第5讲 高斯光束

1 1 z / z0


2
z exp i arctg z0

代表修正因子 对平面波 轴向相位的修正
4
5.1 均匀介质中的高斯光束
2 2 z iz0 kr kr k 1 2 exp i r exp i exp i 2 2 2 2 z iz z z 2 q z 0 0 0 k z0 k z 2 代表了 对平面波在径 exp i r 2 2 2 2 2 z z0 2 z z0 向上的振幅和相位修正
2 2 z 2 z 0 1 2 x , y , z e ikz z0 1 0 k 2 2 E0 exp i kz z r i 2 z 0 z 2 R z z R z z 1 2 2 exp i kz z z z 2R z z z arctg z 该式所表示的是均匀介质中波动方程的一个解， 0 称为基本高斯光束解，其横向依赖关系只包含r， 02 z0 而与方位角无关。 那些与方位角相关的分布是 0 高阶高斯光束解。
5.1 均匀介质中的高斯光束
E x, y, z
上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项。
为什么是这个解？还有其他解吗？
7
5.1 均匀介质中的高斯光束
高斯分布：
在统计学中更多的被称为正态分布， 它指的是服从以下概率密度函数的分布：
2 x 1 f x, , exp 2 2 2
13
5.2 类透镜介质中的高斯光束
类透镜介质中k2 0，此时的简化波动方程为：
2 k 1 1 2 0 q z q z k i p z q z
S z 1 仍引入函数S z ： ，可以得到： q z S z
1/ e
2
Z
Z
即光束半径随传输距离的变化规律 为双曲线，在z 0时有最小值0 ， 这个位置被称为高斯光束的束腰位置。
9
5.1 均匀介质中的高斯光束
等相位面特性
从高斯光束解的相位部分可以得到传输过程中的总相移为：
z kr 2 r2 x, y, z kz z k z arctg 2 2R z 2 R z 0 2 2 x y 将上式同标准球面波的总相移表达式比较： kz k ; zR 2R 可以得出结论，在近轴条件下高斯光束的等相位面是以R( z )为半径的
球面，球面的球心位置随着光束的传播不断变化，由R( z )的表达式可知：
z 0时， R z , 此时的等相位面是平面； z 时，R z z ，此时等相位面
也是平面；
R z 0,曲率中心在等相位面的左边 R z 0,曲率中心在等相位面的右边
1
2 1 z / z0



0 z
k z0 1 2 2 2 2 z z0 z k z k 2 2 z 2 z0 2R z
2z 2 z 0 k z2 1 2 z0 2 z0 R z z 1 2 z
在z截面上，其振幅按照高斯函数规律变化，如图所示。
1
将在光束截面内，振幅下降到最大值的1 / e时， 离光轴的距离r z 定义为该处的光斑半径。
由 z 的定义可以得到：
2 2 z z z 2 2 2 1 z 0 1 2 2 0 z0 z0
lim
z
z
z
1 1 0 0 lim 2 2 z z z0 z0 0 z0
包含在全远场发散角内的光束功率占高斯光束总功率的86.5%
高斯光束在轴线附近可以看成一种非均匀高斯球面波，在传播 过程中曲率中心不断改变，其振幅在横截面内为一高斯分布， 强度集中在轴线及其附近，且等相位面保持球面。
半径为a的孔， 则透过该孔径的光功率与总功率的比值为左下式，通过计 a 算可以得到不同孔径的功率透过率。 2 I r 2 rdr Pa 2 a 0 T 1 exp 2 P I r 2 rdr

0
孔径半径a 功率透过比
ω/2 39.3%
1 1 0 2 q q
S z
2
2 S S S 1 S 引入一中间函数S，使 = 代入上式得到 0 2 q z S z S S
得出S 0，该微分方程的解为 S az b，a、b为复常数
1 a 则 q z az b
在实际应用中，一般认为基模高斯光束在瑞利长度范围内是近似平行的， 因此也把瑞利距离长度称为准直距离。 02 从瑞利长度表达式 z0 = 可以得出结论，高斯光束的束腰半径越大， 其准直距离越长，准直性越好。
11
5.1 均匀介质中的高斯光束
高斯光束的孔径
从基模高斯光束的光束半径表达式可以得到截面上振幅的分布为： r2 2 2r A r A0 exp 2 则其光强分布为：I r I 0 exp 2 考虑垂直于高斯光束传播方向上存在一无限大平面，以光轴为中心开一
2 k 1 1 2 0 q z q z k 可得到简化的波动方程： i p z q z
2
5.1 均匀介质中的高斯光束
均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2 0时的类透镜介质， 此时简化波动方程为：



E0 1 z / z0


2
z exp i arctg z0
k z0 k z i 2 2 2 2 z 2 z0 2 z z0
2 r
作为对平面波的修正因子，要想获得高斯光束解，则其应该包括： 即 应有如下形式 1、对平面波轴向相位修正；
z z0时， R z 2 z0， 此时的等相位面半径最小；
10
5.1 均匀介质中的高斯光束
瑞利长度
当光束从束腰传播到z z0 处时，光束半径 z0 = 20，即光斑面积 增大为最小值的两倍， 这个范围称为瑞利范围， 从束腰到该处的长度

称为高斯光束的瑞利长度，通常记作f 。
S z
k2 S z 0 k
k k 2 S z a sin z b cos 2 z k k 其解为： k k k2 k2 2 cos zb sin 2 z S z a k k k k
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 ?
0 r2 E E0 exp 2 z z
8
5.1 均匀介质中的高斯光束
高斯光束基本特性
振幅分布特性
0 r2 exp 2 由高斯光束的表达式可以得到： E E0 z z
2、对平面波径向振幅修正；
3、对平面波径向相位修正
1 k 2 ~ exp i z r i 2 z 2 R z
5
5.1 均匀介质中的高斯光束
比较两式，可以得到： z z arctg z0

2 z0 2 z k
0 0
z2 1 2 z0
2 z0 2 0 k

02 2 02 z0 2 2 0 0
02 k
6
将上述参数带入到光场的表达式，整理可以得到光场的表达式：
将q0的表达式带入 1 式中，其指数的两项可以分别表示为：
q0 iz0
z exp ln 1 q0
z exp ln 1 i z0
2 z z exp ln 1 i arctg z z0 0
激光原理与技术
第五讲 高斯光束
5.0 类透镜介质中的波动方程
从麦克斯韦方程组出发，推导出各向同性、无电荷分布介质中的波动方程为： 2 E E 2 E 2 0 t t 若假设其解为修正平面波，且将类透镜介质折射率表达式带入其中可以得到： 2 t 2ik kk2 r 2 0 z k 2 其中 x , y , z 为修正因子，若假设其形式为： E0 exp i p z r 2q z
z k 2 E0 exp i i ln 1 r 1 q0 2 q0 z 满足该表达式的q0 有很多形式，但对其研究发现纯虚数形式的q0 可以得到


有物理意义的波，因此假设q0 具有如下表达形式：
ω 86.5%
3ω/2 98.89%
2ω 99.99%
在激光应用中，高斯光束总要 通过各种光学元件，从上面推 导可知，只要光学元件的孔径
大于3 / 2，即可保证高斯光束的绝大部分功率有效透过。
12
5.1 均匀介质中的高斯光束
远场发散角
从高斯光束的等相位面半径以及光束半径的分布规律可以知道，在瑞利 定义当z 时高斯光束振幅减小到最大 长度之外，高斯光束迅速发散， 值1 / e处与z轴夹角为高斯光束的远场发散角（半角）：