浙教版第三章圆的基本性质教案3.2圆的轴对称性(2)

3.2 圆的轴对称性(2)

教学目标

1.使学生掌握垂径定理及其推论，并会用垂径定理及其推论解决有关证明、计算和

作图问题；

2.使学生了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学

问题的能力和计算能力，结合应用问题向学生进行爱国主义教育.

教学重点和难点

垂径定理的两个推论是重点；由定理推出推论1是难点.

教学方法：类比启发

教学辅助：投影片

教学过程：

一、从学生原有的认知结构提出问题

1.画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论.(由学生叙述)

2.教师引导学生写出垂径定理的下述形式：

题设结论

指出：垂径定理是由两个条件推出三个结论，即由①②推出③④⑤.

提问：如果把题设和结论中的5条适当互换，情况又会怎样呢?引出垂径定理推论的课题

二、运用逆向思维方法探讨垂径定理的推论

1.引导学生观察图形，选①③为题设，可得：

由于一个圆的任意两条直径总是互相平分的，但是它们不一定是互相垂直的，所以要使上面的题设能够推出上面的结论，还必须加上“弦AB不是直径”这一条件.

已知：如图3-15，在⊙O中，直径CD与弦AB(不是直径)相交于E，且E是AB的中点.

求证：CD⊥AB，.

分析：要证明CD⊥AB，即证OE⊥AB，而E是AB的中点，即证OE为AB的中垂线.由等腰三角形的性质可证之.利用垂径定理可知AC＝BC，AD＝BD.

证明：连结OA，OB，则OA＝OB，△AOB为等腰三角形.

因为E是AB中点，所以OE⊥AB，即CD⊥AB，

又因为CD是直径，所以

2.(1)引导学生继续观察、思考，若选②③为题设，可得：

(2)若选①④为题设，可得：

3.根据上面具体的分析，在感性认识的基础上，引导学生用文字叙述其中最常用的三

推论1 (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.

4.垂径定理的推论2.

在图3-15的基础上，再加一条与弦AB平行的弦EF，请同学们观察、猜想，会有什么结论出现：(图7-37)

学生答

接着引导学生证明上述猜想成立.(重点分析思考过程，然后学生口述，教师板书.) 证明：因为EF∥AB，所以直径CD也垂直于弦EF，

最后，猜想得以证明，请学生用文字叙述垂径定理的又一推论：推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等.

三、应用举例，变式练习

练习按图3-15，填空：在⊙O中

(1)若MN⊥AB，MN为直径；则，，；

(2)若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，

则，，；

(3)若MN⊥AB，AC＝BC，则，，；

此练习的目的是为了帮助学生掌握垂径定理及推论1的条件和结论.

例3我国隋代建造的赵州石拱桥(图)的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧的中点到弧的距离，也叫弓形高)为7.2米，求桥拱的半径.(精确到0.1米)

首先可借此题向学生介绍“赵州桥”，对学生进行爱国主义教育，(有条件可放录像)同时也可激发学生学习数学的兴趣.

关于赵州桥的说明：

赵州桥又名“安济桥”，位于河北省赵县城南交河上，是我国现存的著名古代大石拱桥、

隋开皇大业年间(590～608)由李春创建.桥单孔，全长50.82米，桥面宽约10米，跨径约

为37米，弧形平缓，拱圈为28条并列的石条组成，上设四个小拱，既减轻重量，节省材料，

又便于排洪，且增美观在世界桥梁史上，其设计与工艺之新为石拱桥的卓越典范，跨度之

大在当时亦属首创，反映了我国古代劳动人民的智慧与才能.

分析：(1)首先说明跨度、拱高等概念，然后引导学生设法把实际问题转化为数学问题

，并画出几何图形(图7-42)，且一边画图一边解释：桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧AB表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB＝37.4米，弧AB的中点C到线段AB的距离为7.2米.这样我们就可以根据实际问题，参照上图写出数学问题的已知和求解.

解题过程，参考课本.

对于此题，学生往往是过弧AB的中点C先作出弓形高CD，即过C作CD⊥AB，垂足为D，如果是这样的话，可引导学生根据垂径定理，首先证明直线CD经过圆心O，仍然可利用勾股定理，求出半径R.

说明：此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧也

可以经过弧的中点作弦的垂线，说明它平分弦且经过圆心.解决这类问题时，只要抓住弦长、弦心距、弓形高及半径之间的关系，已知其中的两个量，可以求出其它两个未知量，这种

思考方法今后要经常用到.

四、师生共同小结

问：这节课我们学习了哪些主要内容?

在学生回答的基础上，用投影出示垂径定理及其推论的基本图形，如图3-15.

指出：若垂径定理或推论中的某一个成立，则

(1) △CAB，△OAB，△DAB都是等腰三角形，弦AB是它们公共的底边，直径CD是它们

的顶角平分线和底边的垂直平分线.

(2) △ACD和△BCD是全等的直角三角形，直径CD是它们公共的斜边，AE，BE分别是斜

边上的高，AO，BO分别是斜边上的中线在这两个三角形中可以运用直角三角形的一系列

性质.

通过应用题的学习，培养把实际问题抽象成数学问题的意识，从而提高转化能力

和计算能力.

六、布置作业

板书设计：

定理1 ：例3

解：

定理2 ：

练习练习

教学反思：

本节课学生对定理都能很好的落实，亮点在于练习设计有针对性，本节例题学生掌握很好。