运筹学第7讲对偶问题的基本概念续及影子价格
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对偶单纯形、影子价格
cj
min(2,1) 2 y4 换出 换出
5 y3 1 1 5 1/ 6 2/3 1 0 1 0 0 y4 y5 1 0 0 1 0 0 1/ 6 0 1/ 3 1 4 0 y2 换出 1/ 4 1/ 4 1/ 2 3 / 2
例、用对偶单纯形法求解线性规划问题：
第三节
对偶单纯形法
对偶单纯形法的基本思路
继续
返回
用对偶原理求解原问题的一种方法， 而不是求解对偶问题解的单纯形法 对偶单纯形法的计算步骤
对 偶 问 题
对偶单纯形法的基本思路
单纯形法的基本思路：
原问题基可行解 C-CBB-1A≤0 最优解判断
~ 1 Xb B b 0
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* i 的意义——代表在资源最优利
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对 偶 问 题
影子价格的经济意义
1．资源的市场价格是已知数，相对比
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较稳定，而它的影子价格则有赖于资源 的利用情况，是未知数。由于企业生产 任务、产品结构等情况发生变化，资源 的影子价格也随之改变。
企业 市场价格 影子价格
市场
对 偶 问 题
最优解
对 偶 问 题
对偶单纯形法的优点：
不需要人工变量； 当变量多于约束时，用对偶单纯形法可减少 迭代次数； 在灵敏度分析中，有时需要用对偶单纯形法 处理简化。
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对偶单纯形法缺点：
对初始单纯形表形式要求较严格（在对偶问 题可行的前提下），普遍适用性较差。 因此，对偶单纯形法一般不单独使用。
对 偶 问 题
影子价格的经济意义
3．资源的影子价格实际上又是一种机会成本. 在纯市场经济条件下,当第2种资源的 市场价格低于1/4时，可以买进这种资源； 相反当市场价格高于影子价格时，就会卖 出这种资源。随着资源的买进卖出，它的 影子价格也将随之发生变化，一直到影子 价格与市场价格保持同等水平时，才处于 平衡状态。
运筹学对偶理论
动态规划的对偶性
动态规划的对偶性是指对于给定的动态规划问 题，可以构造一个与之对应的对偶问题，这两 个问题的最优解是相互对应的。
在动态规划中，原问题通常关注的是多阶段决 策的最优解，而对偶问题则关注的是如何将原 问题的最优解转化为一系列子问题的最优解。
对偶理论在动态规划中也有着广泛的应用，例 如在计算机科学、人工智能、控制系统等领域。
运筹学对偶理论
• 对偶理论概述 • 对偶理论的基本概念 • 对偶理论在运筹学中的应用 • 对偶理论的局限性与挑战 • 对偶理论案例分析
01
对偶理论概述
对偶问题的定义
对偶问题
在运筹学中，对偶问题是指原问题的 目标函数和约束条件保持不变，但变 量的约束方向被颠倒的问题。
线性规划中的对偶问题
在线性规划中，原问题为最大化问题 ，其对偶问题则为一个等价的线性规 划问题，目标函数变为最小化问题。
对偶理论面临的挑战
算法优化
01
对偶理论在求解大规模优化问题时，算法效率和稳定性面临挑
战。
多目标优化问题
02
对偶理论在处理多目标优化问题时，难以权衡和协调不同目标
之间的矛盾。
动态环境适应性
03
对偶理论在应对动态环境和不确定性因素时，需要进一步改进
和优化。
对偶理论的未来发展方向
拓展应用领域
进一步探索对偶理论在其他领域的应用，如金融、 医疗、交通等。
详细描述
在金融风险管理问题中，动态规划对偶理论可以用于确定 最优的风险管理策略，以最小化风险并最大化收益。通过 构建动态规划模型，可以找到最优的风险管理方案，提高 金融机构的风险管理能力。
总结词
动态规划对偶理论在电力系统优化问题中具有重要应用。
运筹学：对偶理论与敏感性分析-影子价格培训课件
3
x2
2
0
1
1/2
σj
-14
0
0
-1.5
x4
x5
1/4
0
1/2
1
-1/8
0
-1/8
0
若生现产在I该和厂II，从求其此他时地的方最抽优调方4台案时设备用于
b1 增加 4
0 0.25 0 这里 B-1 = -2 0.5 1
0.5 -0.125 0
各列分别对应 b1, b2, b3 的单一变化。 因此，设 b1 增加 4，则 x1, x5, x2 分别变为： 4+0×4=4, 4+(-2)×4=-4<0, 2+0.5×4=4 用对偶单纯形法进一步求解。
用单纯形法继续迭 代 用对偶单纯形法继 续迭代 引入人工变量，编 制新的单纯形表重 新计算
16
价值系数c发生变化： 考虑检验数
j =- cj +∑i = 1, 2, …, m ci a’ij ,
j =1,2,……,n
这里a’ij 为最优单纯形表中的系数，不 同于初始的aij
1. c是非基变量的系数： 2. c是基变量的系数：
j = - cj +∑ ci a’ij ， 若用单j纯≥ 形0，法则求最解优。解不变；否则，进一步
34
2. B 中某一列变化：
稍微复杂些，一般可重新列表计算， 也可以用列替换的方法在原最优单 纯形表上继续进行计算。
例2.10：例2.6中 x2 的系数 P2 改变为( 4, 0, 2 )T， c2 改变为1。
22
例2.6：线性规划
max z = 2x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4+ 0x5
运筹学讲义影子价格
1/3C1-1
C1-3 ≤0, 1-4/3C1≤0, 1/3C1-1≤0 ¾ ≤C1≤3若C1<3/4 则x4进基，x1出基若3< C1 则x3或x5进基，x2出基
灵敏度分析
例2－7 线性规划
CB
XB
cj
1/2
3
3
0
0
xj b
它的计算是比较容易的。用单纯形法求得
影
子
价
格
的
特
点
继续比较
任何一种商品的市场价格都不可能为0
影子价格可以为0，当资源过剩是，其影子价格为0
市场价格为已知数，相对比较稳定。
影子价格则有赖于资源利用情况，是未知数。因企业生产任务，产品的结构等情况发生变化，资源的影子价格也随之改变。
灵敏度分析
灵敏度分析
影子价格举例
A
B
C
拥有量
工 时
1
1
1
3
材 料
1
4
7
9
单件利润
2
3
3
y*1=5/3, y*2=1/3 即工时的影子价格为5/3，材料的影子价格为1/3。如果目前市场上材料的价格低于1/3，则企业可以购进材料来扩大生产，反之可以卖掉部分材料。 如果有客户以高于5/3的价格购买工时，则可以出售一些工时，反之则反
灵
敏
度
分
析
更进一步，为了防止在各类状况发生时，来不及随时对其变化作出反应，即所谓“计划不如变化快”，企业应当预先了解，当各项因素变化时，应当作出什么样的反应。
灵
敏
度
分
析
设线性规划问题： maxZ=CX s.t. AX=bA代表企业技术状况b 代表企业资源状况C代表企业产品市场状况（利润) 这些因素不 变的情况下，企业最优生产计划和最大利润由线性规划的最优解和最优值决定。
C1-3 ≤0, 1-4/3C1≤0, 1/3C1-1≤0 ¾ ≤C1≤3若C1<3/4 则x4进基，x1出基若3< C1 则x3或x5进基，x2出基
灵敏度分析
例2－7 线性规划
CB
XB
cj
1/2
3
3
0
0
xj b
它的计算是比较容易的。用单纯形法求得
影
子
价
格
的
特
点
继续比较
任何一种商品的市场价格都不可能为0
影子价格可以为0，当资源过剩是，其影子价格为0
市场价格为已知数，相对比较稳定。
影子价格则有赖于资源利用情况，是未知数。因企业生产任务，产品的结构等情况发生变化，资源的影子价格也随之改变。
灵敏度分析
灵敏度分析
影子价格举例
A
B
C
拥有量
工 时
1
1
1
3
材 料
1
4
7
9
单件利润
2
3
3
y*1=5/3, y*2=1/3 即工时的影子价格为5/3，材料的影子价格为1/3。如果目前市场上材料的价格低于1/3，则企业可以购进材料来扩大生产，反之可以卖掉部分材料。 如果有客户以高于5/3的价格购买工时，则可以出售一些工时，反之则反
灵
敏
度
分
析
更进一步，为了防止在各类状况发生时，来不及随时对其变化作出反应，即所谓“计划不如变化快”，企业应当预先了解，当各项因素变化时，应当作出什么样的反应。
灵
敏
度
分
析
设线性规划问题： maxZ=CX s.t. AX=bA代表企业技术状况b 代表企业资源状况C代表企业产品市场状况（利润) 这些因素不 变的情况下，企业最优生产计划和最大利润由线性规划的最优解和最优值决定。
线性规划对偶理论含影子价格21136
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
对偶问题对应表
原问题（对偶问题）
目标函数min
约束条件： m个
第i个约束类型为“≥” 第i个约束类型为“≤” 第i个约束类型为“＝”
变量数：n个
第j个变量≤ 0 第j个变量x z(y)=bTy s.t. ATy≤C
y ≥0
max bT
原始问题 min f(x)=CTX s.t. AX≥b
X ≥0
min
CT
n AT ≤ C
m
m
A
≥b
n
对偶问题的特点
（1）目标函数在一个问题中是求最大值在 另一问题中则为求最小值
（2）一个问题中目标函数的系数是另一个 问题中约束条件的右端项
max Z 2x1 3x2 3x3
x1 x2 x3 3
s.t.x1 4x2 7x3 9
x1
0,
x2
0,
x3
0
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
单件利润 2 3 3
假设有客户提出要求，购买工厂所拥有的 工时和材料，为客户加工别的产品，由客 户支付工时费和材料费。那么工厂给工时 和材料制订的最低价格应是多少，才值得 出卖工时和材料 ?
问
am1 am2
amn
xn
bm
形
题
x1, x2 , , xn 0
的
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
定 义
a11 a21
s.t.
a12
a22
a1n a2n
am1 y1 c1
对偶理论与影子价格
9
管
理
运
筹
学
一对对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系： 1.若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于”的 不等式，则它的对偶模型为目标求“极小”，约束是“大于等 于”的不等式。即“max，≤”和“min，≥”相对应。 2.从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ，则另一个模型中 为AT。一个模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个 约束，m个变量 3.从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置 对换 4.两个规划模型中的变量皆非负
21
管
理
运
筹
学
弱对偶定理的推论： 1.（P）任一可行解的目标函数值是其对偶问题目 标函数值的下界；（D）任一可行解的目标函数值是 其原问题目标函数值的上界。 2. 若（P）可行，那么（P）无有限最优解的充分 必要条件是（D）无可行解。 3. 若（D）可行，那么（D）无有限最优解的充分 必要条件是（P）无可行解。 4. 若（P）、（D）可行，那么（P）、（D）都有 最优解。
第六节 对偶理论与影子价格
对偶问题的提出 对偶问题的形式 对偶问题的基本性质 影子价格
1
管
理
运
筹
学
对偶问题的提出
2
管
理
运
筹
学
例1：某工厂拥有A、B、C三种类型 的设备，生产甲、乙两种产品。每 件产品在生产中需要占用的设备机 时数，每件产品可以获得的利润以 及三种设备可利用的时数如下表所 示：问题：工厂应如何安排生产可 获得最大的总利润？
设 y1 ，y2 ，y3 分别为每工时设备 A、B、C 的收费。 设x1，x2分别为生产甲乙两种产品的件数 目标函数 min f 65 y1 40 y2 75 y3 max z 1500 x1 2500 x2 目标函数 3 y1 2 y2 1500 3 x1 2 x2 65 （不少于甲产品的利润） 2 x x 40 约束条件 1 2 约束条件 2 y1 y2 3 y3 2500 3 x2 75 （不少于乙产品的利润） x 0, x 0 1 2 y1 0, y2 0, y3 0
运筹学对偶问题的直观描述
运筹学对偶问题的直观描述
运筹学中的对偶问题是指原始线性规划问题和对应的对偶线性规划问题之间的关系。
直观描述对偶问题可以从几个方面来理解。
首先，可以从成本和效益的角度来理解。
原始线性规划问题通常涉及最小化成本或者最大化利润，而对偶线性规划问题则涉及最大化成本或者最小化利润。
这种对偶关系可以被解释为在资源有限的情况下，通过最小化成本来实现最大化效益，或者通过最大化效益来实现最小化成本。
其次，可以从约束条件的角度来理解。
原始线性规划问题的约束条件对应着对偶线性规划问题的变量，而对偶线性规划问题的约束条件对应着原始线性规划问题的变量。
这种对偶关系可以被理解为在资源分配和利用的过程中，对约束条件和变量之间的转换和对应关系。
另外，可以从几何图形的角度来理解。
原始线性规划问题的最优解和对偶线性规划问题的最优解之间存在着一种对偶关系，即原始问题的最优解和对偶问题的最优解分别对应着凸集的两个相对的极值点，它们之间的距离可以被理解为对偶问题的最优值和原始问
题的最优值之间的关系。
总的来说，对偶问题在运筹学中具有重要的意义，它不仅可以帮助我们理解原始问题和对偶问题之间的关系，还可以为我们寻找最优解提供了一种新的视角和方法。
通过对偶问题的研究和理解，我们可以更好地解决实际生产和管理中的复杂问题。
影子价格理论及确定方法
总成本 18.5 剩余
5 1.5 <= 1 0.7 <=
1.5 0.7
0 0
15
影子价格的问题
在工厂的例子中，只有 g>min g时，出租 资源才是合算的。 z1表示机器1的影子价格，z2表示机器2的 影子价格。当机器1的出租利润低于z1时 或机器2的出租利润低于z2时，出租不合 算。 反之，当A的利润<x或B的利润<y时，生 产是不合算的。
2 2
3 24 <= 1 16 <=
24 16
Machine 1 time(hours) Decision variables Objective function Constrains: product A x product b y 2 24
Machine 2 time(hours) 1 16 Total profit 64 Slack 0 0
13
学校准备为学生添加营养餐，每个学生每月至 少需要补充60单位的碳水化合物，40单位的蛋白质 和35单位的脂肪。已知两种营养品每斤： A B 含量 碳水化合物 5 2 单位 蛋白质 3 2 单位 脂肪 5 1 单位 单价 1.5 0.7 问题：买A和B分别多少斤即满足学生营养需要又 省钱？
对偶求法
i 1 ij
m
j
w i 0 ,
i 1 , ,m j 1 , ,n
原问题与对偶问题的关系
当公司与市场的决策相互影响并达到平衡时：
wi (bi aij x j ) 0
* * j 1 n
全部用来生产， 原料不买入 不要生产，全部原 料以最低价格卖出
(c j aij wj )x j 0
5
影子价格的经济意义
第三章 对偶的经济解释——影子价格
3.5 对偶的经济解释——影子价格
在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值z=CBB-1b， 和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1，那么Y的经 济意义是什么? n m 目标函数 z = c x = b y
∑
j =1
j
j
∑
i =1
i
i
式中bi 是线性规划原问题约束条件的右端项，它代表 第i种资源的拥有量；对偶变量yi 的意义代表对一个 单位第i种资源的估价。这种估价不是资源的市场价 格，而是根据资源在生产中的贡献而作的估价，为 区别起见，称为影子价格（s的建立，使 线性规划不仅成为优化的工具，而且赋 予线性规划理论和算法以明确的经济意 义，从而使线性规划成为对企业经济活 动进行经济分析的重要工具。企业经济 活动就其目标分析，可以归纳为“最小 成本”和“最大利润”两大类。
3.5.1 最小成本问题
同样，我们也可以分析最大利润问题。 由于时间关系，我们不在课堂介绍。
在单纯形法的每步迭代中，目标函数取值z=CBB-1b， 和检验数CN-CBB-1N中都有乘子Y=CBB-1，那么Y的经 济意义是什么? n m 目标函数 z = c x = b y
∑
j =1
j
j
∑
i =1
i
i
式中bi 是线性规划原问题约束条件的右端项，它代表 第i种资源的拥有量；对偶变量yi 的意义代表对一个 单位第i种资源的估价。这种估价不是资源的市场价 格，而是根据资源在生产中的贡献而作的估价，为 区别起见，称为影子价格（s的建立，使 线性规划不仅成为优化的工具，而且赋 予线性规划理论和算法以明确的经济意 义，从而使线性规划成为对企业经济活 动进行经济分析的重要工具。企业经济 活动就其目标分析，可以归纳为“最小 成本”和“最大利润”两大类。
3.5.1 最小成本问题
同样，我们也可以分析最大利润问题。 由于时间关系，我们不在课堂介绍。
对偶单纯形影子价格课件
投资决策案例
总结词
投资决策问题涉及到如何分配资金进行各种投资，以 实现最大的预期回报。
详细描述
在投资决策案例中，通常有多项投资选择，每项投资都 有不同的预期回报和风险。通过使用对偶单纯形法，可 以找到最优的投资组合，使得预期回报最大而风险最小 。具体来说，这涉及到构建一个线性规划模型，其中决 策变量表示每个投资项目的资金分配比例，目标函数表 示预期回报的最大化，约束条件表示资金总量和风险限 制。然后，通过求解这个线性规划模型，可以得到最优 的投资组合方案。
迭代法
对于非线性规划问题，可 以通过迭代法逐步逼近最 优解，并计算每个迭代步 的影子价格。
约束法
对于某些特殊形式的规划 问题，可以通过约束法直 接计算影子价格。
影子价格的经济含义
影子价格反映了资源的稀缺程度 和重要性，可以用于资源分配和
投资决策。
在经济分析中，影子价格可以作 为资源的边际贡献，用于评估不
02 影子价格的概念
影子价格的定义
01
影子价格也称为边际价格或条件 价值，是指资源在最优配置条件 下，每增加或减少一个单位所引 起的价值变化。
02
在线性规划问题中，影子价格通 常表示为对偶问题的最优解，反 映了资源在最优解下的稀缺程度 和重要性。
影子价格的计算方法
01
02
03
对偶单纯形法
通过求解对偶问题的最优 解，可以得到原问题的影 子价格。
资源分配问题
总结词
影子价格在资源分配问题中，可以用于评估不同资源在不同用途下的潜在价值，为决策者提供科学的资源配置依 据。
详细描述
在资源有限的情况下，如何将资源合理分配到各个项目中，以实现整体效益最大化是资源分配问题的核心。通过 对偶单纯形法，可以求解出每个资源的影子价格，即该资源在约束条件下的边际贡献，从而帮助决策者了解资源 的相对紧缺程度和潜在收益，实现资源的有效配置。
运筹学讲义-影子价格
03
影子价格可以帮助企业了解库 存水平变化对供应链整体效益 的影响，从而制定科学的库存 控制策略。
运输优化问题
影子价格可以用于运输优化 问题，通过比较不同运输方 案的影子价格，选择最优的 运输方式、路径和合作伙伴
。
影子价格可以反映运输延迟 和运输成本对供应链总成本 的影响，有助于企业制定合
理的运输策略。
风险调整
在风险决策分析中，影子价格可以作为风险调整因 子，用于调整不同投资方案的预期收益，以反映风 险水平对预期收益的影响。
风险分散
通过计算不同风险投资方案的影子价格，投资者可 以了解不同投资方案的风险分散程度，从而选择更 稳健的投资组合。
多目标决策分析
80%
目标权重
在多目标决策分析中，影子价格 可以作为目标权重，用于平衡不 同目标之间的冲突和矛盾，以实 现整体最优。
THANK YOU
感谢聆听
在线性规划问题中，影子价格 通常与最优解中的非基变量相 关，反映了资源的边际贡献。
影子价格的概念不仅适用于货 币资源，还可以扩展到其他类 型的资源，如时间、人力等。
影子价格在运筹学中的重要性
影子价格在运筹学中具有重要的实际意义，它可以帮助决策者理解资源的稀缺性，优化资源配置，提 高经济效益。
通过比较不同资源的影子价格，决策者可以判断哪些资源对目标函数的贡献更大，从而优先分配这些资 源。
100%
目标优化
通过影子价格对不同目标进行优 化，可以找到满足所有目标的最 佳方案，实现多目标决策的最优 解。
80%
目标优先级
影子价格还可以用于确定不同目 标的优先级，以指导决策者在资 源有限的情况下做出最优选择。
机会成本分析
机会成本计算
运筹学-对偶问题
对偶问题的应用场景
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何合理分配资源以达到 最优目标。
运输问题
如何制定运输计划，使得运输成本最低且满足运 输需求。
生产计划问题
如何制定生产计划，使得生产成本最低且满足市 场需求。
投资组合优化问题
如何选择投资组合，使得投资收益最大且风险最 小。
02
对偶问题在运筹学中的重要性
对偶问题的理论完善与深化
对偶理论的数学基础
进一步深入研究对偶理论的数学基础，包括对偶映射、对偶函 数、对偶不等式等，为解决对偶问题提供更坚实的理论基础。
对偶问题的转化与求解
研究如何将复杂的对偶问题转化为更容易求解的形式，或 者设计有效的求解方法，以提高对偶问题的求解效率。
对偶理论与实际应用的结合
在对偶理论不断完善的基础上，进一步探索如何将其应用于实际问题 中，以解决实际问题的优化问题，提高决策的科学性和效率。
在整数规划中，对偶问题通常 是指将原问题的约束条件或目 标函数进行一些变换，使得原 问题与对偶问题在结构上存在 一定的对称性。
对偶问题的性质
02
01
03
对偶问题的最优解与原问题的最优解具有密切关系。
在线性规划中，如果原问题是最大化问题，则对偶问 题是最小化问题，反之亦然。
在整数规划中，对偶问题的约束条件和目标函数通常 与原问题存在一定的对称性。
02 求解步骤
03 1. 定义原问题和对偶问题。
04
2. 利用状态转移方程和最优子结构性质，求解对偶问 题。
05 3. 利用对偶问题的解，求解原问题。
博弈论中的对偶策略
1. 定义博弈中的策略空间和支付 函数。
求解步骤
2. 构造对偶问题。
运筹学第7讲：对偶问题的基本概念续及影子价格
变量对应于(P)的第j 个松弛变量
可以直接从最终单纯形表中看出资源的影子价格，即-δj
反之，若(P)为min型，则(P)的变量对应于(D)的松弛变量，
(P)的剩余变量对应于(D)的变量
作业：习题3-6, 习题3-7
1
原材料A(kg) 4
原材料B(kg) 0
乙
资源限量
2
8
0
16
4
12
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-2
对于例1，假设该工厂的决策者决定不生产甲、
乙两种产品，而是将所有资源外售。你作为一个收购 者，该如何决策来购买这些资源？
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
对偶问题的另一求解方法
以习题3-9为例进行说明。若(P)是max型，(D)是min型，则
(P)的变量与(D)的剩余变量数量相同，(P)的松弛变量与(D)
的变量数量相同
(P)的松弛变量对应的-δj，即为(D)的变量最优解
(P)的第i 个变量对应于(D)的第i 个剩余变量，(D)的第j 个
Y* (b－AX*) = 0 (Y*A－C) X* = 0
上述两个式子称为(P)和(D)的互2 L
A
M
MO
a1n M
P1, P2,L
R1
,
Pn
R2
M
am1 am2 L amn
Rm
其中，Pj 表示A的第j 列，Ri 表示A的第i 行，则有
yi* (bi－Ri X* ) = 0
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-1
可以直接从最终单纯形表中看出资源的影子价格，即-δj
反之，若(P)为min型，则(P)的变量对应于(D)的松弛变量，
(P)的剩余变量对应于(D)的变量
作业：习题3-6, 习题3-7
1
原材料A(kg) 4
原材料B(kg) 0
乙
资源限量
2
8
0
16
4
12
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-2
对于例1，假设该工厂的决策者决定不生产甲、
乙两种产品，而是将所有资源外售。你作为一个收购 者，该如何决策来购买这些资源？
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
对偶问题的另一求解方法
以习题3-9为例进行说明。若(P)是max型，(D)是min型，则
(P)的变量与(D)的剩余变量数量相同，(P)的松弛变量与(D)
的变量数量相同
(P)的松弛变量对应的-δj，即为(D)的变量最优解
(P)的第i 个变量对应于(D)的第i 个剩余变量，(D)的第j 个
Y* (b－AX*) = 0 (Y*A－C) X* = 0
上述两个式子称为(P)和(D)的互2 L
A
M
MO
a1n M
P1, P2,L
R1
,
Pn
R2
M
am1 am2 L amn
Rm
其中，Pj 表示A的第j 列，Ri 表示A的第i 行，则有
yi* (bi－Ri X* ) = 0
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-1
线性规划对偶理论(含影子价格)资料
y1, y2 , , ym 0
对偶的定义
对偶问题 max z(y)=bTy s.t. ATy≤C
y ≥0
max bT
原始问题 min f(x)=CTX s.t. AX≥b
X ≥0
min
CT
n AT ≤ C
m
m
A≥bn源自对偶问题的特点（1）目标函数在一个问题中是求最大值在 另一问题中则为求最小值
如果 aij xˆ j bi，则 yˆi 0 j 1
例2 给定线性规划问题
min 2x1 3x2 x3 s.t. 3x1 3x2 x3 1 x1 2x2 x3 2 x1, x2 , x3 0
已知对偶问题的最优解为y
（4）强对偶性（最优解的目标函数之间的关系） 如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定有 最优解，且两者的目标函数值相等
3、互补松弛性
在线性规划问题的最优解中， 如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，
则该约束条件取严格等式；
反之如果约束条件取严格不等式，
则其对应的对偶变量一定为零。 即
n
如果yˆi 0，则 aij xˆ j bi j 1 n
问题的导出
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
单件利润 2 3 3
max Z 2x1 3x2 3x3
x1 x2 x3 3 s.t.x1 4x2 7x3 9
x1
0,
x2
0,
x3
0
A B C 拥有量
工时
111
3
材料
147
9
单件利润 2 3 3
假设有客户提出要求，购买工厂所拥有的 工时和材料，为客户加工别的产品，由客 户支付工时费和材料费。那么工厂给工时 和材料制订的最低价格应是多少，才值得 出卖工时和材料 ?
对偶问题的经济解释-影子价格
是未知数。
由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化，
资源的影子价格也随之改变。
企业
市场价格
影子价格
市场
2．资源的影子价格是一种机会成本
.在纯市场经济条件下, 设第i 种资源的单位市场价格为mi ， 当yi > mi 时，企业愿意购进这种资源， 单位资源的纯利为yi－mi ，则有利可图； 如果yi < mi ，则企业有偿转让这种资源， 可获单位 资源的纯利mi－yi ， 否则，企业无利可图，甚至亏损。 随着资源的买进卖出，它的影子价格也将随之发生变化， 一直到影子价格与市场价格保持同等水平时， 才处于平衡状态。
x1 , x2 , x3 0
( A资 源 限 制) (B资 源 限 制) (C资 源 限 制)
已解得最优单纯形表如下 ：
CB
XB b
x1
x2 x3 x4 x5 x6
2
x2 100 -1/4 1 0 1/2 -1/4 0
5
x3 230 3/2 0 1
0 1/2 0
0
x6 20 2
00
-2
11
Z
Z′*= y1*b1+ y2*b2+…+yi*（ bi+1 ）+…+ym*bm ∴ △Z*= Z′*－ Z* = yi*
也可以写成： Z*
bi
yi * (i 1,2m)
边际价格
即yi*表示Z*对 bi的变化率。
影子价格的定义：
是对偶问题的最优解Y*=(y1*,y2*,…，ym*), 是一个向量，
三 LP和DP中其它概念的经济学意义
1 对偶约束的经济解释---产品的机会成本（opportunity cost ） 增加单位资源可以增加的总利润
对偶问题的经济解释——影子价格的计算及其应用
影子价格以资源的稀缺性为价值依据,以资源的边际效益为价值尺度,反映了资源对目标值的边际贡献、资源在最优决策下的边际价值以及资源的市场供求关系、稀缺程度。它表示对某种资源效用价值的估价,这种估价不是该资源的市场价格,而是根据该资源在特定经济结构中作出的贡献所作的估价,因而称为“影子价格”。
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
影子价格来源于最优化问题。从数学意义上说,影子价格是指在其它条件及最优基不变的前提下,当资源增加一个单位而得到目标函数新的最大值时,目标函数最大值的增量与资源的增量的比值,即为目标函数对某约束条件的一阶偏导数。它表现为线性规划中的对偶解、非线性规划中的拉格拉朗日乘数或动态规划中的汉密尔顿乘数。从经济意义而论,影子价格是在其它条件和最优基不变的前提下,每增加一单位资源可能获得的超额利润,即原问题目标函数的边际增加值。
1.2影子价格的特征
一般地,线性规划意义下的影子价格具备以下特征:
（1）虚拟性顾名思义,影子价格并非现实存在的市场价格,是一种推算价格。在现实经济中,由于某些资源(比如公共产品)不能由市场定价,或者市场不能有效定价,现行价格难以反映资源的真实价值,于是依照某些法则推算出一个决策参照系,是为影子价格。影子价格虚拟性与决策的时点有关。对于决策人来说,影子价格在他所处的时点格。
2.影子价格的数学模型及计算
根据影子价格的数学意义，影子价格的数学模型可表述如下：
考虑一对对称的对偶问题
maxZ=CXminW=Yb
AX≤b YA≥C
（P）s.t.（D）s.t.
X≥0 Y≥0
设B是问题（P）的最优基,由对偶理论可知,其目标函数的最优值为:
Z*=CBB-1b=Y*b=y1*b1+y2*b2+……+yi*bi+……+ym*bm
对偶解的经济解释
现有资源中的煤炭和设备台时已经全部用完而没有剩余， 因此若增加这两种资源，必然会工厂带来新的效益。 650 若把最优方案带入钢材 约束：有 5 x * 2 x * 170 1 2 7 现有资源中的钢材有剩余，因此若增加这种资源， 只能造成积压，不会给工厂增加效益。
y *0 1
*影子价格的大小客观地反映了资源 在系统内部的稀缺程度
钢材
煤炭
设备台时
对偶问题最优解 Y*=(0，32/7,6/7)
钢材的影子价格 y1* 0 ，
即再增加1吨钢材，利润不会增加
32 煤炭的影子价格 y * 2 7
即再增加1吨煤炭，利润增加3/7万元 设备台时的影子价格 y3* 6 7 即再增加1个台时，利润增加6/7万元
( P ) 求 m z ax 10 x 18 x 1 2
20元
8小时
求 max Z 60 x 30 x 20 x 1 2 3
x 6 x x 48木材约束 8 1 2 3 4 漆工约束 2 x 1 . 5 x 20 1 2 3 x 2 x 1 . 5 x 0 . 5 x 8 木工约束 1 2 3 x 5餐桌约束 2 x ,x ,x 0 1 2 3
X2
-5 -2 -2 1
X4
0 1 0 0
X5
-10 2 2 -0.5
X6
-10 -8 -4 1
X7
0 0 0 0 Z-280 24 8 2
0 0 0 1
X4 X3 X1
X7
0
1
0
0
0
0
1
5
木材的影子价格 y1 0，即增加1英寸的木材，总收入不增加
漆工的影子价格 y2 10 ，即增加1小时的漆工，总收入增加10元
y *0 1
*影子价格的大小客观地反映了资源 在系统内部的稀缺程度
钢材
煤炭
设备台时
对偶问题最优解 Y*=(0，32/7,6/7)
钢材的影子价格 y1* 0 ，
即再增加1吨钢材，利润不会增加
32 煤炭的影子价格 y * 2 7
即再增加1吨煤炭，利润增加3/7万元 设备台时的影子价格 y3* 6 7 即再增加1个台时，利润增加6/7万元
( P ) 求 m z ax 10 x 18 x 1 2
20元
8小时
求 max Z 60 x 30 x 20 x 1 2 3
x 6 x x 48木材约束 8 1 2 3 4 漆工约束 2 x 1 . 5 x 20 1 2 3 x 2 x 1 . 5 x 0 . 5 x 8 木工约束 1 2 3 x 5餐桌约束 2 x ,x ,x 0 1 2 3
X2
-5 -2 -2 1
X4
0 1 0 0
X5
-10 2 2 -0.5
X6
-10 -8 -4 1
X7
0 0 0 0 Z-280 24 8 2
0 0 0 1
X4 X3 X1
X7
0
1
0
0
0
0
1
5
木材的影子价格 y1 0，即增加1英寸的木材，总收入不增加
漆工的影子价格 y2 10 ，即增加1小时的漆工，总收入增加10元
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(P)的第i 个变量对应于(D)的第i 个剩余变量，(D)的第j 个
变量对应于(P)的第j 个松弛变量
可以直接从最终单纯形表中看出资源的影子价格，即-δj
反之，若(P)为min型，则(P)的变量对应于(D)的松弛变量，
(P)的剩余变量对应于(D)的变量
作业：习题3-6, 习题3-7
④ 如果生产工艺得到改进，使煤炭节约2％，问能增加多少收益？
产品
消耗定额
甲
资源
钢材
5
煤炭
2
设备台时
1
乙 丙(新) 丁(新) 资源限制
3
1
2
170
3
2
1
100
5
3
4
150
单件利润(万元) 10
18
10
9
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
影子价格：可认为是某种资源的边际价值
例如，在习题3-9中，我们得到钢材、煤炭和设备台时的影子价 格分别为：0(万元/单位)， 32/7(万元/单位)， 6/7(万元/单位)。 这意味着，在现有资源的基础上：
这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中作出
的贡献而做的估价，称为影子价格(P42)
计划期内相关生产信息如下表所示，问：
例3 (习题3-9)
① 问如何安排生产计划，使得总利润最大？
② 如果该厂的决策者拟打算将厂里的资源用于接受外来的加工任
务，他该如何给每种资源制定收费标准？
③ 表中列出新产品丙、丁相关情况，试决定它们是否值得投产？
第7讲：对偶问题的基本概念 (续)及影子价格
浙江工业大学经贸管理学院 曹柬
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
定理5 (互补松弛定理): 设X*和Y*分别是(P)和(D)的 可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：
Y* (b－AX*) = 0 (Y*A－C) X* = 0
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
yi* (bi－Ri X* ) = 0
(Y*Pj－Cj ) Xj* = 0
称某一可行点(X*或Y*)处的严格不等式约束为松约束，严格等 式约束为紧约束。对于X*和Y*而言，松约束的对偶为紧约束。
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
例1：已知LP问题
min Z = 3x1+ 4x2 + 2x3 + 5x4
s.t.
x2 + x3 － 5x4 ≥ 2
x1 + x2 － x3 + x4 ≥ 3
x1, x2, x3, x4≥ 0
若不采用单纯形法，求该问题的解
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
例2：已知原问题
max Z = x1 + 4x2 + 3x3 s.t. 2x1 + 3x2 － 5x3 ≤ 2 3x1 － x2 + 6x3 ≥ 1 x1 + x2 + x3 ＝ 4 x1 ≥0 , x2 ≤ 0, x3无约束
1
原材料A(kg) 4
原材料B(kg) 0
乙
资源限量
2
8
0
16
4
12
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-2
对于例1，假设该工厂的决策者决定不生产甲、
乙两种产品，而是将所有资源外售。你作为一个收购 者，该如何决策来购买这些资源？
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
X* = [0, 0, 4]T，Z* = 12，试求其对偶问题的 最优解。
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
根据经验，单纯形法的迭代次数大约是约束条件
数量m的1～1.4倍，当m远大于n时，采用对偶方法求 解较好
求“min”型的对称形式LP问题时，可先求其对偶
问题的解，再用对偶理论对其求解，可省缺由于添加 剩余变量、人工变量带来的麻烦
增加一单位煤炭，总利润可增加32/7万元 增加一单位设备台时，总利润可增加6/7万元 增加一单位钢材，总利润不增加，钢材过剩
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
影子价格的作用
指示企业内部挖潜的方向
灵敏度 分析
为新产品开发、投资决策作参考
分析工艺改变后对资源及总利润的影响
分析产品价格变动后对资源及总利润的影响
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
对偶问题的另一求解方法
以习题3-9为例进行说明。若(P)是max型，(D)是min型，则
(P)的变量与(D)的剩余变量数量相同，(P)的松弛变量与(D)
的变量数量相同
(P)的松弛变量对应的-δj，即为(D)的变量最优解
对偶问题的经济解释：影子价格
习题3-1和3-2
给定原问题(P)及其对偶问题(D)，若两者都存在可行解，则
满足：
n
m
z CX c j x*j Y b bi yi*
j 1
i 1
式中bi 表示第i 种资源的拥有量；yi*表示在资源最优利用条
件下对单位第i 种资源的估价
Y* (b－AX*) = 0 (Y*A－C) X* = 0
上述两个式子称为(P)和(D)的互补松弛关系。
若记
a11 a12 L
A
M
MO
a1n M
P1, P2,L
R1
,
Pn
R2
M
Байду номын сангаас
am1 am2 L amn
Rm
其中，Pj 表示A的第j 列，Ri 表示A的第i 行，则有
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-1
某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，
已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材 料的消耗和各种资源的限制量，如下表所示。该工厂 每生产一件甲产品可获利2元，每生产一件乙产品可 获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多？
甲
设备(台时)
变量对应于(P)的第j 个松弛变量
可以直接从最终单纯形表中看出资源的影子价格，即-δj
反之，若(P)为min型，则(P)的变量对应于(D)的松弛变量，
(P)的剩余变量对应于(D)的变量
作业：习题3-6, 习题3-7
④ 如果生产工艺得到改进，使煤炭节约2％，问能增加多少收益？
产品
消耗定额
甲
资源
钢材
5
煤炭
2
设备台时
1
乙 丙(新) 丁(新) 资源限制
3
1
2
170
3
2
1
100
5
3
4
150
单件利润(万元) 10
18
10
9
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
影子价格：可认为是某种资源的边际价值
例如，在习题3-9中，我们得到钢材、煤炭和设备台时的影子价 格分别为：0(万元/单位)， 32/7(万元/单位)， 6/7(万元/单位)。 这意味着，在现有资源的基础上：
这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中作出
的贡献而做的估价，称为影子价格(P42)
计划期内相关生产信息如下表所示，问：
例3 (习题3-9)
① 问如何安排生产计划，使得总利润最大？
② 如果该厂的决策者拟打算将厂里的资源用于接受外来的加工任
务，他该如何给每种资源制定收费标准？
③ 表中列出新产品丙、丁相关情况，试决定它们是否值得投产？
第7讲：对偶问题的基本概念 (续)及影子价格
浙江工业大学经贸管理学院 曹柬
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
定理5 (互补松弛定理): 设X*和Y*分别是(P)和(D)的 可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：
Y* (b－AX*) = 0 (Y*A－C) X* = 0
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
yi* (bi－Ri X* ) = 0
(Y*Pj－Cj ) Xj* = 0
称某一可行点(X*或Y*)处的严格不等式约束为松约束，严格等 式约束为紧约束。对于X*和Y*而言，松约束的对偶为紧约束。
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
例1：已知LP问题
min Z = 3x1+ 4x2 + 2x3 + 5x4
s.t.
x2 + x3 － 5x4 ≥ 2
x1 + x2 － x3 + x4 ≥ 3
x1, x2, x3, x4≥ 0
若不采用单纯形法，求该问题的解
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
例2：已知原问题
max Z = x1 + 4x2 + 3x3 s.t. 2x1 + 3x2 － 5x3 ≤ 2 3x1 － x2 + 6x3 ≥ 1 x1 + x2 + x3 ＝ 4 x1 ≥0 , x2 ≤ 0, x3无约束
1
原材料A(kg) 4
原材料B(kg) 0
乙
资源限量
2
8
0
16
4
12
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-2
对于例1，假设该工厂的决策者决定不生产甲、
乙两种产品，而是将所有资源外售。你作为一个收购 者，该如何决策来购买这些资源？
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
X* = [0, 0, 4]T，Z* = 12，试求其对偶问题的 最优解。
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
根据经验，单纯形法的迭代次数大约是约束条件
数量m的1～1.4倍，当m远大于n时，采用对偶方法求 解较好
求“min”型的对称形式LP问题时，可先求其对偶
问题的解，再用对偶理论对其求解，可省缺由于添加 剩余变量、人工变量带来的麻烦
增加一单位煤炭，总利润可增加32/7万元 增加一单位设备台时，总利润可增加6/7万元 增加一单位钢材，总利润不增加，钢材过剩
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
影子价格的作用
指示企业内部挖潜的方向
灵敏度 分析
为新产品开发、投资决策作参考
分析工艺改变后对资源及总利润的影响
分析产品价格变动后对资源及总利润的影响
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
对偶问题的另一求解方法
以习题3-9为例进行说明。若(P)是max型，(D)是min型，则
(P)的变量与(D)的剩余变量数量相同，(P)的松弛变量与(D)
的变量数量相同
(P)的松弛变量对应的-δj，即为(D)的变量最优解
对偶问题的经济解释：影子价格
习题3-1和3-2
给定原问题(P)及其对偶问题(D)，若两者都存在可行解，则
满足：
n
m
z CX c j x*j Y b bi yi*
j 1
i 1
式中bi 表示第i 种资源的拥有量；yi*表示在资源最优利用条
件下对单位第i 种资源的估价
Y* (b－AX*) = 0 (Y*A－C) X* = 0
上述两个式子称为(P)和(D)的互补松弛关系。
若记
a11 a12 L
A
M
MO
a1n M
P1, P2,L
R1
,
Pn
R2
M
Байду номын сангаас
am1 am2 L amn
Rm
其中，Pj 表示A的第j 列，Ri 表示A的第i 行，则有
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-1
某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，
已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材 料的消耗和各种资源的限制量，如下表所示。该工厂 每生产一件甲产品可获利2元，每生产一件乙产品可 获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多？
甲
设备(台时)