导数的概念及运算 课件-2021届高三数学一轮复习
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2021新高考2版数学一轮课件：第三章 第一节 导数的概念及运算
(5)y'=
sin cos
x x
'=
(
sin
x)'
cos x-sin cos2 x
x(
cos
x)'
= cos x cos x-sin x(-sin x) = 1 .
cos2 x
cos2 x
(6)y'=(
x
1 2
)'=
1
-1
x2
=
1
.
2 2x
方法技巧 1.求导数的总原则:先化简函数的解析式,再求导.
y=
1 x2
1·x+ln(x2+1)-
x2 x2
1
,
所以
k
b
1 x1
ln
x1
1 ,
x2 1 1 ln
(x2
1)-
x2 , x2 1
解得
x1 x2
1, 2 -1
2
于是b=ln
,
x1+1=1-ln
2.
规律总结 导数的几何意义的应用及求解思路 (1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y =f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f '(x0)(x-x0);求过某点的切线方程, 需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解. (2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数 等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点 的纵坐标. (3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜
'+
x
1 ln
2
导数的概念及运算课件——2025届高三数学一轮复习
A．2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)
B．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3)
C．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)
D．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3)
A
[由题图知：f
5 − 3
′(3)<
5−3
<f ′(5)，
即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．故选A.]
y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)
斜率
线的____，相应的切线方程为_____________________．
提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只
有一条，而后者包括了前者．
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
典例精研
核心考点
3．基本初等函数的导数公式
)
第1课时 导数的概念及运算
链接教材
夯基固本
4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f
典例精研
核心考点
课时分层作业
1
x
(x)＝e ＋ 的图象在x＝1
y＝(e－1)x＋2
处的切线方程为_______________．
y＝(e－1)x＋2
1
[∵f ′(x)＝ex－ 2 ，∴f ′(1)＝e－1，又f (1)＝e＋1，∴切点为(1，
cf ′(x)
(4)[cf (x)]′＝_______．
5．复合函数的定义及其导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x
B．2f ′(3)<2f ′(5)<f (5)－f (3)
C．f (5)－f (3)<2f ′(3)<2f ′(5)
D．2f ′(5)<2f ′(3)<f (5)－f (3)
A
[由题图知：f
5 − 3
′(3)<
5−3
<f ′(5)，
即2f ′(3)<f (5)－f (3)<2f ′(5)．故选A.]
y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)
斜率
线的____，相应的切线方程为_____________________．
提醒：求曲线的切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只
有一条，而后者包括了前者．
第1课时 导数的概念及运算
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核心考点
3．基本初等函数的导数公式
)
第1课时 导数的概念及运算
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4．(人教A版选择性必修第二册P81习题5.2T7改编)函数f
典例精研
核心考点
课时分层作业
1
x
(x)＝e ＋ 的图象在x＝1
y＝(e－1)x＋2
处的切线方程为_______________．
y＝(e－1)x＋2
1
[∵f ′(x)＝ex－ 2 ，∴f ′(1)＝e－1，又f (1)＝e＋1，∴切点为(1，
cf ′(x)
(4)[cf (x)]′＝_______．
5．复合函数的定义及其导数
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x
新课程2021高考数学一轮复习第二章第10讲导数的概念及运算课件
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容．预测 2021 年高考将会涉及导数的运算及几何意义．以客观题的形式考查导数的定 义，求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行 考查，试题难度属中低档.
1
PART ONE
基础知识过关
1．变化率与导数 (1)平均变化率
① ②
由①知 x0≠0，故②可化为 1＋x20＋ax0＝0，
所以 ax0＝－1－x20，代入①得 3x20＋2(－1－x20)＝－1，即 x20＝1，解得 x0＝±1. 当 x0＝1 时，a＝－2，f(x0)＝x30＋ax20＝－1；当 x0＝－1 时，a＝2，f(x0)＝x30＋ ax20＝1，所以点 P 的坐标为(1，－1)或(－1，1).
2．小题热身 (1)下列函数求导运算正确的个数为( ) ①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝x·l1n 2； ③(e1－x)′＝e1－x；④ln1x′＝x. A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 ①中，(3x)′＝3xln 3，错误；②中，(log2x)′＝x·l1n 2，正确；③ 中，(e1－x)′＝－e1－x，错误；④中，ln1x′＝0·llnnxx－2 1x＝－xln1 x2，错误， 因此求导运算正确的个数为 1.
2.(2019·全国卷Ⅰ)曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 __y_＝__3_x __.
解析 y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴斜率 k＝e0×3 ＝3，∴切线方程为 y＝3x.
角度 2 求切点坐标
3.(2019·广州模拟)设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))
高考数学大一轮复习 3.1 导数的概念及运算课件
解析 因为f(x)=2xf '(1)+ln x,所以f '(x)=2f '(1)+ 1 ,令x=1,可得f '(1)=-1.
x
答案 B
方法技巧
方法1 求函数的导数的方法
1.用导数定义求函数的导数的步骤:
(1)求函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率 yx = f (x0
考点清单
考向基础
考点一 导数的概念与几何意义
1.导数的概念:称函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率 lim x0
y = lim
x x0
f (x0
x) x
f
(x0 )
为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f
'(x0)或y' |xx0 ,即f
'(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 ) .
;
(2)经过原点(0,0)作函数f(x)=x3+3x2的图象的切线,则切线方程为
.
解析 (1)y'=-5ex,则曲线在点(0,-2)处的切线的斜率k=y'|x=0=-5×e0=-5,
故所求切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.
(2)f '(x)=3x2+6x.当(0,0)为切点时, f '(0)=0,故切线方程为y=0.
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f ‘(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切 线方程. 2.判断点P(x0,y0)是不是切点的方法:
(1)若点P(x0,y0)不在曲线y=f(x)上,则点P一定不是切点; (2)若点P(x0,y0)在曲线y=f(x)上,当是在点P(x0,y0)处的切线时,点P(x0,y0)是 切点,当是过点P(x0,y0)的切线时,点P(x0,y0)不一定是切点.
x
答案 B
方法技巧
方法1 求函数的导数的方法
1.用导数定义求函数的导数的步骤:
(1)求函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率 yx = f (x0
考点清单
考向基础
考点一 导数的概念与几何意义
1.导数的概念:称函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率 lim x0
y = lim
x x0
f (x0
x) x
f
(x0 )
为函数f(x)在x=x0处的导数,记作f
'(x0)或y' |xx0 ,即f
'(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 ) .
;
(2)经过原点(0,0)作函数f(x)=x3+3x2的图象的切线,则切线方程为
.
解析 (1)y'=-5ex,则曲线在点(0,-2)处的切线的斜率k=y'|x=0=-5×e0=-5,
故所求切线方程为y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.
(2)f '(x)=3x2+6x.当(0,0)为切点时, f '(0)=0,故切线方程为y=0.
第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f ‘(x1)(x-x1),可得过点P(x0,y0)的切 线方程. 2.判断点P(x0,y0)是不是切点的方法:
(1)若点P(x0,y0)不在曲线y=f(x)上,则点P一定不是切点; (2)若点P(x0,y0)在曲线y=f(x)上,当是在点P(x0,y0)处的切线时,点P(x0,y0)是 切点,当是过点P(x0,y0)的切线时,点P(x0,y0)不一定是切点.
专题四+4.1导数的概念及运算课件——2023届高三数学一轮复习
1 3
,
0
,C
0,
1 4
,则S△BOC=
1 2
×
1 3
×
1 4
=
1 24
.
综上,△BOC的面积为 4 或 1 .
3 24
考向二 两曲线的公切线问题
1.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,11)若直线y=kx+b是曲线 y=ex+1的切线,也是y=ex+2的切线,则k= ( ) A.ln 2 B.-ln 2 C.2 D.-2 答案 C
4.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程 为y=2x+b,则 ( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 答案 D
D.a=e-1,b=-1
5.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( )
解析 由题意可知y'=2cos x-sin x,则y'|x=π=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点 (π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y+1-2π=0,故选C.
答案 C
例2 (2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线
y=ln(x+1)的切线,则b=
,即f
'(x0)=
lim
x0
y x
=
. lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
x
注意:f '(x)与f '(x0)的区别与联系:f '(x)是一个函数,f '(x0)是函数f '(x)在x0处
3.1导数的概念及运算课件高三数学一轮复习
×
解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值 为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方 程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切 线可以不止一条，(4)错.
f′(x)＝___e_x__
1
f′(x)＝__x_l_n_a__
1
f′(x)＝__x___
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有： [f(x)±g(x)]′＝______f′_(_x_)±_g_′_(_x_) _______； [f(x)g(x)]′＝____f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_)____； gf（（xx））′＝__f_′（__x_）__g_（__x[_g）_（_－_x_）f_（_]_2x_）__g_′_（__x_）__ (g(x)≠0)； [cf(x)]′＝_____c_f_′(_x_)_____.
训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图
象如图所示，则该函数的图象是( B )
解析 由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率 先增大后减小，故选B.
(2)曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是( )
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝e－x
C.f(x)＝ln x
D.f(x)＝tan x
解析 若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解， 故A符合要求； 若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；
解析 (1)f′(x0)表示y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，(1)错. (2)f(x)＝sin(－x)＝－sin x，则f′(x)＝－cos x，(2)错. (3)求f′(x0)时，应先求f′(x)，再代入求值，(3)错. (4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值 为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方 程组的思想求切线的方程，在曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切 线可以不止一条，(4)错.
f′(x)＝___e_x__
1
f′(x)＝__x_l_n_a__
1
f′(x)＝__x___
4.导数的运算法则
若 f′(x)，g′(x)存在，则有： [f(x)±g(x)]′＝______f′_(_x_)±_g_′_(_x_) _______； [f(x)g(x)]′＝____f′_(_x_)g_(_x_)_＋__f(_x_)_g_′(_x_)____； gf（（xx））′＝__f_′（__x_）__g_（__x[_g）_（_－_x_）f_（_]_2x_）__g_′_（__x_）__ (g(x)≠0)； [cf(x)]′＝_____c_f_′(_x_)_____.
训练1 (1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图
象如图所示，则该函数的图象是( B )
解析 由y＝f′(x)的图象是先上升后下降可知，函数y＝f(x)图象的切线的斜率 先增大后减小，故选B.
(2)曲线f(x)＝2ln x在x＝t处的切线l过原点，则l的方程是( )
A.f(x)＝x2
B.f(x)＝e－x
C.f(x)＝ln x
D.f(x)＝tan x
解析 若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解， 故A符合要求； 若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；
高考数学一轮复习 2.11导数的概念及运算课件 文
提示：不一定．还有可能有2个或3个或无数多个公共点．
精品
11
1．(2014·郑州质量预测)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且
满足 f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则 f′(e)＝( )
A．1
B．－1
C．－e－1
D．－e
解析：f′(x)＝2f′(e)＋1x，∴f′(e)＝2f′(e)＋1e，
精品
5
(2)f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝
Δy
lim
Δx→0
Δx
，称其为函数y＝f(x)
在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或 y′|x＝x0 ，
即f ′(x0)＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
精品
6
(3)导函数
∴f′(e)＝－1e＝－e－1，选 C.
答案：C
精品
12
2．曲线 y＝x＋x 2在点(－1，－1)处的切线方程为(
)
A．y＝2x＋1
B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
精品
13
解析：∵y′＝x＋x＋2－22x＝x＋2 22， ∴在点(－1，－1)处的切线方程的斜率为－12＋22＝2. ∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1.
求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、 积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．对于不具 备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数， 如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此 时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再 求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．
精品
11
1．(2014·郑州质量预测)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x)，且
满足 f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则 f′(e)＝( )
A．1
B．－1
C．－e－1
D．－e
解析：f′(x)＝2f′(e)＋1x，∴f′(e)＝2f′(e)＋1e，
精品
5
(2)f(x)在x＝x0处的导数
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝
Δy
lim
Δx→0
Δx
，称其为函数y＝f(x)
在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或 y′|x＝x0 ，
即f ′(x0)＝
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.
精品
6
(3)导函数
∴f′(e)＝－1e＝－e－1，选 C.
答案：C
精品
12
2．曲线 y＝x＋x 2在点(－1，－1)处的切线方程为(
)
A．y＝2x＋1
B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
精品
13
解析：∵y′＝x＋x＋2－22x＝x＋2 22， ∴在点(－1，－1)处的切线方程的斜率为－12＋22＝2. ∴切线方程为 y＋1＝2(x＋1)，即 y＝2x＋1.
求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、 积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．对于不具 备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数， 如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此 时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再 求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．
第一节导数的概念及其意义、导数的运算课件-2025届高三数学一轮复习
读 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能
求简单的复合函数（限于形如f ax + b ）的导数.会使用导数公式表.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、导数的概念
1.平均变化率
函数f x
f x2 −f x1
x2 −x1
在区间[x1 , x2 ]上的平均变化率为__________.
− − = ，得切线的斜率 = ，所以 − = ，得 = ，所以 = + .
当 = 时， = ，所以切点为 , ，将 , 代入切线方程，得 × − − = ，
解得 = ，所以 = × = .故答案为 .
（2）对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f x = f′ x0 g x + h x
（x0 为常数）的函数，解决这类问题的关键是明确f′ x0 是常数，其导数值为0,因此
先求导数f′ x .令x = x0 ，即可得到f′ x0 的值，进而得到函数解析式，求得所求导数
值.
题型二 求切线方程
角度1 曲线在某点处的切线问题
A.y = −2x − 1
B.y = −2x + 1
C.y = 2x − 3
B)
D.y = 2x + 1
[解析] ∵ = − ，∴ ′ = − ，∴ = −，′ = −，∴ 所
求切线的方程为 + = − − ，即 = − + .故选B.
求简单的复合函数（限于形如f ax + b ）的导数.会使用导数公式表.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、导数的概念
1.平均变化率
函数f x
f x2 −f x1
x2 −x1
在区间[x1 , x2 ]上的平均变化率为__________.
− − = ，得切线的斜率 = ，所以 − = ，得 = ，所以 = + .
当 = 时， = ，所以切点为 , ，将 , 代入切线方程，得 × − − = ，
解得 = ，所以 = × = .故答案为 .
（2）对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f x = f′ x0 g x + h x
（x0 为常数）的函数，解决这类问题的关键是明确f′ x0 是常数，其导数值为0,因此
先求导数f′ x .令x = x0 ，即可得到f′ x0 的值，进而得到函数解析式，求得所求导数
值.
题型二 求切线方程
角度1 曲线在某点处的切线问题
A.y = −2x − 1
B.y = −2x + 1
C.y = 2x − 3
B)
D.y = 2x + 1
[解析] ∵ = − ，∴ ′ = − ，∴ = −，′ = −，∴ 所
求切线的方程为 + = − − ，即 = − + .故选B.
高考数学一轮复习第3章导数及其应用第13节导数的概念与运算课件文
∴y′|x＝x0＝－12＋x10. 依题意，知－12＋x10＝12，∴x0＝1，则 P1，－12. 又切点 P1，－12在直线 y＝12x＋b 上， 故－12＝12＋b，得 b＝－1.
2021/12/13
第二十四页，共四十二页。
命题角度 3 导数与函数图象
(2018 许昌模拟)已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且 其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
C．y＝2x
D．y＝x
【答案】D
2021/12/13
第三十五页，共四十二页。
【解析】∵ f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴ f ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. 又 f(x)为奇函数， ∴ f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax 恒成立， ∴ a＝1，∴ f ′(x)＝3x2＋1， ∴ f ′(0)＝1， ∴ 曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x. 故选 D.
2.(2018 江西南昌六校联考)若曲线 y＝ax2＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x－7y＋3＝0 垂直，则 a＋b 的值等于________．
【答案】－3
2021/12/13
第三十页，共四十二页。
【解析】∵直线 2x－7y＋3＝0 的斜率 k＝27， ∴切线的斜率为－72， ∵曲线 y＝ax2＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x－7y＋3＝0 垂直，
【答案】0
2021/12/13
第三十二页，共四十二页。
【解析】由题意可知，直线 y＝kx＋2 与曲线 y＝f(x)的切点为(3,1)， 则可得1f＝3＝3k＋1，2
2021/12/13
第二十四页，共四十二页。
命题角度 3 导数与函数图象
(2018 许昌模拟)已知函数 y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且 其导函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
C．y＝2x
D．y＝x
【答案】D
2021/12/13
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【解析】∵ f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax， ∴ f ′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a. 又 f(x)为奇函数， ∴ f(－x)＝－f(x)恒成立， 即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax 恒成立， ∴ a＝1，∴ f ′(x)＝3x2＋1， ∴ f ′(0)＝1， ∴ 曲线 y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝x. 故选 D.
2.(2018 江西南昌六校联考)若曲线 y＝ax2＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x－7y＋3＝0 垂直，则 a＋b 的值等于________．
【答案】－3
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【解析】∵直线 2x－7y＋3＝0 的斜率 k＝27， ∴切线的斜率为－72， ∵曲线 y＝ax2＋bx(a，b 为常数)过点 P(2，－5)，且该曲线在点 P 处的切线与直线 2x－7y＋3＝0 垂直，
【答案】0
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【解析】由题意可知，直线 y＝kx＋2 与曲线 y＝f(x)的切点为(3,1)， 则可得1f＝3＝3k＋1，2
高三数学一轮复习优质课件2：3.1 导数的概念及运算
• 1．基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝C(C为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sinx f(x)＝cosx f(x)＝ax
f(x)＝ex
f(x)＝logax
f(x)＝lnx
导函数
f ′(x)＝___0_____ f ′(x)＝_α_x_α_－_1___ f ′(x)＝__co_s_x____ f ′(x)＝_－__s_in_x___ f ′(x)＝____a_xl_n_a_(a>0) f ′(x)＝___e_x____
点为(1,1)．y′＝3ax2＋b，故
a＋b－1＝1， 3a＋b＝1.
解得
a＝－12， b＝52，
即b－a＝3，故选C．
• (理)(2014·新课标Ⅱ理，8)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处 的切线方程为y＝2x，则a＝( )
• A．0
B．1
• C．2
D．3
• [答案] D [解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义． 令f(x)＝ax－ln(x＋1)，∴f′(x)＝a－x＋1 1. ∴f′(0)＝2，解得a＝3，故选D．
• 3．(2013·永康模拟)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f ′(x) 的图象可能是( )
• [答案] D • [解析] 据函数的图象易知，x<0时恒有f ′(x)>0，当x>0时，
恒有f ′(x)<0，故选D．
• 4．(文)(2013·广东)若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平
)
A．3
B．2
C．1
D．12
• [答案] B
[解析] y′＝2x－3x，由2x－3x＝－12，解得x＝2或x＝－3(舍
高考数学一轮总复习课件：导数的概念与运算
(4)f(x)＝ 1－1 2x2；
π (5)f(x)＝cos(3x2－ 6 )．
【解析】 (1)∵f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′，
∴f′(x)＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.
(2)∵f(x)＝11＋ －
xx＋11＋－
x x
＝（1＋ 1－xx）2＋（1－ 1－xx）2
π 5．设正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝ 2 处的瞬时变化率为
k1，k2，则k1，k2的大小关系为( A )
A．k1>k2
B．k1<k2
C．k1＝k2
D．不确定
解析 ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx. π
k1＝cos0＝1，k2＝cos 2 ＝0，∴k1>k2.
授人以渔
题型一 导数的概念(自主学习)
(3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为k＝x02＝1， 解得x0＝±1，故切点为1，53或(－1，1)． 故所求切线方程为y－53＝x－1或y－1＝x＋1. 即3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0.
【答案】 (1)4x－y－4＝0 (2)4x－y－4＝0或x－y＋2＝0 (3)3x－3y＋2＝0或x－y＋2＝0
状元笔记
求曲线的切线方程的两种类型 (1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在 点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线， 一定是以点P为切点；过点P的切线，不确定点P在不在曲线上， 点P不一定是切点． (2)求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤为： 第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；
数的平均变化率Δ Δyx的极限是否存在．
(2)利用导数定义求函数的导数时，先算函数的增量Δy，
导数的概念及运算课件 高三数学一轮复习
f'（x）＝ －sin x
目录
基本初等函数
f（x）＝ex
f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）
f（x）＝ln x
f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）
导数
f'（x）＝
ex
f'（x）＝
axln a
f'（x）＝
1
f'（x）＝
1
ln
目录
（2）导数的运算法则
①函数和、差、积、商的导数：若f'（x），g'（x）存在，则有：
（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是
.
答案 （e，1）
目录
THANK . YOU
1），即y＝3x＋3.
答案：y＝3x＋3
目录
｜解题技法｜
求曲线切线方程的步骤
（1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P（x0，f
（x0））处切线的斜率；
（2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）.
提醒 “过”与“在”：曲线y＝f（x）“在点P（x0，y0）处的切线”与“过点
y
(0 +Δ)−(0 )
lim ＝ lim
叫做函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f'（x0）或
x
Δ
Δ→0
x→0
Δ
(0 +Δ)−(0 )
y'|=0 ，即f'（x0）＝ lim ＝ lim
；
Δ
Δ
Δ→0
Δ→0
（2）导数的几何意义：函数f（x）在x＝x0处的导数f'（x0）的几何意义是在曲
高考数学复习 第三章 第一节 导数的概念及其运算课件 文
(2)函数 f(x)在 x＝x0 处的导数
①定义：称函数
f(x) 在
x ＝ x0 处 的 瞬 时 变 化 率
lim
△x→0
Δy Δx
＝
___△lix_m→_0 _f_（__x_0＋__Δ __xΔ_）_x_－__f_（__x_0）____为函数 f(x)在 x＝x0 处的导数，记
作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝_△l_ixm→_0__f（__x_0_＋__Δ__xΔ_）_x_－__f（__x_0_）__．
f(x)＝ex
f′(x)＝__e_x _
f(x)＝logax f(x)＝ln x
1 f′(x)＝_x_l_n__a_ (a>0，且 a≠1)
1 f′(x)＝_x__
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)导数的运算法则 ①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； ②[f(x)·g(x)]′＝__f′_(x_)_g_(_x_)＋__f_(x_)_g_′(_x_)_； ③gf（（xx））′＝___f_′__（__x_）_g_（ __[gx_（）__x－_）_f_（]_2_x_）__g_′（__x_）___ (g(x)≠0)．
原函数 f(x)＝C(C 为常数)
导函数 f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝__α__x_α_－_1 __
f(x)＝sin x
f′(x)＝__c_o_s_x__
f(x)＝cos x
f′(x)＝__-_si_n__x__
f(x)＝ax
f′(x)＝_a_x_l_n_a_(_a_>_0_)_
何等有关知识的综
导数求切线的方程
＝x3，y＝，y＝的导数.
高三数学导数的概念与运算(PPT)2-1
数（或变化率），记作
f
/ (x0 )
y lim xo x
lim
xo
f (x0
x) x
f (x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
；
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数 的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，y0）处 的切线的斜率，即斜率为 f / (x0 ) 。过点P的切
知识提要： 1．导数的概念：
（1）已知函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有增 量⊿x，那么函数y相应地有增量
y
⊿y=f(x0+⊿x)-f(x0),比值 x 就叫做函数y=f(x)
在x0到x0+⊿x之间的平均变化率；
（2）当⊿=f(x)
在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导
线方程为：y- y0= f / (x0 ) (x- x0).
导数的物理意义：如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻t0的瞬时速度v就是位 移s的导数在t0的值，
v= s / (t0 )
4．几种常见函数的导数：
C' 0(C为常数)；(x n )' nxn1( n Q )；
(sin x)' cosx ； (cosx)' sin x ；
(ln x)' 1 x
；(log a
x)'
1 x
log a
e；
(e x )' e x ； (a x )' a x ln a 。
•
；相亲 相亲
捕蝇草（Catchfly）属于维管植物的一种，是很受欢迎的食虫植物， 拥有完整的根、茎、叶、花朵和种子。它的叶片是最主要并且明显的部位，拥有捕食昆虫的功能，外观明显的刺毛和红色的无柄腺部位，样貌好似张牙利爪的血盆大口。盆栽可适用于向阳窗 台和阳台观赏，也可专做栽植槽培养；是原产于北美洲的一种多年生草本植物。 据说因为叶片边缘会有规则状的刺毛，那种感觉就像维纳斯的睫毛一般，所以英文名称为Venus Flytrap，在茅膏菜科捕蝇草属中仅此一种，捕蝇草被誉为自然界的肉食植物。 捕蝇草仅存于于美国的南卡罗莱纳州东南方的海岸平原及北卡罗莱纳州的东北角。然而，在原产地的捕蝇草在生存上却受到人类活动的威胁。人口快速增加因而剥夺捕蝇草的生存空间，而且因为人为干预自然野火的发生，使得这些地区开始长出一些小型灌木 ，因而遮蔽捕蝇草的阳光。因此，捕蝇草被试着引入其他地区进行复育，像是新泽西州和加州。在佛罗里达州已顺利归化，而成为很大的族群。 中心部位生长出来，属于轮生的叶子，显连坐状以丛生的形态生长。中央长出来扁平或者细线状好似翅膀形状的是属于叶柄的部分，原生种的叶柄是扁平如叶片一般，因为反而像是叶子，所以也称做假叶。 叶柄的末端带有一个捕虫夹，这才是会捕捉昆虫的叶子的部分，正面分布有许多的无柄腺，一般是红色或者橙色，越接近叶绿的地方的无柄腺就越少，这部分是分泌消化液来分解昆虫或者吸收昆虫的养分的部位。叶绿长有齿状的刺毛，刺毛的基部有分泌腺， 会分泌出粘液，作用是防止昆虫挣脱和叶瓣粘合。这种的叶子拥有捕捉昆虫的特殊功能，和特殊的模样，属于变态叶中的“捕虫叶”。 因为新叶都是从中心产生，故越外层的叶子就越老。在最外层的叶柄基部有时还会产生新的侧芽。捕蝇草的叶柄有两种型态发生，有的捕蝇草叶柄细长，达7～16公分长，而且朝向空中伸展；有的捕蝇草则长出短胖
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f (x) 2x 4，令x 0 , f (0) 4.
4 曲线 y x3 3x2 6x 10 的切线中,斜率最小的切线方程
为 3x y 11 0 .
x 1
解：y 3x2 6x 6 3(x 1)2 3≥3
,此时
y
14
直线方程 y (14) 3[x (1)].
k 3.
s(t) 1 t3 3 t2 2t，那么速度为0的时刻是（ D ）. 32
t t0的瞬时速度.
（A）0 s
（B）1 s末
（C ）2 s末
（ D）1 s末和2 s末
分析：s(t) t2 3t 2=v瞬时 (t) 0.
2
若f
(
x0
)
2，则
lim
a0
f (x0 ) f (x0 a) （ A ）. 2a
双基自测
5 曲线 f (x) x3 x 2 在点P处的切线平行于直线 y 4x 1,则点P的
坐标为( C ).
（A） (1,0） （B）(2,8) （C ） (1,0)或 (1,4） （ D）(2,8)或(1,4)
解： f
( x)
3x2
1，设P(x0,y0 ),则
3x02 1
x03
x0
解:y (x2 )sin x x2 (sin x)=2x sin x x2 cos x.
(2) y ln x 1 ; x
解:y
(ln
x)
( 1 ) x
1 x
1 x2
.
牢记公式
cos x (3) y ex ;
解:y
cos ( ex
x )
(cos
x)ex cos e2x
x(ex )
sin
几何意义. 3.能根据导数定义求函数的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求
简单函数的导函数，能求简单的复合函数的导数.
知识梳理
1.(1)函数 y f (x) 从 x1 到 x2的平均变化率. 函数 y f (x) 从 x1 到 x2的平均变化率为 f (x2 ) f (x1) ,
（A）1
（B）2
（C ）1
（ D） 1 2
分析：lim a0
f
(x0 ) f (x0 2a
a)
1 lim
2 a0
f
(x0 ) f (x0 a
a)
=1 2
f (x0 )=1.
赋值 3 已知 f (x) x2 2xf (1) ,则 f (1) 2 ,f (0) 4 .
双基自测
解：f (x) 2x 2 f (1) , 令x 1 , f (1) 2 2 f (1) f (1) 2.
x
P(x0，y0 )
M
(2)几何意义：函数 y f (x) 在点 x x0 处的导数 f (x0 ) O
x
等于函数所表示曲线在 x x0处的切线斜率，切线方程为
y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ).
知识梳理
3.函数 y f (x) 的导数.
函数 y f (x) 在区间 (a,b)上的每一点处都有导数，导数值
若f (x) sin x,则f (x)= cos x ；
若f (x) cos x,则f (x)= sin x ；
5.导数的运算法则. [ f (x) g(x)] f (x) g(x) ;
知识梳理
[ f (x) g(x)] f (x)g(x) f (x)g(x) ;
f (x)
g(x)
x2 x1 y
若x x2 x1 ,y f (x2 ) f (x1) ,则平均变化率可表示为 x . (2)函数 y f (x) 在 x x0 处的瞬时变化率.
当 x
无限趋近于0时,yx
f (x0 x) x
f (x0 ) ,
y 无限趋近于 x
一个固定常数A，则称A为f (x) 在 x x0 处的瞬时变化率.
x ex
cos
4， 2
y0
.
x0 y0
1， 0.
或
x0 y0
1， 4.
6 曲线 f (x) ex cos x 在点（0，f(0)）处的切线斜率为 1 . 解： f (x) ex cos x ex (sin x)， f (0) 1.
题型一 导数的计算
典例分析
例1 求下列函数的导数.
(1) y x2 sin x;
； axa1 ；
若f (x)
x,则f (x)=
x
1 2
=
2
1
； x
若f (x) 1 ,则f (x)=
1 x2
；
x
若f (x) ax(a > 0,且a 1),则f (x)= ax ln a ； 若f (x) ex,则f (x)= ex ；
1
1
若f (x) loga x(a > 0,且a 1),则f (x)= x ln a； 若f (x) ln x,则f (x)= x ；
导数的概念及运算
高三年级 数学
平瞬 均时 速速 度度
割切 线线 斜斜 率率
导数的概念 及其意义
导数的运算
知识整体建构
导数在研究函 数中的应用
导
导
基
导简
函
函
抽象 数
数
本
数单
数
数
的
的
初
的复
的
的
概
几
等
四合
单
极
念
何
函
则函
调
值
意
数
运数
性
与
义
的
算的
最
导
法导
值
数
则数
公
式
复习目标
1.了解导数概念的某些实际背景（如平均速度，瞬时速度等）. 2.理解导数的概念.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的
记为 f (x) ，且 f (x) lim y f (x0 x) f (x0 ) ,则 f (x) 是
x0 x
x
关于 x 的函数，称 f (x) 为 f (x)的导数.
知识梳理
4.基本初等函数的导数公式. 若f (x) c(c为常数)，则f (x)= 0 若f (x) xa (a∈Q,且a 0),则f (x)=
f (x)g(x) f (x)g(x) [ g ( x)]2
(g(x) 0)
.
6.复合函数 f [g(x)] 的导数.
y f (u),u g(x) yx yu ux 或 f [g(x)] f (u) g(x).
双基自测
1 一个物体沿直线运动，如果由始点起经过 t s 后的位移为 s(t0 x x0 处的导数. (1)定义：称函数y f (x) 在 x x0处的瞬时变化率,
y
y f (x)
(x0 x，y0 y) Q
lim y f (x0 x) f (x0 )
y
x0 x
x
为函数 y f (x) 在x x0 的导数，记作 f (x0 ) 或 y |xx0 .