一元多项式习题及解答
数域上的一元多项式的带余除法及其应用
莆田学院数学与应用数学系《高等代数选讲》课程论文题目数域上一元多项式环中的带余除法及其应用学生姓名黄秋秋学号010401018专业数学与应用数学（师范）班级数学1012013年 6 月 6 日数域上的一元多项式环中的带余除法及其应用摘要：本文通过介绍了数域上的一元多项式在环数域上的带余除法的定理，证明以及它的两种计算格式和两种求带余除法的算法—辗转相除法和其在数域上的应用并举例子来说明带余除法的广泛用法。
关键词：一元多项式 带余除法 算法一、数域上的一元多项式环中的带余除法的定义与性质[1]带余除法的定义：对于[]p x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠。
一定有[]p x 中多项式()q x ，()r x 存在，使()()()()f x q x g x r x =+成立。
其中()()()()r x g x ∂<∂或()0r x =。
并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
证明：存在性()1()0f x =，取()()0q x r x ==。
()2设()0f x ≠，令()(),f x g x 的次数分别为,n m 对()f x 的次数n 作数学归纳当n m <时，显然()0q x =，()()r x f x =成立。
当n m ≥时，令,n m ax bx 分别为()(),f x g x 的首项。
显然()1n m b ax g x --与()f x 有相同的首项，因而多项式()()()11n m f x f x b ax g x --=-的次数小于n 或0。
对于次数为0，取()1n m q x b ax --=，()0;r x =对于次数小于n ，由归纳法假设，对()()1,f x g x 有()()11,q x r x 存在。
使 ()()()()111f x q x g x r x =+，其中()()()()1r x g x ∂<∂或者()10r x =。
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第一章 多项式§1 数域 §2 一元多项式一、数域1、定义：P 是由一些复数组成的集合，包含0和1，如果P 中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在P 中，则称P 为一个数域。
简单地说：P 是一个含0和1的非空集合，且对四种运算封闭。
2、例1：有理数的集合Q ，实数集合R ，复数集合C 均为数域。
例2：{}()2,2Q Q b a b a P =∈+=是一个数域。
证明：Pd c adcb d c bd ac d c d c d c b a d c b a d c d c P bc ad bd ac d c b a P d b c a d c b a P d b c a d c b a Qd c b a P d c b a P P ∈--+--=-+-+=++≠-≠+∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++∈∈++∀∈+=∈+=2222)2)(2()2)(2(2202,02)5(2)()2()2)(2)(4(2)()()2()2)(3(2)()()2()2)(2(,,,,2,22011;2000)1(2222有若故P 是一个数域。
练习：证{}Q b a bi a i Q ∈+=,)(是一个数域。
二、一元多项式注：在数域P 上进行讨论，x 是一个符号。
1、定义：0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，（-∈Z n ）称为数域P 上的一元多项式。
其中P a a a n ∈,,,10 ，用 ),(),(x g x f 表示。
若0≠n a ，则称n a 为首项系数，n 为多项式的次数，用))((x f ∂表示。
0a 为常数项。
2、相等：)()(x g x f =当且仅当次数相同，对应系数相等。
3、运算：设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ，m n ≥（1） 加法： )()()()()(00b a x b a x b a x g x f m m m n n n +++++++=+其中：011====+-m n n b b b())(),(max ))()((x g x f x g x f ≤+∂ （2） 乘法：snm s s j i j i m n m n m n m n m n xb a b a x b a b a x b a b a x b a x g x f ∑∑+==+-+--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+++++++=0001001111)()()()()(若：0)(,0)(≠≠x g x f ，则))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂ 4、运算规律：（1）)()()()(x f x g x g x f +=+（加法交换律）（2）))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++（加法结合律） （3）)()()()(x f x g x g x f =（乘法交换律）（4）))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =（乘法结合律） （5）)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+（分配律） （6）若,0)(),()()()(≠=x f x h x f x g x f 则)()(x h x g =（消去律） 5、多项式环。
一元多项式的定义和运算讲解
令f (x)是F [x]的一个次数大于零的多项式，并且
此处
定理 2.4.2
例 在有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.容易看出
（2）
一次因式x + 1自然在有理数域上不可约.我们证明， 二次因式 也在有理数域上不可约.不然的话, 将能写成有理数域上两个次数小于2的因式 的乘积，因此将能写成
这个定义的条件也可以用另一种形式来叙述
若多项式 有一个非平凡因式 而 ，那么 与 的次数显然都小于 的次数.反之，若 能写成两个这样的多项式的乘积，那么 有非平凡因式.因此我们可以说：
这里
多项式的减法
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
（2）加法结合律:
（3）乘法交换律:
（4）乘法结合律:
（5）乘法对加法的分配律:
注意：
要把一个多项式按“降幂”书写
当
时，
叫做多项式的首项.
2.1.6 多项式的运算性质
定理
是数环R上两个多项式,并且
定义 2
设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做 与 的一个最大公因式.
定义 1
的任意两个多项式 与 一定有最大公因式.除一个零次因式外, 与 的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若 是 与 的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数 c与 的乘积 ，而且当 与 不全为零多项式时，只有这样的乘积是 与 的最大公因式.
由此得出，
是
与
的最大公因式，而
定理 2.3.3
的两个多项式 与 互素的充分且必要条 件是：在 中可以求得多项式 与 ，使
多项式学生版
w ww .q bx t.cn多项式0.1基本知识和性质多项式是代数学的一个基本概念,是中学代数的重要内容之一,也是各类数学考试以及数学竞赛内容的重要部分.本节我们先介绍一些多项式的基本概念和性质.定义1.设n 是一个非负整数,称形式表达式a n x n +a n −1x n −1+···+a 1x +a 0(1)为一元多项式.其中,a 0,a 1,···,a n 为实数(或复数).在多项式(1)中,a 0称为常数项,a i x i 称为i 次项,a i 称为i 次项系数.一元多项式常用符号f (x ),g (x ),···或者f,g,···等来表示.定义2.如果在多项式f (x )与g (x )中,同次项系数都相等,则称f (x )与g (x )相等.记为f (x )=g (x ).系数全部为0的多项式称为零多项式,记作0.在多项式(1)中,若a n =0,则称a n x n 为多项式(1)的最高次项或首项,称a n 为最高次项系数或首项系数.此时,n 称为多项式(1)的次数,零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式f (x )的次数记作deg(f (x ))或者∂(f (x )).给定一个数c 以及多项式f (x )=a n x n +a n −1x n −1+···+a 1x +a 0,在f (x )的表达式中用c 代替x 所得的数a n c n +a n −1c n −1+···+a 1c +a 0称作当x =c 时f (x )的值,并用f (c )来表示.这样一来f (x )就定义了一个函数,称为多项式函数.两个多项式相等当且仅当它们定义的多项式函数相等.和数的运算一样,多项式的运算满足加法交换律,加法结合律,乘法交换律,乘法结合律以及乘法对加法的分配律.性质1.f (x )g (x )的首项系数等于f (x )和g (x )的首项系数的乘积,并且∂(f (x )±g (x ))≤max(∂(f (x )),∂(g (x ))),∂(f (x )g (x ))=∂(f (x ))+∂(g (x )).性质2.若f (x )g (x )=0,则或者f (x )=0,或者g (x )=0.1w ww .q bx t.cn2性质3.若f (x )g (x )=f (x )h (x ),并且f (x )=0,则g (x )=h (x ).二.例题例1.设多项式f (x ),g (x )和h (x )的系数全部为实数.证明:若f 2(x )=xg 2(x )+xh 2(x ),(2)则f (x )=g (x )=h (x )=0.例2.设n 为自然数,证明:(1+x )(1+x 2)(1+x 4)···(1+x 2n −1)=1+x +x 2+x 3+···+x 2n −1.(3)例3.试求所有实数p ,使得三次方程5x 3−5(p +1)x 2+(71p −1)x +1=66p.(4)的三个根全部为自然数.例4.给定自然数n 以及二次多项式f (x )=ax 2+bx +c,a =0.试证:最多存在一个n 次多项式g (x ),使得f (g (x ))=g (f (x )).例5.设多项式f (x )=a 0+a 1x +a 2x 2+···+a 2n x 2n =(x +2x 2+···+nx n )2.求证:2n Pk =n +1a k =1n (n +1)(5n 2+5n +2).例6.设多项式f (x )满足条件(1)f (0)=0;(2)f (x )=12(f (x +1)+f (x −1)).求f (x )的表达式.例7.设多项式f (x )=ax 2+bx +c 的系数满足:a,b,c >0,a +b +c =1.证明:若正数x 1,x 2,···,x n 满足x 1x 2···x n =1,则f (x 1)f (x 2)···f (x n )≥1.例8.设a,b,c,d 为实数,多项式函数p (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足:对任何|x |<1,有|p (x )|≤1.求证:|a |+|b |+|c |+|d |≤7.例9.(第28届国际数学奥林匹克预选题)给定自然数n ,试求出所有低于n 次的多项式p (x ),使之满足如下条件:n X k =0p (k )(−1)k C kn =0.(5)三.习题习题1.将多项式f (x )=1−x +x 2−x 3+···+x 16−x 17写成g (y )=a 0+a 1y +a 2y 2+···+a 17y 17的形式,其中y =x +1,每个a i 为常数.试确定a 2的值.w ww .q bx t.cn0.2实系数和复系数多项式3习题2.解方程:x 4−x 2+8x −16=0.习题3.求所有满足f (x 2)=f 2(x )的非零多项式f (x ).习题4.试证明:多项式f (x )=1x 9−1x 7+13x 5−82x 3+32x 对所以整数x 都取整数值.习题5.分解因式:S n (x )=1−x +12!x (x −1)−13!x (x −1)(x −2)+···+(−1)nn !x (x −1)···(x −n +1).习题6.已知非常数实数列a 0,a 1,a 2,···,满足a i −1+a i +1=2a i ,i =1,2,3,···.求证:对于任意自然数n ,p n (x )=a 0C 0n (1−x )n +a 1C 1n x (1−x )n −1+a 2C 2n x 2(1−x )n −2+···+a n −1C n −1nx n −1(1−x )+a n C n n x n 是x 的一次多项式.习题7.设多项式f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 当x =−1,x =0,x =1,x =2时取值为整数.试证明:对于任意整数n ,f (n )为整数.习题8.求满足f (x 2−2x )=f 2(x −2)的所有非零多项式f (x ).0.2实系数和复系数多项式一.基本知识和性质在以下两节我们针对复数,实数,有理数和整数的特点,分别讨论复系数,实系数,有理系数和整系数多项式的根和因式分解以及其他相关问题.定理1.(代数基本定理)设f (x )为n (n >0)次复系数多项式,则f (x )至少有一个复根.定理2.任何n (n >0)次复系数多项式恰好有n 个复根(重根按重数计算).定理3.任何n (n >0)次复系数多项式都可以分解为n 个1次复系数因式的乘积.由定理2和定理3,设x 1,x 2,···,x k 为n (n >0)次复系数多项式f (x )的所有复根,重数分别为n 1,n 2,···,n k ,则n 1+n 2+···+n k =n 并且f (x )=a (x −x 1)n 1(x −x 2)n 2···(x −x k )n k .若不讨论复系数多项式的根的相重,即将m 重根看做m 个根,则可以得到多项式的根与系数的关系.事实上,记n (n >0)次复系数多项式f (x )=a 0+a 1x +···+a n −1x n −1+a n x n的n 个根为x 1,x 2,···,x n ,则有f (x )=a n (x −x 1)(x −x 2)···(x −x n ).(6)w ww .q bx t.cn4将(6)展开再比较系数可得根与系数的关系:8>>>>>>>><>>>>>>>>:x 1+x 2+···+x n =−a n −1a n ,X 1≤i<j ≤nx i x j =a n −2a n,······,x 1x 2···x n =(−1)na 1a n.其中常用的是第一个和最后一个等式.反之,当上式成立时x 1,x 2,···,x n 为多项式f (x )=a 0+a 1x +···+a n −1x n −1+a n x n的n 个根.推论1.任何n (n >0)次实系数多项式的非实数的复根两两成对出现.推论2.每一个实系数多项式都可以分解成实系数的一次因式和二次因式的乘积.我们指出,n 次单位根在实际解题过程(尤其是分解因式,多项式的整除等)中具有特殊的作用.在前面几节的某些例题和习题中我们实际已经用到了单位根的部分性质.设1,ω,ω2,···,ωn −1为全部n 次单位根,ω=cos 2πn +i sin 2πn ,则有x n −1=(x −1)(x −ω)(x −ω2)···(x −ωn −1),从而有x n −1+x n −2+···+1=(x −ω)(x −ω2)···(x −ωn −1),这个恒等式经常用到.并且由这个恒等式可知ω,ω2,···,ωn −1为多项式p (x )=x n −1+x n −2+···+1的全部n −1个根.二.例题例1.已知关于x 的方程x 4−(3m +2)x 2+m 2=0的四个实根成等差数列,求m .例2.设n 为自然数,f (x )=x 2+x +1,g (x )=(x +1)2n +1+x n +2.试证明:f (x )|g (x ).例3.设a,b,c 为实数,且多项式f (x )=x 3+ax 2+bx +c 的三个实根成等差数列.试指出a,b,c 应满足的充分必要条件.例4.设多项式f (x ),g (x ),h (x )和p (x )满足f (x 5)+xg (x 5)+x 2h (x 5)=(x 4+x 3+x 2+x +1)p (x 5),(7)试证:(x −1)|f (x ).例5.设复系数n 次多项式f (x )=x n +c n −1x n −1+···+c 1x +c 0满足|f (i )|<1(其中i =√−1).求证:存在实数a,b 使得f (a +bi )=0,且(a 2+b 2+1)2<4b 2+1.w ww .q bx t.cn0.2实系数和复系数多项式5例6.设实系数多项式f (x )=1+a 1x +···+a n −1x n −1+x n 的各项系数非负.证明:如果f (x )有n 个不同的实根,则f (2)≥3n .例7.设f (x )=x n +a 1x n −1+···+a n −1x +a n 与g (x )=x n +b 1x n −1+···+b n −1x +b n 为两个复系数多项式,g (x )的根为f (x )的根的平方.证明:若a 1+a 3+a 5+···和a 2+a 4+a 6+···为实数,则b 1+b 2+···+b n 为实数.例8.设n 次多项式f (x )=x n +a n −1x n −1+···+a 1x +a 0的系数全部为实数,且满足条件0<a 0≤a 1≤a 2≤···≤a n −1≤1.证明:若λ为f (x )的复根,且|λ|≥1则λn +1=1.例9.给定多项式序列如下:P 1(x )=x 2−2,P k (x )=P (P k −1(x )),k =2,3,···.求证:对任意自然数n ,方程P n (x )=x 的解为互不相同的实数.例10.设f (x )和g (x )都是不低于1次的多项式.对于复数a ,f (a )=0当且仅当g (a )=0;f (a )=1当且仅当g (a )=1.求证:f (x )=g (x ).三.习题习题1.设n 为自然数,证明:如果(x −1)|f (x n ),那么(x n −1)|f (x n ).习题2.为使实系数多项式f (x )=x 3+ax 2+bx +c 有三个成等比数列的不同实根,a,b,c 应满足什么条件?习题3.试通过考虑单位根确定所有自然数对(m,n ),使得多项式f (x )=1+x n +x 2n +···+x mn 能被g (x )=1+x +x 2+···+x m 整除.习题4.设n 为自然数，求证:多项式f (x )=x n +1−x n −1有一个模为1的复根的充分必要条件是6|n +2.习题5.设多项式f (x ),g (x )满足条件(x 2+x +1)|f (x 3)+xg (x 3),求证:(x −1)|f (x ),(x −1)|g (x ).(8)习题6.给定复系数n 次多项式f (x )=c 0+c 1x +···+c n x n .求证:存在复数z 0满足|z 0|≤1,且|f (z 0)|≥|c 0|+|c n |.习题7.设l,m,n 为自然数,证明:多项式f (x )=x 3l +x 3m +1+x 3n +2能被g (x )=x 2+x +1整除.习题8.设l,m,n 为自然数,试确定多项式f (x )=x 3l −x 3m +1+x 3n +2能被g (x )=x 2−x +1整除的条件.习题9.设l,m,n 为自然数,试确定多项式f (x )=x 3l +x 3m +1+x 3n +2能被g (x )=x 4+x 2+1整除的条件.。
高等代数_李海龙_习题第2章多项式
第二章 多项式2.1 一元多项式的定义和运算1． 设f (x )，g (x )和h (x )是实数域上的多项式．证明：若f (x )2 = x g (x )2+x h (x )2，那么 f (x ) = g (x ) = h (x ) = 0．证明概要：比较等式两边的次数可证．2． 求一组满足上一题中等式的不全为零的复系数多项式f (x )，g (x )和h (x )． 解：取f (x ) = 2ix ，g (x ) = i (x +1)，h (x ) = x-1即可． 或取f (x ) = 0，g (x ) = 1，h (x ) = i 即可． 3． 证明：(1)(1)(1)1(1)2!!(1)()(1)!nnx x x x x n x n x x n n ---+-+-+---=-证明提示：用数学归纳法证之．2.2 多项式的整除性1． 求f (x )被g (x )除所得的商式和余式：(i) 14)(24--=x x x f ,13)(2--=x x x g(ii) 13)(235-+-=x x x x f ,23)(3+-=x x x g解：(i) 35)(,2)(2--=--=x x r x x x q(ii) 56)(,2)(22++=+=x x x r x x q2． 证明：kx f x )(|必要且只要)(|x f x证明：充分性显然．现证必要性．反证法：若x 不整除)(x f ，则c x xf x f +=)()(1，且0≠c ．两边取k次方得k k c x xg x f +=)()(，其中0≠kc ．于是x 不整除)(x f k ．矛盾．故必要性成立．3． 令)(),(),(,)(2121x g x g x f x f 都是数域F 上的多项式，其中0)(1≠x f 且)()(21x g x g |)()(21x f x f ，)(1x f |)(1x g ．证明：)(2x g |)(2x f ．证明：反复应用整除定义即得证．4． 实数m,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式q px x ++4？解：以12++mx x 除q px x ++4得一次余式．令余式为零得整除应满足的条件：当且仅当m m p 23-=且12-=m q 时，12++mx x |q px x ++4．5． 设F 是一个数域，F a ∈．证明：a x -整除nn a x -．解：因为1221()()n n n n n n x a x a x ax a x a -----=-++⋅⋅⋅++6． 考虑有理数域上多项式 1)1)(2()1()(-+++++=n k n k x x x x fn k x x )1()2(++⋅⋅⋅+，这里n 和k 都是非负整数．证明：1+k x |1)1()()1(++++-n k x x f x ．解：因为 1(1)()(1)k n x f x x ++-++1[2(1)]()(1)k n x x f x x ++=-+++nk x x )1()2(1+=+7． 证明：1-d x 整除1-nx 必要且只要d 整除n ．证明：若d |n ，令md n =，则=-=-1)(1m d n x x )1(-dx ·)1)()((21++⋅⋅⋅++--dm d m d x x x ．所以1-d x |1-n x ．下面证必要性：反证法，若d 不整除n ，令r qd n +=，0≠r ，且０<r <d ．于是111)1(-+-=-=-=-+rr r qdr qdrqd nx x x xx xxx)1()1(-+-=rqdr x xx ．因1-qd x 可被1-d x 整除，故)1(-qdrx x 可被1-d x 整除．即1-r x 是1-n x 被1-d x 除所得的余式．因r <d ，0≠r ．所以与1-n x 可被1-dx 整除相矛盾．2.3 多项式的最大公因式1． 计算以下各组多项式的最大公因式：(i)32103)(,343)(23234-++=---+=x x x x g x x x x x f ；(ii) i x i x i x i x x f ----+-+-+=1)21()42()22()(234；x i x x g -+-+=1)21()(2．解: (i) 3),(+=x g f ； (ii)i x i x g f -+-+=1)21(),(2．2． 设)()()(1x f x d x f =，)()()(1x g x d x g =．证明：若)())(),((x d x g x f =，且)(x f 和)(x g 不全为零，则1))(),((=x g x f ，反之，若1))(),((=x g x f ，则)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式．解：由本节定理２.３.２及２.３.３得证（常当作定理）．3． 令)(x f 与)(x g 是][x F 的多项式，而a ，b ，c ，d 是F 中的数，并且0≠-bc ad ．证明：))(),(())()(),()((x g x f x dg x cf x bg x af =++．证明：设)()()(1x bg x af x f +=)()()(1x dg x cf x g +=,=)(x d))(),((x g x f ．易知)(x d |)(x f ，)(x d |)(x g ，从而)(x d |)(1x f ，)(x d |)(1x g ．即)(x d 是)(1x f ，)(1x g 的一个公因式．再设)(x ϕ是)(1x f ，)(1x g 的任一公因式．则由定义知)(x ϕ|)(1x f ，)(x ϕ|)(1x g ，由)(x f ，)(x g 之所设及0≠-bc ad ，可解得)()()(11x g bcad b x f bcad d x f ---=)()()(11x g bcad a x f bcad c x g ----=从而可知)(x ϕ|)(x f ，)(x ϕ|)(x g ．既)(x ϕ是)(x f 、)(x g 的一个公因式，所以)(x ϕ|)(x d ．由定义知))(),(()(11x g x f x d =．4． 证明：(i) h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式；(ii) ( f 1 , g 1 )( f 2 , g 2 ) = ( f 1f 2 , f 1g 2 , g 1f 2 , g 1g 2 ) 此处f ，g ，h 都是F [x ]的多项式． 证明：(i) 设( f , g ) = d , 则d | f ，d | g ．所以dh | fh ，dh | gh ．又有u ，v 使uf + vg = d ．于是ufh + vgh = dh ．所以dh 是fh ，gh 的一个最大公因式．(ii)设( f 1 , g 1 ) = d 1，( f 2 , g 2 ) = d 1，则d 1d 2同时整除f 1f 2，f 1g 2，g 1f 2，g 1g 2．d 1d 2是它们的一个公因式,另设ϕ是f 1f 2，f 1g 2，f 2g 1，g 1g 2的任一公因式，那么就有ϕ| ( f 1f 2 , f 1g 2 )，( f 1f 2 , f 1g 2 ) = f 1( f 2 , g 2 ) = f 1d 1．ϕ| ( f 2g 1 , g 1g 2 )，( f 2g 1 , g 1g 2 ) = g 1 ( f 2 , g 2 ) = g 1d 2．所以ϕ| ( d 2g 1 , f 1d 2 )，而( d 2g 1 , f 1d 2 ) = d 2 ( f 1 , g 1 ) = d 1d 2．既ϕ| d 2d 1．故有( f 1 , g 1 ) ( f 2 , g 2 ) = ( f 1f 2 , f 1g 2 , g 1f 2 , g 1g 2 )．5． 设432()242f x x x x x =+---，432()2f x x x x x =+--2-都是有理数Q 域上的多项式．求u (x ),][)(x Q x v ∈使得))(),(()()()()(x g xd f x v x g x u x f =+． 解：u (x )=-x-1，v (x )=x +2．6． 设(f , g )=1．令n 是任意正整数，证明：( f , g n) = 1．由此进一步证明，对于任意正整数m ，n ，都有( f m , g n ) = 1．证明：因为( f , g ) = 1．所以有u ,v 使uf + vg = 1，则vg = 1- uf ，两边n 次方得v n g n = ( 1- uf )n = 1+ u 1f ．所以v n g n = ( 1- uf )n = 1 + u 1f - u 1f + v n g n = 1．从而 -u 1f + v n g n = 1，( f , g n ) = 1．固定g n，同理可证( f m, g n) = 1．7． 设( f , g ) = 1．证明：( f , f + g ) = ( f + g , g ) = 1．证明：因为( f , g ) = 1．所以有u ,v 使uf + vg = 1，进而有( u – v ) f + v ( g + f ) = 1, 所以( f , g + f ) = 1.同理( g + f , g ) = 1利用互素性质得( f g , f + g ) = 18． 证明：对于任意正整数n 都有( f , g )n = ( f n , g n )．证明：设( f , g )=d ，则f = df 1 ，g = dg 1，且( f 1 , g 1 ) = 1由上面第６题知 ( f 1n , g 1n) = 1，从而存在u ,v 使uf 1n＋ vg 1n= 1．所以uf 1nd n＋ vg 1nd n= d n，既uf n＋ vg n= d n．又d n｜f n，d n ｜g n ．所以( f , g )n = d n = ( f n , g n )．9． 证明：若是f ( x )与g ( x )互素，并且的次数都大于0．那么定理2.3.3里的可以如此选取，u ( x )次数低于g ( x )的次数，v ( x )次数低于f ( x )的次数，并且这样的u ( x )与v ( x )是唯一的．证明：因为, 所以有u 1 ( x )，v 1 ( x )使u 1 ( x ) f ( x ) + v 1 ( x ) g ( x ) = 1，因))((x f ∂︒> 0，))((x g ∂︒> 0．所以f ( x )不整除v 1 ( x )及g ( x ) 不整除 u 1 ( x )．现以f ( x )除v 1( x )，得商式为q 1 ( x )，余式为v ( x )，则有v 1 ( x ) = f ( x ) q 1 ( x ) + v ( x )，其中))((x v ∂︒＜ ))((x f ∂︒．同理有u 1 ( x ) = g ( x ) q 2 ( x ) + u ( x )．其中))((x u ∂︒＜ ))((x g ∂︒．代入u 1 ( x ) f ( x ) + v 1 ( x ) g ( x ) = 1，得( g ( x ) q 2 ( x ) + u ( x ) ) f ( x ) + ( f ( x ) q 1 ( x ) + v ( x ) ) g ( x ) = 1．整理得u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) + [ q 1 ( x ) + q 2 ( x ) ] f ( x ) g ( x ) = 1．因为))()((x f x u ∂︒＜ ))()((x g x f ∂︒，))()((x g x v ∂︒＜ ))()((x g x f ∂︒，所以必有q 1 ( x ) + q 2 ( x ) = 0．即u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = 1，且满足))((x u ∂︒＜ ))((x g ∂︒，))((x v ∂︒＜ ))((x f ∂︒．下面证唯一性 设另有u 2 ( x ) , v 2 ( x ) 满足u 2 ( x ) f ( x ) + v 2(x ) g (x ) = 1，及))((2x u ∂︒＜))((x g ∂︒，))((2x v ∂︒＜))((x f ∂︒．则有 ( u ( x ) - u 2 ( x ) ) f ( x ) = ( v 2 ( x ) – v ( x )) g ( x )．故f ( x )| ( v 2 ( x ) - v ( x ) ) g ( x )．又( f ( x ) , g ( x ) ) = 1，从而．如果v 2 ( x ) -0)(≠x v ，其次数一定低于f ( x )的次数，故只有v 2 ( x ) - v ( x ) = 0．既v 2 ( x ) = v ( x )．同理u ( x ) = u 2 ( x )．10．决定k ，使2(6)42x k x k ++++与2(2)2x k x k +++的最大公因式是一次的．解：设=24)6(2++++k x k x ， g (x )= k x k x 2)2(2+++，以g ( x ) 除 f ( x ) 得余式4x +2k + 2．由题意4x + 2k + 2 | g ( x )，由此推出k = 1或k = 3．11．证明：如果 ( f ( x ) , g ( x ) ) =１，那么对于任意正整数m ，( f ( x m ) , g ( x m ) ) =１ 证明：因为 ( f ( x ) , g ( x ) ) =１，所以u ( x )，v ( x )，满足u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = 1．从而u ( x m) f ( x m) + v ( x m) g ( x m) = 1，此即是 ( f ( x m) , g ( x m) ) =１．12．设f ( x ) , g ( x )是数域F 上的多项式．f ( x )与g ( x )的最小公陪式指的是F [x ]中满足以下条件的一个多项式m ( x )：(a) f (x ) | m (x ) 且 g (x ) | m (x )；(b) h (x )∈F [x ] 且 f (x ) | h (x )，g (x ) | h (x )，那么m (x ) | h (x )．(i) 证明： F [x ]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式差别外，是唯一的．(ii)设f (x )， g (x )都是最高次项系数是１的多项式．令[ f (x ), g (x )]表示 f (x )与g (x )的最高次项系数是１的那个最小公倍式．证明： f (x ) g (x )= (f (x ) , g (x )) [ f (x ), g (x )]．证明：(i) 若f (x ) , g (x )有一个为０，则它门的最小公倍式是０．现设f (x )0≠, g (x )0≠．以d (x )记(f (x ) , g (x ))．则f (x ) = d (x ) f １(x )，g (x ) = d (x )g １(x )，且(f １(x ) , g １(x )) =１．现证)()()(x d x g x f 是f (x )，g (x )的一个最小公倍式．首先由)()()(x d x g x f = f １(x ) g (x )= f (x )g １(x )，知其是f (x )与g (x )的一个公倍式．另设M (x )是f (x )与g (x )的任一公倍式，则有M (x )= f (x )s (x )= d (x ) f 1 (x ) s (x )及M (x )=g (x )t (x )= d (x ) g 1 (x )t (x )，消去d (x )，得f 1(x ) s (x ) = g 1 (x )t (x )．又(f １(x ) , g １(x )) =１，由此可得g 1 (x )|s (x )，令s (x )= g 1 (x ) s 1(x )．代入M (x )= f (x )s (x )= d (x ) f 1 (x ) s (x )得M (x )= d (x ) f 1 (x )g 1 (x )s 1(x )=s 1(x ))()()(x d x g x f ．即)()()(x d x g x f ｜ M (x )，即)()()(x d x g x f 是f (x ) , g (x )的一个最小公倍式．从而存在性得证．现证唯一性：若m １(x )，m ２(x )都是f １(x ) , g １(x )的最小公倍式，由定义得m １(x )｜m ２(x )及m ２(x )｜m １(x )．所以m １(x )，m ２(x )只相差一个常数因子．(ii)由(i)的证明，知当f １(x ) , g １(x )的最高次项系数都是１时，有f (x ) g (x )= (f (x ) , g (x )) [f (x ) , g (x )]．13．设g (x )|)()(1x f x f n ⋅⋅⋅，并且(f i (x ), g (x )) =1, i =1,1,,2-⋅⋅⋅n . 证明 g (x ) | f n (x )． 证明：令11()()()n h x f x f x -= ,由(f 1(x ), g (x ))=1. ( f 2(x ), g (x ))=1,所以(f 1(x ) f 2(x ),g (x ))=1，进而可证得(h (x ), g (x ))=1又g (x ) | h (x )f n (x )，所以g (x ) | f n (x )．14．设][)(,),(1x F x f x f n ∈⋅⋅⋅．证明：(i) ()(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅)=(()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅), ()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+)), 1≤k ≤n -1.(ii))(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅互素的充要条件是存在多项式][)(,),(1x F x u x u n ∈⋅⋅⋅使得1)()()()(11=+⋅⋅⋅+x u x f x u x f n n证明：(i) 设d (x ) = ( ()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅), ()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+))，有d (x ) |（)(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅）, d (x ) |（)(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+）,进一步有d (x ) | f i (x ), i =1,n ,,2⋅⋅⋅．另设h (x )是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的任一公因式，h (x ) |（)(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅） 及h (x ) |（)(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+），进一步h (x ) | ( ()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅) ,()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+)) = d (x )．所以( ()(,),(1x f x f k ⋅⋅⋅) ,()(,),(1x f x f n k ⋅⋅⋅+)) = ()(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅)．(ii)充分性：若有)(,),(1x u x u n ⋅⋅⋅使+⋅⋅⋅+)()(11x u x f1)()(=x u x f n n ，另设h (x )是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的任一公因式，则有h (x )|1．从而)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅互素．必要性：若(f 1(x ), f ２(x ))= d ２(x )，则由定理2.3.2有u 11(x ) ,u 1２(x ) ,使u 11(x )f 1(x )+ u 1２(x ) f ２(x )= d ２(x )，则由定理2.3.2可以假设对于s -1个多项式是成立的．即当d s-1(x ) = ()(,),(11x f x f s -⋅⋅⋅)时，有u 11(x ,),⋅⋅⋅u 1s-1(x )，使得∑-=111)()(s i i ix f x u=d s-1(x )．则对于s 个多项式来说，由()(,),(1x f x f s ⋅⋅⋅)= (()(,),(11x f x f s -⋅⋅⋅), f s (x ))= ( d s-1(x ) , f s (x ))．知有p (x ), q (x )使p (x )d s-1(x ) + q (x ) f s (x ) = ( d s-1(x ) , f (x )),以d s-1(x )的上述表示式代入，则得∑-=111)()(s i i ix f x u+ q (x ) f s (x ) = ( d s-1(x ) , f (x )),．即有p (x )u 11(x ,),⋅⋅⋅p (x )u 1s-1(x ) , q (x )，使∑-=111)())()((s i i ix f x ux q +p (x ) f s (x ) = ()(,),(1x f x f s ⋅⋅⋅)()(,),(1x f x f s ⋅⋅⋅)=1时，令p (x )=1,s =n 其中u 1(x )= p (x ) u 11(x ,),⋅⋅⋅u 1s (x ) = p (x )u 1s (x ) 则本题必要性得证． 15．设][)(,),(1x F x f x f n ∈⋅⋅⋅．令I ={+⋅⋅⋅+)()(11x g x f f n (x ) g n (x )|][)(x F x g i ∈, 1≤i ≤n } ．比照定理１.４.２，证明：)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅有最大公因式．［提示：如果)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅不全为零，取d (x )是中次数最底的一个多项式，则d (x )就是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的一个最大公因式．］ 证明：如果0)()(1==⋅⋅⋅=x f x f n ，则0就是它们的最大公因式．如不全为０，则I 中 有非零多项式．设d (x )是I 中次数最低的一个多项式．以d (x )除f (x )，得．其中r 1=0，或∂︒( r 1 (x ))< ∂︒( d (x ))．由于r 1 (x )= f 1(x )- q 1 (x )d (x )，可以推得r 1 (x )∈I ，而d (x )是I 中次数最底的，故r 1 (x ) =0．所以d (x )|f 1(x )，同理d (x )|f 2(x )⋅⋅⋅,，d (x )|f n (x )．即d (x ) 是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的一个公因式，又因是它们的组合，故d (x ) 就是)(,),(1x f x f n ⋅⋅⋅的最大公因式．2.4 多项式的分解1． 在有理数域上分解以下多项式为不可约因式的乘积：(i) 3x 2+1; (ii) x 3-2x 2-2x +1.解： (i) 不可约． (ii) (x +1) (x 2-３x +1)2． 分别在复数域，实数域和有理数域上分解多项式x ４+1为不可约因式的乘积．解：在复数域上有x 4+1= (x +22(1+i )) (x +22(1+i )) (x -22(1-i )) (x -22(1-i ));在实数域上有x 4+1=( x 2+2x +1) (x 2-2x +1);在有理数域上x ４+1 不可约3． 证明：g (x )２|f (x )２，当且仅当g (x )|f (x )．证明：充分性显然.现证必要性,即若g (x )２|f (x )２,那么g (x )|f (x ).若f (x )= g (x ) =0,则有g (x )|f (x ).如果f (x ), g (x )不全为0,令d (x )=(f (x ), g (x )).则f (x )=d (x )f 1(x ), g (x )=d (x )g 1(x ),且(f 1(x ), g 1(x ))=1.那么f (x )２=d (x )２f 1(x )２, g (x )２=d (x )２g (x )２,故由g (x )２|f (x )２,可得g １(x )２|f １(x )２,故g 1(x )|f 1(x )２,又(f 1(x ) , g 1(x ) ) =1,根据互素多项式的性质知g 1(x )|f 1(x ),从而g 1(x ) = c f 1(x ), (c 为非零常数).于是g (x )|f (x ).4． (i)求f (x )= x 5-x 4-2x 3+2x 2+x -1在Q (x )内的典型分解式；(ii)求f (x )= 2x 5-10x ４+16x 3-16x 2+14x -6在R (x )内的典型分解式． 解: (i) f (x )= (x-1)3(x +1)２ ; (ii) f (x )= 2(x-1)２(x-3)(x ２+1)5． 证明：数域F 上一个次数大于零的多项式f (x )是F [x ]中某一不可约多项式的幂的充分必要条件是对于任意g (x )∈F [x ],或者(f (x ), g (x )) =1,或者存在一个正整数m 使得f (x )|g (x )m . 证明：必要性:设f (x ) = p m (x ) ( p (x )不可约) ，则对于F [x ]中的任意g (x )，只有两种可能：(p (x ),g(x ))=1或 p (x )|g(x )．在前一情形有( f (x ),g (x ) )=1,在后一情形有p m (x ) |g m (x )，即f (x ) |g (x )m .充分性：设f (x )=1()i sri i a p x =∏为其典型分解式．令g (x )=p 1(x )．若 s >1，则(p (x ), g (x ))≠1，且f (x )不整除g (x )m，即条件成立时，必有s =1，即f (x )= 11()rap x ．6． 设p (x )是F [x ]中一个次数大于零的多项式.如果对于任意f (x ), g (x )∈F [x ]，只要p (x )|f (x )g(x )就有p (x )| f (x )或p (x )| g(x ),那么p (x )不可约．证明：反证法，若)(x p 可约,设)()()(21x p x p x p =,其中)(),(21x p x p 的次数都低于)(x p 的次数.由)()(|)(21x p x p x p ,根据条件可得出)(|)(1x p x p 或)(|)(2x p x p ,这是不可能的.2.5 重因式1. 证明下列关于多项式的导数的公式： a) )(')('))'()((x g x f x g x f +=+； b))(')()()('))'()((x g x f x g x f x g x f +=提示：设10()n n f x a x a x a =+++ ，10()mm g x b x b x b =+++ 利用本教材中对导数的定义证之．2. 设)(x p 是)(x f 的导数)('x f 的1-k 重因式．证明： a) )(x p 未必是)(x f 的k 重因式；b))(x p 是)(x f 的k 重因式的充分必要条件是)(|)(x f x p证明：a) 设4)(3+=x x f ，则x 是x x f 3)('=的二重因式，但不是)(x f 的因式，更不是)(x f 的三重因式．b) 必要性显然；充分性，设)(x p 是)(x f 的s 重因式，则)(x p 是)('x f 的1-s 重因式．11-=-k s 即得出．3. 证明有理系数多项式!!21)(2n xxx x f n++++= 没有重因式．证明：因为)!1(!21)('12-++++=-n xxx x f n ，有1),'(=f f ．4. a,b 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？a) b ax x ++33b) b ax x ++44提示：由多项式有重因式的充要条件是它与它的导数不互素可得．a) 0423=+b a ; b)02734=-b a ．5. 证明：数域F 上的一个n 次多项式)(x f 能被它的导数整除的充分必要条件是：nb x a x f )()(-=，这里a,b 是F 中的数．证明：若nb x a x f )()(-=，则1)()('--=n b x an x f ，0>n ，所以)(1)(')(a x nx f x f -⋅=，)(|)('x f x f ．必要性：设)(x f 的典型分解式为)()()(11x p x ap x f tm t m =，其中)(x p i 都是不可约多项式，则)()()()('1111x x p x p x f tm t m ϕ--= ．由)(|)('x f x f ，知c x =)(ϕ(常数)，但))((1))('(x f x f ∂︒=+∂︒.故知t =1,且n x p =∂︒))((1．即nb x a x f )()(-=．2.6 多项式函数 多项式的根1.设f (x )=2x 5-3x 4-5x 3+1.求f (3),f (-2). 解： f (3) =109; f (-2) =-71.2.数环R 的一个数c 说是f (x )∈R(x )的一个k 重根，如果f (x )可以被(x -c )k整除，但不能被(x -c )k +1整除．判断5是不是多项式f (x )=3x 5-224x 3+742x 2+5x +50的根.如果是的话,是几重根?提示：用３次综合除法得：5是f (x ) 的二重根. 3.设2x 3-x 2+3x -5=a (x -2)3+b (x -2)2+c (x -2)+d .求a,b,c,d . 提示：应用综合除法得：a =2, b =11, c =23, d =13. 4.将下列多项式f (x )表成x-a 的多项式. a) f (x )= x 5,a =1; b) f (x )=x 4-2x 2+3,a =-2. 解：用综合除法求出:a) f (x )= x 5=(x -1)5+5(x -1)4+10(x -1)3+10(x -1)2+5(x -1)+1; b) f (x )=x 4-2x 2+3=(x +2)4-8(x +2)3+22(x +2)2+24(x +2)+11. 5.求一次数小于4的多项式,使f (2)=3,f (3)=-1,f (4)=0,f (5)=2.解：f (x )= -32x 3+217x 2-6203x +426.求一个2次多项式,使它在x =0,,2ππ处于函数 sin x 有相同的值．结果：24()()f x x x ππ=--7.令f (x ) , g (x ),是两个多项式,并且f (x 3) +x g (x 3)可以被x 2+x +1.证明: f (1) = g (1) =0.证明: 因x 2+x +1| f (x 3) +x g (x 3).故x 2+x +1=0的根必为f (x 3) +x g (x 3)的根.而x 2+x +1=0的两个根是2,231ωωi+-=.但3ω=1.故有2(1)(1)0(1)(1)0f g f g ωω+=⎧⎨+=⎩，解此方程组得：f (1) = g (1) =0.8.令c 是一个复数,且是Q [x ]中一个非零多项式的根.令J ={ f (x )∈Q [x ] | f (c ) = 0}．证明：a)在J 中存在唯一的高次项系数是1的多项式p (x ),使得J 中每一多项式f (x )都可以写成p (x )q (x )的形式,这里q (x )∈Q [x ].b) p (x )在Q [x ]中不可约.如果c =32+,求上述的p (x )．证明: a) 因c 是Q [x ]中一个非零多项式的根,则J 中存在次数大于零的多项式,即令A ={ m |f (x )∈J ,∂︒( f (x ))=m }非空. A 中必有最小数设为n (n >0).其对应的多项式若为f (x ),令p (x )=1a f (x ), (a 0是f (x )的最高次项系数),则11()n n n p x x a xa -=+++ .现证当f (x ) ∈J 时,必有f (x ) =p (x )q (x ).对于任意的f (x )∈J ,由p (x )的取法知∂︒( f (x )) ≥∂︒(p (x )).以p (x )除f (x )得f (x )=p (x )q (x )+r (x ),其中r (x )=0或∂︒( r (x )) <∂︒(p (x )).由于r (c )=f (c )-p (c )q (c )=0,故知r (x )∈J . 由p (x )的取法知r (x )的次数不可能小于p (x )的次数.故只有r (x )=0,即f (x ) = p (x )q (x ).再证的唯一性.设另有p 1(x )具有上述性质,则p (x )| p 1(x )且p 1(x ) | p (x ).所以p 1(x ) = c p (x ).又首项系数都为1,故c =1,即p 1(x ) = p (x ).b) 反证法:设p (x )可约,令p (x )=p 1(x ) p 2(x ),知p 1(x )与p 2(x )的次数都小于p (x )的次数.又p (c )=p 1(c )p 2(c )=0,知p 1(c )=0或p 2(c )=0从而p 1(c )或p 2(c ) ∈J ,这与p (x )是J 中次数最低的多项式相矛盾.故p (x )不可约.若c =32+,则p (x )=(x -32+)(x +32+)(x -32-) (x +32-).9.设C [x ]中多项式f (x )≠0且f (x )| f (x n),n 是一个对于1的整数.证明: f (x )的根只能是零或单位根.证明: 因f (x )| f (x n),所以f (x n)= f (x )g (x ), g (x )∈C [x ].如果c 是f (x )的根,即f (c )=0则f (nc)=f (c )g (c )=0, f (2nc)= f (nc) g (nc)=0,, f (knc)= f (1-k nc) g (1-k nc)=0.由于, f (x )在C 中至多有n 个不同的根,故有i <j ,使jnc =inc ,所以c =0或1.即c =0或c 是单位根.2.7 复数和实数域上多项式1.设n 次多项式n n na x a x a x f +++=-10)( 的根是n αα,,1 .a) 求以n c c αα,,1 为根的多项式,这里c 是一个数;b) 以na 1,,11 α(假定0,,1≠n αα )为根的多项式.解：a) 若c =0,则n c c αα,,1 都为0,则g (x )= x n即是.若c ≠0,则令g (x )=)(1)(10n n na x a x a cc x f +++=- 为所求.b) 令g (x )= f (x 1)x n =nn n n x a x a x a +++--110 ,则g (x )是以na 1,,11α为根的多项式.2.设f (x )是一个多项式,用)(x f 表示把f (x )的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:a) 若是g (x )|f (x ),那么)(x g |)(x f ;b) 若是d (x )是f (x )和)(x f 的一个最大公因式,并且d (x )的最高次项系数是1,那么d (x )是一个实系数多项式.证明: a) 因为g (x )|f (x ),所以f (x )= q (x )g (x ), )(x f =)(x q )(x g 从而)(x g |)(x f .b) 若d (x )=(f (x ),)(x f ),则有u (x ), v (x )使的u (x )f (x )+ v (x ))(x f =d (x ),所以)(x d =)(x u )(x f +)(x vf f (x ),另一方面,由d (x )|f (x ), d (x )|)(x f ,可得)(x d |f (x ),)(x d |)(x f ,所以)(x d =(f (x ), )(x f ).从而d (x )=)(x d ,即d (x )是实系数多项式.3.给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 解:共9种:a (x +b )4; a (x +b 1)(x +b 2)3; a (x +b 1)2(x +b 2)2;a (x +b 1)(x +b 2)(x +b 3)2; a (x +b 1)(x +b 2)(x +b 3)(x +b 4); a (x 2+px +q )2; a (x 2+p 1x +q 1)(x 2+p 2x +q 2) ; a (x +b )2(x 2+px +q );a (x +b 1)(x +b 2)(x 2+px +q ) . (其中二次式x 2+px +q 不可约).4.在复数和实数域上分解x n-2为不可约因式的乘积.解: 在复数域上: x n -2=(x -n2)(x -)2()21--n nnx εε ,其中22cossini nn ππε=+; 在实数域上:当n 为奇数, x n-2=(x -n2)(x 2-222(1)cos(2n x nnππ-+-+ ;当n 为偶数, x n - 2=(x -n 2)(x +n 2)(x 222(2)cos(cosn x nnππ-+- )4n+.5.证明:数域F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.证明:设p (x )是F 上不可约多项式,因多项式的最大公因式不因数域扩大而改变, 所以在复数域内仍有(p (x ),'p (x ))=1,故p (x )在复数域内没有重根.2.8 有理数域上多项式1.证明以下多项式在有理域上不可约: a) x 4-2x 3+8x -10; b) 2x 5+18x 4+6x 2+6 c) x 4-2x 3+2x -3d) x 6+x 3+1提示：用艾森斯坦判断法. a)取p =2; b)取p =3; c)令x =y +1, 则f (x )=g (y )=y 4+2y 3-2, 取 p =2得g (y )不可约,即f (x )不可约;d)令x =y +1,则f (x )=g (y )=(y +1)6+(y +1)3+1=y 6+6y 5+15y 4+21y 3+18y 2 +9y+3,取p =3,得g (y )不可约,即f (x )不可约. 2利用艾森斯坦判断法,证明:若是t p p p ,,,21 是t 个不相同的素数,而n 是一个大于1的整数,那么ntp p p 21是一个无理数.证明:考虑多项式x n-t p p p ,,,21 ,因t p p p ,,,21 互不相同,取p=p 1满足艾森斯坦判断法,知x n -t p p p ,,,21 在有理数域上不可约, 因n<1无有理根,.因而.3.设f (x )是一个整数系数多项式,证明:若是f (0)和f (1)都是奇数,那么f (x )不能有整数根. 证明:设α是f (x )的一个整数根.则f (x )=(x -a )f 1(x ).由综合除法知f 1(x )也是整系数多项式.所以f (0)= -a f 1(0), f (1)=(1-a ) f 1(1),这是不可能的.因为α与1-α中有一个是偶数.从而f (0)与f (1)至少有一个是偶数,与题设矛盾.故f (x )无整数根.4.求以下多项式的有理数根: a) x 3-6x 2+15x -14; b) 4x 4-7x 2-5x -1;c) x 5-x 4-25x 3+2x 2-21x -3.解: a)有理单根-2; b)二重有理根-21; c)有理单根-1,2.2.9 多元多项式1.写出一个数域F 上三元三次多项式的一般形式.解：f =000a +∑=++1k j i kj i ijkzy x a+∑=++2k j i kj i ijkzy x a+∑=++3k j i kj i ijkzy x a其中,a ijk ∈F.2.设 f (n x x ,,1 )是一个r 次齐次多项式.t 是任意数.证明：f (n tx tx ,,1 )=t r f (n x x ,,1 ).证明：可设),,(1n x x f ∑=++=ri i i i i i i i n nnxx x a12121．于是 ),,(1n tx tx f ∑=++=ri i i i i i i i n nntx tx tx a12121)()()(∑=+++++=r i i i i i i i i i i i n nnnxx x ta1212121∑=++=ri i i i i ri i i n nnxx x t a12121∑=++=ri i i i i i i i rn nnxx x at12121rt=),,(1n x x f3. 设f (n x x ,,1 )是数域F 上一个n 元齐次多项式,证明:如果f (n x x ,,1 )=g (n x x ,,1 )h (n x x ,,1 ),则g ,h 也是n 元齐次多项式.证明：反证法，设g ,h 至少有一个不是n 元齐次多项式，不妨设是h ，则s g g g g +++= 21，1≥s ，i g 是齐次多项式，t h h h h +++= 21，1>t ，jh 是齐次多项式，并且假设)()()(21s g g g ∂︒>>∂︒>∂︒ ，)()()(21t h h h ∂︒>>∂︒>∂︒ ．则111112()()s t s tf ghg gh h g h g h g h ==++++=+++其中t s h g h g ,11都不能消去，与f 是齐次多项式矛盾．故,g h 都是齐次多项式． 4.把多项式x 3+y 3+z 3+3xyz 写成两个多项式的乘积. 原式=(x +y +z )3-3(x +y +z )(xy +yz +xz )= (x +y +z ) [(x +y +z )2-3 (xy + yz +xz )] = (x +y +z ) (x 2+y 2+z 2-xy -yz -zx ).5.设F 是数域. f ,g ∈F [n x x ,,1 ]是F 上n 元多项式. 如果存在h ∈F [n x x ,,1 ]使得f =gh ,那么就说g 是f 的一个因式.或者说g |f .a) 证明,每一f 都可以被零次多项式c 和cf 整除c ∈F , c ≠0.b) f ∈F [n x x ,,1 ]说是不可约的,如果除了a)中那种类型的因式外f 没有其它因式,证明在F [x ,y ]里多项式x ,y ,x +y ,x 2-y 都不可约.c) 举反例证明,当n ≥2时,类似于一元多项式的带余除法不成立.d) f ,g ∈F [n x x ,,1 ]说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零的公因式.证明x ,y ∈F [x ,y ]是互素的多项式.能是否找到u (x ,y ), v (x ,y ) ∈F [x ,y ],使得x u (x ,y )+y v (x ,y )=1?证明: a)因为0c ≠,所以1111,,(,,),(,,)[n n c cf x x f x x F cc∈ 1,,]nx x ,而11111(,,)[(,,)][(,,)]n n n f x x c f x x cf x x cc==所以|c f ,11(,,)|(,,)n n cf x x f x x .b) 现证对于1[,,]n F x x ,任意一次多项式不可约.设f 是1[,,]n F x x 的一次多项式.若f gh =,由次数定理有1= ()()()fgh ∂︒=∂︒+∂︒.因而g 与h 中有一个是0次多项式,故f 不可约.所以,,x y x y +都不可约.因2x y -是一个非齐次的二次多项式,如可约,只能是2x y -=()()x ay x b ++.比较()()x a y x b ++与2x y -的系数有:0,0b a ==,且1ab =-,这是不可能的,故2x y -不可约.c)例:若(,),(,)f x y x g x y y ==,若存在(,),(,)x y r x y ϕ使(,)(,)x x y y r x y ϕ=+,应有(,)0r x y =或c (常数).这是不可能的.即对于二元多项式.带余除法定理不成立. d)因为x 的因式只有常数c 与cx ,而x 不是y 的因式,故x 与y 的公共因式只有常数c (且0c ≠),故x 与y 互素.因对任意(,),(,)u x y v x y ,(,)(,)xu x y yv x y +没有零次项,所以找不到(,),(,)u x y v x y 使(,)(,)xu x y yv x y +=1.2.10 对称多项式1. 写出某一数环R 上三元三次对称多项式的一般形式. 结果: a 300(x 3+y 3+z 3)+a 210(x 2y +x 2z +y 2x +y 2z +z 2x +z 2y )+a 200(x 2+ y 2+z 2)+a 110(xy +xz +yx )+a 100 (x+y+z )+a 111(xyz )+a 000其中,a ijk ∈F.2.令R [n x x ,,1 ]是数环R 上n 元多项式环, S 是由一切n 元对称多项式组成的R [n x x ,,1 ]的子集.证明存在R [n x x ,,1 ]到S 的一个双射.证明:设1,,n σσ 是1,,n x x 的初等对称多项式.对任意11(,,)[,,]n n f x x R x x ∈ 规定1:(,,)|n f x x τ→ 1(,,)n f σσ ,则1(,,)n f σσ 是S 中唯一确定的多项式.既τ是R [n x x ,,1 ]到S 的映射, 对任意的1(,,)n g x x S ∈ ,由对称多项式的基本定理,有唯一的1(,,)n h σσ 使11(,,)(,,)n n h g x x σσ= .这里1(,,)n h x x [F ∈ 1,,]n x x ,故111((,,))(,,)(,,)n n n h x x h g x x τσσ== .故τ是满射.如果11(,,)(,,)n n f x x g x x ≠ 那么11(,,)(,,)n n f g σσσσ≠ ,所以τ是单射.从而是R [n x x ,,1 ]到S 的一个双射3.把下列多元多项式表成初等对称多项式的多项式: a)∑231x x; b)∑41x; c)32221x x x∑;解: a) 2212213424σσσσσσ--+;b) 42211221344244σσσσσσσ-++-; c) 2314535σσσσσ-+;4.证明:如果一个三次多项式x 3+ax 2+bx +c 的一个根的平方等于其余两个根的平方和那么这个多项式的系数满足以下关系: 2324)22(2)2(c ab a b a a +-=-.证明:设,,αβγ是32x ax bx c -++的三个根.则由条件知(,,f αβγ=222()αβγ--222()βγα--222()γαβ--=0,把(,,)f αβγ用初等对称多项式表出,得(,,)f αβγ=64223211212131233688168σσσσσσσσσσσ-++-+=4211(σσ-32211232)2(22)σσσσσ-++-.因123,,a b c σσσ=-=-=,用它们代入上式得(,,)f αβγ=42(a a -322)2(22)b a ab c -+++=0所以42(a a 322)2(22)b a ab c -=++.5.设n αα,,1 是某一数域F 上多项式x n +a 1x n -1++ a n -1x +a n 在复数域内的全部根.证明:2,,n αα 的每一个对称多项式都可以表成F 上关于1α的多项式.证明:设f (2,,n αα )是关于2,,n αα 的任意一个对称多项式.由对称多项式的基本定理有211(,,)(',,')n n f a a g σσ-= ,其中'i σ(1,2,,1i n =- )是nαα,,2的初等对称多项式.由于111'a σσ=-,11''i i i a σσσ-=-(2,,1i n =- ) 其中i σ是n αα,,1 的初等对称多项式.又(1)ii i a σ=-(1,2,,1i n =- ),是数域F 中的数,将它们代入上式可知, 'i σ是1a 与中的数11,,n αα- 的一个多项式,不妨记为i p (11,,n αα- )='i σ(1,2,,1i n =- ),再将它们代入f g=式右端,即证明f (nαα,,2)可表为1a 与11,,n αα- 的多项式.由11,,n αα- 是F 中的数,即f (nαα,,2)是F 上关于1a 的多项式:1()G a .。
多项式习题
例4.
解：
b)综合除法
例5.设
f x x 2 x 2 x 5, g x x 2
4 3
用g x 除 f
x ，求商q x 与余式 r x 。
提示: 用综合除法做除式为 x 2 的带余除法。 解:
1 2 0 2 5 2
1 0 2 0 3 2 ) 2 4 4 8
提示：用综合除法把多项式表示成幂级数。
1 2 2 4 11c0 2 8 20 1 4 10 24c1
于 是 f x qx x 2 x 2 x 1 x 2 f x , f x
由于f x 与 qx 有完全相同的不可约因式 x 1, x 2 ， 可见f x 有根 1 ,2 。再用综合除法，有
1
1
2 1
-6 3
2 12
c4 所以 f ( x) 11 24( x 2) 22( x 2)2 8( x 2)3 ( x 2)4
1 6 22c2 2 1 8c3
例8.
解：
6 5 4 3 2 f x x 4 x 8 x 10 x 8 x 4x 1 例9.分解因式
f x , g x 1, i 1,..., m, j 1,..., n
所以有理数域上的不可约多项式p( x)
2 2 g ( x ) ( x x 1 ) 因此
x x 1 是 g ( x)
2
的2重因式，
于是 f ( x) ( x 1)
2
( x x 1)
2
2
c)用辗转相除法求最大公因式
第一章多项式
第一章 多项式（第1讲）目标与要求理解数域、一元多项式的概念，掌握一元多项式的运算及基本性质．重点难点重点：一元多项式的概念、运算及基本性质．难点：一元多项式的定义．设计安排实际问题为出发点，引出数域的概念，通过教材P 2（例1）加深对概念的理解，最后指出：任何数域都包含有理数域作为它的一部分．给出一元多项式的有关概念，进而讨论其运算及基本性质，补充例题（幻灯片例2）加深对本段内容的理解．教学进程见幻灯片部分．（2课时）教学内容§1 数域定义 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域.全体有理数的全体组成一数域全体实数组成的集合、全体复数组成的集合也都是数域.上述三个数域常用字母Q 、R 、C 表示.注意：全体整数组成的集合就不是数域.数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.而代数所研究的问题主要涉及数的代数性质.例1 所有具有形式2b a 的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.例2 所有整组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于除法不封闭.所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.§2 一元多项式1 一元多项式定义 设n 是一非负整数，形式表达式0111a x a x a x a n n n n ++++-- ,其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式.i i x a 称为i 次项，i a 称为i 次项的系数.用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式. 同次项的系数全相等，那么)(x f 与)(x g 就称为相等，记为)()(x g x f =.系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.如果0≠n a ，那么nn x a 称为多项式的首项，n a 称为首项系数，n 称为多项式的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f 的次数记为))((x f ∂.2 多项式的运算设 0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=--是数域P 上两个多项式，即∑==n i i ix a x f 0)(，∑==m j j j x b x g 0)(在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ≥，为了方便起见，在)(x g 中令011====+-m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为∑=---+=++++++++=+n i i i i n n n n n n xb a b a x b a x b a x b a x g x f 00011111)()()()()()()(而)(x f 与)(x g 的乘积为001001111)()()()(b a x b a b a x b a b a x b a x g x f m n m n m n m n m n ++++++=-+--+其中s 次项的系数是∑=+--=++++s j i j i s s s s b a b a b a b a b a 011110所以)(x f )(x g 可表成 s mn s s j i j i x b a x g x f )()()(0∑∑+==+=.显然，)))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂.对于多项式的乘法，可以证明，若0)(,0)(≠≠x g x f ，则0)()(≠x g x f ，并且))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂多项式乘积的首项系数等于因子首项系数的乘积. 结果均可推广到多个多项式的情形. 运算法则：1. )()()()(x f x g x g x f +=+. （加法交换律）2. ))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++ （加法结合律）3. )()()()(x f x g x g x f = （乘法交换律）4. ))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f = （乘法结合律）5. )()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+ （乘法分配律）另外：若)()()()(x h x f x g x f =且0)(≠x f ，则)()(x h x g =.定义 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为][x P .备注提出如下问题：1．中学数学中的多项式与高等代数中的多项式有何区别？2．多项式相等与方程有无区别？3．次数公式∂（f +g ）≤max （∂（f ）,∂（g ））中何时取“=”号？作业布置课后相应习题第一章 多项式（第2讲）目标与要求理解整除的概念；掌握整除的基本性质和带余除法定理．重点难点重点：掌握整除的基本性质和带余除法定理．难点：整除的概念、性质．设计安排通过P[x]中多项式的运算，引出如何描述两个多项式的相除关系问题，进而讨论带余除法、整除问题．最后强调：P [x ]中的多项式不能做除法,整除性不是多项式的运算,它是P [x ]中元素间的一种关系,即任给f (x ) , g (x ) ∈P [x ]，可以判断 g (x ) | f (x ) 或 g (x ) | f (x ).教学进程见幻灯片部分．（2课时）教学内容§3 整除的概念1 整除的概念带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ，其中0)(≠x g ，一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在，使 )()()()(x r x g x q x f += 成立，其中))(())((x g x r ∂<∂或者0)(=x r ，并且这样的)(),(x r x q 是唯一决定的. 带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商，)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式. 定义 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ，如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式)()()(x h x g x f =成立.用“)(|)(x f x g ”表示)(x g 整除)(x f ，用“)(|)(x f x g /”表示)(x g 不能整除)(x f .当)(|)(x f x g 时，)(x g 就称为)(x f 的因式，)(x f 称为)(x g 的倍式.定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，其中0)(≠x g ，)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.当)(|)(x f x g 时，如0)(≠x g ，)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用)()(x g x f 来表示. 2 整除的几个常用性质 性质1. 若)(|)(),(|)(x f x g x g x f ，则)()(x cg x f =,其中c 为非零常数.性质2. 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ，则)(|)(x h x f （整除的传递性）.性质3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.性质4. 任一多项式)(x f 一定整除它自身.性质5. 任一多项式)(x f 都能整除零多项式0.称)()()()()()(2211x g x u x g x u x g x u r r +++ 为)(,),(),(21x g x g x g r 的一个组合. 于是，有若r i x g x f i ,,2,1),(|)( =，则))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r +++ .最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变. 即若)(x f ，)(x g 是][x P 中两个多项式，P 是包含P 的一个较大的数域.当然，)(x f ，)(x g 也可以看成是][x P 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把)(x f ，)(x g 看成是][x P 中或者是][x P 中的多项式，用)(x g 去除)(x f 所得的商式及余式都是一样的.因此，若在][x P 中)(x g 不能整除)(x f ，则在][x P 中，)(x g 也不能整除)(x f .备注整除的定义应注意：1．整除的定义与数域扩大（缩小）无关；2．由2211[]x x x x P x x x=⋅∈不能认为可以整除，因为。
第一章多项式练习题及答案
第一章多项式一 单选题1.在数域P 的一元多项式环P []x 中，能整除任意多项式的多项式是（ B ）.A. 不可约多项式； B ． 零次多项式；C ． 零多项式；D ． 本原多项式．2．下列对于多项式的结论不正确的是（ A ）.A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么()[]h x P x ∀∈，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f3．设f (x )，g (x )，p (x )∈P [x ], 且p (x )在P 上不可约，如果)()()(x g x f x p ，则下列命题成立的是( C )．A ．)()(x f x p 且)()(x g x p ；B ．)()(x f x p 但p (x )g (x )；C ．)()(x f x p 或)()(x g x p ；D ．p (x ) f (x ) 且p (x ) g (x )．4．设)(x p 是不可约多项式，][(x P x f ∈∀，则以下命题正确的是（ D ）．A ．)(x p 不能整除)(x f ；B ． ()1)(),(=x f x p ；C ．)()(x f x p ；D ． )()(x f x p 或()1)(),(=x f x p5. 若()()(),1f x g x =且()()()f x g x h x ，则（ D ）. A. ()()f x h x 且()()f x g x ；B. ()()f x h x 或()()f x g x ；C. ()()f x g x ；D. ()()f x h x ． 6．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则k=（ B ）．A ．1 ；B ． 2 ；C ． 3 ；D ．4 ．7.艾森斯坦因判别法是判断一个多项式在有理数域上不可约的（ C ）.A.必要非充分条件；B.必要且充分条件；C.充分非必要条件；D.既非充分条件又非必要条件． 8．设q p是整系数多项式01()n n f x a a x a x =+++的有理根，且(,)1q p =，则下列说法正确的是（ C ）A.|n p a ，|n q a ；B.0|p a ，0|q a ；C.|n p a ，0|q a ；D. 0|p a ，|n q a ；9.下列命题错误的是( C ).A.在有理数域上存在任意次不可约多项式B.在实数域上3次多项式一定可约C.在复数域上次数大于0的多项式都可约D.在实数域上不可约的多项式在复数域上没有重根10.下面论述中, 错误的是( D ) .A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=.二. 填空题1．设,))((,))((m x g n x f =∂=∂ 则≤+∂))()((x g x f ，=∂))()((x g x f 。
数据结构C语言版部分习题及答案[2]
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第二章习题与解答一判断题1．线性表的逻辑顺序与存储顺序总是一致的。
2．顺序存储的线性表可以按序号随机存取。
3．顺序表的插入和删除操作不需要付出很大的时间代价，因为每次操作平均只有近一半的元素需要移动。
4．线性表中的元素可以是各种各样的，但同一线性表中的数据元素具有相同的特性，因此是属于同一数据对象。
5．在线性表的顺序存储结构中，逻辑上相邻的两个元素在物理位置上并不一定紧邻。
6．在线性表的链式存储结构中，逻辑上相邻的元素在物理位置上不一定相邻。
7．线性表的链式存储结构优于顺序存储结构。
8．在线性表的顺序存储结构中，插入和删除时，移动元素的个数与该元素的位置有关。
9．线性表的链式存储结构是用一组任意的存储单元来存储线性表中数据元素的。
10．在单链表中，要取得某个元素，只要知道该元素的指针即可，因此，单链表是随机存取的存储结构。
二单选题 (请从下列A，B，C，D选项中选择一项)1．线性表是( ) 。
(A) 一个有限序列，可以为空；(B) 一个有限序列，不能为空；(C) 一个无限序列，可以为空；(D) 一个无序序列，不能为空。
2．对顺序存储的线性表，设其长度为n，在任何位置上插入或删除操作都是等概率的。
插入一个元素时平均要移动表中的（）个元素。
(A) n/2 (B) n+1/2 (C) n -1/2 (D) n3．线性表采用链式存储时，其地址( ) 。
(A) 必须是连续的；(B) 部分地址必须是连续的；(C) 一定是不连续的；(D) 连续与否均可以。
4．用链表表示线性表的优点是（）。
(A)便于随机存取(B)花费的存储空间较顺序存储少(C)便于插入和删除(D)数据元素的物理顺序与逻辑顺序相同5．某链表中最常用的操作是在最后一个元素之后插入一个元素和删除最后一个元素，则采用( )存储方式最节省运算时间。
(A)单链表(B)双链表(C)单循环链表(D)带头结点的双循环链表6．循环链表的主要优点是( )。
(A)不在需要头指针了(B)已知某个结点的位置后，能够容易找到他的直接前趋(C)在进行插入、删除运算时，能更好的保证链表不断开(D)从表中的任意结点出发都能扫描到整个链表7．下面关于线性表的叙述错误的是( )。
一元多项式的简单计算
一元多项式简单计算学生姓名：冯茹指导老师：陈倩诒摘要本次试验依据长沙理工大学10级数据结构实验要求，较完善的对题目进行了分析，理解和编程，程序思路清晰，考虑全面。
对于此题，应该使用链式存储结构存储多项式的信息，并根据算法用C语言编程。
同时在的报告后面附带了一部分程序源码和对程序的同步解释，为了更直观的对程序的理解，该报告还运用了框架图，使读者能够更好地认识程序。
在用C语言编程的时候，要用到的语句主要有函数调用语句，输入和输出语句等。
关键词链式存储结构；C语言；函数调用目录1、引言.................................. 错误!未定义书签。
1.1 本次课程设计目的......................... 错误!未定义书签。
1.2 实验环境............................................. - 2 -1.3 实验的任务要求....................................... - 3 -2、设计思路与方案 (2)2.1 问题的数学模型 (2)2.2 算法设计 (2)2.3 构造数据结构 (3)2.4 存储结构 (3)3、详细实现 (4)3.1可行性研究 (4)3.2系统结构与主要功能模块 (4)3.3 系统设计 (6)4、运行环境与结果 (9)5、结束语 (11)参考文献 (12)附录 (13)1.引言1.1本次课程设计的目的是对数据结构所学内容的进一步的理解与巩固，是将计算机课程与实际问题相联接的关键步骤。
通过课程设计，能够提高分析问题、解决问题，从而运用所学知识解决实际问题的能力。
1.2实验环境Visual C++ 6.01.3 实验的任务要求1.3．1 任务设计一个一元多项式简单的计算器。
1.3.2 要求⑴输入并建立多项式；(2)输出多项式；(3)两个多项式想加，建立并输出和多项式；(4)两个多项式相减，建立并输出差多项式。
一-多项式训练及答
3) 若 f(x)=0, 则结论成立 则结论成立. 若 f(x)≠0, 则由 f(2x)= f(x+x)= f(x) f(x) ≠ 只能是非零常数, 知 f(x)只能是非零常数 设其为 则 只能是非零常数 设其为k, k=f(0)=f(0+0)=f(0) f(0)=k2 , 此时 k=1; 所以 k=1或0 . 或 为任意的多项式, 四. 在P[x]中, 设g(x)≠0, h(x)为任意的多项式 中 ≠ 为任意的多项式 试证: 试证 ( f(x), g(x))=( f(x)-h(x)g(x), g(x)) . 证: 由g(x)≠0, 可设 ( f(x), g(x))=d(x) ≠ 则 f(x)=q1(x)d(x), g(x)=q2(x)d(x) 于是 f(x)-h(x)g(x)=[q1(x)-h(x)q2(x)]d(x)
韦达定律, 韦达定律 有 (x1-c)+(x2-c)+…+(xn-c)=x1+x2+…+xn … … 从而c=0, 与假设矛盾 即证是常数 ; 与假设矛盾, 从而 2) 在 f(a+b)= f(a)+f(b) 中, 令 a=b=0, 可得 f(0)=0, 的一个根, 于是 x0=0是 f(x)的一个根 是 的一个根 再令x=2t, 得 从而有 f(x)=xg(x) 再令 2tg(2t)=f(2t)= f(t+t)= f(t)+f(t)=2f(t)=2tg(t) ⇔ g(2t)=g(t) 为一个常数, 即g(x)为一个常数 设其为 代入可得 为一个常数 设其为k, f(x)=kx ;
(A) 有整数根 ; (B) 无整数根 ; (C) 有有理根 ; (D) 无有理根 . 二. 填空题 1. 设 f (x)|g(x) , 则 f (x)与g(x) 的最大公因式 与 ≠ ≠ 为 c( f(x),g(x))=c1 f(x), c(≠0), c1(≠0), ∈P . 2. 设 a≠0, 用ax-b 除 f(x)所得的余式是函数 ≠ 所得的余式是函数 值 f(b/a) . 3. 多项式 (x) 、g(x)互素的充要条件是存在 多项式f 互素的充要条件是存在 多项式u(x)、v(x)使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1 . 多项式 、 使得
一元多项式
所以 r2 x就是 f x与 gx的最大公因式：
f x, gx x 3
定理 1.4.2
若dx 是 P[x] 的多项式 f x与 gx的最大公因 式，那么在 P[x] 里可以求得多项式 ux与vx ，
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。
三、重点、难点
多项式的整除概念，带余除法定理
1.3.1 多项式的整除概念
设P是一个数域. P[x]是P上一元多项式.
定义1
设f x, gx P[x] ，如果存在 hx P[x] ，使得
f x gxhx，则称 gx整除 f x ，记为
3
虽然 a1,b1, a2,b2 Z，
不一定属于Z ，所以
不是数域.
a1aa不222 一33bb定122b2属, a于a2b221Z(3ab132b2)2
，因此 Z (
3)
定理1.1 任何数域都包含有理数域 Q. (有理数域是最小的数域).
定理1.2 若数域 P R，则P C. (实数域和复数域之间没有其它的数域).
则 (a1 a2) b1 b2 2 Q 2 ，
a1 b1 2 a2 b2 2
(a1a2 2b1b2 ) a1b2 a2b1 2 Q 2
显然，Q Q( 2) R.
再设 a2 b2 2 0, 即 a2,b2 不全为零，从
而 a2 b2 2 0 ， a1 b1 2 a1 b1 2 a2 b2 2 a2 b2 2 a2 b2 2 a2 b2 2
a 叫做 i 次项, i叫做 i 次项的系数.
注 2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系
数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那 么这个系数可以省略不写。
多项式的四则运算
摘要在算法程序的设计与编写过程中，根据对本题的要求分析，结合设计对象的特点，实现一元多项式的加、减、乘、除以及对多项式求导、求值的相关计算。
根据一元多项式的结构特点和运算规则。
本程序中采用了链表的存储与实现，采用链表可以很方便的对其中的结点进行插入、删除等操作。
通过链表的合并即可完成多项式的四则运算。
1 引言：1.1 待处理问题的问题背景：本题要求对从键盘上输入的任意两个一元多项式，能够分别对每个多项式进行降幂排序并输出，实现对这两个多项式的加、减、乘、除等相关运算。
在具体实现时，可采用链式存储结构将多项式中的每一项连接起来，从而表达出整个多项式，其中每一项是一个一元多项式，通过每一项系数与指数的输入设定，可以实现对整个多项式的设定，再通过建立单链表，结点来存储每一项的系数与指数，通过链表完成多项式的存储，对每个多项式分别建立一个链表，通过链表的加减乘除运算规则实现连标的合并，最终得到计算结果。
2需要完成的任务：根据题目要求，本程序需要实现对两个一元多项式的四则运算以及对多项式进行赋值求值运算、求导运算等相关计算，要求正确输出运算结果，对不满足输入要求的数据有一定的反应。
3设计：3.1核心算法的设计与说明：3.1.1 一元多项式的定义：有多个单项式的代数和就构成了多项式，一元多项式就是只含有一个变元的多项式。
所以由定义可知有n个单项式组成的一元多项式来说，它的运算是满足交换率的，所以可进行降幂排序，只需将它的所有指数相比较，然后将指数大的放前面，小的放后面即可完成排序。
3.1.2本题的核心算法：首先调用建表函数，CreatePolyn建立两个一元多项式，然后对两个一元多项式进行降幂排序，该过程的实现主要由insert（）函数实现，然后调用相应的计算函数: 加（AddPolyn）、减（SubtractPolyn）、（MultiplyPolyn）、除（DevicePolyn）、导数（Derivative）、求值（ValuePolyn）。
一元多项式习题及解答
习 题 一A 组1. 判别{},a a b =+∈QQ 是否为数域 解 是．2. 设32()1f x x x x =+++，2()32g x x x =++，求()()f x g x +，()()f x g x -，()()f x g x ． 解 32()()243f x g x x x x +=+++，3()()21f x g x x x -=--，5432()()46652f x g x x x x x x =+++++．3．设19932199431995()(54)(421)(8112)f x x x x x x =----+，求()f x 的展开式中各项系数的和． 解 由于()f x 的各项系数的和等于(1)f ，所以199319941995(1)(54)(421)(8112)1f =----+=-．4. 求()g x 除以()f x 的商()q x 与余式()r x ．(1) 322()31,()321f x x x x g x x x =---=-+； (2) 42()25,()2f x x x g x x x =-+=-+．解 (1) 用多项式除法得到 所以，17262(),()3999q x x r x x =-=--． (2) 用多项式除法得到 所以，2()1,()57q x x x r x x =+-=-+．5．设,a b 是两个不相等的常数，证明多项式()f x 除以()()x a x b --所得余式为()()()()f a f b af b bf a x a b a b--+--． 证明 依题意可设()()()()f x x a x b q x cx d =--++，则解得故所得余式为()()()()f a f b af b bf a x a b a b--+--．6. 问,,m p q 适合什么条件时，()f x 能被()g x 整除(1) 3()f x x px q =++，2()1g x x mx =+-；(2) 42()f x x px q =++，2()1g x x mx =++．解 (1) 由整除的定义知，要求余式()0r x =．所以先做多项式除法，要求2()(1)()0r x p m x q m =+++-=， 所以2(1)0,0p m q m ++=-=．即21,p m q m =--=时，可以整除．(2) 方法同上．先做多项式除法，所得余式为22()(2)(1)r x m p m x q p m =--++--，所以22(2)0,10m p m q p m --=+--=，即01m p q ==+，或22,1p m q -==时，可以整除．7. 求()f x 与()g x 的最大公因式:(1) 43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--；(2) 4332()41,()31f x x x g x x x =-+=-+；(3) 42432()101,()61f x x x g x x x =-+=-+++．解 (1) 用辗转相除法得到用等式写出来，就是2()()(231)f x xg x x x =+---，21133()(231)2444g x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，284332313344x x x x ⎛⎫⎛⎫---=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()(),()1f x g x x =+．(2) 同样地，所以()(),()1f x g x =.(3) 同样用辗转相除法，可得 ()2(),()1f x g x x =--．8. 求(),()u x v x 使()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=：(1) 432432()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---：(2) 43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+：(3) 4322()441,()1f x x x x x g x x x =--++=--．解 (1) 利用辗转相除法，可以得到3()()(2)f x g x x x =+-，32()(1)(2)(2)g x x x x x =+-+-，322(2)x x x x -=-．因而，()2(),()2f x g x x =-，并且所以()1,()2u x x v x x =--=+(2) 利用辗转相除法，可以得到2()2()(639)f x xg x x x =-+-，211()(639)(1)33g x x x x x ⎛⎫=-+--+-- ⎪⎝⎭， 2(639)(1)(69)x x x x -+-=--+．因而，()(),()1f x g x x =-，并且 所以21122(),()13333u x x v x x x =-+=--． (3) 利用辗转相除法，可以得到2()(3)()(2)f x x g x x =-+-， ()(1)(2)1g x x x =+-+．因而()(),()1f x g x =，并且所以32()1,()32u x x v x x x x =--=+--． 9. 设323()(1)22,()f x x t x x u g x x tx u =++++=++的最大公因式是一个二次多项式，求,t u 的值．解 利用辗转相除法，可以得到 2()()(1)(2)f x g x t x t x u =+++-+，222222212()(1)(2)[(1)(2)]()(1)(2)1(1)(1)(1)t t t u t t u t t g x x t x t x u x t t t t ⎡⎤⎛⎫-+-++-+--⎡⎤=+++-+++ ⎪⎢⎥⎣⎦++++⎝⎭⎣⎦由题意，()f x 与()g x 的最大公因式是一个二次多项式，所以解得0,4u t ==-．10. 设()242(1)1x Ax Bx -++，求A 和B ．解 用2(1)x -去除()f x 421Ax Bx =++，得余式1()(42)13r x A B x A B =++--，由题意要求知1()0r x =，即解得1,2A B ==-．11. 证明：如果()(),()1f x g x =，()(),()1f x h x =，那么()(),()()1f x g x h x =．证明 由条件可知，存在1()u x 和1()v x 使得11()()()()1u x f x v x g x +=，存在2()u x 和2()v x 使得22()()()()1u x f x v x h x +=．用()h x 乘以第一式得11()()()()()()()u x f x h x v x g x h x h x +=，代入第二式得[]2211()()()()()()()()()1u x f x v x u x f x h x v x g x h x ++=，即[]21212()()()()()[()()]()()1u x u x v x h x f x v x v x g x h x ++=，所以()(),()()1f x g x h x =．12. 证明：如果()f x 与()g x 不全为零，且()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，那么()(),()1u x v x =．证明 由于()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，()f x 与()g x 不全为零，所以()(),()0f x g x ≠．两边同时除以()(),()0f x g x ≠，有()()()()()()1(),()(),()f x g x u x v x f x g x f x g x +=， 所以()(),()1u x v x =． 13. 证明：如果()(),()()d x f x d x g x ，且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．证明 由题意知()d x 是()f x 与()g x 的公因式．再由条件设()()()()()d x u x f x v x g x =+． 又设()h x 为()f x 与()g x 的任一公因式，即()(),()()h x f x h x g x ，则由上式有 ()()h x d x ．故而()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．14. 证明：()()()(),()()(),()()f x h x g x h x f x g x h x =，其中()h x 的首项系数为1．证明 显然()(),()()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个公因式．下面来证明它是最大公因式． 设(),()u x v x 满足()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，则()()()()()()((),())()u x f x h x v x g x h x f x g x h x +=．由上题结果知，()(),()()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式，又首项系数为1，所以()()()(),()()(),()()f x h x g x h x f x g x h x =．15. 设多项式()f x 与()g x 不全为零，证明()()()(),1(),()(),()f x g x f x g x f x g x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．证明 设()()(),()d x f x g x =，则存在多项式(),()u x v x ，使()()()()()d x u x f x v x g x =+．因为()f x 与()g x 不全为零，所以()0d x ≠．上式两边同时除以()d x ，有()()()()1()()(),()(),()f x g x u x v x f x g x f x g x =+， 故()()()(),1(),()(),()f x g x f x g x f x g x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭成立．16．分别在复数域、实数域和有理数域上分解41x +为不可约因式之积．解 在实数域上的分解式为 ()()4222221(1)211x x x x x +=+-=+++．在复数域上的分解式为4122222222x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-++---+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．在有理数域上41x +是不可约多项式．否则，若41x +可约，有以下两种可能．（1）41x +有一次因式，从而它有有理根，但(1)0f ±≠，所以41x +无有理根．（2）41x +无一次因式，设4221()()x x ax b x cx d +=++++，其中,,,a b c d 为整数．于是0a c +=，0b d ac ++=，0ad bc +=，1bd =，又分两种情况：①1b d ==，又 a c =-，从而由 0b d ac ++=，得22a =，矛盾；②1b d ==-，则22a =-，矛盾．综合以上情况，即证．17. 求下列多项式的有理根：(1) 32()61514f x x x x =-+-；(2) 42()4751g x x x x =---；(3) 5432()614113h x x x x x x =+----．解 (1)由于()f x 是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为14-的因数．14-的因数有：1,2,7,14±±±±，计算得到：故2x =是()f x 的有理根．再由多项式除法可知，2x =是()f x 的单根．(2) 类似（1）的讨论可知，()g x 的可能的有理根为：111,,24±±±，计算得到 111171111(1)9,(1)1,5,0,,22464464g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--==--==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故12x =-是()g x 的有理根．再由多项式除法可知，12x =-是()f x 的2重根． (3) 类似地，()h x 的可能的有理根为：1,3±±，计算得到(1)28,(1)0,(3)0,(3)96h h h h =--==-=-．故1x =-，3x =是()h x 的有理根．再由多项式除法可知，1x =-是()h x 的4重根，3x =是()h x 的单根．18．若实系数方程30x px q ++=有一根a bi +（,a b 为实数，0b ≠），则方程30x px q +-=有实根2a ．证明 设原方程有三个根123,,ααα．不失一般性，令1a bi α=+，从而有 2a bi α=-，由根与系数的关系可知 12330()()a bi a bi αααα=++=++-+，所以32a α=-，即3(2)(2)0a p a q -+-+=，故3(2)(2)0a p a q +-=．这说明30x px q +-=有实根2a ．19. 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -．证明 因为(1)()n x f x -，所以 (1)(1)0nf f ==．因此，令()(1)()f x xg x =-，则有 ()(1)()n n n f x x g x =-， 即(1)()n n x f x -．20. 下列多项式在有理数域上是否可约(1) 21()1f x x =+；(2) 4322()8122f x x x x =-++；(3) 633()1f x x x =++；(4) 4()1p f x x px =++，p 为奇素数；(5) 45()41f x x kx =++，k 为整数．解 （1）1()f x 的可能的有理根为：1±，而(1)2f ±=，所以它在有理数域上不可约．（2）由Eisenstein 判别法，取素数2p =，则2不能整除1，而 2(8),212,22-，但是22不能整除2，所以该多项式在有理数域上不可约．（3）令1x y =+，代入633()1f x x x =++有654323()(1)615211893g y f y y y y y y y =+=++++++．取素数3p =，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以()f x 在有理数域上不可约．(4) 令1x y =-，代入4()1p f x x px =++，得11222214()(1)()p p p p p p p p p g y f y y C y C y C y C p y p ----=-=-+--++-，取素数p ，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以4()f x 在有理数域上不可约．(5) 令1x y =+，代入45()41f x x kx =++，得4325()(1)46(44)42g y f y y y y k y k =+=++++++，取素数2p =，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以5()f x 在有理数域上不可约．B 组1．设()f x ，()g x ，()h x 是实数域上的多项式，(1) 若222()()()f x xg x xh x =+，则()()()0f x g x h x ===．(2) 在复数域上，上述命题是否成立证明 (1）当()()0g x h x ==时，有2()0f x =，所以()0f x =，命题成立．如果()g x ，()h x 不全为零，不妨设()0g x ≠．当()0h x =时，()22()()12()xg x xh x g x ∂+=+∂为奇数；当()0h x ≠时，因为()g x ，()h x 都是实系数多项式，所以2()xg x 与2()xh x 都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有22(()())xg x xh x ∂+为奇数．而这时均有2()0f x ≠，且2()2()f x f x ∂=∂为偶数，矛盾．因此有()()0g x h x ==，从而有()0f x =．(2) 在复数域上，上述命题不成立．例如，设()0f x =，()n g x x =，()i nh x x =，其中n 为自然数，有222()()()f x xg x xh x =+，但()0g x ≠，()0h x ≠．2. 设(),(),()[]f x g x h x P x ∈，满足 2(1)()(1)()(2)()0x h x x f x x g x ++-++=,2(1)()(1)()(2)()0x h x x f x x g x ++++-=．证明()2(1)(),()x f x g x +.证明 两式相加得到22(1)()2(()())0x h x x f x g x +++=.由2(1,)1x x +=可知 ()2(1)()()x f x g x ++.两式相减得到2()4()0,()2()f x g x f x g x -+==. 故()()221(),1()x f x x g x ++，即()()21(),()x f x g x +.3．设1212()()()()g x g x f x f x ，证明(1) 若11()()f x g x ，1()0f x ≠，则22()()g x f x ；(2) 若212()()()g x f x f x ，是否有22()()g x f x解 (1) 因为1212()()()()g x g x f x f x ，11()()f x g x ，故存在多项式()h x ，1()h x 使得1212111()()()()(),()()()f x f x g x g x h x g x f x h x ==．于是12112()()()()()()f x f x f x h x g x h x =．由于1()0f x ≠，故有212()()()()f x h x g x h x =，即22()()g x f x ．(2) 否．例如取1()2g x x =-，22()1g x x =-，1()(1)(2)f x x x =--，2()(1)(2)f x x x =++．虽然1212()()()()g x g x f x f x 且212()()()g x f x f x ，但2()g x 不能整除2()f x ．4．当k 为何值时，2()(6)42f x x k x k =++++和2()(2)2g x x k x k =+++的最大公因式是一次的并求出此时的最大公因式．解 显然()()(2)g x x k x =++．当()(),()2f x g x x =+时，(2)42(6)420f k k -=-+++=，则3k =．当()(),()f x g x x k =+时，2()(6)420f k k k k k -=-+++=，则1k =．这时()(),()1f x g x x =+． 5．证明：对于任意正整数n ，都有 ()()(),()(),()n n n f x g x f x g x =．证明 由题意可知()f x 与()g x 不全为零．令()(),()()f x g x d x =，则()0d x ≠，从而()(),1()()f x g x d x d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以对任意正整数n ，有()(),1()()n n f x g x d x d x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是有 ()()()()1()()n nf xg x u x v x d x d x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 ()()()()()n n n u x f x v x g x d x +=． 又由()()d x f x ，()()d x g x ，有()()n n d x f x ，()()n n d x g x ，因此()n d x 是()nf x 与()ng x 的首项系数为1的最大公因式，从而有()()(),()()(),()nn n n f x g x d x f x g x ==． 6. 设11()()(),()()(),f x af x bg x g x cf x dg x =+=+且0ad bc -≠，证明()()11(),()(),()f x g x f x g x =．证明 设()(),()()f x g x d x =，则()(),()()d x f x d x g x ．由于1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+， 故11()(),()()d x f x d x g x ．又设11()(),()()h x f x h x g x ，由上式及0ad bc -≠，可得11()()()d b f x f x g x ad bc ad bc =---， 11()()()c a g x f x g x ad bc ad bc-=+--， 从而 ()(),()()h x f x h x g x ，于是 ()()h x d x ，即()d x 也是1()f x 和1()g x 的最大公因式，即()()11(),()(),()f x g x f x g x =．7．设1()()()f x d x f x =，1()()()g x d x g x =，且()f x 与()g x 不全为零，证明()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式的充分必要条件是()11(),()1f x g x =．证明 必要性．若()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式，则存在多项式(),()u x v x 使()()()()()u x f x v x g x d x +=，于是11()()()()()()()u x d x f x v x d x g x d x +=．由()f x 与()g x 不全为零知()0d x ≠，因此有11()()()()1u x f x v x g x +=，即()11(),()1f x g x =．充分性．若()11(),()1f x g x =，则存在多项式(),()u x v x ，使11()()()()1u x f x v x g x +=．两边同时乘()d x 有()()()()()u x f x v x g x d x +=．由()d x 是()f x 与()g x 的一个公因式知，()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．8．设()f x 和()g x 是两个多项式，证明()(),()1f x g x =当且仅当()()(),()()1f x g x f x g x +=． 证明 必要性．设()(),()1f x g x =，若()()f x g x +与()()f x g x 不互素，则有不可约公因式()p x ，使()()()p x f x g x ， 所以()()p x f x 或()()p x g x ．不妨设()()p x f x ，由()()()()p x f x g x +可知()()p x g x ，因此()p x 是()f x 和()g x 的公因式，与(),()f x g x 互素矛盾，故()()f x g x +与()()f x g x 互素．充分性．设(()(),()())1f x g x f x g x +=，则存在(),()u x v x 使()()()()()()()1f x g x u x f x g x v x ++=，()()()()()()()1f x u x g x u x f x v x ++=，上式说明()(),()1f x g x =．9. 如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x -．证明 21x x ++的两个根为1ε=和2ε=33121εε==． 因为()23312(1)()()x x f x xf x +++，所以331212()()()()x x f x xf x εε--+，故有即解得12(1)(1)0f f ==，从而1(1)()x f x -，2(1)()x f x -．10. 若()()n f x f x ，则()f x 的根只能是零或单位根．证明 因为()()n f x f x ，故存在多项式()q x ，使()()()n f x f x q x =．设a 为()f x 的任一根，即()0f a =，则()()()0n f a f a q a ==．也就是说，当a 为()f x 的一根时，n a 也为()f x 的一根．依此类推，可知2,,,n n a a a 也是()f x 的根．由于()f x 的根的个数有限，故必定存在正整数,s t (不妨设s t >)，使得s t n n a a =，(1)0t s t n n n a a --=．于是有0t n a =即0a =，或者(1)0s tn n a --=，即a 为单位根． 11. 设()f x 是一个整系数多项式，且(0),(1)f f 都是奇数，则()f x 没有整数根．证明 设10()n n f x a x a x a =+++，假设()f x 有整数根α，则x α-整除()f x ，即()()()f x x q x α=-，其中商式()q x 也是一个整系数多项式．事实上，设1110()n n q x b x b x b --=+++，代入上式并比较两端同次幂系数，得112110100,,,,n n n n n a b a b b a b b a b ααα----==-=-=-， 因为()f x 是一个整系数多项式，所以，110,,,n b b b -也是整数，令0,1x x ==分别代入展开式，得 (0)(0),(1)(1)(1)f q f q αα=-=-．由于(0),(1)f f 都是奇数，则α及1α-都必须是奇数，这是不可能的，所以，()f x 不能有整数根．12．证明对于任意非负整数n ，都有 ()()22211(1)n n x x x x ++++++． 证明 设α是21x x ++的任一根，即 210αα++=，21αα+=-，31α=．由此得221222123(1)()(1)0n n n n n n αααααα+++++++=+-=-=，即α也是221(1)n n x x ++++的根．又因为21x x ++无重根，因此()()22211(1)n n x x x x ++++++．13. 假设12,,,n a a a 是两两不同的整数，证明：多项式12()()()()1n f x x a x a x a =----在有理数域上不可约．证明 用反证法．假设()f x 在有理数域上可约，则有整系数多项式12(),()g x g x ，使得12()()()f x g x g x =．于是12()()()i i i f a g a g a =，1,2,,i n =．因此，12()1,()1i i g a g a ==-或12()1,()1i i g a g a =-=．这样总有12()()i i g a g a =-，从而由推论2知12()()g x g x =-，所以21()()f x g x =-．这与()f x 的首项系数为1相矛盾，故()f x 在有理数域上不可约．。
线性代数(含全部课后题详细答案)1第一章一元多项式习题及解答.docx
A 组1.判别Q (厉)二｛0 +勿亦|0,处0｝是否为数域？解是.2.设/(x) = x3 4-x2 4-x+l, g(兀)=兀2+3兀+ 2,求 /(兀)+ g(x)，/(x)-g(x), f(x)g(x). 解/(x) + g (x) = x3 4- 2x2 + 4x + 3 ,/(兀)-g(x)"-2x-l,f(x)g(x) = x5 +4x4 +6兀'+6兀$ +5x + 2 .3.设/(%) = (5x-4),993(4x2 -2x-l),994 (8x3 -1 lx+2)'995,求 /(%)的展开式中各项系数的和.解由于/(兀)的各项系数的和等于/⑴，所以/(I) = (5-4严3(4-2- 1尸94(8-11 + 2)1995 =-1.4.求g(兀)除以/(兀)的商q(x)与余式心).(1)f (x) —— 3%2— x — 1, g(兀)=3F - 2兀+1 ；(2)/(x) = x4 -2x4-5, g(x) = x2 -x + 2 .解（1）用多项式除法得到x 73x~ — 2x +13_93X + 3—x —x-i3 37 ° 14 7-- 无_+ —x --3 9 926 2-- X ---9 9所以'恥）十岭心）W（2）用多项式除法得到x4— 2x + 5兀4 —”丫" + 2 兀2— 2x~ — 2 兀+5 jy?—兀~ + 2 兀-x2-4x4-5-兀? + X - 2—5x + 7所以，q(x) = x2 +x-l, r(x) = -5x + 7 .5.设是两个不相等的常数，证明多项式/(兀)除以(x-a)(x-b)所得余式为af(b)_bg)a-b a-h证明依题意可设/(x) = (x - a)(x - b)q(x) + cx+d,则”(a) = ca + d,[f(b) = cb + d.解得F=(/a) --,\d = (af(b)-bf(a))/(a-b).故所得余式为a-b a-b6.问m,p,q适合什么条件时，/(兀)能被g(x)整除？(1) /(x) = x3 + px + q , g(x) = x2 + nvc-1；(2) f(x) = x4 + px2 +q , g(兀)=x2 + mx+l.解(1)由整除的定义知，要求余式r(x) = 0 .所以先做多项式除法,3x2 + mx -1x-in“+ “X + q3 2x + mx^ - x-mx1 +(〃 + l)x + g2 2一 mx_ — m^x + m°(# +1 + 加〜)兀 + (g —m)要求厂(x) = (/? + l +加2)兀+ (§ —加)=0 ,所以(“ + 1 +加2) = 0, q-m = 0.即p = -l-m2, q - m时, 可以整除.（2）方法同上.先做多项式除法，所得余式为厂（兀）=加（2 — ”一nr ）兀+ （1 + @ —卩一加〜），所以 m （2-p-/772） = 0, 1 + ^ - p - m 2= 0 ,即 m = 0, p = q + \ 或“二 2— 加［q = l 时，可以整除.7. 求/（兀）与gCr ）的最大公因式:(1) f (x) — x 4 + — 3%2 — 4x — 1, g (x)=兀彳 + — x — 1 ； (2) f(x) = x 4— 4x 3+ 1, g(x) = x 3— 3x 2+1 ；(3) /(x) = x 4 -10x 2 +1, g(x) = x 4 -4A /2X 3 +6X 2 +4A /2X +1 .解（1）用辗转相除法得到用等式写出來，就是所以(/(x),g(x)) = x + l ・（2）同样地,<8 4 / 3 3= -X + — — -X-—(3 344-2x 2-3x-l1 1 --- X 4——2 -- 4 X 3+ X 2- X - 1 x 4 + x 3- 3x 2- 4x- 11 2 3 , -2x 2 — 3兀—12 21 2 3 1 -- X ----- X ---—2兀~ — 2兀2 4 433-- X ----X -144一丄 184—X H - 3 3 0心宀丄兀2 24 3 2牙+牙-X - Xf(x) = xg(x)^(-2x 2-3x-l),g(x) =所以(/⑴,g (兀)) = 1.⑶ 同样用辗转相除法，可得(/(x),g(x)) = F —2血兀一1.8.求 w(x),仄兀)使 w(x) f\x) + v(x)g(ji) = (/(x), g(%))：(1) f (x) = %4 4- 2x^ — %2 — 4x — 2, (x) = %4 + x — x~ — 2x — 2 : (2) /(x) = 4x 4-2x 3-16x 2+5x4-9, g(x) = 2兀3-x 2-5x+4:(3) /(x) = x A-x 3-4x 2 +4x + l, g (兀)=x 2 -x-l.解(1)利用辗转相除法，可以得到/(x) = g (A ：) + (x 3-2x)'g (兀)=(x+l)(x 3 - 2x) + (x 2 -2),x — 2兀=x(^x~ — 2).因而，(/(x),g(x)) = x 2-2,并且(/(兀),g (兀))=/ 一 2 = g (兀)_ (兀+1)(疋 _ 2兀) =g (兀)一(X +1) (f(x) -g (兀))=(一兀 一 1)/(兀)+ (兀+2)g(x),所以 u(x) = -x-\, v(x) = x + 21 10 -- X H --- 3 9x 3 - 3x 2x-13 1 2 2X H —X X 3 3 10 2 2~~'- ---- X H 兀+ 13 -- 3 10 ° 10 20 X --- 兀 3 9 916~~1T —X ------ 9 927 441 --------- X ---------------16 256-3x 2+—x1649一一539 兀+ --- 27 256(2)利用辗转相除法，可以得到/(x) = 2xg(x)-(6x 2 +3兀-9),(\ 1Ag(x) = —(6x_ + 3兀一9) ——% + — — (% — 1), —(6x - + 3x — 9) = —(x —1)(6% + 9).因而，(/⑴,g(Q) = x-1，并且(1 1 …厶— —X + _ f (x) + _兀_—x~\ I 3 3丿 (3 3丿] 1 2 7 2fi/f 以 W (X )= X H —, V (X )= — --- X — \ •3 3 3 3(3) 利用辗转相除法，可以得到fM = X —3)g(x) + (x — 2),g(x) = (x+l)(x-2) + l ・因而( f(x), g(x)) = 1 ,并且(/(兀),g(x)) = 1 = g(x) - (x+1)(兀一 2)=g (兀)-(兀+1)(/(兀)-(x 2 一3)gCr))—(—兀―1) f (x) + (兀'+ 兀2 — 3兀—2)g(x),所以u (兀)= -x-l, v(x) = x 3 +x 2 -3x-2.9.设/(x) = %3+ (14-t)x 2+ 2x + 2w, g(x)二F+zx + u 的最大公因式是一个二次多项式，求/，凤的值.解利用辗转相除法，可以得到/(%) = g(x) + (l + /)兀2 +(2-/)兀 + « ,(/(x), g(x)) = x-l = -(6x 2+ 3x-9)+ | _g(x)I d J J(I ] \= (/(x)-2xg(x)) --x+- -g(x)\ 3丿 <2 o 2 d ,、 U 3 广—---- 兀+ (1 + r t-2(l +r)2(尸 + r—w)(i+r) + (t— 2)~u[(l + t)2 — (r —2)]由题意，/(x)与g(Q的最大公因式是一个二次多项式，所以(广 + / —w)(l + /) + (f— 2)~(T H?皿(l + r)2-(r-2)] A ；=0,(l + O2解得u = o^t = -4.10.设(x —I)[(A/+ B F+I),求A和B.由题意要求知解用(兀一1)2 去除f\x) = Ar4 + Bx2 +1 ,得余式”(x) = (4A + 2B)兀+1 -3人一B,斤（兀）=0,即4A + 2B = 0,1-3A-B = O,解得A = l,B = -2.11.证明:如果(/(x),g(x)) = l, (/(x),/z(x)) = l,那么(/(x), g(x)/z(x)) = l. 证明由条件可知,存在络(兀)和片⑴ 使得旳(兀)/(兀)+岭⑴g(x) = l,存在如(兀)和卩2(兀)使得u2(x)f(x) + v2(x)h(x) = 1.用/?(兀)乘以第一式得坷(x)f(x)h(x) + V, (x)g(x)h(x) = h(x),代入第二式得u2(x)f(x) + v2 (x) [u t (x)f(x)h(x) 4-Vj (x)g(x)/z(x)] = 1, 即[w2(兀)+ u\ (x)v2(x)h(x)]f(x) + [v, (x)v2(x)]g(x)h(x) = 1,所以(/(x),g(x)/z(x)) = l.12.证明：如果/(x)与g(x)不全为零，且/心)/(兀)+ 咻)g(兀)=(/(%), g(Q)，证明由于w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x),g(x)), /(X )与 g(x)不全为零，所以(/(x)，g(x))HO.两 边同时除以(/(Hg(Q)HO,有所以(弘(兀),咻)) = 1 .13.证明：如果〃(兀)|/(兀),〃(兀)|g(x),且〃(兀)为/(兀)与g(x)的一个组合，那么〃(兀)是/G)与 g(x)的一个最大公因式.证明由题意知d(x)是/(X )与g(x)的公因式.再由条件设d(x) = w(x)/(x) + v(x)^(x) •又设h(x) 为/(x)与g(x)的任一公因式，即/z(x)|/(x), h(x)\g(x),则由上式有h(x)\d(x).故而”(兀)是/(兀)与 g(x)的一个最大公因式.14.证明：(.fO)/2(X ), gO)/2(X )) = (.f(X ), g(x))〃(x),其中力(兀)的首项系数为 1.证明显然(/(x), g(x))/?(x)是f{x)h{x)与g(x)h(x)的一个公因式.下面來证明它是最大公因式. 设 /心),v(x)满足 w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x), g(X>),贝iJu(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = (/(x),g(x))/z(x).由上题结果知，(/(兀),g(X ))/7(X )是/(X )/?(X )与g(JC”7(X )的一个最大公因式，又首项系数为1,所以(/(x)A(x), ^(%)/?(%)) = (/(x), ^(x))/i(x)・/⑴ g (兀)、(/(兀),g (兀))’(f(x),g(x))丿证明设〃(兀)=(/(兀),g(x)),则存在多项式M (x), v(x),使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)・因为/(X )与g (尢)不全为零，所以d(x)HO.上式两边同时除以〃(兀)，有故 /(兀) _____________ g (x)l (/(x),g(x))‘(/(x),g(x))‘u(x) /(X ) (/(%), g(x)) + v(x) g(x) (y (x ),^(x ))15.设多项式/(x)与gS)不全为零，证明1 = u(x)/(兀)(/(兀),g(x))+咻)g(x) (/(兀),g(x))=1成立.16. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解兀4+ 1为不可约因式之积.在有理数域上兀°+1是不可约多项式.否则，若+ +1可约，有以下两种可能.(1) 兀4+1有一次因式，从而它有有理根，但/(±1)工0,所以卍+1无有理根.(2) x 4+ 1 无一次因式，设x 4+1 = (x 2+处 +方)(F +cx + d),其中 a,b y c,cl 为整数.于是a + c = O, b+ 〃 + ac = O, cut + be = 0 , bd = \,又分两种情况：① b = d = \,又 a = —c,从而由 b + 〃 + ac = O,得 a 2=2,矛盾； ② b = d = — \,则 a 2= —2 ,矛盾.综合以上情况，即证.17. 求下列多项式的有理根： (1) /(x) = x 3-6x 2+15兀一 14 ；(2) ^(X ) = 4X 4-7X 2-5X -1；(3) /z(x) = x 5+ %4— 6x^ — 14x~ — 1 lx — 3 ・解(1)由于/(x)是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为-14的因数.-14的 因数有：±1, ±2, ±7, ±14,计算得到:/(D = -4, /(-1) = -36, /(2) = 0, /(-2) = -72,/(7) = 140, /(-7) = -756, /(14) = 1764, /(一 14) = —4144,故x = 2是/(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = 2是于(兀)的单根.⑵ 类似(1)的讨论可知，g(x)的可能的有理根为:故x = --是巩兀)的有理根.再由多项式除法可知，兀二-丄是/(劝的2重根.2 2⑶ 类似地，加兀)的可能的有理根为：±1,±3,计算得到解在实数域上的分解式为X4+ 1 = (X 2 + 1)2-2X 2 =(X 2+V2X + 1)(X 2-V2X +1).在复数域上的分解式为x + ----------1 2 2%4+ 1 = f亠迈亠近、X ---------- 12 2/±1, ±1 ±?计算得到g(l) = -9,g(-1) = 1, g(］、r 、171=-5, g —=0, g — 一 —‘ g —〔2< 264 ,4丿11A(l) = -28, /?(-l) = 0,(3) = 0,加一3) = -96.故x = -l, x = 3是//(兀)的有理根.再由多项式除法可知，x = -\是/z(x)的4重根，兀=3是//(兀)的单根.18.若实系数方程x34- px + q = 0有一根a + bi (a,b为实数，/?工0),则方程x3 + px-q = 0有实根2—证明设原方程有三个根不失一般性，令=a + bi,从而有a2 =a-bi,由根与系数的关系可知0 = $ + 冬 + 他=(° + 勿)+ (a - bi) + ,所以冬二-2d，即(-2a)‘ + /?(-2a) + g = 0，故(2a)' + p(2a)-q = 0.这说明x3 + /zr-g = 0有实根2a .19.证明：如果(%-i)|/(r),那么证明因为u-i)|/(z),所以/(r)= /(i)= 0.因此，令y(x)=(x-i)g(x),则有E =(*-i)g(;),即(伙-1)|/(疋).20.下列多项式在有理数域上是否可约？(1)土 (%) = F+1；(2)/；(X)= X4-8?+12X2+2；(3)人(x) = x" +『+1 ；(4)厶(无)=* + "； + 1,门为奇素数；(5)厶(兀)=兀°+4尬+ 1, A为整数.解(1) ./；(兀)的可能的有理根为：±1,而/(±1) = 2,所以它在有理数域上不可约.(2)由Eisenstein判别法，取素数p = 2,则2不能整除1,而2|(-8), 2|12, 2|2,但是2?不能整除2,所以该多项式在有理数域上不可约.(3)令x=y + l,代入厶(x) = P+x'+l有^(y) = ^(y + l) = / + 6/+15/+21/+18y24-9y4-3.取素数0 = 3,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以/(兀)在有理数域上不可约.(4)令兀= y_l,代入f4(x) = x p 4-px + 1,得g(y)=厶(y j) = -+ cy~2——C；-2y2 + (Cf* + p)y-p，取素数p,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以£(兀)在有理数域上不可约.(5)令x=y + l,代入农(兀)=兀4+4Ax+l,得g(.y)=厶(y +1) = y" + 4y‘ + 6y2 + (4k + 4)y + 4R + 2 ,収素数p = 2,由Eisenstein判别法知，g(y)在有理数域上不可约，所以点(兀)在有理数域上不可约.1•设/(X)，g(X)，加兀)是实数域上的多项式，(1)若/2U) = xg2(x) + x/z2(x),则/(x) = g(x) = h{x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题是否成立？证明(1)当g(兀)=/2(兀)=0时，有严⑴=0,所以/(%) = 0 ,命题成立.如果g(x), /z(x)不全为零，不妨设g(x)H0・当h(x) = 0时，a(xg2(x) + x/i2U)) = l + 2a^(x)为奇数；当加兀)工0时，因为g(x),瓜兀)都是实系数多项式，所以Xg2(x)与兀胪(兀)都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有d(xg2(x) + x/『(x))为奇数.而这时均有/2(x)^0 ,且df\x) = 2df(x)为偶数,矛盾.因此有g(兀)=力(兀) = 0,从而有f(x) = 0 .(2)在复数域上，上述命题不成立.例如，设f(x) = 0 , g(x) = x\ h(x) = ix,1,其中斤为自然数, 有/2 (x) = xg2 (x)xh2 (x),但g(x) / 0 ,力(兀)工0.2.设/(x), g(x)9 h(x)e P[x],满足(x2 4-l)h(x)4-(x-l)/(x) + (x+2)g(x) = 0,(x2 + l)/?(x) + (x+ l)/(x) + (x - 2)^(%) = 0.证明(X2+1)|(/U), g(X))・证明两式相加得到2(x2 + l)h(x) + 2x(/(x) + g(兀))=0.由(x2+l,兀)=1可知(x2 + l)|(/(x) + g(x)).两式相减得到-2f(x) + 4g(x) = 0, f(x) = 2g(x).故(x2 + l)|/(x), (x2+l)|g(x), BP(X2+1)|(/(X),g(x)).3・设gi(x)g2(x)\f{(x)f2(x),证明(1)若/(x)|g](x)，/(X)H0,则g2(x)\f2(x)；(2)若g2(x)|/；(x)/；(x),是否有g2(x)\f2(x)?解(1)因为gi(兀)g2(兀)庞(兀)£(兀)，/O)|gi(X)，故存在多项式h(x), h}(x)使得fl(x)f 2(x) = g](x)g 2(x)h(x\ g](兀)=Z (x)h }(x).于是/；(兀)£(兀)=/(兀)人(兀)g2(x)力(兀)•由于 土(兀)工0,故有 f 2(x) = h l (x)g 2(x)h(x),即g 2(x)\f 2(x).(2)否•例如取 g {(x) = x-2 , ^2(X ) = X 2-1 , (x) = (x-l)(x-2), (x) = (x + l)(x4-2).虽 然 gSx)g 2(x)\f^x)f 2(x)且 g 2(x)\f {(x)f 2(x),但 g 2(x)不能整除 f 2(x).4.当R 为何值时，/(x) = X 2 +伙+ 6)x + 4k + 2和g(x) = F+(£ + 2)x + 2R 的最大公因式是一次 的？并求出此吋的最大公因式.解 显然 g(x) = (x + £)(x+2).当(/(x),g(Q) = x + 2时'/(一2) = 4 — 2伙+ 6) + 4£ + 2 = 0‘ 则k = 3.当(于(兀),g(Q )=兀 + £ 时’/(一灯=k 2 - k(k + 6) + 4Z: + 2 = 0 ‘ 则 k = l.这时(/(x), g(x))=兀+1. 5.证明：对于任意正整数斤，都有(/(x),g(Q)"=(/"(x),g"(x))・证明 由题意可知/(%)与&(兀)不全为零.令(/(x), g(x)) = d(x),Z 、” g(x) 、d(x)丿/心)/"(兀)+ 咚)g"(兀)=d\x).又由 d(x)\f(x), d(x)|g(x),有 d n (x) f l \x), d"(x) g"(x),因此 d"(x)是厂(x)与 g"(x)的首项系数为1的最大公因式，从而有(广(x),g"(x))= 〃"(兀)=(/(x),g(x))" •6.设 / (x) = af(x) + bg(x), g[ (x) = c/(x) + dg(x),且 ad - be H 0 ,证明(/(x),g(x)) = (/](x), g](X ))・证明设(/(x), g(x)) = d(x),则 d(x)\f(x\d(x)\g(x).由于 “所以对任意正整如，有爲J 寫〕"卜 于是有u{x) +咻) 则〃(兀)工0,从而fi (兀)=妙(x) + bg(x) , g] (x) = (x) + dg (x),故d (x)| (x), d (x)|g t (x).又设h(x)\ (x), /z(x)|(x),由上式及ad-bc^O ,可得从而/?(x)|/(x), h(x)\g(x),于是h(x)\d(x),即〃(兀)也是/；(兀)和g|(x)的最大公因式，即(/(x), g(x)) = (/；(x),&(兀))・7.设 /(x) = t/(x)/(x), g(Q 二 dCr)g](x),且/O)与 gd)不全为零，证明〃(兀)是/O)与 gCO的一个最大公因式的充分必要条件是(/(劝,g|(x)) = 1.证明必要性.若〃(x)是/(兀)与g (兀)的一个最大公因式，则存在多项式w(x),v(x)使W (x)/(x) +v(x)g(x) = d(x),于是u(x)d(x)f t (x) + v(x)d(x)g l (x) = d(x).由/(力与g (兀)不全为零知如工0,因此有u(x)f l (x) + v(x)g l (x) = l f 即(土(兀),g©))i •充分性.若(f l (x),g l (x)) = l ,则存在多项式u(x),v(x),使 u(x)f l (x)+ v(x)g l (x) = l. 两边同吋乘〃(兀)有u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)・由d(x)是/(x)与g(x)的一个公因式知，d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.8.设于(兀)和g(x)是两个多项式，证明(f(x), g(x)) = l 当且仅当(f(x)-l-g(x), f(x)g(x)) = l. 证明 必要性.设(f(x)9g(x)) = l,若f(x) + g(x)与/⑴g(x)不互素，则有不可约公因式p(x), 使p(x)lf(x)g(x)f所以 p(x)| /(X )或 0(x)|g(x).不妨设 p(x)\ /(x),由 P (x)|(/(x) + g (兀))可知 p(x)|g(x),因此 P (兀)是 /(兀)和g“)的公因式,与/(%), g (x)互素矛盾,故 蚀+g (兀)与蚀g (兀)互素.充分性.设(/(兀)+ gO) J(x)g (兀)) = 1,则存在w(x), v(x)使(/(兀)+ g (兀))心)+ /(x)g(x)v(x) = 1 , f(x)u(x) + g (兀)(臥兀)+d ad-be zw- h ad 一gi (兀)， g(x) -c ad -be a ad -be g](x)，/(x)v(x)) = 1, 上式说明(/(兀),g(兀)) = 1.9.如果(x2 +x + l)|/j(x3) + x/^(x3),那么(x-l)|/；(x), 0 — 1)|/；(兀)・T；®所以，^3=£23 = 1.证明X2+X + l的两个根为£\= 士护和£2=因为U2+x+l)|(/；(^3) + x/；(^3)),所以(兀一£|)(x - £2)|/；(X')+/(F)，故有y 窗)+ £/(郃)=0,［爪哥)+ £2£(哥)=0,即解得/(l) = /；(l) = o,从而(兀—1)|久(兀)，(x-1)|/；(%).10.若f(x)\f(x H),则/(x)的根只能是零或单位根.证明因为f(x)\f(x n),故存在多项式g(x),使/(x n) = /(x)^(x).设。
高代答案
二 、 习题精解
1． 用 g(x) 除 f (x) ，求商 q(x) 与余式 r(x) ： 1） f (x) = x3 − 3x2 − x −1, g(x) = 3x2 − 2x + 1 2） f (x) = x4 − 2x + 5, g(x) = x2 − x + 2
4．把 f (x) 表示成 x − x0 的方幂和，即表成
c0 + c1(x − x0 ) + c2 (x − x0 )2 + ... + cn (x − x0 )n + ...
解 1）由带余除法，可得 q(x) = 1 x − 7 , r(x) = − 26 x − 2
39
99
2）同理可得 q(x) = x2 + x −1, r(x) = −5x + 7
2． m, p, q 适合什么条件时，有 1） x 2 + mx −1 | x3 + px + q
2） x2 + mx + 1 | x4 + px2 + q
第一章 多项式
多项式理论是高等数学研究的基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯 穿其他章节。换句话说，多项式理论的讨论可以不依赖于高等数学的其他内容而自成体系， 却可为其他章节的内容提供范例与理论依据。
本章主要讨论多项式的基本概念与基本性质，包括数域的概念、一元多项式的定义与运算 规律、整除性、因式分解及根等概念。对于多元多项式，则主要讨论字典排列法与对称多项 式。 一 重难点归纳与分析
数据结构习题：一元多项式的加法乘法实现
求解思路
1.多项式表示 2. 程序框架 3. 读多项式 4. 加法实现 5. 乘法实现 6. 多项式输出
多项式的表示
仅表示非零项
数组： 编程简单、调试容易
需要事先确定数组大小
一种比较好的实现方法是: 动态数组
链表：
动态性强 编程略为复杂、调试比较困难
2.逐项插入
将P1当前项(c1i,e1i)乘P2当前项（c2i,e2i),并插入到结果多项式 中。关键是要找到插入位置
初始结果多项式可由P1第一项乘P2获得（如上）
如何将两个多项式相乘
Polynomial Mult( Polynomial P1, Polynomial P2 )
{
…….
t1 = P1; t2 = P2;
return 0; }
如何读入多项式
Polynomial ReadPoly() {
…… scanf("%d", &N); …… while ( N-- ) {
scanf("%d %d", &c, &e); Attach(c, e, &Rear); } ….. return P; }
4 3 4 -5 2 6 1 -2 0
Attach
ce
*pRear
P *pRear
(当前结果表达式尾项指针) (新节点)
如何读入多项式
Polynomial ReadPoly() {
Polynomial P, Rear, t; int c, e, N;
scanf("%d", &N);
P = (Polynomial)malloc(sizeof(struct PolyNode)); /* 链表头空结点 */
一元多项式计算程序报告
学院课程设计题目：（一元多项式计算问题）一元多项式计算。
要求：能够按照指数降序排列建立并输出一元多项式；能够完成两个一元多项式的相加、相减，并将结果输入。
1、问题分析和任务定义(1).任务定义：此程序需要完成如下的要求：将多项式按照指数降序排列建立并输出，将两个一元多项式进行相加、相减操作，并将结果输入。
a：输入并建立多项式；b：输出多项式，输出形式为表达式的形式，并且多项式的指数为降序；c：多项式a和b相加，建立多项式a+b；d：多项式a和b相减，建立多项式a-b。
e：多项式的输出形式为类数学表达式。
(2).问题分析：本程序的关键点在于如何将输入的一元多项式按指数的降序进行排列，而难点就是将输入的两个一元多项式进行相加、相减操作。
实现本程序需要解决以下几个问题：1、如何将输入的一元多项式按指数的降序进行排列；2、如何确定要输入的多项式的项数；3、如何将输入的两个一元多项式进行显示出来；4、如何将输入的两个一元多项式进行相加操作；5、如何将输入的两个一元多项式进行相减操作。
次程序是链表的应用，通过链表实现一元多项式的相加相减操作。
要对一元多项式进行表示：一元多项式的表示在计算机可以用链表来表示为了节省存储空间，我们只存储多项式中系数非0 的项。
链表中的每一个节点存放多项式的一个系数非0项，它包含三个域，分别存放该项的系数、指数以及指向下一多项式项节点的指针。
下图1所示为该结点的结构：图1结点的结构创建一元多项式链表，对一元多项式的运算中会出现各种可能情况进行分析，实现一元多项式的相加、相减操作。
2、数据结构的选择和概要设计本题设计要求能够按照指数降序排列建立并输出多项式；能够完成两个多项式的相加，相减，并将结果输入。
（1）数据结构的选用A:基于链表中的节点可以动态生成的特点，以及链表可以灵活的添加或删除节点的数据结构，为了实现任意多项式的加法，减法，因此选择单链表的结构体，它有一个系数，指数，下一个指针3个元属；例如，图2中的两个线性链表分别表示一元多项式和一元多项式。
《高等代数》第一章 多项式
§1 数域关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全体所共有的.定义1 设P 是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么P 就称为一个数域.显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域.这三个数域分别用字母Q 、R 、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数域.如果数的集合P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P 中，就说数集P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含0，1在内的数集P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么P 就称为一个数域.例1 所有具有形式2b a +的数（其中b a ,是任何有理数），构成一个数域.通常用)2(Q 来表示这个数域.例2 所有可以表成形式m m nn b b b a a a ππππ++++++ 1010 的数组成一数域，其中m n ,为任意非负整数，),,1,0;,,1,0(,m j n i b a j i ==是整数.例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭的.性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分.一、一元多项式定义2 设n 是一非负整数，形式表达式111a x a x a x a n n n n ++++-- ,(1) 其中n a a a ,,,10 全属于数域P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式.在多项式（1）以后用 ),(),(x g x f 或 ,,g f 等来表示多项式.注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式.定义3 如果在多项式)(x f 与)(x g 中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等)()(x g x f =.系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.在（1）中，如果0≠n a n a 称为首项系数，n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式)(x f二、多项式的运算设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--0111)(b x b x b x b x g m m m m ++++=--是数域P 上两个多项式，那么可以写成∑==ni i i x a x f 0)(∑==mj j j x b x g 0)(在表示多项式)(x f 与)(x g 的和时，如m n ≥，为了方便起见，在)(x g 中令011====+-m n n b b b ，那么)(x f 与)(x g 的和为∑=---+=++++++++=+n i i i i n n n n n n xb a b a x b a x b a x b a x g x f 00011111)()()()()()()(而)(x f 与)(x g 的乘积为其中s 次项的系数是∑=+--=++++s j i j i s s s sb a b a b a b a b a 011110所以)(x f )(x g 可表成显然，数域P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域P 上的多项式.对于多项式的加减法，不难看出对于多项式的乘法，可以证明，若0)(,0)(≠≠x g x f ，则0)()(≠x g x f ，并且由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积.显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形.多项式的运算满足以下的一些规律：1. 加法交换律：)()()()(x f x g x g x f +=+.2. 加法结合律：))()(()()())()((x h x g x f x h x g x f ++=++3. 乘法交换律：. )()()()(x f x g x g x f =4. 乘法结合律：))()()(()())()((x h x g x f x h x g x f =5. 乘法对加法的分配律：)()()()())()()((x h x f x g x f x h x g x f +=+6. 乘法消去律：若)()()()(x h x f x g x f =且0)(≠x f ，则)()(x h x g =.定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域P 上的一元多项式环，记为][x P ，P 称为][x P 的系数域.§3 整除的概念在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法—并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系.一、整除的概念带余除法 对于][x P 中任意两个多项式)(x f 与)(x g ，其中0)(≠x g ，一定有][x P 中的多项式)(),(x r x q 存在，使(1))(),(x r x q 是唯一决定的.带余除法中所得的)(x q 通常称为)(x g 除)(x f 的商，)(x r 称为)(x g 除)(x f 的余式.定义5 数域P 上的多项式)(x g 称为整除)(x f ，如果有数域P 上的多项式)(x h 使等式成立.用表示)(x g 整除)(x f ，用“)(|)(x f x g /”表示)(x g 不能整除)(x f .当)(|)(x f x g 时，)(x g 就称为)(x f 的因式，)(x f 称为)(x g 的倍式.当0)(≠x g 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件.定理1 对于数域P 上的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，其中0)(≠x g ，)(|)(x f x g 的充要条件是)(x g 除)(x f 的余式为零.带余除法中)(x g 必须不为零.但)(|)(x f x g 中，)(x g 可以为零.这时0)(0)()()(=⋅=⋅=x h x h x g x f .当)(|)(x f x g 时，如0)(≠x g ，)(x g 除)(x f 的商)(x q 有时也用)()(x g x f 来表示.二、整除的性质1. 任一多项式)(x f 一定整除它自身.2. 任一多项式)(x f 都能整除零多项式.3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式.4. 若)(|)(),(|)(x f x g x g x f ，则)()(x cg x f =,其中c 为非零常数.5. 若)(|)(),(|)(x h x g x g x f ，则)(|)(x h x f （整除的传递性）.6. 若r i x g x f i ,,2,1),(|)( =，则))()()()()()((|)(2211x g x u x g x u x g x u x f r r +++ ,其中)(x u i 是数域P 上任意的多项式.通常，)()()()()()(2211x g x u x g x u x g x u r r +++ 称为)(,),(),(21x g x g x g r 的最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若)(x f ，)(x g 是][x P 中两个多项式，P 是包含P 的一个较大的数域.当然，)(x f ，)(x g 也可以看成是][x P 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把)(x f ，)(x g 看成是][x P 中或者是][x P 中的多项式，用)(x g 去除)(x f 所得的商式及余式都是一样的.因此，若在][x P 中)(x g 不能整除)(x f ，则在][x P 中，)(x g 也不能整除)(x f .例1 证明若)()(|)(),()(|)(2121x f x f x g x f x f x g -+，则)(|)(),(|)(21x f x g x f x g例2 求l k ,，使1|32++++kx x l x x .例3 若)(|)(),(|)(x h x g x f x g /，则)()(|)(x h x f x g +/.§4 多项式的最大公因式一 、多项式的最大公因式如果多项式)(x ϕ既是)(x f 的因式，又是)(x g 的因式，那么)(x ϕ就称为)(x f 与)(x g 的一个公因式.定义 6 设)(x f 与)(x g 是][x P 中两个多项式. ][x P 中多项式)(x d 称为)(x f ，)(x g 的一个公因式,如果它满足下面两个条件：1）)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式；2）)(x f ，)(x g 的公因式全是)(x d 的因式.例如，对于任意多项式)(x f ，)(x f 就是)(x f 与0的一个最大公因式.特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是0.引理 如果有等式)()()()(x r x g x q x f += (1)成立，那么)(x f ，)(x g 和)(x g ，)(x r 有相同的公因式.定理2 对于][x P 的任意两个多项式)(x f ，)(x g ，在][x P 中存在一个最大公因式)(x d ，且)(x d 可以表成)(x f ，)(x g 的一个组合，即有][x P 中多项式)(),(x v x u 使由最大公因式的定义不难看出，如果)(),(21x d x d 是)(x f ，)(x g 的两个最大公因式，那么一定有)(|)(21x d x d 与)(|)(12x d x d ，也就是说0),()(21≠=c x cd x d .这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形，我们约定，用来表示首项系数是1的那个最大公因式.定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm).例 设343)(234---+=x x x x x f32103)(23-++=x x x x g求（)(x f ，)(x g ），并求)(),(x v x u 使)()()()()(x g x v x f x u x d +=.注：定理2的逆不成立.例如令1)(,)(+==x x g x x f ,则122)1)(1()2(2-+=-+++x x x x x x .但1222-+x x 显然不是)(x f 与)(x g 的最大公因式.但是当(2)式成立，而)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个公因式，则)(x d 一定是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式.二、多项式互素定义7 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 称为互素（也称为互质）的，如果显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然.定理3 ][x P 中两个多项式)(x f ，)(x g 互素的充要条件是有][x P 中多项式)(),(x v x u 使推论2 如果1))(),((1=x g x f ,1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f 推广：对于任意多个多项式)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s ，)(x d 称为)2)((,),(),(21≥s x f x f x f s 的一个最大公因式，如果)(x d 具有下面的性质：1）s i x f x d i ,,2,1),(|)( =;2）如果s i x f x i ,,2,1),(|)( =ϕ，那么)(|)(x d x ϕ.我们仍用))(,),(),((21x f x f x f s 符号来表示首项系数为1的最大公因式.不难证明)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式存在，而且当)(,),(),(21x f x f x f s 全不为零时，))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -就是)(,),(),(21x f x f x f s 的最大公因式，即))(,),(),((21x f x f x f s =))()),(,),(),(((121x f x f x f x f s s -同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式s i x u i ,,2,1),( =,使))(,),(),(()()()()()()(212211x f x f x f x f x u x f x u x f x u s s s =+++如果1))(,),(),((21=x f x f x f s ，那么)(,),(),(21x f x f x f s 就称为互素的.同样有类似定理3的结论.注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项式一般不能整除积的因式之一.例如222)1()1(|1-+-x x x ,但22)1(|1+/-x x ,且22)1(|1-/-x x .2) 推论1中没有互素的条件,则不成立.如1)(2-=x x g ,1)(1+=x x f , )1)(1()(2-+=x x x f ,则)(|)(),(|)(21x g x f x g x f ,但)(|)()(21x g x f x f .注意:s )2(≥s 个多项式)(,),(),(21x f x f x f s 互素时,它们并不一定两两互素.例如,多项式34)(,65)(,23)(232221+-=+-=+-=x x x f x x x f x x x f是互素的,但2))(),((21-=x x f x f . 令P 是含P 的一个数域, )(x d 是][x P 的多项式)(x f 与)(x g 在][x P 中的首项系数为1的最大公因式,而)(x d 是)(x f 与)(x g 在][X P 中首项系数为1的最大公因式,那么)()(x d x d =.即从数域P 过渡到数域P 时, )(x f 与)(x g 的最大公因式本质上没有改变. 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形：1)若多项式),()()(|)(21x f x f x f x h s )(x h 与)(,),(),(,),(111x f x f x f x f s i i +- 互素，则)1)((|)(s i x f x h i ≤≤.2) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都整除)(x h ，且)(,),(),(21x f x f x f s 两两互素，则)(|)()()(21x h x f x f x f s .3) 若多项式)(,),(),(21x f x f x f s 都与)(x h 互素，则1))(),()()((21=x h x f x f x f s .§5 因式分解定理一、不可约多项式Con i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 定义8 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式(irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的乘积.根据定义，一次多项式总是不可约多项式.一个多项式是否可约是依赖于系数域的.显然，不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种，此外就没有了.反过来，具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的.推广：如果不可约多项式)(x p 整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积)()()(21x f x f x f s ，那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个.二、因式分解定理因式分解及唯一性定理 数域P 上次数1≥的多项式)(x f 都可以唯一地分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==,那么必有t s =，并且适当排列因式的次序后有s i x q c x p i i i ,,2,1,)()( ==.其中),,2,1(s i c i =是一些非零常数.应该指出，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没有给出一个具体的分解多项式的方法.实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的.在多项式)(x f 的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并.于是)(x f 的分解式成为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,其中c 是)(x f 的首项系数，)(,),(),(21x p x p x p s 是不同的首项系数为1的不可约多项式，而s r r r ,,,21 是正整数.这种分解式称为标准分解式.如果已经有了两个多项式的标准分解，就可以直接写出两个多项式的最大公因式.多项式)(x f 与)(x g 的最大公因式)(x d 就是那些同时在)(x f 与)(x g 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于它在)(x f 与)(x g 中所带的方幂中较小的一个.由以上讨论可以看出，带余除法是一元多项式因式分解理论的基础.若)(x f 与)(x g 的标准分解式中没有共同的不可约多项式，则)(x f 与)(x g 互素.注意：上述求最大公因式的方法不能代替辗转相除法，因为在一般情况下，没有实际分解多项式为不可约多项式的乘积的方法，即使要判断数域P 上一个多项式是否可约一般都是很困难的.例 在有理数域上分解多项式22)(23--+=x x x x f 为不可约多项式的乘积.§6 重因式一、重因式的定义定义9 不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式,如果)(|)(x f x p k ,但)(|)(1x f x p k /+.如果0=k ，那么)(x p 根本不是)(x f 的因式；如果1=k ，那么)(x p 称为)(x f 的单因式；如果1>k ，那么)(x p 称为)(x f 的重因式.注意. k 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.显然，如果)(x f 的标准分解式为)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r =,那么)(,),(),(21x p x p x p s 分别是)(x f 的1r 重，2r 重，… ,s r 重因式.指数1=i r 的那些不可约因式是单因式；指数1>i r 的那些不可约因式是重因式.使得)()()(x g x p x f k =,且)(|)(x g x p /.二、重因式的判别设有多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ,规定它的微商（也称导数或一阶导数）是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++-+='--- .通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:).()()()()()(()())((),()())()((x g x f x g x f x g x f x f c x cf x g x f x g x f '+'=''=''+'='+）))()(())((1x f x f m x f m m '='-同样可以定义高阶微商的概念.微商)(x f '称为)(x f 的一阶微商；)(x f '的微商)(x f ''称为)(x f 的二阶微商；等等. )(x f 的k 阶微商记为)()(x f k .一个)1(≥n n 次多项式的微商是一个1-n 次多项式；它的n 阶微商是一个常数；它的1+n 阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式.分析: 要证)(x p 是微商)(x f '的1-k 重因式,须证)(|)(1x f x p k '-,但)(|)(x f x p k '/.注意:定理6的逆定理不成立.如333)(23++-=x x x x f , 22)1(3363)(-=+-='x x x x f ,1-x 是)(x f '的2重因式,但根本不是)(x f 是因式.当然更不是三重因式.推论 1 如果不可约多项式)(x p 是多项式)(x f 的一个)1(≥k k 重因式,那么)(x p 是)(x f ，)(x f ',…,)()1(x f k -的因式,但不是)()(x f k 的因式.)(x f 与)(x f '的公因式.推论3 多项式)(x f 没有重因式1))(),((='⇔x f x f这个推论表明，判别一个多项式有无重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个方法甚至是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域P 过渡到含P 的数域P 时都无改变,所以由定理6有以下结论:若多项式)(x f 在][x P 中没有重因式,那么把)(x f 看成含P 的某一数域P 上的多项式时, )(x f 也没有重因式.例1 判断多项式2795)(234+-+-=x x x x x f有无重因式三、去掉重因式的方法设)(x f 有重因式,其标准分解式为s r s r r x p x p x cp x f )()()()(2121 =.那么由定理5),()()()()(1121121x g x p x p x p x f s r s r r ---='此处)(x g 不能被任何),,2,1)((s i x p i =整除.于是11211)()()()())(),((21---=='s r s r r x p x p x p x d x f x f用)(x d 去除)(x f 所得的商为)()()()(21x p x p x cp x h s =这样得到一个没有重因式的多项式)(x h .且若不计重数, )(x h 与)(x f 含有完全相同的不可约因式.把由)(x f 找)(x h 的方法叫做去掉重因式方法.例2 求多项式16566520104)(23456++++--=x x x x x x x f的标准分解式.§7 多项式函数到目前为止，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这一节，将从另一个观点，即函数的观点来考察多项式.一、多项式函数设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- (1)是][x P 中的多项式，α是P 中的数，在(1)中用α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++--ααα称为)(x f 当α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式)(x f 就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为x 在与数域P 中的数进行运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果,)()()(,)()()(21x g x f x h x g x f x h =+=那么.)()()(,)()()(21ααααααg f h g f h =+=定理7(余数定理)用一次多项式去除多项式)(x f ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值)(αf .如果)(x f 在α=x 时函数值0)(=αf ，那么α就称为)(x f 的一个根或零点. 由余数定理得到根与一次因式的关系.推论 α是)(x f 的根的充要条件是)(|)(x f x α-.由这个关系，可以定义重根的概念. α称为)(x f 的k 重根，如果)(α-x 是)(x f 的k 重因式.当1=k 时，α称为单根；当1>k 时，α称为重根.定理8 ][x P 中n 次多项式)0(≥n 在数域P 中的根不可能多于n 个，重根按重数计算.二、多项式相等与多项式函数相等的关系在上面看到，每个多项式函数都可以由一个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有)()(x g x f ≠,而对于P 中所有的数α都有)()(ααg f =?由定理8不难对这个问题给出一个否定的回答.定理9 如果多项式)(x f ,)(x g 的次数都不超过n ,而它们对n+1个不同的数有相同的值即)()(i i g f αα=,1,,2,1+=n i ,那么)(x f =)(x g .因为数域中有无穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上面结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是一致的.换句话说，数域P 上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应用与推广，多项式看成形式表达式要方便些.三、综合除法根据余数定理,要求)(x f 当c x =时的值,只需用带余除法求出用c x -除)(x f 所得的余式.但是还有一个更简便的方法,叫做综合除法.设n n n n n a x a x a x a x a x f +++++=---122110)(并且设r x q c x x f +-=)()()(. (2)其中.)(12322110-----+++++=n n n n n b x b x b x b x b x q比较等式(2)中两端同次项的系数.得到.,,,,121112201100-----=-=-=-==n n n n n cb r a cb b a cb b a cb b a b a⇒ .,,,,112121210100n n n n n a cb r a cb b a cb b a cb b a b +=+=+=+==---- 这样,欲求系数k b ,只要把前一系数1-k b 乘以c 再加上对应系数k a ,而余式r 也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:rb b b b cb cb cb cb a a a a ac n n n n n |)|12101210121---------------------------------+ 表中的加号通常略去不写.例1 用3+x 除94)(24-++=x x x x f .例2 求k 使355)(234+++-=kx x x x x f 能被3-x 整除注意 :若)(x f 缺少某一项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗日插值公式已知次数n ≤的多项式)(x f 在)1,,2,1(+==n i c x i 的值)1,,,2,1()(+==n i b c f i i .设∑+=++-----=111111)())(()()(n i n i i i c x c x c x c x k x f依次令c x =代入)(x f ,得)())(()(1111++-----=n i i i i i i i i c c c c c c c c b k ∑+=++-++---------=1111111111)())(()()())(()()(n i n i i i i i i n i i i c c c c c c c c c x c x c x c x b x f 这个公式叫做拉格朗日(Lagrange)插值公式.例3 求次数小于3的多项式)(x f ,使3)2(,3)1(,1)1(==-=f f f .下面介绍将一个多项式表成一次多项式α-x 的方幂和的方法.所谓n 次多项式)(x f 表成α-x 的方幂和，就是把)(x f 表示成0111)()()()(b x b x b x b x f n n n n +-++-+-=--ααα的形式.如何求系数011,,,,b b b b n n -，把上式改写成01211)]()()([)(b x b x b x b x f n n n n +-++-+-=---ααα ,就可看出0b 就是)(x f 被α-x 除所得的余数，而12111)()()(b x b x b x q n n n n ++-+-=--- αα就是)(x f 被α-x 除所得的商式.又因为123121)]()()([)(b x b x b x b x q n n n n +-++-+-=---ααα .又可看出1b 是商式)(1x q 被α-x 除所得的余式，而233122)()()()(b x b x b x b x q n n n n +-++-+-=---ααα .就是)(1x q 被α-x 除所得商式.这样逐次用α-x 除所得的商式，那么所得的余数就是n n b b b b ,,,,110- .例4 将5)2()2(3)2(2)2()(234+-+---+-=x x x x x f 展开成x 的多项式. 解 令2-=x y ，则2+=y x .于是532)2(234++-+=+y y y y y f .问题变为把多项式532234++-+y y y y 表成2+y （即x ）的方幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14--------------------------------------------------------2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2-------------------------------------------------------2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8------------------------------------------------2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以9596)(234-++-=x x x x x f .注意：将)(x f 表成α-x 的方幂和，把α写在综合除法的左边，将α-x 的方幂和展开成x 的多项式，那么相当于将)(x f 表成c c x +-)(的方幂和，要把c -写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解一、 复系数多项式因式分解定理代数基本定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域中有一个根.利用根与一次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数1≥的复系数多项式在复数域上一定有一个一次因式.由此可知，在复数域上所有次数大于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有一次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：复系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式s l s l l n x x x a x f )()()()(2121ααα---=其中s ααα,,,21 是不同的复数，s l l l ,,,21 是正整数.标准分解式说明了每个n 次复系数多项式恰有n 个复根（重根按重数计算）.二、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果α是实系数多项式)(x f 的复根，那么α的共轭数α也是)(x f 的根,并且α与α有同一重数.即实系数多项式的非实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理 每个次数1≥的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与含一对非实共轭复数根的二次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除一次多项式外,只有含非实共轭复数根的二次多项式.因此，实系数多项式具有标准分解式r s k r r k l s l l n q x p x q x p x c x c x c x a x f )()()()()()(211221121++++---= 其中r r s q q p p c c ,,,,,,,,111 全是实数，s l l l ,,,21 ,r k k ,,1 是正整数，并且),,2,1(2r i q x p x i i =++是不可约的，也就是适合条件r i q p i i ,,2,1,042 =<-..代数基本定理虽然肯定了n 次方程有n 个复根，但是并没有给出根的一个具体的求法.高次方程求根的问题还远远没有解决.特别是应用方面，方程求根是一个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的一个分支.三、n 次多项式的根与系数的关系.令.)(11n n n a x a x x f +++=- (1)是一个n (>0)次多项式,那么在复数域C 中)(x f 有n 个根,,,,21n ααα 因而在][x C 中)(x f 完全分解为一次因式的乘积:).())(()(21n x x x x f ααα---=展开这一等式右端的括号,合并同次项,然后比较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.,)1(),()1(),(),),(21323112111124213213131212211n n n n n n n n n n n n n n a a a a a αααααααααααααααααααααααααααααα-=+++-=+++-=+++=+++-=------（其中第),,2,1(n k k =个等式的右端是一切可能的k 个根的乘积之和,乘以k )1(-.若多项式 n n n a x a x a x f +++=- 110)(的首项系数,10≠a 那么应用根与系数的关系时须先用0a 除所有的系数,这样做多项式的根并无改变.这时根与系数的关系取以下形式:.)1(,),(21013121022101n n n n n n a a a a a a αααααααααααα-=+++=+++-=-利用根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有二重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解1-n x 为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的一个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何一个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是一个很复杂的问题，即使要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题，这一点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这一节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第一，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题.第二，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.一、有理系数多项式的有理根设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个有理系数多项式.选取适当的整数c 乘)(x f ，总可以使)(x cf 是一个整系数多项式.如果)(x cf 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到)()(x dg x cf =,也就是)()(x g cd x f = 其中)(x g 是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因子.如果一个非零的整系数多项式011)(b x b x b x g n n n n +++=-- 的系数01,,,b b b n n -没有异于±1的公因子,也就是说它们是互素的,它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式)(x f 都可以表示成一个有理数r 与一个本原多项式)(x g 的乘积，即)()(x rg x f =.可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果)()()(11x g r x rg x f ==,其中)(),(1x g x g 都是本原多项式，那么必有)()(,11x g x g r r ±=±=因为)(x f 与)(x g 只差一个常数倍，所以)(x f 的因式分解问题，可以归结为本原多项式)(x g 的因式分解问题.下面进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是一致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论 设)(x f ，)(x g 是整系数多项式，且)(x g 是本原多项式，如果)()()(x h x g x f =，其中)(x h 是有理系数多项式，那么)(x h 一定是整系数多项式.这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法. 定理12 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个整系数多项式.而sr是它的一个有理根,其中s r ,互素,那么(1) 0|,|a r a s n ;特别如果)(x f 的首项系数1=n a ，那么)(x f 的有理根都是整根，而且是0a 的因子.(2) ),()()(x q srx x f -= 其中)(x q 是一个整系数多项式.给了一个整系数多项式)(x f ,设它的最高次项系数的因数是k v v v ,,,21 ,常数项的因数是.,,,21l u u u 那么根据定理12,欲求)(x f 的有理根,只需对有限个有理数ji v u 用综合除法来进行试验.当有理数jiv u 的个数很多时,对它们逐个进行试验还是比较麻烦的.下面的讨论能够简化计算.首先,1和-1永远在有理数jiv u 中出现,而计算)1(f 与)1(-f 并不困难.另一方面,若有理数)1(±≠a 是)(x f 的根,那么由定理12,)()()(x q x x f α-=而)(x q 也是一个整系数多项式.因此商)1(1)1(),1(1)1(--=+-=-q af q af 都应该是整数.这样只需对那些使商a f a f +--1)1(1)1(与都是整数的ji v u来进行试验.(我们可以假定)1(f 与)1(-f 都不等于零.否则可以用1-x 或1+x 除)(x f 而考虑所得的商.)例1 求多项式2553)(234-+++=x x x x x f的有理根.例2 证明15)(3+-=x x x f在有理数域上不可约.二、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设011)(a x a x a x f n n n n +++=--是一个整系数多项式.若有一个素数p ,使得1. n a p |/;2. 021,,,|a a a p n n --;3. 02|a p /.则多项式)(x f 在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如2)(+=n x x f .,其中n 是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是一个充分条件.有时对于某一个多项式)(x f ,艾森斯坦判断法不能直接应用,但把)(x f 适当变形后,就可以应用这个判断法.例3 设p 是一个素数,多项式1)(21++++=--x x x x f p p叫做一个分圆多项式,证明)(x f 在][x Q 中不可约.证明：令1+=y x ，则由于1)()1(-=-p x x f x ,yCyC y y y yf p pp ppp 1111)1()1(--+++=-+=+ ,令)1()(+=y f y g ，于是1211)(---+++=p p p p p C yC y y g ,由艾森斯坦判断法，)(y g 在有理数域上不可约，)(x f 也在有理数域上不可约.第一章 多项式(小结)一元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最大公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核心.一、基本概念.1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环.2．基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满足一些运算规律.(3) 多项式乘积的常数项(最高次项系数)等于因子的常数项(最高次项系数)的乘积.二、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法. (1) 带余除法定理.(2) 设1)()()()(|)(,0)(][)(),(=⇔≠∈x r x f x g x f x g x g x F x g x f 的余式除，. 因此多项式的整除性不因数域的扩大而改变.3. 最大公因式和互素. (1) 最大公因式,互素的概念.(2) 最大公因式的存在性和求法------辗转相除法.(3) 设)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式,反之不然.三、 因式分解理论 1.不可约多项式(1) 不可约多项式的概念.(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:(4) 艾森斯坦判断法. 2.因式分解的有关结果: (1) 因式分解及唯一性定理.(2) 次数大于零的复系数多项式都可以分解成一次因式的乘积.(3) 次数大于零的实系数多项式都可以分解成一次因式和二次不可约因式的乘积.3.重因式(1) 重因式的概念.(2) 若不可约多项式)(x p 是)(x f 的k 重因式)1(≥k ,则)(x p 是)(x f 的1-k 重因式.(4) 消去重因式的方法:))(),(()(x f x f x f '是一个没有重因式的多项式,它与)(x f 具有完全相同的不可约因式.四、多项式根的理论1.多项式函数,根和重根的概念.2.余数定理.c x -去除)(x f 所得的余式为)(x f ,则.0)()(|=⇔-c f x f c x3.有理系数多项式的有理根的求法.4.实系数多项式虚根成对定理.5.代数基本定理.每个)1(≥n n 次复系数多项式在复数域中至少有一个根.因而n 次复系数多项式恰有n 个复根(重根按重数计算).6.韦达定理.。
一元多项式习题及解答
习 题 一A 组1. 判别{},a a b =+∈QQ 是否为数域？ 解 是．2. 设32()1f x x x x =+++，2()32g x x x =++，求()()f x g x +，()()f x g x -，()()f x g x ． 解 32()()243f x g x x x x +=+++，3()()21f x g x x x -=--，5432()()46652f x g x x x x x x =+++++．3．设19932199431995()(54)(421)(8112)f x x x x x x =----+，求()f x 的展开式中各项系数的和． 解 由于()f x 的各项系数的和等于(1)f ，所以199319941995(1)(54)(421)(8112)1f =----+=-．4. 求()g x 除以()f x 的商()q x 与余式()r x ．(1) 322()31,()321f x x x x g x x x =---=-+； (2) 42()25,()2f x x x g x x x =-+=-+．解 (1) 用多项式除法得到 所以，17262(),()3999q x x r x x =-=--． (2) 用多项式除法得到 所以，2()1,()57q x x x r x x =+-=-+．5．设,a b 是两个不相等的常数，证明多项式()f x 除以()()x a x b --所得余式为()()()()f a f b af b bf a x a b a b--+--． 证明 依题意可设()()()()f x x a x b q x cx d =--++，则解得故所得余式为()()()()f a f b af b bf a x a b a b--+--．6. 问,,m p q 适合什么条件时，()f x 能被()g x 整除？(1) 3()f x x px q =++，2()1g x x mx =+-；(2) 42()f x x px q =++，2()1g x x mx =++．解 (1) 由整除的定义知，要求余式()0r x =．所以先做多项式除法，要求2()(1)()0r x p m x q m =+++-=， 所以2(1)0,0p m q m ++=-=．即21,p m q m =--=时，可以整除．(2) 方法同上．先做多项式除法，所得余式为22()(2)(1)r x m p m x q p m =--++--，所以22(2)0,10m p m q p m --=+--=，即01m p q ==+，或22,1p m q -==时，可以整除．7. 求()f x 与()g x 的最大公因式:(1) 43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--；(2) 4332()41,()31f x x x g x x x =-+=-+；(3) 42432()101,()61f x x x g x x x =-+=-+++．解 (1) 用辗转相除法得到用等式写出来，就是2()()(231)f x xg x x x =+---，21133()(231)2444g x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，284332313344x x x x ⎛⎫⎛⎫---=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()(),()1f x g x x =+．(2) 同样地，所以()(),()1f x g x =.(3) 同样用辗转相除法，可得 ()2(),()1f x g x x =--．8. 求(),()u x v x 使()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=：(1) 432432()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---：(2) 43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+：(3) 4322()441,()1f x x x x x g x x x =--++=--．解 (1) 利用辗转相除法，可以得到3()()(2)f x g x x x =+-，32()(1)(2)(2)g x x x x x =+-+-，322(2)x x x x -=-．因而，()2(),()2f x g x x =-，并且所以()1,()2u x x v x x =--=+(2) 利用辗转相除法，可以得到2()2()(639)f x xg x x x =-+-，211()(639)(1)33g x x x x x ⎛⎫=-+--+-- ⎪⎝⎭， 2(639)(1)(69)x x x x -+-=--+．因而，()(),()1f x g x x =-，并且 所以21122(),()13333u x x v x x x =-+=--． (3) 利用辗转相除法，可以得到2()(3)()(2)f x x g x x =-+-， ()(1)(2)1g x x x =+-+．因而()(),()1f x g x =，并且所以32()1,()32u x x v x x x x =--=+--． 9. 设323()(1)22,()f x x t x x u g x x tx u =++++=++的最大公因式是一个二次多项式，求,t u 的值．解 利用辗转相除法，可以得到 2()()(1)(2)f x g x t x t x u =+++-+，222222212()(1)(2)[(1)(2)]()(1)(2)1(1)(1)(1)t t t u t t u t t g x x t x t x u x t t t t ⎡⎤⎛⎫-+-++-+--⎡⎤=+++-+++ ⎪⎢⎥⎣⎦++++⎝⎭⎣⎦由题意，()f x 与()g x 的最大公因式是一个二次多项式，所以解得0,4u t ==-．10. 设()242(1)1x Ax Bx -++，求A 和B ．解 用2(1)x -去除()f x 421Ax Bx =++，得余式1()(42)13r x A B x A B =++--，由题意要求知1()0r x =，即解得1,2A B ==-．11. 证明：如果()(),()1f x g x =，()(),()1f x h x =，那么()(),()()1f x g x h x =．证明 由条件可知，存在1()u x 和1()v x 使得11()()()()1u x f x v x g x +=，存在2()u x 和2()v x 使得22()()()()1u x f x v x h x +=．用()h x 乘以第一式得11()()()()()()()u x f x h x v x g x h x h x +=，代入第二式得[]2211()()()()()()()()()1u x f x v x u x f x h x v x g x h x ++=，即[]21212()()()()()[()()]()()1u x u x v x h x f x v x v x g x h x ++=，所以()(),()()1f x g x h x =．12. 证明：如果()f x 与()g x 不全为零，且()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，那么()(),()1u x v x =．证明 由于()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，()f x 与()g x 不全为零，所以()(),()0f x g x ≠．两边同时除以()(),()0f x g x ≠，有()()()()()()1(),()(),()f x g x u x v x f x g x f x g x +=， 所以()(),()1u x v x =． 13. 证明：如果()(),()()d x f x d x g x ，且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．证明 由题意知()d x 是()f x 与()g x 的公因式．再由条件设()()()()()d x u x f x v x g x =+． 又设()h x 为()f x 与()g x 的任一公因式，即()(),()()h x f x h x g x ，则由上式有 ()()h x d x ．故而()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．14. 证明：()()()(),()()(),()()f x h x g x h x f x g x h x =，其中()h x 的首项系数为1．证明 显然()(),()()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个公因式．下面来证明它是最大公因式． 设(),()u x v x 满足()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，则()()()()()()((),())()u x f x h x v x g x h x f x g x h x +=．由上题结果知，()(),()()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式，又首项系数为1，所以()()()(),()()(),()()f x h x g x h x f x g x h x =．15. 设多项式()f x 与()g x 不全为零，证明()()()(),1(),()(),()f x g x f x g x f x g x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．证明 设()()(),()d x f x g x =，则存在多项式(),()u x v x ，使()()()()()d x u x f x v x g x =+．因为()f x 与()g x 不全为零，所以()0d x ≠．上式两边同时除以()d x ，有()()()()1()()(),()(),()f x g x u x v x f x g x f x g x =+， 故()()()(),1(),()(),()f x g x f x g x f x g x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭成立．16．分别在复数域、实数域和有理数域上分解41x +为不可约因式之积．解 在实数域上的分解式为 ()()4222221(1)211x x x x x +=+-=+++．在复数域上的分解式为4122222222x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-++---+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 在有理数域上41x +是不可约多项式．否则，若41x +可约，有以下两种可能．（1）41x +有一次因式，从而它有有理根，但(1)0f ±≠，所以41x +无有理根．（2）41x +无一次因式，设4221()()x x ax b x cx d +=++++，其中,,,a b c d 为整数．于是0a c +=，0b d ac ++=，0ad bc +=，1bd =，又分两种情况：①1b d ==，又 a c =-，从而由 0b d ac ++=，得22a =，矛盾；②1b d ==-，则22a =-，矛盾．综合以上情况，即证．17. 求下列多项式的有理根：(1) 32()61514f x x x x =-+-；(2) 42()4751g x x x x =---；(3) 5432()614113h x x x x x x =+----．解 (1)由于()f x 是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为14-的因数．14-的因数有：1,2,7,14±±±±，计算得到：故2x =是()f x 的有理根．再由多项式除法可知，2x =是()f x 的单根．(2) 类似（1）的讨论可知，()g x 的可能的有理根为：111,,24±±±，计算得到 111171111(1)9,(1)1,5,0,,22464464g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--==--==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故12x =-是()g x 的有理根．再由多项式除法可知，12x =-是()f x 的2重根． (3) 类似地，()h x 的可能的有理根为：1,3±±，计算得到(1)28,(1)0,(3)0,(3)96h h h h =--==-=-．故1x =-，3x =是()h x 的有理根．再由多项式除法可知，1x =-是()h x 的4重根，3x =是()h x 的单根．18．若实系数方程30x px q ++=有一根a bi +（,a b 为实数，0b ≠），则方程30x px q +-=有实根2a ．证明 设原方程有三个根123,,ααα．不失一般性，令1a bi α=+，从而有 2a bi α=-，由根与系数的关系可知 12330()()a bi a bi αααα=++=++-+，所以32a α=-，即3(2)(2)0a p a q -+-+=，故3(2)(2)0a p a q +-=．这说明30x px q +-=有实根2a ．19. 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x -．证明 因为(1)()n x f x -，所以 (1)(1)0nf f ==．因此，令()(1)()f x xg x =-，则有 ()(1)()n n n f x x g x =-， 即(1)()n n x f x -．20. 下列多项式在有理数域上是否可约？(1) 21()1f x x =+；(2) 4322()8122f x x x x =-++；(3) 633()1f x x x =++；(4) 4()1p f x x px =++，p 为奇素数；(5) 45()41f x x kx =++，k 为整数．解 （1）1()f x 的可能的有理根为：1±，而(1)2f ±=，所以它在有理数域上不可约．（2）由Eisenstein 判别法，取素数2p =，则2不能整除1，而 2(8),212,22-，但是22不能整除2，所以该多项式在有理数域上不可约．（3）令1x y =+，代入633()1f x x x =++有654323()(1)615211893g y f y y y y y y y =+=++++++．取素数3p =，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以()f x 在有理数域上不可约．(4) 令1x y =-，代入4()1p f x x px =++，得11222214()(1)()p p p p p p p p p g y f y y C y C y C y C p y p ----=-=-+--++-，取素数p ，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以4()f x 在有理数域上不可约．(5) 令1x y =+，代入45()41f x x kx =++，得4325()(1)46(44)42g y f y y y y k y k =+=++++++，取素数2p =，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以5()f x 在有理数域上不可约．B 组1．设()f x ，()g x ，()h x 是实数域上的多项式，(1) 若222()()()f x xg x xh x =+，则()()()0f x g x h x ===．(2) 在复数域上，上述命题是否成立？证明 (1）当()()0g x h x ==时，有2()0f x =，所以()0f x =，命题成立．如果()g x ，()h x 不全为零，不妨设()0g x ≠．当()0h x =时，()22()()12()xg x xh x g x ∂+=+∂为奇数；当()0h x ≠时，因为()g x ，()h x 都是实系数多项式，所以2()xg x 与2()xh x 都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有22(()())xg x xh x ∂+为奇数．而这时均有2()0f x ≠，且2()2()f x f x ∂=∂为偶数，矛盾．因此有()()0g x h x ==，从而有()0f x =．(2) 在复数域上，上述命题不成立．例如，设()0f x =，()n g x x =，()i nh x x =，其中n 为自然数，有222()()()f x xg x xh x =+，但()0g x ≠，()0h x ≠．2. 设(),(),()[]f x g x h x P x ∈，满足 2(1)()(1)()(2)()0x h x x f x x g x ++-++=,2(1)()(1)()(2)()0x h x x f x x g x ++++-=．证明()2(1)(),()x f x g x +.证明 两式相加得到22(1)()2(()())0x h x x f x g x +++=.由2(1,)1x x +=可知 ()2(1)()()x f x g x ++.两式相减得到2()4()0,()2()f x g x f x g x -+==. 故()()221(),1()x f x x g x ++，即()()21(),()x f x g x +.3．设1212()()()()g x g x f x f x ，证明(1) 若11()()f x g x ，1()0f x ≠，则22()()g x f x ；(2) 若212()()()g x f x f x ，是否有22()()g x f x ?解 (1) 因为1212()()()()g x g x f x f x ，11()()f x g x ，故存在多项式()h x ，1()h x 使得1212111()()()()(),()()()f x f x g x g x h x g x f x h x ==．于是12112()()()()()()f x f x f x h x g x h x =．由于1()0f x ≠，故有212()()()()f x h x g x h x =，即22()()g x f x ．(2) 否．例如取1()2g x x =-，22()1g x x =-，1()(1)(2)f x x x =--，2()(1)(2)f x x x =++．虽然1212()()()()g x g x f x f x 且212()()()g x f x f x ，但2()g x 不能整除2()f x ．4．当k 为何值时，2()(6)42f x x k x k =++++和2()(2)2g x x k x k =+++的最大公因式是一次的？并求出此时的最大公因式．解 显然()()(2)g x x k x =++．当()(),()2f x g x x =+时，(2)42(6)420f k k -=-+++=，则3k =．当()(),()f x g x x k =+时，2()(6)420f k k k k k -=-+++=，则1k =．这时()(),()1f x g x x =+． 5．证明：对于任意正整数n ，都有 ()()(),()(),()n n n f x g x f x g x =．证明 由题意可知()f x 与()g x 不全为零．令()(),()()f x g x d x =，则()0d x ≠，从而()(),1()()f x g x d x d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以对任意正整数n ，有()(),1()()n n f x g x d x d x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是有 ()()()()1()()n nf xg x u x v x d x d x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即 ()()()()()n n n u x f x v x g x d x +=． 又由()()d x f x ，()()d x g x ，有()()n n d x f x ，()()n n d x g x ，因此()n d x 是()n f x 与()ng x 的首项系数为1的最大公因式，从而有 ()()(),()()(),()nn n n f x g x d x f x g x ==． 6. 设11()()(),()()(),f x af x bg x g x cf x dg x =+=+且0ad bc -≠，证明()()11(),()(),()f x g x f x g x =．证明 设()(),()()f x g x d x =，则()(),()()d x f x d x g x ．由于1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+， 故11()(),()()d x f x d x g x ．又设11()(),()()h x f x h x g x ，由上式及0ad bc -≠，可得11()()()d b f x f x g x ad bc ad bc =---， 11()()()c a g x f x g x ad bc ad bc-=+--， 从而 ()(),()()h x f x h x g x ，于是 ()()h x d x ，即()d x 也是1()f x 和1()g x 的最大公因式，即()()11(),()(),()f x g x f x g x =．7．设1()()()f x d x f x =，1()()()g x d x g x =，且()f x 与()g x 不全为零，证明()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式的充分必要条件是()11(),()1f x g x =．证明 必要性．若()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式，则存在多项式(),()u x v x 使()()()()()u x f x v x g x d x +=，于是11()()()()()()()u x d x f x v x d x g x d x +=．由()f x 与()g x 不全为零知()0d x ≠，因此有11()()()()1u x f x v x g x +=，即()11(),()1f x g x =．充分性．若()11(),()1f x g x =，则存在多项式(),()u x v x ，使11()()()()1u x f x v x g x +=．两边同时乘()d x 有()()()()()u x f x v x g x d x +=．由()d x 是()f x 与()g x 的一个公因式知，()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．8．设()f x 和()g x 是两个多项式，证明()(),()1f x g x =当且仅当()()(),()()1f x g x f x g x +=． 证明 必要性．设()(),()1f x g x =，若()()f x g x +与()()f x g x 不互素，则有不可约公因式()p x ，使()()()p x f x g x ， 所以()()p x f x 或()()p x g x ．不妨设()()p x f x ，由()()()()p x f x g x +可知()()p x g x ，因此()p x 是()f x 和()g x 的公因式，与(),()f x g x 互素矛盾，故()()f x g x +与()()f x g x 互素．充分性．设(()(),()())1f x g x f x g x +=，则存在(),()u x v x 使()()()()()()()1f x g x u x f x g x v x ++=，()()()()()()()1f x u x g x u x f x v x ++=，上式说明()(),()1f x g x =．9. 如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x -．证明 21x x ++的两个根为1ε=和2ε=33121εε==． 因为()23312(1)()()x x f x xf x +++，所以331212()()()()x x f x xf x εε--+，故有即解得12(1)(1)0f f ==，从而1(1)()x f x -，2(1)()x f x -．10. 若()()n f x f x ，则()f x 的根只能是零或单位根．证明 因为()()n f x f x ，故存在多项式()q x ，使()()()n f x f x q x =．设a 为()f x 的任一根，即()0f a =，则()()()0n f a f a q a ==．也就是说，当a 为()f x 的一根时，n a 也为()f x 的一根．依此类推，可知2,,,n n a a a 也是()f x 的根．由于()f x 的根的个数有限，故必定存在正整数,s t (不妨设s t >)，使得s t n n a a =，(1)0t s t n n n a a --=．于是有0t n a =即0a =，或者(1)0s tn n a --=，即a 为单位根． 11. 设()f x 是一个整系数多项式，且(0),(1)f f 都是奇数，则()f x 没有整数根．证明 设10()n n f x a x a x a =+++，假设()f x 有整数根α，则x α-整除()f x ，即()()()f x x q x α=-，其中商式()q x 也是一个整系数多项式．事实上，设1110()n n q x b x b x b --=+++，代入上式并比较两端同次幂系数，得112110100,,,,n n n n n a b a b b a b b a b ααα----==-=-=-， 因为()f x 是一个整系数多项式，所以，110,,,n b b b -也是整数，令0,1x x ==分别代入展开式，得 (0)(0),(1)(1)(1)f q f q αα=-=-．由于(0),(1)f f 都是奇数，则α及1α-都必须是奇数，这是不可能的，所以，()f x 不能有整数根．12．证明对于任意非负整数n ，都有 ()()22211(1)n n x x x x ++++++． 证明 设α是21x x ++的任一根，即 210αα++=，21αα+=-，31α=．由此得221222123(1)()(1)0n n n n n n αααααα+++++++=+-=-=，即α也是221(1)n n x x ++++的根．又因为21x x ++无重根，因此()()22211(1)n n x x x x ++++++．13. 假设12,,,n a a a 是两两不同的整数，证明：多项式12()()()()1n f x x a x a x a =----在有理数域上不可约．证明 用反证法．假设()f x 在有理数域上可约，则有整系数多项式12(),()g x g x ，使得12()()()f x g x g x =．于是12()()()i i i f a g a g a =，1,2,,i n =．因此，12()1,()1i i g a g a ==-或12()1,()1i i g a g a =-=．这样总有12()()i i g a g a =-，从而由推论2知12()()g x g x =-，所以21()()f x g x =-．这与()f x 的首项系数为1相矛盾，故()f x 在有理数域上不可约．。
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习 题 一A 组1.判别{},a a b =+∈QQ 是否为数域解 是．2. 设32()1f x x x x =+++，2()32g x x x =++，求()()f x g x +，()()f x g x -，()()f x g x ． 解32()()243f x g x x x x +=+++， 3()()21f x g x x x -=--，5432()()46652f x g x x x x x x =+++++．3．设19932199431995()(54)(421)(8112)f x x x x x x =----+，求()f x 的展开式中各项系数的和．解 由于()f x 的各项系数的和等于(1)f ，所以199319941995(1)(54)(421)(8112)1f =----+=-．4. 求()g x 除以()f x 的商()q x 与余式()r x ． (1) 322()31,()321f x x x x g x x x =---=-+；(2) 42()25,()2f x x x g x x x =-+=-+．解 (1) 用多项式除法得到23232227321313923374133714739926299x x x x x x x x x x x x x x -+-----+----+---所以，17262(),()3999q x x r x x =-=--． (2) 用多项式除法得到24243232322222512225245257x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-++--+--+-+--+-+--+所以，2()1,()57q x x x r x x =+-=-+．5．设,a b 是两个不相等的常数，证明多项式()f x 除以()()x a x b --所得余式为()()()()f a f b af b bf a x a b a b--+--． 证明 依题意可设()()()()f x x a x b q x cx d =--++，则(),().f a ca d f b cb d =+⎧⎨=+⎩ 解得()()()()(),()()).c f a f b a b d af b bf a a b =--⎧⎪⎨=--⎪⎩故所得余式为()()()()f a f b af b bf a x a b a b--+--． 6. 问,,m p q 适合什么条件时，()f x 能被()g x 整除 (1) 3()f x x px q =++，2()1g x x mx =+-； (2) 42()f x x px q =++，2()1g x x mx =++．解 (1) 由整除的定义知，要求余式()0r x =．所以先做多项式除法，233222221(1)(1)()x mx x px q x mx mx xmx p x q mx m xmp m x q m +-++-+--+++--++++-要求2()(1)()0r x p m x q m =+++-=， 所以2(1)0,0p m q m ++=-=．即21,p m q m =--=时，可以整除．(2) 方法同上．先做多项式除法，所得余式为22()(2)(1)r x m p m x q p m =--++--，所以22(2)0,10m p m q p m --=+--=，即01m p q ==+，或22,1p m q -==时，可以整除．7. 求()f x 与()g x 的最大公因式: (1) 43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+--；(2) 4332()41,()31f x x x g x x x =-+=-+；(3)42432()101,()61f x x x g x x x =-+=-+++．解 (1) 用辗转相除法得到3243232432222211134124312213841231223313122244331441x x x x x x x x xx x x x x x xx x x x x x x x xx x x -++--+---+++--------+-----------用等式写出来，就是2()()(231)f x xg x x x =+---，21133()(231)2444g x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，284332313344x x x x ⎛⎫⎛⎫---=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()(),()1f x g x x =+．(2) 同样地，3243324323232221103141139123331021133101020313991611274413299162563331649216495391625627256x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x xx x -+-+-+-+--+-++--+--+-+----+---+-+-+-所以()(),()1f x g x =.(3) 同样用辗转相除法，可得()2(),()1f x g x x =--．8. 求(),()u x v x 使()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=： (1) 432432()242,()22f x x x x x g x x x x x =+---=+---：(2) 43232()421659,()254f x x x x x g x x x x =--++=--+：(3) 4322()441,()1f x x x x x g x x x =--++=--．解 (1) 利用辗转相除法，可以得到3()()(2)f x g x x x =+-， 32()(1)(2)(2)g x x x x x =+-+-，322(2)x x x x -=-．因而，()2(),()2f x g x x =-，并且()()23(),()2()(1)(2)()(1)()() (1)()(2)(),f xg x x g x x x x g x x f x g x x f x x g x =-=-+-=-+-=--++所以()1,()2u x x v x x =--=+(2) 利用辗转相除法，可以得到2()2()(639)f x xg x x x =-+-，211()(639)(1)33g x x x x x ⎛⎫=-+--+-- ⎪⎝⎭，2(639)(1)(69)x x x x -+-=--+．因而，()(),()1f x g x x =-，并且()()2211(),()1(639)()3311()2()()331122()1(),3333f x g x x x x x g x f x xg x x g x x f x x x g x ⎛⎫=-=-+--+- ⎪⎝⎭⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以21122(),()13333u x x v x x x =-+=--．(3) 利用辗转相除法，可以得到2()(3)()(2)f x x g x x =-+-，()(1)(2)1g x x x =+-+．因而()(),()1f x g x =，并且()232(),()1()(1)(2)()(1)(()(3)())(1)()(32)(),f xg x g x x x g x x f x x g x x f x x x x g x ==-+-=-+--=--++--所以32()1,()32u x x v x x x x =--=+--．9. 设323()(1)22,()f x x t x x u g x x tx u =++++=++的最大公因式是一个二次多项式，求,t u 的值．解 利用辗转相除法，可以得到2()()(1)(2)f x g x t x t x u =+++-+，222222212()(1)(2)[(1)(2)]()(1)(2)1(1)(1)(1)t t t u t t u t t g x x t x t x u x t t t t ⎡⎤⎛⎫-+-++-+--⎡⎤=+++-+++ ⎪⎢⎥⎣⎦++++⎝⎭⎣⎦由题意，()f x 与()g x 的最大公因式是一个二次多项式，所以22222()(1)(2)0,(1)[(1)(2)]0,(1)t t u t t t u t t t ⎧+-++-=⎪+⎪⎨+--⎪=⎪+⎩解得0,4u t ==-．10. 设()242(1)1x Ax Bx -++，求A 和B ．解 用2(1)x -去除()f x 421Ax Bx =++，得余式1()(42)13r x A B x A B =++--，由题意要求知1()0r x =，即420,130,A B A B +=⎧⎨--=⎩解得1,2A B ==-．11. 证明：如果()(),()1f x g x =，()(),()1f x h x =，那么()(),()()1f x g x h x =． 证明 由条件可知，存在1()u x 和1()v x 使得11()()()()1u x f x v x g x +=，存在2()u x 和2()v x 使得22()()()()1u x f x v x h x +=．用()h x 乘以第一式得11()()()()()()()u x f x h x v x g x h x h x +=，代入第二式得[]2211()()()()()()()()()1u x f x v x u x f x h x v x g x h x ++=，即[]21212()()()()()[()()]()()1u x u x v x h x f x v x v x g x h x ++=，所以()(),()()1f x g x h x =．12. 证明：如果()f x 与()g x 不全为零，且()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，那么()(),()1u x v x =．证明 由于()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，()f x 与()g x 不全为零，所以()(),()0f x g x ≠．两边同时除以()(),()0f x g x ≠，有()()()()()()1(),()(),()f x g x u x v x f x g x f x g x +=，所以()(),()1u x v x =．13. 证明：如果()(),()()d x f x d x g x ，且()d x 为()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．证明 由题意知()d x 是()f x 与()g x 的公因式．再由条件设()()()()()d x u x f x v x g x =+． 又设()h x 为()f x 与()g x 的任一公因式，即()(),()()h x f x h x g x ，则由上式有 ()()h x d x ．故而()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．14. 证明：()()()(),()()(),()()f x h x g x h x f x g x h x =，其中()h x 的首项系数为1．证明 显然()(),()()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个公因式．下面来证明它是最大公因式． 设(),()u x v x 满足()()()()()(),()u x f x v x g x f x g x +=，则()()()()()()((),())()u x f x h x v x g x h x f x g x h x +=．由上题结果知，()(),()()f x g x h x 是()()f x h x 与()()g x h x 的一个最大公因式，又首项系数为1，所以()()()(),()()(),()()f x h x g x h x f x g x h x =．15. 设多项式()f x 与()g x 不全为零，证明()()()(),1(),()(),()f x g x f x g x f x g x ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭．证明 设()()(),()d x f x g x =，则存在多项式(),()u x v x ，使()()()()()d x u x f x v x g x =+．因为()f x 与()g x 不全为零，所以()0d x ≠．上式两边同时除以()d x ，有()()()()1()()(),()(),()f x g x u x v x f x g x f x g x =+，故()()()(),1(),()(),()f x g x f x g x f x g x ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭成立．16．分别在复数域、实数域和有理数域上分解41x +为不可约因式之积． 解 在实数域上的分解式为()()4222221(1)211x x x x x +=+-=+++．在复数域上的分解式为4122222222x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-++---+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．在有理数域上41x +是不可约多项式．否则，若41x +可约，有以下两种可能． （1）41x +有一次因式，从而它有有理根，但(1)0f ±≠，所以41x +无有理根．（2）41x +无一次因式，设4221()()x x ax b x cx d +=++++，其中,,,a b c d 为整数．于是0a c +=，0b d ac ++=，0ad bc +=，1bd =，又分两种情况：①1b d ==，又 a c =-，从而由 0b d ac ++=，得22a =，矛盾；②1b d ==-，则22a =-，矛盾． 综合以上情况，即证．17. 求下列多项式的有理根： (1) 32()61514f x x x x =-+-； (2) 42()4751g x x x x =---；(3) 5432()614113h x x x x x x =+----．解 (1)由于()f x 是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为14-的因数．14-的因数有：1,2,7,14±±±±，计算得到：(1)4,(1)36,(2)0,(2)72,(7)140,(7)756, (14)1764,(14)4144,f f f f f f f f =--=-=-=-=-=-=-=-故2x =是()f x 的有理根．再由多项式除法可知，2x =是()f x 的单根．(2) 类似（1）的讨论可知，()g x 的可能的有理根为：111,,24±±±，计算得到 111171111(1)9,(1)1,5,0,,22464464g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--==--==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故12x =-是()g x 的有理根．再由多项式除法可知，12x =-是()f x 的2重根． (3) 类似地，()h x 的可能的有理根为：1,3±±，计算得到(1)28,(1)0,(3)0,(3)96h h h h =--==-=-．故1x =-，3x =是()h x 的有理根．再由多项式除法可知，1x =-是()h x 的4重根，3x =是()h x 的单根．18．若实系数方程30x px q ++=有一根a bi +（,a b 为实数，0b ≠），则方程30x px q +-=有实根2a ．证明 设原方程有三个根123,,ααα．不失一般性，令1a bi α=+，从而有 2a bi α=-，由根与系数的关系可知12330()()a bi a bi αααα=++=++-+，所以32a α=-，即3(2)(2)0a p a q -+-+=，故3(2)(2)0a p a q +-=．这说明30x px q +-=有实根2a ．19. 证明：如果(1)()nx f x -，那么(1)()n n x f x -．证明 因为(1)()nx f x -，所以 (1)(1)0nf f ==．因此，令()(1)()f x xg x =-，则有()(1)()n n n f x x g x =-，即(1)()n n x f x -．20. 下列多项式在有理数域上是否可约(1) 21()1f x x =+；(2) 4322()8122f x x x x =-++； (3) 633()1f x x x =++；(4) 4()1pf x x px =++，p 为奇素数； (5) 45()41f x x kx =++，k 为整数．解 （1）1()f x 的可能的有理根为：1±，而(1)2f ±=，所以它在有理数域上不可约．（2）由Eisenstein 判别法，取素数2p =，则2不能整除1，而 2(8),212,22-，但是22不能整除2，所以该多项式在有理数域上不可约．（3）令1x y =+，代入633()1f x x x =++有654323()(1)615211893g y f y y y y y y y =+=++++++．取素数3p =，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以()f x 在有理数域上不可约．(4) 令1x y =-，代入4()1pf x x px =++，得11222214()(1)()p p p p p p p p p g y f y y C yC y C y C p y p ----=-=-+--++-L ， 取素数p ，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以4()f x 在有理数域上不可约．(5) 令1x y =+，代入45()41f x x kx =++，得4325()(1)46(44)42g y f y y y y k y k =+=++++++，取素数2p =，由Eisenstein 判别法知，()g y 在有理数域上不可约，所以5()f x 在有理数域上不可约．B 组1．设()f x ，()g x ，()h x 是实数域上的多项式，(1) 若222()()()f x xg x xh x =+，则()()()0f x g x h x ===．(2) 在复数域上，上述命题是否成立证明 (1）当()()0g x h x ==时，有2()0f x =，所以()0f x =，命题成立．如果()g x ，()h x 不全为零，不妨设()0g x ≠．当()0h x =时，()22()()12()xg x xh x g x ∂+=+∂为奇数；当()0h x ≠时，因为()g x ，()h x 都是实系数多项式，所以2()xg x 与2()xh x 都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有22(()())xg x xh x ∂+为奇数．而这时均有2()0f x ≠，且2()2()f x f x ∂=∂为偶数，矛盾．因此有()()0g x h x ==，从而有()0f x =．(2) 在复数域上，上述命题不成立．例如，设()0f x =，()n g x x =，()i nh x x =，其中n 为自然数，有222()()()f x xg x xh x =+，但()0g x ≠，()0h x ≠．2. 设(),(),()[]f x g x h x P x ∈，满足 2(1)()(1)()(2)()0x h x x f x x g x ++-++=,2(1)()(1)()(2)()0x h x x f x x g x ++++-=．证明()2(1)(),()x f x g x +.证明 两式相加得到22(1)()2(()())0x h x x f x g x +++=.由2(1,)1x x +=可知 ()2(1)()()x f x g x ++.两式相减得到2()4()0,()2()f x g x f x g x -+==. 故()()221(),1()x f x x g x ++，即()()21(),()x f x g x +.3．设1212()()()()g x g x f x f x ，证明(1) 若11()()f x g x ，1()0f x ≠，则22()()g x f x ；(2) 若212()()()g x f x f x ，是否有22()()g x f x解 (1) 因为1212()()()()g x g x f x f x ，11()()f x g x ，故存在多项式()h x ，1()h x 使得1212111()()()()(),()()()f x f x g x g x h x g x f x h x ==．于是12112()()()()()()f x f x f x h x g x h x =．由于1()0f x ≠，故有212()()()()f x h x g x h x =，即22()()g x f x ．(2) 否．例如取1()2g x x =-，22()1g x x =-，1()(1)(2)f x x x =--，2()(1)(2)f x x x =++．虽然1212()()()()g x g x f x f x 且212()()()g x f x f x ，但2()g x 不能整除2()f x ．4．当k 为何值时，2()(6)42f x x k x k =++++和2()(2)2g x x k x k =+++的最大公因式是一次的并求出此时的最大公因式．解 显然()()(2)g x x k x =++．当()(),()2f x g x x =+时，(2)42(6)420f k k -=-+++=，则3k =．当()(),()f x g x x k =+时，2()(6)420f k k k k k -=-+++=，则1k =．这时()(),()1f x g x x =+． 5．证明：对于任意正整数n ，都有 ()()(),()(),()n n n f x g x f x g x =．证明 由题意可知()f x 与()g x 不全为零．令()(),()()f x g x d x =，则()0d x ≠，从而()(),1()()f x g x d x d x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以对任意正整数n ，有()(),1()()n n f x g x d x d x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是有 ()()()()1()()n nf xg x u x v x d x d x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即 ()()()()()n n n u x f x v x g x d x +=． 又由()()d x f x ，()()d x g x ，有()()n n d x f x ，()()n n d x g x ，因此()n d x 是()nf x 与()ng x 的首项系数为1的最大公因式，从而有()()(),()()(),()nn n n f x g x d x f x g x ==． 6. 设11()()(),()()(),f x af x bg x g x cf x dg x =+=+且0ad bc -≠，证明()()11(),()(),()f x g x f x g x =．证明 设()(),()()f x g x d x =，则()(),()()d x f x d x g x ．由于1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+， 故11()(),()()d x f x d x g x ．又设11()(),()()h x f x h x g x ，由上式及0ad bc -≠，可得11()()()d b f x f x g x ad bc ad bc =---， 11()()()c a g x f x g x ad bc ad bc-=+--， 从而 ()(),()()h x f x h x g x ，于是 ()()h x d x ，即()d x 也是1()f x 和1()g x 的最大公因式，即()()11(),()(),()f x g x f x g x =．7．设1()()()f x d x f x =，1()()()g x d x g x =，且()f x 与()g x 不全为零，证明()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式的充分必要条件是()11(),()1f x g x =．证明 必要性．若()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式，则存在多项式(),()u x v x 使()()()()()u x f x v x g x d x +=，于是11()()()()()()()u x d x f x v x d x g x d x +=．由()f x 与()g x 不全为零知()0d x ≠，因此有11()()()()1u x f x v x g x +=，即()11(),()1f x g x =．充分性．若()11(),()1f x g x =，则存在多项式(),()u x v x ，使11()()()()1u x f x v x g x +=．两边同时乘()d x 有()()()()()u x f x v x g x d x +=．由()d x 是()f x 与()g x 的一个公因式知，()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式．8．设()f x 和()g x 是两个多项式，证明()(),()1f x g x =当且仅当()()(),()()1f x g x f x g x +=． 证明 必要性．设()(),()1f x g x =，若()()f x g x +与()()f x g x 不互素，则有不可约公因式()p x ，使()()()p x f x g x ， 所以()()p x f x 或()()p x g x ．不妨设()()p x f x ，由()()()()p x f x g x +可知()()p x g x ，因此()p x 是()f x 和()g x 的公因式，与(),()f x g x 互素矛盾，故()()f x g x +与()()f x g x 互素．充分性．设(()(),()())1f x g x f x g x +=，则存在(),()u x v x 使()()()()()()()1f x g x u x f x g x v x ++=，()()()()()()()1f x u x g x u x f x v x ++=，上式说明()(),()1f x g x =．9. 如果23312(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x -．证明 21x x ++的两个根为1ε=和2ε=33121εε==． 因为()23312(1)()()x x f x xf x +++，所以331212()()()()x x f x xf x εε--+，故有33111213312222()()0,()()0,f f f f εεεεεε⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 即112122(1)(1)0,(1)(1)0.f f f f εε+=⎧⎨+=⎩ 解得12(1)(1)0f f ==，从而1(1)()x f x -，2(1)()x f x -．10. 若()()n f x f x ，则()f x 的根只能是零或单位根．证明 因为()()n f x f x ，故存在多项式()q x ，使()()()nf x f x q x =．设a 为()f x 的任一根，即()0f a =，则()()()0n f a f a q a ==．也就是说，当a 为()f x 的一根时，n a 也为()f x 的一根．依此类推，可知2,,,n n a a a L 也是()f x 的根．由于()f x 的根的个数有限，故必定存在正整数,s t (不妨设s t >)，使得s t n n a a =，(1)0t s t n n n a a --=．于是有0t n a =即0a =，或者(1)0s t n n a --=，即a 为单位根．11. 设()f x 是一个整系数多项式，且(0),(1)f f 都是奇数，则()f x 没有整数根．证明 设10()n n f x a x a x a =+++L ，假设()f x 有整数根α，则x α-整除()f x ，即()()()f x x q x α=-，其中商式()q x 也是一个整系数多项式．事实上，设1110()n n q x b x b x b --=+++L ，代入上式并比较两端同次幂系数，得112110100,,,,n n n n n a b a b b a b b a b ααα----==-=-=-L ，因为()f x 是一个整系数多项式，所以，110,,,n b b b -L 也是整数，令0,1x x ==分别代入展开式，得(0)(0),(1)(1)(1)f q f q αα=-=-．由于(0),(1)f f 都是奇数，则α及1α-都必须是奇数，这是不可能的，所以，()f x 不能有整数根．12．证明对于任意非负整数n ，都有 ()()22211(1)n n x x x x ++++++． 证明 设α是21x x ++的任一根，即 210αα++=，21αα+=-，31α=．由此得221222123(1)()(1)0n n n n n n αααααα+++++++=+-=-=，即α也是221(1)n n x x ++++的根．又因为21x x ++无重根，因此()()22211(1)n n x x x x ++++++．13. 假设12,,,n a a a L 是两两不同的整数，证明：多项式12()()()()1n f x x a x a x a =----L 在有理数域上不可约．证明 用反证法．假设()f x 在有理数域上可约，则有整系数多项式12(),()g x g x ，使得12()()()f x g x g x =．于是12()()()i i i f a g a g a =，1,2,,i n =L ．因此，12()1,()1i i g a g a ==-或12()1,()1i i g a g a =-=．这样总有12()()i i g a g a =-，从而由推论2知12()()g x g x =-，所以21()()f x g x =-．这与()f x 的首项系数为1相矛盾，故()f x 在有理数域上不可约．。