(答案)2014-2015年专升本(高等数学)

西华大学2014年专升本（高等数学）答案

二、填空题（把答案填在括号中。本大题共5个小题，每小题3分，总计15分）

1、设(0),f a '=则0()(0)

lim x f x f x

∆→-∆-=∆（ a - ）

2、设()f x 的一个原函数是sin x ，则()xf x dx '=⎰（ cos sin x x x C -+ ）

3、微分方程2563x

y y y xe '''-+=的特解可设为

（ *

2()x

y x ax b e =+ ）

4、幂级数0

()!n n x n ∞

=-∑的和函数为（ x

e - ）

5、设23,58A -⎡⎤

=⎢⎥

-⎣⎦则1A -=（ 8352⎡⎤⎢⎥⎣⎦

） 二、判断题（把答案填在题中括号中，正确的打√，错误的打⨯，本大题共5个小题，每小题2分，总计10分）

1、点(0,0)是曲线sin y x =的拐点.

( √ ) 2、直线

13215

x y z

+-==-与平面2580x y z -+-=相互垂直. ( √ )

3、如果函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内偏导数

,z z

x y

∂∂∂∂都存在，则函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微. ( ⨯ )

4、

1

n

n u

∞

=∑是常数项级数，若lim 0,n n u →∞

=则

1

n

n u

∞

=∑收

敛. ( ⨯ )

5、设,A B 是同型矩阵，则22

()().A B A B A B +-=- ( ⨯ )

三、求解下列各题（本大题共4小题，每小题6分，

总计240分）

1、求极限sin 0

lim .x

x x +

→

解：0

lim sin ln sin sin ln 0

0lim lim x x x

x x x x x x e e +

→++

→→==

1

1

2

000ln lim ln lim lim

x x x x

x x x

x x e e e ---+

++→→→-===0 1.e ==

2、求不定积分sin cos .x x xdx ⎰

解：1

sin cos sin 22

x x xdx x xdx =

⎰⎰ 11

cos 2[cos 2cos 2]44xd x x x xdx =-=--⎰⎰

11

[cos 2sin 2]42

x x x C =--+

3

、求定积分

ln 0

.⎰

解：令t =2

ln(1)x t =+，

故

ln 1

2

021t

t

dt t =+⎰

⎰ 2

211

2

2001122

11t

t dt dt t t +-==++⎰

⎰

12(arctan )2(1).04

t t π

=-=-

4、设2

2

(,),z xyf x y x y =+-其中f 是可微函数，求

,z z

x y

∂∂∂∂. 解：

2212(,)(2),z

yf x y x y xy xf f x

∂''=+-++∂ 2212(,)(2).z

xf x y x y xy f yf y

∂''=+-+-∂ 四、解答题（本大题共6小题，每小题6分，总计36分）

1、设2

1sin ,0(),,0x x f x x

ax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在0x =处可导，求,a b 的值.

解：因为()f x 在0x =处可导，故()f x 在0x =处连续。即0

lim ()(0).x f x f b →==

又2

1

lim ()lim ()lim sin 0.x x x f x f x x x

++

→→→=== 因此0.b = 又(0)(0)f f -+''=，

0()(0)(0)lim x f x f f x -

-→-'=00

lim ,x ax b a x

-

→+-== 0()(0)

(0)lim

x f x f f x

++→-'=2001sin 0

1lim lim sin 0,x x x x x x x ++

→→-=== 故0.a = 2求微分方程20x

y y e

-'+-=的通解.

解：通解为22[]dx dx x

y e e e dx C --⎰⎰=+⎰

222[]()x x x x x e e e dx C e e C ---=+=+⎰

3、判断下列正项级数的敛散性.

(1)1

3(1)3n

n

n ∞

=+-∑ 解：因为3(1)4033n n n +-<≤，又1

4

3n

n ∞

=∑收敛（等比级数），由比较审敛法得

1

3(1)

3n

n

n ∞=+-∑收敛。 (2)

1

1

ln(1)n n ∞

=+∑ 解：因为1

ln(1)lim 11n n n

→∞+=，又11n n

∞

=∑发散，由比较

审敛法的极限形式得

1

1

ln(1)n n ∞

=+∑发散。

4、计算二重积

分

D

⎰⎰，其中

{2222(,)|4}.D x y x y ππ=≤+≤

解

：

sin D

D

rrdrd θ

=⎰⎰⎰⎰220

sin d r rdr ππ

π

θ=⎰⎰22sin r rdr π

π

π=⎰

22cos rd r

π

π

π=-⎰222[cos cos ]

r r

rdr π

π

π

ππ

=--⎰222[2()sin ]6.r

π

πππππ

=----=-

5、求()()y

y L I x e

dx y xe dy =

+++⎰，其中L 是圆

周2

2

2x y x +=从点(2,0)A 到原点(0,0)O 的一段弧.

解：(,),(,)y

y

P x y x e Q x y y xe =+=+，

,,y y P Q e e y x ∂∂==∂∂故P Q

y x

∂∂=∂∂， 曲线积分与路径无关。选择新路径AO ，故

()()y y L

AO

I x e dx y xe dy

==+++⎰

⎰02

(1) 4.x dx =+=-⎰

6、当,a b 取何值时，方程组123231

23234,22,,

2236

ax x x x bx ax x x ++=⎧⎪

+=⎨⎪++=⎩有唯一解、无解、有无穷多解？

解：增广矩阵

234(|)0222236a A B b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2340220232a b ⎛⎫ ⎪

→ ⎪ ⎪---⎝⎭