高中数学《椭圆》教案1 苏教版选修2-1

《椭 圆》导学

椭圆是我们生活中常见的一种曲线，如汽车油罐的横截面、太阳系中九大行星及其卫星运动的轨道、部分彗星的轨道等等都是椭圆形。研究椭圆的方程及其几何性质，可以帮助我们解决一些实际问题。椭圆是解析几何的重要内容，是高考常考的知识点之一。 知识要点梳理

1、椭圆的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于│F 1F 2│）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 问题一：对于椭园的定义我们应理解哪些内容：

（1）椭圆的定义是据椭圆常见、常用的作图方法而得到的，它反映了椭圆的本质属性，是建立标准方程和解决有关问题的根本依据，必须要深刻理解。建议初学的读者，利用课本中椭圆的画法，边画边体会、理解椭圆的定义。

（2）在定义中要抓住关键字词：“两个定点”、“距离的和”、“常数”，弄清它们的确切含义。特别注意这个常数应大于两定点的距离（│F 1F 2│=2c ），即2a ＞2c 。当2a=2c 时，点的轨迹是两定点确定的线段F 1F 2；当2a ＜2c 时，点的轨迹不存在。

（3）要注意利用椭圆的定义解题。与椭圆有关的一些问题，若根据题设条件，利用椭圆的定义来解，往往起到其它方法所不及的作用。

2、如何联系椭圆的标准方程理解几何性质？

请读者利用类比的方法，将椭圆的两种标准方程、图形、及几何性质列一张表，然后，思考表中哪些是相同的？哪些是不同的？为什么？再认真阅读下面的说明。 对标准方程及几何性质的几点说明：

（1）牢记参数关系：222

0,,,,a b a b c a b c >>=+中最大。

（2）在两种标准方程表示的椭圆的几何性质中，凡是与坐标无关的性质（椭圆本身固有的性质）都是相同的。如长轴、短轴的长，焦距，离心率，椭圆的形状、大小等都是相同的。凡是与坐标有关的性质（由于坐标系选取的不同而得到的特殊性质）都是不同的。如焦点的坐标，顶点的坐标，标准方程，准线方程，椭圆的位置等都是不同的。记忆时，将焦点在x 轴上方程、坐标中的x 换成y ，y 换成x 即可。

（2）标准方程中的常数a 、b （a ＞b ＞0）决定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件，这是椭圆本身固有的性质，与坐标系的选取无关。

（6）椭圆的顶点是它与对称轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上。椭

圆的中心、焦点、短轴的端点，过这三点构成一个直角三角形，且以c 、b 为直角边，a 为斜边，这是a 、b 、c 的一个几何意义。

（7）两焦点的位置决定了椭圆在坐标系中的位置，是椭圆的定位条件，与坐标系的选取有关。当焦点在x 轴上时，椭圆是“平卧”的；当焦点在y 轴上时，椭圆是“直立”的。

（8）椭圆的焦点一定在长轴上。观察两个标准方程，不难看出，当等号右边等于1时，若左边x 2项的分母大于y 2项的分母，则焦点在x 轴上；若左边y 2项的分母大于x 2

项的分母，则焦点在y 轴上。即：焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大（是a 2）；焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大（是a 2

）。简记为：“以分母大小定长（轴）短（轴）”。 （9）求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法（待定系数法）。先定位，就是首先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点，看焦点在哪个坐标轴上，再确定标准方程的形式；后定量，就是根据已知条件，通过解方程（组）等手段，确定a 、b 的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程。如若不能确定焦点的位置，则两种情况都要考虑，这一点一定要注意，不要遗漏，此时设所求的椭圆方程为一般形式:A x 2+B y 2

=1(A ＞0,B ＞0,且A ≠B)比较简单。 （10）点P 0（x 0，y 0）和椭圆22

221x y a b

+=的位置关系有：点P 0（x 0，y 0）在椭圆上⇔ 2200221x y a b

+=；点P 0（x 0，y 0）在椭圆内⇔2200221x y a b +<；点P 0（x 0，y 0）在椭圆外⇔ 220022

1x y a b +>。 椭圆的标准方程

教学目标

根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下：

（1）知识目标：进一步理解椭圆的定义：掌握椭圆的标准方程，理解椭圆标准方程的推导；会根据条件写出椭圆的标准方程；能用标准方程判定是否是椭圆．

（2）能力目标：通过寻求椭圆的标准方程珠推导，帮助学生领会观察、分析、归纳、数形结合等思想方法的运用；在相互交流学习中，使学生养成表述、抽象、总结的思维习惯，逐步培养学生在探索新知的过程中进行合作推理的能力，及应用代数知识进行同解变形和化简的能力．

（3）情感目标：在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心，培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学习审美体验，提高学习的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度．

重点、难点

重点：如何确定椭圆的标准方程：

难点：椭圆标准方程的推导：

教学方法

启发、探索、小组讨论等

教学手段

运用多媒体（计算机等）辅助教学

教学过程

（一）创设情景

情景一：复习上节课内容，重点是椭圆的定义．上节课我们已经学习了椭圆，请大家回忆一下椭圆的定义，想一想我们是怎么画椭圆的？[平面内到两个定点12F F ，的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，两个定点12F F ，叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距]

情景二：展示图片一，思索：油罐的横截面而不是椭圆？

情景三：展示图片二，思索：“鸟巢”顶部的椭圆型建筑如何设计？

情景四：展示图片三，思索：“嫦娥奔月”中卫星如何精确定位？

通过研究椭圆的方程，可以帮助我们回答这些问题．

目的：利用课件生动形象的演示提高学习学习兴趣，激活学生思维，使学生的注意，记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭圆的必要性，引出课题．

（二）互动探究

椭圆标准方程的推导

问题1：联想必修2中圆方程的推导步骤是如何的？

（建立坐标系，设点的坐标、列等式、代坐标、化简方程）

问题2：怎样给椭圆建立直角坐标系？

设椭圆的两个焦点分别为12F F ，，它们之间的距离为2c ，椭圆上任意一点到12F F ，的距离的和为2(22)a a c >．

通过几何画板来画一个椭圆，让学生思考根据所画的椭圆，选取适当的坐标系．

☆ 结合建立坐标系的一般原则——使点的坐标、几何量的表达式简单化，并且从“对称美”、“简洁美”的角度出发作一定的点拨；若学生选取适当的坐标系都一样，教师多画几个坐标系，让学生选，注意要有中心在原点，焦点在y 轴的坐标系；并提问：为什么选取这样的坐标系，依据是什么．

（1）建立直角坐标系：以12F F ，所在直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ．

（2）设点的坐标：设点()P x y ，是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为1(0)F c -，

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