浅谈古典概型与几何概型

浅谈古典概型与几何概型

在一种概率模型下，如果随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。例如：掷一次硬币的实验，只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的。又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型。这种模型称之为古典概型，它是概率论中最直观和最简单的模型。因此一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。相应地，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型（geometric models of probability），简称为几何概型。几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关。具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型。关于几何概型的随机事件“ 向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G 的度量之比，即P=g的测度/G的测度。

古典概型讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每

个基本事件发生的可能性是相同的。若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）＝m／n，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。然而当随机试验中的基本事件有无穷多个，且每个基本事件发生是等可能的，这时就不能使用古典概率，于是产生了几何概率。几何概率的基本思想是把事件与几何区域对应，利用几何区域的度量来计算事件发生的概率，布丰投针问题是应用几何概率的一个典型例子。此时事件A的概率计算公式为：

用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量. 对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法。

典例透析

几何概型两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去。求两人能够会面的概率。

解：设两人到达的时间分别为7点到8点之间的x分钟、y分钟.用

表示每次试验的结果，则所有可能结果为：

；

记两人能够会面为事件A，则事件A的可能结果为：

.

如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD. 而事件A所构成区域是正方形内两条直线，所夹中间的阴影部分. 根据几何概型公式，得到：

.

所以，两人能够会面的概率为5/9。

根据以上的解法和分析，把此类疑难问题的解决总结为以下四步

（1）构设变量：从问题情景中，发现哪两个量是随机的，从而构设为变量x、y。

（2）集合表示：用（x,y）表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出试验全部结果Ω和事件A所包含试验结果. 一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集。

（3）作出区域：把以上集合所表示的平面区域作出，先作不等式对应的直线，然后取一特殊点验证哪侧是符合条件的区域。

（4）计算求解：根据几何概型的公式，易从平面图形中两个面积的比求

得。

古典概型 （分房问题）设有n 个人，每个人都等可能地被分配到

N 个房间中的任意一间去住（n ≤N ），求下列事件的概率：

1）A= 指定的n 个房间各有一人住 ；

2）B= 恰好有n 个房间，其中各有一人住 。

解：因为每一个人有N 个房间可供选择（没有限制每间房住多少人），所以n 个人住的方式共有n

N 种，它们是等可能的。 1）n 个人都分到指定的n 间房中去住，保证每间房中个有一人住；第一人有n 分法，第二人有n-1种分法，……最后一人只能分到剩下的一间房中去住，共有 n(n-1)…….21种分法，即A 含有n ！个基本事件：

)(A P =n N n !

2） n 个人都分到的n 间房中，保证每间只要一人，共有n!种分法，而

n 间房未指定，故可以从N 间房中任意选取，共有 n N C 种取法，故B 包

含了n N C 种取法。=n n N N n C !

综上所述：利用古典概型的公式计算事件的概率关键是要求基本事件总数和A 的有利事件数，则需要利用数列和组合的有关知识，且有一定的技巧性，有时正面求较困难时，可以转化求它的对立方面，要讲究一些技巧。分房问题中的人与房子一般都是有个性的，这类问题是将人

一个个地往房间里分配，处理实际问题时要分清什么是“人”，什么是“房子”，一般不可颠倒，常遇到的分房问题有：n个人相同生日问题，n 封信装入n个信封的问题（配对问题），掷骰子问题等，分房问题也称为球在盒子中的分布问题。

几何概型问题不仅指与几何图形有关的概率问题，还包括可以抽象成几何概型的概率问题，如关于时间、实数等的随机问题.那么如何计算几何概型中事件的概率呢？①选择适当的观察角度（从等可能性的角度观察）；②找出所有基本事件对应的区域d；③找出随机事件a对应的区域d。几何概型是古典概型的发展与推广。