福师大网络教育《复变函数》网络作业答案

复变函数作业一

一、判断（对的用T 表示，错的用F 表示） 1、如果0()f z '存在，那么()f z 在0z 解析。（ F ） 2、()n Ln z nLnz =。（ F ）

3、当且仅当z 为实数时，z e 为实数。（ F ）

4、设()f z u iv =+在区域D 是解析的，如果u 是实常数，那么()f z 在整个D 是常数；如果v 是实常数，那么()f z 在D 也是常数。（ T ）

二、填空

1

、Re n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦=

；Im n ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥

⎝⎭⎣⎦= 。 2、设ω是1的n 次根，1ω≠，则211n ωωω-+++

+= 0 。

3、在映射2z ω=下，扇形区域0arg ,14

z z π

<<

<的像区域为

。

4、若()()11n

n

i i +=-，则n = 。 三、计算

1、 计算下列函数值：1）()n i L e ；2

1）、()n i L e 解： 主值

()ln ln arg i i i e e i e i

=+=,

()()ln 22,i i Ln e e k i i k i k ππ∴=+=+∈Z

2

解： 设3+4i 的平方根是x+yi ，x 、y ∈R ，则有 x 2-y 2=3，且 2xy=4， 求得 x=2，y=1，或x=-2 y=-1，

故3+4i 的平方根是 2+i ，或-2-i ， 故答案为：2+i ，或-2-i

2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？ 1

；

2）()()2222x y x i xy y --+- 。

1

； 解：

因为 f(z)=|z| 当趋于0-时 f(z)=|-1； 当趋于0+时 f(z)=|1； 右极限不等于左极限。

所以f(z)=|z|在z=0处不可导，而在除0以外的其他地方都可导且解析。

2）()()2222x y x i xy y --+- 。 解：

212,,2v 221

v ,2

x x y y x y y x u x v y

u y x y u u v y =-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨

=-=-⎪⎪⎩⎩==-⇒=-

仅在直线1

2

y =上可导，在复平面上处处不解析。

3、函数2322()2f z x y x y i =-+是否为解析函数？求出其导数。

解：不是解析函数，因为满足条件的只有两个点，不成区域

2

(,)24x x f x y u iv x xy '=+=+

3234(0,0)0,,4323f f i

⎛⎫''==+ ⎪⎝⎭

4、已知222371

(),:3C f z d C x y z

ζζζζ++=+=-⎰，求()1f i '+。 解：

()

2()2(371)

()2(67)(1)2613f z i z z f z i z f i i πππ=++'=+'+=-+

5、计算积分 1）()

231

1z z dz z z =--⎰；

解：1）()

231

1z z dz z z =--⎰；

2）211sin 41

z z dz z π+=⎛⎫ ⎪

⎝⎭-⎰； 解：

2sin 41z z π⎛⎫ ⎪⎝⎭-在11z +=只有1z =-一个极点，所以令()

sin 41z f z z π⎛⎫

⎪⎝⎭=-，所以

()()21111sin 2421112

z z z f z dz dz if i z z πππ+=+=⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=-+⎰⎰

3）

()

1

2

12

1z

z e dz z z -=

+⎰

； 解:

()

12

12

1z

z e dz z z -=

+⎰

4）

()

2

313

2z dz

z z -=-⎰

。

解：

四、证明：若积分路径不经过i ±，则1

20,14

dz k k z π

π=+∈+⎰

。

证明：如果积分路径不经过，且不绕过， 则由柯西定理得，

若积分绕z=转 圈，则积分值为 若绕z = -i 转 圈，则积分值为

故在一般情况下，积分值为

五、证明：设v是u的共轭调和函数，问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？判断并给出理由：

1）,

Au Bv Bu Av

-+（,A B为常数）；

2）22,

-。

u v uv

1）证明：

2）不是的共轭调和函数

证明：

因为在某区域的调和函数一定是该区域某解析函数(可能多值)的实部或虚部，反之，某区域的解析函数其实部与虚部都是该区域的调和函数。和不满足此条件，应该是2uv是的共轭调和函数。

综上所述，不是的共轭调和函数。

复变函数作业二

一、判断

1、0(2)n n n a z ∞

=-∑在z=0收敛，在z=3发散。（ F ）

2、在区域z R <解析，且在区间（-R ，R ）取实数值的函数f(z)展开成z 的幂级数时，展开式的系数都是实数。（ T ）

3、1

tan z 在圆环区域0(0)z R R <<<<+∞不能展开成罗朗级数。（ F ）

4、z=0是1tan

()z

f z e =的本性奇点。（ T ）

二、填空

1、0

(1)n n n i z ∞

=+∑的收敛半径为 。

2、2

2sin z e z 展开成z 的幂级数的收敛半径= ∞ 。 3、z=0是()sin tan f z z z =-的 3 级零点。

4、(),()f z g z 以z=a 为m 级和n 级极点，则z=a 为()()f z g z 的 m+n 级 极 点。

三、计算

1、求21

z 在01z =-处的泰勒展开式。

解：

20

111(1)(1)(11)

1(1)n

n n z z z z z ∞=''⎛⎫⎛⎫=-==+++< ⎪ ⎪

-+⎝⎭⎝⎭∑

2、 求11:2n n z z ∞Γ=-⎛⎫

Γ= ⎪⎝⎭

∑⎰

解：112n n n n dz z dz z dz i z π∞∞ΓΓΓ

=-=⎛⎫

=+= ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰

3、 求23()124f z z z z =+-+在z=1处的泰勒展开式。