运筹学第7讲对偶问题的基本概念续及影子价格

分析产品价格变动后对资源及总利润的影响
运筹学
第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
对偶问题的另一求解方法
以习题3-9为例进行说明。若(P)是max型，(D)是min型，则
(P)的变量与(D)的剩余变量数量相同，(P)的松弛变量与(D)
的变量数量相同
(P)的松弛变量对应的-δj，即为(D)的变量最优解
yi* (bi－Ri X* ) = 0
(Y*Pj－Cj ) Xj* = 0
称某一可行点(X*或Y*)处的严格不等式约束为松约束，严格等 式约束为紧约束。对于X*和Y*而言，松约束的对偶为紧约束。
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第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
例1：已知LP问题
min Z = 3x1+ 4x2 + 2x3 + 5x4
s.t.
x2 + x3 － 5x4 ≥ 2
x1 + x2 － x3 + x4 ≥ 3
x1, x2, x3, x4≥ 0
若不采用单纯形法，求该问题的解
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第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
例2：已知原问题
max Z = x1 + 4x2 + 3x3 s.t. 2x1 + 3x2 － 5x3 ≤ 2 3x1 － x2 + 6x3 ≥ 1 x1 + x2 + x3 ＝ 4 x1 ≥0 , x2 ≤ 0, x3无约束
④ 如果生产工艺得到改进，使煤炭节约2％，问能增加多少收益？
产品
消耗定额
甲
资源
钢材
5
煤炭
2
设备台时
1
乙 丙(新) 丁(新) 资源限制
3
1
2
170
3
2
1
100
5
3
4
150
单件利润(万元) 10
18
10
9
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第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
影子价格：可认为是某种资源的边际价值
例如，在习题3-9中，我们得到钢材、煤炭和设备台时的影子价 格分别为：0(万元/单位)， 32/7(万元/单位)， 6/7(万元/单位)。 这意味着，在现有资源的基础上：
这种估价不是资源的市场价格，而是根据资源在生产中作出
的贡献而做的估价，称为影子价格(P42)
计划期内相关生产信息如下表所示，问：
例3 (习题3-9)
① 问如何安排生产计划，使得总利润最大？
② 如果该厂的决策者拟打算将厂里的资源用于接受外来的加工任
务，他该如何给每种资源制定收费标准？
③ 表中列出新产品丙、丁相关情况，试决定它们是否值得投产？
X* = [0, 0, 4]T，Z* = 12，试求其对偶问题的 最优解。
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第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
根据经验，单纯形法的迭代次数大约是约束条件
数量m的1～1.4wk.baidu.com，当m远大于n时，采用对偶方法求 解较好
求“min”型的对称形式LP问题时，可先求其对偶
问题的解，再用对偶理论对其求解，可省缺由于添加 剩余变量、人工变量带来的麻烦
Y* (b－AX*) = 0 (Y*A－C) X* = 0
上述两个式子称为(P)和(D)的互补松弛关系。
若记
a11 a12 L
A


M
MO
a1n M
P1, P2,L
R1
,
Pn



R2

M
am1 am2 L amn
Rm
其中，Pj 表示A的第j 列，Ri 表示A的第i 行，则有
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第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-1
某工厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，
已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材 料的消耗和各种资源的限制量，如下表所示。该工厂 每生产一件甲产品可获利2元，每生产一件乙产品可 获利3元，问应如何安排计划使该工厂获利最多？
甲
设备(台时)
(P)的第i 个变量对应于(D)的第i 个剩余变量，(D)的第j 个
变量对应于(P)的第j 个松弛变量
可以直接从最终单纯形表中看出资源的影子价格，即-δj
反之，若(P)为min型，则(P)的变量对应于(D)的松弛变量，
(P)的剩余变量对应于(D)的变量
作业：习题3-6, 习题3-7
第7讲：对偶问题的基本概念 (续)及影子价格
浙江工业大学经贸管理学院 曹柬
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第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
定理5 (互补松弛定理): 设X*和Y*分别是(P)和(D)的 可行解，则它们分别是最优解的充要条件是：
Y* (b－AX*) = 0 (Y*A－C) X* = 0
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第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
对偶问题的经济解释：影子价格
习题3-1和3-2
给定原问题(P)及其对偶问题(D)，若两者都存在可行解，则
满足：
n
m
z CX c j x*j Y b bi yi*
j 1
i 1
式中bi 表示第i 种资源的拥有量；yi*表示在资源最优利用条
件下对单位第i 种资源的估价
增加一单位煤炭，总利润可增加32/7万元 增加一单位设备台时，总利润可增加6/7万元 增加一单位钢材，总利润不增加，钢材过剩
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第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
影子价格的作用
指示企业内部挖潜的方向
灵敏度 分析
为新产品开发、投资决策作参考
分析工艺改变后对资源及总利润的影响
1
原材料A(kg) 4
原材料B(kg) 0
乙
资源限量
2
8
0
16
4
12
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第7讲：对偶问题的基本概念(续)及影子价格
习题3-2
对于例1，假设该工厂的决策者决定不生产甲、
乙两种产品，而是将所有资源外售。你作为一个收购 者，该如何决策来购买这些资源？
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