的弯曲程度以及变化趋势，而拐点则是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该处发生方向的变化。
本文将介绍曲线的凹凸性与拐点的概念，以及它们在数学和其他实际应用中的重要性。
一、凹凸性的定义与判断凹凸性是描述曲线在某一区间上的弯曲程度的性质。
我们有以下两个定义来判断曲线的凹凸性：1. 凹曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线上方，则称该曲线为凹曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凹曲线。
2. 凸曲线：如果曲线上的任意两点连线的下方部分都在曲线下方，则称该曲线为凸曲线。
换句话说，如果对于曲线上的任意两点A和B，A和B连线的下方不与曲线相交，则该曲线为凸曲线。
凹凸性的判断可以通过曲线的二阶导数来进行。
如果曲线的二阶导数大于0，则曲线为凹曲线；如果二阶导数小于0，则曲线为凸曲线。
而当二阶导数恰好为0时，需要考虑其他方法。
二、拐点的定义与判断拐点是曲线上的一个特殊点，表示曲线在该点处方向发生改变。
我们有以下定义来判断曲线是否存在拐点：1. 拐点：如果曲线在某一点处既没有切线也没有二阶切线（即曲线在该点处没有明确的方向），则称该点为拐点。
判断曲线是否存在拐点可以通过曲线的三阶导数来进行。
如果曲线的三阶导数存在不连续的点，则该点即为拐点。
值得注意的是，如果曲线的三阶导数的符号在该点的左右两侧不同，也可以判断该点为拐点。
三、凹凸性与拐点的应用与意义凹凸性和拐点不仅仅在数学领域中有重要性，还被广泛应用于其他学科和实际问题中，如物理学、经济学等。
在物理学中，凹凸性可以帮助解释某一物体的形状和弯曲程度，例如在光学中，曲率半径越小的曲面会导致光线的弯曲程度越大。
因此，通过研究光线在曲面上的传播可以利用凹凸性来分析光的折射和反射现象。
在经济学中，凹凸性可以用来描述供需曲线的变化趋势。
高等数学第6章第5节函数的凹凸性个与拐点
§5.函数的凹凸性个与拐点引言上面已经讨论了函数的升降与极值，这对函数性状的了解是有很大作用的．为了更深入和较精确地掌握函数的性状，我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系．什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例，从直观上看一看何谓函数的凸性．如函数y 所表示的曲线是向上凸的，而2y x =所表示的曲线是向下凸的，这与我们日常习惯上的称呼是相类似的．或更准确地说：从几何上看，若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的，那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方．如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？在曲线上任取两点A 、B ，设其坐标分别为11(,())x f x 、22(,())x f x ，弦AB 在曲线上方⇔12(,)x x x ∀∈，有211121()()()()()f x f x f x f x x x x x -≤+--，可简化为(0,1)λ∀∈，12,x x I ∀∈都有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，从而有以下定义：一、 凸（凹）函数的定义及判定1 凸（凹）函数的定义定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数．反之，如果总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数．注 易证：若一f 为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数，因此，今后只讨论凸函数的性质即可．2、凸函数的判定1引理 f 为I 上的凸函数⇔对于I 上任意三点123x x x <<总有：32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤-- 注 同理可证：有上任意三点对上的凸函数为,321x x x I I f <<⇔232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤-- （4） 如果f 是I 上的可导函数，则进一步有：2 定理6.13（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数，则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-如果f 在I 上二阶可导，则进一步有：3定理6．14（凸函数与二阶导数的关系） 设f 为I 上的二阶可导函数，则在I 上f 为凸（凹）函数⇔()0f x ''>（()0f x ''<），x I ∈． 二、 曲线的拐点定义及判定1 定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的，这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．注：拐点是严格凸与严格凹的分界点2定理6．15（拐点必要条件） 若f 在0x 二阶可导，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点的必要条件是0()0f x ''=．综上知：(00,()x f x )的拐点，则要么（1）0()0f x ''=；要么（2）f 在0x 点不可导．3定理6．16 设f 在点0x 可导，在某邻域0()U x 内二阶可导，若在0()U x +和0()U x -上()f x ''的符号相反，则(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点．；注：(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点，但y ＝f(x)在点0x的导数不一定存在，如y =在x ＝0的情形．三、应用举例（1）利用上述等价命题验证函数的凹凸性，确定凹凸区间．例1 讨论函数()arctan f x x =的凸（凹）性及拐点．（2）证明不等式例2：（Jensen 不等式）若f 为],[b a 上凸函数，则对任意),,2,1(0],,[n i b a x i i =>∈λ11=∑=n i i λ，有)()(11ini i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ 例3 证明均值不等式：,,,21+∈∀R a a a n 有na a a a a a a a a nn n n n +++≤≤+++ 212121111 作业：P153 1（2）（4），2，3，4，5。
曲线的凹凸性和拐点和图象课件公开课获奖课件
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
第19页
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
第4页
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
4x
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
第11页
x (,0) ０
y
＋
不存在
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
曲线的凹凸性与拐点
o
x
凸：切线的的斜率递减 f (x) 递减，即 f (x) 0
二、曲线凹凸的判定
定理：若函数f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一、 二阶导数，则 （1）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
那么 f (x)在[a,b]内图像是凸的. （2）若果在(a, b)内有 f (x) 0，
曲线的凹凸性与拐点
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
o
x
都是上升的曲线，但是上升的方式不一样； 红色曲线上升的速度在增加，蓝色曲线上升速度减少； 呈现出来的不同的弯曲方式。
一、曲线凹凸的定义
观察：
y
y
o
x
凹
弦在曲线上方
o
x
凸
弦在曲线下方
一、曲线凹凸的定义
凹
y f ( x1)
f (x) f (x2 )
那么 f (x)在[a,b]内图像是凹的.
三、拐点
拐点：连续曲线凹弧与凸弧的分界点称为拐点。 拐点
凸凹
凸
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
三、拐点
拐点
凸
f (x) 0
凹
f (x) 0
凸
f (x) 0
f (x)
f (x)
f (x)
拐点：f (x)的极值点.
拐点可能是二阶导数等于0的点，和二阶导数不存在的 点.
凸
y
f (x)
f ( x1)
f (x2 )
o x1 x1 x2 2
x2 x
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
2
2
o x1
x1 x2
高等数学-曲线的凹凸性及拐点
曲线的凹凸性和拐点的判别
例3 求曲线 =
解
3
的凹凸区间和拐点.
定义域为(−∞, +∞).
′
=
1
3
3 2
,
″
=−
2
39Leabharlann 2. = 0时， ′ ，′′都不存在.
+
凹
0
凸
由表可知，曲线的凹区间为(−∞, 0) ，凸区间为(0， + ∞)，
曲线的拐点为 (0,0).
9
″ () = 12 2 − 30 + 12 = 6(2 − 1)( − 2)，
令 ″ ()
= 0，得1 =
+
凹
1
，2
2
0
= 2.
凸
0
+
凹
1
由表可知，曲线的凹区间为(−∞, )和(2, +∞)，凸区间为
2
1
1 7
( , 2)，曲线的拐点为( , )和(2, −5).
2
2 16
8
02
微分中值定理及导数的应用
第6讲
曲线的凹凸性及拐点
本节内容
01 曲线的凹凸性和拐点的定义
02 曲线的凹凸性和拐点的判别
2
01 曲线的凹凸性和拐点的定义
定义3.2
设函数 = ()在开区间(, )内可导，在该
区间内如果曲线位于其任何一点切线的上方，
那么称此曲线在区间(, )内是凹的，区间
区间(, )内具有二阶导数.
（1）在(, )内，若 ″ () > 0，那么曲线 = ()在
[, ]上是凹的.
（2）在(, )内，若 ″ () < 0，那么曲线 = ()在
第三章第五节曲线的凹凸性及拐点
y
2
y = f (x)
y
y = f (x)
x1 + x2 f 2
o
x1
x2 x
o
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
x1 + x 2 2
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
区 连 , 果 任 两 定义1 f 定义 设 ( x)在 间 I 上 续 如 对I 上 意 x1 + x2 f ( x1) + f ( x2 ) )< ,那 称 点x1, x2, 恒 f ( 有 末 2 2 f ( x) 在I 上 图 是 向 ） 的 或 弧 ; 的 形 （ 上 凹 （ 凹 ） x1 + x2 f ( x1) + f ( x2 ) )> ,那 称 f ( x) 如 恒 f( 果 有 末 2 2 在I 上 图 是 向 ） 的 或 弧 ． 的 形 （ 上 凸 （ 凸 ）
（1） 确定函数 f (x)的定义域； 定义域；
(2)求出f ( x) 的二阶导数f ′′( x);
(3)求出使f ′′( x) = 0的点和使二阶导数不存在的点;
( 4)根据f ′′( x) 在(3)中求出的点两侧邻近的 符号， 确定曲线的拐点.
例3
求曲线 y = ( x − 1)3 x 的拐点.
,
得 x1 = −1, x2 = 1.
当 x < −1时，y′′ > 0; 当 − 1 < x < 1时，y′′ < 0; 当 x > 1时，y′′ > 0.
所以曲线 y = e
x2 − 2
的凹区间为(−∞,−1), (1,+∞);
− 1 2 − 1 2
高等数学--4.5曲线凸性、拐点与渐近线
点 ( 0 , 0 ) 是曲线
y
3
x的拐点 .
9
信息学院
考研题欣赏
罗捍东
（2004年3，4）设 f ( x ) x ( x 1) ，则 (A)x=0是f(x)的极值点，但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点。 (B)x=0不是f(x)的极值点，但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。 (C)x=0是f(x)的极值点，且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点。
规范的定义：如果函数y=f(x)在(a，b )内任意 两点x1，x2都满足： f ( 则称该曲线为上凸。 足： f ( x
x2 2
x1 x 2 2
)
f ( x1 ) f ( x 2 ) 2
如果函数y=f(x)在(a，b )内任意两点x1，x2都满
1
)
f ( x1 ) f ( x 2 ) 2
( 2 ,0 )
0
不存在
( 0 , )
0
拐点
( 3, 26 9 )
0
间 断 点
23
极值点
3
信息学院
补充点 : ( 1
A ( 1 , 2 ),
罗捍东
(1 3 , 0 );
C ( 2 ,1 ).
B
3 , 0 ),
B ( 1 , 6 ), y
6
作图
1
3
证： f ( x ) 二阶可导 , f ( x ) 存在且连续 ,
又 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 是拐点 ,
则 f ( x ) [ f ( x ) ] 在 x 0 两边变号 ,
f ( x ) 在 x 0 取得极值 ,
第五节 曲线的上下凸性和拐点
3 2
D : (,)
3
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
下凸
( 0, 2 ) 3
2
3
( 2 ,) 3
上凸
0
拐点
下凸
(0,1)
( 2 , 11 ) 3 27
10
f ' (1 ) x x1 f ' (2 ) x x2
x2 x1 ' ' f ( ) f ( 2 ) 1 2 x2 x1 " f ( ) 1 2 2
1 x1 , x , 2 x, x1
1 , 2
y
C : y f ( x)P2 Nhomakorabeay
C : y f ( x)
P2 P1
o
P1
x
o
下凸—上凹—凹
x 上凸—下凹—凸
3
实际上，只要考虑[ x1 , x2 ] 的中点就可以了。
y
y f ( x)
f ( x1 ) f ( x 2 ) 2
y
f(
x1 x 2 ) 2
y f ( x)
f(
x1 x 2 ) 2
当曲线是下凸的时， f (x)单调增加。 当曲线是上凸的时， f (x)单调减少。 曲线下凸与上凸的分界点称为曲线的拐点。 拐点
下凸
上凸
5
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
D : (,)
3
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点
下凸
( 0, 2 ) 3
2
3
( 2 ,) 3
上凸
0
拐点
下凸
(0,1)
( 2 , 11 ) 3 27
10
f ' (1 ) x x1 f ' (2 ) x x2
x2 x1 ' ' f ( ) f ( 2 ) 1 2 x2 x1 " f ( ) 1 2 2
1 x1 , x , 2 x, x1
1 , 2
y
C : y f ( x)P2 Nhomakorabeay
C : y f ( x)
P2 P1
o
P1
x
o
下凸—上凹—凹
x 上凸—下凹—凸
3
实际上，只要考虑[ x1 , x2 ] 的中点就可以了。
y
y f ( x)
f ( x1 ) f ( x 2 ) 2
y
f(
x1 x 2 ) 2
y f ( x)
f(
x1 x 2 ) 2
当曲线是下凸的时， f (x)单调增加。 当曲线是上凸的时， f (x)单调减少。 曲线下凸与上凸的分界点称为曲线的拐点。 拐点
下凸
上凸
5
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
第五节曲线的凹凸性拐点与渐近线
例3 讨论曲线 f (x) x4 2x3 1 拐点.
解 f ( x)的定义域为(,)
f ( x) 4x3 6x2
f ( x) 12x( x 1)
令 f ( x) 0 得 x 0, x 1
x
f ( x) f (x)
( ,0) 0 (0,1)
0
拐点(0,1)
1 (1, )
0
拐点(1,0)
x0
x0
故有垂直渐近线 x 0.
练习 求曲线
y
(1
1 1
x)e x
的渐近线.
解
(3)
lim
f (x)
lim(1
1
1
)e
1 x
e0
x x
x
x
1 1
lim [ f ( x) ex ] lim[(1 x)e x ex]
x
x
1 1
1 1
1 1
lim[e x x(e x e)] e l i m x(e x e)
例4 讨论曲线 f ( x) ( x 1)3 x5 的凹凸性与拐点 解 f ( x)的定义域为(,)
f
( x)
8
5
x3
5
2
x3
33
令
f
(
x)
0
得
x
1 4
f ( x) 10 4x 1 9 3x
另 f (0) 不存在
x ( ,0) 0
1 (0, )
4
1 4
( 1 , ) 4
f (x)ຫໍສະໝຸດ 不存在 利用凹凸性证明不等式
例2
试证明0
x
时,有
sinx 2
x
.
3_5曲线的凹凸性,拐点
曲线凹凸的判定
y
y = f (x)
A
B
y
y = f (x)
B
A
o
a
f ′(x) 递增
b
x
o
a
f ′(x) 递减
y′′ > 0
b x y′′ < 0
定理1 定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内具有二阶导 数 , 若在 (a , b ) 内
(1) f ′′( x ) > 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是上凹的 ;
上凹区间为 ( −∞ ,0], [ 2 , +∞ ), 上凸区间为 [0, 2 ]. 3 3
(0,0), ( 2 , 11 )为拐点。 为拐点。 3 27
函数图形的描绘 1 曲线的渐近线 定义3 定义3 当曲线 y = f ( x ) 上的一动点 P 沿着曲线
移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离趋向
( x → −∞ )
2( x − 2)( x + 3) 的渐近线. 例7 求 f ( x ) = x −1 解 D : ( −∞ ,1) ∪ (1,+∞ ). ∵ lim f ( x ) = − ∞ , lim f ( x ) = + ∞ ,
∴ x = 1 是曲线的铅直渐近线 . f ( x) 2( x − 2)( x + 3) 又 ∵ lim = lim = 2, x →∞ x →∞ x x ( x − 1) 2( x − 2)( x + 3) lim [ − 2 x] x →∞ ( x − 1)
x →+∞ x →−∞
如果 lim f ( x ) = b 或 lim f ( x ) = b (b 为常数 ), 那么
曲线的凸凹性与拐点课件
凸函数的性 质
凸函数的性质
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x_1, x_2 \in I$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
凸函数的性质还包括
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x \in I$， 都有$f(\frac{x + x}{2}) \leq f(x)$。
定义
对于函数$f(x)$，如果$f''(x_{0})=0$ 且$f'(x_{0})\neq 0$，那么点 $(x_{0},f(x_{0}))$称为函数$f(x)$的拐 点。
拐点的求法
求解方法一
直接求解法。通过观察函数的导数形式，确定导数在某一点为零，然后进一步求 解二阶导数在该点的值，判断其是否为零。
VS
极值的意义
极值反映了函数在某一点附近的变化情况， 是局部的、暂时的最大值或最小值。
极值的求法
01
02
03
04
判断函数的单调性
根据导数与函数单调性的关系， 判断函数在某区间内的单调性，
寻找极值点。
求导数
根据函数表达式求出导数，并 找到导数为零的点。
判断导数的符号
判断导数在零点附近的符号变 化，以确定极值的存在性。
凹函数的几何特征
曲线开口向下，即函数图像是向内凹的。
凹函数的性 质
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$。
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $\frac{f(x_{1})}{x_{1}} \leq \frac{f(x_{2})}{x_{2}}$。
第五节 曲线的上下凸性和拐点资料
f "( ) 1 2
1,2
0 7
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性.
解 y 3x2, y 6x, 当x 0时， y 0,
曲线 在 (,0] 为上凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在 [0,) 为下凸的；
点(0,0)是 曲 线 的 拐 点.
y
y x3
Ox
8
拐点的求法：
1.找出二阶导数为零的点或不可导点； 2.若它两侧的二阶导数值异号,则为 拐点；若同号则不是拐点.
bx y 0
定理 设函数 f ( x) 在[a, b] 上连续，在(a, b) 内
二阶可导.
(1) 如果 f ( x) 0 , x (a, b) ,
则曲线 y f ( x) 在[a, b] 上是下凸的；
(2) 如果 f ( x) 0 , x (a, b) ,
则曲线 y f (x) 在[a, b] 上是上凸的。
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
y f (x)
o x1 x1 x2 x2
2
xo
x1 x1 x2 x2
2
下凸：f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
2
2
上凸：f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
2
2
x
4
曲线凸性的判定
6
定理 设函数 f ( x) 在[a, b] 上连续，在(a, b) 内
二阶可导.
(1) 如果 f ( x) 0 , x (a, b) ,
则曲线 y f ( x) 在[a, b] 上是下凸的；
x1、x2，x1<x2,记x
x1 x2 。 2
4-5曲线的凸凹及拐点
如果f ( x )在[a , b]内连续, 且在 (a , b) 内的图形是凹 (或凸)的, 那末称 f ( x )在[a , b] 内的图形是凹(或凸)的 ;
四、小结
曲线的弯曲方向——凹凸性;
凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法1, 2.
思考题
设 f ( x ) 在(a , b ) 内二阶可导，且 f ( x 0 ) 0 ， 其中 x 0 ( a , b ) ，则( x 0 , f ( x 0 )) 是否一定为 曲线 f ( x ) 的拐点？举例说明.
故 y 上凹区间： xe x
( 2, )
( 拐点 下凹区间： ,2)
( 2,2e 2 )
例6 求 y 3 x 1 x / 3 增减、凹向区间、极值与拐点. 2 解 D( y ) ( , ) y 1 ( x 1) 3 1 ,
5 3 0 x 0, x 2 ,x = 1 不可导点 y 2 ( x 1) 3 y 9 列表考察一阶、二阶导数的符号 x (,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 ( 2, ) 不 y — + + 0 0 可 — 导 y + + — + y 1/ 3 1/ 3 1
x x
为常数)那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 . 斜渐近线求法: lim f ( x ) a , lim[ f ( x ) ax] b. x x x 那么 y ax b 就是曲线y f ( x) 的一条斜渐近线 . f ( x) 注意: 如果 1 lim 不存在; x x f ( x)
O
x
e x (1 e x ) /(1 e x ) 3 y
四、小结
曲线的弯曲方向——凹凸性;
凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法1, 2.
思考题
设 f ( x ) 在(a , b ) 内二阶可导，且 f ( x 0 ) 0 ， 其中 x 0 ( a , b ) ，则( x 0 , f ( x 0 )) 是否一定为 曲线 f ( x ) 的拐点？举例说明.
故 y 上凹区间： xe x
( 2, )
( 拐点 下凹区间： ,2)
( 2,2e 2 )
例6 求 y 3 x 1 x / 3 增减、凹向区间、极值与拐点. 2 解 D( y ) ( , ) y 1 ( x 1) 3 1 ,
5 3 0 x 0, x 2 ,x = 1 不可导点 y 2 ( x 1) 3 y 9 列表考察一阶、二阶导数的符号 x (,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 ( 2, ) 不 y — + + 0 0 可 — 导 y + + — + y 1/ 3 1/ 3 1
x x
为常数)那么 y ax b 就是 y f ( x ) 的一条斜渐近线 . 斜渐近线求法: lim f ( x ) a , lim[ f ( x ) ax] b. x x x 那么 y ax b 就是曲线y f ( x) 的一条斜渐近线 . f ( x) 注意: 如果 1 lim 不存在; x x f ( x)
O
x
e x (1 e x ) /(1 e x ) 3 y
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f "( ) 1 2
1,2
0 7
例1 判断曲线 y x3 的凹凸性.
解 y 3x2, y 6x, 当x 0时， y 0,
曲线 在 (,0] 为上凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在 [0,) 为下凸的；
点(0,0)是 曲 线 的 拐 点.
y
y x3
Ox
8
拐点的求法：
1.找出二阶导数为零的点或不可导点； 2.若它两侧的二阶导数值异号,则为 拐点；若同号则不是拐点.
观察与思考： 曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？ 当曲线是下凸的时， f (x)单调增加。 当曲线是上凸的时， f (x)单调减少。
曲线下凸与上凸的分界点称为曲线的拐点。
拐点
下凸
上凸
5
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
注意：拐点要写出横坐标和纵坐标。
例 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x 0时,
y
1
2
x 3,
y
2
x
5 3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
但在(,0)内, y 0, 在(0,)内, y 0,
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点. 9
例 求曲线y 3x4 4x3 1的凹凸区间
第四节 曲线的上下凸性和拐点
问题:如何研究曲线的弯曲方向? y
o
x
1
曲线的上、下凸性就是曲线弯曲的方向.
y
C : y f (x)
P2
P1
o
x
设 f ( x) 是定义在区间 I 上的函数，P1, P2 是曲线 C：
y f ( x) ( x I ) 上的任意两点, 线段P1P2 称为曲线 C 的
f (x2 )
2 f (x) f (x1) f (x2) f (x) f (x1) f (x) f (x2)
f '(1) x x1 f '(2) x x2
1 x1, x ,2 x, x1
x2 x1 2
f ' (1) f ' (2 )
x2 x1 2
bx y 0
定理 设函数 f ( x) 在[a, b] 上连续，在(a, b) 内
二阶可导.
(1) 如果 f ( x) 0 , x (a, b) ,
则曲线 y f ( x) 在[a, b] 上是下凸的；
(2) 如果 f ( x) 0 , x (a, b) ,
则曲线 y f (x) 在[a, b] 上是上凸的。
的弦 P1P2 总在弧 P1, P2 之下，则称曲线 C 是上凸的。
y
C : y f (x)
y
C : y f (x)P2P2 NhomakorabeaP1
o
x
下凸—上凹—凹
P1
o
x
上凸—下凹—凸
3
实际上，只要考虑[x1, x2 ] 的中点就可以了。
y
y f (x) y
f ( x1 ) f ( x2 )
2
f ( x1 x2 ) 2
6
定理 设函数 f ( x) 在[a, b] 上连续，在(a, b) 内
二阶可导.
(1) 如果 f ( x) 0 , x (a, b) ,
则曲线 y f ( x) 在[a, b] 上是下凸的；
x1、x2，x1<x2,记x
x1 x2 。 2
以下证：f ( x1 x2 ) 2
f (x1) 2
及 拐 点.
解 D : (,)
y 12x3 12x2, y 36x( x 2).
令y 0,
得
x1
0,
x2
2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f (x)
下凸
拐点
(0,1)
拐点
上凸 (2 3 ,1127)
下凸
10
弦，C 上介于 P1, P2 之间的曲线段P1P2 称为 C 的弧. 2
定义 如果曲线C : y f ( x) ( x I ) 上任意两点P1, P2
的弦 P1P2 总在弧 P1, P2 之上，则称曲线 C 是下凸的；
如果曲线C : y f ( x) ( x I ) 上任意两点P1, P2
f ( x1 x2 ) 2
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
y f (x)
o x1 x1 x2 x2
2
xo
x1 x1 x2 x2
2
下凸：f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 )
2
2
上凸：f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
2
2
x
4
曲线凸性的判定