对一道课本习题的研究
对一道数学课本例题的拓展探究
原题 的两类 结 论外 ， 还 可 以写 角相 等 、 全等 、 相 似 等结 论 ， 给 了学 生很 大 的思维 空间 ， 培 养 了学生 的思 维发 散 能力 和综合
分析 能力 。
拓展 ２ ： 如图， 在原 题条件 不变 的前 提下 ，（ １ ） 若Ｌ Ａ Ｐ Ｏ ＝
３ ０ ￣ ，点 Ｑ为 ０ｏ上 不 与点 Ａ、 Ｂ重 合 的点 ，求 Ｌ， ４ Ｑ Ｂ的度 数 。 （ ２ ） 若 ０Ｏ的半 径 为 ５， 在（ １ ） 的条 件 下 ， Ｐ求 、 船 及 劣 弧 所 围 成 的 图
Ｐ
点 作 Ｐ Ｏ的垂 线 Ｂ Ａ， 垂足 为 点 Ｄ， 交 ００于点 ， 延长 Ａ ０
与 ００交 于 点 ｃ， 连接 Ｂ Ｃ， Ａ （ １ ） 求证 ： 直线 为 ００的切
原题（ 苏教 版 九 年级 数 学 上 册 ）
ｐ
如图 １ ， Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ是 ００ 的两 条 切 线 ，
对一道数学课本例题的拓展探究
江苏省泰 兴市老叶初级 中学 叶乔平 初 中数 学课 本 中的例题 具有 示 范性 、典 型性 和探 究性 ， 是课 本 的精髓 。浏览 近几 年全 国各 地 的 中考 数学 试卷 ， 很 多 试题 来源 于课本 ， “ 题在 书外 ， 根在 书 内” 。因此 ， 在 中考 复 习 中若 能 充 分发 挥课 本 中例题 的 潜在 功 能 ，适 当加 以拓 展延 伸， 可 以达 到发展 智力 、 培养 能力 的 目的。 现 以苏教 版九 年级 上册 课 本上 的一道 例题 为 例 ， 谈 谈本 人 的一些 做 法 ， 以期达
ＡＰ ＡＢ的 内心 的结论 。
课本 例题 、 习题较 多 ， 我 们也要 抓住 重点 ， 从 各个 方 面精 心挖 掘其 潜力 。 只有这样 ， 我们 才能 真正从 题海 战术 中脱身 出来 ， 减轻 学生 负担 ， 提高复 习效 率 。
一道教材习题引发的深度学习
教材点击２０２３年１２月下半月㊀㊀㊀一道教材习题引发的深度学习◉湖北省武汉市杨园学校㊀熊㊀利１深度学习深度学习是课程改革以来对课程理解和课堂实践的深化,它既是一种理念也是一种实践指导策略．深度学习是指在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题,全身心积极参与,体验成功,获得发展的有意义的学习过程．数学学习过程是学生围绕学习内容展开的活动过程,初中数学深度学习的特点是学生能够全身心投入具有挑战性的富有思维含量的学习活动．笔者在一节习题课中设计了三个具有挑战性的学习活动:一是发现习题的多个不同的证明方法;二是通过不同证明方法的对比,发现并确认题中多余的条件;三是将多余条件结论化,进而探求习题的结构．三个学习活动衔接自然,过程流畅,思维含量一个比一个高,逐步将课堂学习活动推向高潮．整节课学生自主㊁自发地参与到课堂学习活动中来,不断体验到发现和证明出结论带来的快乐,这也正是深度学习理念指导下的课堂实践的最好展现．２教学纪实２．１展示习题,指明目标教师:很多时候我们只顾埋头做题,一题做完紧接下一题,很少停下脚步去深入研究一道题,今天老师带领大家对课本上一道习题进行深入探究,希望大家从中能有所收获．(展示习题)本节课我们只研究这一道题,请大家开动脑筋积极思考．图１题目㊀(人民教育出版社八年级数学上册第２５页习题第１０题)如图１,六边形A B C D E F 的内角都相等,øD A B ＝６０ʎ,A B 与D E有怎样的位置关系?B C 与E F 有这种位置关系吗?这些结论是怎样得出的?教师:做完的同学写一下过程,然后再看看整道题,你有没有什么发现?没做出来的同学,尽可能地算出图中所有的角,并给出证明．过程回顾:首先指明这节课的目标是对一道题进行深入研究．让学生用不同的方法解答,激发学生的探究欲,同时,希望学生通过各种不同方法的对比,发现 øD A B ＝６０ʎ是多余条件,让接下来的学习过程衔接更自然．２．２一题多解,拓宽思路教师:老师已经看到了不同的证明方法,大家开动脑筋,用尽可能多的方法来证明你的结论．教师:会做这道题的同学请举手．好,有超过一半的同学举手了．请一位同学说一下你的证明过程．学生１:A B ʊD E ,且B C ʊE F ．证明:由øD A B ＝６０ʎ,得øF A D ＝øD A B ＝６０ʎ．由øE ＋øF ＋øF A D ＋øE D A ＝３６０ʎ,且øE ＝øF ＝１２０ʎ,可知øE D A ＝６０ʎ,所以øE D A ＝øD A B ,故A B ʊD E ．又øF ＋øF A D ＝øB ＋øD A B ＝１８０ʎ,所以E F ʊA D ,B C ʊA D ,于是B C ʊE F ．教师:对于D E ʊA B ,同学们还有其他证明方法吗?学生２:如图２,过点F 作F H ʊE D ．由ø１＋øE ＝１８０ʎ,得ø１＝６０ʎ,则ø２＝１２０ʎ－ø１＝６０ʎ,所以ø２＋øF A B ＝１８０ʎ,所以F H ʊA B ．故D E ʊA B ．图２㊀㊀图３学生３:如图３,延长E F ,和B A 的延长线交于点H ．由ø１＝１８０ʎ－øE F A ＝６０ʎ,ø２＝１８０ʎ－øF A B ＝６０ʎ,又øH ＋ø１＋ø２＝１８０ʎ,得øH ＝６０ʎ,所以øE ＋øH ＝１８０ʎ,故D E ʊA B ．图４学生４:如图４,连接A E ．由ø１＋ø２＋øF ＋ø３＋ø４＝３６０ʎ,ø１＋øF ＋ø３＝１８０ʎ,可知ø２＋ø４＝１８０ʎ,所以D E ʊA B ．教师:对于D E ʊA B ,同学们给出了四种不同的证明方法,大家再观察一下,看你有没有什么发现?学生５:除了第一种方法,其余三种都作了辅助线．学生６:后三种方法都没有用到 øD A B ＝６０ʎ这个条件．８２０２３年１２月下半月㊀教材点击㊀㊀㊀㊀教师:这两个同学的证明方法都很好!请问条件 øD A B ＝６０ʎ能否去掉?过程回顾:让学生尽情展示,在一个个证明方法中逐渐打开思路,过程自然流畅,学生都沉浸在思维的海洋里．２．３导向深入,抓住关键学生７:从做题过程来看,条件 øD A B ＝６０ʎ可以去掉．D A 这条线段也可以去掉．教师:那为什么题目要多给条件呢?(学生７沉默不语,课堂陷入沉默．)教师:此题是 １１．３多边形及其内角和 的一道习题,主要考查灵活运用多边形内角和公式解决问题的能力．题目多给条件,一是为了让大家往计算角这个方向思考,二是给大家留出探索发现的空间,这也是此题放在 拓广探索 栏目中的原因．教师:经过大家的思考探索,可以把题目简化为 凸六边形A B C D E F 的内角都相等,求证:D E ʊA B ．学生８:老师,我又发现了新的证明方法．不用 øD A B ＝６０ʎ 这个条件,连D A 就可以证明．教师:好的,你先不说过程,让大家思考一下,这样可不可以证明?图５学生８:如图５,因为ø２＋ø３＋øE ＋øF ＝３６０ʎ,所以ø２＋ø３＝１２０ʎ．又ø１＋ø２＝１２０ʎ,所以ø１＝ø３．故D E ʊA B ．教师:非常好,过程清楚,思路明确．要证明平行,但没有截线,连D A 后就有了截线,产生内错角,证内错角相等．大家回顾一下,以上几种证明方法有没有共同点?解答这题的关键是什么?学生９:课本原题除学生１的证法外,其余证明方法都作了辅助线,作辅助线后才产生了截线,所以这道题的关键是要有截线．教师:学生９总结得很好．大家能否归纳一下作截线的方法学生１０:作截线有三种方式,即连接㊁延长和作平行线．过程回顾:通过教师的引导㊁学生的积极参与,证明思路越来越清晰,最后点出了证明平行的关键是找截线,并归纳了作截线的三种方法．２．４抛出问题,探索结构教师:既然条件 øD A B ＝６０ʎ是多余的,老师有一个想法,能否把它放到结论中,也就是由每个内角都相等能否得到øD A B ＝６０ʎ．题目改编如下:如图６,六边形A B C D E F 的内角都相等,øD A B是否等于６０ʎ给出你的判断并说明理由．教师:要解决上面这个问题,我们先解决另外一个问题,题中的六边形是否是正六边形?图６(课堂陷入沉默,一分钟后有学生举手．)学生１１:不一定是正六边形,可以将B C 边向上平移,如图７,如果原图是正六边形,则平移后的图形就不是．教师:学生１１举出的反例很图７好地解释了原图不一定是正六边形,通过平移边,在不改变角度大小的情况下,改变了边长．下面回到øD A B 是否等于６０ʎ这个问题上来,大家还同意øD A B ＝６０ʎ吗?学生１２:不一定是６０ʎ,将B A向上平移,øD A B 的度数会变小．教师:你是如何判断øD A B 变小的?学生１２沉默,学生１３举手．图８学生１３:如图８,由A B ʊG H ,得øD A B ＝ø２．又ø２＞ø１,所以øD A B ＞ø１．故向上平移øD A B 会变小．教师:非常好!通过两位同学的分析,我们可以看到øD A B 的度数不是一个确定的值,那 六个内角都相等 这个条件能确定什么?不能确定什么?学生１４:可以确定D E ʊA B ,不能确定øD A B ．学生１５:还可以确定E F ʊB C ,还有C D ʊA F ．教师:也就是可以确定六边形正对着的三组边平行,但不能确定六边形的边长,如果大家能够看到这一层,那这个图形在你眼里就是可以变化的,很多问题就可迎刃而解．过程回顾:通过将多余的条件结论化,来探索试题的结构,将此题的研究进一步推向深入．抛出问题 六个角相等的六边形是否为正六边形 ,为问题的解决指明了方向．３教学感悟课本的一道普通习题,如果不去深入研究,可能十分钟就讲完了,但沉下心来研究一番,结果发现它是一座思维的宝库．笔者并不想直接将这里的宝藏呈现给学生,而是一步步引领学生看到发现宝藏的过程,在这个过程中,让学生逐步体会到解完题后,我们还能怎样去思考,教会学生思考问题的方法,一同经历一堂思维的盛宴．教师能设计出具有挑战性㊁富有思维含量的学习活动是学生在课堂上开展深度学习的必要条件．这就需要教师多研究试题,而研究试题中最有意义的事情是研究教材习题．只有教师的深度学习和研究才有可能促成学生深度学习的产生．Z９。
研究一道课本例题 解决两道高考试题
将上式两边同时除￣ ｘ ，） ２（ － ｏ 得 Ｃ
如 ４ 平 直 坐 系ｏ中已 椭 等等 图 ， 面 角 标 ｙ ，知 圆 ＋ 在
即（ 一 一 。 （ － ｏ ２ ａｙ一 ￣ｏ ｙ ｙ ＋ ｎ ｎ ‰） Ｙ ）＋ （ ２０ Ｙ ｘ ） ｏ （
－
。
…
＋ ＋０ ｂ ＝ ， ） 。 ０
不平行 ， 直线 ，Ｂ的斜 率之积 ． 为定值一 － 则 Ｐ — ｂ． ２
口
，
， ＝
为直角． 即若 Ｐ与过 圆心 的弦 Ａ Ｂ
力
利用伸缩 变换
将圆 申的性 质移植
圆
的两端 点 Ａ 曰连 线 Ｐ ， Ｂ与坐 ， ＡＰ
标轴不平 行 ， 直线 Ｐ Ｐ 则 Ａ，Ｂ的斜 率之积 ｋ ・ｖ为定值 一 ． ｋｓ １
＋ ａｙ ２ ２ｏ ・ －ｏ，
即直线 与直线 Ｐ ８的斜率之积为定值一 ．
・ ．
．
ｎ ， 叫０口 ） ｙ）＋ （ ０ ， ｏ （ ） ｙ 一 ｏ ） （— ０ ２ ⅡＹ一 ） 一 ｏ （ ，
一
） （ ＋ ０ ） ）＝ ＋ ｎ ， ＋０ｂ （一０ ０ ｙ
Ｊ， ，
‘
一
一
即在 伸缩 变换
， √２ ２
Ｏ
（＞ ＞ ） 口 ６ ０ 上任 意一 点 Ｐ与
／
Ｂ
过 中心 的 弦 Ａ 的 两 端 点 Ｂ
圆ｃ： ＋ １口６ ） 等＝（ ＞ ， ＞ ０
ａ
．，
ＡＢ 线Ｐ， 与坐 轴 ，连 ＡＰ Ｂ 标
图３
一
大家 知道 ， 圆 ＋ ＝ 口 上任 意一 点 Ｐ对直 径 Ａ Ｂ所 张成 的角
图１
中， 是发现椭 圆新性 质的一个重要途径．
圆与梯形相珠联——对一道课本习题的探究
图 ２
９ ． ０。
贝 Ｄ Ｅ＝ Ｏ Ｅ， Ⅱ Ｃ＝ｙ ｍ， ｃ
故 △Ｄ 曰 ＡＯ Ｅ， Ｄ Ｃ
・
由， 题得 意
ｘ ＋） ｌ ， ０，
嚣
所以 Ｏ Ｅ Ｄ Ｏ 即４ Ｙ ４ 以下同解法 ２ Ｅ： Ｃ＝ Ｅ： Ｅ， ： ＝ ： ， ． 解法 ４ 在 如 图 ３的基础 上 ， Ｃ 设 Ｄ与 （ Ｏ切 于 点 ９ Ｅ 连接 Ｏ 则 上Ｃ ． Ｅ， Ｄ
因Ａ Ｂ上Ａ Ａ Ｄ，Ｂ上Ｂ Ａ Ｃ，Ｂ为 直
Ｂ Ｃ
径，
故Ａ Ｄ Ｂ Ｄ＝ Ｅ，Ｃ＝Ｃ ． Ｅ
设 Ａ ｘｎ， Ｃ ｃ Ｄ＝ ｃｌ ｙ ｍ， Ｂ
故 Ａ Ｂ 为 ｏ０ 的 切 线．又 Ｄ， Ｃ
Ｃ 是 圆的 切 线 ， Ｄ
图３
在 Ｒ ＡＯ Ｆ中， ＋ ｔ Ｅ Ｄ
于 是 得 ＬＡ Ｏ＝ Ｏ Ｃ ＬＢ Ｏ＝ Ｏ Ｄ Ｄ Ｄ ， Ｃ Ｃ．
＝
２． ＝８ Ｙ ．
３ ０
点评
十。鼗 ・ （ １＃ｇ７ 初中 ） ７ ２ ０－ 期・ 版 ０
以上 四法均运用 了梯形的 有关 知识 、 切线 的
于 ， 则 四边 形 Ａ Ｆ ， Ｂ Ｄ为 矩 形． 因 Ａ ，Ｎ，Ｄ 是 ００的 切 线 ， Ｍ Ｂ Ｃ
・ 解题研究 ・
判定与性质定理 、 切线长定理及方程的思想方法． 解法 １
Ｂ
・
Ｃ
若 ｏ０半径为 ４ 腰长 Ｃ ， Ｄ为 １ ， ０ 求梯形的周长． 在原图不 变的条件下 ， 原题 的所 求变换成 将
・
解题研究 ・
中。截・ （１年 ７ 初 版 ７ ？ ２０ 第 期・ 中 ） ０
２ ９
圆 与 梯 形 相 珠 联
变出课本习题的精彩——对一道课本习题的多角度探究
Ｄ
￣
Ｉ
Ｂ Ｄ ， ＭＤ ： Ｂ Ｄ ． 坼以Ｆ Ｍ： Ｂ Ｄ 听 以
２ ６
３
Ｆ ：Ｆ Ｍ ：Ｊ ） ｌ ＝２ ：１ ：３ ．
（ ２ ） 由Ｂ Ｆ： Ｆ Ｍ ： ＭＤ ＝ ２：１： ３ 可 得
Ｓ △ Ａ ，： Ｊ Ｓ △ ＾ 删 ： Ｓ △ ＾ 肼 Ｄ ＝ ２ ：１ ： ３， 故 可 设
图５
Ｃ
Ｓ △ Ａ 日 Ｆ ＝ ２ ｋ ， Ｓ Ａ Ａ Ｆ Ｍ ＝ ｋ ， Ｓ Ａ Ａ Ｉ Ｍ ｏ ＝ ３ ｋ （ ＞ Ｏ ） ， 则
图３
（ ４ ） 如 果Ｃ Ｅ： Ｂ Ｃ ＝ ｍ， 求 Ｆ： Ｆ Ｎ： Ｎ Ｅ 的值（ 用含ｍ的代数式表示 ） ．
解析 （ １ ） ６ 对． （ ２ ） 由题 意 可得 Ａ Ｆ ￣ ＿ ＝ Ｆ Ｎ ｘ Ｆ Ｅ． 教
ＤＨ ＥＮ
导 学生总 结 出处理 三 角形 面积 关系的
两个 基 本 策 略 ． 即 看 两 个 三 角形 是 否 相
：
，
ＡＤ ＤＨ ＢＥ ＥＮ １
一
故
＋
： １ 。 即
。
似或 两个三 角形是否是 同底 、同高、 等 底、 等高．
探 究３ 如 图 ３ ，在Ｅ Ｙ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ． Ｅ 是
上 却是值得 细细 品味 的一 道有研 究价 值 和开发价值的好题．
…
＋ 一 — ＝—— ． ～ 一 一十— 帆 ７ 从 而 可十 得 一
：
．
１
＋ 十
Ｄ Ｈ
１
Ｅ Ｎ
１
Ｆ Ｍ
Ｓ △ ＾ Ｂ ９
Ｂ Ｃ 上一点 ． Ａ Ｅ 与Ｂ Ｄ相交 于点Ｆ ． 延长』 ４ Ｅ 交Ｄ Ｃ 的延长线于点
踏花归来马蹄香——对一道课本习题的联想探究
＼ 、 ．
／
Ｌ引＝ ／ 一 ／ ￣ ２－ｘｘ ４ 、， ｉ ＂ （＋ ）－ ｌ一 Ｖ ｘ ｘ：４ ：
、 ／ ） （ 器 一
１０ｋ＋１ ６ （２ 、
２ ｋ ＋１
—
１ｂ Ｉ
’ ・
…
＿２
’
综 上 可知， 椭圆 ＋ ＝ 中 使 合以 分析 在 鲁 杀 １要
道．
，
ｌ
ｋ＝
０ １则 ）
，
鼍 宝
＞ ０ ， 故
在 Ｅ，） （∞ 单 ０上 ＋
调递增 ， ｋ （＊， 上单 调递减 ， 在 一 ０ ） 因此 ｓ ｋ∈（， ｎ ０ ＋ 上单调递增 ， ｋ∈（ ０上单调递减． ） 在 一 ） ， 从 几何意义来看 ，在 Ⅱ型 中，由于要 构成三角形 Ａ ， 所以既无最 大值 ， 无最小值 ， 也 但从变化 趋势来 看， 要使 三角形 Ａ 面积最大 ， 只有当其 斜率不存在
作进一步联想探究 ．
一
（ ） Ｂ周长为 ＩＩＦ１Ｂ ￣ ＩＦ１ ａ ２ ； １ △Ａ ＋ ２ ＩＦＩＢ ｚ ４ ＝ ０ Ａ ＋ ＋ ＝ （ ） Ｂ ２ △Ａ 周长没有变化 ，因为 △Ａ 周长仍 然
为 Ｌ ＩＬ ｌｌ ＋ ｚ ４＝ ０ ４ ＋４ ＋Ｂ Ｆｌ ａ ２ ． Ｉ ＝
、
课 本题 目
已 经 椭 暑 １ 右 点 垂 于 知 过 圆 砉 的 焦 作 直
轴的直线 Ａ 交椭 圆于 Ａ、 Ｂ， Ｂ两点 ， 是椭 圆的左焦
点．
，
‘＼ ～
＼Ａ
—．一 ． —
｜
—
（ ） △Ａ １求 Ｂ周长 ； （） ２ 如果 Ａ Ｂ不垂直于 轴 ， 曰 △Ａ 周长有变化吗？
◆ —－
对一道课本习题的研究
＝ ，
长为 ２ ， 正方 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的边 长 为 １ ， 于是
Ｐ Ｑ＝Ｂ Ｐ ＋Ｑ Ｄ ＝Ｑ Ｇ， 从 而 △Ｃ Ｐ Ｑ
△Ｃ Ｇ Ｑ， 因此
亦即
从而
ＬＰ Ｃ Ｑ＝／ ＿ Ｇ Ｃ Ｑ＝ ２／ ＿ Ｐ Ｃ Ｇ＝ ４ ５ 。 ．
Ｐ Ｑ＝ ２一（ 口＋ ｂ ） ，
使边 Ｃ Ｂ与 Ｃ Ｄ重合， 则 点 Ｐ 与点 Ｇ重 合， 点 Ｑ与 点 Ｈ 重合 ， 于是 Ｃ Ｐ ＝Ｃ Ｇ，
Ｂ Ｐ＝Ｄ Ｇ． ＬＰ Ｃ Ｇ＝９ ０ 。 ． 又 ＡＡ Ｐ Ｑ 的周
所以
即
图 １
￣ ／ 口 ＋ ｂ ＝ ２ 一 （ ０ ＋ ６ ） ，
角线 Ｂ Ｄ交 Ｃ Ｐ 于点 Ｅ， 交 Ｃ Ｑ 于 点 Ｆ， 则 Ｊ ｓ ｃ Ｐ ０＝
２Ｓ△Ｇ Ｆ ．
理得 ห้องสมุดไป่ตู้
（ 口＋ ｂ ） ＝（ １ 一口 ） ＋（ １ 一ｂ ） ，
第 ４期
Ｙ － ４ ￣ ￣ 龙： 对 一 道 课 本 习题 的研 究
・１ ７・
正 方形 边长 的 ２倍 ． ３ 试题 的 拓展研 究
结论 ５ 在正 方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， 若 点 Ｐ， Ｑ分别 在 边Ａ Ｂ， Ａ Ｄ上 ， ＡＡ Ｐ Ｑ的周长 是 正方形 边 长 的 ２倍 ， 则 Ｓ △ ＋Ｓ △ ｃ Ｄ ０＝ Ｓ △ ｃ Ｐ ｏ ． 如果 联 结 正 方 形 的 对 角 线 Ｂ Ｄ， Ｂ Ｄ 截 ＡＣ Ｐ Ｑ 的 ２边分 出了一个小 三 角形 ， 那 么这 个小 三 角形 的 面 积与原 ＡＣ Ｐ Ｑ 的面积 有 怎样 的关 系 呢 ？经 过 尝 试研 究得 如 下 的结 论． 结 论 ６ 在 正方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中， 从 顶 点 Ｃ引 ２条
探究问题·拓展思考——对一道课本习题的求解
测 量 方 法 三 ：在 地 面 上 引 一
条 基 线 Ｃ 这 条 基 线 和 塔 底 在 Ｄ， 同一 水 平 面上 ， ｃ 不 过 点 Ｂ， ｒ 且 Ｄ 、 你 能 根 据 图 示 说 出 求 解 ＡＢ的 过 程 吗 ？ 解 答 思 路 ：（ ）底 部 可 达 ：利 用 直 角 三 角 形 的 边 １ 角 关 系 求解 ； （ ）底 部 不 可 达 ： 在 ＡＡＢ 中 ， 用 正 弦 定 理 ２ 先 Ｃ 运 构 造 两 角 （ 个 仰 角 或 两 个 俯 角 ） 一 边 ， 求 出 ＡＣ 两 和 即 （ ＡＤ）再 由 Ｒ Ａ Ａ （ Ｒｔ 或 ， ｔ ＢＣ 或 △ＡＢ 求 出 ＡＢ； 先 Ｄ） 或 在 地平 面 上 的三 角 形 中 ， 用 正 弦 定 理 构 造 三 角 （ 个 运 两
参 考 答 案 １ ６ ．４ ８米 ； ２ ２ １米 ； ３ ３ ．３ ９ ．１ ６米 ． 通 过 教 材 中有 关 高 度 测 量 问题 的 “ 究 ・ 展 ” 探 拓 ，
在 Ｒ ＡＡＤ 中 ， － ＡＤ ・ ｉａ ｔ Ｂ ＡＢ－ ｓｎ ，
・ ． ．
Ａ Ｂ ＝
ｑＩ 【口 一 ｎ １ ） ３
一
测 量 方 法 二 ：在 地 面 上 引 条基 线 Ｃ 这 条 基 线 和 塔 底 Ｄ，
求解 ． 原习题如下 ：
角 口的 大 小 ， 口 则 Ｊ以 求 出 铁 塔 ＡＢ 的 丽 ．
计 算 方 法 如 下 ：如 图 所 示 ， △ Ｂ Ｄ 中 ， 在 Ｃ 由正 弦定
理 得 出
Ｂ 一面 ｃ
・
． ．
丽
Hale Waihona Puke 一 在 Ｒｔ ＡＡＢＣ 中 ， ＡＢ＝ ＢＣ・ｔｎ ， ａ ａ
Ａ Ｂ ＝
对一道课本习题的探究挖掘与链接
ＡＧ＝凹
２ 探 究
探究 １ 若点 Ｅ不 是 Ｂ Ｃ的中点 ， 是移 动 到 中点 而
的 右 侧 如 图 ３ 结 论 是 否 成立 ？ ，
分析
根据原题 的证 明， 此时显 然应作 Ａ Ｇ＝Ｅ ， Ｃ 证
Ｅ
明过程与原题便完全一样． 仔细观察发现 此时点 Ｇ移动
＼ ＼ ／Ｇ ＼ ／
探究 ２ 若点 Ｅ移 动到 Ｂ Ｃ的延长线 上结论是否成
立呢？（ 如图 ５ ）
．
Ｂ Ｂ Ｅ Ｃ Ｂ Ｅ Ｃ
Ｃ Ｅ
Ｂ
Ｃ Ｅ
图５
图６
图 １
图２
分析
证明 根 据 提 示 ： Ａ 的 中点 Ｇ 连 结 Ｅ 取 Ｂ ， Ｇ如 图 ２ ．
由探究 １ 得到 的结论 ： Ｅ向右移动则 点 Ｇ 点
△ ＥＣＦ
＝
ＢＧ ＝ ５ Ｅ ４。
ＡＥ ＝ ＥＦ
厶 ４ ＝ｌ５ ３。
脚 ＝ｌ ５ ３。
Ｆ Ｃ＝ Ｅ
Ｇ 从 而 问题 得 证 ． ，
探究 ３ 若点 Ｅ移动到 Ｃ Ｂ的延长 线上结论 是否成 立呢 ？（ 如图 ７ ， 此时过 点 Ｅ作 Ａ ）则 Ｅ的垂线 只能 与正 方形 的外角平分线 的反向延 长线 相交 ， 如图 ７所示．
是否依然成立？这个 问题仍然 留给读者朋友完 成． 当你
探究完毕小结一下 ： 对于任意的一个正方形和任意一个 等腰直角三角形均可拼成 一个正方形． 挖掘 ３ 由于一个等腰直角三角形 可以拼成一个正
・
解题 研究 ・
中‘ ７ （ｌ 第 期・ 中 ） ７ 般・ ２ｏ ２ 初 版 ｏ年
＝ ＼ ＝ Ｊ
ｌ ３
对 一道课 本 习题 的探 宄挖掘 与链 搐 衄 Ａ
对一道课本例题的探究式教学
Ｐ在圆上运动时 ， 线段 Ｐ Ａ的 中点 Ｍ 的轨迹是什么？
此例看似普通 和 一般 ， 仔 细分 析我 们发 现该 但 例有着极为广泛 的拓 展空 间． 因此 在学 生 理解课 本 解答过程之后 ， 教师可以创设 问题情境 ， 出新 的 问 提
题： 原例中的定点 Ａ（ ２ Ｏ 能不能改 变？ 中点 Ｍ 能 １，）
回 Ｉ＋ｂ 能等于 ｌ—ｂ 的 ２ ， 由是平 行 四边 答 口 Ｉ ｎ Ｉ 倍 理 形的大小没 有确定 ，口 Ｉ 于 Ｉ—６的 多少倍都 ｌ＋６等 ４ ｌ
是可能的． 针对这一情况 ， 笔者组 织学生进行 了如 下 探究．
３推广 引申 ， ） 探究一般 规律． 两个 非零 向量 的 设 夹 角为 口口 Ｏ ， Ｉ＋ｂ ＝ Ｉ 一ｂ 中的 的取 ，∈［ ， 则 口 ｌ 口 Ｉ
如 图 １ 已知点 Ｐ是圆 ｚ ，
厂 Ｐ
／ ８ １
图１
果 ， 到资源共享 、 习共进 的 目的． 达 学 探究 １ 变定 点 Ａ（ ２ Ｏ一 …—＿（ ，） １ ，） Ａ 口６．
（ 甲组 展 示 ）
＋ ＝ １ ６上 的 一 个 动
点 ， Ａ 是 ｚ 轴 上 的 定 点
２ 问题探 究
一
石击起千层浪 ， 顿时学生 的思维活跃起来 ：
变定点 ： １ ，） Ａ（２ Ｏ 一… （ ，） 口６．
变定比：
ｌ 一…＿ 一 ．
不断 的探究过 程 中体 验数 学发 现 和创 造 的历程 ， 感 受成功 的喜悦 和快乐 ， 发展学 生的创新 意识 ， 培养学
在原例 中’ ＋ｙ ＝１ ， Ｚ ６
＝１均不变 ， 则有 ；
点， 坐标 为 （２ Ｏ ． １ ， ） 当点
对一道课本例题的深入挖掘
推论 ４ 对 空间任一 点 ０和不共线 的 ３ 个点 Ａ ， Ｂ ， ｃ ， 点 Ｐ与点 ， Ｂ ， ｃ 共 面的充要条件是 ： 存在
实数 ， Ｙ ， 满 足
— — －
０， 终点为直线 Ａ 上一点 Ｐ的向量Ｄ 户 可 以用向量
，
表 示． 这 时 可 以 引发 学 生 思 考 ： ２个 不 共 线 其实 ， 用 不 共线 的 向量 ， ０ 百 可 以表 示 平 面 内
一
例１ 如图 １ ， 在 ＡＯ Ａ Ｂ中，
求证 ：
ＯＰ ：— ＯＡ ＋Ａ ＯＢ
＿
．
Ｐ为直线 Ａ Ｂ上一点 ， Ａ Ｐ＝ Ａ肋 （ Ａ∈ Ｒ， Ａ≠ 一 １ ） ，
Ｏ Ｐ ： （ １ 一 ￡ ） Ｏ ＿ Ａ＋ ｔ 蔬
不难推 得 ： 当￡ ≠１时 ， 点 Ｐ分有 向线 段 的 比
Ｉ 删 Ｉ 的最小值为— — ．
分析
，
由
＝口Ｏ Ａ ＋
且 ｎ＋ ＝ｌ ， 知 点
过 原点 ０ ） ， 则Ｓ 。 。 ＝ — — ．
Ａ， Ｂ共线 ， 因此求 ｌ ｌ 的最小值转化为求点 Ⅳ
厅
分析
Ｉ ｓ 。 。 ：
要求 Ｊ ｓ 。 。 ， 根 据等 差数 列 的求 和公式
意识 与 实践 能 力．
ｒ
条件 ．
＋ ｆ
， 则便 是 点 ， Ｂ ， Ｊ Ｐ 共 线的 必要
还可 以得 到 以下 的推论 ：
推论 １ 若平面 向量 ， 不共实验 教 科 书 《 数 学 ・必 修 ４ 》 “ ２ ． ２ ． ３ 向量 的数 乘 ” 这一 节 中， 课本定义 了向量的数乘并给出了
对一道课本题的解法探究
解题研究十。
7歆．7(2008年第7期4高中版)19对一道课本题的解法探究222067连云港市开发区中云中学蒋长彦苏教版数学教材选修1一l P船第8题，原题如下：如图，已知海岛A与海岸的路B c的距离A日为50km，日，c间距离为100km．从A到c先乘船，船速为25kI n／h，再乘汽车，车速为50km／h，问登陆点选在何处，所用时间最少?此题在“导数”一章的总复习题中出现，自然用导数解答．教参上是这样解答的：解法1设登陆点(记县为D)距离日处菇km，则距离c处(100一茗)knLAA D=∥醑．再设从A到c所用总时间为f，则图lt=驾≯+等co<川oo，‘2』万一+1矿(o<石<100)对互求导，得庄。
志一击50~／502+鼻)u3茗2+2石(100—H)一(Ⅱ2—200u)=O．由于方程有实数解，它的判别式△≥0，得u≥100+50梅或u≤100—50怕．由此得到t≥2+√3或￡≤2一√3，(由于I>1，舍去t≤2一怕)．因此t的最小值为2+万，代入方程得菇：罂复c解法4数形结合由解法2得，t=2一竺岩吕(o<一<詈)．令l|}=竺等；，求t的最小C o SF—U值转化为求后的最大值．由||}的表达式知：就是求过尸(O．2)与令z’=。
，得石=±等乒(负数舍去)．易验证：当菇=塾扫，f取极小值，也是最小值．点评此解法是常规解法，需用复合函数求导法则求导，不在文科学生所学知识范围，除非另外向学生介绍，或用导数定义求导．解法2记登陆点为D，设￡鼢D=口，(0<口<詈)。
从A到c用的总时间为t．图2CAD=曼，肋=50t卸p，C oS口∞=oo一50t柚a z=等+等=2+毛警．对8求导崩；=等△I，_o'得p=詈C O S F u易验证：当日=詈时，￡取极小值，也是最小值．点评此法虽用导数解，但在所学知识范围内，学生易掌握．当然，还可设二A加=口，但不如设￡鲥D=日直接．解法3判别式法设自变量，列函数表达式同解法1令“=嘉，则u=2石02+并2+100一石，移项，两边平，化简得，l VjP(O，2)，争?／”．琳一．{j D y＼j、．图3单位圆(第一象限内)上的点连线的斜率最大值．由图知：当连线是圆的切线时，斜率最大．由图知：p=詈，肋=学户2+缸解法5化斜为直’1由于汽车运送货物在C D段的速度是船在A D段速度的2倍，相当于把C D段缩短一半用船运．可作￡曰cE=詈，在曰c上任取图4一点D作地上凹于E，则有胞=÷cD．问题就转化为在A D和加段都用船运．要使所用时间最少，速度一定，只要加+舾最短．过A作A D上CE，垂足为E，则垂线段A E=佃+脚最短．此时A鲁要，肋：华’本题可推广如下：1．若运送货物在仰段的速度(记为t'。
对一道课本习题的建构性探究
（ ＋ Ｃ ）， １ ＯＳ
。
．
．
Ｉ ＰＦ， ｌ Ｆ２ ｌ Ｉ
一
＋ 。 ｆ （２ ｄ 一 。 ｆ ＝ 。一 ｂ ）与 椭 圆 ２ １ 联 立 方 程 组 ， 得 解
一 ’
＋ ｙ － ６ ２—
！
！ ！± ！ § 二 ！ ！ ｉ ： ！ ：
２（１ ＋ ｃ ｓ ０ ）
２ ＾ ． ２
推论 ２ 椭 圆 上 焦 点 直 角 三 角 形 的 直 角 顶 点 Ｐ 到 轴 的 距 离 等 于 焦 点 到 准 线 的 距 离
为． 譬
椭 圆 过 焦 点 的 通 径 为 ！ ｚ 由 推 论 ｌ 推 论 ． ） ． ． ｖ ＾ 、
２得
例
在 椭 圆
＋
＝ １上 求 一 点 ． 它 使
．
当 口＞ ｖ 时 ， ／２ｂ
ｏ≤ ≤ 三 一 ａｃ ｏ 二 ｒｃ ｓ
证 明
ｅ
． ．
．
推论 １ 当 口 ＞ ２ｂ 时 ， ｎ ＞ ｆ＞ ｂ 有 ． 探 究 ３ 椭 圆 上 的 点 与 焦 点 有 关 必 与 其
准 线 有 关 ， 上 述 Ｐ 点 的 纵 坐 标 是 士 一 是 一 而 ．
ｅ ｅ
。
ｅ
．
ｄ。 ＝ ｂ ０＋
ｆ， ２
其 中 一 Ｆ。 。 且 当 口≤ ／ ６时 ． ＰＦ ． ．
。≤ ≤ ａ ｃ ｏ ｒｃ ｓ ；
此 时 ｂ — ｆ 焦 点 △ Ｆ， ’ ． Ｐ 是 等 腰 直 角 三 角 形． 探究 ２ 以两 焦 点连 线 段 为直 径 的 圆 ， 其 半 径 为 ｒ 与 椭 圆 相 交 ， 有 圆 半 径 大 于 椭 圆 ， 故 短 半 轴长 ．
对一道教材习题的解法探究
发展 学 生的思维能 力 ， 大 大提 高 学 习 效 率 ， 收 到 事 半 功倍 的
效果．
关 键 词： 教 材 习题
一
构造法
发 散 思 维
什 么 要 从 结论 出 发 呢 ？笔 者 认 为 是 “ 构造 ” 方 法 的 渗透 ． 在 选 修 ４ — ５ 不 等 式选 讲 中 ， 从 绝 对 值 的 三 角 不 等 式 到 基 本 不 等 式 在 到 柯西不等式 和排序不等式 ， 无不体 现“ 构造法 ” 在 解 题 中 的优 越性 ， 同 时 构 造 法 也 是 数 学 中 的一 种 重 要 的 方 法 ． 教 材 是 学 生 学 习 的根 ， 是 思 维 方 法 的源 ， 仔细研究教材 ， 体会编者的意图 ． 在 教 学 中加 以 渗 透 ， 既 能加 深学 生对 知 识 的 理 解 ， 又 能锻 炼 学 生 的思 维 能 力 ． 三、 一题 多解 — — 发 散 学 生 思 维
又 因 为ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ｌ 。 所 以ａ － ＋ ｂ ‘ ＋ ｃ ≥ ．
的 乘 积 之差 ） 记做Ｃ ； 这 种 延 伸 运算 可 以记 做
ｃ －ａ ＝Ｂ
２ ． “ ｘ ｌ ≠ｘ ２ ， Ｙ ｌ ≠ｙ ２ ” 型
ｃ ＝ ｌ Ｔ （ 一） Ｉ ＝ ａ ｄ — ｂ ｃ
１ １ １
．
３
３
’
题 目： 已知 ａ ， ｂ ． ｃ ∈Ｒ ． ， ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ｌ ， 求证 ： ａ ‘ ＋ ｂ ＋ ｃ ≥ ．
。
《 教师用书》 证法 ： ３ （ ａ ２ ＋ ｂ ２ ＋ ０ ２ ） ： ２ （ ａ ２ ＋ ｂ ＋ ｃ ） ＋ （ ａ ２ ＋ ｂ ２ ＋ ｃ ２ ）
ｌ ａ
加强习题研究 提升命题能力——一道习题的教学实践与思考
本期话题·习题研究加强习题研究提升命题能力——一道习题的教学实践与思考□王雪飞戴银杏【摘要】针对一线教师处理习题过于简单化、分析习题更多地注重结果而忽视对学习策略的指导以及命题能力日渐弱化的现状，教师在教学实践中应努力研读教材选“好题”、研磨析题寻策略、自主命题促发展。
通过深入研究每一道习题，不断“磨”出有思维价值的好题，使学生的思维在问题不断推进的过程中得到尽可能多的锻炼，也使教师的命题能力得到不断的提升。
【关键词】选题；析题；命题习题不仅承载着巩固与练习、拓展与应用的基本教学功能，还具有启迪思维、激励创新、发展素养等多重价值，它是学生有效学习的主要载体，是教师教学的根本，也是命题者命题的立足点。
综观现行的人教版小学数学教材，习题的编制体现了基础性、探究性、实践性和开放性，如果能用活这些习题，充分发挥习题的潜在功能，就能让学生在获得知识的同时发展思维能力，体会数学思想和方法。
加强对课本习题的研究，是每一位数学教师不容忽视的责任。
然而，一线教师在选择习题、分析习题以及自主命题方面都存在误区，导致数学教学效率低下，学生学业负担沉重。
误区主要有以下三点：一是处理习题过于简单化。
许多教师总是习惯照本宣科，先让学生独立做一做，然后核对一下答案进行简单讲评，忽视了习题本身所具有的拓展和延伸的功能；二是分析习题更多地关注结果，忽视对学生思维过程的剖析以及学习策略的指导；三是命题能力日渐弱化。
大量的教辅材料、简单的“拿来主义”，导致许多教师不愿研究命题，不会命题者比比皆是。
近几年来，高考数学中的一些试题“源于课本，而又高于课本”，小学数学学业评价的命题直接改编自教材的题目不少于60%，这对数学教师的命题能力提出了新的要求。
同时，对我们的教学也起到了良好的导向作用，那就是立足教材、深入研究教材，对教材中的例题和习题进行再加工、再创造，顺应教材的知识体系，既能有效训练学生的思维能力，提高数学课堂教学的效率，还能让一线教师在不断研究习题的过程中提高自身的命题能力。
对一道课本例题的推广与延伸
百
（ 此题 也 可 由 延 伸 ３得 出 答 案 ）
例 ２ （ ０ ７江 西 ） 图 ２０ 如 ３ 在 △ ＡＢ 中 ， ０ 是 Ｂ 的 ， Ｃ 点 Ｃ 中点 ， 点 。 的 直 线 分 别 交 直 过 线 ＡＢ， 于 不 同 的 两 点 Ｍ ， ＡＣ Ｎ， 若 万 ， 一 ， 则 ｍ＋ 的 值 为 ． 解 析 因 为 Ｏ 是 Ｂ 的 中 Ｃ 点 ， 以 一 所 ＋ 一 图 ３
以Ｏ为圆心的圆弧 上变动． 若 一 蕊 ＋ 菌 ，
其 中 ， ∈Ｒ， ｘ 则 ＋ｙ的 最 大 值 是 解 析 如 图 １ ， Ｏ 与 ＡＢ 相 交 于 点 Ｃ ， 延伸 ０设 Ｃ 由
．
— —
解 析 由延 伸 １ 延 伸 ２知 ｘ ０ ＞ Ｏ 且 ０ ｘ 及 ＜ ， ， ＜ ＋ １ 故 选 Ｃ ＜ ， ． 例 ７ （ ０ ６湖 南理 ） 图 ８Ｏ ／ＡＢ，点 Ｐ 在 由 ２０ 如 ，Ｍ ／ 射线 Ｏ ， 段 Ｏ Ｍ 线 Ｂ及 ＡＢ 的 延 长 线 围 成 的 区域 内 （ 不
（ 上接 第 ６ ２页 ）
到关 于 ｚ 的一 元 二 次 方 程 ， 用 韦 达 定 理 及 题 给 条 件 利
进行 转 化 ， 终 得 出 关 于 离 心 率 或 斜 率 的方 程 ， 而 使 最 从 问题 得 以解 决 ． 一 解 法 体 现 了方 程 （ ） 想 、 归 思 这 组 思 化 想 等 在解 决直 线 与 圆 锥 曲 线 位 置 关 系 问 题 中 的 运 用 ； 但运算复杂 、 大 ， 量 对代 数 运 算 能 力 的要 求 很 高 ． 解 法 二从 几何 角度 人 手 ， 平 面 几 何 图 形 为 载 体 ， 以 利 用 图形 直 观 ， 合 平 面 几 何 知 识 、 结 圆锥 曲线 的第 二 定 义 及 题 给 条 件 转 化 求 解 ． 一 解 法 充 分 体 现 了数 形 结 这 合思想在解析几 何 中的运 用． 一解 法 ， 这 回归 定 义 ， 利 用 图 形 直 观 ， 几 何 推 理 与 代 数 运 算 于 一 体 ， 免 了解 寓 避 法 一 的 复 杂 运 算 ， 问题 的解 决 变 得 简 捷 多 了． 使
对一道课本习题的探索和反思
愚＞ ０时 。 点轨迹 类型为双 曲线 Ｉ 动
ｋ：一 １时 ， 动点 轨迹类 型为 圆 Ｉ 南＜ ０ ｋ≠一 １时 ， ， 动点 轨迹类 型为椭 圆．
存在 两定点 ， 使得点 Ｐ 与它们 的连线 的斜率 之积 为定值 ？ 如果 存在 。 有几对 这样 的点？ 为便于研 究 ， 以椭圆为例． 设动点 ＿ Ｐ是 ＋
点 评 类似 地 ， 若要证 明 １ １十 ＋ １＋ … ＋
√２ √３
年 广东第 ２ １题 ： 已知 曲线 Ｃ ： 一 ２ ｘ＋ Ｙ ｎｚ ｎ 一 Ｏ ｎ一 １ ２ （ ，， ） 从 点 Ｐ（ １ ０ ， － ，）向 曲线 Ｃ 引斜率 为 ｋ （ ＞ 忌 （ ） 数列 ｛ 与 ｛ ｝ １求 ｚ ． ） 的通项 公式 ；
在 ｚ轴上是否存在两定点 Ａ。 使 得直线 Ｐ 朋 Ｂ， Ａ，
之差的绝对值为÷” ．
分 析 设 Ａ（ ） ， 。 由 题 意 有
的斜率之积为定值？ 若存在 。 求出定值 ， 并求出所 有满 足条件 的定点 Ｉ 若不存 在 。 说 明理 由． 请 分析 假设存 在两 定点 Ａ（，）Ｂ（，）使 ｓＯ ， Ｏ ， 得椭 圆上 的点 Ｐ（ ）除长 轴两端 点） Ａ。 ｘ， （ 与 Ｂ连
（ ） 明 ： 。 ｚ ・ ・ ￣ ２ １ ２ 证 ｚ ・ 。 ｌ … Ｘ ＜ ｚ ｒ ｖ ＿ － Ｘ＿ ｎ
切 去 ２时 以造数（一＋ １ ０）的切线 ｚ， 点为 Ｐ （ ， ）． 讥 ， 构函，）１１～ ＜ 可 厶 十
＋ … ＋ 一 ２ ，
（ ＋１ 一 ）
如 果我 们试 着 改 变一 下 题 目的条 件 ， 其所 得
２
为双 曲线 ， 除 ｚ轴 上 的点． 剔 １ 探索
对一道习题发展变化的探讨
△Ｐ ＡＣ Ｆ， ＡＥ Ｅ 所以命题依然成立．
Ｅ
Ｃ
图 ４
问 题 ４： 图 ５ Ｅ 为 正 边 形 Ａ ， ， ， 如 ， Ａ。 … Ａ 的 边
的延长线上任意一点时 ， 命题还成立吗？（ 其他条件不变）
Ｚ ＨＯＮＧＸ Ｊ ＡＯ ＵＥ Ｉ ＸＵＥ Ｃ ＡＮＫ ＡＯ
复 习指 津
对 一 道 习 题 发 展 变 化 的 探 讨
吉林延 吉 市第十 三 中学 （ ３ ０ ０ 罗今石 １３ ０ ）
《 中小学数学 》 中版 ２ ０ 年 第 １ 和第 ２期 陈祖 初 ０８ 期
华 的《 一 道 课 本 经典 习 题 的探 讨 》 文 中 ， 绍 了 对 人 对 一 介 教 版 数 学 八 年 级 下 册 教 科 书 上 的 一 道 几 何 证 明 题 的研 究 途 径 和 解 决 方 法 ． 文 将 在 此 题 的基 础 上 ， 此 题 的 本 对 发 展 变 化 进 一 步探 讨 ．
解 题 后 的 反 思 是 解 题 的 一 个 重 要 步 骤 ， 问 几 个 为 多 什 么 所 取 得 的 效 果 要 比 只解 一 个 问题 有更 多 的 收 获 ．
（ 任编辑 ： 责 金 铃）
Ｂ 的延长线上任意一点时 ， Ａ 命题还 成立吗 ？（ 他条件 其
不变 ）
５ ５
Ｅ ａｌ ｘ ｃ。＠ｌ３ｃｍ —ｍ ｉｚｊ ｋｋ ６・０ ： ｘ
ＡＣ 的 外 角平 分 线 交 于 点 Ｆ， Ｅ＝Ｅ Ｂ Ａ Ｆ还 成 立 吗 ？ 分 析 ： ＡＢ 上 截 取 ＡＰ — Ｅ ， 结 Ｐ 可 证 在 Ｃ 连 Ｅ，
图 １
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对一道课本习题的研究
通过多年的教学，我发现教材中有许多极有价值的题目.对于这类题目，我们不能就题论题，或者仅仅满足于能正确解答题目，而应引导学生认真挖掘题目的内涵，不断地完善学生的知识结构和认知结构，激发学生对教材研究的兴趣，培养学生的探究能力、创新能力.
高中数学新教材第二册（上）p96练习4：△abc的一边的两顶点是b（0，6）、c（0，-6），另两边的斜率的积是-49，求顶点a的轨迹.
这道题的答案是：轨迹方程为x281+y236=1（x≠0），轨迹是一个椭圆（除短轴端点外）.
我把这道题当做作业布置给学生，学生只是满足于把题目解答出来，而且绝大多数学生都能正确解答本题.但是，在学了椭圆和双曲线之后的一节习题课中，我要求学生研究这道题.下面是这一道课本习题的教学实录.
师：今天这节课，老师想请同学们研究一道课本题（p96练习4）. 开始，许多学生都认真研究他们的解答，看看是否做错，很快他们发现他们没有做错，他们说：“老师，我们没有做错，你要我们研究什么？”
师：是的，这道题你们是没有做错，但老师就是要你们研究这道题.
经过热烈的讨论，有学生说：“老师，我想看看它的逆命题是否
正确？”
师：很好，大家不妨以这位同学的想法为例做一些研究.
很快有学生写出了它的逆命题：
已知椭圆方程为x281+y236=1（x≠0），短轴的两个端点为b、c，若点a是椭圆上任意一点（异于b、c），求点a与b、点a与c的连线的斜率的积.
经过计算得到答案正好是-49.
这时一些学生脸上露出成功的喜悦，并感叹：“原来这个命题的逆命题也成立！”
师：很好，同学们经过研究，发现了这个命题及它的逆命题都是正确的，但这仅仅是研究的开始，请同学们继续研究.
于是，学生再次进入思维、探索的高潮，所有学生都在进行积极的探索.有的学生想研究它的否命题、逆否命题，但很快发现研究这四种命题的关系没有什么价值；有的学生研究椭圆的方程
x281+y236=1（x≠0）中的数值与-49的关系；有的学生写出了p96练习4的一般形式：△abc一边的两顶点b（0，m）、c（0，-m），另两边的斜率之积是常数-p，求顶点a的轨迹；还有的学生得出了更一般的命题：与两定点的连线的斜率之积是定值的点的轨迹是椭圆……
教师在教室巡视，不时给学生一些提示和点拨，经过学生的研究和讨论，得到了如下命题：
平面内的一个动点m（x，y）到两定点a1（-a，0），a2（a，0）
的斜率之积等于常数e2-1（-1<e2-1
此时，同学们十分高兴，个个脸上都露出了成功的喜悦.
师：你们真了不起，通过研究你们发现了这样漂亮的命题，真是太棒了.但是，谁能使这个命题更加完美呢？
学生再一次进入思维、探索的高潮.有的学生想到了教材p108习题1：△abc一边的两个端点是b（0，6）、c（0，-6），另两边的斜率的积是49，求顶点a的轨迹.[答案：双曲线x281+y236=1（x≠0）]；有些学生则直接对命题中的常数的取值范围进行研究，他们觉得这个常数的改变会引起曲线的形状的改变……（下课铃响了.）
师：同学们，这节课你们通过对一道课本题的研究，发现了一个重要的命题：平面内的一个动点m（x，y）到两定点a1（-a，0），a2（a，0）的斜率之积等于常数e2-1（-1<e2-1
1.这里面蕴含了什么哲学原理？
2.请大家给出一个统一的圆锥曲线的定义.
综上可知，一道优秀的习题、一种较好的解法及得出的优美结论，可激发学生的兴趣，发展学生的智力，提高学生的能力.作为教师，我们应该培养学生探索研究的能力，让学生逐步形成良好的思维习惯.
</e2-1
</e2-1
（责任编辑黄春香）。