第2讲 效用函数与需求函数
第二讲 间接效用函数与支出函数
• 假设消费者的偏好是良好性状的。
• A点为最初的选择，B点为征从量税的最优选 择，C点为征所得税的最优选择。可见，在政 府向消费者征收相同数量的税收条件下，消费 者在政府课征所得税时的境况要好些。
X2
征从量税的预算线
初始预算线
X2*
B• •C •A
征所得税的预算线
O
X1*
X1
思考：
➢ 在政府征收从量税和等额所得税的情况下，消费 者的境况有没有可能一样好？如果有，是在什么 情况下？ 有，折拗性偏好，例如：完全互补
y p1
p2
请求消费者的马歇尔需求函数。
求解
v(p1,p2,y ) p1
y(p1
p
2
)
2
,
v(
p1,p p 2
2
,y
)
y(p1
p 2 )2
v(p1,p2,y ) y
(p1
p 2 )1
利用罗尔恒等式
v(p ,y )
pi v(p ,y )
xi*
xi(p ,y )
y 0
v(p1,p2,y )
我们有x1(p1,p2,y )
p1 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
v(p1,p2,y )
x 2(p1,p2,y )
p 2 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
（三）间接效用函数的应用
• 可以分析价格和收入变动对消费者福利的影 响。
p ， *
u(x* )
i xi
0(偏好满足单调性），pi
平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第2讲 间接效用函数与支出函数1．设一个消费者的直接效用函数为12ln u q q α=+。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当20y p α->时，消费者的效用最大化问题为：12122,112m ln ax q q s t q p p yq q q α..+=+构造拉格朗日函数：()121122ln L q q q y p p q αλ--=++L 对1q 、2q 和λ分别求偏导得：1110L p q q αλ∂=-=∂ ① 2210Lp q λ∂=-=∂ ② 11220q Ly p p q λ∂=--=∂ ③ 从①式和②式中消去λ后得：211p q p α*=④再把④式代入③式中得：222y p p q α*-=⑤ 从而解得马歇尔需求函数为：211p q p α*=222y p p q α*-=由⑤式可知：当20y p α->时，20q *>，消费者同时消费商品1和商品2。
将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()2112122,,,ln p v p p y p q q y u p ααα**=+-=②当20y p α-≤时，消费者只消费商品1，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：11q y p *=20q *= 将商品1和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数：()()12121,,,ln v p p y u q p y q α**== （2）①当20y p α->时，此时的间接效用函数为：()()2112122,,,lnp v p p y p q q yu p ααα**=+-= 将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 2222v y p p p α∂=-∂ 21v y p ∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1112121v p p p v y p q p αα*∂∂=-==∂∂ 222222221y p v p p y p y q v p p αα*-∂∂-=-==∂∂②当20y p α-≤时，间接效用函数为()()12121,,,lnv p p y u q p yq α**==，将间接效用函数分别对1p 、2p 和y 求偏导得：11v p p α∂=-∂ 20v p ∂=∂ v y yα∂=∂ 由罗尔恒等式，得到：1111v p p y v y p yq αα*∂∂=-==∂∂ 2200v p v y y q α*∂∂=-==∂∂ （3）比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
需求函数,收入效应和替代效应：理论和实证
需求函数，收入效应和替代效应：理论和实证David Autor14.03 2004 秋季1马歇尔需求中的价格变化●消费者预算的微小变化（即I的上升或者下降）都涉及到消费线自原始位置向内或向外平行移动。
这样的经济学是很简单的。
既然这样的移动保持了价格比率，那么它对消费者的边际替代率（MRS）就没有任何影响，，除非选定的商品组合在一开始或者最终处于边角解答中。
●保持其他商品价格和收入不变，一种商品的价格上升在经济学上有着更复杂的效应：— 它使得预算线由原始位置向内移动了。
换言之，消费者现在更穷了。
与之相对的是“收入效应”。
— 它改变了预算线的斜率，这样消费者就面临了一个不同的市场交易比率。
与之相对的是“价格效应”。
●尽管两种移动是同时发生的，但它们的概念是有区别的，而且对消费者行为而言也存在不同的含意。
1.1收入效应首先，考虑“收入效应”。
在一个两商品的经济体中，预算线由原始位置向内移动有什么影响：1.总消费？[下降]2.效用？[下降]3.对的消费？[答案取决于是正常物品或是低档物品]4.对的消费？[答案取决于是正常物品或是低档物品]1.2替代效应●在同一个两商品的经济体中，对的消费会有什么变化，若：而且效用保持不变？●换句话说，我们想要得出：●在应用MRS递减公理的情况下，我们有●总之，保持效用不变，替代效应总是负的。
●相反地，按照上面的推理，收入效应的符号却是不确定的，取决于是正常物品还是低档物品。
1.3商品的类型替代效应总是负的而收入效应却是不确定的，这就引出了三种类型的商品的划分：1.正常物品：。
对于这种商品，价格的上升和收入的下降有着相同的影响 — 更少的消费量。
尽管只观察了从到的移动，我们也能理解这种移动由两个部分组成：从到的移动（替代效应）和从到的移动（收入效应）。
2.低档物品：。
对于这种商品，收入和替代效应是相互抵消的。
为什么？甚至于尽管导数是同号的，它们的效应也是相反的。
因为价格的上升减少了实际收入 — 从而通过收入效应增加了消费，即便是替代效应同时也使消费减少。
《效用函数》课件
05
效用最大化问题
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
消费者在购买某一商品时愿意支付的 最高价格与实际支付价格之间的差额 。消费者剩余反映了消费者对商品的 主观评价和实际支付之间的差异。
无差异曲线法
预算约束法
通过选择无差异曲线上的点来实现效用最 大化，无差异曲线上的点表示能给消费者 带来相同效用的不同商品组合。
在预算约束条件下，选择能够使总效用最 大的商品组合。
06
效用函数的发展趋势和未来展望
效用函数在经济学中的发展趋势
跨学科融合
随着经济学与其他学科的交叉研究， 效用函数的理论和应用将进一步融入 心理学、社会学和环境科学等领域， 以更全面地解释人类行为和经济现象 。
效用函数作为决策分析的重要工 具，为决策者提供了一套完整的 分析框架和方法。
04
效用函数的性质
边际替代效应
边际替代效应是指消费者在保持总效 用不变的情况下，通过改变消费组合 中不同商品的消费量，以获得最大效 用。
边际替代效应反映了消费者对于不同 商品之间的替代关系，是消费者行为 的一个重要特征。
对同一种商品的效用评价可能不同。
效用具有主观性和个体差异性，反映了消费者的个人偏好和价
03
值取向。
效用函数的定义
01
效用函数：表示消费者对不同消费组合的效用评价 的函数。
02
效用函数将商品的数量或消费组合映射到效用值上 ，反映了消费者的偏好和价值取向。
03
效用函数有多种形式，常见的有线性效用函数、二 次效用函数、对数效用函数等。
中级微观经济学讲义-2
第二讲 消费者理论
四、显示偏好简介
（一）显示偏好弱公理
与古典的从偏好关系到效用函数再到需 求函数的逻辑思路不同， 求函数的逻辑思路不同，萨缪尔森从行为结 果本身推导人的行为准则，抛却了效用理论 果本身推导人的行为准则， 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 中的许多主管假定，而仅需要一些隐含的、 弱的要求，比如一致性。 弱的要求，比如一致性。
第二讲 消费者理论
二、效用最大化与支出最小化
（二）效用最大化－续（2） 效用最大化－
罗伊恒等式】 【罗伊恒等式】 构造拉格朗日函数 L( x , λ ) = u( x ) + λ ( y − px )， ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) 根据包络定理， 根据包络定理， = = λ*以及 ∂y ∂y ∂v ( p, y ) ∂L( x * , λ* ) = = − λ* x i*，可以得到 ∂ pi ∂p i ∂v ( p , y ) − ∂ pi x i* = x i ( p, y ) = ∂v ( p , y ) ∂y
x 2 f x1 , ∀t ∈ [0,1] ⇒ x t = tx 2 + (1 − t )x1 ~ x1 f ~ 公理 7 : 严格凸性 x 2 ≠ x1 , x 2 f x1 ⇒ x t f x1 ~ (排除了无差异集凹向原 点 < 多元化消费 > )
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
第二讲 消费者理论
一、偏好、效用与预算 偏好、
（一）偏好关系－续（1） 偏好关系－
偏好公理： 偏好公理： 公理 4 : 局部非饱和性 公理 5 : 严格单调性 公理 6 : 凸性 ∀x 0 ∈ R n , ∃ε > 0 , ∃x ∈ B ε ( x 0 ) I R n ⇒ x f x 0 + + (排除了无差异区域的存 在 ) ∀x 0， x1 ∈ R n ， x1 ≥ x 0 ⇒ x1 f x 0 + ~ (排除了无差异集向上弯 曲)
平新乔微观经济学十八讲02
5
代 5 入 4 式,得 x 2 的需求函数:
x2 =
y 3 p2
2
6
代 5,6 两式入效用函数中,得到当效用最大化时有间接效用函数:
2y y v( p, y ) = u ( x1 , x 2 ) = x x 2 = 3p 3p 2 1
2 1
2
第二讲 间接效用……
又消费者效用最大化意味着
(x1 , x2 ) ∈ R+2 . 已 知 北 京 的 物 价 为 ( p1a , p 2a ) , 上 海 的 物 价 为 ( p1b , p 2b ) , 并 且
a b p1a p 2 = p1b p 2 , 但 a b p1a ≠ p1b , p 2 ≠ p 2
. 又 知 广 州 的 物 价 为
u = x1 x2 u′ ln u u ′ = ln u 2 p1 p2 e = 2 p1 p2 e = 2 p1 p2u u ′ = ln x1 + ln x2 e′( p1 , p 2 , u ′) = e( p1 , p 2 , u )
根据 5.1 与 5.2 的结果,得到
6
设某消费者的间接效用函数为 v( p1 , p2 , m ) =
y = e( p, v( p, y ))
即可得到支出函数:
e( p, u ) = e( p, v( p, y )) = y = 108 p12 p 2 u
3 考虑下列间接效用函数
(
)
1 3
=
3 2 p12 p 2 u 2
(
)
1 3
v( p1 , p 2 , m ) =
这里 m 表示收入,问:
m p1 + p 2
由 1 式,2 式,得 e( p1 , p2 , u )
《效用与需求》PPT课件
• 消费可能性 • 偏好
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TM 8-‹#›
1.消费可能性
• 家庭消费选择受家庭收入和价格的限
制。
• 这些限制用预算线进行描述。
IP•xQxP•yQy
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总效用和边际效用
总效用是一个人从物品与劳务的消费中 得到的总利益。 边际效用是一种物品的消费量增加一单 位所引起的总效用的变动量。
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思考
• 是基数效用论合理一些，还是序数效
用论更合理一些，为什么？
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一、家庭（消费者）消费选择
• 基数效用论——第8章 • 序数效用论——第9章
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基数效用
• 基数效用是指可以用基数1.2.3.5……等具体数
量测量商品的效用。效用还可以加总求和。
• 基数效用论者认为，效用的大小是可以用基数
TM 8-‹#›
消费可能性
电影 ($6)
效用函数需求决策是家庭在预算限制下追求效用极大所推导出的U=f
偏好與效用
食衣住行育樂都是消費行為 消費是為了滿足慾望 滿足慾望需要資源的投入
欲望無窮 資源有限，因此，必須有所取捨trade-offs
人的偏好preference就是就是決定取捨的基準 給定資源 (時間資源體力 )限制條件，消費者會選擇一 種最喜歡 是自己最高興的資源分配方式。 例如，費用、時間、體力有限，在星期假日如何選擇 活動? 那就看個人的偏好。
最適點的詮釋 (二)
在最適點 : MRS
MU1 P 1 MU2 P2
MU1 MU2 MU1 MU2 上式若不成立，表示 : 或 P P2 P P2 1 1
若 MU1/P1 > MU2/P2，表示花一元買 X1 (買到 1/P1 單位) 所 創造的效用增量 (乘以 MU1)，大於花一元買 X2 (買到 1/P2 單位) 其所創造的效用增量 (乘以 MU2)。這表示此時消費 者應將一元由購買 X2 挪用為購買 X1，如此可在不增加預 算的情況下增加效用，故消費者未達最適。 同理，若 MU1/P1 < MU2/P2，消費者也未達最適。
預算限制的代數與幾何表達 (二)
AB 線段斜率的絕對值是
P1 / P2 代表消費者在市場上 面對兩種商品的客觀交換比。
4.3.2消費者的最適選擇
人們的需求行為是「在預算限制 之下追求效用極大」。 如何在消費者的預算限制 （△ABO 中）找到使其效用最大 的點？ l ：效用最高，但買不起。
l m n
效用函數
需求決策是家庭在預算限制下追求效用極大所推導出的。 U = f (X1, X2, …, Xn ) (4.1) 為一典型之效用函數utility function。 U 為效用utility水準，刻劃消費者的滿足程度； (X1, X2, …, Xn ) 為對 n 種商品的消費量。 相同的(X1, X2, …, Xn ) 組合對不同的人構成的滿足程度各 有不同，因為每個人的偏好不一樣。 以效用函數刻劃characterize偏好、以效用水準代表滿足程 度，並不涉及自私或不自私，也可以是利他的行為。。 例如范仲淹的效用函數可能是： U = f (天下人的消費, 自己的消費) 父母的效用函數可能是： U = f (子女的消費, 自己的消費)
第二章___需求分析
可以解得：x1 w 2 p1 x2 w 2 p2
则：
( p1 , p2 , w) ( w 2 p1 )0.5 (w 2 p2 )0.5
w 2 2 0.5 0.5 0.5 2 p1 p2 2(0.25) 1
当政府征收0.5元所得税时，消费者收入w会从2元下降到1.5元， 消费者的间接效用也会从2下降到1.5。 如果政府对商品1开征0.25元的消费税，则商品1的价格会从 0.25元上涨到0.5元。从而消费者的间接效用为：
2
第一节
一、瓦尔拉斯需求函数
需求函数
1.基本概念。我们称效用最大消费束 x * 与价格 p ( p1 , , p n ) 和财富水平 w 的关系为瓦尔拉斯需求函数。 2.瓦尔拉斯需求函数的推导。由其定义知，可用效用函数的最 优解直接推导出瓦尔拉斯需求函数。
3
3.瓦尔拉斯需求函数的性质。 瓦尔拉斯需求函数 x * ( p, w) 具有以 下三个性质： （1）在价格和收入上，需求函数是零次齐次的。即对于任给 p ，
6
（二）间接效用函数的性质 假定 u () 是连续效用函数，代表定义在消费集 X R n 上局部非饱 和偏好关系 ,则间接效用函数 v( p, w) 是： 1、零齐次的，价格和财富同比例变动不影响效用； 2、在 w 上是严格递增的，并且对于任意 n ,它在 Pn 上都是非递 增的，即价格上升降低效用，财富上升增加效用； 3、拟凸的，就是说对于任意 v ,集合｛ (p, w) : (p, w) ν ｝是 凸集； 4、在 p 和 w上是连续的。
内涵：当价格上升时，若 E>-1 则支出增加；若 E=-1 则支出不变； 19 若 E<-1 则支出下降。
4、 需求交叉价格弹性。 需求交叉价格弹性定义为商 品 2 的需求量变动比率与商品 1 的价格变动比率之比， 即：
需求函数和曲线
21
概括
• 效用最大化 (对于劣等品) 对于价格变化的 后果难以作出确定性的预测
– 替代效应和收入效应 移动方向相反 – 如果收入效应超过替代效应, 我们就会看到吉芬 悖论
8
收入增加
• 如果随着收入增加，x 的消费量下降， x 为劣等品
y的数量
C B
随着收入上升，消费者选择消费更少的 x 和更多的 y。
U3 U2
注意，无差异曲线没有展示 “奇怪的” 形状。递减的MRS 仍然成立。
A
U1
x的数量
9
正常和劣等品
• 在某个收入区间，商品xi 满足 xi/I 0， 这种商品是在这个区间的正常品。 • 在某个收入区间，商品xi 满足 xi/I < 0， 这种商品是在这个区间的劣等品。
6
收入变化
• 收入增加会引起预算约束线向外平移。 • 因为 px/py 没有改变, 当消费者获得更高 满足水平的时候 MRS 保持不变。
7
收入增加
• 如果随着收入的增加，x 和 y 的消费量 增加, x 和 y 为正常商品
y的数量
随着收入增加, 消费者选择消费更多的x和y
B A
C
U3
U1
U2
x的数量
补偿和非补偿需求
px 如果价格高于 px2, 需要补偿的收入是正 的，这因为消费者需要帮助才能留在 U2
px’ px’’ x
xc
x’
x*
x的数量
35
补偿和非补偿需求
px 如果价格水平 px2, 需要补偿的收入是负的 以阻止因为价格下降导致的效用上升
第2章 需求分析 (2)
第二章需求分析一、需求函数（一）瓦尔拉斯需求函数商品需求定义：预算集中的效用最大化的解X *，反映*x 与P 与W 的关系称为需求函数，表示成n w +∈R p x ),(。
例子：建立L 函数：)()(),,(221112121x p x p w x x x x L --++==λλρρρ 一阶条件为：0)(111111211=-+=∂∂--p x x x x L λρρρρρρ 0)(121211212=-+=∂∂--p x x x x L λρρρρρρ 02211=--=∂∂x p x p w Lλ21121)(p p x x =-ρ，直接推导112121122111)(---=⇒=ρρρp p x x x p p x代入2211x p x p w +=，得到：121111111211211112112121)()(--------+=+==ρρρρρρρρρρρρp p wp p pp p wp p px x ；12111122---+=ρρρρρp p wp x令1-=ρρr ，则有：r r r p p wp x 21111+=-，rr r p p wp x 21122+=-需求函数的三个性质（1）在价格和收入上，需求函数是零次齐次的：即对于任给p ，w 和满足0>a ,有),(),(w p x aw ap x =经济含义是：如果价格和收入以同一比例变化，则消费者的需求数量保持不变。
（2）瓦尔拉斯法则：任给),(w p x x ∈有w x p =⋅经济含义：消费者会在有生之年用光他的全部资源（财富）。
（3）凸性和唯一性。
如果)(⋅u 是拟凹的，则),(w p x 是一个凸集。
思考如何证明。
若)(⋅u 是严格拟凹的，则),(w p x 只包含单一的元素。
（二）间接效用函数定义：)],([),(*w p x u w p v =，即需求函数代入原效用函数。
例子：2121ln )1(ln ),(x x x x u αα-+= s.t. w x p x p =+2211 构造拉格朗日函数：()()221121ln 1ln x p x p w x x L --+-+=λαα 一阶条件： 01111=-=∂∂p x x L λα (1)；()011222=--=∂∂p x x L λα (2)02211=--=∂∂x p x p w Lλ(3) ()()2112121p p x x =-⋅⇒αα 12211p p x x ⋅-⋅=αα (4) 或21121p p x x ⋅-⋅=αα （5）将（5）代入（3） w x p x p w p p x p x p =⋅-+⇒=⋅-+111121121111αααα111111111p w x w x p w x p αααα=⇒=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+将（4）代入（3）w x p x p w x p p p x p =+-⋅⇒=+⋅-⋅222222122111αααα()22222211111p w x w x p w x p αααα-=⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-然后求解间接效用函数：将需求函数代入目标函数：2121ln )1(ln ),(x x x x u αα-+=()21211ln)1(ln),,(p wp ww p p v αααα--+=()()[]21ln ln 1ln )1(ln ln ln p w p w -+--+-+=αααα()()()()21ln 1ln 11ln 1ln ln ln p w p w αααααααα---+--+-+=()()()αααααα--++---=1ln 1ln ln 1ln ln 21p p w∴c p p w w p p v +---=2121ln )1(ln ln ),,(αα 其中：)1ln()1(ln αααα--+=c 。
平新乔微观经济学十八讲》答案
5.1. 当 ρ = 1 ，该效用函数为线性．
证明：当 ρ = 1 时，效用函数为
u(x1, x2 ) = α1x1 + α 2 x2 此时，函数 u 是线性的．
4
第一讲 偏好、效用……
5.2.
当ρ
→
0 时，该效用函数趋近于 u(x1 ,
x2 )
=
x α1 1
x α2 2
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
2 x12
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2. 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5. 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
述的偏好中，商品 1 与商品 2 是完全替代的．
4. 若某个消费者的效用函数为
u ( x1 ,
x2 )
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
其中， x1, x2 ∈ R+
4.1. 证明： x1 与 x2 的边际效用都递减．
证明： u(x1, x2 ) 对 x1 取二阶偏导：
∂2u = − 1 < 0
∂x12
不具有完备性．同理可以说明无差异关系也不具有完备性．
8.2. ≈ 满足反身性
说明：如果无差异关系不具有完备性，那么根据无差异关系的定义，则必存在一个消
费束严格偏好于它自身，也就是说，这个消费束同时既偏好于它本身又不偏好于它本
已知马歇尔需求函数求效用函数
已知马歇尔需求函数求效用函数
马歇尔需求函数又称为巴科斯函数，是经济学里最重要的基本函数之一，其定义为消费者估计消费支出，其根据消费者的财富来定义，用符号表示为Q = f(m)，其中Q代表消费量，m表示财富。
马歇尔需求函数的特性为正相关，即增加财富会使消费支出增加，减少财富则消费支出减少。
由马歇尔需求函数求效用函数，可以把效用函数U定义为对消费者消费支出的效用。
由马歇尔需求函数Q=f(m)，可以得到以下效用函数：U=f(Q) 。
效用函数U反映了受资源和消费者现有财富限制，消费者在一定财富下所获得的收益度，或者说物品所获得的效用。
效用函数为消费者在物品的需求时的决策做出指导，也会对消费者的选择产生影响。
总结下来，从马歇尔需求函数能求出效用函数，其定义为消费者估计消费支出，其根据消费者的财富来衡量，可以反映消费者在一定财富下所获得的收益度，或者说物品所获得的效用，对消费者的选择产生影响。
微观经济学名词解释(高鸿业版)
高鸿业版西方经济学（微观部分）名词解释价格：价格是经济参与者之间相互联系和传递经济信息的机制。
需求：指消费者在一定时期内在各种可能的价格水平下愿意而且能够购买的商品数量。
需求函数：是表示一种商品的需求数量和影响该需求数量的各种因素之间的相互关系。
需求表：是表示某种商品的各种价格水平和与各种价格水平相对应的该商品的需求数量之间的数字序列表。
供给：是指生产者在一定时期内在各种可能的价格水平下愿意而且能够提供出售的该种商品的数量。
供给函数：表示一种商品的供给量和该商品价格之间存在着一一对应的关系。
供给表：是表示某种商品的各种价格和与各种价格相对应的该商品的供给数量之间关系的数字序列表。
均衡：指经济事物中有关的变量在一定条件的相互作用下所达到的一种相对静止的状态。
局部均衡：是就单个市场或部分市场的供求与价格之间的关系和均衡状态进行分析。
一般均衡：是就一个经济社会的所有市场的供求与价格之间的关系好均衡状态进行分析。
均衡价格：指一种商品的市场需求量和市场供给量相等时的价格。
均衡数量：在均衡价格水平下的相等的供求数量。
市场出清：市场上需求量与供给量相等的状态。
需求量的变动：是指在其他条件不变时，由商品的价格变动所引起的该商品的需求数量的变动。
需求的变动：是指在某商品价格不变的条件下，由于其他因素变动所引起的该商品的需求数量的变动。
供给量的变动：是指在其他条件不变时，由某商品的价格变动所引起的该商品供给数量的变动。
供给的变动：是指在某商品价格不变的条件下，由于其他因素变动所引起的该商品的供给数量的变动。
供求定理：在其他条件不变的情况下，需求变动分别引起均衡价格和均衡数量的同方向的变动；供给变动引起均衡价格的反方向的变动，引起均衡数量的同方向的变动。
经济理论：是在对现实的经济事物的主要特征和内在联系进行概括和抽象的基础上，对现实的经济事物进行的系统描述。
经济模型：是指用来描述所研究的经济事物的有关经济变量之间相互关系的理论结构。
高级微观经济理论 第2章 消费者最优选择和需求分析
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2.2.2 支出函数及其性质
支出函数的定义 支出函数的性质
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A、支出函数的定义
将支出最小化问题的解代如其目标函数而得到的函数即为 支出函数，记为e(p,u):
n 性质1： v ( p, m) 在 R + + × R n 上是连续的[1]；
性质2： v ( p, m) 是关于 ( p, m) 的零次齐次函数； 性质3： v ( p, m) 是关于m的严格递减函数； 性质4： v( p, m) 是关于p的严格递增函数 性质5： v ( p, m) 对价格 是拟凸 对价格p是拟凸 性质6： v ( p, m) 满足罗伊恒等式（Roy’s identity）
v ( p , m ) = m ax u ( x*)
n x∈ R +
( 2 .2 )
s .t : p ⋅ x ≤d by Liu Jianghui, SHNU
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B、间接效用函数的性质
如果直接效用函数在上是连续且严格递增的，那么间接效用函数就一定 具有以下几个性质：
{ {
} }
但： 1 x > m , p 2 x > m ，这显然不可能 p 因此：
v ( p t , m ) = max u( x )满足x属于B t ≤ max u( x )满足 x属于B1 U B 2 , 因为B1 U B 2 ⊃ B t ≤ a因为v ( p1 , m ) ≤ a和v ( p 2 , m ) ≤ a
效用最大化问题中的三个函数——需求函数、间接效用函数、支出函数
效⽤最⼤化问题中的三个函数——需求函数、间接效⽤函数、⽀出函数需求函数：性质：关于所有价格和收⼊零次齐次性（所有商品价格与收⼊乘以t倍），最优化需求数量保持不变。
1. CES需求函数CES需求函数的函数形式为：构造朗格朗⽇表达式：求偏导数得到⼀阶条件：根据上式求得需求函数：从上式看出我们确实可以得到⼀个对于任意的CES函数的需求函数。
但是个⼈建议，由于CES函数有不同的“形式”（⽐如说也是⼀种CES函数，所以在实际做题求解CES函数的需求函数的过程中，建议重复上述证明步骤，⽤构造拉格朗⽇表达式，利⽤⼀阶条件来求解需求函数）当的时候，此时为完全互补效⽤函数，利⽤消费者为了效⽤最⼤化只会选择L型⽆差异曲线顶点消费的特征来直接求解，就不⽤构造朗格朗⽇表达式了。
除此之外，联系弹性和之前讲过的（点击链接回顾）的概念，我们不难发现，，即替代弹性等于1为分界线。
举例说明：当的时候，此时商品x花费的收⼊份额为不是常数，越⾼，x的相对价格越⾼，它所花费的收⼊份额就越⼩。
换⾔之，x的需求对其价格的反应就⾮常敏感，价格的上升减少了x的总花费。
不过收⼊的变化并不影响消费份额。
U (x ,y )=+δx δδy δf =+δx δ+δy δλ(I −p x −x p y )y ⎩⎨⎧=x −λp =0∂x ∂f δ−1x =x −λp =0∂x∂f δ−1x =I −p x −p y =0∂λ∂f x y ⎩⎨⎧x =p (1+())x p y p x 1−δδy =p (1+())y p x p y 1−δδI δU =(αx +11ραx )22ρρ1δ→∞δ=0σ=1−δ1δ=0.5x =p (1+())x p y p x I p x /I =x 1/[1+(p /p )]x y p x2. 柯布道格拉斯需求函数柯布-道格拉斯效⽤函数的表达式为：同样可以利⽤朗格朗⽇法来算出需求函数，由于过程重复，在此不做赘述，得到如下的结果：由此我们得到⼀个重要的结论，在柯布道格拉斯效⽤函数情形下，消费者会花费⽐例的收⼊去购买商品x，⽤的⽐例去购买y。
3.2需求函数(Demand Function,D.F.)
• 对于对数线性需求函数模型，假设其它商品的 价格对第种商品的需求量没有影响，采用如下 形式：对于对数线性需求函数模型，假设其它 商品的价格对第i种商品的需求量没有影响，采 用如下形式：
lnVi 0 1 ln I 2 ln pi
• 这样处理，可以取得样本观测值，并完成模型 的估计。但必须注意，由于购买支出额为被解 释变量，模型不再满足0阶齐次性条件，而应 该满足1阶齐次性条件，因为当收入和所有商 品的价格都同时增长1%时，尽管作为实物量 的需求量没有改变，但作为被解释变量的购买
⑴ 问题的提出
• 收入和价格两类变量对商品需求量的影响是不同的。 为什么？
• 商品需求量和收入之间存在长期关系；而价格水平 一般只对商品需求量具有短期影响。
• 时间序列数据适合于短期弹性的估计，截面数据适 合于长期弹性的估计。
• 用同一组样本数据同时估计需求函数模型的所有参 数，在理论上是存在问题的。
• 于是就提出了合并时间序列数据和截面数据的估计 方法，即交叉估计方法。
• 用截面数据为样本估计模型中的一部分反映长期影 响的参数，然后再用时间序列数据为样本估计模型 中的另一部分反映短期影响的参数，分两阶段完成 模型的估计。
⑵ 估计方法
以对数线性需求函数为例，假设只包括收入和自价格
lnq 0 1 ln I 2 ln p
“××元的衣服”、“××元的帽子”，然后再求它们的“混合平
均价”。
可以如下定义“类量”：
l
q piqi p
i 1
•一种经验处理方法，缺少理论支持
支出额应该增长1%。
⑵ 对于具有相同计量单位的类商品的处理
有些类商品，例如汽车，尽管包含许多种不同的 具体品种，但它们都具有相同的计量单位。对于 这类类商品，用所有商品的数量和表示类商品的 数量，用混合平均价表示类商品的价格。
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x
U A[a x b y ]
1/ 0
y
16
列昂剔夫型效用函数的等效用曲线
U A [a x b y ]
x
, 1/
或 U Ax / 1, y / 2
y
17
第二节 效用最大法则与需求函数
问题？
简述：求极值的方法。
18
一、效用最大的数学模型
Max s.t
U ( x1, x2 ) p1x1 p2 x2 M
a1/(1 ) 1
a p 1/(1 ) 1
/( 1) 1
p /( 1) 1
a1/(1 ) 2
p /( 1) 2
M
31
x1
0 a1 x1 1 p1
x2
0 a2 x2 1 p2
a1x1 1 / p1 a2x2 1 / p2
p1x1 p2 x2 M
p1x1
a1/(1 ) 1
等效用曲线
x
U A xa yb
y
12
第2种类型： 不变替代弹性型、或者CES型
U A[a1x1 an xn ]
1
பைடு நூலகம்
13
•线性生产函数形式：
x
U A[a x b y ]
1
y
14
•CD生产函数形式：
x
U A[a x b y ]
1/ 0
y
15
•一般CES生产函数形式：
p2 /( 1) a 1/(1 )
2
p /( 1) 2
M
34
• 于是可得最优支出比例为：
1
p1x1 :
p2 x2
a b
1
p1 p2
1
35
•效用函数的推导
练习：
如果某人对商品x和y的效用函数CES型效用函数。 已知两种商品支出比例的对数值与其价格比的对数 值符合下式，求效用函数的数学表达式。
19
二、效用最大法则:
通过求解消费者效用最大法则，就可以得到是 需求函数的数学表达式。
U (x1, x2 ) U (x1, x2 )
x1 x2
p1
p2
p1x1 p2 x2 M
20
效用最大数学模型
max
U
A
xa1 1
xa2 2
s.t
p1x1 p2 x2 M
ai 0, ai 1
效用最大法则
需求函数
p1 x1
a1
a1 a2
M
U (x1, x2 ) U (x1, x2 )
x1 x2
p1
p2
p1x1 p2 x2 M
p1x2
a2 a1 a2
M
21
问题？
选择题： a.需求函数与效用函数值的大小有关系。 b.需求函数与效用函数值的大小没有关系。 c.需求函数与效用函数值大小的关系不确
x2
0 a2 x2 1 p2
a1x1 1 / p1 a2x2 1 / p2
p1x1 p2 x2 M
30
那么，极值的必要条件为：
x1
0 a1 x1 1 p1
x2
0 a2 x2 1 p2
a1x1 1 / p1 a2x2 1 / p2
p1x1 p2 x2 M
p1x1
• 什么是效用？ • 效用函数的解释变量是谁？
3
一、效用、效用函数的定义
• 经济学可以简单地定义如下：利用有限 的资源，合理安排生产，生产的产品在 消费者中进行合理的分配，达到人类现 在与未来的最大满足。
• 根据以上的定义，学习或者研究数量经 济学的首要任务是：如何用数学公式来 表示人类的满足程度和个人的满足程度。
求实现效用最大化的最优支出比例为多少？
p1x1 : p2 x2 ?
33
• 利用需求函数表达式可以求出：
p1 x1
a 1/(1 ) 1
a 1/(1 ) 1
p /( 1) 1
p /( 1) 1
a 1/(1 ) 2
p /( 1) 2
M
p2
x2
a 1/(1 ) 1
a 1/(1 ) 2
p /( 1) 1
定，有时候有关系，有时候没有关系。
22
问题：
有人认为，效用函数值的大小不能测量， 所以应该全盘否定西方经济学。 这一句话有没有道理？
23
练习： 如果人们收入中有60%购工业品， 数量为x, 40%购农业品，数量为y,
写出效用函数的数学表达式。
24
练习：如果人们收入中有60%购工业品，数 量为x, 40%购农业品，数量为y,写出效用函
数的数学表达式。
U A x0.6 y0.4
自己练习课后习题二
25
•最优支出比例的计算 练习
请求解：
Max s.t
U a1x1 a2 x2 p1x1 p2 x2 M
26
解: 可以根据高等数学当中求极值的方法来 求解以上问题 。 作拉格朗日函数:
a1x1 a2 x2 (M p1x1 p2 x2 )
a p 1/(1 ) 1
/( 1)
1
p /( 1) 1
a1/(1 ) 2
p /( 1) 2
M
p2 x2
a1/(1 ) 1
a p 1/(1 ) 2
/( 1) 2
p /( 1) 1
a1/(1 ) 2
p /( 1) 2
M
32
练习：
若效用函数为：
Max s.t
U (a1x1 a2 x2 )1/ p1x1 p2 x2 M
27
那么，极值的必要条件为：
x1
0
a1x1 1
p1
x2
0
a2x2 1
p2
28
那么，极值的必要条件为：
x1
0 a1 x1 1 p1
x2
0 a2 x2 1 p2
a1x1 1 / p1 a2x2 1 / p2
29
那么，极值的必要条件为：
x1
0 a1 x1 1 p1
x1
x2
2U (x1, x12
x2
)
0
2U (x1, x22
x2 )
0
9
三、效用函数的主要形式及等效用曲线
• 问题
• 学习《计量经济学》过程中， 接触过哪些生产函数？
10
练习：写出效用函数的数学表达式
第1种类型：
对数线性型、或者柯布——道格拉斯型
U
Ax1a1
xan n
ai 0, ai 1
11
第一章
效用函数与需求函数
1
主要学习内容：
第一节 效用函数的数学表达式及其特性 第二节 效用最大法则与需求函数 第三节 效用函数、需求函数的实际应用
主要掌握内容：
• 效用函数的各种数学表达式 • 运用效用最大法则推导需求函数 • 效用函数、需求函数在实际中的简单应用
2
第一节 效用函数的数学表达式及其特性
4
衣着
食品 住宅 交通
U 效用函数或生活水平
函数
闲暇 安全 健康 家庭 荣誉
5
x1
…
xn
效用函数
U (x1, , xn )
6
二、效用函数的特性
•递增函数 二阶导数为负
效用函数递增法则 边际效用递减法则
U
E C
F A
D
U ( x)
x
B
1
2
3
7
8
U (x1, x2 ) 0 U (x1 , x2 ) 0