最新八年级数学下册角平分线课件
合集下载
八年级数学角平分线和线段垂直平分线PPT优秀课件
MD
G
F N
B
C
E
例1.已知:△ABC中，D为BC的中 点,DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E, EF⊥AB于F, EG⊥AC交AC的延长线于 G.求证:BF=CG.
A
FD B
C
G
E
1.已知:△ABC中，AD是它的角平分线, D为BC的中点,DE⊥AB于E, DF⊥AC于 F,.求证:BE=CF.
求证:BE=EF=CF. A
O
B
CEFຫໍສະໝຸດ 4.如图,有一内地城市A和两个沿海城市B 和C,现决定在三个城市间建一个机场,使 得机场到A和B两城市的距离相等,而且使 C市到机场的距离最近,试确定机场的位置.
A．
B．
．C
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
A
E
F
BD C
2.如图,已知∠AOB=300,P是∠AOB的平分线 上的一点,过点P作PC∥OB交OA于C,作 OD⊥OB于D,已知OC=4厘米,求PD的长.
A
C O
P DB
3.已知:在等边△ABC中， ∠B 、∠C的平 分线交于O点, OB的垂直平分线交BC于E, OC的垂直平分线交BC于F.
BDC
(二)线段垂直平分线的性质定理: 线段的垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等.
定理:到一条线段的两个端点的距离相 等的点,在这条线段的垂直平分线上.
求证:三角形三边的垂直平分线交于一点.
已知:△ABC中，DE、FG、MN分别是三
边的垂直平分线. A 求证:DE、FG、MN交于一点.
27.2角的平分线与线段的垂直平分线
(一)角平分线的性质定理: 角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等.
八年级数学下册1.4.2角平分线课件新版北师大版
度数，可以求此角的度数。
3
应用三 解决实际问题
可以运用角平分线及其性质来解决直角 三角形、等腰三角形等问题。
角平分线的练习
练习一 画出角的平分线
练习用尺规等工具作出各种角的 平分线。
练习二 用角平分线定理 求角度
练习应用角平分线定理来求出角 的度数。
练习三 解决实际问题
练习将角平分线应用于解决不同 的实际问题。
总结
1 角平分线的重要性
角平分线是许多的几何问题的基础课件的学习，你是否已经对角平分线有了更好的理解？
3 知识点回顾
通过课件中的练习，你是否已经掌握了角平分线的基本定义、性质、作用、应用及求解 方法？
可用尺规作图法作出一条角的平 分线。
角平分线的作用
寻找角平分线
可以用尺规作图法求角平分线。
确定长度
若一个角的一条平分线已知其长度，则可以求出与此平分线相应两边的长度。
证明定理
可以用角平分线定理来证明一些定理。
角平分线的应用
1
应用一 求角平分线
通过尺规作图等方法求角平分线。
应用二 求角度大小
2
已知一个角的一条平分线与相应两边的
角平分线课件：北师大版 八年级数学下册1.4.2
本课件将深入讲解角平分线的定义、性质、作用、应用和练习，助你更好地 掌握这一知识点。
角平分线的定义
什么是角平分线
角平分线是指可以将一个角平分 成两个相等的角的线段。
角平分线的性质
作图
1.角平分线可以互相平分。
2.如果一个角的两条平分线相交， 则它们所截的弧上的点都在相同 的直线上。
北师大版八年级数学下册《角平分线》课件
1 2
E
B
角平分线性质定理逆定理几何语言表示： ∵ ∴
（四）学以致用 例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在内容包括：课程名称、学科、年 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的 级、上/下册、版本、主讲教师工 A 长。作单位和姓名等。片尾包括制作 单位、录制时间等信息。
表示：
O
B
3.用直尺和圆规画已知角的平方线及作 图的依据是什么？ ______________________. 内容包括：课程名称、学科、年 级、上/下册、版本、主讲教师工 作单位和姓名等。片尾包括制作 单位、录制时间等信息。
（二）课堂探究一：角平分线的性质定 理 1.角平分线有怎样的性质？你是如何得 内容包括：课程名称、学科、年 到这一性质的，在下图中做出您的发现， 级、上/下册、版本、主讲教师工 你能证明吗？ 作单位和姓名等。片尾包括制作 A 单位、录制时间等信息。
单位、录制时间等信息。
B D P D B P C D
A
E
C O 图三 E
A 图一
F
A 图二
E
B
(B层）4.如图4，∠BAC=60°，AP平分∠BAC， PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= ，则 PE=__________. 内容包括：课程名称、学科、年 (B层）5.如图5，在△ABC中,∠C=90°,AD是 级、上 / 下册、版本、主讲教师工 角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3 cm,BD=5 cm,则 作单位和姓名等。片尾包括制作 BC=_____cm.
1.课程名称:《角平分线》第一课时 内容包括：课程名称、学科、年 2.学科:初中数学 级、上 / 下册、版本、主讲教师工 3.年级:八年级 作单位和姓名等。片尾包括制作 4.上/下册：下册 单位、录制时间等信息。 5.版本：北师大版
E
B
角平分线性质定理逆定理几何语言表示： ∵ ∴
（四）学以致用 例题：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在内容包括：课程名称、学科、年 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的 级、上/下册、版本、主讲教师工 A 长。作单位和姓名等。片尾包括制作 单位、录制时间等信息。
表示：
O
B
3.用直尺和圆规画已知角的平方线及作 图的依据是什么？ ______________________. 内容包括：课程名称、学科、年 级、上/下册、版本、主讲教师工 作单位和姓名等。片尾包括制作 单位、录制时间等信息。
（二）课堂探究一：角平分线的性质定 理 1.角平分线有怎样的性质？你是如何得 内容包括：课程名称、学科、年 到这一性质的，在下图中做出您的发现， 级、上/下册、版本、主讲教师工 你能证明吗？ 作单位和姓名等。片尾包括制作 A 单位、录制时间等信息。
单位、录制时间等信息。
B D P D B P C D
A
E
C O 图三 E
A 图一
F
A 图二
E
B
(B层）4.如图4，∠BAC=60°，AP平分∠BAC， PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= ，则 PE=__________. 内容包括：课程名称、学科、年 (B层）5.如图5，在△ABC中,∠C=90°,AD是 级、上 / 下册、版本、主讲教师工 角平分线,DE⊥AB于E,且DE=3 cm,BD=5 cm,则 作单位和姓名等。片尾包括制作 BC=_____cm.
1.课程名称:《角平分线》第一课时 内容包括：课程名称、学科、年 2.学科:初中数学 级、上 / 下册、版本、主讲教师工 3.年级:八年级 作单位和姓名等。片尾包括制作 4.上/下册：下册 单位、录制时间等信息。 5.版本：北师大版
北师大版数学八年级下册1.4第2课时三角形三条内角的平分线课件(共17张)
∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = 6 cm.
C E
A
D
B
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建
一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相
等，凉亭的位置应选在 ( C )
A
A. △ABC 的三条中线的交点
B. △ABC 三边的垂直平分线的交点
C. △ABC 三条角平分线的交点
点，且点 O 到△ABC 三边的距离相等．若∠A
＝40°，则∠BOC 的度数为 ( A )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
解析：O 到△ABC 三边的距离相等，所以 O 是内心，即
三条角平分线的交点，故 BO，CO 都是内角平分线，
则∠CBO＝∠ABO＝ 1∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ 1∠ACB，
解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，ON⊥BC 于
点 N，连接 OC.
S ABC S AOC S BOC S AOB
B
1 AB OE 1 BC ON 1 AB OM
2
2
2
OP
1 OM ( AB BC OM )
2
1 4 32 64.
A
2
DM C
例3 如图，在△ABC 中，点 O 是△ABC 内一
∴ DE = CD = 4 cm.
E
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE. C D
B
在等腰 Rt△BDE 中，BD 2DE2 4 2 cm.
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
北师大版八年级数学下册第一章《角平分线(2)》课件
A
B
C
老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平
分线交于一点，这个的点叫做三角形的傍心，这样点有
三个。
定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等.
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边 距离相等的点,在这个角的平分线上.
定理:三角形的三条角平分线相交于一点, 并且这一点到三边的距离相等(这个交点 叫做三角形的内心).
结论:三角形三个角的平分线相 交于一点.
怎样证明这个 结论呢?
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条 直线的交点在第三条直线上即可。
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
已知：如图，设△ABC的角平分线．
A
M
BM、CN相交于点P，
N
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
D PF
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC， B PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
EC
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE
同理：PE=PF．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到
三边的距离相等. 如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的
A
ND
M
PF
三条角平分线,且PD⊥AB,
You made my day!
我们，还在路上……
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(
已知), 且PD=PE,
O
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个
角的内部,且到角的两边距离相等的
点,在这个角的平分线上).
A D
1
B
C
老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平
分线交于一点，这个的点叫做三角形的傍心，这样点有
三个。
定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等.
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边 距离相等的点,在这个角的平分线上.
定理:三角形的三条角平分线相交于一点, 并且这一点到三边的距离相等(这个交点 叫做三角形的内心).
结论:三角形三个角的平分线相 交于一点.
怎样证明这个 结论呢?
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条 直线的交点在第三条直线上即可。
命题:三角形三个角的平分线相交于一点.
已知：如图，设△ABC的角平分线．
A
M
BM、CN相交于点P，
N
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
D PF
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC， B PE⊥BC，其中D、E、F是垂足
EC
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上
∴PD=PE
同理：PE=PF．∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到
三边的距离相等. 如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的
A
ND
M
PF
三条角平分线,且PD⊥AB,
You made my day!
我们，还在路上……
∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(
已知), 且PD=PE,
O
∴点P在∠AOB的平分线上.(在一个
角的内部,且到角的两边距离相等的
点,在这个角的平分线上).
A D
1
北师大版数学八年级下册数学课件：第一章4角平分线第二课时
解：把公路和铁路看作两条直线， 画出它们所成角的平分线，在角的 平分线上从顶点截出表示实际长 400 m的线段，即可确定学校的位 置，如图1-4-23，图中的点P即为 所求． 表示实际长400 m的线段为 40 000÷12 500=3.2（cm）．
课堂讲练
模拟演练
1. 如图1-4-22，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.作 ∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图 痕迹，不要求写作法）.
=28x，
∴28x=84.
解得x=3. 故PD的长为3.
连接OA.
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=3.
1
1
1
∴S△ABC= 2 AB·OE+ 2 AC·OF+ 2 BC·OD
பைடு நூலகம்
=
12（AB+AC+BC）·3=
63 2
.
课堂讲练
模拟演练
3.如图1-4-26所示，在△ABC中，若点O是∠ABC,∠ACB的角
平分线的交点，且∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠OAB的
2
∵∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC，
∴∠AOB=180°- ∠1 ABC- ∠1BAC
=90°+ 1 ∠ACB. 2
2
∵FO⊥OC2，∴∠FOC=90°.
∵∠BFO=∠FOC+∠OCF，∠OCF= ∴∠BFO=90°+ 1∠ACB.
∠A12 CB，
2
∴∠AOB=∠BFO.
课后作业
8. 如图1-4-35，在△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7， BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB， PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为E,F,D，求PD的长.
课堂讲练
模拟演练
1. 如图1-4-22，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A.作 ∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图 痕迹，不要求写作法）.
=28x，
∴28x=84.
解得x=3. 故PD的长为3.
连接OA.
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE=OF=OD=3.
1
1
1
∴S△ABC= 2 AB·OE+ 2 AC·OF+ 2 BC·OD
பைடு நூலகம்
=
12（AB+AC+BC）·3=
63 2
.
课堂讲练
模拟演练
3.如图1-4-26所示，在△ABC中，若点O是∠ABC,∠ACB的角
平分线的交点，且∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠OAB的
2
∵∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC，
∴∠AOB=180°- ∠1 ABC- ∠1BAC
=90°+ 1 ∠ACB. 2
2
∵FO⊥OC2，∴∠FOC=90°.
∵∠BFO=∠FOC+∠OCF，∠OCF= ∴∠BFO=90°+ 1∠ACB.
∠A12 CB，
2
∴∠AOB=∠BFO.
课后作业
8. 如图1-4-35，在△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=7， BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PE⊥AB， PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为E,F,D，求PD的长.
八年级数学下册 第一章 三角形的证明1.4 角平分线第2课时 三角形的内角平分线习题课件北师大版
在等腰直角三角形BDE中，
BD 2DE2 4 2 cm.
C
E
D
B
AC BC CD BD (4 4 2) cm.
课程讲授
2 角平分线的性质和判定的实际应用
例 如图,在△ABC中,AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC
的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(2)求证:AB=AC+CD. A
的距离_相__等___. 即PD=_P_E__=__P_F__.
A
D
NP
F M
B
C
E
课程讲授
1 三角形的三条内角平分线相交于一点
练一练：如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分 线相交于点O，下面结论中正确的是（ B ）
A.∠1>∠2 B.∠1=∠2 C.∠1<∠2 D.不能确定
课程讲授
2 角平分线的性质和判定的实际应用
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.
E
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
C
D
B
课程讲授
2 角平分线的性质和判定的实际应用
练一练：如图，铁路OA和铁路
OB交于O处，河道AB与铁路分别
交于A处和B处，试在河岸上建一 M
一点到角两边的距离相等.
A
已知：如图，在△ABC中，角平分线 BM与角平分线CN相交于点P，过点P 分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分
别为D，E，F. 求证：∠Ａ的平分线经过点P，且 B
PD=PE=PF.
D
N
PMFE来自C课程讲授1 三角形的三条内角平分线相交于一点
湘教版八年级数学下册第2课时角平分线的性质
解题方法二：构造辅助线
总结词
通过构造辅助线，利用角平分线 的性质解决问题。
详细描述
在解题过程中，可以根据题目的 特点，通过构造辅助线，利用角 平分线的性质，将问题转化为易 于解决的问题，进而得出结论。
解题方法三：利用全等三角形进行证明
总结词
利用全等三角形的性质，结合角平分 线的性质进行证明。
详细描述
学习目标
理解角平分线的定义 和性质。
培养学生的逻辑推理 能力和空间想象能力。
能够运用角平分线的 性质解决几何问题。
02 角平分线的性质
角平分线的定义
01
角平分线：将一个角平分为两个 相等的角的射线叫做角的平分线 。
02
角的内部到角的两边的距离相等 的点在角的平分线上。
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角的两边的距离相 等。
利用角平分线的性质定理可以计算一 些距离问题，例如“求点到直线的最 短距离”。
03 角平分线的性质证明
证明方法一
总结词
利用全等三角形证明
详细描述
通过构造两个全等的三角形，利用角平分线的性质，证明两个三角形全等，从 而得出角平分线的性质。
证明方法二
总结词
利用等腰三角形证明
详细描述
通过将角平分线与相对边上的中线重合，构造等腰三角形，利用等腰三角形的性 质，证明角平分线的性质。
在解题过程中，可以利用全等三角形 的性质，结合角平分线的性质，通过 证明三角形全等，得出相关结论。这 种方法在解题中也比较常用。
05 总结与回顾
本课重点回顾
角平分线的定义
角平分线的性质定理
从一个角的顶点出发，将该角分成两个相 等的角，这条射线叫做这个角的角平分线 。
八年级数学下册《角平分线》课件 新人教版
3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD= 则PE=__________.
3
，
（1）
（2）
（3）
已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，B、C分
别为垂足，BD=DC。 求证：DA平分∠BDC。
已知：如图，E是∠BAC平分线上的一点，
EB⊥AB、判断题 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上 3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合 4.角平分线是角的对称轴
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE=_______.
2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP=__________.
角平分线
§1.4.1 角平分线
定理 在角平分线上的点到这个角 的两边的距离相等
逆定理 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上
例题: 已知：PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
已知一个点到角两边的距离相等 前提条件：
结论： 这个点在角的平分线上
这个结论 正确吗？
求证：∠EBC=∠ECB。
如图，在△ABC中，∠ACB=90°, BE平分∠ABC，DE⊥AB于D， 如果AC=3 cm， 那么AE+DE等于_____________
已知：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F， BE、CF相交于点D， 若BD=CD.
求证：AD平分∠BAC.
已知： 如图， AD平分∠BAC ， 求证： AB ：AC=BD ：CD.
3
，
（1）
（2）
（3）
已知：如图，DB⊥AB，DC⊥AC，B、C分
别为垂足，BD=DC。 求证：DA平分∠BDC。
已知：如图，E是∠BAC平分线上的一点，
EB⊥AB、判断题 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.到角的两边距离相等的点在角的平分线上 3.角的平分线是到角两边距离相等的点的集合 4.角平分线是角的对称轴
1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE=_______.
2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP=__________.
角平分线
§1.4.1 角平分线
定理 在角平分线上的点到这个角 的两边的距离相等
逆定理 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上
例题: 已知：PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D、E。
求证：点P在∠AOB的平分线上。
已知一个点到角两边的距离相等 前提条件：
结论： 这个点在角的平分线上
这个结论 正确吗？
求证：∠EBC=∠ECB。
如图，在△ABC中，∠ACB=90°, BE平分∠ABC，DE⊥AB于D， 如果AC=3 cm， 那么AE+DE等于_____________
已知：如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F， BE、CF相交于点D， 若BD=CD.
求证：AD平分∠BAC.
已知： 如图， AD平分∠BAC ， 求证： AB ：AC=BD ：CD.
湘教版八年级下册数学课件第2课时角平分线的性质定理的逆定理
CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
B
∴PD=PE.同理PE=PF.
A
ND
F
P
M
C E
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形
的三条内角平分线有什么关系？
A
点P在∠A的平分线上.
D
N
F
P
M
B
C
E
结论：三角形的三条内角平分线交于一点，并
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
讲授新课
一 角平分线的性质定理的逆定理
问题：交换角的平分线的性质中的条件和结论，你能
得到什么命题，这个新命题正确吗？
角平分线的性质：
A
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. D
几何语言：
C
∵ OC平分∠AOB，
O
且PD⊥OA， PE⊥OB
P
E
B
∴ PD= PE 猜想:
方法总结
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是 三条内角平分线的交点，再利用三角形内角和定理 即可求出∠BOC的度数．
归纳总结 角的平分线的性质 角的平分线的判定
图形
C P
C P
已知 条件
结论
OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E
PD=PE
PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论
三角形的内角平分线相交 于内部一点
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一 量，每组垂线段，你发现了什么？
你能证明这 个结论吗？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等
湘教版数学八年级下册第2课时 角平分线的性质定理及其逆定理的综合应用课件
如图1-29，已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF的中点. 需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平 分线呢?
解：可以添加条件MN=ME (或MN= MF). ∵ME⊥CD，MN⊥CA， ∴M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分 线. 同理可得AM是∠CAB的平分线.
有什么三角关形系的？三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
巩固练习
1. 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D， 求证: （1）∠ECD=∠EDC； （2） OC=OD.
证明：（1）∵OE是∠AOB的平分线，
EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED.
∴∠ECD=∠EDC.
探究新知
如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相 等吗?
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
因为角平分线上的点到角的两 边的距离相等，所以只要作△ABC任 意两角(例如∠A 与∠B)的平分线，其 B 交点P即为所求作的点.
P C
图1-31
探究新知
如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相 等吗?
又AC是∠BAD的平分线，CD⊥AD，
∴CF=CD.
在Rt△CFA和Rt△CDA中，
F
∵CF=CD， AC为公共边，∴Rt△CFA≌Rt△CDA
(HL).
∴AF=AD.
同理可得FB=BE.
AB=A F+FB=AD+BE.
[选自教材P25 练习 第2题]
巩固练习
3.如图，已知BD平分∠ABC，BA=BC，点P在BD上，作PM⊥AD，
PN⊥CD，垂足分别为点M，N.求证: PM=PN.
解：可以添加条件MN=ME (或MN= MF). ∵ME⊥CD，MN⊥CA， ∴M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分 线. 同理可得AM是∠CAB的平分线.
有什么三角关形系的？三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
巩固练习
1. 如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D， 求证: （1）∠ECD=∠EDC； （2） OC=OD.
证明：（1）∵OE是∠AOB的平分线，
EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=ED.
∴∠ECD=∠EDC.
探究新知
如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相 等吗?
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
因为角平分线上的点到角的两 边的距离相等，所以只要作△ABC任 意两角(例如∠A 与∠B)的平分线，其 B 交点P即为所求作的点.
P C
图1-31
探究新知
如图1-31，你能在△ABC中找到一点P，使其到三边的距离相 等吗?
又AC是∠BAD的平分线，CD⊥AD，
∴CF=CD.
在Rt△CFA和Rt△CDA中，
F
∵CF=CD， AC为公共边，∴Rt△CFA≌Rt△CDA
(HL).
∴AF=AD.
同理可得FB=BE.
AB=A F+FB=AD+BE.
[选自教材P25 练习 第2题]
巩固练习
3.如图，已知BD平分∠ABC，BA=BC，点P在BD上，作PM⊥AD，
PN⊥CD，垂足分别为点M，N.求证: PM=PN.
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明第10课 角平分线的性质和判定课件
∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°在
Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°∴DE
＝ AD＝ ×10＝5
1
1
2
2
7.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵D是BC的中点，∴DB＝DC ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90° 又∵BE＝CF ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL) ∴DE＝DF 又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC
(例1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝ 又∵OP＝OP，∴△OCP≌△ODP(AAS)
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是( )
∵D是BC中点，∴BD＝CD 证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB，BC⊥OA
如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，PE＝5 cm，则PD＝________cm. 知识点1：角平分线的性质 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30°
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
Hale Waihona Puke 三、过关检测 第1关8.如图，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°， 则∠BAD＝___4_0____°，∠ADC＝_5_0__°.
9.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交 AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是( B ) A．10 B．15 C．20 D．30
北师大版八年级下册数学：1.4角平分线课件
O
1 2
P C
∴△PDO≌△PEO(AAS) ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等）
E B
角平分线的性质定理（应用）
角平分线上的点到这个角的两边的距离
相等．
A
D
∵点P在∠AOB的平分线上
PD⊥OA,PE⊥OB (已知), ∴PA=PB
O
1 2
P C
E B
用心想一想
你能写出这个定理的逆命题吗? 如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必 在这个角的平分线上．
O
1 2
P C
∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)． ∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)
E B
驶向胜利 的彼岸
角平分线的判定定理（应用）
在一个角的内部，且到角两边距离相等
的点，在这个角的角平分线上．
A
∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB
D
∴点P在∠AOB的平分线上
1 O2
P C
E B
做一做 1
角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到 角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
这是一个真命题吗?
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D 、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在∠AOB的角平分线上．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB
A D
∴∠PDO=∠ PEO=90°
在Rt△ODP和Rt△OEP中 OP=OP，PD=PE
C
E
D
B
A
F
老师期望:
你能说出结论并能证明它.
驶向胜利 的彼岸
随堂练习 2
梦想成真
❖ 2.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等, 离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它 的位置(比例尺 1:20 000).
北师大版八年级数学下册1.4角平分线角平分线的性质与判定课件
= ，
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.
∴△ADB≌△ADC(SAS)．
∴BD＝CD.
复习训练
1．如图，视察尺规作图痕迹，下列说法错误的是（ C ）
A．OE是∠AOB的平分线
B．OC＝OD
C．点C，D到OE的距离不相等
D．∠AOE＝∠BOE
2．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为点D，E，且PD＝PE，若
∠BAP＝20°，则∠BAC＝（ D ）
5.如图，DA⊥AC于点A，DE⊥BC于点E.若AD＝5，DE＝5，∠ACD
＝30°，则∠DCE＝（ A ）
A.30°
B．40°
C．50°
D．60°
例2
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是点E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵点D是BC的中点，∴DB＝DC.
D，DE⊥BC于点E，若AD＝3，DC＝5，则DE＝ 3 ，CE＝ 4 ．
例1
如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：EB＝FC.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°.
= ，
解：如图，连接BD.
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABD＝ ∠ABC＝ ×60°＝30°.
在Rt△BDE中，DE＝ ，∠DBE＝30°，
∴BD＝2DE＝2 .∴BE＝ − ＝3.
基础巩固
1．如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为点B，C，AD平分
∠BAC，BD＝2，∠BAC＝80°，则DC＝ 2 ，∠ADC＝ 50 °.
北师大版八年级数学下册1.4角平分线课件
只需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
条角平分线的交点.
3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线交点与三
个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用
小三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分
线交点到三边距离的常用方法.
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠B的平分线与∠C的外角的
∴点F在∠DAE的平分线上.
3.证明(1)∵P是∠AOB平分线上的一
点,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD.
又∵OP=OP,∴Rt△OCP≌Rt△ODP.
∴OC=OD.
(2)∵OC=OD,∠COP=∠DOP,
∴OP是CD的垂直平分线.
4.解(1)如图,作∠BAC的角平分线AF或作∠BAC的外角
∠CAE的外角平分线AN,则直线AF或直线AN上任意一点
的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
A
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴
CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
F
C
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
∴ QD＝QE
课外作业
1.如图,在△ABC中,∠C=90° AD是∠BAC
的平分线,DE⊥AB于点E,点F在AC上,BD=DF.
求证:(1)CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
证明:(1)∵AD是∠BAC的平分线
,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴DE=DC.
∵在Rt△DCF和Rt△DEB中,
八年级数学《角平分线的定义及性质》课件
图1
图2
图3
图4
几何语言：
OP 是 的平分线
\
PD = PE
（角平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）
∵
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
巩固练习：
1、如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=6cm， 则点D到AB的距离为______cm 2、已知：如图2，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA，垂足为E， CF⊥OB，垂足为F.求证：∠CDE=∠CDF PAO来自BCE
D
1
2
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE
活
动
5
(3)验证猜想:
探究角平分线的性质
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
A
B
O
M
N
C
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
探索作已知角的平分线的方法
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC. 求证：OC平分∠AOB.
证明：连接CM，CN 在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌△ONC （SSS） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
A
B
O
C
D
你会过直线外一点作已知直线的垂线吗？
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
图2
图3
图4
几何语言：
OP 是 的平分线
\
PD = PE
（角平分线上的点 到这个角的两边的距离相等。）
∵
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
巩固练习：
1、如图1，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，CD=6cm， 则点D到AB的距离为______cm 2、已知：如图2，C、D是∠AOB平分线上的点，CE⊥OA，垂足为E， CF⊥OB，垂足为F.求证：∠CDE=∠CDF PAO来自BCE
D
1
2
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE
活
动
5
(3)验证猜想:
探究角平分线的性质
角平分线的性质定理：
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
A
B
O
M
N
C
(１)以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
探索作已知角的平分线的方法
想一想：为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC. 求证：OC平分∠AOB.
证明：连接CM，CN 在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌△ONC （SSS） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
A
B
O
C
D
你会过直线外一点作已知直线的垂线吗？
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
八年级数学12.3《角平分线的性质》(共23张PPT)优秀课件
二、重点难点
学生学好数学的信心. 到角两边的距离的正确理解；
2、掌握角平分线性质定理的运用 。
关键:通过情景问题的设计,引导
活动1 给出一个纸片做的角,不利用工具,能不能找出
这个角的角平分线呢? 〔对折〕
再翻开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
活动 2
如果前面活动中的纸片换成木板、 A 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
C
∴∠CAD=∠CAB〔全等三角形的 E 对应边相等〕
∴AC平分∠DAB〔角平分线的定义〕
B C
根据角平分仪的制作原 理怎样作一个角∠EAF 的平分线？〔不用角平
分仪或量角器〕
A
D
E
B
作法:１.以A为圆心,适当长为半径作弧, AE于点B,交AF于点D；
２.分别以B、D为圆心,大于线段BD 一 半 的 长 为 半 径 作 弧 , 两 弧 在 ∠ EAF 的内部交于点Ｃ；
1、如图，是一个角平分仪，其中 AB=AD,BC=DC。将点A放在角的顶 D 点，AB和AD沿着角的两边放下， 过点A、C画一条射线AE，AE就是 角平分线，你能说明它的道理吗?
B C E
A
2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB〔〕
D
B
DC=BC〔〕
CA=CA〔公共边〕
∴ △ACD≌ △ACB〔SSS〕
３.作射线AC。
A
DF
二 角平分线的性质
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是角平分线OC上 的任意一点
1.操作测量：取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA , PE⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长。将三次数据填入下表：
A
D
CD PE
8年级 数学北师大版 下册课件第1章《4 角平分线》
线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;
A
(2)求证:AB=AC+CD.
E
C
D
B
典例精讲
解：(1)∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=CD=4
又∵AC=BC ∠C=90°
A
∴ ∠B=45°
∴ ∠BDE=45°
E
∴ BE=DE=4
在等腰RT△BDE中，由勾股定理得
利用以上两个性质可得线段相等
作业布置
1.必做题：课本P31随堂练习、P32 习题1-3题
2.选做题：
如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，
F在AC上，BD＝DF，
A
（1）证明：CF＝EB．
（2）证明：AB＝AF+2EB．
F E
C
D
B
随堂练习
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息， 要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么位置？
∵点 P 在∠AOB 的平分线上 ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
PD⊥OA ， PE⊥OB。
PD=PE
，
∴ PE=PD
∴OP 平分 ∠AOB 。
探究新知
如图 ，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休 息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在什么 地方？
A
B
C
探究新知
活动1 分别作出△ABC的三条角平分线
同理 PE=PF ∴PD=PE=PF
D
NN
PP
MM F
又∵PF⊥AC，PD⊥AB
B B
∴点P在∠A的平分线上。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
证明：∵ BD⊥AC,CE⊥AB
∴∠CDF=∠BEF=90°
在△CDF和△BEF中，
∠CDF=∠BEF ∠CFD=∠BFE
C D
F
BF=CF ∴ △CDF≌△BEF(A.A.S.)
A
EB
∴FD=FE(全等三角形对应边相等）
∴点F在∠BAC的平分线上.（到角的两边距 离相等的点在角平分线上）
___________________________ _________________ Nhomakorabea_____
)
B
A
D
C
___________________________ _______________________
随堂练习
如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边的中 点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足. 求证：△DEF是等腰三角形.
证明：连结AD.
A
E
F
∵在△ABC中，AB=AC，
∴ADD平是分BC∠边B的AC中（点等腰三B角形“三线合一D”）
C
又∵ DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
∴△DEF是等腰三角形
___________________________ _______________________
随堂练习
如图，BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为点D和点E，BD与CE
相交于点F，BF=CF.求证：点F在∠BAC的平分线上.
角平分线
知识回顾： 1. 角的定义：
2. 角的平分线： 一条以一个角的顶点为端点的射线把这个角分成两 个相等的角，这条射线叫做角的平分线.
3. 三角形的角平分线：
在三角形中，一个 内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段,
A ●
叫做三角形的角平分线。
︶1 2
B
___________________________
___________________________ _______________________
___________________________ _______________________
随堂练习
× 判断题（ ）
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴BD = DC
(
角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。
●
D
C
_______________________
___________________________ _______________________
___________________________ _______________________
三角形的三条角平分线交于一点，这一点称 为三角形的内心，即三角形内切圆的圆心。