5.7 流函数势函数
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式流函数与势函数是描述流体运动的两个重要概念，在流体力学中被广泛应用。
本文将介绍流函数和势函数的基本概念、性质以及求解方法。
1.流函数的概念和性质流函数是描述在二维定常流动中，各个流线上速度矢量的旋转情况的函数。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则流函数Ψ(x,y)定义为：V=∇Ψ=(∂Ψ/∂x,∂Ψ/∂y)其中，∇Ψ是流函数Ψ的梯度向量。
流函数的性质如下：1)斜率定理：沿着流线的方向，流函数的局部斜率等于流体的速度分量。
2)流线定理：流线上的流函数值保持不变，即Ψ为常数。
3)流函数的连续性：在空间中的流函数是连续的，除非在相应的流体内有边界。
4)流函数的耗散性：流函数对时间是线性的，即流函数在时间方向上是耗散的。
2.势函数的概念和性质势函数是描述流体在无旋力场中流动时所具备的性质的函数。
无旋力场是指速度场的旋度等于零。
对于二维流动，假设流体流动的速度场为V(x,y)，则势函数φ(x,y)定义为：V=∇φ=(∂φ/∂x,∂φ/∂y)其中，∇φ是势函数φ的梯度向量。
势函数的性质如下：1)势函数的梯度向量是速度向量。
2)势流是不可压缩的，即∇·V=0。
3)势函数满足拉普拉斯方程，即∇²φ=0。
4)由于速度场的旋度等于零，势函数是无旋的。
3.流函数和势函数的关系在二维流动中，流函数和势函数之间存在一种特殊的关系，称为流函数-势函数耦合关系。
根据流函数和势函数的定义，可以得到流函数和势函数的关系：Ψ = ∫(∂φ/∂y)dx + f(y)φ = ∫(∂Ψ/∂x)dy + g(x)其中，f(y)和g(x)是任意常数函数。
根据流函数-势函数耦合关系可以求解流体的速度场，并且满足连续性方程和运动方程。
4.求解流函数和势函数的方法求解流函数和势函数的方法有多种，常用的方法有分离变量法、解析法和数值法。
4.1分离变量法分离变量法是将流函数和势函数分解为各自的变量函数，并通过解偏微分方程的边值问题来确定这些变量函数。
流函数及势函数
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得平面流动的流线微分方程为式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上dψ=0或ψ=C。
每条流线对应一个常数值，所以称函数ψ为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为：流函数具有明确的物理意义：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数ψ的定义中，为保证流函数变化值dψ与流量增量值dq v 同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
里的流量qv通过A点的流线的流函数值ψ1，通过B点的流线的流函数值ψ2，则通过AB柱面的体积流量为在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在流函数，对于xoy平面内的无旋流动，有 z=0，即：也可得即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为二、速度势函数对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知，沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
对于无旋流动，该封闭周线所包围的速度环量为零，有对于理想流体无旋流动，从参考点A到另一点B的速度线积分与点A 至点B的路径无关，上式中ds表示连接点A与点B的任意微元曲线。
也就是说，速度线积分仅仅取决于B点相对于A点的位置，具有单值势函数的特征。
由无旋流动的充要条件可知即：上式是成为某一函数的全微分的必要且充分条件。
函数成为速度势函数，简称速度势。
1-6 势函数流函数
V
V V
v u 0 x y D u v 0 x y
无辐散涡旋流，产生涡旋部分
无旋辐散流，引起散度部分
பைடு நூலகம்
V V , V 0 V V , V 0
二、流函数
引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：
无辐散流 流体运动
V 0
V 0
辐散流
考虑二维无辐散流动，即满足：
u u x , y, t , v v x , y, t
w0
u / x v / y 0
则流线方程为：
dx dy u v vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
d x, y, t vdx udy 0
u ,v y x
V k
流函数与流线的关系？
流函数与流线的关系
d x, y, t vdx udy 0
积分
x, y, t C
，位势梯度小，相应的 流速小。
势函数和散度的关系
u v w D x y z
V
D
2
2 2 2 2 其中， 为三维拉普拉斯算子 2 2 x y z 2 那么，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即
可求得势函数；已知u、v、w，先计算D，再解泊松方 程，得φ；已知φ，求导计算即可获得u、v、w 。
③形变张量的概念。
§6速度势函数和流函数 ①势函数的定义、表示流体运动的方法； ②流函数的定义、表示流体运动的方法； ③速度势函数、流函数表示二维流动。
流函数和势函数公式(一)
流函数和势函数公式(一)资深创作者列举流函数和势函数公式的相关公式，并进行例解释。
流函数公式二维空间中的流函数公式在二维空间中，流函数用于描述流体的运动状态。
对于二维流动，在直角坐标系下，流函数的公式可以表示为：ψ = ∫(Vx dy - Vy dx)其中，Vx和Vy分别表示流体在x和y方向的速度分量。
ψ表示流函数。
举例：假设在二维平面内，某个点(x, y)的速度分量分别为Vx = x*y和Vy = x^2。
那么该点处的流函数可以计算如下：ψ = ∫(x*y dy - x^2 dx)三维空间中的流函数公式在三维空间中，流函数的公式稍有不同。
在直角坐标系下，流函数可以表示为：ψ = ∫(Vx dy dz - Vy dx dz + Vz dx dy)其中，Vx、Vy和Vz分别表示流体在x、y和z方向的速度分量。
ψ表示流函数。
Vx = x^2，Vy = y^2和Vz = z^2。
那么该点处的流函数可以计算如下：ψ = ∫(x^2 dy dz - y^2 dx dz + z^2 dx dy)势函数公式二维空间中的势函数公式在二维空间中，势函数用于描述流体的势能分布。
对于二维流动，在直角坐标系下，势函数的公式可以表示为：φ = ∫(Vx dx + Vy dy)其中，Vx和Vy分别表示流体在x和y方向的速度分量。
φ表示势函数。
举例：假设在二维平面内，某个点(x, y)的速度分量分别为Vx = 2x和Vy = 3y。
那么该点处的势函数可以计算如下：φ = ∫(2x dx + 3y dy)三维空间中的势函数公式在三维空间中，势函数的公式稍有不同。
在直角坐标系下，势函数可以表示为：φ = ∫(Vx dx + Vy dy + Vz dz)其中，Vx、Vy和Vz分别表示流体在x、y和z方向的速度分量。
φ表示势函数。
Vx = x^2，Vy = y^2和Vz = z^2。
那么该点处的势函数可以计算如下：φ = ∫(x^2 dx + y^2 dy + z^2 dz)总结：•流函数公式和势函数公式分别用于描述流体的运动状态和势能分布。
流函数与势函数
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得平面流动的流线微分方程为式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上dψ=0或ψ=C。
每条流线对应一个常数值，所以称函数ψ为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为：流函数具有明确的物理意义：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数ψ的定义中，为保证流函数变化值dψ与流量增量值dq v 同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
里的流量qv通过A点的流线的流函数值ψ1，通过B点的流线的流函数值ψ2，则通过AB柱面的体积流量为在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在流函数，对于xoy平面内的无旋流动，有 z=0，即：也可得即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为二、速度势函数对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知，沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
对于无旋流动，该封闭周线所包围的速度环量为零，有对于理想流体无旋流动，从参考点A到另一点B的速度线积分与点A 至点B的路径无关，上式中ds表示连接点A与点B的任意微元曲线。
也就是说，速度线积分仅仅取决于B点相对于A点的位置，具有单值势函数的特征。
由无旋流动的充要条件可知即：上式是成为某一函数的全微分的必要且充分条件。
函数成为速度势函数，简称速度势。
流函数与势函数.docx
一、流函数流函数概念的提出是仅对不可压缩流体的平面流动而言的。
所谓平面流动是指流场中各点的流速都平行于某一固定平面，并且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
由不可压缩流体的平面流动的连续方程得du dv--- =—―dx dy平面流动的流线微分方程为吗一血" ⑵式(1)是式(2)成为某一函数的全微分的必要且充分的条件，即于是很显然，在流线上(1屮二0或屮二C。
每条流线对应一个常数值, 所以称函数屮为流函数。
对于不可压缩流体的平面流动，用极坐标表示的连续方程、流函数的微分和速度分量分别为:(1)dr dddy/流函数具有明确的物固愿契：平面流动中两条流线间单位厚度通过的体积流量等于两条流线上的流函数常数之差。
在流函数屮的定义中，为保证流函数变化值（1屮与流量增量值dq、同号，规定绕B点逆时针方向穿过曲线AB的流量为正，反之为负，这里的流量4,.是指通过z方向为单位高度的柱面的体积流量。
通过A点的流线的流函数值屮1 ,通过B点的流线的流函数值屮2 ，则通过AB柱面的体积流量为¥ r w 辛q v = \V -dZ = J \u cos(n7 x) +v cos(再y)](SA A["字 + v(-务问二j (T -vdx)AB\(1屮=屮2_屮\A在引出流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也 没有涉及流体是有旋的还是无旋的。
所以，无论是理想流体还是粘性流 体，无论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动, 就存在流函数，dv du .----- —=0对于xoy 平面内的无旋流动，有CO Z =0,即：去Oy口2 才屮 d 2i// 门VV=—r + —r=0也可得dx创即不可压缩流体的平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，也是调和 函数。
对于极坐标系，该满足拉普拉斯方程为d 2u/ 1 du/ 1 d 2u/ c+ -- +——^=0 dr 2 r dr r 2 d02二、速度势函数屮】对于无粘性（理想）流体的无旋流动而言，由斯托克斯定理可知， 沿流场中任意封闭周线的速度线积分，即速度环量均为零。
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式流体力学中的流函数可以用来描述流体的速度场。
速度场表示流体在空间中各点的速度分布情况。
对于无旋的流动，可以引入流函数，流函数可以唯一地确定流线。
流线是流体在给定时刻通过各点的轨迹线。
在无旋的流动中，速度场可以通过流函数的梯度得到。
流函数可以按照如下公式定义：ψ=ψ(x,y,z)其中，ψ是流函数，表示速度场在其中一截面上的流函数值，(x,y,z)是该截面上的坐标。
流函数满足拉普拉斯方程：∇²ψ=0其中，∇²是拉普拉斯算子，表示流函数对坐标的二阶混合偏导数的和，等于零表示流函数满足拉普拉斯方程。
流函数的物理意义是流线沿着这个函数的等值线的方向运动。
通过给定流函数值，可以确定流线的轨迹。
势函数是流体力学中另一个重要的数学工具。
势函数用来描述无旋的流动场中的速度场。
对于无旋的流动，速度场可以通过势函数的梯度得到。
势函数可以按照如下公式定义：φ=φ(x,y,z)其中，φ是势函数，表示速度场在其中一截面上的势函数值，(x,y,z)是该截面上的坐标。
势函数满足亥姆霍兹方程：∇²φ=0势函数的物理意义是速度场是势函数的梯度。
通过给定势函数值，可以确定速度场的分布情况。
流函数和势函数是流体力学中流动的描述工具。
通过流函数和势函数，可以方便地描述流体的流动和速度场。
流函数适用于无旋流动，通过流函数的梯度可以得到速度场。
势函数适用于无旋流动，通过势函数的梯度可以得到速度场。
流函数和势函数是相互对偶的工具，二者之间有一个互逆的关系。
在实际应用中，流函数和势函数在求解流体问题中起着重要的作用。
通过流函数和势函数，可以方便地计算速度场和流线，从而解决各种涉及流体流动的问题。
总结起来，流函数和势函数是流体力学中用来描述流动的两个重要的数学工具。
流函数用来描述无旋流动的速度场，势函数用来描述无旋流动场中的速度场。
二者分别满足拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程。
流函数和势函数在解决流体流动问题中具有重要的作用。
流函数势函数
大气中充沛的水汽和水汽持续的输送是 形成强降水的必需条件,丁一汇等[3 ] 分 析了1998 年中国大洪水时期的全球水汽 背景,得到中国大洪水时期部分水汽收支 图像,揭示了水汽循环的一些规律。 由于2003 年强降水发生的区域和大环境 与1998 年不尽相同,分析对应时期的大范 围的水汽输送特征对理解2003 年江淮流 域暴雨洪涝的形成和维持也是有必要 的。
[4 ] 丁一汇. 天气动力学中的诊断分析方法. 北京:科学出版 社,1989 ,293pp [5 ] 周玉淑. 梅雨锋系的空间结构特征、形成机理及湿位涡 异常的研究. 中国科学院大气物理研究所博士学位论 文,2002 ,189pp [6 ] Gao Shouting ,Zhou Yushu ,Lei Ting. The structure features of the Meiyu front system. Acta MeteorologicSinica ,2002 ,16 :195～204
流函数、势函数的计算
1、对于无旋运动一定存在一个速度势 ，也称
势函数，该运动在任意方向的分速度即在此方 向的微分，对于x,y两个方向应有：
u
（1）
v
x y
只要找到势函数场，则与其对应 的无旋运动场的特点就清楚了。
2 2 u v D ( 2 2 ) 2 x y x y
（8）
实际工作中，常先规定一个误差标准值 运用(9)、（10）、(11)式反复迭代:
R =
n i,j
0
n i+1,j
in1, j in, j 1 2 2 ( 2 2 )in, j Di , j (9) 2 x y 2 x y
n i,j+1
速度势函数和流函数
-地球物理流体力学》2012.02-05
16
l 3）根据辐散流和势函数的关系，涡旋流和流函数的关系，得到两 个风速分量，即：
-地球物理流体力学》2012.02-05
17
拉普拉斯流动
l 满足以下条件的为【拉普拉斯流动】： ① 两维平面运动（u,v 不为零，w=0 ） ② 理想流体（不考虑粘性， 0 = μ） ③ 无辐散流（D=0 ）；无旋流
-地球物理流体力学》2012.02-05
18
拉普拉斯流的特点：
l 特点一: 势函数和流函数都是调和函数 l 特点二：等势线与等流函数线垂直
-地球物理流体力学》2012.02-05
19
证明：
l 因为：矢量与本身的叉乘恒为零，则： l 而拉普拉斯流动无旋无辐散，则速度矢：
l 因为是二维运动，则：
l 所以：
-地球物理流体力学》2012.02-05
20
10
注意：
① 流函数引入的条件是流体运动为二维，而流体是不可压缩的，不 论流体是有旋还是无旋，流函数都存在。
② 如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困 难。）
引入流函数的优点： ① 可以减少表征流体运动的变量。2 个变1 个。 ② 流函数还可以用来表示流体体积通量。
-地球物理流体力学》2012.02-05
无旋运动与势函数
l 1 、势函数存在的条件 l 无旋运动： l 按照矢量运算，任何一个函数的梯度再取旋度必恒等于零，
l 负号表示流动和梯度方向相反。（梯度方向：低值向高值）
-地球物理流体力学》2012.02-05
1
梯度：
l 标量场的【梯度】( )是一个矢量场。标量场中某一点上的梯 度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
流函数势函数
2
( x2
2 y2 ) 2
(2)
2、对于无辐散运动，一定存在一个流函数 ，
无辐散运动在x,y方向的分速度为：
u
（3）
v
y
x
只要找到流函数场，则与其对 应的无辐散运动的速度分布的特点
就清楚了。
v u 2
x y
(7)
(6)、(7)相减，整理得：
1 i,
j
0 i,
j
R0 i,j
11
2( x2 + y2 )
（8）
实际工作中，常先规定一个误差标准值 0
运用(9)、（10）、(11)式反复迭代j
in1,
= x2
j
n
i,j+1
in,
y 2
j
1
2 (x2
2
y2 )in, j
Di , j
(9)
in, j1 , in j
Rin, j 11
(10)
2( x2 + y2 )
当 n N 时，对于所有 i, j 如都满足
0
Rn i,j
（11）
则此时的解 iN, j ，即为近似解。
超张弛法的迭代公式稍有修改，目的是加 快收敛速度，其公式为：
流函数、势函数的计算
王咏青 南京信息工程大学
流函数、势函数的计算
1、对于无旋运动一定存在一个速度势 ，也称
势函数，该运动在任意方向的分速度即在此方 向的微分，对于x,y两个方向应有：
（1）
u x
v
y
只要找到势函数场，则与其对应 的无旋运动场的特点就清楚了。
势函数解读
例如，如果每个原子的结合能准确给出，则空位形成能就 不能准确知道；反之亦然。
此外，经典对势的主要缺点还表现在，其用于金属柯西偏 差的模拟预测时给出了不恰当的结果。
为了描述立方系金属的线性各向异性弹性性质，我们需要 知道三个常数：C1111(C11)， C1122(C12)和C2323(C44)。
7.1 原子间作用势模型
金属键、共价键及离子键三种主要键型是对实际系统的唯 象简化，因为在实际系统普遏存在着混合结合键。例如， 对子大多数过渡金属来说，方向性共价键与金属键形成互 补。任何定量成键理论都应该包括那些与原子结合在一起 的价电子的非经典特性。预测计算原子之间的结合键，必 须求解多体(约1023个粒子)问题的薛定谔方程。要实现这 一方法是非常困难的。因此，人们提出了各种不同的原子 间作用势近似模型，这些模型或多或少都带唯象的痕迹。
7.3 各向同性多体对泛函势
在二次矩和Finnis-Sinclair势中，嵌入函数F是一个平方根。 这是由电子态密度的紧束缚简化模型推出来的。
在嵌入原子方法及其相似的近似方法中，嵌入函数可由嵌
入原子能量导出，其嵌入原子被埋入局域电子密度为ρi的 均匀自由电子气中。
不论哪种情况，嵌入函数都是ρi 的负值凹型函数。
已用于晶格缺陷的模拟的原子间作用势包括：通用的径向 对称经验对相互作用；非径向对称键，它在有关的过渡金 属晶格缺陷的模拟中很有用；更为基本的近似方法诸如半 经验紧束缚近似，能给出与真实原子轨道相同的角动量以 及局域密度泛函理论。
7.1 原子间作用势模型
应当强调指出，建立合理的公式化势模型不仅是分子动力 学方法的需要，而且在迈氏蒙特卡罗和集团变分等模拟方 法中其重要性也在日益增加。
流函数和势函数公式
流函数和势函数公式一、流函数的公式流函数是描述二维流动中速度分布情况的数学函数。
在笛卡尔坐标系下，流函数的公式可以表示为：Ψ(x,y)=Ψ(x(x,y),y(x,y))其中，(x,y)表示流体的位置坐标，Ψ表示流函数。
流函数的物理意义是沿着流线的流体质点速度分量的积分，即在流体的其中一位置，流函数的数值表示沿着该位置流线的任一质点在单位时间内浸入或流出以单位长度为界的穿过该位置的流线的质量。
在极坐标系下，流函数的公式为：Ψ(r,θ)=Ψ(r(r,θ),θ(r,θ))其中，(r,θ)表示流体的极坐标，Ψ表示流函数。
流函数具有以下性质：1.流函数是速度场的偏微分方程的解；2.流函数在各处连续可微，即满足流函数的充要条件为满足连续性方程的速度场。
二、势函数的公式势函数是描述速度场的另一种数学函数。
在二维流动中，势函数的公式可以表示为：φ(x,y)=φ(x(x,y),y(x,y))其中，(x,y)表示流体的位置坐标，φ表示势函数。
势函数的物理意义是在流体中任意一点，流速的大小等于该点的势函数的梯度的模，即V=∇φ。
在极坐标系下，势函数的公式为：φ(r,θ)=φ(r(r,θ),θ(r,θ))其中，(r,θ)表示流体的极坐标，φ表示势函数。
势函数具有以下性质：1.势函数是速度场的偏微分方程的解；2.势函数在各处连续可微，即满足势函数的充要条件为满足无旋条件的速度场。
三、流函数和势函数的关系υ=r∂Ψ/∂rυ=−1/r∂φ/∂θ其中，υ表示速度场的极坐标下的径向速度分量。
根据以上关系，可以得出以下推论：1.如果流函数为常数，则速度场满足旋度为零，即速度场满足无旋条件；2.如果势函数为常数，则速度场满足收敛性条件，即速度场满足连续性方程。
因此，流函数和势函数可以分别用于描述无旋的速度场和无散的速度场。
总结起来，流函数和势函数是描述二维流动中速度场的重要数学函数。
流函数描述流体沿流线方向的速度分布情况，势函数描述速度的梯度与流速的关系。
流函数势函数-第一章
kdyl
x
(dyi
dxj )
/
dl
dl
B
B
Q
V • n dl
A
A Vn dl
Q
B A
y
dy
x
dx
或
Q B A
表明:经过两点为端点的任何曲线的流体通量，决定于该
两点的流函数差，而与曲线的长度和形状无关。
用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。
（3）表征流体涡度
第六节 速度势函数和流函数
速度势函数 速度流函数 二维流动的表示
一、速度势函数
① 定义（速度势函数的引入及存在条件）
如果在流体域内涡度为零，即: V 0
无旋流动；
否则，则称之为涡旋流动：V 0
流体运动
无旋流动 涡旋流动
据矢量分析知识，任意一函数的梯度，取旋度恒等于零：
0 对于无旋流动，必定存在一个函数 x, y, z, t 满足如：
由流速场与势函数的关系可知：V
流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势 面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处 ，位势梯度小，相应的流速小。
例1-6-1 已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如
图所示（其中，0 < 1< 2 ）的，请判断并在图
中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B 两处流速的大小。
①
u ax by v cx dy
u (2a x) y
②
v
b( x2
y2)
分别求势函数和流函数存在的条件。
习题1-6-2 请问是否存在既满足无辐散条件又满足无 旋条件的流动？如存在，请举例说明。
习题1-6-3 请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函 数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程) （2）等势函数线和等流函数线正交。
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Rin, j 11
(10)
2( x2 + y2 )
当 n N 时，对于所有 i, j 如都满足
0
Rn i,j
（11）
则此时的解 iN, j ，即为近似解。
超张弛法的迭代公式稍有修改，目的是加 快收敛速度，其公式为：
Rin,
j
n
n
i+1,j
i 1,
= x2
j
n i,j+1 y
1
i,nj1
特征水平尺度：L~106m
特征厚度： D<=H （H为均质大气高
度）
特征时间尺度：
L V
~10 5 s
特征水平速度：V~10 m/s
(1)气压场的水平分布均匀：
V
V
V V fk V
t
p
V V2
L
10-4 10-4
V
fV
P
L
10-4
10-4 10-4
10-3
低纬 中高纬
在低纬度，对于大尺度运动， ~ 104
流函数、势函数的计算
王咏青 南京信息工程大学
流函数、势函数的计算
1、对于无旋运动一定存在一个速度势 ，也称
势函数，该运动在任意方向的分速度即在此方 向的微分，对于x,y两个方向应有：
（1）
u x
v
y
只要找到势函数场，则与其对应 的无旋运动场的特点就清楚了。
D u v x y
2
( x2
1 i,
j
0 i,
j
R0 i,j
11
2( x2 + y2 )
（8）
实际工作中，常先规定一个误差标准值 0
运用(9)、（10）、(11)式反复迭代:
Rin,
j
n
i+1,j
in1,
= x2
j
n
i,j+1
in,
y 2
j
1
2 (x2
2
y2 )in, j
Di , j
(9)
in, j1 , in j
利的大尺度环境下,还与其他条件有关。
2003 年江淮流域发生了严重的洪涝灾害, 其中6 月下旬到7 月上旬的大暴雨过程是 造成该年洪涝灾害的直接原因,尤其是6 月29 日到7 月11 日,淮河流域出现了持续 性的大到暴雨,且降水集中并形成全流域 性大洪水。
这次洪水无论从干流中下游的最高水位h 还是最大流量都已经全面超过了1991 年 的水平,使人民的生命财产又一次蒙受了 惨重损失。
通过对水汽输送流函数及非辐散分量、 势函数及辐散分量及江淮地区水汽收支 的分析,
表明江淮流域是该时期全球范围内水汽 汇的一个高值中心,且水汽通量大值区和 水汽辐合区与降水大值区基本一致。
从水汽的输送来看,夏季印度风环流和南 海夏季风是向江淮流域输送水汽的主要 通道。梅雨期内,中层大气中的水汽主要 是垂直上升运动对低层水汽的抬升作用,
同时,低纬大洋上的水汽也可途经青藏高 原后再从西边界向东输入到江淮地区,它 的输送有可能增大江淮流域上空对流层 中层大气中的水汽含量,从而有利于强梅 雨在江淮流域的发生。
计算分析还表明2003 年强降水从前期的 长江流域移到后期的淮河流域,是与大范 围的水汽输送和辐合中心北移相联系的, 较小空间范围的强暴雨洪涝的发生在有
L
~102 m2 / s 2
在中高纬度，对于大尺度运动， ~ 103
L
~103m2 / s 2
由此可见：低纬度的气压变化比中高纬要小，即等压线不密 集，故要用流场分析天气系统。
实例
江淮流域2003 年强梅雨期的水汽输送特 征分析
大气科学 Vol 29 , No. 2 Mar 2005
在分析2003 年6 月21 日到7 月11 日江 淮流域强梅雨期间降水概况和大气环流 基本特征的基础上,
由于2003 年强降水发生的区域和大环境 与1998 年不尽相同,分析对应时期的大范 围的水汽输送特征对理解2003 年江淮流 域暴雨洪涝的形成和维持也是有必要 的。
过去的工作指出[2 ] ,中国暴雨发生的 温、湿和动力条件主要有5 种:位势不稳 定层结、水汽辐合、位势不稳定释放机
制、高低空急流及耦合作用及弱的风垂 直切变,而暴雨的发生往往是几种尺度系 统相互作用的结果,它们的有利配置又决 定着暴雨过程的降水强度。
大气中充沛的水汽和水汽持续的输送是 形成强降水的必需条件,丁一汇等[3 ] 分 析了1998 年中国大洪水时期的全球水汽 背景,得到中国大洪水时期部分水汽收支 图像,揭示了水汽循环的一些规律。
Ri0, j 2i0, j Di , j
i01,
j
i01,
x2
j
2i0,
j i0,
j
1
i0,
y2
j
1
2i0,
j
Di
,
j
=
0
i+1,j
i01,
x2
j
0
i,j+1
i0,
y 2
j
1
2 (x2
2 y2
)i
0 ,j
Di , j
(6)
上述残差的出现是由于参与差分计算
的五点中，居于中心位置上的一点的速
2 y2 ) 2
(2)
2、对于无辐散运动，一定存在一个流函数 ，
无辐散运动在x,y方向的分速度为：
u
（3）
v
y
x
只要找到流函数场，则与其对 应的无辐散运动的速度分布的特点
就清楚了。
v u 2
x y
(4)
(2)、(4)式为Possion方程，其经常使用 的求解方法是迭代法，即：给出起始时 的一个估计值，一面多次迭代一面改变 其近似解逐步的使其满足方程，最后逼 近真解。
2
2 (x2
2 y2
)i
n ,j
Di
,
j
（12 ）
n 1
n
i,j
i,j
(1 v) Rn i , j 11
2( x2 + y2 )
（13）
其中：
1 2 ( )2 ( )2
p1 q1
P是x方向的网格数，q是y方向的网格数。
一般取0.2～0.8之间的数，本程序
中取0.3。
例如：低纬度地区气象要素分布均匀
度势有偏差。其余四点“认为”是正确
的，因此如果将中心一点的速度势值
0 i,
j
修正为
1 i,j
，则残差就不存在了。根据
这个思想，应有：
Ri0, j
0
0
0
i 1, j
i 1,
x 2
j
0 i , j 1
0 i , j 1
y 2
22
( x2 +y 2 )i1, j Di , j
(7)
(6)、(7)相减，整理得：
我们这里使用超张弛迭代。
把（2）式中的二维拉普拉斯写成差分形 式，有：
2i
,
j
i
1,
j
i 1, x2
j
2i ,
j
i , j 1 i , j 1 2i , j
+
y2
(5)
设 i0, j 是速度势在各网格点上的初始估计
值（包括边界上给的边条件值），则除
了边界上各点以外，可以求得每一点的 （2）式左边的值。其残差为：