组合数学 波利亚定理

第六章 P ól y a (波利亚)定理

6.1 群论基础

普通代数主要涉及的计算对象为数，运算方式多为加、减、乘、除。本节将把运算对象扩展到一般的集合元素，运算方式也可以是多种多样，例如矩阵运算、集合的并、交、差运算等。换言之，我们要将研究对象及其运算和所要讨论的性质延伸到抽象代数的范畴。

§6.1.1 群的概念

定义6.1.1 给定非空集合G 及定义在G 上的二元运算“·”，若满足以下四个条件，则称集合G 在运算“·”下构成一个群，简称G 为一个群。：

（1）封闭性：a ，b ∈G ，则a ·b ∈G ；

（2）结合律：（a ·b ）·c ＝a ·(b ·c)；

（3）单位元：存在e ∈G ，对任意a ∈G ，有a ·e ＝e ·a ＝a ；

（4）逆元素：对任意a ∈G ，存在b ∈G ，使得a ·b ＝b ·a ＝e ，称b 为a 的逆元素，记为a －1 。

群的运算符“·”可略去，即 a ·b ＝ab .

群的运算并不要求满足交换律。如果某个群G 中的代数运算满足交换律，则称G 为交换群或Abel 群。

群的元素可以是有限个，叫作有限群 ；也可以是无限个，叫无限群。 以|G|表示有限群中元素的个数，称为群的阶，那么当G 为无限群时，可以认为|G|＝∞。

例6.1.1 偶数集，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ，复数集C 关于数的加法构成群，称为加法群。

因为数的运算对加法满足要求（1）和（2）。其中的单位元为0，每个数a 关于加法的逆元为：a －1＝－ a 。

但是，关于数的乘法，这些集都不构成群。因为在偶数集中关于普通乘法不存在单位元。而在Z 、Q 、R 、C 中，虽然关于普通乘法有单位元1，但数0没有逆元。

例6.1.2 不含零的有理数集Q1，实数集R1和复数集C1关于数的乘法构成群其中单位元为e ＝1，数a 的逆元为a

a 11=-。 例6.1.3 G ＝{1，－1}关于乘法构成群

单位元为e ＝1，由于 (－1)－1＝－1，所以数a ＝－1的逆元为它自身。

例6.1.4 更一般情形，集合G 1＝{e ＝1}，G 2＝{1，－1}，G 3＝{1，2

31i +-，

23

1i --)} (1的3次 根)，…，G n ＝{a k ＝e i k2π /n | k ＝0，1，…，n －1，i ＝

1-}（n ＝1，2，…）均关于乘法构成群。其中单位元为e ＝1，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛===n i n

e q i n πππ2sin 2cos 122，则元素a k ＝q k 的逆元为1k a -

＝q －k ＝ q n －k . 例6.1.5 G ＝{0，1，…，n －1}在模n （即mod n ）的情况下关于加法运算构成群，当n 为素数时，1G ＝{}0-G ＝{}1n 21-,,,Λ关于乘法运算也构成群。

在群G 中，单位元为0，元素G a ∈的逆元为－a 或n －a 。而在1G 中，

单位元则为1，a 的逆元为 ()n a a a mod 11--≡ϕ。但对于某些特殊元素，其逆是显然的，如111=-，()11n 1-=--或1n -。

例6.1.6 所有m*n 矩阵关于矩阵加法，所有非奇异（即可逆）n 阶矩阵关于矩阵乘法都构成群。前者是可交换的，后者是不可交换群。

例6.1.7 二维欧几里德空间的刚性旋转变换集合T ＝{T α}构成阿贝尔群。其中T α 、T β 的二元运算T β *T α定义为：先做T α，再对其结果做βT 。

验证

T α： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ααααcos sin sin cos ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛y x （1）封闭性：T β *T α＝ T α＋β∈ T

（2）结合律：显然，

（3）单位元：T 0对应矩阵为E ＝⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛1001 （4）逆元素：（T α）－1＝ T －α

例6.1.8 设G ＝{f 1＝x ， f 2＝1－ x ， f 3＝1/ x ， f 4＝1－1/ x ，f 5＝1/ (1－ x ) ，f 6＝1－1/ (1－ x )}，定义G 上的二元运算，f i * f j ＝ f i ( f j （x ）)，则G 构成群。

（证）首先G ≠Φ，其次：

（1） 可以逐一验证f i * f j ＝ f i ( f j （x ）) ∈ G ；

（2） 同样可以逐一验证：f i * ( f j * f k )＝ ( f i * f j ) *f k ；

（3） 单位元为 f 1＝x ；

（4） f 4 ，f 5互为逆元，其他f i 的逆元是自身。

§6.1.2 群的性质

定理6.1.1 群具有以下性质

（1）单位元e 唯一；

（2）逆元唯一；

（3）满足消去律：即对a ，b ，c ∈ G ，若ab ＝ac ，则b ＝c ；若ba ＝ca ，则仍有b ＝c ；

（4）a ，b ∈ G ，则(ab)－1＝b －1a －1，更一般有(ab …c)－1＝c －1…b －1a －1；

（5）若G 是有限群，则对任意a ∈G ，必存在一个最小常数r ，使a r ＝e ，从而11--=r a a 。r 称为元素a 的阶。

（证）性质（1）～（4）显然。只证明性质（5）。

设|G|＝n ，由G 的定义知.

i i a a aa =3

21Λ个

＝a i ∈ G ，i ＝1，2，…，n ＋1 由抽屉原理知，必存在整数m ，k ，满足1≤m

§6.1.3 子群

定义6.1.2 设G 是群，H 是G 的子集，若H 在G 的原有运算下也构成一个群，则称H 是G 的子群。

例6.1.9 任何群G 至少有两个子群：H 1＝ G ，H 2＝{ e| e ∈ G 为单位元}。 例6.1.10 对于乘法运算，H ＝{1，－1}是G ＝{1，－1，i ，－i}的子群。 例6.1.11 偶数加法群是整数群Z 的子群，Z 是有理数加法群Q 的子群，Q 又是实数加法群R 的子群，R 是复数加法群C 的子群；对乘法群而言，也有Q 1是R 1的子群，R 1是C 1的子群。

例6.1.12 任选群G 的一个元素a ，设a 的阶为r ，则H ＝{a ，a 2，…，a r －1，a r ＝e}是G 的子群。这样的群H 是由某个固定元素a 的乘方组成，称为循环群，或称H 是由元素a 生成的群，a 叫作H 的生成元。

例如，G ＝{1,2,3,4,5,6}关于模7的乘法构成循环群，其生成元为3

{3,23,33,43,53,6

3}＝{3，2，6，4，5，1}

另外，以2为生成元，可以得到G 的一个子群

H ＝{2,22,32}＝{2,4,1}

定理6.1.2 有限群的阶数必能被其子群的阶数整除。