时间、燃料最优控制问题
最优控制--极大值原理
X (t0 ) = X0
:
∂φ Htf + =0 ∂t f
t0 , t f 已知， (t0 ) = X0给定,末端受约束 g[ X (t f ), t f ] = 0 X
边界条件为:
∂φ ∂gT λ(t f ) = µt f tf + ∂X ∂X g[ X (t f ), t f ] = 0 ∂φ ∂gT + µ =0 若 t f 自由:外加: H |t f + ∂t f ∂t f
_
H[ X (t), λ(t),U (t)] = m H[ X * (t), λ(t), u(t)] ax
* * u(t )
_
_
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。 一般:对于实际系统
1、问题提出（时变系统） 问题提出 时变系统）
ɺ 已知受控系统 X = f ( X (t), t) + B( X (t), t)u(t), X (0) = X0 并设 f 和 B对X(t)和t 连续可微。 和 连续可微。
X：n×1 ： × u： r×1 ： × f ：n×1 × B：n×r ： × 状态向量 控制向量 函数向量 函数值矩阵
* 解得: x (t) = 0.1e
2t
+ 9.9e−
2t
2t
λ(t) = −0.1( 2 +1)e
b) |u| ≤ 0.3
+ 9.9( 2 −1)e−
2t
由极小值原理: U * = −sgn{λ} 当t=1时
λ =0
在[0,1]区间
最优控制 (7)1
j=1,2, …,m
m c j u j t dt j i
(4-6)
以驱使系统从初态x0 到达运动目标集 S，并使性能指标
J u t
tf
0
cj 0
(4-7)
最小，其中t f 是自由的，或是固定的。
7
应用最小值原理来求解
写出系统的哈密顿函数
j 1 i 1 m
m
n
n ˆ ˆ f i xt , t i t u j t bij xt , t i t ˆ ˆ ˆ i 1 j 1
m n m i 1
c j u j t
j 1
n ˆ ˆ f i xt , t i t u j t bij xt , t i t ˆ ˆ i 1 i 1
11
方程(4-10)，(4-11)，(4-13)-(4-15)是问题 4-1 在终端时间自由情况下的必要条件。 在终端时间固定的情况下，必要条件(4-14) 不复存在，而方程(4-15)中的 tˆf 是指固定时间
Tf 。
12
下面详细研究不等式(4-13)
n ˆ c j u j t u j t bij xt , t j t ˆ ˆ ˆ i 1 j 1 j 1
若 q j t c j 1 ˆ
ˆ 若 q j t c j 1
ˆ 若 q j t c j 1
q j t ˆ min u t c j min u j t 1 u u j ( t ) 1 c j j 1
H xt , t , u t , t c j u j t f T xt , t t
最优控制特点
切换一次，设切换
2t
时间为ts，则令
0
为了求出ts，必须
首先找出状态在
1
平面上的转移轨线。
0
1
ts
tf
t
t
由 则：
设u=1，则
其中
如图(a)所示，为一组抛物线， 当K=0时经过原点[pos]
X2 s
0
t
p
若u=-1，则
X2 N
o
X1
T u=-1
为一组抛物线，如图(b)，当K1=0时过原点[NOT]
j =1，2…r
u 最优控制 *(t)是使
为极小，则：
＋１ －１ 不定
u*(t) +1
-1
奇异
t
可见：当 当
时， 时，
有确定值，正常情况 不定， 奇异情况
我们仅研究正常情况
u*(t)写成符号函数sgn{ }形式
则
j =1，2…r
向量形式：u*(t)=-sgn{q*(t)}
=-sgn{
}
⑶根据规范方程：
在证明过程中：
与H得符号与这里所定义的相反。
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。
一般:对于实际系统
有最优解
有唯一解
最优解
三、几种边界条件得讨论：
上面所讨论的是
控制向量约束条件: 末端状态：
g：p ×1维函数向量
目标函数：
: 自由
问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态， 目标函数J 为最小
❖ 步骤：应用最小值原理进行问题的求解
时间最优控制
* *
对最优控制 u *(t ) 取极小值。
u (t ) 2(t ) 与 的大小及符号有关，呈 如下死区函数关系:
*
u ( ) 0,当 2( ) 1 t t u *( ) sgn[ 2( )], 当 2( ) 1 t t t * 0 u ( ) 1,当2( ) 1 t t * 1 u ( ) 0,当2( ) 1 t t
极小值条件
函数变化律
u (t ) 2(t )u (t ) u(t ) 2(t )u(t )
* *
u (tf ) 1(tf )x (tf ) 2 (tf ) (tf ) 0 u
* * 2 *
H函数的最优控制 u *(t ) 取极小值时，等价于函数
R() u (t 2t )) ) R(u u ) u (t ) 2((tuu(t(t )
析，当 u=+1和u=-1时， 系统由初态转移到坐标原点的两条轨线为, 如下图所示，点集表达式为：
R2
x2
R1
R4
R3
1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 x x ,x 2 2 x1 1 2 ( 0 x 1 ,x 2 )x 1 2 x x ,x 2
*
引入死区函数记号dez,其意义为a=dez{b}, 表示为 0,当b 1 以及 0 a 1,当b 1 a 1 a 0,当b 1 sgn{b},当b 1
由以上关系能否完全确定 u (t )，取决于函数 2(t )的 性质。与时间最优控制问题类似，也可以分为正常 与奇异两种情况：若在时间区间[0,tf]内， 2(t*) 1 值 在有限点成立，则属正常情况，最优控制 u (t ) 可取 * -1、0、+1 三个值，随时间的增长， u (t ) 在这三个 值上转换，称为三位控制或开关控制。 若至少存在一段时间间隔[t1 ,t 2 ] [0,tf ] ，在其上有 2( ) 1 则问题属于奇异情况。 t
最优控制问题介绍
最优控制问题介绍最优控制问题是现代控制理论的核心内容之一，它研究的主要问题是如何在满足一定约束条件下，使得某一性能指标达到最优。
这类问题广泛存在于各个领域，如航天工程、经济管理、生态系统等。
通过对最优控制问题的研究，我们可以更加科学、合理地进行决策，实现资源的优化配置，提高系统的运行效率。
一、最优控制问题的基本概念最优控制问题通常可以描述为一个动态系统的优化问题。
在这个问题中，我们需要找到一个控制策略，使得系统从初始状态出发，在给定的时间内，通过控制输入，使得系统的某一性能指标达到最优。
这个性能指标可以是时间最短、能量消耗最小、误差最小等。
为了解决这个问题，我们首先需要建立系统的数学模型。
这个模型应该能够准确地描述系统的动态行为，包括状态方程、输出方程以及约束条件等。
然后，我们需要定义一个性能指标函数，这个函数描述了我们希望优化的目标。
最后，我们通过求解一个优化问题，找到使得性能指标函数达到最优的控制策略。
二、最优控制问题的分类根据系统的动态特性和性能指标函数的不同，最优控制问题可以分为多种类型。
其中，最常见的包括线性二次型最优控制问题、最小时间控制问题、最小能量控制问题等。
1. 线性二次型最优控制问题：这类问题中，系统的动态特性是线性的，性能指标函数是状态变量和控制输入的二次型函数。
这类问题在实际应用中非常广泛，因为许多实际系统都可以近似为线性系统，而二次型性能指标函数可以方便地描述许多实际优化目标。
2. 最小时间控制问题：在这类问题中，我们的目标是使得系统从初始状态到达目标状态的时间最短。
这类问题通常出现在对时间要求非常严格的场合，如火箭发射、紧急制动等。
3. 最小能量控制问题：这类问题的目标是使得系统在完成指定任务的过程中消耗的能量最小。
这类问题在能源有限的系统中尤为重要，如无人机、电动汽车等。
三、最优控制问题的求解方法求解最优控制问题的方法主要有两种：解析法和数值法。
1. 解析法：解析法是通过求解系统的动态方程和性能指标函数的极值条件，得到最优控制策略的解析表达式。
4.5燃料最优控制
其中b j 是B的第j个列向量。则求u* (t )使H最小，即 q j (t ) 求u (t )使h(u)最小，h(u) c j u j (t ) u j (t ) cj j 1 m q j (t ) min h(u) min c j u j (t ) u j (t ) u j ( t ) 1 u j ( t ) 1 cj j 1 m q j (t ) c j min u j (t ) u j (t ) u j ( t ) 1 cj j 1 q j (t ) * u j (t ) dez j 1,2,3 , m , cj
20
当初态位于R4内时，奇异最优控制有无穷多解。
21
若考虑时间最短因素，则0,1为唯一的 奇异最优控制。
22
综上所述，初态位于R 4 内时，若问题正常， 则0， 1是唯一的燃料最优控制序列。 若问题奇异，则燃料最优控制有无穷多解， 其中0， 1是转移时间最短的燃料最优控制序列。 同理，初态位于R 2 内时，若问题正常， 则0， 1是唯一的燃料最优控制序列。 若问题奇异，则燃料最优控制有无穷多解， 其中0， 1是转移时间最短的燃料最优控制序列。
* m
29
q j (t ) 当 1，t t1 , t2 0, t f 时为奇异情况。 cj 定理4.5 ：问题4.5.1为正常的充分条件是，对所有的 j 1,2, , m, 均有 det( AG j ) 0， 其中G j为 G j bj Ab j A2b j An 1b j 。
24
2.奇异情况 u( t ) sgnc2 (t )
( t )是任意不恒等于零的非 负分段连续函数， 且 0 ( t ) 1， t 0, t f
燃料电池系统中的最优控制策略研究
燃料电池系统中的最优控制策略研究燃料电池的应用已经开始越来越广泛，而燃料电池系统中的最优控制策略研究也逐渐受到了重视。
在燃料电池系统运行中，控制策略不仅可以有效提高燃料电池系统的工作效率，还可以减少燃料电池系统的运行和维护成本。
因此，燃料电池系统中的最优控制策略研究具有十分重要的意义。
从理论和实践上来看，燃料电池系统中最常见的控制策略有三种：恒压控制，恒流控制和3C（Conventional,Constant,Current）控制。
其中，恒压控制和恒流控制的控制策略相对简单，但是存在一些问题。
恒压控制的缺点在于容易导致系统压力过高，同时震荡现象也比较明显。
而恒流控制则容易造成系统电压过高或者过低，直接影响系统的稳定性和可靠性。
因此，为了获得更加准确和精确的控制效果，3C控制策略应运而生。
3C控制是全球燃料电池技术发展的一个里程碑，它通过实时的调节燃料电池的电流、压力和温度三个参数，来实现系统的最优控制。
在3C控制中，当燃料电池的电流、压力和温度超出了设定范围时，控制器便会自动调整燃料电池的输出电流、压力和温度，让系统始终保持最佳状态。
相对于恒压控制和恒流控制，3C控制有以下优点：（1）更高效：3C控制通过实时调节燃料电池的参数，可以尽可能的提高系统效率，使系统运行到最佳水平。
（2）更节能：3C控制可以根据系统的实际运行情况，调节输出功率，以避免在高效能状态下过度能量消耗。
（3）更稳定：3C控制能够不断检测系统状态，并在必要时进行调节，以确保系统在稳定状态下运行，避免系统出现不必要的压力波动和性能损失。
（4）更长寿命：3C控制能够有效降低系统的温度、压力和电流变化，以加强系统的耐用性和稳定性，使系统更长寿。
总之，燃料电池系统中的最优控制策略研究对于实现更高效、更可靠、更节能的燃料电池系统是至关重要的。
而3C控制策略的应用，不仅可以提高系统的工作效率，还可以有效地降低系统的运行和维护成本。
它为今后燃料电池系统的研究提供了一个重要的研究方向，也为推动现代能源和环境保护做出了重要的贡献。
能源系统优化中的最优控制问题
能源系统优化中的最优控制问题第一章：引言在当今世界，能源问题受到人们的广泛关注。
由于全球人口的增长，能源需求增长速度也快速增加。
同时，多种人类活动引起的二氧化碳排放等温室气体的释放也对环境造成了严重的压力。
因此，能源系统优化变得越来越重要，以此减少对不可再生资源的依赖，降低能源消耗和二氧化碳排放等。
最优控制问题是能源系统优化中的一个核心问题。
通过最优控制技术，我们可以在保证能源供应的情况下尽量减少能量和资源的浪费。
基于此，本文将详细介绍最优控制在能源系统优化中的应用。
第二章：最优控制问题的基础知识最优控制是指在给定控制量和状态变量的情况下，寻找使得系统性能指标最优的控制策略。
其核心是建立系统的动态特性和性能指标之间的数学模型，该模型包括控制变量和状态变量以及其动态过程和约束条件等。
最优控制问题可以分为两类，即静态最优控制问题和动态最优控制问题。
静态最优控制问题是指在不考虑时间因素的情况下，找到使系统性能最优的控制策略。
而动态最优控制问题则是指在考虑时间因素的情况下，找到使得系统性能指标在规定时间内达到最优值的控制策略。
另外，最优控制问题还可以分为线性最优控制问题和非线性最优控制问题。
线性最优控制问题是指系统的动态过程和约束条件具有线性性质的情况下，找到使系统性能最优的控制策略。
而非线性最优控制问题则是指系统的动态过程和约束条件具有非线性性质的情况下，找到使系统性能最优的控制策略。
第三章：最优控制在能源系统优化中的应用最优控制技术在能源系统优化中的应用非常广泛。
下面将以电力系统为例，介绍最优控制技术在能源系统优化中的应用。
电力系统是一个复杂的系统，它包括发电厂、输电网和配电网等多个部分。
最优控制技术可以应用于每个部分，以实现整个电力系统的优化。
发电厂是电力系统中的重要组成部分。
最优控制技术可以应用于发电厂，以实现发电量、质量和稳定性的优化。
在发电过程中，煤气流量、蒸汽流量和机组负载等控制变量是需要被优化的。
最优控制
最优控制学院专业班级姓名学号1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。
钱学森1954年所着的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展和形成。
最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。
从数学上看，确定最优控制问题可以表述为：在运动方程和允许控制范围的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数（称为泛函）求取极值（极大值或极小值）。
解决最优控制问题的主要方法有古典变分法（对泛函求极值的一种数学方法）、极大值原理和动态规划。
最优控制已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。
例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中老化指数、抚养指数和劳动力指数等为最优等，都是一些典型的最优控制问题。
最优控制理论是50年代中期在空间技术的推动下开始形成和发展起来的。
苏联学者Л.С.庞特里亚金1958年提出的极大值原理和美国学者R.贝尔曼1956年提出的动态规划，对最优控制理论的形成和发展起了重要的作用。
线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题则是R.E.卡尔曼在60年代初提出和解决的。
最优控制理论-主要方法解决最优控制问题的主要方法解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的运动方程，给出控制变量的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程品质优劣的性能指标。
编队重构的双脉冲燃料最优控制
置 ； ， ， 分 别 为作用 在 ， ｚ方 向的力 。 Ｙ，
制 理论 给 出某 种控 制 律 或 在 某 种 算法 的基 础上 再加 上数 值计 算 ］ ａ ｐ ｅ ＿采 用最 优控 制 理论 。Ｃ ｍ ｂｌ３ ｌ 研 究 了编 队的燃 料 消耗 问题 ；ｉｅｓｎ 采 用 线性 规 Ｔｌ ｒ ｌｏ 划的方 法研 究 了分 布 式 空 间飞 行 器 时 间， 料 最 优 燃 控制 ； 给定变 轨 的起始 状态 和末 端状 态 的前提 下 ， 在 向 导 出 了空间 交 汇 多 脉 冲变 轨 的一 般 算 法 ， 对 并 多脉 冲变 轨 与双 脉 冲 变 轨 进行 了 比较 ； 王 利 用 遗
圆 编 队 膨 胀 或 收 缩 时 ， 燃 料 最 优 脉 冲 作 用 下 伴 随 卫 星 期 望 的 相 对 位 置 矢 量 与 同一 时 刻 不 施 加 冲 量 时 的 相 对 位 置 在 矢量 方 向 相 同 ； 同膨 胀 系数 时施 加 脉 冲 的 时 刻 不 变 ， 优 的 燃料 消耗 与 膨 胀 变 化 量 成 正 比 ； 摆 式 编 队 膨 胀 时 转 不 最 钟 移 轨 迹 在 参 考 轨 道 平 面 内是 轴 对 称 的 。最 后 用 仿 真 验 证 了 算 法 的 有 效 性 。 关 键 词 ：编 队重 构 ；燃 料 最 优 控 制 ；相对 轨 道 ；脉 冲 控 制
轨道机动的时间-能量综合最优控制
基于 Ｐ ｎ ｙｇ ｏ ｔ ａｉ ｒ ｎ最小 （ ） 大 值原 理 ， 针对 目标 轨道 为平
面和空 间椭 圆形 情 况 的最优 控 制 ， 推导 时 间和 能量 综 合最 优控 制 的 Ｈ ｍｌ ｎ正则 方程 组 、 端 条件 、 ａ ｉｏ ｔ 终 横 截 条件 和最优 控 制 的 表 达式 ， 应用 打靶 法 求解 正 则 微 分方 程组 的两 点边 值 问题 ， 到最 优机 动轨道 、 得 最 优控 制 曲线 和最 优 反馈 控 制 曲线 ， 现 轨 道机 动 最 实 优 控制 的精 确数 值模 拟 。
量 、 系数 的非 线性方 程组 ， 变 一般 情 况下难 于求 出解 析结果 ， 常 采 用 数 值 模 拟 方 法 求 近 似解 ］ 通 。文
收 稿 日期 ：０９１． 修 回 日期 ：０ ９１－１ ２０ ．０１ ４； ２０—１ ０ 基 金 项 目 ： 家 自然 科 学 基 金 （０ ３０２ ５９８６ ） 国 １６２ ３ ，０７ １２
可供工程实际参考。 关 键词 ：航 天 动 力 学 ；轨 道 机 动 ；最 优 控 制 中 图分 类号 ：Ｖ １ ． ４２４ １ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文章 编 号 ：１０—３ ８２ １ ）１ １７０ ００１２ （００ Ｏ． ３—６ ０
ＤＯ Ｉ １ ３ ７ ／ ．ｓｎ． ０ ０． ３ ８． ０１ Ｏ１． ２ ： ０． ８ ３ ｉ ｉｓ １ ０ １ ２ ２ ０． ０２
能量综合最优控制的 Ｈ ｍｌｎ正则方程组 、 ａｉ ｔ ｏ 终端条件 、 横截条件和最 优控制 的表 达式 ， 用数值 方法求解正则 微分 应
方 程 组 的 两 点 边 值 问 题 ， 到 了 最 优 控 制 的 数 值 解 ， 括 最 小 时 间 、 小 能 量 、 优 轨 道 、 优 控 制 时 变 曲线 和 最 优 得 包 最 最 最 反 馈 控 制 曲 线 等 ， 现 轨道 机 动 最 优 控 制 的精 确数 值 模 拟 。 从 数 值 结 果 的对 比分 析 中得 出 了 一 些 有 意 义 的 结 论 ， 实
最优控制
最优控制在生产过程，军事行动，经济活动以及人类的其它有目的的活动中，常需要对被控系统或被控过程施加某种控制作用以使个性能指标达到最优，这种控制作用称为最优控制。
上世纪五十年代初期Ｂｕｓｈａｗ研究了伺服系统的时间最优控制问题。
以后，拉塞尔发展了时间最优控制的理论，即所谓的Ｂａｎｇ－Ｂａｎｇ控制理论。
１９５３至１９５７年间美国学者贝尔曼创立了“动态规划”理论，发展了变分学的哈密顿－雅可比理论。
１９５６至１９５８年间苏联学者庞特利雅金等创立了“极大值原理”。
这２种方法成为了目前最有控制理论的两个柱石。
时至今日，最有控制理论的研究无论在深度上和广度上都有了很大的发展，例如发展了对分布参数系统、随即系统、大系统的最有控制理论的研究等等。
例如在生活中的火车快速运行问题。
设有一列火车从甲地出发，要求算出容许的控制使其到达乙地的时间最短。
火车的运动方程)(t u x m =∙∙，ｍ是火车的质量，∙∙x 是火车的加速度，为使旅客舒适，其值有限制。
)(t u 是产生加速度的控制作用（即推力），其值也有限制，设M t u ≤)(。
初始条件x t x 00)(=，0)(0=∙t x ，终端条件x t f f x =)(，0)(=∙t f x ，性能指标t t f t t dt u J f 00)(-==⎰，选择)(t u 使)(u J 为最小。
这就是最优控制方面的列子。
还有月球软着陆问题。
为了使宇宙飞船在月球表面上实现软着陆（即着陆时速度要为零），要寻求着陆过程中的发动机推力的最优控制规律，使得燃料的消耗最少。
设飞船的质量为)(t m ，离月球表面的距离为)(t h ，飞船的垂直速度为)(t v ，发动机的推力为)(t u ，月球的表面的重力加速度为ｇ，设不带燃料的飞船质量为Ｍ，初始燃料的质量为F ，则飞船的运动方程可表示为)()(t v t h =∙，)()()(t m t u g t v +-=∙，)()(t ku t m -=∙式中ｋ为比例系数，表示了推力与燃料消耗率的关系。
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案
最优控制理论与系统胡寿松版课后习题答案(总32页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2-5 求通过(0)1x =，(1)2x =，使下列性能泛函为极值的极值曲线*()x t ：2(1)ft t J x dt =+⎰解：由题可知，始端和终端均固定，被积函数21L x =+，0L x ∂=∂，2L x x ∂=∂， 2d L x dt x ∂⋅=∂ 代入欧拉方程0L d Lx dt x∂∂-⋅=∂∂，可得20x =，即0x =故1x c = 其通解为：12x c t c =+代入边界条件(0)1x =，(1)2x =，求出11c =，21c = 极值曲线为*()1x t t =+2-6 已知状态的初值和终值为(1)4x =，()4f x t =式中f t 自由且f t >1，试求使下列性能泛函达到极小值的极值轨线*()x t ：211[2()()]2ft J x t x t dt =+⎰ 解：由题可知，2122L x x =+，()4f t ψ=，()14x =，()4f x t = 欧拉方程：L 0d Lx dt x∂∂-=∂∂ 横截条件：()00t x =x ，()()f f x t t ψ=，()0fTt L L x x ψ∂⎛⎫+-= ⎪∂⎝⎭易得到2dxdt= 故12x t c =+ 其通解为：()212x t t c t c =++根据横截条件可得：()()()122121114424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ⎧=++=⎪⎪=++=⎨⎪=+=⎪⎩解以上方程组得：12569f t c c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 还有一组解⎪⎩⎪⎨⎧===12121c c t f (舍去，不符合题意f t >1)将f t ，1c ，2c 代入J 可得3140)3(4)212(50250.2*=-=+=⎰⎰•t dt x x J . 极值轨线为()*269x t t t =-+2-7 设性能泛函为120(1)J x dt =+⎰求在边界条件(0)0x =，(1)x 自由情况下，使性能泛函取极值的极值轨线*()x t 。
最优控制问题求解方法综述
最优控制问题求解方法综述作者：王忠晶来源：《中国科技博览》2014年第36期[摘要]最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有古典变分法、极小值原理和动态规划。
最优控制理论已被应用于综合和设计最速控制系统、最省燃料控制系统、最小能耗控制系统、线性调节器等。
同时，这篇综述也阐释了几种常见方法之间的关系。
中图分类号：C935 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2014）36-0043-011、最优控制问题基本介绍最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法，是现代控制理论的核心之一，是从大量实际问题中提炼出来的。
它所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标最优。
最优控制是最优化方法的一个应用。
从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。
从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。
控制理论发展到今天，经历了古典控制理论和现代控制理论两个重要发展阶段，现已进入了以大系统理论和智能控制理论为核心的第三个阶段。
对于确定性系统的最优控制理论，实际是从20世纪50年代才开始真正发展起来的，它以1956年原苏联数学家庞特里亚金（Pontryagin）提出的极大值原理和1957年贝尔曼提出的动态规划法为标志。
时至今日，随着数字技术和电子计算机的快速发展，最优控制的应用已不仅仅局限于高端的航空航天领域，而更加渗入到生产过程、军事行动、经济活动以及人类的其他有目的的活动中，对于国民经济和国防事业起着非常重要的作用。
对于静态优化的方法，解决的主要是如何求解函数的极值问题；变分法则被用来求解泛函的极值问题；极小值原理的方法，适用于类似最短时间控制、最少燃料控制的问题。
10讲 最优控制-极小值-燃料能量最优
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
15
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
16
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
17
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
31
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
时间-燃料最优控制
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
32
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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v h g
月球
k 0
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x 2 1 x 1 x 2 u g x3 3 x 1 u k
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肖玲斐 lf i @ lfxiao@ d
最优控制应用概述
最优控制的应用概述1.引言最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。
最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。
可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。
最优控制是最优化方法的一个应用。
从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。
从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。
最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。
这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼（Kalman）等人又提出了可控制性及可观测性概念，建立了最优估计理论。
这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。
最优控制理论的实现离不开最优化技术。
控制系统最优化问题，包括性能指标的合理选择以及最优化控制系统的设计，而性能指标在很大程度上决定了最优控制性能和最优控制形式。
最优化技术就是研究和解决最优化问题，主要包括两个需要研究和解决的方面：一个是如何将最优化问题表示为数学模型；另一个是如何根据数学模型尽快求出其最优解。
2.最优控制问题所谓最优控制问题，就是指在给定条件下，对给定系统确定一种控制规律，使该系统能在规定的性能指标下具有最优值。
也就是说最优控制就是要寻找容许的控制作用（规律）使动态系统（受控系统）从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标（目标函数）图1 最优控制问题示意图达到最大（小）值。
航天器轨迹规划与控制领域的最优解算
航天器轨迹规划与控制领域的最优解算航天器轨迹规划与控制是航天工程中非常重要的领域，它涉及到如何合理规划航天器的运行轨迹以及如何控制航天器在运行中保持最优状态。
在过去几十年的发展中，研究者们提出了许多解算算法和方法来解决这个问题，不断推动了航天器技术的发展。
本文将介绍航天器轨迹规划与控制领域的最优解算，并探讨一些常见的最优解算方法。
首先，航天器轨迹规划与控制的最优解算目标一般是使得航天器的运行轨迹满足一定的约束条件，并且在满足约束的前提下尽可能优化某个性能指标。
例如，优化航天器轨迹的时间、能耗、燃料消耗等。
为了达到这个目标，研究者们发展了许多最优解算方法，下面将介绍其中几种常见的方法。
第一种方法是动态规划（Dynamic Programming），这是一种经典的最优化方法。
动态规划将问题分解为多个子问题，并使用递推的方式逐步求解，最后得到整体最优解。
在航天器轨迹规划与控制中，动态规划可以用来求解离散时间和状态下的最优控制策略。
通过对航天器的状态变量进行离散化，然后通过动态规划求解每一步的最优决策，可以得到整个轨迹的最优解。
第二种方法是基于优化算法的最优解算方法。
优化算法通过搜索参数空间，在满足约束条件的前提下寻找最优解。
其中一种常用的优化算法是遗传算法（Genetic Algorithm）。
遗传算法模拟生物进化的过程，通过利用基因交叉、变异等操作来搜索参数空间，不断优化目标函数的取值。
遗传算法在求解航天器轨迹规划与控制问题时，可以将航天器的轨迹参数作为染色体，通过迭代搜索找到最优的轨迹解。
第三种方法是强化学习（Reinforcement Learning），这是一种机器学习的方法。
强化学习通过智能体与环境的交互，通过试错的方式不断学习并优化策略，寻找最优解。
在航天器轨迹规划与控制中，可以将航天器视为智能体，将环境的反馈作为奖励信号，通过强化学习算法来寻找最优的轨迹规划和控制策略。
强化学习在航天器轨迹规划与控制中具有很大的潜力，可以在未知的环境中自主学习，并逐步优化轨迹规划和控制策略。
最优控制理论的基本概念和应用
最优控制理论的基本概念和应用最优控制理论是一种研究如何选择最佳控制策略的数学工具。
它可以用于优化飞行器导航、经济学、自动控制等领域。
最优控制理论的基本概念包括状态、控制、目标函数、约束等。
在这篇文章中，我们将讨论最优控制理论的基本概念和应用。
一、状态和控制在最优控制理论中，状态表示一个系统或过程的状态。
例如，飞行器的状态可以包括位置、速度、加速度等。
控制是指我们可以应用于系统来改变其状态的操作。
例如，飞行器的控制可以包括引擎推力、翼展角度等。
二、目标函数和约束目标函数是我们希望最小化或最大化的数量。
例如，对于飞行器导航问题，目标函数可以是飞行时间、燃料消耗、飞行距离等。
约束是指我们必须遵守的条件。
例如，飞行器需要保持在预定的高度范围内，避免撞击其他飞行器等。
三、动态系统动态系统是指随时间变化的系统。
例如，飞行器的位置和速度随着时间的推移而变化。
最优控制理论可以用于优化动态系统的行为，例如优化飞机导航路径以减少飞行时间或能耗。
四、应用案例最优控制理论已被广泛应用于各种领域。
例如，在经济学中，最优控制理论可以用来优化货币政策，以实现通货膨胀和就业之间的平衡。
在工业自动化中，最优控制理论可以用来优化生产过程，以实现更高的效率和质量。
在航空航天领域，最优控制理论可以用来优化飞行器的导航和控制，以实现更高的安全性和效率。
在交通领域，最优控制理论可以用来优化交通信号灯控制，以减少拥堵和排放。
总之，最优控制理论是一种非常有用的数学工具，可以用于优化各种复杂系统的行为。
它的应用范围非常广泛，从经济学到航空航天，再到工业自动化和交通领域等等。
尽管最优控制理论的应用有很大潜力和前景，但仍然需要更多的研究和发展，以实现更高的效率和精度。
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m
min [U (t)]
u j (t ) 1
min
u j (t ) 1
q j (t)u j (t)
j 1
j 1,2,L ,m
m
m
min [U (t)]
u j (t ) 1
j 1
min
u j (t ) 1
q
j
(t)u
j
(t)
j 1
q j (t)
j 1,2,L , m
也就是最优控制uj*(t)是qj(t)的如下函数
则
m
[U (t)] T (t)B[ X (t),t]U (t) q(t)U (t) q j (t)u j (t)
j 1
6
于是，T (t)B[ X *(t),t]U *(t) min T (t)B[ X *(t),t]U (t) j 1,2,L ,m u j (t ) 1
可转化为如下条件
(t
f)
X
T X
tt f
H
t
T t
tt f
0
终端受限
tf自由
4
最小值原理
（3）控制方程为 H[X *(t),(t),U *(t),t] min H[ X *(t), (t),U(t),t] U (t )
1 T (t) f [ X *(t),t] T (t)B[ X *(t),t]U *(t) min {1 T (t) f [ X *(t),t] T (t)B[ X *(t),t]U (t)} j 1,2,L ,m
为讨论方便起见，定义m维行向量
q(t) T (t)B[ X (t),t]
其分量
qj (t) T (t)bj[X (t),t], j 1, 2,L , m
其中bj[X(t)，t]是矩阵B[X(t)，t]的第j个列向量，即
bj[X (t),t] [b1 j[X (t),t],b2 j[X (t),t],L ,bnj[ X (t),t]]T
第四讲 时间、燃料最优
控制问题
1
主要内容
4.1 Bang-Bang控制 4.2 线性时不变系统的时间最优控制问题 4.3 时间最优控制系统的综合 4.4 燃料最优控制问题 4.5 时间-燃料最优控制问题
2
4.1 Bang-Bang控制
问题4.1(时间最优控制问题) 已知系统的状态方程
X&(t) f [ X (t),t] B[ X (t),t]U (t) （4.1.1）
（2）规范方程及边界条件分别为
X&(t) H f [ X (t),t] B[ X (t),t]U (t)
&(t) H f T [ X (t),t] (t) [B[ X (t),t]U (t)]T (t)
X
X (t)
X (t)
X (t0 ) X 0
[ X (t f ),t f ] 0
u
u*j (t)
奇异区间
1
q j (t) u*j ?
0 t0
-1
t1
t2
tf
t
10
说明： 1. 只要有一个函数qj(t)( j=1，2，，m)在某一段(或几段)时 间区间[t1，t2] [t0，tf]上取零值，则称该时间最优问题是奇 异的，在区间[t1，t2]上， qj(t)等于零。此时,由关系式 u j (t) sgn{q j (t)}, j 1,2,L ,m 无法确定最优控制各分量uj*(t)之值。 2. 奇异情况的出现,既不意味着时间最优控制不存在，也不意 味着时间最优控制无法定义，它仅仅表明，由控制方程不能
（4.1.3）
[ X (t f ),t f ] 0
（4.1.4）
的某一终态X(tf)，其中tf是可变的，是对X(t)和t连续可微的r 维向量函数。并使性能指标达到最小值。
J
tf t0
dt
tf
t0
（4.1.5） 3
解：（1）应用最小值原理来求解。写出该问题的哈密顿函数
H[X (t),(t),U (t),t] 1 T (t) f [ X (t),t] T B[ X (t),t]U (t)
7
由上式可知，
正常情况
奇异情况
➢ qj(t)0，则uj*(t) 有定义。
➢ qj(t)＝0， uj(t)可取满足约束条件 u j (t) 1 的任何值，uj*(t) 不定。
定义4.1 若在区间[t0，tf]内，存在一时间可数集
t1 j,t2 j, L ,t j [t0,t f ], 1, 2,L ; j 1, 2,L , m
u
u*j (t) sgn(q j (t))
1
0 t0
-1
q j (t)
图4-1
tf
t
9
定义4.2 若在区间[t0，tf]内，至少存在一个区间[t1，t2] [t0，tf]， 使得对所有的t [t1，t2]有
qj (t) T (t)bj[X (t),t] 0, j 1, 2,L , m
则称该时间最优问题是奇异的,而区间[t1，t2]称为奇异区间。
u j (t ) 1
着重分析下式：
T (t)B[ X *(t),t]U *(t) min T (t)B[ X *(t),t]U (t) u j (t ) 1
令
j 1,2,L ,m (4.1. 6)
[U (t)] T (t)B[ X (t),t]U (t)
5
[U (t)] T (t)B[ X (t),t]U (t)
使得对所有的j=1，2，，m，有
q j (t)
T
(t )b j
0, 当且仅当t 非零, 当t t j
t j
则称该时间最优问题是正常的。
说明：在正常的时间最优问题中， 函数qj(t)只是在有限个孤
立的时刻取零值,相应的最优控制分量uj*(t)仅在这些时刻发生
跳变。 数。
uj*(t)是具有第一类间断点的 分段 常值函 8
u
* j
(t
)
u
* j
(t
)
1 , 1)
0
0
u
* j
(t
)不定
,
若q j (t) 0
由于控制函数U(t)的各个分量 的约束都是彼此独立的,所以 可以交换最小与求和的次序
u
* j
(t
)
sgn{q
j
(t
)}
sgn{
T
(t
)b
j
[
X
(t
),
t
]}
j 1,2,L ,m, t [t0,t f ]
其中f[X(t)，t]是对X(t)和t连续可微的n维向量函数； B[X(t)，t]
是对X(t)和t连续可微的nm维的矩阵函数.要求确定满足下列
不等式
u j (t) 1 , j 1,2,L ,m
（4.1.2）
约束的m维容许控制向量，使系统(4.1.1)从给定的初态
X (t0 ) X 0 到达满足约束条件