定积分与微积分基本定理(理)课件
第3讲 定积分与微积分基本定理
定积分与微积分基本定理一、知识梳理 1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ．(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．常用结论1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 二、习题改编1．(选修2-2P66T14改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )A.⎠⎛－11x 2d xB ．⎠⎛－112x d xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD ．⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解析：选D.由分段函数的定义及定积分运算性质， 得⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x .故选D.2．(选修2-2P66A 组T14改编)⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝________． 解析：⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1.答案：13．(选修2-2P55A 组T1改编)若⎠⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于________．解析：由题意知(－cos x －a sin x )⎪⎪⎪π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－14．(选修2-2P60A 组T6改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________m.解析：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t 21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 答案：132一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛01(x 2－x )d x .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)误解积分变量致误； (2)不会利用定积分的几何意义求定积分；(3)f (x )，g (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错． 1．定积分⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝________．解析：⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝(t 2＋1)x |2－1＝2(t 2＋1)＋(t 2＋1)＝3t 2＋3. 答案：3t 2＋3 2.⎠⎛22－x 2d x ＝________解析：⎠⎛022－x 2d x 表示以原点为圆心，2为半径的14圆的面积，故⎠⎛022－x 2d x ＝14π×(2)2＝π2.答案：π23．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2⎪⎪⎪20＝－83＋4＝43.答案：43[学生用书P53]定积分的计算(多维探究) 角度一 利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛122x d x ；(2)⎠⎛0πcos x d x ；(3)⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x . 【解】 (1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎛122x d x ＝2⎠⎛121xd x ＝2ln x ⎪⎪⎪21＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.(2)因为(sin x )′＝cos x ，所以⎠⎛0πcos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪π0＝sin π－sin 0＝0.(3)因为(x 2)′＝2x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，所以⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x ＝⎠⎛132x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫－1x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪31＋1x ⎪⎪⎪31＝223. 角度二 利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ；(2)⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x .【解】 (1)根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.(2)设y ＝f (x )＝3x 3＋4sin x ，则f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x )， 所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5，5]上是奇函数． 所以⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＝－⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x .所以⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x ＝⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＋⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ＝0.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．1.⎠⎛－11e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛01e x d x＝－e －x ⎪⎪⎪⎪1-1＋e x ⎪⎪⎪⎪1＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0) ＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C. 2.⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x d x ＝________． 解析：⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分求平面图形的面积(师生共研)(一题多解)求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积． 【解】如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)．法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎫y ＋4－12y 2d y ＝18.设阴影部分的面积为S ，则对如图所示的四种情况分别有：(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x .(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .1．已知曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线为l ，则由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域的面积等于________．解析：因为y ′＝2x ＋2，所以曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝2，所以切线方程为y ＝2x ，所以由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S ＝⎠⎛1(x 2＋2x －2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13.答案：132.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 答案：－1定积分在物理中的应用(师生共研)(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.【解析】 (1)令v (t )＝0得，3t 2－4t －32＝0， 解得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去. 汽车的刹车距离是⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[7t －32t 2＋25ln(t ＋1)]⎪⎪⎪40 ＝4＋25ln 5.(2)由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42 ＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)．【答案】 (1)C (2)36定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .1．物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，因为(t 3＋t －5t 2)′＝3t 2＋1－10t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t－5t 2＝5，整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.2．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ；力的单位： N)．解析：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ，因为⎝⎛⎭⎫13x 3＋x ′＝x 2＋1，所以原式＝342(J)．答案：342[学生用书P274(单独成册)][基础题组练]1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D.⎠⎛01(3x ＋e x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e. 2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.3．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B.因为f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f （x ）d x |1＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈（1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B ．π2＋3C.π4＋43D ．π4＋3解析：选A.⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43，故选A.5.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( ) A.13 B ．310C.14D ．15解析：选A.由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝13.故选A.6．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________．解析：⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛1x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案：237.⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝________．解析：因为x 2tan x ＋x 3是奇函数．所以⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝⎠⎛－111d x ＝x |1－1＝2.答案：28．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x＝1时F (x )所做的功等于________．解析：由题意知W ＝－⎠⎛01⎝⎛⎭⎫110e x ＋x d x＝－⎝⎛⎭⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝－e 10－25. 答案：－e 10－259．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22⎪⎪⎪21－x 33⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x＝sin x ⎪⎪⎪0－π＋e x ⎪⎪⎪－π＝1－1e π.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1，2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝4－83＝43. [综合题组练]1．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭平面图形的面积为( )A.329B ．4－ln 3C ．4＋ln 3D ．2－ln 3解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.（舍） 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.故阴影部分的面积为⎠⎛13⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝ ⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪31＝4－ln 3. 2．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33. 又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 答案：33 3.⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________． 解析：⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2. 而⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )⎪⎪⎪1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2， 所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案：π2＋e －1e－2 4．若函数f (x )在R 上可导，f(x)＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________． 解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 44－x 3⎪⎪⎪20＝－4. 答案：－45．如图，在曲线C ：y ＝x 2，x ∈[0，1]上取点P (t ，t 2)，过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x ＝0，x ＝1及直线l 围成的图形包括两部分，面积分别记为S 1，S 2.当S 1＝S 2时，求t 的值．解：根据题意，直线l 的方程是y ＝t 2，且0＜t ＜1.结合题图，得交点坐标分别是A (0，0)，P (t ，t 2)，B (1，1)．所以S 1＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪t 0 ＝t 3－13t 3＝23t 3，0＜t ＜1. S 2＝⎠⎛t 1(x 2－t 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t＝⎝⎛⎭⎫13－t 2－⎝⎛⎭⎫13t 3－t 3＝23t 3－t 2＋13，0＜t ＜1. 由S 1＝S 2，得23t 3＝23t 3－t 2＋13， 所以t 2＝13.又0＜t ＜1，所以t ＝33. 所以当S 1＝S 2时，t ＝33.。
第4节 定积分与微积分基本定理[理]
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①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)；
②计算 F(b)－F(a)．
(2)利用定积分的几何意义求定积分
当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．
1
如：定积分 0
1－x2dx 的几何意义是求单位圆面积的14，所以10
1－x2dx＝π4.
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2．定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值为正；当曲 边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值为负；当位于 x 轴上方 的曲边梯形与位于 x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分 的值为零． (2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是 路程．
2.∫e12x＋1xdx＝(
)
A．e2－2
B．e－1
其原函数
是什么?
C．e2
D．e＋1
解析：
∫e12x＋1xdx＝(x2＋ln
x)|e1＝e2.
积分上下限
答案： C
与分段函数
3．设 f(x)＝2xx2
x x
的定义域
，则
1 −1
������(������)dx
23.
答案：
1－
3 2
返回
返回
解析： 由图象可知 A＝1，T2＝23π－－π3＝π，所以 ω＝1，
f(x)＝sinx－π6.图中其与 x 轴的交点横坐标为6π，所以图中的阴影部分的
面积为
π 6
0
－sin������－π6dx＝cosx－π6｜0π6 ＝1－
b
么从时刻 t＝a 到 t＝b 所经过的路程 s＝av(t)dt. (2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 x
b
＝a 移动到 x＝b 时，力 F(x)所做的功是 W＝aF(x)dx.
山东高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第13讲定积分与微积分基本定理理课件
_____f_(x_)_d_x_______叫做被积式．
(2)其定义体现求定积分的四个步骤：
①__分__割____；②__近__似__代__替____；③__取__和____；④__取__极__限____.
(3)定积分的几何意义：
f(x) f(x)≥0
bf(x)dx 的几何意义
a
表示由直线___x_＝__a____，___x_＝__b____，y＝0 及曲 线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积
S△BOC－S1＝2－2(x－1x)dx＝2－(x22－ln x)21 1
＝12＋ln 2，故选 D．
角度2 已知曲线围成的图形的面积求参数
例 3 (2019·广州模拟)曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k>0)所围成的曲边图形的面积 为43，则 k＝___2___.
[解析] 由yy＝ ＝xkx2， 得xy＝＝00， 或xy＝ ＝kk， 2， 则曲线 y＝x2 与直线 y＝kx(k>0)所围 成的曲边梯形的面积为k(kx－x2)dx＝(2kx2－13x3)k0 ＝k23－13k3＝43，即 k3＝8，所以 k＝2.
考点一 定积分的运算——自主练透
例 1 (1)计算：
①3
(3x2－2x＋1)dx＝___2_4____；
－1
②0
(cosx＋ex)dx＝___1_－__e1_π ___；
－π
③若 f(x)＝ 3＋2x－x2，则3f(x)dx 为___π___. 1
x2，x∈[0，1]，
4
(2)设 f(x)＝1x，x∈1，e]
分的概率等于__1_2___.
[解析] 依题意知点 D 的坐标为(1,4)，所以矩形 ABCD 的面积 S ＝1×4＝4，阴影部分的面积 S 阴影＝4－2x2dx＝4－13x312 ＝4－73＝53，根
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
高考数学第一轮复习 第二篇 第13讲 定积分与微积分基本定理课件 理 新人教A版
面积的代数和，即bf(x)dx＝ A1＋A3－A2
.
a
2.定积分的性质
((12))abbk[ff1((xx))d±x＝f2(x)]dkx＝abf(x)abdfx1(x)dx±(k为baf常2(数x)d)．x . a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)bf(x)dx＝cf(x)dx＋bf(x)dx(其中 a<c<b)．
在每个小区间上任取一点 ξi(i＝1,2，…，n)，作和式i＝n1f(ξi)Δx＝i＝n1b－n af(ξi)，
当 n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区
间[a，b]上的定积分，记作 abf(x)dx ，即abf(x)dx＝nl→im∞i＝n1b－n af(ξi)．
定积分的计算
【例 1】 (1)若π2 (sinx＋acosx)dx＝2，则实数 a 等于(
)．
0
A．－1 B．1 D． 3 D．－ 3
(2)定积分3 9－x2dx 的值为________． 0
(3)已知函数 f(x)＝sin5x＋1，则-π2π2f(x)dx 的值为________．
n→＋∞
时
，和式
n
f(ξi)·Δx
i＝1
＝
n
i＝1
b－a
n f(ξi)
无
限趋近
于
某一
确
定的
常
数.( )
(3)设函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则abf(x)dx＝abf(t)dt.( )
2.定积分的几何意义与物理意义
(4)在区间[a，b]上的连续的曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 所围
成的曲边梯形的面积 S＝ab|f(x)|dx.( ) (5)若abf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定
【三维设计】高考数学一轮复习 第14节 定积分与微积分基本定理课件 理
5．如果∫10f(x)dx＝1，∫20f(x)dx＝－1，则∫21f(x)dx＝________.
解析：∵∫02f(x)dx＝∫10f(x)dx＋∫21f(x)dx， ∴∫21f(x)dx＝∫20f(x)dx－∫01f(x)dx＝－1－1＝－2.
答案： －2
利用微积分基本定理(即牛顿—莱布尼兹公式)求定积 分，关键是找到满足F′(x)＝f(x)的函数F(x)，即找被积函数 f(x)的原函数F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运 算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数四则运算法 则从反方向上求出F(x)．
答案：342
[冲关锦囊] 利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时， 关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移 之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再 利用微积分基本定理计算即得所求．
易错矫正 因定积分计算问题致误
[考题范例]
(2011·湖南高考)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cos x所围
b
a
f(x)dx＝F(x)|ab＝F(b)－F(a)．
三、定积分的应用 1．平面图形的面积：
一般地，设由曲线y＝f(x)，y＝g(x)以及直线x＝a，x＝b 所围成的平面图形的面积为S，则 S＝ ∫baf(x)dx－∫bag(x)dx (f(x)>g(x))． 2．简单几何体的体积 若几何体由曲线y＝f(x)与x轴所围成的区域绕x轴旋转一 周得到，则其体积为V＝∫baπ[f(x)]2dx.
第
十
第
四
二
节
章
定
函
积
数、 导 数 及
分 与 微 积 分
其
基
应
本
用
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
3-4 定积分与微积分基本定理(共54张PPT)
将 区 间 1<xi<…<xn＝b，
－
n个 小 区 间 ， 在 每 个 区 间
1
， xi] 上取一点
ξi (i ＝ 2 1 , ， … ， n) ，作和式 ， 当 n→＋∞时 ， 上 述 和 式 无 限 接 近 某 个 常 数 ， f(x)在 区 间 [a，b]上 定 积 分 ， 记 作 .
b
＝ 这 个 常 数 叫 做 函 数 f(x)dx＝
f(x)dx b ，即 a
a
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高考调研
新课标版 · 高三数学（理）
其定义体现求定积分的四个步骤： ① 分割 ；② 近似代替 ；③ 取和 ；④ 取极限 ．
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高考调研
新课标版 · 高三数学（理）
y是 自 0、1、 BE、AE 和抛
AB 围 成 的 区 域 的 面 积 ．
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新课标版 · 高三数学（理）
7 【答案】 6
课前自助餐
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新课标版 · 高三数学（理）
3 x2 x 因 为 ( 2 )′＝x，(x2－ 3 )′＝2x－x2， 故 所 求 的 面 积 2 3 x x 1 2 1 2 2 1 2 | | S ＝ (2x－x)dx＋ (2x－x )dx＝ 2 0＋(x － 3 ) 1＝2－0＋(4－ 0 1
x2 x3 x2 2， 又 ( 2 )′＝x，( 3 － 2 )′＝x2－x.故
2 3 2 x x x 8 2 2 2 2 2 | | S＝ (2x－x)dx－ (x －x)dx＝ 2 0－( 3 － 2 ) 1＝2－(3－2 ) ＋ 0 1
定积分与原函数的关系 微积分基本定理【高等数学PPT课件】
2) 变限积分求导:
d (x)
dx a
f
(t) d t
f
[ (x)](x)
d
dx
( x) (x)
f
(t)
dt
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [ (x)](x) f [ (x)] (x)
第二节 定积分与原函数的关系 微积分基本定理
一、积分上限函数
二、牛顿—莱布尼茨公式
一、积分上限函数
定理1. 若
x
则变上限函数 y
y f (x)
(x) a f (t) d t
(x)
证: x, x h [a, b] , 则有
o a x b x
(x
h) h
(x)
1
o
x
0
例6
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
1
,
2
求
2
0
f
( x)dx.
解:
2
0
f
ห้องสมุดไป่ตู้
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
y
在[1,2]上规定当x 1时， f ( x) 5,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o 12x
例7. 设
解：设
1
高考数学一轮复习 第15讲定积分与微积分基本定理课件 理 新人教课标A
为_积__分__下__限_____，b 称为_积__分__上__限_____．
第15讲 │知识梳理
2．定积分的几何意义
在区间[a，b]上的连续函数 f(x)，若恒有 f(x)≥0，定积分baf(x)dx
表
示
由
_直__线__x_＝__a_，__x_＝__b_(_a_≠_b_)_，__y_＝__0_和__曲__线__y_＝__f_(x_)_所__围__成__的__曲__边__梯__形__的___ _面__积____________．
0
中 F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到．当被积函数 含有绝对值(或平方根)时，需按绝对值内的正、负号将定积分区 间分段，然后按区间的可加性逐段积分；同样，当被积函数为分 段函数时，也需按函数定义的分段情形相应的逐段积分．
第15讲 │规律总结
3．利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：(1)画出函 数的草图，确定积分变量；(2)求图象的交点，确定积分上、 下限；(3) 将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和；(4)利用 定积分求面积．
第15讲 │要点探究
(2)由a (2x－8)dx＝(x2－8x)|a0＝a2－8a≤0，显然 a≠0，故解集为 0
{a|0<a≤8}．
(3)01f(x)dx＝01(ax2＋1)dx＝
a3x3＋x10＝a3＋1＝2，解得 a＝3.
第15讲 │要点探究
► 探究点2 利用定积分的几何意义求定积分 例 2 求定积分1[ 1－（x－1）2－x]dx 的值．
第15讲 │知识梳理
3．定积分的性质
(1)定积分的线性性质
kbf(x)dx bkf(x)dx＝____a________(k 为常数)；
a
《定积分计算》课件
02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
微积分基本定理
定积分等于被积函数的一个原函数在 积分上限与积分下限之差的代数和。
公式表示
∫baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x) 的一个原函数，a和b分别为定积分的 下限和上限。
微积分基本定理的应用
解决定积分计算问题
通过微积分基本定理，可以直接计算定积分的值，只需找到被积函 数的一个原函数，并计算其在上下限的函数值之差。
详细描述
分部积分法是将复合函数进行分解，将原定 积分转化为两个或多个更简单的定积分的和 或差。这种方法的关键是选择合适的函数进 行分解，以便简化计算过程。
04
定积分的几何应用
平面图形的面积
总结词
定积分在计算平面图形面积方面具有广泛应用。
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种平面图形的面积，如矩形、圆形、三角形等。定积分的基本思想是将图形分割成若干 个小部分，然后求和这些小部分的面积，最后取极限得到整个图形的面积。
公式示例
对于矩形，其面积为 (A = l times w)，其中 (l) 为长度，(w) 为宽度；对于圆形，其面积为 (A = pi r^2) ，其中 (r) 为半径。
体积的计算
01
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积方面具有重要作用。
02 03
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种三维物体的体积，如长方 体、圆柱体、球体等。同样地，定积分的基本思想是将物 体分割成若干个小部分，然后求和这些小部分的体积，最 后取极限得到整个物体的体积。
05
定积分的物理应用
变速直线运动的路程
总结词
通过定积分计算变速直线运动的路程
微积分基本定理_图文_图文
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
定积分与微积分基本定理ppt课件
2
(4x +3x -x)dx
2
0
2
(3x )dx-
=x |20 +x |20 - x |20
4
3
2
2
4
3
1
2
=(2 -0)+(2 -0)- (2 -0)
2
=16+8-2
=22.
2
0
xdx
1 1
2
(2)∵(ln x)'= , e2 '=e ,
2
∴1
2
e
1
1
+
2x
2
1
dx=
2x
e dx+
2
2
3
2
0
x|20 =1-cos 2.
因为 1<1-cos 2<2,所以 c<a<b.
1
4
x dx= x |20 =4,c=
3
4
2
0
sin xdx=-cos
3.(2012·湖北卷,3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x轴所围图
形的面积为(
)
2π
5
4
3
A.
3
2
B.
C.
π
2
D.
【答案】B
2
1
f(-x)dx=
2
1
2
(x -x)dx=
1 3 1 2
-
3
2
5
6
|21 = .
1
4.(2012·江西卷,11)计算定积分 -1
2
[f1(x)±
f2 (x)]dx=
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解析：当 x∈[0，π2]时，y＝sinx 与 y＝cosx 的图象的交点
坐标为π4，
2 2
，作图可知曲线
y＝sinx，y＝cosx
与直线
x＝0，
x＝π2所围成的平面区域的面积可分为两部分：一部分是曲线 y
＝sinx，y＝cosx 与直线 x＝0，x＝π4所围成的平面区域的面积；
另一部分是曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x＝π4，x＝π2所围成的
平面区域的面积．且这两部分的面积相等，结合定积分定义可
知选 D. 答案：D
解析：由积分的几何意义知：
表
示以(0,0)点为圆心，r＝4 为半径的圆在 x 轴上方部分的
面积，所以
＝12×π×42＝8π.
答案：8π
点评：理解被积函数的几何意义，是解决这类问题 的突破口.
利用定义求定积分
[例 1] 用定积分的定义求由 y＝3x，x＝0，x＝1，y ＝0 围成的图形的面积．
[解析] (1)分割：把区间[0,1]等分成 n 个小区间 i－n 1，ni (i＝1,2，…，n)．其长度为 Δx＝n1，把曲边梯形 分成 n 个小曲边梯形，其面积记为 ΔSi(i＝1,2，…，n)．
(3)定积分bf(x)dx 的值只与被积函数 f(x)及积分区间 a
[a，b]有关，而与积分变量所用的符号无关．
2．定积分的几何意义 当 f(x)≥0 时，定积分b f(x)dx 的几何意义：表示由
a
直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲 边梯形的面积．当 y<0 时，即曲边梯形在 x 轴的下方时b
n
n
作和式f(ζi)Δx＝
i＝1
i＝1
b－n af(ζi)，当
n→∞时，此和式Байду номын сангаас限接
近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积
分，记作b a
f(x)dx，即b a
n
f(x)dx＝lim
n→∞ i＝1
b－n af(ζi)，这里 a
与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分 区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式．此时称函数 f(x)在区间[a，b]上可积．
做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼兹公式．为了
方便，我们常常把 F(b)－F(a)记成 F(x)|ab，
即b
f(x)dx＝F(x)|ab＝
F(b)－F(a)．
a
其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数．
一、思想方法 (1)数形结合思想：求曲线围成图形的面积，要画出草 图，寻找积分上限和积分下限，以及被积函数的形式． (2)极限的思想：求曲边梯形的面积时，分割，近似代 替，求和，取极限，采用的是以直代曲，无限逼近的极限 思想． (3)公式法：套用公式求定积分，避免繁琐的运算，是 求定积分常用的方法． (4)定义法：用定义求定积分是最基本的求定积分方法．
a
(k 为常数)；
a
(2)b[f1(x)±f2(x)]dx＝
b
f1(x)dx±b
f2(x)dx
a
a
；
a
b
f(x)dx
(3)c
f(x)dx＋b
f(x)dx＝
a
(其中 a<c<b)
a
c
4．微积分基本定理
一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且
F ′(x)＝f(x)，那么b f(x)dx＝ F(b)－F(a)．这个结论叫 a
对定义的几点说明： (1)定积分bf(x)dx 是一个常数．
a
(2)用定义求定积分的一般方法是： ①均匀分割：n 等分区间[a，b]； ②近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]；
③求和： n f(ξi)·b－n a；
i＝1
④取极限：bf(x)dx＝li m
a
n→∞
n f(ξi)·b－n a.
i＝1
(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形面 积，ΔSi＝fi－n 1Δx＝3·i－n 1·n1＝n32(i－1)，(i＝1,2，…，n)．
n
n
(3)作和：ΔSi＝
i＝1
i＝1
n32(i－1)＝n32[1＋2＋…＋(n－1)]
＝32·n－n 1.
n
(4)求极限：S＝lim n→∞i＝1
n32(i－1)＝nli→m∞
32·n－n 1＝32.
[点评] 要熟练掌握用定义求定积分的步骤． 你能利用定积分的定义求直线 x＝1，x＝2，y＝0 和 曲线 y＝x3 围成的图形的面积吗？答案：145.
定积分的几何意义
[例 2] (2010·深圳市调研)曲线 y＝sinx，y＝cosx 与 直线 x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为( )
(3)利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简， 再积分．
(4)利用定积分求曲线所围成平面图形的面积，要利 用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限．
2.由两条直线 x＝a、x＝b(a＜b)、 两 条 曲 线 y ＝ f(x) 、 y ＝ g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的 面积：
S＝b[f(x)－g(x)]dx(如右图)． a
二、解题技巧 1．(1)用定义求定积分的方法：分割、近似代替、求和、 取极限，可借助于求曲边梯形的面积、变力作功等案例，体 会定积分的基本思想方法． (2)用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足 f ′(x) ＝f(x)的函数 F(x)，利用求导运算与求原函数运算互为逆运 算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法 则从反方向上求出 F(x)．
第 四 节 定积分与微积分基本定理(理)
重点难点 重点：了解定积分的概念，能用定义法求简单的定 积分，用微积分基本定理求简单的定积分． 难点：用定义求定积分
知识归纳
1．定积分的定义
如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 连 续 ， 用 分 点 a ＝
x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成 n 个小区 间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点 ζi(i＝1,2，…，n)，
a
f(x)dx 在几何上表示这个曲边梯形面积的相反数．
一般情况下(如右图)，定 积分bf(x)dx 的几何意义是介
a
于 x 轴、函数 f(x)的图象以及 直线 x＝a、x＝b 之间各部分 面积的代数和，在 x 轴上方的面积取正号；在 x 轴下方 的面积取负号．
3．定积分的性质
kb
f(x)dx
(1)b kf(x)dx＝