上海交通大学流体力学

由(a)式积分得
p g rsin f ( ,z)
上式中f 为任意函数，将上式代入(b)式得
0
g
cosFra Baidu bibliotek
gcos
1 r
3. 入口段长度 层流入口段 L=(60 ~ 138)d 湍流入口段 L=(20 ~ 40)d
(Re=1000~2300) (Re=104~106)
C3.3 平行平板间层流流动 工程背景：滑动轴承润滑油流动；滑块与导轨间隙流动：活塞 与缸壁间隙流动等。
C3.3.1 平板泊肃叶流动（4－1）
已知条件： (1) =常数； =常数
2u y 2
)
0 00
0
00
( v
t
u
v x
v
v ) y
fy
p y
(
2v x2
2v y2
)
简化得：
p x
d2u dy2
,
p 0 y
第二式表明压强与y无关（截面上均布），仅是x的函数。 第一式左边与y无关，右边与x无关，只能均为常数。
C3.3.1 平板泊肃叶流动(4-3)
可得
d2u 1 dp 常数 dy2 dx
所示。设vr = vθ= 0，由连续性方程可得
vz 0 z
解得vz = vz (r)；重力在z轴方向分量为零，N-S方程在柱坐标系中的分量式
为附录中C所列，化简后可得
r:
0
gsin
p r
(a)
θ:
0
gcos
1 r
p
(b)
z:
0
p z
[1r
r
(r
vz r
)]
(c)
[例C3.4.1] 圆管定常层流：N－S方程精确解(3-2)
6 104
(N/m2 )
(2) 转动轴所化的功率为
Ts
wA
d 2
w
dl
d 2
6 104
0.082
0.03 /
2
18.1 (N - m)
作用在轴上的转矩为力Fx
Ws
Ts
Ts
2 n
60
Ts
n
/
30
18.1
3600
/
30
6823.4
(W)
C3.4.1 用动量方程求解速度分布(2-1)
C3.4 圆管层流流动 C3.4.1 用动量方程求解速度分布
不可压牛顿流体在半径为R的圆管中沿x 方向作定常层流流动。
1. 切应力分布
沿轴取半径为r的圆柱形控制体, 净流出流量为零, 忽略体积力
F
p x
dx
r2
2
rdx
0
dp 2
dx r
p仅与x 有关, τ与x 无关. 只有均为常数才相等. 令比压降为 G p dp 常数 l dx
1 dp r G r
2 dx 2
上式称为斯托克斯公式，说明切应力沿径向线性分布。
C3.4.1 用动量方程求解速度分布(2-2)
在轴线上τ＝0 ，在壁面上最大值
2. 速度分布
w
G 2
R
由牛顿粘性定律和斯托克斯公式
du G r dr 2
u G r2 C
4
由边界条件r＝R时，u＝0 ，得 C G R2
4
(2)定常流动： 0
t
(3)充分发展流动:
u x
2u 0 x2
,
u u( y )
(4) 忽略重力:
fx 0 fy 0
C3.3.1 平板泊肃叶流动(4-2)
连续性方程
u v 0 x y
u v 0 v 0 x y
N-S方程
00
0
0
0
( u
t
u
u x
v
u y
)
f x
p x
(
2u x2
积分得
u
1
2
dp dx
y2
C1 y
C2
边界条件： 1．速度分布
y = 0，u = 0，C2= 0
y
=
b，u
=
0，C1
1
2
dp dx
b
u 1 dp ( y2 by)
2 dx
最大速度
um
b2
8
dp dx
C3.3.1 平板泊肃叶流动(4-4)
2. 切应力分布 du dp ( y b ) dy dx 2
dx
b 2 dx
沿y 方向线性分布
[例C3.3.2] 圆柱环形缝隙中的流动：库埃特流(2-1)
已知: 中轴的直径为d = 80 mm，b = 0.06 mm，l = 30 mm，n = 3600转/分
润滑油的粘度系数为μ= 0.12 Pa·s 求: 空载运转时作用在轴上的 (1) 轴矩Ts ；
(2) 轴功率。 解： (1)由于b << d 可将轴承间隙内的周向流动 简化为无限大平行平板间的流动。
速度分布式为
u G (R2 r2)
4
轴线最大速度为
um
G
4
R2
[例C3.4.1] 圆管定常层流：N－S方程精确解(3-1) 已知: 粘度为μ的不可压缩流体在半径为R的水平直圆管中作定常流动。 求: 用柱坐标形式的N-S方程推导速度分布式。
解： 设轴向坐标为z ，建立柱坐标系(r,θ, z )如图
2U dx
C3.3.2 平板库埃特流(2-2)
平板库埃特流流场取决于U 和 dp（或B)的大小和方向。设U> 0 dx
条件
流动类型 速度廓线
dp 零0压强梯度 纯剪切流 直线 dx
dp 0 顺压梯度 dx
dp dx
0
逆压梯度
库埃特流 直线＋抛物线 库埃特流 直线－抛物线
2. 切应力分布
dp y ( U b dp )
1. 速度分布
u
1
2
dp dx
y2
C1y
C2
y 0,u 0, C2 0
yb,
u U
,
C1
U b
b dp
2 dx
u U y 1 dp ( y2 by)
b 2 dx
平板剪切流
泊肃叶流
上式表示流场为平板剪切流与泊肃叶流叠加的结果。
无量纲形式为
u U
y b
B
1
y b
y b
,
b2 dp B
轴承固定, 而轴以线速度U=ωd /2运动, 带动润滑油作纯剪切流动, 即简单 库埃特流动。间隙内速度分布为
uU y b
[例C3.3.2] 圆柱环形缝隙中的流动：库埃特流(2-2) (1) 作用在轴表面的粘性切应力为
w
du dy
U b
2 n d 1 60 2 b
nd 60b
0.12 36000.08 60 0.03 103
C3.2 管道入口段流动(2-1)
C3.1 引言(工程背景) C3.2 管道入口段流动 1. 入口段流动
x=0
壁面滞止
边界层增长 边界层充满管腔 充分发展段
0＜x＜L
x=L
x＞L
2. 入口段压强损失（参见例B4.4.1D）
Cp
L d
K
充分发展段压强损失
附加压强损失
均流加速 壁面切应力增大
C3.2 管道入口段流动(2-2)
切应力沿y方向为线性分布，
在壁面达最大值
w
b 2
dp dx
3. 流量
Q
b
b
udy
1
dp
y2 by dy b3
dp
0
0 2 dx
12 dx
4. 平均速度
Q b2 dp 2
V
b
12
dx
3 um
C3.3.2 平板库埃特流(2-1)
C3.3.2 平板库埃特流动
在平板泊肃叶流上再增加上板以U 运动条件，方程不变。