高考数学专题讲解：正余弦定理解三角形
正弦定理、余弦定理及其应用-高考数学【解析版】
专题24 正弦定理、余弦定理及其应用近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一）正弦、余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 的外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理内容2sin sin sin a b cR A B C=== a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；(2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (3)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝asin A＝2R cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2. 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边、或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行（1）222222sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=⇔+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=⇒+=（恒等式） （3）22sin sin sin bc B C a A=3.余弦定理的变式应用：公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角 当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角； 当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角 （二）三角形常用面积公式 (1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．（三）常用结论 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ；(2)cos(A ＋B )＝－cos C ； (3)sinA ＋B 2＝cosC 2；(4)cos A ＋B 2＝sin C2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B ． 4．三角形中的大角对大边在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ． 5.海伦公式：()()()()1,2S p p a p b p c p a b c =---=++ 6.向量方法：()()2212S a ba b=⋅-⋅ （其中,a b 为边,a b 所构成的向量，方向任意）证明：()2222222111sin sin 1cos 244S ab C S a b C a b C =⇒==- ()()221cos 2S ab ab C ∴=-cos a b ab C ⋅=∴ ()()2212S a b a b =⋅-⋅坐标表示：()()1122,,,a x y b x y =，则122112S x y x y =- 7.三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）.()sin()sin sin A B C C π+=-= ()cos()cos cos A B C C π+=-=-8.三角形的中线定理与角平分线定理（1）三角形中线定理：如图，设AD 为ABC 的一条中线，则()22222AB AC AD BD +=+ （知三求一）证明：在ABD 中2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅ ① 2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅ ②D 为BC 中点 BD CD ∴=ADB ADC π∠+∠= cos cos ADB ADC ∴=-∴ ①+②可得：()22222AB AC AD BD +=+（2）角平分线定理：如图，设AD 为ABC 中BAC ∠的角平分线，则AB BDAC CD=证明：过D 作DE ∥AC 交AB 于EBD BEDC AE∴= EDA DAC ∠=∠ BBEAD 为BAC ∠的角平分线EAD DAC ∴∠=∠ EDA EAD ∴∠=∠EAD ∴为等腰三角形 EA ED ∴= BD BE BEDC AE ED ∴==而由BED BAC 可得：BE ABED AC=AB BDAC CD ∴=（四）测量中的几个常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是[0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡度坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡度(坡比)，即i ＝hl＝tan θ135°的始边是指北方向线，始边顺时针方向旋转135°得到终边；方向角南偏西30°的始边是指南方向线，向西旋转30°得到终边．【典型考题解析】热点一 利用正、余弦定理解三角形【典例1】（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，19AC 2AB =，则BC =（ ） A ．1 B 2C 5D ．3【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理得到关于BC 长度的方程，解方程即可求得边长. 【详解】设,,AB c AC b BC a ===，结合余弦定理：2222cos b a c ac B =+-可得：21942cos120a a c =+-⨯⨯⨯， 即：22150a a +-=，解得：3a =（5a =-舍去）， 故3BC =. 故选：D.【典例2】（2020·山东·高考真题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若222sin a b c ab C +=+，且sin cos +a B C 2sin cos c B A =，则tan A 等于（ ） A ．3 B ．13- C ．3或13-D ．-3或13【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出tan 2C =，并进一步判断4C π>，由正弦定理可得22sin()sin A C B +=⇒=，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案； 【详解】222sin cos tan 222a b c CC C ab +-==⇒=，4C π∴>，2sin sin sin a b cR A B C===， 2sin sin cos sin sin cos A B C C B A B ∴⋅⋅+⋅⋅=， 22sin()sin A C B ∴+=⇒=4B π∴=， tan 1B ∴=，∴tan tan tan tan()31tan tan B CA B C B C+=-+=-=-⋅，故选：A.【典例3】（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ；(2)证明：2222a b c =+ 【答案】(1)5π8； (2)证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出． (1)由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =． (2)由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a c b b c a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得： 2222a b c =+，故原等式成立．【总结提升】1.解三角形的常用方法：（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解 2.解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A ，B 与一边a ，由A ＋B ＋C ＝π及a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可先求出角C 及b ，再求出c .(2)已知两边b ，c 及其夹角A ，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，先求出a ，再求出角B ，C ． (3)已知三边a ，b ，c ，由余弦定理可求出角A ，B ，C ．(4)已知两边a ，b 及其中一边的对角A ，由正弦定理a sin A ＝bsin B 可求出另一边b 的对角B ，由C ＝π－(A ＋B )，可求出角C ，再由a sin A ＝c sin C 可求出c ，而通过a sin A ＝bsin B 求角B 时，可能有一解或两解或无解的情况．热点二 三角形面积问题【典例4】（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知345,cos 5a c C ==． (1)求sin A 的值；(2)若11b =，求ABC 的面积． 【答案】5(2)22． 【解析】 【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及45a c =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积． (1)由于3cos 5C =， 0πC <<，则4sin 5C =．因为45a c =， 由正弦定理知4sin 5A C ，则55sin A C ==(2)因为45a c =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a +--+-====， 即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =， 所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=． 【典例5】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知123313S S S B -+==． (1)求ABC 的面积； (2)若2sin sin A C =，求b ．【答案】2 (2)12 【解析】 【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由1233S S S -+=2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB AC =，即可求解.(1)由题意得222212313333,,2S a S S =⋅===，则2221233333S S S -+==即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则2122cos 13B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭132cos ac B ==12sin 2ABCS ac B ==(2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C ==，则223294sin sin sin sin sin 42b a c ac B A C A C =⋅===，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==. 【规律方法】 1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键． 2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解． 热点三 三角形的周长问题【典例6】（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 23C C =． (1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC 的面积为3ABC 的周长． 【答案】(1)6π(2)663 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值； （2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长. (1)解：因为()0,C π∈，则sin 0C >32sin cos C C C =， 可得3cos C =，因此，6C π=.(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 6322ABCSab C a ===3a = 由余弦定理可得22232cos 4836243612c a b ab C =+-=+-⨯=，23c ∴= 所以，ABC 的周长为36a b c ++=.【典例7】（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．(1)证明：2222a b c =+； (2)若255,cos 31a A ==，求ABC 的周长． 【答案】(1)见解析 (2)14 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解. (1)证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-⋅-⋅=-⋅， 即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-， 所以2222a b c =+； (2)解：因为255,cos 31a A ==， 由（1）得2250b c +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 则50502531bc -=， 所以312bc =， 故()2222503181b c b c bc +=++=+=， 所以9b c +=，所以ABC 的周长为14a b c ++=. 【规律方法】求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用已知条件列方程求解．【典例7】反映的“整体代换”思想，具有一定的技巧性. 热点四 判断三角形的形状【典例8】（2020·海南·高考真题）在①3ac ①sin 3c A =，①3=c b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在ABC ，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin 3sin A B ，6C π=，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】方法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到a ,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解. 【详解】［方法一］【最优解】：余弦定理 由sin 3sin AB 可得：3ab=()3,0a m b m m ==>， 则：22222232cos 323c a b ab C m m m m m =+-=+-⨯=，即c m =. 若选择条件①：据此可得：2333ac m m m =⨯==1m ∴=，此时1c m ==. 若选择条件②：据此可得：222222231cos 222b c a m m m A bc m +-+-===-， 则：213sin 12A ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3sin 3c A m ==，则：23c m ==若选择条件③： 可得1c mb m==，c b =，与条件3=c b 矛盾，则问题中的三角形不存在. ［方法二］：正弦定理 由,6C A B C ππ=++=，得56A B π=-． 由sin 3sin A B ，得5sin 36B B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即13cos 32B B B =， 得3tan B =．由于0B π<<，得6B π=．所以2,3b c A π==．若选择条件①：由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得3a c =． 解得1,3c b a ===．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时1c =． 若选择条件②： 由sin 3c A =，得2sin33c π=，解得3c =23b c == 由sin sin a c A C=，得2sin sin 36a cππ=，得36a c ==． 所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时23c =．若选择条件③：由于3c b 与b c =矛盾，所以，问题中的三角形不存在． 【整体点评】方法一：根据正弦定理以及余弦定理可得,,a b c 的关系，再根据选择的条件即可解出，是本题的通性通法,也是最优解；方法二：利用内角和定理以及两角差的正弦公式，消去角A ，可求出角B ，从而可得2,,36b c A B C ππ====，再根据选择条件即可解出．【典例9】（2020·全国·高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ； （2）若3b c -=，证明：△ABC 是直角三角形． 【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭可化为251cos cos 4A A -+=，即可解出；（2）根据余弦定理可得222b c a bc +-=，将3b c -=代入可找到,,a b c 关系， 再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=， 解得1cos 2A =，又0A π<<， 所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==， 即222b c a bc +-=①， 又3b c -=②， 将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =， 所以3a c =， 故222b a c =+， 即ABC 是直角三角形． 【总结提升】1.判定三角形形状的两种常用途径2．判定三角形的形状的注意点在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 3.确定三角形要素的条件： （1）唯一确定的三角形：① 已知三边（SSS ）：可利用余弦定理求出剩余的三个角② 已知两边及夹角（SAS ）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角 ③ 两角及一边（AAS 或ASA ）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边 （2）不唯一确定的三角形① 已知三个角（AAA ）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个.由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：::sin :sin :sin a b c A B C =② 已知两边及一边的对角（SSA ）：比如已知,,a b A ，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个.其原因在于当使用正弦定理求B 时，sin sin sin sin a b b A B A B a =⇒=，而0,,22B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，一个sin B 可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一.（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点）热点五 正弦定理、余弦定理实际应用【典例10】（2021·全国·高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E ，H ，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为“表目距的差”则海岛的高AB =（ ）A ．⨯+表高表距表目距的差表高B ．⨯-表高表距表目距的差表高C ．⨯+表高表距表目距的差表距D ．⨯表高表距-表目距的差表距【答案】A 【解析】 【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出． 【详解】 如图所示：由平面相似可知，,DE EH FG CGAB AH AB AC==，而 DE FG =，所以 DE EH CG CG EH CG EHAB AH AC AC AH CH--====-，而 CH CE EH CG EH EG =-=-+， 即CG EH EG EG DE AB DE DE CG EH CG EH-+⨯=⨯=+--＝+⨯表高表距表高表目距的差． 故选：A.【典例11】（2021·全国·高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45ACB ∠'''=︒，60A BC ''∠'=︒．由C 点测得B 点的仰角为15︒，BB '与CC '的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45︒，则A ，C 两点到水平面A B C '''的高度差AA CC ''-3 1.732≈）（ ）A ．346B ．373C ．446D ．473【答案】B 【解析】 【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得''A B ，进而得到答案． 【详解】过C 作'CH BB ⊥，过B 作'BD AA ⊥，故()''''''100100AA CC AA BB BH AA BB AD -=--=-+=+， 由题，易知ADB △为等腰直角三角形，所以AD DB =． 所以''100''100AA CC DB A B -=+=+． 因为15BCH ∠=︒，所以100''tan15CH C B ==︒在'''A B C 中，由正弦定理得：''''100100sin 45sin 75tan15cos15sin15A B C B ===︒︒︒︒︒，而62sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30-︒=︒-︒=︒︒-︒︒=， 所以210042''100(31)27362A B ⨯==≈-，所以''''100373AA CC A B -=+≈． 故选：B ．【典例12】（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB =m ，15AD =m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20︒=，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？ （长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²） 【答案】(1)23.3m(2)当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14 【解析】 【分析】（1）设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD ==，在直角HED △和直角FHD △中分别求出,EH HF ,从而得出答案.（2）先求出梯形AEFD 的面积的最小值，从而得出梯形FEBC 的面积的最大值. (1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ⊥，15DH AD == 则AE EH =，所以直角ADE 与直角HED △全等 所以20ADE HDE ∠=∠=︒在直角HED △中，tan2015tan20EH DH =︒=︒90250HDF ADE ∠=︒-∠=︒在直角FHD △中，tan5015tan50HF AD =︒=︒()sin 20sin5015tan 20tan5015cos20cos50EF EH HF ︒︒⎛⎫=+=︒+︒=+ ⎪︒︒⎝⎭()sin 2050sin 20cos50cos20sin501515cos20cos50cos20cos50︒+︒︒︒︒+︒︒=⨯=⨯︒︒︒︒sin 70151523.3cos 20cos50cos50︒=⨯=≈︒︒︒(2)设ADE θ∠=,902HDF θ∠=︒-，则15tan AE θ=，()15tan 902FH θ=︒- ()115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFDS EF DH θθθθ⎛⎫=⨯⨯=⎡+︒-⎤=+ ⎪⎣⎦⎝⎭ 11515tan 22ADESAD AE θ=⨯⨯=⨯ 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADEDEFS S Sθθθθθ⎛⎫-⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2251225122533tan 23tan 4tan 4tan 2θθθθ⎛⎫=+≥⨯⨯= ⎪⎝⎭ 当且当13tan tan θθ=，即3tan θ=时取得等号，此时315tan 15538.7AE θ===≈ 即当3tan θ=时，梯形AEFD 2253则此时梯形FEBC 的面积有最大值22531530255.14⨯≈ 所以当8.7AE =时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14 热点五 平面几何中的解三角形问题【典例13】（2021·浙江·高考真题）在ABC 中，60,2B AB ∠=︒=，M 是BC 的中点，23AM =AC =___________，cos MAC ∠=___________. 【答案】 13239【解析】 【分析】由题意结合余弦定理可得=8BC ，进而可得AC ，再由余弦定理可得cos MAC ∠. 【详解】由题意作出图形，如图，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM BM BA B =+-⋅⋅，即21124222BM BM =+-⨯⨯，解得=4BM （负值舍去），所以=2=2=8BC BM CM ，在ABC 中，由余弦定理得22212cos 464228522AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以13AC =在AMC 中，由余弦定理得222239cos 2223213AC AM MC MAC AM AC +-∠=⋅⨯⨯. 故答案为：213239【典例14】（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 【答案】（1）5sin C （2）2tan 11DAC ∠=.【解析】 【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b ，利用正弦定理求得sin C .（2）方法一：根据cos ADC ∠的值，求得sin ADC ∠的值，由（1）求得cos C 的值，从而求得sin ,cos DAC DAC ∠∠的值，进而求得tan DAC ∠的值. 【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得22222cos 922325b a c ac B =+-=+-⨯=，所以5b = 由正弦定理得sin 5sin sin sin c b c B C C B b =⇒==. [方法二]【最优解】：几何法过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ．在Rt ABE △中，由2,45c B，可得1AE BE ==，又3a =，所以2EC =．在Rt ACE 中，225AC AE EC =+5sin 5C ==（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于4cos 5ADC ∠=-，,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=.由于,2ADC ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以225cos 1sin C C =- 所以()sin sin DAC DAC π∠=-∠()sin ADC C =∠+∠sin cos cos sin ADC C ADC C =∠⋅+∠⋅325452555⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 由于0,2DAC π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以2115cos 1sin DAC DAC ∠=-∠=所以sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠. [方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法在（1）的方法二的图中，由4cos 5ADC ∠=-，可得4cos cos()cos 5ADE ADC ADC π∠=-∠=-∠=，从而4sin 4sin cos ,tan 5cos 3DAE DAE ADE DAE DAE ∠∠=∠=∠==∠．又由（1）可得tan 2EC EAC AE ∠==，所以tan tan 2tan tan()1tan tan 11EAC EAD DAC EAC EAD EAC EAD ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠．[方法三]：几何法+正弦定理法在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC === 在Rt ADE △中，45,cos sin 3AE AD ED AD ADE ADE ===∠=∠，所以23CD CE DE =-=． 在ACD △中，由正弦定理可得25sin sin CD DAC C AD ∠=⋅=， 由此可得2tan 11DAC ∠=． [方法四]：构造直角三角形法如图，作AE BC ⊥，垂足为E ，作DG AC ⊥，垂足为点G ．在（1）的方法二中可得1,2,5AE CE AC ===由4cos 5ADC ∠=-，可得243cos ,sin 1cos 55ADE ADE ADE ∠=∠=-∠．在Rt ADE △中，22542,,sin 333AE AD DE AD AE CD CE DE ADE ==-==-=∠．由（1）知5sin C =Rt CDG △中，222545sin DG CD C CG CD DG =⋅==-=，从而115AG AC CG =-=在Rt ADG 中，2tan 11DG DAG AG ∠==． 所以211DAC ∠=． 【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得5b =sin C ；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得DAC ∠的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得DAC ∠的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有DAC ∠的直角三角形，进而求解，也是很优美的方法. 【典例15】（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长． 条件①：2c b =；条件②：ABC 的周长为423+ 条件③：ABC 33【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解； （2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求； 若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求. 【详解】（1）2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =， 23sin 2sin 3B π∴==23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得3sin 231sin 2c Cb B=== 与2c b =矛盾，故这样的ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得2sin 6a b R R π===，22sin33c R R π=， 则周长23423a b c R R ++==+ 解得2R =，则2,23a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：()222312231cos76π+-⨯⨯⨯若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211333sin 22ABCSab C a ===，解得3a = 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：22233212cos 3322342a a b b π⎛⎫+-⨯⨯⨯++⨯= ⎪⎝⎭【总结提升】与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系． 具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．【精选精练】一、单选题1．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（文））“云楼”是白云区泉湖公园的标志性建筑，也是来到这里必打卡的项目之一，它端坐于公园的礼仪之轴，建筑外形主体木质结构，造型独特精巧，是泉湖公园的“阵眼”和“灵魂”，同时也是泉湖历史与发展变化的资料展示馆．小张同学为测量云楼的高度，如图，选取了与云楼底部D 在同一水平面上的A ，B 两点，在A 点和B 点测得C 点的仰角分别为45°和30°，测得257AB =150ADB ∠=︒，则云楼的高度CD 为（ ）A ．20米B ．25米C ．7D ．257【答案】B【分析】设CD x =，由锐角三角函数得到AD x =，3BD x =，再在ABD △中利用余弦定理求出x ，即可得解.【详解】解：依题意45CAD ︒∠=，30CBD ︒∠=， 设CD x =，在Rt ACD △、Rt BCD 中，tan 1CD CAD AD∠==，3tan 3CD CBD BD ∠==，所以AD x =，3BD x =，在ABD △中由余弦定理2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠， 即()()22232573232x x x x ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭，解得25x =或25x =-（舍去）， 所以云楼的高度CD 为25米； 故选：B2．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知三个向量,cos 2A m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,cos ,,cos 22B C n b p c ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭共线，则ABC 的形状为（ ）A ．等边三角形B ．钝角三角形C ．有一个角是6π的直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】由向量共线的坐标运算可得cos cos 22B Aa b =，利用正弦定理化边为角，再展开二倍角公式整理可得sinsin 22A B=，结合角的范围求得A B =，同理可得B C =，则答案可求． 【详解】向量(,cos )2A m a =，(,cos )2B n b =共线，cos cos 22B A a b ∴=，由正弦定理得：sin cos sin cos 22B A A B =， 2sincos cos 2sin cos cos 222222A A B B B A ∴=，则sin sin 22A B=， 022A π<<，022B π<<，∴22A B =，即A B =．同理可得B C =．ABC ∴形状为等边三角形．故选：A ．3．（2022·安徽蚌埠·一模）圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬32.92）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）约为33.65，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）约为80.51.圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即BD 的长）为7米，则表高（即AC 的长）约为（ ）（已知229tan33.65,tan80.5135≈≈）A ．4.36米B ．4.83米C ．5.27米D ．5.41米【答案】C【分析】由题意可求出35,229BC AC CD AC ==，再由BD 的长为7米，求出AC ，即可得出答案. 【详解】由图可知229tan33.65,tan80.5135AC AC BC CD =≈=≈， 所以35,229BC AC CD AC ==， 得3577587 5.272295811BD AC AC AC ⎛⎫=-==⇒=≈ ⎪⎝⎭. 故选：C. 二、多选题4．（2022·吉林·延边第一中学高一期中）下列命题错误的是（ ） A ．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比 B ．在ABC 中，若sin sin A B >，则A B >C ．在ABC 的三边三角共6个量中，知道任意三个，均可求出剩余三个D ．当2220b c a +->时，ABC 为锐角三角形；当2220b c a +-=时，ABC 为直角三角形；当2220b c a +-<时，ABC 为钝角三角形 【答案】ACD【分析】对于ACD ，举例判断，对于B ，利用正弦定理结果合三角形的性质判断.【详解】对于A ，等腰直角三角形的三边比为1:1:2，而三个内角的比为1:1:2，所以A 错误， 对于B ，在ABC 中，当sin sin A B >时，由正弦定理可得a b >，因为在三角形中大边对大角，所以A B >，所以B 正确，对于C ，在ABC 中，若三个角,,A B C 确定，则这样的三角形三边无法确定，这样的三角形有无数个，所以C 错误，对于D ，在ABC 中，2220b c a +->时，由余弦定理可知角A 为锐角，而角,B C 的大小无法判断，所以三角形的形状无法判断，所以D 错误， 故选：ACD5．（2021·黑龙江黑河·高二阶段练习）在ABC 中，已知2,3,AB AC AD ==是角A 的平分线，则AD 的长度可能为（ ） A ．2.1 B ．2.2 C ．2.3 D ．2.4【答案】ABC【分析】过C 作//CE AB 交AD 延长线于E ，由题设可得3AC EC ==且ADB EDC ，进而有23AD ED =，令2AD x =并在ACE 中应用余弦定理求x 范围，即可得AD 范围. 【详解】过C 作//CE AB 交AD 延长线于E ，又AD 是角A 的平分线，得CAE BAE E ∠=∠=∠，故3AC EC ==， 而ADB EDC ，则23AD AB ED EC ==， 令2AD x =，则5AE x =，在ACE 中，22221825cos (1,1)218AC EC AE x ACE AC EC +--∠==∈-⋅， 可得605x <<，则122(0,)5AD x =∈，故A 、B 、C 满足要求.故选：ABC6．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末）中国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦S 为三角形的面积，a 、b 、c 为三角形的三边）．现有ABC 满足::2:7a b c =ABC 的面积63ABC S =△列结论正确的是（ ） A ．ABC 的最短边长是2 B ．ABC 的三个内角满足2A B C +=C ．ABC 221D ．ABC 的中线CD 的长为32【答案】BC【分析】依题意设2a t =，3b t =，7c t =（0t >），利用面积公式求出t ，即可求出边长，从而判断A ，再由余弦定理求出C ，即可判断B ，利用正弦定理求出外接圆的半径，即可判断C ，最后由数量积的运算律求出中线CD ，即可判断D.【详解】解：由::2:3:7a b c =，设2a t =，3b t =，7c t =（0t >），因为63ABC S =△，所以2222221749637442t t t t t ⎡⎤⎛⎫+-=+-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得2t =，则4a =，6b =，27c =，故A 错误；因为2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，所以π3C =，π2ππ233A B C +=-==，故B 正确； 因为π3C =，所以3sin 2C =，由正弦定理得4212sin 3c R C ==，2213R =，故C 正确； ()12CD CA CB =+，所以()22111361624619442CD CA CB ⎛⎫=+=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故19CD =，故D 错误．故选：BC ． 三、填空题7．（2022·贵州·贵阳乐湾国际实验学校高三开学考试（理））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，且42c =B =4π，若ABC 的面积S =2，则b =___________. 【答案】5【分析】先由面积公式计算1a =，再利用余弦定理计算5b =. 【详解】由三角形面积公式，1sin 22S ac B ==， 所以，1a =.由余弦定理，2222cos 25b a c ac B =+-=.所以，5b =. 故答案为：5.8．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC 中，若cos cos A bB a=，则△ABC 的形状是________. 【答案】等腰三角形或直角三角形【分析】由已知及余弦定理可得22222()()0a b c a b ---=，即可判断△ABC 的形状.【详解】由余弦定理，222222cos 2cos 2b c a A bbc a c b B aac+-==+-，化简得22222()()0a b c a b ---=， ∴a b =或222c a b =+，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形 四、解答题9．（2022·云南昆明·高三开学考试）已知ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3sin cos 0a B b A -=.(1)求A ； (2)若3c =3a =ABC 的面积. 【答案】(1)6A π=(2)338【分析】（1）由正弦定理将已知式子统一成角的形式，然后化简可求出角A ； （2）利用余弦定理求出b ，再利用三角形的面积公式可求得结果. （1）因为3sin cos 0a B b A -=所以由正弦定理得3sin sin sin cos A B B A =， 因为()0,B π∈，所以sin 0B ≠， 所以3sin cos A A =，即3tan 3A =， 又因为()0,A π∈，所以6A π=.（2）。
正弦定理、余弦定理及解三角形
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考点突破 考点四 正、余弦定理在实际问题中的应用
训练 4 (2015·湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向 上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上， 仰角为 30°，则此山的高度 CD＝________m.
∴sin B＝ 1－cos2B
＝2 3
2×79－13×4
9
2＝1027
2 .
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考点突破 考点一 利用正、余弦定理解三角形
规律方法
(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要 考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则 考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有 可能用到．
＝sin∠6(海AB里C)＝．ACsBinC120°＝2×623＝ 22. ∴∠ABC＝45°，易知 CB 方向与正北方向垂直，
从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD 中，根据正弦定理，可得 sin∠BCD＝BDsinC∠D CBD＝10t·1s0in31t20°＝12， ∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝ 6(海里)，
则有 10t＝ 6，t＝106≈0.245 小时＝14.7 分钟．
故缉私船沿北偏东 60°方向，需 14.7 分钟才能追上走私船．
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考点突破 考点三 和三角形面积有关的问题
规律方法
解三角形应用题的两种情形： (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解； (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或 两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角 形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角 形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式
解三角形正弦定理余弦定理三角形面积公式三角形是平面几何中的一个基本图形，研究三角形的性质与定理在数学中具有重要地位。
本文将介绍三角形中的三个重要定理，正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式。
一、正弦定理：正弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，正弦定理可以表述为：sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c其中，sin(A)表示A角的正弦值，a表示边a的长度。
正弦定理可以从三角形的面积公式推导得出。
二、余弦定理：余弦定理是研究三角形中角度和边长之间关系的另一个重要定理。
给定一个三角形，设其三个内角分别为A、B、C，对应的边长为a、b、c。
那么，余弦定理可以表述为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，cos(C)表示C角的余弦值，c表示边c的长度。
余弦定理可以用来求解三角形的边长或角度，进而计算三角形的面积。
三、三角形的面积公式：给定一个三角形，设其底边长度为b，对应的高为h。
那么，三角形的面积可以通过以下公式来计算：S=1/2*b*h其中，S表示三角形的面积。
在计算三角形的面积时，还可以使用海伦公式。
海伦公式可以通过三角形的三边长来计算三角形的面积，其公式如下：S=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c))其中，p表示三角形的半周长，计算公式为：p=(a+b+c)/2在使用海伦公式计算三角形面积时，需确保三条边长满足三角不等式，即任意两边之和大于第三边的长度。
总结：通过正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，可以解决三角形相关的问题。
正弦定理和余弦定理给出了通过角度和边长计算三角形的方法，而三角形的面积公式提供了计算三角形面积的途径。
这些定理在三角形等应用中具有重要的价值，对于解题和扩展应用都非常有帮助。
高三数学 正余弦定理、解斜三角形 知识精讲 通用版
高三数学 正余弦定理、解斜三角形 知识精讲 通用版【本讲主要内容】一. 本周教学内容：正余弦定理、解斜三角形【知识掌握】【知识点精析】1. 三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，三个内角分别为A 、B 、C ，高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r 。
（1）S △=12ah a =12bh b =12ch c（2）S △=12absinC=12acsinB=12cbsinA（3）S △=Pr （其中P 为周长之半，r 为内切圆半径）（4）S ABC =∆ 2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin （＝2R ）。
（其中R 为外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题。
（1）已知两角和任一边，求其两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。
（从而进一步求出其的边和角）3. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bccosA ；① b 2=c 2+a 2－2cacosB ；② c 2=a 2+b 2－2abcosC 。
③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c 2=a 2+b 2。
由此可知余弦定理是勾股定理的推广。
由①②③可得：cosA=bc a c b 2222-+；cosB=cab ac 2222-+；cosC=abc b a 2222-+。
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。
4. 强调几点：（１）利用余弦定理判定△ABC 的形状：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔A+B=2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔A+B ＜2π 2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔A+B ＞2π（2）三角形的四个“心”：重心：三角形三条中线交点。
高考数学解三角形：正余弦定理专题(四)
（Ⅰ）已知： a 边和 b 边的长度。
（Ⅱ）已知： A 角。 A 角的已知方法有四种：
①已知 A 角的大小；
②已知 sin A 的值；
③已知 cos A 的值；
④已知 tan A 的值。
解法设计：第一步：计算 sin A 的值。
①已知 A 角的大小，计算 sin A 的值。如下表所示：
3
A
300
450
方法三：钝角占位法。
（Ⅰ）钝角未出现时：已知正弦的角是锐角或者钝角，需要分类讨论；
（Ⅱ）钝角已经出现时：已知正弦的角是锐角。
题型使用知识点八：三角形面积公式。
S ① ABC
1 2
ab sin C
S ② ABC
1 2
ac sin
B
S ③ ABC
1 bc sin 2
A
第二部分：题型结构和解法剖析
题型：在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c 。
第三步：计算 B 的大小， cos B 的值， tan B 的值。
①通过第二步计算的 sin B 的值计算 B 角的大小。
根据大边对大角判断角 B 的锐钝角。
第一种情况： b a B A B 不是最大角 B 是锐角：如下表所示：
sin B 的值
1
2
3
2
2
2
B 角的大小：单位 0
300
450
A
300
450
600
1200
1350
sin A
1
2
2
3
3
2
2
2
2
2
cos A
3
2
2 2
高三第一轮复习正弦定理、余弦定理与三角形面积公式
解斜三角形正弦定理、余弦定理与三角形面积公式【提纲挈领】主干知识归纳ABC ∆的6个基本元素：C B A c b a ,,,,,.其中三内角C B A ,,所对边边长分别为c b a ,,.1．正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是ABC ∆的外接圆的半径）变式：C R c B R b A R asin 2,sin 2,sin 2===2．余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=. 变式：abc a b C ac b a c B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=.3.三角形面积公式 （1）.sin sin sin 2sin 21sin 21sin 212C B A R B ac A bc C ab S ABC====∆ （2）秦九韶—海伦公式：,))()((c p b p a p p S ABC ---=∆其中2cb a p ++=. 方法规律总结1.基本量观念：ABC ∆的6个基本元素：C B A c b a ,,,,,．已知三个基本量（至少一个为边）确定一个三角形，正余弦定理是“量化”依据，是初中全等三角形判定定理由定性向定量的转换.2.方程观念：正余弦定理和面积公式是方程的粗坯，是解三角形的依据，从三角形6个基本元素来说是“知三求三”.有两条主线：一是统一为边（消角）的关系，归结为边为元的代数方程；二是统一为角（消边）的关系，归结为三角方程. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．3.转化思想：利用正余弦定理实现边角间的相互转化.4.利用正弦定理解三角形主要是以下两类：（1）已知两边和一对角；（2）已知两角和一边. 利用余弦定理解三角形主要是以下两类：（1）已知三边；（2）已知两边及其夹角. 对于复杂问题需综合利用正余弦定理实现边角关系向统一转化.【指点迷津】【类型一】定理的推导与证明 【例1】（2011陕西理18）叙述并证明余弦定理.【解析】: 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍.或：在∆ABC 中，a,b,c 为A,B,C 的对边，有2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-证法一 如图2a BC BC =•u u u v u u u v()()AC AB AC AB =-•-u u u v u u u v u u u v u u u v222AC AC AB AB =-•+u u u v u u u v u u u v u u u v222cos b bc A c =-+即2222cos ab c bc A =+-同理可证2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-证法二 已知∆ABC 中A,B,C 所对边分别为a,b,c,以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则(cos ,sin),(,0)C b A b A B c ,2222(cos )(sin )a BC b A c b A ∴==-+22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++ 2222cos b a c ac B =+-同理可证2222222cos ,2cos .b c a ca B c a b ab C =+-=+-【类型二】解三角形【例1】【2015湖南，文17】设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =.（I ）证明：sin cos B A =；(II) 若3sin sincos 4C A B -=，且B 为钝角，求,,A B C . 【解析】:（I ）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sin sin cos sin A AA B=，所以sin cos B A = ；(II)222AC AC AB COSA AB=-•+u u u v u u u v u u u v u u u v根据两角和公式化简所给条件可得3sin sin cos cos sin 4C A B A B -==，可得23sin 4B =，结合所给角B 的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.【答案】（I ）略；(II)30,120,30.A B C ===o o o【例2】[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解析]：(1)由BA →·BC →＝2得c ·a ·cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ，又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13. 解⎩⎨⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－()132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23·2 23＝ 4 29.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4 292＝79.所以cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋2 23×4 29＝2327.[答案]（1）a ＝3，c ＝2.（2）2327. 【例3】【2015安徽，理16】在ABC ∆中，3,6,324A AB AC π===点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.【答案】10【类型三】三角形的面积【例1】（2013年课标Ⅱ卷（文））△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为 （ ）A ．2+2B ．+1C ．2-2D ．-1【解析】：由正弦定理有224sin6sin2=⇒=c c ππ，又462)]46(sin[sin +=+-=πππA ，所以1346222221sin 21+=+⨯⨯⨯==∆A bc S ABC . 答案：B【例2】【2015天津，理13】在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】8【例3】[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sinA －sinB )＝(c －b )sinC ，则△ABC 面积的最大值为________．[解析]: 根据正弦定理和a ＝2可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，故得b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝π3.根据b 2＋c 2－a 2＝bc 及基本不等式得bc ≥2bc －a 2，即bc ≤4，所以△ABC 面积的最大值为12×4×32＝ 3.答案：3【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos A =b c <，则b =（ ）A 3B ．2C ．22D ．3【解析】由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以(2223223223b b =+-⨯⨯即2680bb -+=，解得：2b =或4b =，因为bc <，所以2b =，故选B ．【答案】B2.[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是( )A ．3 B.9 32 C.3 32D ．3 3【解析】：由余弦定理得，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝2ab －62ab ＝12，所以ab ＝6，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3 32.答案：C3. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,，若c b A3,31cos ==，则C sin 的值为（ ）A ．31 B ．32C ．322 D.33【解析】：由.,cos 23,31cos 222222c b a A bc c b a c b A -=-+===得及 故△ABC 是直角三角形，且,2π=B 所以31cos sin ==A C .答案：A4．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1【解析】：根据三角形面积公式，得12BA ·BC ·sin B ＝12，即12×1×2×sin B ＝12，得sin B ＝22，其中C <A .若B 为锐角，则B ＝π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×22＝1＝AB ，易知A 为直角，此时△ABC 为直角三角形，所以B 为钝角，即B ＝3π4，所以AC ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎫－22＝ 5. 答案：B5．在OAB ∆中，)sin 5,cos 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ，若5-=⋅OB OA ，则OAB∆的面积为（ ）A ．3 B ．23C ．35 D.235【解析】：由条件知,21cos ,5,2-=∠==AOB OB OA 所以235235221=⨯⨯⨯=∆OAB S .答案：D 二、填空题6．【2015福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为103 ，且5,8AB AC == ，则BC 等于________．【答案】77．【2015北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】18．[2014·山东卷] 在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6时，△ABC 的面积为______．【解析】：因为AB ·AC ＝|AB →|·|AC →|cos A ＝tan A ，且A ＝π6，所以|AB →|·|AC →|＝23，所以△ABC 的面积S＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝12×23×sin π6＝16. 答案：16三、解答题9．【2015新课标1，文17】已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =.（I ）若ab =，求cos ;B（II ）若90B=o ，且a = 求ABC ∆的面积.【解析】:（I ）先由正弦定理将2sin 2sin sin B A C =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 的余弦值；（II ）由（I ）知22b ac =，根据勾股定理和即可求出c ，从而求出ABC ∆的面积. 试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =.又ab =，可得2bc =,2a c =,由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==. （II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222ac ac +=，得c a ==所以D ABC 的面积为1. 【答案】（I ）14（II ）1 10. 【2015浙江，文16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan(A)24π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值； （2）若B ,34a π==，求ABC ∆的面积.【解析】(1)利用两角和与差的正切公式，得到1tan3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；(2)利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：(1)由tan(A)24π+=，得1tan 3A =， 所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.(2)由1tan3A =可得，sin A A ==3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin CA B A B A B =+=+=，所以11sin 3922ABCS ab C ∆==⨯⨯=. 【答案】(1)25；(2)9【二级目标】能力提升题组一、选择题1．在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22ab -=，sin C B =，则A=（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）0150【解析】由由正弦定理得2c c R =⇒=，所以cosA=222+c -a 2b bc ==A=300答案：A2．[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin 2A ＋sin(A －B ＋C )＝sin(C －A －B )＋12，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c 分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A ．bc (b ＋c )>8B ．ab (a ＋b )>16 2C ．6≤abc ≤12D ．12≤abc ≤24[解析]: 因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝π－B ，C ＝π－(A ＋B )，所以由已知等式可得sin 2A ＋sin(π－2B )＝sin[π－2(A ＋B )]＋12，即sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2(A ＋B )＋12，所以sin[(A ＋B )＋(A －B )]＋sin[(A ＋B )－(A －B )]＝sin 2(A ＋B )＋12，所以2 sin(A ＋B )cos(A －B )＝2sin(A ＋B )cos(A ＋B )＋12，所以2sin(A ＋B )[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12，所以sin A sin B sin C ＝18.由1≤S ≤2，得1≤12bc sin A ≤2.由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，所以1≤2R 2·sinA sinB sinC ≤2，所以1≤R 24≤2，即2≤R ≤2 2，所以bc (b ＋c )>abc ＝8R 3sin A sin B sin C ＝R 3≥8.答案：A 二、填空题3．【2015广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，1sin 2B =，6C =π，则b = .【答案】1． 三、解答题4. 【2015山东，文17】ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .已知36cos ()23B A B ac =+==求sin A 和c 的值. 【解析】在ABC ∆中，由3cos B =6sin B =因为A B C π++=，所以6sin sin()9C A B =+=，因为sin sin C B <，所以C B <，C 为锐角，3cos 9C =， 因此sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+65336223=+=.由,sin sin a cA C =可得22sin 323sin 6cc A a c C ===，又23ac =1c =. 22【高考链接】1. （2016年全国II 理13）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若135cos ,54cos ==C A ，a =1，则b = .【解析】：由余弦定理有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=b c b bcc b 2113521542222，解得1321=b . 【答案】1321=b2. 【2015浙江，理16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值.【答案】（1）2；（2）3b=.3.【2015江苏，15】在ABC ∆中，已知ο60,3,2===A AC AB.（1）求BC 的长； （2）求C 2sin 的值.因此212743sin 2C 2sin Ccos C 27==⨯⨯=． 【答案】（1）7；（2）43 4. 【2015新课标2，理17】ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin B C∠∠； (Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1,2==AC BD ．。
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理是高中数学中的重要知识点，用于求解不规则三角形的边长和角度。
本文将对这两个定理进行详细总结与讲解。
一、正弦定理1.1 定义正弦定理是指在任意三角形中，三条边与其对应的角的正弦值之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC1.2 推导我们通过利用三角形的面积公式S=1/2 * a * b * sinC，并将其转换为对角线的形式，可以得到正弦定理的推导过程。
1.3 应用正弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。
当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用正弦定理求解未知的边长或者角度。
二、余弦定理2.1 定义余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们对应的角之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理的表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC2.2 推导我们可以通过利用向量的几何关系，将余弦定理的表达式推导出来。
这个过程较为繁琐，这里就不做详细讲解。
2.3 应用余弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。
当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用余弦定理求解未知的边长或者角度。
三、正弦定理与余弦定理的比较3.1 适用范围正弦定理适用于任意三角形，而余弦定理只适用于任意三角形，不能用于直角三角形。
3.2 计算难度正弦定理的计算相对简单，只需要记住一个公式，而余弦定理的计算稍复杂，需要使用开方和乘法等运算。
3.3 精度误差由于余弦定理中涉及到平方运算，可能会带来一定的误差，而正弦定理中没有涉及到平方运算，计算结果更加准确。
3.4 应用场景正弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时较为常用，尤其适用于已知两边和夹角的情况。
而余弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时同样常用，特别适用于已知三边的情况。
高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理
基础诊断 考点突破
课堂总结
解 (1)由题意可知 c＝8－(a＋b)＝72.
由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝22＋2×5222×－52722
＝－15.
(2)由 sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C 可得：
sin
1＋cos A· 2
B＋sin
1＋cos B· 2
a2＋b2－c2 2ab
基础诊断 考点突破
课堂总结
2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋c)·r(r 是 三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
基础诊断 考点突破
课堂总结
• 3．实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线
1－2419＝2
7 7.
而∠AEB＝23π－α，所以
cos∠AEB＝cos23π－α＝cos23πcos α＋sin23πsin α
＝－12cos
α＋
3 2 sin
α
＝－12·2 7 7＋
3 21 2 ·7
＝
7 14 .
基础诊断 考点突破
课堂总结
在
Rt△EAB
中，cos∠AEB＝EBAE＝B2E，故
课堂总结
5．(人教 A 必修 5P10B2 改编)在△ABC 中，acos A＝bcos B， 则这个三角形的形状为________． 解析 由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B， 即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案 等腰三角形或直角三角形
(完整版)正余弦定理及解三角形整理(有答案)
正余弦定理考点梳理：1.直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） A（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A ＝cos B ＝，cos A ＝sin B ＝，tan A ＝。
C B c a c b ba2.2．斜三角形中各元素间的关系： a如图6-29，在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝_____（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
（R 为外接圆半径）R CcB b A a 2sin sin sin ===3.正弦定理：＝＝＝2R 的常见变形：asin A b sin B csin C (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；(2)＝＝＝＝2R ；a sin Ab sin B csin C a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C (3)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝.a 2Rb 2R c2R 4.三角形面积公式：S ＝ab sin C ＝bc sin A ＝ca sin B .1212125.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理的公式： 或.2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩6.（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 2、已知两边和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.7.判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.8.解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换ABC ∆A B C π++=的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-.sincos ,cos sin ,tan cot222222A B C A B C AB C+++===9. 解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C 。
高考数学一轮复习：正弦、余弦定理与解三角形
角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的“有界性”和“大边对大
角”进行判断.
对点训练1(1)(2020福建福州三模,理15)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别
为a,b,c,若2sin2A+cos B=1,则 − 的取值范围为
又因为 0<A<π,所以
π
A=3.
由余弦定理可得a2=b2+c2-bc,
因为sin A,sin B,sin C成等差数列,
所以2sin B=sin A+sin C,即2b=a+c,
即(2b-c)2=b2+c2-bc,可得b=c.
所以△ABC为等边三角形.
方案二:选条件②.
由 4S=√3(b2+c2-a2),可得 2bcsin A=2√3bccos A,所以 tan A=√3.
(1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、
配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.
(2)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数之间的关
系,通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要
注意应用A+B+C=π这个结论.
对点训练2设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos
1
(3)S=2r(a+b+c)(r
为内切圆半径).
A= .
4
2.正弦定理和余弦定理
在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则
正弦定理
余弦定理
语言
正弦定理余弦定理解三角形技巧
正弦定理余弦定理解三角形技巧正弦定理和余弦定理是解三角形问题中常用的两个重要定理。
它们通过三角形的边长和角度之间的关系，帮助我们求解未知的角度和边长。
下面将介绍正弦定理和余弦定理的定义、推导过程和应用技巧。
一、正弦定理的定义和推导：1.定义：对于任意三角形ABC，它的三边长度分别为a、b、c，而对应的角度分别为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC2.推导：设三角形ABC的高为h，其与底边a的夹角为α，边a与边c的夹角为β，则由三角形的定义可知：sinα = h/c, sinβ = h/a根据正弦定理，我们可以得到以下的关系：a/sinA = c/sinC，即a/sinA = c/sinαb/sinB = c/sinC, 即b/sinB = c/sinβ由此推导出正弦定理的表达式。
二、正弦定理的应用技巧：正弦定理可以用来求解三角形的未知边长和角度，常用的技巧有以下几种：1.已知两边和夹角，求第三边：根据正弦定理的表达式，我们可以将已知信息代入其中，解方程求得未知边长。
2.已知两边和一个对角的正弦值，求第三边：将已知信息代入正弦定理的表达式，解方程求得未知边长。
3.已知两角和一边，求第三边：将已知信息代入正弦定理的表达式，解方程求得未知边长。
4. 已知三边，求三角形内部的角度：根据正弦定理，我们可以得到以下关系：sinA = a/c，sinB = b/c，sinC = c/a。
通过反正弦函数，我们可以求得每个角度的值。
三、余弦定理的定义和推导：1.定义：对于任意三角形ABC，它的三边长度分别为a、b、c，而对应的角度分别为A、B、C，则余弦定理的表达式为：a² = b² + c² - 2bc*cosAb² = a² + c² - 2ac*cosBc² = a² + b² - 2ab*cosC2.推导：设三角形ABC的高为h，其与底边a的夹角为α，边a与边c的夹角为β，则由三角形的定义可知：cosα = h/c, cosβ = h/a根据余弦定理，我们可以得到以下关系：a² = b² + c² - 2bc*cosA，即a² = b² + c² - 2bc*cosαb² = a² + c² - 2ac*cosB，即b² = a² + c² - 2ac*cosβ由此推导出余弦定理的表达式。
高中数学正余弦定理和解三角形
正余弦定理和解三角形的实际应用要求层次重难点正余弦定理 C 使学生掌握正、余弦定理及其变形；能够灵活运用正、余弦定理解题解三角形C(一) 知识内容1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a . (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2.(勾股定理) (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； (3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义) sin A ＝cos B ＝a c，cos A ＝sin B ＝b c，tan A ＝a b. 2.斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边. (1)三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π.(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.2sin sin sin a b cR A B C===.(R 为外接圆半径) (3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨⎪⎪=+-⎩+-⎪=⎪⎩3.三角形的面积公式：(1)S △＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高)； 例题精讲高考要求板块一：正弦定理和余弦定理正余弦定理和解三角形(2) S △＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3) S △＝2sin sin 2sin()a B C B C +＝2sin sin 2sin()b C A C A +＝2sin sin 2sin()c A BA B +；(4) S △＝2R 2sin A sin B sin C .(R 为外接圆半径) (5) S △＝4abcR； (6) S △＝()()()s s a s b s c ---；1()2s a b c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(海伦公式)(7) S △＝r ·s . 4.解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C . (1)角与角关系：A +B +C = π；(2)边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a -b < c ，b -c < a ，c -a > b ； (3)边与角关系：正余弦定理. 5.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点. 6.推论：正余弦定理的边角互换功能①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2cC R= ③sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b cA B C++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =⑤222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+- 222sin sin sin 2sin sin cos B C A C A B =+-222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-7.三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos B C A B C A +=+=-， sincos ,cos sin 2222B C A B C A++== (二)主要方法：1.通过对题目的分析找到相应的边角互换功能的式子进行转换.2.利用正余弦定理可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系 .(三)典例分析：【例1】 已知△ABC 中，AB a =，AC b =，0a b ⋅<，154ABC S ∆=， 3,5a b ==，则BAC ∠=（ ）A ．30B ．150-C ．150°D ． 30或150°【变式】 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=． （1）求ABC ∆的面积；（2）若6b c +=，求a 的值．【变式】 ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos2B CA ++取得最大值，并求出 这个最大值.【变式】 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2-c 2=ac -bc ， 求∠A 的大小及sin b Bc的值.【变式】 已知在ABC ∆中，a =45o B =，c =.【变式】 已知：,3,5,7ABC a b c ∆===中求：ABC ∆中的最大角.【变式】 已知△ABC 中，AB =1，BC =2，则求角C 的取值范围.【例2】 在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【变式】 在△ABC 中，若cos cos a A b B =，试判断此三角形的形状.【变式】 在△ABC 中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，则判断△ABC 的形状.【例3】 若△ABC 的三条长分别是3，4，6，求它的较大的锐角的平分线分三角形所成的两个三角形的面积比.【例4】 已知三角形的三边长为三个连续自然数, 且最大角是钝角.求这个三角形三边的长.【例5】 在△ABC 中，BC =a ,AC =b ,a,b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos(A +B )=1求：(1)角C 的度数；(2)AB 的长度； (3)△ABC 的面积.【变式】 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆【变式】C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆【教师选做】证明海伦公式<教师备案>1.海伦公式的变形形式：①②③④⑤2.海伦公式的其他证明方法证一 勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式S △ABC =12aha 入手，运用勾股定理推导出海伦公式.证明：如图ha ⊥BC ，根据勾股定理，得: 222222a a x a y hb y hc x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩x =2222a c b a +-， y =2222a c b a-+∴ S △ABC =12aha=12a此时S △ABC 为变形④，故得证.证二：斯氏定理分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha. 斯氏定理:△ABC 边BC 上任取一点D ， 若BD=u ，DC=v,AD=t.则t 2 = 22b u cv uv a+-证明：由证一可知， u =2222a b c a -+，v =2222a b c a+-∴2ah = t 2 =224222222422b a b b c c a c b c a -+++--42222()4a b c a --∴ S △ABC =12aha =12a= 此时为S △ABC 的变形⑤，故得证.证三：余弦定理 即本题所采用证法. 证四：恒等式分析：考虑运用S △ABC =r p ，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式.恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么tan 2A · tan 2B + tan 2A · tan 2C + tan 2B · tan 2C = 1证明：如图，tan 2A = r y ① tan 2B = rz ②tan 2C = rx ③根据恒等式，得：1111tan tan tan tan tan .tan222222A B C A B C ++=⋅ ①②③代入，得： 3x y z xyzr r++=∴r2(x+y+z) = xyz ④如图可知：a ＋b-c = (x+z)＋(x+y)-(z+y) = 2x∴x =2a b c +-,同理：y =2b c a +- z =2a cb +-zy BC代入④，得： r 2 ·2a b c ++=()()()8a b c b c a a c b +-+-+-两边同乘以2a b c++，得：r 2·2()4a b c ++=()()()()16a b c a b c b c a a c b +++-+-+-两边开方，得： r ·2a b c ++左边r ·2a b c++= r ·p= S △ABC 右边为海伦公式变形①，故得证.证五：半角定理半角定理：tan2Atan 2Btan 2C证明：根据tan 2A=r y ，∴y ①同理z ②× x ③①×②×③,得：xyz∵由证一，x =2b a c +-=2b a c++-c = p-c y =2b a c -+=2b a c ++-a = p-az =2a b c -+=2b ac ++-b = p-b∴∴∴S △ABC = r ·故得证. 3.海伦公式的推广由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广.由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD 中，设p=2a b c d+++,则S 四边形=现根据猜想进行证明.证明：如图，延长DA ，CB 交于点E. 设EA = e EB = f∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3,∴△EAB ～△ECDCzy B∴f a e +=e f c +=bdEAB ABCD S S ∆四边形=222b d b -解得： e =22()b ab cd d b +- ①f =22()b ad bcd b+- ②由于S 四边形ABCD =222d b b -S △EAB将①，②跟b =2222()b d b d b +-代入公式变形④，得：∴S 四边形ABCD =2224d b b -2222224()e b e b f -+-=2224d b b -42222222222222224222222222()()()()()4[()]()()()()b ab cd d b b ab cd b d b b ad bc d b d b d b d b +-+-+-+-----=2224d b b -{}422222222222244()()[()()()]()b ab cd d b ab cd d b ad bcd b +--++--+- =2214()d b -22222222224()()[{}{}{}]ab cd d b ab cd d b ad bc +--++--+=2214()d b -22222222442222224()()(2)ab cd d b a b c d d b d b a d b c +--+++--- =2214()d b -222222222222224()()[()()ab cd d b b a b d c d d b a c +--+--+--+ =2214()d b -222222222()[4()()]d b ab cd c d b a -+-+--=1422222222(22)(22)ab cd c d b a ab cd d b a c +++--+-++- =22221[()()][()()]4a c b d b d a c +--+-- =1()()()()4a b c d a b d c a d c b b d c a ++-++-++-++- =()()()()p a p b p c p d ----所以，海伦公式的推广得证.4.海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍.【例6】 如图，四边形ABCD 内接于圆O 中，S ABCD =433,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求：四边形可能为等腰梯形.(一) 知识内容解斜三角形和证明三角形全等或相似类似，已知条件必须能确定这个三角形，才能求出唯一的其他未知条件的解．如果板块二：正余弦定理的实际应用dcbaOCA已知条件不能确定一个三角形，则可能无解或有两解，如两边和一个非两边夹角．大致可以把解斜三角形用下面的表格来概括：(二)典例分析【例7】 如图所示,已知在梯形ABCD 中(//AB CD )，CD =2,AC 60o BAD ∠=,求梯形的高DE .【变式】 在△ABC 中，已知4=AB ，7=AC ，BC 边上的中线27=AD ，那么求BC 为多少.【变式】 在△ABC 中，已知AC B AB ,66cos ,364==边上的中线BD =5，求sin A 的值.【变式】 已知△ABC 中,a 、b 、c 为角A 、B 、C 的对边，且a +c =2b ,A –B =60o ,求sin B 的值.【例8】 如图，A ,B ,C ,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为075，030，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为060，AC =0.1km.试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离(计算结果精确到0.01km≈1.414≈2.449)【变式】 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积.D【变式】 某观测站C 在A 城的南偏西20°方向，由A 城出发有一条公路定向是南偏东40°，由C 处测得距C 为31km 的公路上B 处有1人沿公路向A 城以v =5km/h 的速度走了4h 后到达D 处，此时测得C 、D 间距离为21km.问这人以v 的速度至少还要走多少h 才能到达A 城.【教师选做】利用正余弦定理证明三角恒等式【例9】 在△ABC 中， 求证：22cos cos a b A B -+ +22cos cos b c B C -+ +22cos cos c a C A-+=0.【例10】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a , b , c , 证明：222sin()sin a b A B C c --=.【例11】 在△ABC 中，记BC =a , CA =b , AB =c ， 若22299190a b c +-=，则cot cot cot C A B +为多少.<教师备案>规律方法总结：1.要正确区分两个定理的不同作用，围绕三角形面积公式及三角形外接圆直径展开三角形问题的求解.2.两个定理可以实现将“边、角混合”的等式转化成“边或角的单一”等式.3.记住一些结论：π,,,A B C A B C ++=均为正角，1sin 2S ab C =等.4.余弦定理的数量积表示式：cos ||||BA CA A BA CA ⋅=.5.余弦定理中，涉及到四个量，利用方程思想，知道其中的任意三个量可求出第四个量.。
高考数学中的余弦定理与正弦定理
高考数学中的余弦定理与正弦定理在高中数学中，三角形的性质是必学的，三角形中的余弦定理和正弦定理在高考中也一定会出现。
这两个定理是三角形最重要的定理之一，掌握它们对于解决复杂三角形问题是必不可少的。
本文将介绍余弦定理和正弦定理的概念与应用，以及在高考数学中的应用实例。
一、余弦定理的定义余弦定理是解决三角形中一个角的正余弦值与另外两边长度之间关系的重要定理。
余弦定理表述为：在任意三角形ABC中，有以下公式成立：$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$其中，$a,b,c$ 为三角形ABC的三条边， $C$ 为对应于边$c$ 的角。
这个公式可以表示三角形两边长度和角度的关系，是解决复杂三角形问题的基础。
二、余弦定理的应用余弦定理的应用非常广泛，以下是三角形中常见的几种问题类型：1. 已知两条边和夹角，求第三边的长度根据余弦定理公式，只需要已知两条边和夹角的情况下，即可求解第三边的长度。
例如，已知两条边长分别为5和8，夹角为60度，求第三边长度。
按公式计算可得：$c^2=5^2+8^2-2\times 5 \times 8 \times \cos 60°=89$所以，第三条边的长度为 $\sqrt{89}$。
2. 已知三条边的长度，判断三角形的形状根据余弦定理，如果一个三角形的每条边长都已知，可以计算出三个角的余弦值，判断该三角形的形状。
例如，如果一个三角形三边长度分别为 3、4、5，则可以得出它为直角三角形。
三、正弦定理的定义正弦定理是与余弦定理类似的三角形定理，用来描述角度和它所对应的边的关系。
在任意三角形中，有以下公式成立：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$其中，$a,b,c$ 表示三角形的三条边，$A,B,C$ 表示相应的角。
这个公式用来表示一个三角形中角度和边长的关系。
四、正弦定理的应用正弦定理同样有着广泛的应用，以下是几种常见问题类型：1. 已知两角和一边，求三角形另一边长度根据正弦定理，我们可以解决这个问题。
正弦定理与余弦定理在解三角形中的运用
知识回顾：
1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比 相等 ， 即
a b c ＝ ＝ sin A sin B sin C
.
正弦定理适用的解三角形的问题：
(1)已知三角形的任意两角与一边 (2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角
例1(1)已知△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，
3 1 1 解：由正弦定理，有 ＝ ，即 sin B＝ 2π sin B 2 sin 3 π 又 C 为钝角，所以 B 必为锐角，所以 B＝ 6 π 所以 A＝ .故 a＝b＝1. 6
例3．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求
AC边上的中线长． 思考：用正弦还是余弦定理？
解：设 AC 的中点为 D，由余弦定理的推论得： AB2＋AC2－BC2 92＋82－72 2 cos A＝ ＝ ＝ ， 2· AB· AC 2×9×8 3 在三角形 ABD 中，由余弦定理知： BD2＝AD2＋AB2－2· AD· ABcos A 2 ＝4 ＋9 －2×4×9× ＝49 3
方法感悟： 所给边不是已知角的对边 先求出第三个角， 再由正弦定理求另外两边
6- 2 2
B
6- 2 2
a
A C
b=1
2．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去 两倍这两边与它们的夹角的余弦的积，即 a2＝ b2＋c2－2bccos A ，b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝ a2＋b2－2abcos C .(三边一角)
法一：由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accos B， 得 32＝ a2＋(3 3)2－ 2× 3 3a× cos 30° ， 即 a2－ 9a＋18＝0，∴a＝6 或 a＝3. 1 6× asin B 2 ＝ ＝1 当 a＝ 6 时，由正弦定理得 sin A＝ b 3 a ∴ A＝ 90° ， C＝60° . 当 a＝ 3 时， A＝30° ，C＝120° .
解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案
解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、正弦定理1、正弦定理：在△ABC 中，R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径）。
2、变形公式：（1）化边为角：2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === （2）化角为边：sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R=== （3）::sin :sin :sin a b c A B C = （4）2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C++====++.3、三角形面积公式：21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABCabc S ah ab C ac B bc A R A B C R∆====== 4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一） 二、余弦定理1、余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=⇔bcac b A 2cos 222-+=B ac a c b cos 2222-+=⇔cab ac B 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔abc b a C 2cos 222-+=2、余弦定理可以解决的问题：α北东h i l=θ（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一） 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图1）.图1 图2 图3 图42、方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图2）. 3、方向角相对于某一正方向的水平角（如图3）.4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图4）. 坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、（2012天津理）在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,已知8=5b c ,=2C B ,则cos C =（ ）A ．725B ．725-C ．725±D ．2425【答案】A 【解析】85,b c =由正弦定理得8sin 5sin B C =，又2C B =，8sin 5sin 2B B ∴=，所以8sin 10sin cos B B B =，易知247sin 0,cos ,cos cos 22cos 1525B BC B B ≠∴===-=. 2、（2009广东文）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==75A ∠=，则b =α 北东南西 B目标lh( )A ．2B ．4＋ C ．4— D【答案】 A【解析】0sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+=由a c ==可知,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2B =由正弦定理得1sin 2sin 2ab B A=⋅==,故选A3、（2011浙江）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分,,a b c .若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=( )A ．-12 B ．12C ． -1D ． 1 【答案】D【解析】∵B b A a sin cos =，∴B A A 2sin cos sin =，∴1cos sin cos cos sin 222=+=+B B B A A .4、（2012福建文）在ABC ∆中,已知60,45,BAC ABC BC ∠=︒∠=︒=则AC =_______.【解析】由正弦定理得sin 45AC AC =⇒=︒5、（2011北京）在ABC 中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = . 【答案】325 【解析】：由正弦定理得sin sin a b A B =又15,,sin 43b B A π=∠==所以5,13sin 34a a π==6、（2012重庆理）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,abc ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______ 【答案】145c =【解析】由35412cos ,cos sin ,sin 513513A B A B ==⇒==, 由正弦定理sin sin a b A B=得43sin 13512sin 513b A a B ⨯===, 由余弦定理2222142cos 25905605a cb bc A c c c =+-⇒-+=⇒=7、（2011全国）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知sin csin sin sin a A C C b B +=. （I ）求B ； （Ⅱ）若075,2,A b ==a c 求，. 【解析】（I）由正弦定理得222a cb +=由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-.故cos 2B =，因此45B = （II ）sin sin(3045)A =+sin30cos 45cos30sin 45=+4=故sin 1sin A a b B =⨯==+ sin sin 6026sin sin 45C c b B =⨯=⨯=8、（2012江西文）△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（1）求cosA;（2）若a=3,△ABC 的面积为求b,c.【解析】（1） 3(cos cos sin sin )16cos cos 3cos cos 3sin sin 13cos()11cos()3B C B C B C B C B C B C A π+-=⎧⎪-=-⎪⎪+=-⎨⎪⎪-=-⎪⎩则1cos 3A =. （2）由（1）得sin A =,由面积可得bc=6①,则根据余弦定理 2222291cos 2123b c a b c A bc +-+-===则2213b c +=②,①②两式联立可得32b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或32a b =⎧⎪⎨=⎪⎩.9、（2011安徽）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0B C ++=，求边BC 上的高.【解析】：∵A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＋C ＝A ， 又12cos()0B C ++=，∴12cos(180)0A +-=， 即12cos 0A -=，1cos 2A =， 又0°<A<180°，所以A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理sin sin a b A B=得sin 2sin 602sin 3b A B a ===，又∵b a <，所以B ＜A ，B ＝45°，C ＝75°， ∴BC 边上的高AD ＝AC·sinC 2752sin(4530)=+2(sin 45cos30cos 45sin 30)=+2321312()2+==10、（2012辽宁理）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.（I ）求cos B 的值;（Ⅱ）边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值. 【解析】（I ）由已知12,,,cos 32B AC A B C B B ππ=+++=∴==（Ⅱ）解法一：2b ac =，由正弦定理得23sin sin sin 4A CB ==， 解法二：2222221,cos 222a c b a c ac b ac B ac ac+-+-====，由此得22a b ac ac +-=，得a c =所以3,sin sin 34A B C A C π====【课堂练习】1、（2012广东文）在ABC ∆中,若60A ∠=︒,45B ∠=︒,BC =,则AC =（ ）A ．B ．CD 2、（2011四川）在△ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是（ ）A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ3、（2012陕西理）在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（ ）A B C ．12 D ．12- 4、（2012陕西）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（ ） A ．23B ．22 C ．21D ．21-5、（2011天津）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ===则sin C 的值为( )A ．3 B ．6 C ．3 D ．66、（2011辽宁）△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab（ ）A ．B ．CD 7、（2012湖北文）设ABC ∆的内角,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若三边的长为连续的三个正整数,且A B C >>,320cos b a A =,则sin :sin :sin A B C 为（ ）A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶48、（2011上海）在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若075,60CAB CBA ∠=∠=，则A C 两点之间的距离是 千米。
正弦定理余弦定理解三角形技巧
正弦定理余弦定理解三角形技巧以正弦定理和余弦定理为基础的三角形解题技巧在解决三角形相关问题时，正弦定理和余弦定理是非常有用的工具。
它们可以帮助我们计算三角形的各个角度和边长，从而解决一系列问题，比如求解未知边长、未知角度、判断三角形类型等。
下面我将介绍一些使用正弦定理和余弦定理解决三角形问题的技巧。
一、正弦定理正弦定理是指在一个三角形中，三条边的长度与对应的角的正弦值之间的关系。
具体表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中a、b、c分别代表三角形的三条边的长度，A、B、C分别代表三角形的三个角度。
通过正弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知两个角和一个边的长度，求解其他未知边和角。
2. 已知两个边和一个角的大小，求解其他未知边和角。
3. 已知一个边和两个角的大小，求解其他未知边和角。
以一个具体的例子来说明，假设有一个三角形ABC，已知边长a=5，边长b=7，角C的大小为30度，我们可以利用正弦定理求解其他未知边和角。
根据正弦定理，我们可以得到以下等式：5/sinA = 7/sinB = c/sin30通过计算可得sinA ≈ 0.866，sinB ≈ 0.5。
将这些结果代入等式中，可以求解出c ≈ 8.66，A ≈ 60度，B ≈ 30度。
二、余弦定理余弦定理是指在一个三角形中，三条边的长度与对应的角的余弦值之间的关系。
具体表达式如下：c² = a² + b² - 2abcosC其中a、b、c分别代表三角形的三条边的长度，C代表三角形的一个角的大小。
通过余弦定理，我们可以解决以下几类问题：1. 已知三个边的长度，求解三个角的大小。
2. 已知两个边和对应的夹角，求解第三边的长度。
3. 已知两个边和一个角的大小，求解其他未知边和角。
以一个具体的例子来说明，假设有一个三角形ABC，已知边长a=5，边长b=7，角C的大小为30度，我们可以利用余弦定理求解其他未知边和角。
超实用高考数学专题复习：第四章三角函数解三角形 第6节第一课时正弦定理和余弦定理
A.直角三角形
B.等腰非等边三角形
C.等边三角形
D.钝角三角形
解析
(1)由cb<cos
A，得ssiinn
C B<cos
答案
(1)B
12 (2) 5
考点二 判断三角形的形状
【例2】 (1)(一题多解)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos
C，则此三角形一定是( ) A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，
【训练 2】 (1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若cb<cos A，则△ABC
为( )
A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.等边三角形
(2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若ssiinn BA＝ac，(b＋c＋a)(b＋c
－a)＝3bc，则△ABC 的形状为( )
a＝bsin A __一__解___
bsin A<a<b __两__解___
a≥b __一__解___
a>b __一__解___
a≤b __无__解___
3.三角形常用面积公式 (1)S＝12a·ha(ha 表示 a 边上的高). (2)S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A＝a4bRc. (3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径).
)
A. 13
B. 7
C. 37
D.6
(2)(2020·衡水模拟)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且有 a＝1，
最全面的解三角形讲义
解三角形【高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．基础梳理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形为：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．面积公式：S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (R 是三角形外接圆半径，r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a ，b ，A ，则A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 式 a ＜b sin A a ＝b sin Ab sin A ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b解的 个数无解 一解 两解 一解 一解 无解5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．6．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．考向探究题型一 正弦余弦定理运用【例题1】在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.【例题2】 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b2.（1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.【例题3】 （14分）△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2-a 2+bc=0. （1）求角A 的大小；（2）若a=3，求bc的最大值；（3）求cb Ca--︒)30sin(的值.【变式】1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a= .2.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;(2)△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.3.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为 .4.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2-c2，求tanC的值.5.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则cosA= .6. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=3ac，则角B的值为 .7.在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=3π.（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.题型二判断三角形形状【例题】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.【变式】已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.题型三测量距离问题【例题】如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．【变式】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．题型四测量高度问题【例题】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.【变式】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C 与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用【例题】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．【变式】如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．巩固训练1.在△ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 三角形.2.在△ABC 中，A=120°,AB=5,BC=7，则CB sin sin 的值为 .3.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c,且面积S △ABC =41（b 2+c 2-a 2），则A= .4.在△ABC 中，BC=2，B=3 ，若△ABC 的面积为23，则tanC 为 .5.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab,则C= .6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则C= .7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1,b=7,c=3,则B= .8.某人向正东方向走了x 千米，他右转150°，然后朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的值是 . 9.下列判断中不正确的结论的序号是 . ①△ABC 中，a=7，b=14，A=30°,有两解 ②△ABC 中，a=30,b=25,A=150°，有一解 ③△ABC 中，a=6,b=9，A=45°，有两解 ④△ABC 中，b=9,c=10,B=60°,无解10. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，并且a 2=b(b+c). （1）求证：A=2B ；（2）若a=3b,判断△ABC 的形状.11. 在△ABC 中，cosB=-135，cosC=54.（1）求sinA 的值；（2）△ABC 的面积S △ABC =233，求BC 的长.12.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，关于x 的方程ax 2-222b c - x-b=0 (a ＞c ＞b)的两根之差的平方等于4，△ABC 的面积S=103，c=7. （1）求角C ；（2）求a ，b 的值.13. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a+b=5，c=7，且4sin 22B A +-cos2C=27.(1)求角C 的大小； （2）求△ABC 的面积.14．(人教A 版教材习题改编)如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )．A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m15．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )．A．α＞β B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°16．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的( )．A．北偏东15° B．北偏西15° C．北偏东10° D．北偏西10°17．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( )．A．5海里 B．53海里C．10海里 D．103海里18．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C间的距离是________海里．19.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？参考答案例题答案题型一 正弦、余弦定理【例题1】 解 ∵B=45°＜90°且asinB ＜b ＜a,∴△ABC 有两解.由正弦定理得sinA=b B a sin =245sin 3︒ =23, 则A 为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°, c=BCb sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°, c=B C b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=226+或 A=120°,C=15°,c=226-. 【例题2】 解（1）由余弦定理知：cosB=ac b c a 2222-+，cosC=ab c b a 2222-+.将上式代入C B cos cos =-ca b+2得:ac b c a 2222-+·2222cb a ab -+=-c a b +2 整理得:a 2+c 2-b 2=-ac∴cosB=acb c a 2222-+=ac ac2- =-21∵B 为三角形的内角，∴B=32π.（2）将b=13,a+c=4,B=32π代入b 2=a 2+c 2-2accosB,得b 2=(a+c)2-2ac-2accosB ∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫ ⎝⎛-211,∴ac=3.∴S △ABC =21acsinB=433. 【例题3】解（1）∵cosA=bc a c b 2222-+=bc bc 2-=-21,又∵A∈（0°，180°），∴A=120°.（2）由a=3,得b 2+c 2=3-bc,又∵b 2+c 2≥2bc（当且仅当c=b 时取等号），∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b 时取等号）.即当且仅当c=b=1时，bc 取得最大值为1.（3）由正弦定理得：===CcB b A a sin sin sin 2R, ∴CR B R C A R c b C a sin 2sin 2)30sin(sin 2)30sin(--︒=--︒=C B C A sin sin )30sin(sin --︒ =CC C C sin )60sin()sin 23cos 21(23--︒- C C C C sin 23cos 23)sin 43cos 43--==21【变式】1. 22. 解（1）由正弦定理得BbA a sin sin =. ∵B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b=︒︒⨯=45sin 60sin 8sin sin A B a =46. (2)由正弦定理得sinC=430sin 8sin ︒=b B c =1. 又∵30°＜C ＜150°,∴C=90°.∴A=180°-(B+C)=60°,a=22b c -=43. 3. 1034. 解 依题意得absinC=a 2+b 2-c 2+2ab,由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC), 即sinC=2+2cosC,所以2sin2C cos 2C =4cos 22C 化简得：tan 2C=2.从而tanC=2tan 12tan22C C -=-34. 5.336. 3π或32π7. 解 （1）由余弦定理及已知条件，得a 2+b 2-ab=4.又因为△ABC 的面积等于3， 所以21absinC=3，所以ab=4. 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,4,422ab ab b a 解得⎩⎨⎧==22b a .（2）由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即sinBcosA=2sinAcosA, 当cosA=0时，A=2π，B=6π，a=334，b=332.当cosA≠0时，得sinB=2sinA,由正弦定理得b=2a,联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-+,2,422a b ab b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.334332b ，a所以△ABC 的面积S=21absinC=332. 题型二 判断三角形形状【例题】 解方法一 已知等式可化为a 2［sin （A-B ）-sin （A+B ）］=b 2［-sin （A+B ）-sin(A-B)］∴2a 2cosAsinB=2b 2cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为：sin 2AcosAsinB=sin 2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA -sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B ＜2π 得2A=2B 或2A=π-2B, 即A=B 或A=2π-B,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2cosAsinB=2b 2sinAcosB 由正、余弦定理,可得a 2b bc a c b 2222-+= b 2a acb c a 2222-+∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2) 即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a=b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.【变式】 解 方法一 ∵2cos 2B-8cosB+5=0,∴2(2cos 2B-1)-8cosB+5=0.∴4cos 2B-8cosB+3=0,即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21. ∵0＜B ＜π,∴B=3π. ∵a，b ，c 成等差数列，∴a+c=2b. ∴co sB=acbc a 2222-+=acc a c a 2)2(222+-+=21， 化简得a 2+c 2-2ac=0,解得a=c. 又∵B=3π，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B -8cosB+5=0，∴2（2cos 2B-1）-8cosB+5=0.∴4cos 2B-8cosB+3=0， 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得cosB=21或cosB=23（舍去）.∴cosB=21,∵0＜B ＜π,∴B=3π, ∵a,b,c 成等差数列，∴a+c=2b. 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin 3π=3. ∴sinA+sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π=3， ∴sinA+sin A cos 32π-cos A sin 32π=3. 化简得23sinA+23cosA=3,∴sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πA =1. ∴A+6π=2π,∴A=3π,∴C=3π,∴△ABC 为等边三角形.题型三 测量距离问题【例题】解 在△ACD 中，已知CD ＝a ，∠ACD ＝60°，∠ADC ＝60°，所以AC ＝a .∵∠BCD ＝30°，∠BDC ＝105°∴∠CBD ＝45° 在△BCD 中，由正弦定理可得BC ＝a sin 105°sin 45°＝3＋12a . 在△ABC 中，已经求得AC 和BC ，又因为∠ACB ＝30°，所以利用余弦定理可以求得A ，B 两点之间的距离为AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝22a . 【变式】解 在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1 km.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA . 又∵∠ABC ＝15°在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝ACsin ∠ABC ，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620(km)，同理，BD ＝32＋620(km)．故B 、D 的距离为32＋620 km.题型四 测量高度问题【例题】解 如图，设CD ＝x m ， 则AE ＝x －20 m ，tan 60°＝CD BD， ∴BD ＝CDtan 60°＝x 3＝33x (m)．在△AEC 中，x －20＝33x ， 解得x ＝10(3＋3) m ．故山高CD 为10(3＋3) m. 【变式】解 在△BCD 中，∠CBD ＝π－α－β， 由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，所以BC ＝CD sin ∠BDCsin ∠CBD ＝s ·sin βsin α＋β在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝s tan θsin βsin α＋β.题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用 【例题】解 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝9，∠BCA ＝30°. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC ，sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BCA AB ＝9sin 30°5＝910.∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ， 于是sin ∠BAD ＝sin ∠ABC ＝910. 同理，在△ABD 中，AB ＝5，sin ∠BAD ＝910，∠ADB ＝45°，由正弦定理：AB sin ∠BDA ＝BDsin ∠BAD，解得BD ＝922.故BD 的长为922.【变式】解 在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°， 由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6巩固训练1. 等腰；2.53；3. 45°；4. 33；5. 60°；6. 45°或135°；7. 65π； 8. 3或23；9. ①③④10.（1）证明 因为a 2=b(b+c)，即a 2=b 2+bc, 所以在△ABC 中，由余弦定理可得, cosB=ac b c a 2222-+=acbc c 22+=a cb 2+=ab a 22=b a 2=BA sin 2sin , 所以sinA=sin2B,故A=2B. （2）解 因为a=3b,所以ba=3, 由a 2=b(b+c)可得c=2b, cosB=ac b c a 2222-+=22223443bb b b -+=23, 所以B=30°,A=2B=60°,C=90°. 所以△ABC 为直角三角形. 11. 解 (1)由cosB=-135,得sinB=1312, 由cosC=54,得sinC=53. 所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=6533. (2)由S △ABC =233,得21×AB×AC×sinA=233. 由(1)知sinA=6533,故AB×AC=65.又AC=CB AB sin sin ⨯=1320AB, 故1320AB 2=65,AB=213. 所以BC=C A AB sin sin ⨯=211.12. 解 （1）设x 1、x 2为方程ax 2-222b c -x-b=0的两根，则x 1+x 2=ab c 222-，x 1·x 2=-a b .∴(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=222)(4a b c -+ab4=4. ∴a 2+b 2-c 2=ab.又cosC=abc b a 2222-+=ab ab 2=21,又∵C∈(0°,180°),∴C=60°. (2)S=21absinC=103，∴ab=40 ……① 由余弦定理c 2=a 2+b 2-2abcosC,即c 2=(a+b)2-2ab(1+cos60°). ∴72=(a+b)2-2×40×⎪⎭⎫ ⎝⎛+211.∴a+b=13.又∵a＞b ……②∴由①②，得a=8,b=5.13. 解 （1）∵A+B+C=180°,由4sin22B A +-cos2C=27, 得4cos 22C-cos2C=27,∴4·2cos 1C +-(2cos 2C-1)=27,整理,得4cos 2C-4cosC+1=0,解得cosC=21, ∵0°＜C ＜180°,∴C=60°.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2abcosC,即7=a 2+b 2-ab,∴7=(a+b)2-3ab ， 由条件a+b=5,得7=25-3ab,ab=6, ∴S △ABC =21absinC=21×6×23=233. 14.解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，又∵B ＝30°∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m)．答案 A15.解析 根据仰角与俯角的定义易知α＝β.答案 B 16.解析 如图．答案 B17.解析 如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，得AB ＝5(海里)， 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/时)． 答案 C18.解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝ABsin 180°－60°－75.解得BC ＝56(海里)．答案 5 619.如图，连接A 1B 2由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， ∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20， ∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，(8分)在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200， ∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302(海里/时)．(12分)。
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高考数学专题讲解：正余弦定理解三角形【训练一】：【2019年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
设C B A C B sin sin sin )sin (sin 22-=-。
（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若c b a 22=+，求C sin 。
【本题解析】：（Ⅰ）-=-+⇒-=-A C B C B C B A C B 22222sin sin sin 2sin sin sin sin sin )sin (sin32122cos 2sin sin 222222222π=⇒==-+=⇒=-+⇒-=-+⇒A bc bc bc a c b A bc a c b bc a bc c b C B 。
（Ⅱ）C C A C B C B A c b a sin )sin(26sin sin 232sin 2sin sin 222=++⇒=+⨯⇒=+⇒=+ C C C C C C A C C A cos 23sin 2326sin 2sin 21cos 2326sin 2cos sin cos sin 26-=⇒=++⇒=++⇒22)6sin()cos 6sin sin 6(cos 326)cos 21sin 23(326=-⇒-=⇒-=⇒πππC C C C C 第一种情况：41256446πππππππ=--=⇒=+=⇒=-C A B C C 426222123224cos 6sin 6cos 4sin )64sin(125sinsin +=⨯+⨯=+=+==πππππππC ； 第二种情况：41211643436πππππππ-=--=⇒=+=⇒=-C A B c C 这种情况不成立。
【训练二】：【2019年高考文科数学新课标Ⅰ卷第11题】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
已知：C c B b A a sin 4sin sin =-，41cos -=A ，则=cb（ ）A 、6B 、5C 、4D 、3 【本题解析】：2224sin 4sin sin c b a C c B b A a =-⇒=-；根据余弦定理得到：bc c b bc c b A bc c b a 21)41(2cos 22222222++=-⨯-+=-+=，2224c b a =-666321421222222=⇒=⇒=⇒=⇒=-++⇒cbc b c bc c bc c b bc c b 。
【训练三】：【2019年高考理科数学新课标Ⅱ卷第15题】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
若6=b ，c a 2=，3π=B 。
则ABC ∆的面积为 。
【本题解析】：根据余弦定理得到：2222223362122436cos 2c c c c c B ac c a b =⇒⨯⨯⨯-+=⇒-+=3623323421sin 2134232122=⨯⨯⨯==⇒==⇒=⇒=⇒∆B ac S c a c c ABC 。
【训练四】：【2019年高考文科数学新课标Ⅱ卷第15题】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
已知：0cos sin =+B a A b ，则=B 。
【本题解析】：B B B B B A A B B a A b cos sin 0cos sin 0cos sin sin sin 0cos sin -=⇒=+⇒=+⇒=+431tan 1cos sin π=⇒-=⇒-=⇒B B B B 。
【训练五】：【2019年高考数学新课标Ⅲ卷理科第18题文科第18题】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
已知：A b CA a sin 2sin =+。
（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若ABC ∆为锐角三角形，且1=c 。
求ABC ∆面积的取值范围。
【本题解析】：（Ⅰ）B CA ABC A A A b C A a sin 2sin sin sin 2sin sin sin 2sin=+⇒=+⇒=+ 362212sin 2sin 212cos 2sin 22cos )22sin()22sin(πππ=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒⋅=-⇒B B B B B B B B B 。
（Ⅱ）根据正弦定理得到：CBC C B C C B C A C A c a C c A a sin cos sin cos sin sin )sin(sin sin sin sin sin sin +=+===⇒= 21tan 23cos tan sin +=+=C B C B 。
C A C A B -=⇒=+⇒=32323πππ，锐角三角形 )2,0(32)2,0(πππ∈-⇒∈⇒C A )32,6(ππ∈⇒C ，),33(tan )2,6()2,0(+∞∈⇒∈⇒∈C C C πππ)2,21()2,21(21tan 23)23,0(tan 23∈⇒∈+⇒∈⇒a C C 。
a a B ac S ABC 4323121sin 21=⨯⨯==∆； )23,83()23,83(43)2,21(∈⇒∈∈∈∆ABC S a a 。
【训练六】：【2019年高考数学北京卷理科第15题文科第15题】在ABC ∆中，3=a ，2=-c b ，21cos -=B .（Ⅰ）求b ，c 的值； 理科（Ⅱ）求)sin(C B -的值； 文科（Ⅱ）求)sin(C B +的值。
【本题解析】：（Ⅰ）根据余弦定理得到：)21(329cos 222222-⨯⨯⨯-+=⇒-+=c c b B ac c a b72,3922=⇒=-++=⇒b c b c c b ，5=c 。
（Ⅱ）根据余弦定理得到：196751961211cos 1sin 1411732254992cos 22222=-=-=⇒=⨯⨯-+=-+=C C ab c b a C ，1435sin 0sin =⇒>C C 。
43411cos 1sin 22=-=-=B B ，23sin 0sin =⇒>B B 。
理科：734)21(1135141123cos sin cos sin )sin(=-⨯-⨯=-=-B C C B C B ； 文科：1433)21(1435141123cos sin cos sin )sin(=-⨯+⨯=+=+B C C B C B 。
【训练七】：【2019年高考数学天津卷理科第15题文科第16题】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
已知a c b 2=+，C a B c sin 4sin 3=。
（Ⅰ）求B cos 的值； （Ⅱ）求)62sin(π+B 的值。
【本题解析】：（Ⅰ）a b a b ac cb C a B c 344343sin 4sin 3=⇒=⇒=⇒=，a c b 2=+a c a c a 32234=⇒=+⇒。
41322916942cos 222222-=⨯⨯-+=-+=a a aa a acbc a B 。
（Ⅱ）16151611cos 1sin 22=-=-=B B ，415sin 0sin =⇒>B B 。
815)41(4152cos sin 22sin -=-⨯⨯==B B B ；871615161sin cos 2cos 22-=-=-=B B B ； 16753)87(2123)815(2cos 6sin 6cos 2sin )62sin(+-=-⨯+⨯-=+=+B B B πππ。
【训练八】：【2019年高考数学江苏卷第15题】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。
（Ⅰ）若c a 3=，2=b ，32cos =B 。
求c 的值； （Ⅱ）若b B a A 2cos sin =。
求)2sin(π+B 的值。
【本题解析】：（Ⅰ）333162323292cos 22222222=⇒=⇒=⇒⨯⨯⨯-+=⇒-+=c c c c c c c B ac c a b 。
（Ⅱ）1cos sin ,cos sin 2cos sin sin sin 2cos sin 22cos sin 22=+=⇒=⇒=⇒=B B B B B A A B B a A b bBa A 51sin 1sin 51sin 4sin 2222=⇒=⇒=+⇒B B B B ，552sin 2cos 55sin 0sin ==⇒=⇒>B B B B ； 552cos )2sin(==+B B π。
【训练九】：【2019年高考数学浙江卷第14题】在ABC ∆中，090=∠ABC ，4=AB ，3=BC ，点D 在线段AC 上，若045=∠BDC ，则=BD ；=∠ABD cos 。
【本题解析】：如下图所示：525916222=⇒=+=+=AC BC AB AC 54sin ==⇒AC AB C ；BDCBCC BD ∠=sin sin 521222543sin sin =⨯=∠=⇒BDCCBC BD 。
000013545180180=-=∠-=∠BDC ADB ，53sin ==AC BC A ，A ADB A ADB A ADB ABD AC AB A sin sin cos cos )cos(cos 54cos ∠+∠-=+∠-=∠⇒==1027102310242253)22(54=+=⨯+-⨯-=。
【训练十】：【2018年高考文科数学新课标Ⅰ卷第16题】ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知C B a B c C b sin sin 4sin sin =+，8222=-+a c b ，则ABC ∆的面积为 。
【本题解析】：C B A B C C B C B a B c C b sin sin sin 4sin sin sin sin sin sin 4sin sin =+⇒=+21sin sin 21sin sin sin 4sin sin 2=⇒=⇒=⇒A A C B A C B 。
A bcbc bc a c b A ⇒>==-+=04282cos 222为锐角，23423cos 621sin =⇒=⇒=⇒=bc A A A π3322133821sin 213383883=⨯⨯==⇒==⇒=⇒∆A bc S bc bc ABC 。
【训练十一】：【2019年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题】在平面四边形ABCD 中，090=∠ADC ，045=∠A ，2=AB ，5=BD 。
（Ⅰ）求ADB ∠cos ； （Ⅱ）若22=DC ，求BC 。
【本题解析】：如下图所示：（Ⅰ）根据正弦定理得到：A AB ADB BD ABDADB AB sin sin sin sin ⨯=∠⨯⇒=∠525222sin sin =⨯=⨯=∠⇒BDAAB ADB 。