【2014】希望杯竞赛数学试题详解(51-60题)

题51 Let point M move along the ellipse 18

92

2=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed

point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is .

(ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)

（第十四届高二第二试第18题）

译文：点M 是椭圆18

92

2=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最

大值是 ，此时点M 的坐标是 .

解 在椭圆18

92

2=+y x 中，

8,92

2

==b a ，则1,12

==c c ，

所以椭圆的右焦点F 的坐标 为（1，0），离心率3

1

==

a c e ，

右准线9:2

==c

a x l ，显然点P

（6，2）在椭圆18

92

2=+y x 的外部.过点P 、M 分别作PG ⊥l 于G ，MD ⊥l 于D ，过点P 作PQ ⊥MD 于Q ，

由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且仅当点P 位于线段MD 上，即

点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥l 及点P （6，2），知点M 的纵坐标为2，设M

的横坐标为0x ，即M （0x ，2），则有18

4920=+x ，解得2230±=x ，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，此

时点M 的坐标是（2

2

3±

，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF |-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.

拓展 将此题引伸拓广，可得

定理 M 是椭圆E ：)0(122

22>>=+b a b

y a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点，c 为椭圆E 的半焦距，

P （m,n ）为定点.

1、 若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时，e 1

|MF|+|MP|的最小值是m c a -2；当F 是左焦 点时，e

1

|MF|+|MP|的最小值是m c a +2. -3 O 1 3 6 9 x

M M Q D

y

P G

l

F

2、 若点P 在椭圆E 外，则

F 是右焦点，且0≤m ≤c a 2，|n|≤b 时，e 1

|MF|-|MP|的最大值是m c a -2.

F 是右焦点，且m>c a 2，|n|≤b 时，|MP|-e

1

|MF|的最小值是c a m 2-.

F 是左焦点，且c a 2-≤m ≤0，|n|≤b 时，e 1

|MF|-|MP|的最大值是m c a +2.

F 是左焦点，且m ≤c a 2-，|n|≤b 时，|MP|-e

1

|MF|的最小值是c a m 2--.

简证 1、如图1，作MN ⊥右准线l 于N ，PQ ⊥l 于Q ，由椭圆定义，|MN|=

e

1

|MF|. ∴e 1

|MF|+|MP|=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a -2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.如图2，同理可证e

1

|MF|+|MP||=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a +2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之

间时取等号.

2、 如图

3，

e

1

|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m c

a -2

，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.

如图4，|MP|-

e

1

|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=c

a m 2

-，当且仅当P 位于

直线MN 上，即点P 与Q 重合时取等号.

m O m F x

M N y

P M Q l

图1

F m O x

N M y

Q M P

l

图2

O F m x

M M N Q

y

P

l

图4

如图5，

e

1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤

|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m c

a +2

，当且仅当P 位于线段

MN 上，即P 与R 重合时取等号.

如图6，|MP|-

e

1|MF|=|MP|-|MN|≥

|MQ|-|MN|=|N

Q|=

c

a m 2

--，当且仅当P 位于直线MN 上，即点P 与Q 重合时取等号.

题52 已知双曲线k y x =-2

2

关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1

相切，则

k

的值等于

（ ）

A 、32

B 、34

C 、4

5

D

5

4 （第十五届高二培训题第19题）

解 设点P （x 0,y 0）是双曲线k y x =-2

2

上任意一点，

点P 关于直线x-y=1的对称点为

P ’（x,y ）,则12

20

0=+-+y y x x ①，又

100-=--x x y y ②，解①、②联立方程组得

0011

x y y x =+⎧⎨

=-⎩③.∵P 点在双曲线k y x =-2

2上，∴k y x =-2020 ④.③代入④，得k x y =--+22)1()1( ⑤，

此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤并整理，得01232

=-+-k y y .由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=

3

4

，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由△=0便可求得k 的值. 拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的

结论 1、点（x 0,y 0）关于x 轴的对称点是（x 0,-y 0）. 2、点（x 0,y 0）关于y 轴的对称点是（-x 0, y 0）. 3、点（x 0,y 0）关于y=x 的对称点是（y 0,x 0）. 4、点（x 0,y 0）关于y=-x 的对称点是（-y 0,-x 0）.

5、点（x 0,y 0）关于y=x+m 的对称点是（y 0-m,x 0+m ）.

m

O F m x

M M R N

y

P Q

l

图3

m F O x

Q P

y

N R M M l 图5

m F O

x

P

y

Q N M M l

图6