七年级数学上册第五章相交线与平行线5.1相交线2垂线作业课件华东师大版
华东师大版初中七年级上册数学教案 第5章 相交线与平行线 5.1相交线 1.对顶角
第5章相交线与平行线5.1相交线1.对顶角【基本目标】1.在现实情境中识别对顶角，理解对顶角的性质；能画出对顶角，并能利用对顶角相等的性质进行简单的计算以及解决一些相关的实际问题.2.经历观察、猜想、说理、交流等过程，进一步发展空间观念和有条理的表达能力.3.在动手实践、自主探索、合作交流中获得成功的体验，建立自信心；感受数学与生活的密切联系，增强运用数学的意识.【教学重点】通过观察思考，了解对顶角的概念及其性质；进一步发展空间观念和有条理的表达能力.【教学重点】从复杂图形中分解出基础图形，提高数学学习能力.一、情境导入,激发兴趣观察下列图片，你们觉得这些图片有什么共同点吗？二、合作探究，探索新知1.请同学们画两条相交的直线，观察它们有几个交点？形成几个小于平角的角？2.学生画图，观察后回答，教师画图总结.图1（1）两条直线相交，只有一个交点.（2）形成4个小于平角的角：∠1、∠2、∠3、∠4.【教学说明】学生画图解答，教师小结板书.3.你知道∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠1与∠4在位置和数量上有什么关系？请填下表.【教学说明】学生自主探究，通过填表找到这些角的位置和数量关系.4.请你根据上面的探究，观察思考∠1与∠3、∠2与∠4位置和数量上有什么关系？请填下表，并说明理由.5.教师归纳总结：（1）对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，那么这样的两个角叫做对顶角.如图1，∠1与∠3是对顶角.（2）对顶角的性质: 对顶角相等.【教学说明】这是本节课的重点和难点，对于这些角的位置，学生描述可能不准确，教师一定要结合图形，让学生仔细观察，掌握特征.对顶角相等需要通过推理得到，要求学生写出推理的过程，以训练学生推理的能力.三、示例讲解，掌握新知例1如图，直线AB、CD相交于点O，∠1＝30°，求∠2、∠3、∠4的度数.分析：∠1和∠2有什么关系？∠1和∠3有什么关系？∠2和∠4有什么关系？解：∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝180°—∠1＝180°—30°＝150°.∠3＝∠1＝30°，∠4＝∠2＝150°.【教学说明】要充分应用对顶角相等来解决问题，注意推理格式的规范性.例2如图，直线AB与CD相交于点O,射线OE是∠BOD的平分线，已知∠AOD=110°，求∠COB，∠AOC, ∠BOE，∠EOD的度数.【教学说明】这个图形比较复杂，教师可做适当的引导，注意过程的规范性和合理性.四、练习反馈，巩固提高1.如图，直线AB，CD相交于点O，∠1的对顶角是，∠4的对顶角是 .第1题图第2题图2.如图，直线AB，CD相交于点O，且∠AOC+∠BOD=118°，则∠AOD= .3.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OE是∠AOC的平分线，那么OF是∠BOD的平分线吗？为什么？【教学说明】学生独立完成，对于第3题，图形比较复杂，教师可以做适当的引导.注意解题过程的规范性.【答案】1.∠3，∠22.121°3.解：OF是∠BOD的平分线.∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE.∵∠AOE=∠BOF，∠COE=∠DOF.∴∠BOF=∠DOF∴OF平分∠BOD五、师生互动，课堂小结1.两条直线相交，只有一个交点.2.对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，那么这样的两个角叫做对顶角.3.对顶角的性质: 对顶角相等.【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象，对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.完成本课时对应的练习本节课的教学活动设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的执教理念上，融入了新课标的思想内涵，在重视对数学知识形成过程中发现和探究的同时，也十分重视对学生学习能力的培养，突出了学生的主体地位.使学生学会了将生活问题数学化.教师引导学生观察生活中的相交线，从中抽象出数学模型，然后让学生动手画图——观察——猜想——说理，从而认识了对顶角，发现了“对顶角相等”这一性质.发现数学理论的过程也是不断反思、不断提出问题的过程.这种反思应该始终伴随着活动的进行而开展，否则会丢掉很多很有价值的发现新知识的机会.学生在面对较难问题时，要学会合作交流，学会理性地思考，因为在现代社会中，学会表达与交流尤为重要.。
《相交线与平行线——垂线》数学教学PPT课件(3篇)
在相交线的模型中,固定木
条a,转动木条b,当b的 位置变化时,a、b所成的角 α 也会发生变化.
探究新知
当∠α=90°时,a与b垂直； 当∠α≠90°时,a与b不垂直，叫斜交.
斜交 两条直线相交
垂直
垂直是相交的特殊情况
探究新知
问 题 如 图 , 当 ∠ AOC ＝ 90°时 ， ∠ BOD 、 ∠ AOD、 ∠BOC的度数是多少？为什么？
解: ∵ AB⊥OE （已知）
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∵ ∠BOD= ∠1=55° （对顶角相等）
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD =90 °+55 °=145 °
CE
1(
AO
B
D
探究新知
A O
垂线的画法
如图，已知直线 l ,作 l 的垂线。
工具：直尺、三角板
l
0
1
2
3
4
5
6
7
垂线
人教˙七年级（下册）
课时目标
1.了解垂直概念，能说出垂线的性质，会用三角尺或量角 器过一点画一条直线的垂线。 2.了解垂线段的概念和性质，体会点到直线的距离的意义， 并会度量点到直线的距离。
情景导入
观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们 有什么特殊的位置关系？
探究新知
b b
bb b
α ）α
如图．直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，OB平分∠DOF，
∠DOE=50°，求∠AOC、 ∠EOF、 ∠COF的度数．
解: 因为AB⊥OE （已知） 所以 ∠EOB=90°(垂直的定义) 因为∠DOE= 50° （已知）
A
D
华东师大版七年级数学上册第5章第1节垂线优质课件
知2－练
1 下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角板放法 正确的是( )
2 下列说法正确的是( )
知2－练
A．在同一平面内，过直线外一点向该直线画垂线，
垂足一定在该直线上
B．在同一平面内，过线段或射线外一点向该线段
或射线画垂线，垂足一定在该线段或射线上
C．过线段或射线外一点不一定能画出该线段或射
知3－讲
线的垂线
D．过直线外一点与直线上一点画的一条直线与该
直线垂直
知识点 3 垂线的基本事实
知3－讲
关于垂线的基本事实： (1)在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直． (2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短，简单说成：垂线段最短．(过直线外一点画已 知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫这点 到已知直线的垂线段)
知3－讲
例4 如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引 到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案： 方案一：分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别 为点 E，F，沿CE，DF铺设管道； 方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管 道．这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？ 为什么？(忽略河流的宽度)
知1－练
1 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是___ 时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫 做另一条直线的________，它们的交点叫做______．
2 垂直定义的应用格式：如图， (1)因为∠AOC＝90°，所以______． (2)因为AB⊥CD，所以∠AOC＝_____°.
知1－练
第5章 相交线与平行线
5.1 相交线
第2课时 垂线——垂线 的定义与性质
1 课堂讲解 2 课时流程
华东师大版数学七年级上册第5章《5.同位角、内错角、同旁内角》课件
范例
如图2，直线__A_B_、_C_D__被直线_E__F_所截，其中_E__F_ 是截线，_A__B_与_C__D_是被截直线，每条被截直线与截 线产生了__4__个角，相邻两个角的关系是__互__补__．
图2
知识模块二 同位角、内错角、同旁内角 阅读教材 P166～P167“视察”以下的部分，完成下面的内容． 如图，直线l截直线a、b产生的八个角中，从直线l来看，
∠1与∠5，∠3与∠5，∠2与∠5的位置有什么关系？
∠1与∠5处于直线l的____同__一__侧，且分别在直线a、b的______，
具同有一这方样位置关系的一对角是同位角，在上图中，同位角还有
__________∠__2、与_∠__6______∠_、4与__∠__8____；∠3与∠7
∠3与∠5处于直线l的___异_，侧且分别在直线a、b的
仿例
如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位
角是( D )
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
变例
如图，下列说法正确的是( D )
A．∠2和∠3是同位角 B．∠3和∠4是同旁内角 C．∠1和∠2是内错角 D．∠1和∠3是同旁内角
课堂练习
1 ． 如图，直线a，b被直线c所截，∠1与
∠2的位置关系是B( )
归纳
同位角、内错角、同旁内角各自的关系如下表：
角的名称
位置特征
同位角
在两条被截直线的同一 方，在截线的同一侧
基本图形
图形结构特征
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形如字母“F”(满足 任何形状的放置)
内错角
在两条被截直线的内部， 在截线的两侧内部交错
同旁内角
在两条被截直线的内部， 在截线的同侧
华师大版七年级上册数学第5章 相交线与平行线含答案(实用)
华师大版七年级上册数学第5章相交线与平行线含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，直线相交于点于点，则的度数是（）A. B. C. D.2、给出下列说法,其中正确的是( )A.两条直线被第三条直线所截，同位角相等；B.平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；C.相等的两个角是对顶角；D.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到直线的距离．3、如图，把教室中墙壁的棱看做直线的一部分，那么下列表示两条棱所在的直线的位置关系不正确的是（）A.AB⊥BCB.AD∥BCC.CD∥BFD.AE∥BF4、如图，DH∥EG∥BC，DC∥EF，那么与∠DCB相等的角的个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个5、菱形的对角线，相交于点O，且，，则四边形是（）A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形6、如图，AB∥CD，且∠1=15°，∠2=35°+a，∠3=50°- a，∠4=30°-a,∠5=20°.则a的值为（）A.20°B.25°C.40°D.35°7、体育课上，老师测量跳远成绩的依据是( )A.垂直的定义B.两点之间线段最短C.垂线段最短D.两点确定一条直线8、在下列四个选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（）A. B. C. D.9、如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB 上，连接EF、CF，则下列结论中①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC =2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．一定成立的是（）A.①②B.①③④C.①②③D.①②④10、如图，下列说法中，错误的是（）A.∠4与∠B是同位角B.∠B与∠C是同旁内角C.∠2与∠C是同位角D.∠1与∠3是内错角11、如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A=130°，则∠D的度数是（）A.20 °B.40 °C.50°D.70°12、如图，在⊙O中，弦AC∥半径OB，∠BOC=50°，则∠OAB的度数为（）A.25°B.50°C.60°D.30°13、如图，在⊙O中，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为（）A.25°B.50°C.60°D.80°14、已知：如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，且∠C=40°，则∠D的度数是（）A.40°B.80°C.90°D.100°15、如图，直线a,b被直线c所截，，若，则等于（）A. B.C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，直线l1∥l2，AB⊥EF，∠1=20°，那么∠2=________．17、如图，已知A（0，－4）、B（3，－4），C为第四象限内一点且∠AOC=60°，若∠CAB=10°，则∠OCA=________.18、如图,△AOB和△ACD均为正三角形,顶点B,D在双曲线y= (x>0)上,则=________.19、如图，，相交于点，，如果，那么等于________．20、如图，从点P向直线l所画的4条线段中，线段________最短，理由是________.21、如图所示，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，若∠1=20°，则∠2的度数是 ________。
七年级数学上册第五章相交线与平行线5.1.2垂线作业新版华东师大版
5.1.2垂线1.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1与∠2的关系一定成立的是( )A.相等B.互余C.互补D.互为对顶角2.如图,点A在直线BC外,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC上的一个动点,则AP的长不可能是( )A.2.5B.3C.4D.53.在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使OC⊥OD,当∠AOC=30°时,∠BOD的度数是( )A.60°B.120°C.60°或90°D.60°或120°4.如图,AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O,∠2=2∠1,那么∠2=________度,∠3=________度.5.如图所示,AO⊥OB于点O,∠AOB∶∠BOC=3∶2,则∠AOC=________度.6.如图,BD⊥AC于D,DE⊥BC于E,若DE=9cm,AB=12cm,不考虑点与点重合的情况,则线段BD 的取值范围是________.7.如图所示,已知AO⊥OB于O,DO⊥OC于O,∠AOC=∠α,求∠BOD(用∠α表示).8.如图,CD⊥AB,垂足为D,AC⊥BC,垂足为C,线段AB,BC,CD的大小顺序如何?说明理由.参考答案:1.【解析】因为AB⊥CD,所以∠BOD=90°.又因为∠1+∠2+∠BOD=180°,所以∠1+∠2=90°,所以∠1与∠2互余.【答案】B2.A3.【解析】①如图1,当OC,OD在AB的同一侧时,因为OC⊥OD,所以∠COD=90°.又因为∠AOC=30°,所以∠BOD=180°-∠COD-∠AOC=60°;②如图2,当OC,OD在AB的两侧时,因为OC⊥OD,∠AOC=30°,所以∠AOD=60°,所以∠BOD=180°-∠AOD=120°.【答案】D4.【解析】因为AB⊥CD,所以∠2+∠1=90°.因为∠2=2∠1,所以2∠1+∠1=90°,所以∠1=30°,∠2=60°.因为∠1与∠3是对顶角,所以∠3=∠1=30°.【答案】60 305.【解析】因为AO⊥OB,所以∠AOB=90°.又因为∠AOB∶∠BOC=3∶2,所以∠BOC=60°,所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°.【答案】1506.【解析】因为BD⊥AC,所以AB>BD,因为AB=12cm,所以BD<12cm.又因为DE⊥BC,所以BD>DE.因为DE=9cm,所以BD>9cm,所以9cm<BD<12cm.【答案】9cm<BD<12cm7.解：因为OA⊥OB于O,所以∠AOC+∠BOC=90°.因为∠AOC=∠α,所以∠BOC=90°-∠α.又因为OC⊥OD于O,所以∠COD=90°.因为∠BOD=∠COD+∠BOC,所以∠BOD=90°+90°-∠α=180°-∠α.8.解：AB>BC>CD.理由:因为CD⊥AB,垂足为D,所以BC>CD.因为AC⊥BC,垂足为C,所以AB>BC.所以AB>BC>CD.。
华师大版数学七年级上册第5章《相交线与平行线》教学设计
华师大版数学七年级上册第5章《相交线与平行线》教学设计一. 教材分析《相交线与平行线》是华师大版数学七年级上册第5章的内容，本章主要让学生掌握相交线与平行线的概念，学会用平行线与相交线的性质解决实际问题。
教材通过丰富的图片和实例，引导学生探究和发现平行线与相交线的性质，培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
本章内容在初中数学体系中具有重要地位，为后续几何学习打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已具备一定的基础知识和观察能力，但对于抽象的几何概念和证明过程尚需引导。
学生在学习本章内容时，需要充分调动已有的知识和经验，通过观察、操作、猜想、验证等过程，掌握相交线与平行线的性质。
此外，学生需要学会用几何语言描述和证明平行线与相交线的关系，提高逻辑推理能力。
三. 教学目标1.了解相交线与平行线的概念，掌握它们的基本性质。
2.学会用平行线与相交线的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力、推理能力和几何语言表达能力。
4.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.相交线与平行线的概念及性质。
2.用平行线与相交线的性质解决实际问题。
3.几何语言的运用和证明过程的推理。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生观察、操作、猜想、验证，激发学生学习兴趣。
2.运用合作学习法，让学生在小组内讨论、交流，培养学生的团队协作能力。
3.采用几何画板等软件辅助教学，直观展示相交线与平行线的性质。
4.注重个体差异，针对不同学生给予适时引导和帮助。
六. 教学准备1.准备相关图片、实例和教学素材。
2.制作课件，运用几何画板展示相交线与平行线的性质。
3.准备练习题和拓展题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用图片和实例，引导学生观察相交线与平行线的特点，激发学生学习兴趣。
提出问题：“你们认为什么是相交线？什么是平行线？”让学生发表自己的想法。
2.呈现（10分钟）展示教材中的相关内容，介绍相交线与平行线的定义及基本性质。
七年级数学上册-第五章相交线与平行线5.2.1平行线课件(新版)华东师大版
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生活中好多事物给我们线的感觉，那么下列这些线给我们什么印象呢？
如图，电梯的扶手给 我们什么印象？
电梯扶手所在直线会相交 吗？
4
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那么铁轨给我们什 么印象？还有什么 地方给我们相同的 印象呢？
铁轨所在直线会相交吗？
①用符号表示下列两棱的位置关系： A1 B1
A1B1_∥___AB ,AA1_⊥___AB ,
D
C
A
B
A1D1⊥____C1D1 , AD∥____BC
14
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(2)A1B1与BC所在的直线是两条不相交的直线，他们
_不__是_平行线（填“是”或“不是”）。由此可知，在 ___同__一___平__面_，内两条不相交的直线才能叫平行线. (3)在同一平面内，两条不重合的直线位置关系只有 ___2__种，即___相__交__和__平___行_.
巩固练习 下列说法正确的是（ D ） A.在同一平面内，两条直线的位置关系有相交， 垂直，平行三种. B.在同一平面内，不垂直的两直线必平行. C.在同一平面内，不平行的两直线必垂直. D.在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直.
12
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D
做一做
A
B
一个长方体如图，和AA′平行的
课内练习
1、判断下列说法是否正确，并说明理由.
①不相交的两条直线是平行线.
(╳)
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线. (╳)
③过一点可以而且只可以画一条直线与已知直线平行. (╳)
2、用符号“∥”表示图中平行四 D
华师版七年级数学上册课件《平行线》
新课讲解
例1 判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)不相交的两条直线是平行线； (2)在同一平面内，两条不相交的线段是平行线．
导引：(1)没有强调两条直线在同一平面内； (2)两条线段平行应该是这两条线段所在的直线 平行．
新课讲解
解：(1)不正确； 理由：根据定义，它缺少了“在同一平面内” 这一条件．
(2)不正确； 理由：定义中指出的是两条不相交的“直线”， 而不是“线段”．
新课讲解
归纳
平行线的定义有三个特征：一是在同一平面内； 二是不相交；三是都是直线；三者缺一不可．
新课讲解
例2 如图，在长方体中，与棱 AD 平行的棱有哪 些？与棱D′C′平行的棱呢？用符号把它们表
示出来．
导引：根据平行线的定义，结合生活常识，观察图形 可解此题．
新课讲解
解：与棱AD平行的棱有A′D′，B′C′，BC， 记作AD∥A′D′，AD∥B′C′，AD∥BC. 与棱D′C′平行的棱有DC，AB，A′B′， 记作D′C′∥DC, D′C′∥AB, D′C′∥A′B′.
新课讲解
归纳
找平行线要注意两点： (1)在同一平面内； (2)不相交(无限延伸)．
于180°，你能说明其中的道理吗？
新课讲解
导引：在(1)中,按照过直线外一点画已知直线的平行线
的方法画图即可.在(2)中,要说明∠MPN＝180°, 可转化为说明点M,P,N在同一条直线上．
解：(1)画出的射线PM,PN,如上页图.
(2)因为射线PM∥BC,射线PN∥BC， 所以直线PM∥BC,直线PN∥BC. 所以直线PM与直线PN是同一条直线(过直线外一
A
AC交AB于M.
导引：过直线外一点画已知
直线的平行线，要按一 B
七年级数学上册 第5章 相交线与平行线 教案华东师大版
第5章相交线与平行线5.1相交线1.对顶角【基本目标】1.在现实情境中识别对顶角，理解对顶角的性质；能画出对顶角，并能利用对顶角相等的性质进行简单的计算以及解决一些相关的实际问题.2.经历观察、猜想、说理、交流等过程，进一步发展空间观念和有条理的表达能力.3.在动手实践、自主探索、合作交流中获得成功的体验，建立自信心；感受数学与生活的密切联系，增强运用数学的意识.【教学重点】通过观察思考，了解对顶角的概念及其性质；进一步发展空间观念和有条理的表达能力.【教学重点】从复杂图形中分解出基础图形，提高数学学习能力.一、情境导入,激发兴趣观察下列图片，你们觉得这些图片有什么共同点吗？【教学说明】通过观察图片，找到相交线的形象，激发探究兴趣，渗透数学来源于生活的理念.二、合作探究，探索新知1.请同学们画两条相交的直线，观察它们有几个交点？形成几个小于平角的角？2.学生画图，观察后回答，教师画图总结.图1（1）两条直线相交，只有一个交点.（2）形成4个小于平角的角：∠1、∠2、∠3、∠4.【教学说明】学生画图解答，教师小结板书.3.你知道∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠1与∠4在位置和数量上有什么关系？请填下表.【教学说明】学生自主探究，通过填表找到这些角的位置和数量关系.4.请你根据上面的探究，观察思考∠1与∠3、∠2与∠4位置和数量上有什么关系？请填下表，并说明理由.5.教师归纳总结：（1）对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，那么这样的两个角叫做对顶角.如图1，∠1与∠3是对顶角.（2）对顶角的性质: 对顶角相等.【教学说明】这是本节课的重点和难点，对于这些角的位置，学生描述可能不准确，教师一定要结合图形，让学生仔细观察，掌握特征.对顶角相等需要通过推理得到，要求学生写出推理的过程，以训练学生推理的能力.三、示例讲解，掌握新知例1如图，直线AB、CD相交于点O，∠1＝30°，求∠2、∠3、∠4的度数.分析：∠1和∠2有什么关系？∠1和∠3有什么关系？∠2和∠4有什么关系？解：∵∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝180°—∠1＝180°—30°＝150°.∠3＝∠1＝30°，∠4＝∠2＝150°.【教学说明】要充分应用对顶角相等来解决问题，注意推理格式的规范性.例2如图，直线AB与CD相交于点O,射线OE是∠BOD的平分线，已知∠AOD=110°，求∠COB，∠AOC, ∠BOE，∠EOD的度数.【教学说明】这个图形比较复杂，教师可做适当的引导，注意过程的规范性和合理性.四、练习反馈，巩固提高1.如图，直线AB，CD相交于点O，∠1的对顶角是，∠4的对顶角是 .第1题图第2题图2.如图，直线AB，CD相交于点O，且∠AOC+∠BOD=118°，则∠AOD= .3.如图，直线AB、CD、EF相交于点O，OE是∠AOC的平分线，那么OF是∠BOD的平分线吗？为什么？【教学说明】学生独立完成，对于第3题，图形比较复杂，教师可以做适当的引导.注意解题过程的规范性.【答案】1.∠3，∠22.121°3.解：OF是∠BOD的平分线.∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE.∵∠AOE=∠BOF，∠COE=∠DOF.∴∠BOF=∠DOF∴OF平分∠BOD五、师生互动，课堂小结1.两条直线相交，只有一个交点.2.对顶角：如果两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，那么这样的两个角叫做对顶角.3.对顶角的性质: 对顶角相等.【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象，对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.完成本课时对应的练习本节课的教学活动设计是建立在“以学生的发展为本，为学生的终身学习奠定基础”的执教理念上，融入了新课标的思想内涵，在重视对数学知识形成过程中发现和探究的同时，也十分重视对学生学习能力的培养，突出了学生的主体地位.使学生学会了将生活问题数学化.教师引导学生观察生活中的相交线，从中抽象出数学模型，然后让学生动手画图——观察——猜想——说理，从而认识了对顶角，发现了“对顶角相等”这一性质.发现数学理论的过程也是不断反思、不断提出问题的过程.这种反思应该始终伴随着活动的进行而开展，否则会丢掉很多很有价值的发现新知识的机会.学生在面对较难问题时，要学会合作交流，学会理性地思考，因为在现代社会中，学会表达与交流尤为重要.2.垂线【基本目标】1.使学生理解垂线的含义与垂线的画法；2.能理解点到直线的距离，理解垂线段的意义；3.能在学习中了解几何在不同情况下的分类，并能在一个三角形中作出三角形的高.【教学重点】理解点到直线的距离以及垂线段最短.【教学重点】垂线公理及垂线段最短的应用.一、情境导入，激发兴趣〔投影〕如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a、 b所成的角是如何变化的?其中会有特殊情况出现吗?当这种情况出现时,a与b相交所成的四个角分别是多少度？总结归纳：有，当∠α＝90°时，所成的四个角都是90°.【教学说明】在转动的过程中，必须注意到变与不变，什么变，什么不变，为什么，怎么变？当有一个角是直角时，另外三个角也是直角，这个在原理上必须让学生明白.二、合作探究，探索新知1.垂直定义（1）显然，两条直线相交有一个角是90°是一种特殊的情况.（2）当两直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，称这两直线互相垂直.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图，直线AB 垂直于直线CD，记作AB⊥CD,垂足为O.【教学说明】图形与语言的结合（转化）是几何中的一个难点，教师要进行示范.（3）在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的,如：〔投影2〕你能再举一些其它的例子吗？【教学说明】举出实际生活中的实例，加深学生对垂直定义的理解.同时，也使学生了解数学知识来源于生活，又在生活中有着广泛的应用.2.过一点画已知直线的垂线（1）如图，已知直线AB和直线AB外一点P，过点P画出直线AB的垂线，你能画出多少条呢？学生画图，观察后总结：只能画一条.（2）如图，你能经过直线AB上一点P，画出垂直于直线AB的直线吗？这样的垂线能画多少条呢？学生画图后总结：只能画一条.【教学说明】作图的方法，可以作为一个补充知识进行讲解.在画垂线时，不一定局限于三角板或是量角器，也应懂得利用身边的东西.（3）通过以上的操作，你有什么发现？归纳总结：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.【教学说明】这是一个难点，重点强调在同一平面内.3.垂线段（1）演示：在黑板上固定木条l, l外一点P,木条a一端固定在点P，使之与l相交于点A.左右摆动木条a, l与a的交点A随之变动,线段PA 的长度也随之变化，a与l的位置关系怎样时，PA最短?小结：a与l垂直时，PA最短.这时的线段PA叫做点P到直线l的垂线段.【教学说明】让学生观察思考后回答，教师强调垂线段和垂线的区别.（2）〔投影3〕画出PA在摆动过程中的几个位置.如图，点A1、A2、A3….在l上,连接PA1、PA2、PA3…，PO⊥ l，垂足为O，用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3…的长短，可知垂线段PO最短.小结：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.【教学说明】学生通过比较得出结论，可以再多画一些线段进行比较.然后教师再举出一些实例加深理解.（3）我们知道，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如上图，PO就是点P到直线l的距离.【教学说明】教师强调点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离.三、练习反馈，巩固提高1.如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm, BC=bcm,则BD的范围是( )A.大于acmB.小于bcmC.大于acm或小于bcmD.大于bcm且小于acm2.到直线l的距离等于2cm的点有( )A.0个B.1个C.无数个D.无法确定3.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( )A.4cmB.2cmC.小于2cmD.不大于2cm4.如图,AC⊥BC,C为垂足,CD⊥AB,D为垂足,BC=8,CD=4.8,BD=6.4,AD=3.6，AC= 6,那么点C到AB的距离是 ,点A到BC的距离是 ,点B到CD 的距离是 ,A、B两点的距离是 .5.已知:如图,直线AB,射线OC交于点O,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.试判断OD与OE 的位置关系.【教学说明】对于第4题距离的理解是难点，要提醒学生注意观察，第5题要注意推理的合理性和格式的规范性.【答案】1.D2.C3.D4.4.8 6 6.4 105.解：OD⊥OE，∵OE平分∠AOC，∴∠COE=12∠AOC.∵OD平分∠BOC，∴∠COD=12∠BOC，∴∠DOE=∠COE+∠COD=12∠AOC+12∠BOC=12（∠AOC+∠BOC）=12∠AOB=12×180°=90°.∴OD⊥OE.四、师生互动，课堂小结1.当两直线相交所构成的四个角中有一个为直角时，称这两直线互相垂直.两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.2.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.3.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单说成:垂线段最短.4.我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象，重点是对于垂线段最短的理解和应用.对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.完成本课时对应的练习.引入新课时，教师从学生的实际出发，关注学生的生活经验和知识基础，从两根木条的转动中让学生发现它们的特殊位置，为新知识的探究学习做了较好的准备.以此来激发学生的参与兴趣，感受由垂线组成图形的规矩之美，从而产生亲近数学的情感.新知探究部分，充分发挥学生的主体性，体现以人为本.让学生画一条直线，经过直线外一点画一条垂线，可以让学生们画出了不同方位直线在不同侧的垂线.初步体会了用作图工具三角尺画出的垂线比较规范，然后教师演示过直线上一点画已知直线的垂线的方法并同步介绍作图步骤.然后放手让学生画过直线上一点画已知直线的垂线.大家通过动口交流、动手操作、合作学习，积极主动地投入到垂线画法的探究过程中去，利于学生操作技能的形成和实践能力的培养.既发挥了学生的学习主动性，又体现了教师的指导作用，提高了学生学习的有效性.让学生经历画图——观察——总结——归纳的过程，形成知识点.对于垂线段的内容，是本节课的难点，要让学生通过比较，得出定义和性质，教师结合具体的实例加深学生的理解.3.同位角、内错角、同旁内角【基本目标】1.理解同位角、内错角、同旁内角的意义；2.会熟练地识别图中的同位角、内错角、同旁内角.【教学重点】同位角、内错角、同旁内角的识别.【教学重点】较复杂图形中同位角、内错角、同旁内角的识别.一、情境导入，激发兴趣1.如图，直线AB交直线CD于点O，则从前面的学习中，我们也知道在相交所形成的四个角中，有些角是相邻且互补，有些角是对顶角且相等的.2.如图，直线AB分别与直线CD、直线EF都相交，交点分别为P、Q，则图中存在着八个角.这八个角中，有相同顶点的角是对顶角或是相邻且互补.那么其它没有相同顶点的角之间，又有什么位置关系？【教学说明】从两条相交直线引导到一条直线截两条直线是一个比较正常、合理的方法，也比较能理顺学生的思路.二、合作探究，探索新知如图，直线AB、CD与EF相交（或两条直线AB、CD被第三条直线EF所截）构成个角.现在，我们来研究其中没有公共顶点的两个角的关系.（一）同位角1.定义：如图，∠1和∠5，分别在直线AB、CD的，在直线EF的 .具有这种位置关系的一对角叫做同位角.2.请你找出图中还有哪几对角构成同位角？3.两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有对同位角.【教学说明】主要是找两个角的位置关系，注意语言的规范性.教师总结要强调同位角的特征.通过找其他的同位角，加深学生印象.（二）内错角1.定义：如图，∠3和∠5，分别在直线AB、CD的，在直线EF的 .具有这种位置关系的一对角叫做内错角.2.请你找出图中还有哪几对角构成内错角？3.两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有对内错角.(三)同旁内角1.定义：如图，∠3和∠6，分别在直线AB、CD的，在直线EF的 .具有这种位置关系的一对角叫做同旁内角.2.请你找出图中还有哪几对角构成同旁内角？3.两条直线被第三条直线所截构成的八个角中，共有对同旁内角.【教学说明】注意总结方法和规律，与找同位角相比照，教师总结它们的特征.三、练习反馈，巩固提高1.找出图中所有的同位角、内错角、同旁内角.2.如图所示：（1）∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6是直线、被第三条直线所截而成的.（2）∠2的同位角是，∠1的同位角是 .（3）∠3的内错角是，∠4的内错角是 .（4）∠6的同旁内角是，∠5的同旁内角是，（5）∠4与∠A是同旁内角吗？3.如图所示：（1）AD，BC被BD所截而成的内错角是；（2）CD，AE被AC所截而成的内错角是；（3）AD，BF被AE所截而成的同位角是；（4）BD，AE被AD所截而成的同旁内角是 .4.如图，四个图形中的∠1和∠2不是同位角的是（）【教学说明】对于比较复杂的图形，教师提示学生可将图形进行分解，再与总结的特征项比较，得出结论，然后让学生总结相关的规律.【答案】1.左图：同位角：∠2与∠5，∠1与∠8，∠3与∠6，∠4与∠7内错角：∠1与∠6，∠4与∠5同旁内角：∠1与∠5，∠4与∠6右图：同位角：∠1与∠3，∠2与∠4内错角：无同旁内角：∠2与∠32.（1）AB，AC，EF（2）∠5，∠6（3）∠6，∠5（4）∠4，∠3（5）是3.(1)∠ADB与∠DBC（2）∠DCA与∠CAE（3）∠DAE与∠FBE（4）∠DAB与∠ADB4.C四、师生互动，课堂小结1.同位角、内错角、同旁内角2.注意：（1）以上三对角都有一边公共，是第三条直线（截线）.（2）识别“第三条直线（两个角一边所在的同一直线）”是关键.【教学说明】教师结合练习，总结三对角的特征，以表格的形式呈现，便于学生理解和记忆.对于需要注意的问题予以强调，加深学生的理解.完成本课时对应的练习.这节课主要内容是两条直线被第三条直线所截成的不共顶点的角的位置关系.主要是同位角、内错角、同旁内角的概念，关键是如何找同位角、内错角、同旁内角.教学中，如果遇到复杂图形，首先根据角的边分解出基本图形.两个角的公共边所在直线为截线，一旦确定截线，可根据定义确定三类角，也可根据图形确定三类角，如F型的同位角，Z型的内错角,U型同旁内角.另外，对于同旁内角也可根据三角形内有三对同旁内角，四边形有四对同旁内角，确定三角形或四边形后再去找，很好用，也很快.5.2 平行线1.平行线【基本目标】1.了解平行线的概念，理解同一平面内两条直线间的位置关系；2.掌握平行公理及平行线的画法.【教学重点】平行线的概念、画法及平行公理是重点.【教学重点】平行公理及其推论的应用.一、情境导入,激发兴趣我们知道两条直线相交只有一个交点，除相交外，两条直线还存在其它的位置关系吗？看下面的图片（投影）：双杆上面的两根横杆、支撑横杆的直杆所在的直线相交吗？游泳池中分隔泳道的线所在的直线相交吗？屏风的折处和边所在的直线相交吗？【教学说明】几何的美感是新课程中使学生能体会到的一个重要方面，所以在讲解平行线时，应有意识加以引导.二、合作探究，探索新知1.平行线的概念（1）根据上面的探究，我们知道，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.如下图：直线a与直线b互相平行，记作“a∥b”，读作“直线a平行于直线b”.【教学说明】仍然要注意几何图形的意义及其表现形式.对于平行线的表示方法要让学生自己写一遍加深印象.在此要注意：①“同一平面内”是前提，以后我们会知道，在空间即使不相交，可能也不平行；②平行线是“两条直线”的位置关系，两条线段或两条射线平行，就是指它们所在的直线平行；③“不相交”就是说两条直线没有公共点.（2）请同学们观察思考：在同一平面内，两条不重合的直线位置关系有哪几种？小结归纳：在同一平面内，两条不重合的直线位置关系有两种：相交或平行.【教学说明】在此要注意：这里所指的两条直线是指不重合的直线.2.过直线外一点画已知直线的平行线(1) 做一做已知直线a外一点P，那么经过点P可以画多少条直线与已知直线a平行？动手画一画.(2)通过观察和画图，可以体验一个基本事实：经过直线外一点，一条直线与这条直线平行.【教学说明】要掌握过直线外一点作已知直线的平行线，这里必须提醒学生注意到，这个点必须是直线外的一点.(3)如图,已知直线a和直线外两点B、C，请你按照上面的方法分别过B、C两点画直线a的平行线b和c，然后观察直线b和c有什么关系？小结归纳：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即如果b ∥a，c∥a，那么b∥c．【教学说明】这里要使用反证法来进行说明，教师要做引导，讲清楚相关的推导过程，使学生理解结论的科学性.三、练习反馈，巩固提高1.如图1所示，与AB平行的棱有条，与AA′平行的棱有条．2.如图2所示，按要求画平行线．（1）过P点画AB的平行线EF；（2）过P点画CD的平行线MN．3.如图3所示，点A，B分别在直线l1，l2上，（1）过点A画到l2的垂线段；（2）过点B画直线l3∥l1．4.下列说法中，错误的有（）①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交;②若a∥b，b∥c，那么a∥c;③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行相交、垂线三种.A．3个 B．2个 C．1个 D．0个5.根据下列要求画图.(1)如图(1)所示,过点A画MN∥BC;(2)如图(2)所示,过点P画PE∥OA,交OB于点E,过点P画PH∥OB,交OA于点H;(3)如图(3)所示,过点C画CE∥DA,与AB交于点E,过点C画CF∥DB,与AB的延长线交于点F.（1）（2）（3）【教学说明】第1题把平面中的平行线与简单的立体图形相结合对学生的学习是有所帮助的.第5题画图要注意看清题目的要求，教师可适当示范画法.【答案】1.3,32.3.4.C5.四、师生互动，课堂小结1.在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.在同一平面内，两条不重合的直线位置关系有两种：相交或平行.2.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.3.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即如果b∥a，c∥a，那么b∥c．【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象，重点强调“过直线外一点”.对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.完成本课时对应的练习.本节课的重点是平行线的概念和平行公理及其推论.难点在于画平行线、平行公理及其推论的应用.但是，由于平行线是直线，而直线在我们的实际生活中并不存在，所以，我们需要借助同学们的想象力，将线段想象为直线.先通过图片展示让学生感受平行线的形象，然后让学生通过观察思考得出平行线的定义.教师要强调“在同一平面内”这一条件.画平行线时要强调“过直线外一点”.用几何语言进行叙述过程是学生学习的难点，教师可以通过示范引导，逐步让学生养成相应的习惯.2.平行线的判定【基本目标】1.使学生通过学习能掌握运用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来说明两条直线平行；2.使学生通过对三种判定方法的学习，能灵活地利用平行线的三个识别方法解决问题.【教学重点】对三种判定方法的灵活运用.【教学重点】如何在不同情况下选择不同的方法.一、情境导入，激发兴趣1.经过直线外一点,有且只有条直线与这条直线平行.2.如图，直线a、b都与直线c相交，根据各个角的位置关系填空：（1）∠1与∠2是角；（2）∠3与∠2是角；（3）∠2与∠4是角.【教学说明】这些知识点都是本节课需要用到的，通过复习，帮助学生进行回忆，为本节课知识的探究打下基础.二、合作探究，探索新知1.平行线的判定方法1（1）按要求作图：用直尺和三角板过点P做已知直线AB的平行线.画法：（2）画图过程中，什么角始终保持相等？（3）直线l1和l2位置关系如何？（4）根据以上探究，请你总结判定两条直线平行的方法？（5）小结归纳：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单地说:同位角相等,两条直线平行.符号语言：∵∠1=∠2，∴a∥b.【教学说明】学生边画图，边观察思考，总结发现的规律，主要从两个角的位置和大小关系上来进行探究，位置和大小的关系得出结果.教师要示范用符号语言表示这一判定方法，让学生了解几何说理的过程.2.平行线的判定方法2、3（1）如图，如果∠2=∠3，能得出a∥b吗？（2）如果∠2＋∠4＝180°，能得出a∥b吗？【答案】（1）∵∠2=∠3∠1=∠3（已知）∴∠1=∠2.∴a∥b.（同位角相等，两直线平行）你能用文字语言概括上面的结论吗？结论：两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单地说：内错角相等,两直线平行.符号语言：∵∠2=∠3, ∴a∥b.（2）∵∠4+∠2=180°,∠4+∠1=180°（已知）∴∠2=∠1 （同角的补角相等）∴a∥b. （同位角相等,两条直线平行）你能用文字语言概括上面的结论吗？结论：两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行.简单地说：同旁内角互补,两直线平行.符号语言：∵∠4+∠2=180°, ∴ a∥b.【教学说明】教师引导学生进行简单的推理，得出结论，然后再仿照方法一进行归纳，得出其它两个判定方法，同时渗透转化的数学思想.三、示例讲解，掌握新知例1如图，直线a、b被直线l所截，已知∠1=115°，∠2=115°，直线a、b平行吗？为什么？【教学说明】学生可能会将它转化为同位角相等来进行说明，教师要引导学生发现直接利用内错角相等来说明更简单.例2如图，在四边形ABCD中，已知∠B=60°，∠C=120°，AB与CD平行吗？AD与BC 平行吗？【教学说明】让学生观察两个角的位置关系，再结合判定方法来进行说明.注意过程的规范性.例3在同一平面内，直线CD、EF均与直线AB垂直，D、F为垂足.试判断CD与EF是否平行.小结归纳：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【教学说明】这个问题三种判定方法都可以使用，可以引导学生用不同的方法来进行证明.然后对得到的结论进行总结，形成新的判定方法.四、练习反馈，巩固提高1.如图，∠D=∠EFC，那么（）A.AD∥BCB.AB∥CDC.EF∥BCD.AD∥EF第1题图第2题图2.如图，判定AB∥EC的理由是（）A.∠B=∠ACEB.∠A=∠ECDC.∠B=∠ACBD.∠A=∠ACE3.如图，下列推理正确的是（）A.∵∠1=∠3，∴a∥bB.∵∠1=∠2，∴a∥bC.∵∠1=∠2，∴c∥dD.∵∠1=∠5，∴c∥d第3题图第4题图4.已知，如图∠1＋∠2＝180°，填空.∵∠1＋∠2＝180°（）又∵∠2＝∠3（）∴∠1＋∠3＝180°∴（）5.如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a与c平行吗?为什么?【教学说明】学生独立完成，第4题是帮助学生熟悉证明的一般过程，注意理由的填写规范性.第5题是一个证明题，学生在书写的时候可能不是很规范，教师要及时予以纠正和强调.【答案】1.D 2.D 3.B4.已知对顶角相等a∥b,同旁内角互补，两直线平行5.解：a与c平行.∵∠1=∠2，∴a∥b.∵∠3+∠4=180°，∴b∥c，∴a∥c.五、师生互动，课堂小结【教学说明】教师引导学生对本节课知识进行总结，加深印象.重点是如何将文字语言转化为几何语言，对出现的疑惑及时予以解答，使学生更好的掌握本节课知识.完成本课时对应的练习.这节课的主要内容是平行线的判定方法，这也是本章的重点内容.难点是利用同位角判。
七年级数学上册第5章相交线与平行线5.2平行线1平行线教学课件(新版)华东师大版
总结归纳 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
平行线的传递性： 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
几何语言表达：
acb
∵a//c , c//b(已知） a//b(如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行）
当堂练习
1.下列说法正确的是（ C） A.在同一平面内，不相交的两条射线是平行线； B.在同一平面内，不相交的两条线段是平行线； C.在同一平面内，两条直线的位置关系不相交就平行； D.不相交的两条直线是平行线
讲授新课
一 平行线的定义及表示
如图，分别将木条a、b与木条c钉在一起，并把它们想象成两端
可以无限延伸的三条直线.转动a，直线a从在c的左侧与直线b相
交逐步变为在右侧与b相交.想象一下，在这个过程中，有没有
直线a与直线b不相交的位置呢？
c
a
c
c
a a
b
b
b
总结归纳 在木条转动过程中，存在一个直线a与直线b不相交的情形，这 时我们说直线a与b互相平行.记作“a∥b”. 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 注意：平行线的定义包含三层意思：
A· B· C·
D
E
（2）如图所示，因为AB // CD，CD // EF（已知）， 所以___A_B____ // ___E__F____ ( 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互
相平行 ).
A
B
C
D
E
F
课堂小结
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
七年级 华师大版 5.1.2 相交线 垂线
小常识
立定跳远中，体育老师是如何测量 运动员的成绩的？你能解释吗？
体育老师实际上测量 的是点到直线的距离
起 跳 线
落脚点
学到了什么?
1、垂线的定义及表示方法
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角 时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条 直线的垂线，它们的交点叫垂足。
2、垂线的画法
一、靠（线）；二、过（点）；三、画 （线）
a
b O
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键： 只要找到两条直线相交时四个交角中 一个角是直角。
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 们的交点叫垂足。 a 2.垂直的表示： α b 用“⊥”和直线字母表示垂直
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到 直线的距离。
如图，线段PA的长度是点P到直线m的距离。
1、如图，点A处是一座小屋，BC是 一条公路，一人在O处。 A
（1）此人到小屋去，怎样走最近？ 小屋 为什么？ 两点之间，线段最短 （2）此人要到公路去，怎样走最 近？为什么？垂线段最短
．
O
B
公路
C
A
则所画直线AB是过点 A的直线L的垂线.
B
L
1靠（线）:把三角板的一直角边靠在直线上; 2过（点）:三角板的另一条直角边过已知点; 3画（线）:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
总结：
根据以上的操作，你能得出什么结论？ 垂线的第一性质：
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
注意： （1）“过一点”中的点，可以在已知直线上， 也可以在已知直线外。 （2）“有且只有”中，“有”指存在，“只 有”指唯一性。
七年级数学上册第五章相交线与平行线5.1.2垂线课件新版华东师大版
1.在丰富的现实情境中，通过画、折等活动，进 一步丰富对两条直线互相垂直的认识，掌握有关 的符号表示.
2.会借助三角尺、量角器、方格纸画垂线，进一 步丰富操作活动的经验.
3.在操作活动中，探索有关垂直的一些性质.
想一想 平面内的两条直线有哪些位置关系?
平行
相交
议一议 下面两种相交的情况有什么不同？
1.垂直的定义. 2.垂直的画法. 3.垂直的记法. 4.垂直的一个结论. 5.点到直线的距离. 6.丰富了对平行、垂直和角的认识.
B. 4︰1 D. 5︰3
A OB PD
【解析】因为AB⊥CD，所以∠AOD=90°，又因为 ∠POA=4∠POD， 所以∠POA+∠POD=4∠POD+∠POD = ∠AOD= 90°， 所以∠POD =18°， ∠POA=4×18°=72°， 所以∠COP=∠COA+∠POA=90°+72°=162°， ∠BOP=∠BOD+∠POD=90°+18°=108°. 所以∠COP︰∠BOP=162°︰108°= 3︰2. 【答案】 A
点到直线的距离
P
看图回答
线段PA,PB,PC,PD谁最短？ A B C 你能用一句话表示这个结论吗？
Dm
结论 线段PB叫做点A到直线m的垂线段.
直线外一点与直线上各点连成的所有线段中，垂线段最短. 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直
线的距离.
作一条直线l，在直线l上取一点A，在l外取一点B，试分别过点A，B，其他三个角也都成为直角，此
时，直线AB,CD互相垂直.
做一做 （1）你能用三角尺在白纸上画两条互相垂直的直线吗？ （2）你能用量角器在白纸上画两条互相垂直的直线吗？ （3）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直
七年级数学上册第5章相交线与平行线专题十三平行线的判定技巧作业课件新版华东师大版
2．如图，EF分别交AB，CD于点G，F，FH⊥CD交AB于点H， 若∠1＝40°，∠2＝50°，则AB与CD有何位置关系？说明理由．
解：AB∥CD.理由如下：因为∠2＝50°，且FH⊥CD， 所以∠DFH＝∠2＋∠EFD＝90°，所以∠EFD＝40°. 又因为∠1＝40°，所以∠EFD＝∠1＝40°，所以AB∥CD
第5章 相交线与平行线
专题(十三) 平行线的判定技巧
类型1 已知角相等或角的度数，考虑内错角(同位角)相等两直线平行 1．如图，OC是∠AOB的平分线，且∠1＝∠2，试说明EF∥OB吗？
解：因为OC平分∠AOB(已知)，所以∠1＝∠BOC(角平分线定义)． 因为∠1＝∠2(已知)，所以∠2＝∠BOC(等量代换)， 所以EF∥OB(内错角相等，两直线平行)
4．如图，∠1∶∠2∶∠3＝2∶3∶4，∠AFE＝60°，∠BDE＝120°，写出图 中平行的直线，并说明理由．
解：AB∥ED，EF∥BC.理由如下：设∠1＝2x，则∠2＝3x，∠3＝4x， 由∠1＋∠2＋∠3＝180°，有2x＋3x＋4x＝180°，x＝20°，∠1＝40°， ∠2＝60°，∠3＝80°.因为∠AFE＝∠2＝60°， 所以AB∥ED.因为∠2＋∠BDE＝180°，所以EF∥BC
CD的位置关系为__旁内角互补两直线平行 3．如图，点B在直线AC上，∠FGB＋∠EHF＝180°. (1)请问DB与EC平行吗？为什么？ (2)若∠EHF＝64°15′，求∠AGB的度数．
解：(1)DB∥EC.理由如下：因为∠FGB＋∠EHF＝180°， 而∠EHF＝∠GHC，所以∠FGB＋∠GHC＝180°， 所以DB∥EC (2)∠AGB＝64°15′
5．如图，AB⊥MN，CD⊥MN，垂足分别是B，D，∠FDC＝∠EBA. (1)判断CD与AB的位置关系，并说明理由； (2)BE与DF平行吗？为什么？
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【综合运用】 17．(12分)(1)在图①中以P为顶点画∠P， 使∠P的两边分别和∠1的两边垂直； (2)量一量∠P和∠1的度数， 它们之间的数量关系是_∠__P_＋__∠__1_＝__1_8_0_°__； (3)同样在图②和图③中以P为顶点作∠P，使∠P的两边分别和∠1的两边 垂直，分别写出图②和图③中∠P和∠1之间的数量关系．(不要求写出理由) 图②：_∠__P__＝__∠__1__， 图③：__∠__A_P__B_＋__∠__1_＝__1_8_0_°__或__∠__A_′_P_B_＝__∠__1______；
15．(8分)如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥CD于O， OD平分∠BOF，∠BOE＝50°，求∠AOC，∠EOF，∠AOF的度数．
解：∠AOC＝40°，∠EOF＝130°，∠AOF＝100°
16．(12分)(孟津期末)如图所示，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行 驶，C，D分别是位于公路AB两侧的村庄．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
5．(4分)如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5， 则点B到AC的距离为__4__．
6．(4分)自来水公司为某小区A改造供水系统， 如图所示，沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接(AO⊥BO)， 路线最短，工程造价最低，根据是__垂__线__段__最__短___．
(1)该汽车行驶到公路AB上的某一位置C′时距离村庄C最近，行驶到D′位置 时，距离村庄D最近，请在公路AB上作出C′，D′的位置(保留作图痕迹)；
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在哪一段路上距离村庄C越来越远，而离村 庄D越来越近？(只叙述结论，不必说明理由)
解：(1)过点C作AB的垂线，垂足为C′，过点D作AB的垂线，垂足为D′ (2)在C′D′上距离村庄C越来越远，而离村庄D越来越近
9．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D， 则下面的结论中，正确的有( A ) ①BC⊥AC； ②AC⊥CD； ③点A到BC的垂线段是线段BC；
10．(嵩县月考)如图，∠AOD＝138°，OA⊥OB，OC⊥OD， 则∠BOC的度数为( A ) A．42° B．64° C．48° D．24°
11．已知点P在直线l外，点A，B，C均在直线l上，PA＝4 cm， PB＝5 cm，PC＝2 cm，则P点到直线l的距离为( C) A．2 cm B．小于2 cm C．不大于2 cm D．以上答案均不对
12．如图，l1⊥l2，垂足为O，若∠1＝∠2， 则∠3和∠4的关系是__相__等．
13．如图，工匠师傅为检查门框AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A 用细线悬挂一铅锤，看铅锤线AE是否与AB重合，若门框AB垂直于地面， 则AE与AB重合，否则AE与AB不重合．工匠师傅这样测量的依据
7．(4分)如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB＝5，BC＝3. 若BD的长度是整数，则BD的长度是____．4
8．(8分)如图，某人在公路的左侧A处，要到公路的右侧，怎样走最近？ 为什么？若他要到公路对面的B处，怎样走最近？为什么？
解：
某人在公路的左侧A处，要到公路的右侧，如图，沿垂线段AC的方向走最近， 根据是垂线段最短．若他要到公路对面的B处，如图，连结AB，沿线段AB 走最近，根据是两点之间线段最短
1．(4分)下列语句正确的个数是(D ) ①两条直线相交有一个角是直角，那么这两条直线垂直； ②若两条直线互相垂直，相交所成的四个角都是直角； ③互相垂直的两条直线的交点叫做垂足； ④同一平面内，两条互相垂直的线段不一定相交， 但它们所在的直线一定相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．(4分)如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，其理由是( )B
是___在__同__一__平__面__内__，__经__过__一__点__有__且__只__有__一__条__直__线__与__已__知__直__线__垂__直_．
三、解答题(共40分) 14．(8分)如图，已知点P，Q分别在∠AOB的边OA，OB上， 按下列要求画图： (1)过点P作射线OB的垂线段； (2)过点Q作垂直于射线OA的直线．
第五章 相交线与平行线
5．1 相交线
5.1.2 垂 线
1．若直线AB与CD相交于点O，且∠AOC＝90°， 则AB_垂__直_CD，点O叫做_垂__足_． 2．在同一平面内，过一点有__且__只__有__一条直线与已知直线垂直． 3．直线外一点到直线上各点的线段中__垂__线__段___最短， __垂__线__段___的长度，叫做点到直线的距离．
A．两点确定一条直线 B．在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在同一平面内，过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短
3．(8分)下列各图中，分别过点P作AB的垂线．
解：如图所示：
4．(4分)如图所示，P是直线l外一点，点A，B，C在直线l上，且PB⊥l， 下列说法：①PA，PB，PC这3条线段中，PB最短；②点P到直线l的距离是线 段PB的长；③线段AB的长是点A到PB的距离；④线段PA的长是点P到直线l 的距离．其中正确的是( A)