数学分析：第22章 曲面积分与曲线积分习题课

被积函数 | xyz | 关于 x 和 y 是偶函数
由对称性 D : x2 y2 1, x 0, y 0
| xyz | dS 4 xyzdS
1
4 xy( x2 y2 ) 1 4x2 4 y2dxdy
D
数学分析电子教案
x
y
z
PQ R
(
P x
Q y
R z
)dv
数学分析电子教案
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
曲面积分
计算 Gauss公式
计算 重积分
数学分析电子教案
关于对称性
对面积的曲面积分与侧无关，具有与三重积 分相类似的奇偶性。
你对称，我奇偶
积分曲面对称于坐标面，被积函数关于另一个 变量具有奇偶性。
对坐标的曲面积分的对称性比较复杂，一 般 不直接使用，可利用两类曲面积分之间的关系 先化为对面积的曲面积分，再使用对称性
数学分析电子教案
关于对面积的曲面积分的应用
曲面面积 A dS
曲面质量 M ( x, y, z)dS
重心坐标
xdS
x
dS
ydS
y
dS
zdS
z
dS
数学分析电子教案
曲顶柱体的表面积
如图曲顶柱体，
z z f (x, y)
S
(1
1
f2 x
f
2 y
)d
D
f ( x, y)ds L
o
y
x
D L
数学分析电子教案
例2
计算
ez x2
y2
dxdy
为锥面
z
x2 y2
及平面 z = 1 , z = 2 所围立体的表面的外侧
解一 由 Gauss 公式
解二
ez dxdy
流向曲面指定侧的流量 线性、可加、与侧有关 一代、二投、三定号
联系 Pdydz Qdzdx Rdxdy (P cos Qcos Rcos )dS
数学分析电子教案Green公式,Gauss公式,Stokes 公式之间的关系
L Pdx Qdy
D
(
Q x
P y
)dxdy
或
L Qdx
x2 y24
e2 dxdy
x2 y2
x2 y2 1
e dxdy
x2 y2
e x2 y2 dxdy
x y 2
2
1 x2 y2 4
（用极坐标）
2
d
2
e2
rdr
2
d
1
e
rdr
0 0r
0 0r
2
d
2
er
rdr
0 1r
2e2
数学分析电子教案
2
2
例 3 求柱面 x 3 y 3 1在球面 x2 y2 z 2 1内
x2 y2
ez dxdydz x2 y2
2e2
1 2 3 1 : z 2 , x2 y2 4
上侧
2 : z 1 , x2 y2 1
下侧
数学分析电子教案
3 : z x2 y2 ,1 z 2 外侧 3 在 xoy 面的投影：1 x2 y2 4
1 2 3
1
:
x2 5
y2 9
1,x
1
0, y
0,0
z
y
1 在 yoz 面的投影
D : 0 y 3,0 z y
数学分析电子教案
x 5 9 y2 3
A 2
1
x
2 y
xz2dydz
D
2 81 y2 dydz
D 3 9 y2
2 3
81 y2 dy
3 0 9 y2
(令 y 3sin )
2
6
5 4cos2 sind
9 15 ln 5
4
0
解二 对弧长的曲线积分的几何意义：
柱面上的曲边梯形的面积
数学分析电子教案
侧面积 A L zds L yds
x 5 cos t L:
(0 t )
y 3sin t
A 3sin t 5sin 2 t 9cos2 tdt
0
3 5 4cos2 t sin tdt
数学分析电子教案
第22章 曲面积分与曲线积分
内容提要与典型例题
数学分析电子教案
（一）曲线积分与曲面积分
对弧长的 曲线积分
曲
线
联计
积
系算
分
对坐标的 曲线积分
对面积的 曲面积分
曲 联计 面 系算 积
分
对坐标的 曲面积分
数学分析电子教案 一、主要内容
曲面积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
两者关系
定义
24 2 3sin2 t cos2 t sin t cos tdt 0
24 3 2 sin2 t cos2 tdt
3 3 .
0
2
数学分析电子教案
例4 计算 | xyz | dS : z x2 y2 被平面 z 1 所截下的部分
解 记1为在第一卦限的部分
积分曲面关于 yoz 面 、 zox 面对称
Pdy
D
(
P x
Q y
)dxdy
A(M )为平面向量场
LA ds
D
推广
A dS
(rotA k )dxdy
L( A n)ds
A(
M
)为空间向量场
(rotA n)dS
( A
n)ds
divAdxdy
D
推广
divAdv
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
Pdydz Qdzdx Rdxdy
性质
计算公式
数学分析电子教案 曲面积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
定义 实质
n
f ( x, y, z)dS
lim
0 i1
f (i ,i , i )Si
n
R(
x,
y,
z)dxdy
lim
0
i 1
R(i
,i
,
i
)(Si
)xy
分、粗、和、精
分、粗、和、精
背景 性质 计算
曲面块的质量 线性、可加、与侧无关 一代、二换、三投影
转动惯量
I x ( y2 z2 )dS
I y ( x2 z2 )dS
Iz ( x2 y2 )dS
数学分析电子教案
二、典型例题
例1 求椭圆柱面 x2 y2 1 位于xoy 面上方
59
和平面 z = y 下方的那部分的侧面积
解一 易见曲面对称于 yoz 面
A dS 2 dS
的侧面积.
解 由对称性
S 8Lzds 1 x2 y2ds
L
2
L: x3
2
y3
1,
参数方程为
x y
wenku.baidu.com
cos3 sin 3
t, t,
(0 t ) 2
数学分析电子教案
ds ( xt)2 ( yt)2dt 3sin t cos tdt,
S 8 2 1 cos6 t sin6 t 3sin t cos tdt 0
0
2
3
5 u2du 9 15 ln 5
0
4
数学分析电子教案
注
曲面面积的计算法
z
z f (x, y)
S
z
z f (x, y)
o
Dxy
y
bo
a
s
y
LB
A
x S dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
Dxy
x S
f ( x, y)ds
L( A,B)
b
f (x, y)
1 y2dx
a
数学分析电子教案