等可能概型
1-4 等可能概型(古典概型)
n
1
证：从n个不同的元素中取出n1个元素有 n n !( n n )! 种取法；
1 1
n!
(n n1 )! 再从剩下的n-n1个元素中取出n2个元素有 n !(n n n )! 2 1 2
组合分析的两条基本原理
火车2次 火车
成都
汽车3次
重庆
成都
汽车
重庆
火车 飞机 轮船
武汉
共有23=6种方法 共有2+3=5种方法 1.加法原理 若完成一件事有两种方式，第一种方式有n1种方法， 第二种方式有n2种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事，
则完成这件事总共有n1+n2种方法。 2.乘法原理 若完成一件事有两个步骤，第一个步骤有n1种方法，
种分法。
例题7
例7 将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中
种取法；„
从最后剩下的n-(n1+n2+„+nk-1)个元素中取出nk个元素有
[n (n1 n2 nk 1 )]! 种取法。 nk ![n (n1 n2 nk )]!
按乘法原理，n个不同的元素，分成k组，每组分别有n1,n2,„,nk 个元素,应该有
[n (n1 n2 nk 1 )]! n! (n n1 )! n! n1!(n n1 )! n2!(n n1 n2 )! nk !0! n1!n2! nk !
P ( A) kA 16 4 , n 36 9
kB 4 1 . n 36 9 5 8 P( A B) P( A) P( B) , P(C ) P( B) 1 P( B) 9 9 P( B)
等可能概型概述
P( Ai Aj Ak ) (n 3)!/ n! 1/ 3!Cn3, i
/ n!PP((1AA/13i..A!.CAj An3,)k ) i1/(nnj!k3,)!/共n!Cn3项1/,3.!.C.n3.,. P( A1...An ) 1/ n!
等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足： •S中样本点有限(有限性) •出现每一样本点的概率相等(等可能性)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
P A
A所包含的样本点数 S中的样本点数
1
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5 个为黄球，设摸到每一球的可能性相等。
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红 球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一 红一黄}，求P(B)．
2
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}
P
A
3 8
(2)P(B)
C31C51
/ C82
15 28
53.6%
3
例2：有N件产品，其中D件是次品， 从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k 件次品}（k≤D)，求P(Ak)．
(D N ,n N )
17
P(没有人取到自己礼物) P( A)
1 P( A1 ... An )
1
n i 1
1 n
Cn2
1 n(n 1)
Cn3
n(n
1 1)(n
2)
...
(1)n
1 n!
11 1 1 ... (1)n 1
2! 3!
n!
第1.3节 等可能概型
定义:
概率论所讨论的问题中,有一类问题最简单直观,这类问题
所涉及到的试验具有下面两个特征：
1)(有限性)试验的样本空间的元素只有有限个; 2)(等可能性)试验中每个基本事件发生的可能性相同. 把具有上述两个特征的试验称为等可能概型或古典概型.
例如,抛一枚质地均匀的硬币,或者出现正面或者出现反面,只
方法２ （利用对立事件的概率关系）
P ( A ) 1 P ( A ) 1 P ( A0 ) 1 C 20
甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率
为 0.85 ，乙击中的概率为 0.8 ．两人都击中的概率为
0.68 ．求目标被击中的概率．
解
设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，
有两种结果,且每种结果出现的可能性相同.又如抛一颗骰子, 观察出现的点数,则共有6种结果,且每一种结果出现的可能性 相同.
设古典概率 E 的样本空间为 S e1 , e2 , , en .
由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同 , 即
P e1 P e 2 P e n
得 P(A1)
m A1 n
3 8
.
( 2 ) A 2 { HHH , HHT , HTH , THH , HTT , THT , TTH }.
因此
P(A2)
m A2 n
7 8
.
例 2 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球、 只红球. 从 2 袋中取球两次,每次随机地取一只.考虑有放回和无放 回两种抽样,试分别就这两种情况求:(1) 取到的两只 球都是白球的概率,(2) 取到的两只球颜色相同的概 率,(3) 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
CH1第4节 等可能概型(古典概型)
2o 骰子问题 概率.
掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的
(答案 : p 3 63 )
4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型
(1)杯子容量无限 问题1 把 4 个球放到 3个杯子中去,求第1、2个 杯子中各有两个球的概率, 其中假设每个杯子可 放任意多个球.
说明
随机选取n( 365)个人, 他们的生日各不相同的 概 率为
365 364 ( 365 n 1) p . n 365
而n个人中至少有两个人生 日相同的概率为
365 364 ( 365 n 1) p 1 . n 365
我们利用软件包进行数值计算.
(2) 有放回地摸球 问题2 设袋中有4只红球和6只黑球,现从袋中有放 回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到红球 的概率. 解 设 A { 前 2 次摸到黑球, 第 3 次摸到红球} 第3次摸到红球 4种 第1次摸到黑球 6种 第2次摸到黑球
第3次摸球 第2次摸球 第1次摸球
10种
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10 课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,第一位 不能为0，求数字0出现3次的概率.
( 3 12! ) ( 2! 5! 5! ) 种 , 因此所求概率为
6 3 12! 15! . p2 2! 5! 5! 5! 5! 5! 91
例5 某接待站在某一周曾接待过 12次来访,已知 所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的,问是 否可以推断接待时间是有规定的. 解 假设接待站的接待时间没有 规定,且各来访者在一周的任一天 中去接待站是等可能的. 7 1 周一 7 2 周二 7 3 周三 7 4 周四
等可能(古典)概型
Ch1-42
本问题中的人可被视为“球”，365天为 365只“盒子”
A 为 n 个人的生日均不相同,这相当于 每个盒子至多有一个球. 由例4（6） n n C 365 n ! C 365 n ! P( A) 1 P( A ) 1 . P( A ) n n 365 365 若 n = 64， P( A) 0.997.
k N
mA5 N C k!
k k N
N C N k! P( A5 ) 1 P ( A ) k 4 N
C N k! P( A4 ) k N k k
( N 1) P( A3 ) Nk k
mA6 C k!
k N
P( A6 ) P( A4 )
例4 “分房模型”的应用 生物系二年级有 n 个人，求至少有两 人生日相同（设为事件A ) 的概率.
例5 在0,1,2,3, ,9中不重复地任取四个数， 求它们能排成首位非零的四位偶数的概率.
Ch1-43
解
设 A为“能排成首位非零的四位偶数”
n A 5040.
4 10
1 四位偶数的末位为偶数, 故有C5 种可能
而前三位数有 A 1 2 位数有 C4 A8 种取法,所以有利于A发生的取 1 3 1 2 法共有 nA C5 A9 C4 A8 2296 种.
3 9 种取法,由于首位为零的四
2296 41 P( A) 5040 90
Ch1-44
例6 在1,2,3, ,9中重复地任取 n ( 2 )个数, 求 n 个数字的乘积能被10整除的概率.
解
n 9
n
设 A 表示事件 “n 次取到的数字的乘积 能被10整除”
等可能概型和几何概型
在人工智能领域，等可能概型和 几何概型用于机器学习和深度学 习的模型训练，如分类器设计、 神经网络训练等。Βιβλιοθήκη 5等可能概型和几何概型的扩展
条件概率
条件概率的定义
在某一事件A发生的条件下，另一事件B发生的概率，记作 P(B|A)。
条件概率的计算公式
P(B|A) = P(AB) / P(A)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时 发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
性质
等可能概型的概率具有均匀性，即每个基本事件的概率相等。
在等可能概型中，概率计算公式为P(A) = m/n，其中m为事件A包含的基本事件数，n为基本事件的总数。
等可能概型举例
投掷一枚质地均匀的骰子，出现1、2、3、4、5、6点的概率均为 1/6，属于等可能概型。
从一副无重复的扑克牌中随机抽取一张牌，每张牌被抽中的概率均 为1/52，也属于等可能概型。
互斥事件概率的加法法则
在等可能概型中，如果两个事件是互斥的，则它们的概率可以直接相加。即如 果$A$和$B$是互斥事件，则$P(A+B)=P(A)+P(B)$。
几何概型举例
投掷骰子
投掷一个六面体的骰子，观察出 现的点数，这是一个典型的等可 能概型问题。
抽签
在一组有限且数量相等的签中随 机抽取一根，也是一个等可能概 型问题。
等可能概型和几何概型
目
CONTENCT
录
• 等可能概型的定义和性质 • 几何概型的定义和性质 • 等可能概型与几何概型的比较 • 等可能概型和几何概型的应用 • 等可能概型和几何概型的扩展
01
等可能概型的定义和性质
定义
等可能概型是指试验中所有可能结果 出现的概率相等。
等可能概型(古典概型)
概率的加法原理
概率的加法原理是指对于任意两个事 件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)。
当事件A和B互斥时，即A∩B=∅，概 率的加法原理可以简化为 P(A∪B)=P(A)+P(B)。
概率的乘法原理
01
概率的乘法原理是指对于任意两个事件A和B，有 P(A∩B)=P(A)×P(B|A)。
条件
样本空间中的样本点数量是有限的，且每个样本点都 是互斥的。
特点
01
02
03
04
等可能性
在古典概型中，每个样 本点被选中的概率是相 等的。
有限性
古典概型的样本空间是 有限的，即样本点的数 量是有限的。
互斥性
样本空间中的样本点是 互斥的，即一个样本点 被选中后，其他样本点 就不能再被选中。
独立性
在古典概型中，各次试 验的结果是相互独立的， 即前一次试验的结果不A|B)。
02
计算公式
$P(A|B) = frac{P(A cap B)}{P(B)}$
03
应用场景
在决策理论、统计学、信息理论等领域中，条件概率都有广泛的应用。
贝叶斯定理
定义
贝叶斯定理是关于条件概率的定理，它提供了从事件B发生的条 件下计算事件A的条件概率的方法。
计算公式
$P(A|B) = frac{P(B|A) times P(A)}{P(B)}$
3
计算步骤
确定样本空间的大小，利用组合数公式计算概率。
公式法
定义
公式法是一种利用概率 的基本公式来计算概率 的方法。
适用范围
适用于样本空间较大， 且样本点之间有顺序的 情况。
1.3 等可能概型
表示“两只都是红球”
若直接考虑： b.无放回 (考虑先后顺序) (乘法原理) S：6×5=30 (1)
(2) (3)
注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。
10
例4. 某教研室共有11 名教师, 其中男教师7 人, 现 在要选 3 名优秀教师, 问其中至少有一女教师概率 解 (方法一) 设 A = “ 3 名优秀教师中至少有一名女教师”
(2) 设 B = “n个人中至少有两个人生日相同”
当 n 等于64时，在64人的班级中，B发生的概率
接近于1，即 B几乎 总是会出现。
16
二、几何概率
样本空间的基本事件数为无限的几何概率。 其周期 例8 某十字路口自动交通信号的红、绿灯， 求随机到达 为60秒， 其中由南至北方向红灯为 15 秒， （由南至北）该路口的一辆汽车恰遇红灯的概率。 直观可得 例9 一片面积为S 的树林中有一块面积为 S0 的空地。 一架飞机随机地往树林内空投一只包裹。 求这包裹落
等可能概型也称为古典概型。
2
2.计算公式：
①
1 P ei i 1, 2, , n n ② 若事件A包含k个基本事件，即
其中(
表示
中的k个不同的数)
k 则有 P A n
3
例1 投两枚骰子，事件A——“点数之和为3”，求 解法一：出现点数之和的可能数值
11 12 21
第三节 等可能概型
一、等可能概型的定义 二、计算公式 三、计算方法
一、等可能概型
例：E1—抛均匀硬币,观察哪面朝上 S1 ={ H,T }
E2—投一均匀骰子,观察点数 S2 ={1,2,3,4,5,6} 1.定义：具备以下两个条件的随机试验称为等可能概型，
等可能概型
第一章 概率论的基本概念
333 2000
等可能概型
250 83 P ( A) , 同理得 : P ( B) , P ( AB) . 2000 2000 其中 B ={8, 16, … 2000 }, AB = {24, 48 … 199 2 }，
AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”
所以，
b Pk 1 b a b 1 P A ． ab Pk ab
注意：结果与 i 无关．
此结果适用于：抓阄，买彩票等问题
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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
例 6 在 1~2000 的整数中随机的取一个数，问取 到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概 率是多少？ 解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为 “ 取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为：
n N n
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第一章 概率论的基本概念
等可能概型
该数学模型可用于许多实际问题：
n(n 365)个人在365天的生日,可看成是n个球 放入365个盒子中。随机取n ( 365) 人他们的生日 各不相同的概率为
365 364 ( 365 n 1) P ( A) , n 365
率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。
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第一章
概率论的基本概念
等可能概型
基本事件的概率:
设 S ={e1, e2, …en }, 由古典概型的等可能性，得
P({e1 }) P({e2 }) P({en })
又由于基本事件两两互不相容，所以
1 P ( S ) P ({e1 }) P ({e2 }) ( P{en }),
概率论等可能概型
决策理论
01
02
03
பைடு நூலகம்
决策理论是研究如何根 据不同的可能性选择最 优方案的学科，等可能 概型在决策理论中也有
着重要的应用。
在决策理论中，等可能 概型常用于描述风险决 策和不确定性环境下的
决策问题。
通过等可能概型，可以 计算期望值和期望效用 ，从而进行风险评估和 决策分析，帮助决策者
做出最优选择。
06
03
等可能概型的基本概率公式
概率的加法定理
互斥事件的概率加法定理
如果事件A和B是互斥的，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)。
完备事件的概率加法定理
如果事件A和B是完备的，那么P(A∪B)=1，且P(A)+P(B)=1。
条件概率
条件概率的定义
在事件B发生的条件下，事件A发生的 概率定义为P(A∣B)=P(A∩B)P(B)。
04
等可能概型在概率论中具有广泛的应用，如排列组合、概率分布、随 机变量等。
等可能概型的未来发展
随着大数据和人工智能的兴起，等可能概型在 数据分析和机器学习等领域的应用将得到更深
入的研究和应用。
未来，等可能概型的研究将更加注重理论证明和实际 应用的结合，以更好地服务于各个领域的发展。
随着科学技术的不断发展和概率论的深入研究 ，等可能概型的应用范围将不断扩大。
概率论等可能概型
• 引言 • 等可能概型的定义与性质 • 等可能概型的基本概率公式 • 等可能概型中的随机变量 • 等可能概型的应用 • 结论
01
引言
主题简介
概率论等可能概型是概率论的一个重 要分支，主要研究在等可能性的前提 下随机事件发生的概率。
它涉及到随机试验、样本空间、事件 、概率空间等多个概念，是概率论的 基础。
第三节 等可能概型
第三节等可能概型一、古典概型二、几何概型1．试验的样本空间只含有有限个元素，即12{,,,}n Ωωωω= 2．试验中每个基本事件发生的可能性相同，即})({})({})({21n P P P ωωω=== 具有以上两个特点的随机试验称为等可能概型。
由于它是概率论发展初期的主要研究对象，所以也称之为古典概型．一、古典概型111()({}){}{}n ni i i i i P P P nP Ωωωω======∑∪1{}(1,2,,)i P i n n ω== 12{}{}{}ki i i A ωωω=∪∪ ∪1()({})j ki j k A P A P n ω====Ω∑包含的基本事件数中基本事件总数这里i 1,i 2, ···,i k 是1, 2,···,n 中某k 个不同的数，则有设实验E是古典概型，由于基本事件是两两互斥，因此从而若事件A 含有k 个基本事件，即这样就把求概率问题转化为计数问题.排列组合是计算古典概率的重要工具.基本计数原理这里我们先简要复习一下计算古典概率所用到的（1）加法原理设完成一件事有m 种方式，第一种方式有n 1种方法，第二种方式有n 2种方法,…；第m 种方式有n m 种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有n 1 +n 2 +…+n m 种方法.1.两个基本计数原理例如，某人要从甲地到乙地去,甲地乙地可以乘火车,也可以乘轮船.火车有两班轮船有三班乘坐不同班次的火车和轮船，共有几种方法?3+ 2种方法回答是基本计数原理则完成这件事共有种不同的方法.m n n n ××× 21（2）乘法原理设完成一件事有m 个步骤，第一个步骤有n 1种方法，第二个步骤有n 2种方法,…；第m 个步骤有n m 种方法,必须通过每一步骤,才算完成这件事，例如，若一个男人有三顶帽子和两件背心，问他可以有多少种打扮？可以有种打扮3×2加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础.排列•排列：!(1)(1)()!rnn P n n n r n r =−−+=− r n n n n⋅= •重复排列：特别地，当r = n ，全排列!n n P n =从n 个不同的数中任取r 个，排成一排，共有多少种排法？2.两个计数工具——排列和组合组合•组合：!!!()!r rnn P n C r r n r ==−1rn r C +−•重复组合：从n 个不同的数中任取r 个，共有多少种取法？推广：（分组问题） 把n个不同的元素分成k 组，各组元素数目分别为 r1, r2 , ···, rk , 且r1+ r2 +··· +rk=n，则不同的分法为：C ⋅Cr1 nr2 n − r1n! ⋅⋅⋅ C = r1 !r2 !⋅⋅⋅ rk !rk rk例3 将一枚硬币抛二次（ 1 ）设事件A1为“恰好有一次出现正面” , 求P( A1 ) （2）设事件A2为“至少有一次出现正面” , 求P( A2 )设随机试验E为 : 将一枚硬币抛两次, 观察正反 解（1） 则样本空间为Ω = { HH , HT , TH , TT } Ω 中包含n = 4个元素，每个基本事件发生的可能性相同,故此试验为等可能概型. 又A1 = {HT , TH }中包含的基本事件数k = 2 故P( A1 ) = 2 / 4 = 1/ 2（2） 因为 A2 = { TT } 1 H3 T T T H H P ( A2 ) = 1 − P ( A2 ) = 1 − = 于是 4 4HT例3：30名学生中有3名运动员,将这30名学生平均分成 3组,求：（1）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。
第三节 等可能概型
知识点总结
1、概率的定义 2、古典概型的求法 （1）依次摸球问题：有放回、无放回 （乘法公式） （2）一次摸出多个球的问题（组合问题） （3）投球问题（只能是依次投，乘法问题）
作业p14
2 ，4
一架飞机随机地往树林内空投一只包裹。 求这包裹落
在空地上的概率。
S0 P S
几何概率
问题：谁有办法计算 右边图形的面积，假 设方框的面积为1
我们规定A的概率定义为
u ( A) P( A) u(S )
u S 为样本空间的度量。
u A
为构成A 的子区域的度量。
此为几何概率， 其满足概率的三个公理及性质。
性要求外，还受 n 为有限的限制。 空间的基本事件数为无限的几何概率。 例9 某十字路口自动交通信号的红、绿灯， 其周期 下面介绍一种样本
为60秒， 其中由南车恰遇红灯的概率。 直观可得 例10
15 P 0.25 60
一片面积为S 的树林中有一块面积为 S0 的空地。
C C
于是所求的概率为：
C C p C 此式即为超几何分布的概率公式。
k D
nk N D
种，
k D nk N D n N
例6.
把甲、乙、丙三位学生依次随机地分配到5间
宿舍中去。假定每间宿舍可住 4人，求下列事件的概率：
1、 2、
A:
这三位学生住不同宿舍。
B: 这三位学生中至少有两位住同一宿舍.
PB PA 1 P A 0.52
例题：投球问题 将n只球随机地放入N（N≥n)个盒子中，试求每个盒子中 至多有一只球的概率（盒子的容量不限） 将n只 球放入N个盒子中,每一种方法是一基本事件
A P N
第1.4节 古典概率模型
第1.4节 古典概率模型一、 古典概型（等可能概型）(Classical probability)1.定义：“概型”是指某种概率模型。
“古典概型”是一种最简单、最直观的概率模型。
如果做某个随机试验E 时，只有有限个事件n A A A ,,,21 可能发生，且事件n A A A ,,,21 满足下面三条：（1）n A A A ,,,21 发生的可能性相等（等可能性）；（2）在任意一次试验中n A A A ,,,21 至少有一个发生（完备性）；（3）在任意一次试验中n A A A ,,,21 至多有一个发生（互不相容性）。
具有上述特性的概型称为古典概型(Classical probability)或等可能概型。
n A A A ,,,21 称为基本事件(Basic events)。
2．计算公式：等可能概型中事件概率的计算：设在古典概型中，试验E 共有n 个基本事件，事件A 包含了m 个基本事件，则事件A 的概率为n m A P )(3．例题：Example 1 一袋中有8个大小形状相同的球，其中5个黑色球，三个白色球。
现从袋中随机地取出两个球，求取出的两球都是黑色球的概率。
Solution 从8个球中取出两个，不同的取法有28C 种。
若以A 表示事件{取出的两球是黑球}，那么使事件A 发生的取法为25C 种，从而=)(A P 25C /28C =5/14Example 2 在箱中装有100个产品，其中有3个次品，为检查产品质量，从这箱产品中任意抽5个，求抽得5个产品中恰有一个次品的概率。
Solution 从100个产品中任意抽取5个产品，共有5100C 种抽取方法，事件A ={有1个次品，4个正品}的取法共有49713C C 种取法，故得事件A 的概率为=)(A P 138.0510049713≈C C CExample 3 将N 个球随机地放入n 个盒子中)(N n >，求：（１）每个盒子最多有一个球的概率；（２）某指定的盒子中恰有m （N m <）个球的概率。
高中数学六种概率模型
高中数学六种概率模型高中数学中，概率是一个重要的概念。
它用来描述事件发生的可能性大小。
在概率论中，有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。
下面将逐个介绍这六种概率模型。
一、等可能概型：等可能概型是指每个基本事件发生的可能性相等。
比如抛硬币，硬币正面和反面出现的概率都是1/2。
再比如掷骰子，每个点数出现的概率都是1/6。
在等可能概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
二、几何概型：几何概型是指在几何空间中进行概率计算。
比如说，我们可以通过几何概型来计算平面内的点落在某个区域的概率。
在几何概型中，我们可以通过计算区域的面积或体积与几何空间的大小来求解概率。
三、排列概型：排列概型是指在排列问题中的概率计算。
比如说，从n个元素中取出r个元素进行排列，那么排列的个数就是n个元素的全排列数，即n!。
在排列概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
四、组合概型：组合概型是指在组合问题中的概率计算。
比如说，从n个元素中取出r个元素进行组合，那么组合的个数就是n个元素的组合数，即C(n,r)。
在组合概型中，我们可以通过计算事件的个数与样本空间的大小来求解概率。
五、条件概型：条件概型是指在已知某些条件下的概率计算。
比如说，已知某个事件A发生的条件下，另一个事件B发生的概率。
在条件概型中，我们可以通过计算事件A与事件B同时发生的概率与事件A发生的概率之比来求解概率。
六、分布概型：分布概型是指在统计分布中的概率计算。
比如说，正态分布、泊松分布、二项分布等等。
在分布概型中，我们可以通过计算随机变量的取值与概率密度函数或概率质量函数之间的关系来求解概率。
高中数学中的概率有六种常见的概率模型，它们分别是等可能概型、几何概型、排列概型、组合概型、条件概型和分布概型。
每种概率模型都有其独特的应用场景和计算方法。
熟练掌握这些概率模型，有助于我们更好地理解和应用概率论的知识，解决实际生活和工作中的问题。
等可能概型(古典概型)
解 (1) 设 H 为出现正面 , T 为出现反面 .
则 S = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}.
而 A 1 = { HTT , THT , TTH }. 得 P ( A 1 ) = 3 8 .
(2) A 2 = { HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT,TTH}.
p = 1−
365 × 364 ×
× ( 365 − n + 1) . n 365
我们利用软件包进行数值计算.
人 数 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 0 1 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 至 少 有 两 人 生 日 相 同 的 概 率 0 . 1 1 6 9 4 8 1 7 7 7 1 1 0 7 7 6 5 1 8 7 0 . 4 1 1 4 3 8 3 8 3 5 8 0 5 7 9 9 8 7 6 2 0 . 7 0 6 3 1 6 2 4 2 7 1 9 2 6 8 6 5 9 9 6 0 . 8 9 1 2 3 1 8 0 9 8 1 7 9 4 8 9 8 9 6 5 0 . 9 7 0 3 7 3 5 7 9 5 7 7 9 8 8 3 9 9 9 2 0 . 9 9 4 1 2 2 6 6 0 8 6 5 3 4 7 9 4 2 4 7 0 . 9 9 9 1 5 9 5 7 5 9 6 5 1 5 7 0 9 1 3 5 0 . 9 9 9 9 1 4 3 3 1 9 4 9 3 1 3 4 9 4 6 9 0 . 9 9 9 9 9 3 8 4 8 3 5 6 1 2 3 6 0 3 5 5 0 . 9 9 9 9 9 9 6 9 2 7 5 1 0 7 2 1 4 8 4 2 0 . 9 9 9 9 9 9 9 8 9 4 7 1 2 9 4 3 0 6 2 1 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 5 6 0 8 5 2 1 8 9 5 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 6 2 4 0 3 2 3 1 7 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 6 2 1 0 3 9 5 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 5 4 9 0 . 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0
§1.4 等可能概型
设 E: 球编号, 任取一球, 记下颜色, 放在一边，重复 m 次
n Amab (a b)(a b 1)(a b m 1)
记事件 A 为m个球中有k个白球，则
nA
Cmk Aak
Amk b
m! a! b!
k!(m k)! (a k)! (b m k)!
样本空间S共有6 6个基本事件。
若事件A发生，由于第一次有4只白球可供抽取， 第二次也有4只白球可供抽取，故有
P(A) 4 4 4 66 9
同理P(B) 2 2 1 66 9
由于AB ，故
P(A B) P(A) P(B) 5 9
P(C) P(B) 1 P(B) 8 9
(空,白,红),(空,红,白),(白,空,红),(白,红,空), (红,空,白),(红,白,空),(红白,空,空), (空, 空,红白),(空,红白,空).
因为两只球的放置是随机的,所以每一种放法 是等可能的,即每一个基本事件出现的可能性 相等,故每一个基本事件出现的机会都是1/9, 而事件A出现的可能结果为下面四种情况: (白,红, 空), (红,白, 空), (红白, 空, 空), (空,红白, 空). 即事件A包含九个基本事件中的四个基本事 件,故事件A出现的可能性为4/9,即P(A)=4/9.
A140
90
因为，从十个数字中不重复任取四个数的
取法总数为A140 . 而0在个位的四位数共有A93种取法， 而个位为2, 4, 6,8且首位不为0的数有4 8 A82种.
例12 从0，1，2，…，9等十个数字中任意 选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： （1）A1={三个数字中不含0和5}；（2） A2={三个数字中不含0或5}。
等可能概型古典概型
3
3
3
3
共3 3 3 3 34种
第1、2个杯子中各有两个球的放法
4种 2
2种 2
2个
2个
共
4 2
22种
因此第1、2个杯子中各有两个球的概率为
p 2422
摸球方式
不同结果总数
从n个 可分 辨的 球中 任取m 个球
无放 回
有放 回
计序 不计序
计序 不计序
Anm (排列数)
Cnm (组合数)
nm (排列数)
C
m nm1
组合
数)
复习排列组合的有关公式
许多古典概型问题可以转化为摸 球模型．
２.典型例题
例２ 设袋中有10只球，编号分别为1,2,…,10. 从中任取３只球,求
..
A {只产品中恰有1只是次品},
与(1)类似有：
p(
A0
)
.
p( A) .
于是所求的概率为
p( A) 1 P( A) 1 P( A A1)
k n
A
所包含基本事件的个数 基本事件总数
.
称此为概率的古典定义 . 也可记为P( A) N ( A) N(S)
例 将一枚硬币抛掷三次. (1) 设事件 A1 为 “恰有一次出现正面”, 求 P( A1). (2) 设事件 A2
为“至少有一次出现正面”, 求 P( A2 ).
解 (1) 设 H 为出现正面 , T 为出现反面.
在 100件产品中抽取15件,其中恰有2 件次品的取法
共有 种, 于是所求的概率为
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等可能概型
1. 定义若试验E 具有如下两个特点
{}
12,,,n ωωωΩ= （1）样本空间只含有限个样本点，（2）每个基本事件发生的可能性相同，
{}{}{}
12n P P P ωωω=== 则称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
关于等可能性：如果没有理由认为哪个结果出现的概率比其他的大. 需要结合具体问题分析。
1）加法原理：分类计数2. 概率计算
()A n A P A n ==Ω所包含的样本点数中的样本点数2）一般事件的概率
1）基本事件的概率
{}{}{}121=n P P P n ωωω=== 3. 计数原理
2）乘法原理：分步计数n = n 1 + n 2 + … + n k n = n 1 ×n 2 ×… ×n k
A 1A 2A K
…A:A 1A 2A K …A
例1 抛一枚骰子两次，求两次点数均为偶数的概率。
解：样本空间Ω{(,)|,,1,6},6636
i j i j N i j n =∈≤≤=⨯=A=“两次点数均为偶数”={ (2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6), }19,()4
A A n n P A n ===方法二：抛一次，出现奇数记为1，出现偶数记为0
{(,)|,{0,1}},224,
{(0,0)}i j i j n A Ω=∈=⨯==1()4P A =
例2 产品抽样问题
一批产品共有N 件，其中次品M 件.从中任取n 次，（每次一件不放回），求事件A”恰好取到k 件次品”的概率.().k n k
M N M
n N C C P A C --=所求的概率为解：从N 件产品中取出n 件，每种取法是一个基本事件.
,n n k k
N A N M M
n C n C C --==
从5双不同的鞋中任取4只，求其中至少有一双的概率.练习
思考？1）在0,1,2,3四个数字中，无重复任取3个作排列，求恰好能排成一个三位偶数的概率.
0243224,322210A n n n n =⨯⨯==+=⨯+⨯=解：A: “排成一个三位偶数”
()5/12
P A =所求的概率为13/21
p =
休息，休息一下！。