实物粒子的波粒二象性德布罗意波
从德布罗意波的波长和频率看波粒二象性
Ｖｏ． ７ １２
第 ９期
四川教育学 院学报
Ｊ ＯＵＲＮ Ｉ ＨＵＡＮ ＣＯＬ ＥＧ ＤＵＣＡ Ｉ ＡＬ ＯＦ Ｓ Ｃ Ｌ Ｅ ＯＦ Ｅ Ｔ ＯＮ
２ １ ９月 ０ １年
Ｓｐ ２ ｅ ． ０１ １
从 德 布 罗意 波 的波 长 和 频 率看 波粒 二 象 性
切 实物 粒子 也都 具有 波粒 二 象 性 ， 而且 以下 关 系
Ｅ＝ｈ ＂ ｔ
Ｌ
播， 能量 的传 播 速 度 与 粒子 的运 动 速 率 相 同。在 这 点 上德 布罗 意波 是 与 经 典波 相 类 似 的 ， 械波 和 电 机
式 同样 成 立 ：
（） ２
磁波在传播过程 中， 同样伴随着能量的传播 ， 波速就 是能量 的传播速度。
性就 更 是不 胜枚 举 了
Ａ
因为 ＜ （ ｃ 除了光子）
所 以 Ａ， ｃ ｔ＞ 可 以看 出 ： （） ７
另一方面 ， 这里所说 的波和粒子 ， 都是经典物理
学 中的基本 概 念 ， 是人 们 对 于 客 观世 界 认 识 上 的一
种近似和抽象。对有的客体认为其只具有粒子性而
二 象性 所指 的“ 粒子性” 波动性 ” 是具有独特含义 的。 和“ 都
关键词 ： 德布 罗意波 ； 经典波 ； 波粒二象性 ； 海森伯不确定 关 系
ｄ ｉ１． ９ ９ ｉ ｎ １ｏ ｏ：０ ３ ６ ０．ｓ ．ｏ ０—５５ ．０ １ ０ ．２ ｓ ７ ７２ １ ．９ １ ２
中图分 类号 ： ４ ３ １ Ｏ １．
Ａ ＞ ｃ， ＜ｃ 。
波长短得完全可以忽略 ， 使得尘埃只显示粒子性 ； 但 是对于微观世界 中速率 ＝ ２０ ／ 的质子 ， ２ ０ｍ ｓ 其德
第五节德布罗意波
E = hν p= h λ
E ν = h h λ = p
3、经电压为U的电场加速后，电子的德布罗意波长：
h h 1.225 λ= = = nm p 2eUme U
设U=150（v），则有：
λ ≈ 0.1nm = 1A°
这和X射线波长接近，能在晶体上发生强烈的衍射效应。
《大学物理》
教师：
胡炳全
二、实物粒子波动性的实验验证： 1、戴维孙-革末实验： （1）装置 （2）原理
1.225 λ= nm U
2d sin ϕ = kλ
Ek = eU
2 k
c 2 p 2 = E 2 − E02 = Ek2 + 2 Ek E0
p = E + 2 E k E0 / c《大学物理》教师：
胡炳全
h λ= = p
hc E + 2 E k E0
2 k
=
hc e U + 2eUme c
2 2 2
若电子加速后速度远小于光速，则：
p2 Ek = eU = 2me
1.225 U =k 2d sin ϕ
k = 1,2,3L
（3）实验结果：
《大学物理》
教师：
胡炳全
2、汤姆孙实验：
大学物理15 量子物理基础1
m
o
0.1A
(2) 若使其质量为m=0.1g的小球以与粒子相同的 速率运动,求其波长
若 m=0.1g 的小球速率 vm v
vm
v
q BR m
则 ：m
h m vm
h m
1 v
h m
m q BR
h q BR
m m
6.64 10 27 0.1 10 3
6.641034
m
px x h
考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，
运动,则其波长为多少? (粒子质量为ma =6.64ⅹ10-27kg)(05.08…)
解:
(1)
求粒子德布罗意波长 h h
p m v
先求：m v ?
而：q vB
m
v2 R
m v q BR
h m v
h q BR
6.63 10 34 1.601019 0.025 0.083102
1.001011
( x,t ) 0 区别于经典波动
(
x,
t)
e i 2
0
(t x
)
自由粒子沿x方向运动时对应的单色平面波波函数
设运动的实物粒子的能量为E、动量为 p，与之相 关联的频率为 、波长为，将德布罗意关系式代入：
考虑到自由粒子沿三维方向的传播
式中的 、E 和 p 体现了微观粒子的波粒二象性
2、概率密度——波函数的统计解释 根据玻恩对德布罗意波的统计解释，物质波波
p mv h
德布罗意公式(或假设)
与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波)
h h h
p mv m0v
1
v2 c2
如果v c,则 h
m0v
6德布罗意波实物粒子的波粒二象性
U = 54 V ,θ = 50 °
电子枪
U
电流有一峰值， 电流有一峰值，此实 验验证了电子具有波 动性， 动性， 探测电流也不是正比 于U。 。 50 °
54 V
镍单晶
KD探测器B Nhomakorabea电子束
θ
G
U
§6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / 二、德波的验证 德布罗意波实物粒子的波粒二象性
§6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性 德布罗意波实物粒子的波粒二象性
一、德布罗意物质波假设 1. 物质波假设 一切实物粒子都有具有波粒二象性。 一切实物粒子都有具有波粒二象性。 德布罗意将光的波粒二 象性应用到实物粒子， 象性应用到实物粒子，提出 物质波的概念。 物质波的概念。这种波不是 电磁波、机械波， 电磁波、机械波，是对微观 粒子运动的统计描述。 粒子运动的统计描述。1929 年获诺贝尔物理学奖。 年获诺贝尔物理学奖。
§6.德布罗意波实物粒子的波粒二象性 / 一、物质波假设 德布罗意波实物粒子的波粒二象性
例：电子静止质量 m0=9.1×10−31Kg，以 ， v=6.0×106m/s 速度运动。质量 m= 50Kg的 速度运动。 × 的 的速度运动， 人，以 v=15 m/s 的速度运动，试比较电子 与人的德波波长。 与人的德波波长。 h 解：电子 λ = m ev −34 6 . 63 × 10 −10 = m −31 6 = 1 . 2 × 10 9 . 1 × 10 × 6 × 10 −34 6 . 63 × 10 −37 人 λ= = 8 . 8 × 10 m 50 × 15
电子的德波波长很短， 电子的德波波长很短，用电子显微镜衍射 效应小，可放大200万倍。 万倍。 效应小，可放大 万倍
大学物理(15.5.2)--德布罗意波实物粒子的波粒二象性
第十五单元 量子物理第十五单元 量子物理Quantum PhysicsQuantum Physics第五讲 德布罗意波实物粒子的波粒二象性1923年, 提出电子既具有粒子性又具有波动性, 1924年在他的博士论文《关于量子理论的研究》中提出把粒子性和波动性统一起来。
为量子力学的建立提供了物理基础。
他的论述被爱因斯坦誉为 “揭开了巨大面罩的一角”。
德布罗意为此获得1929年诺贝尔物理学奖。
一、背景1、Planck-Einstein光量子理论量子理论是首先在黑体辐射问题上突破的，Planck提出了能量子的概念；Einstein利用能量子假设提出了光量子的概念，从而解决了光电效应的问题；光量子概念在Compton散射实验中得到了直接的验证。
2、Bohr的量子论Bohr把Planck-Einstein的量子概念创造性的用来解决原子结构和原子光谱的问题，成功地解释了氢原子光谱。
“同我(Louis Victor de Broglie)哥哥进行的这些长期讨论……对我非常有益，这些讨论使我深深考虑将波的观点和粒子的观点必须综合在一起的必要性。
”光的本性：（1905年，爱因斯坦）光同时具有波动性和粒子性，波粒二象性的联系：νεh =λh p = 波长、频率是描写波动性的物理量，而动量、能量是描写粒子性的物理量。
光的波动性和粒子性是通过普朗克常数联系在一起的。
●很早认识到光的波动性；●直到1905年认识到光的粒子性。
光： 物理学家十分看重自然界的和谐和对称，运用对称性思想研究性问题，发现新规律以至于在科学上取得突破性成就，在物理学史上屡见不鲜。
问题： 实物粒子：●实物粒子是否也有波动性？●很早认识到实物粒子的粒子性；（经典物理）“整个世纪以来，在辐射理论上，比起波动的研究方法来，是过于忽略了粒子的研究方法；在实物理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们关于‘粒子’的图像想得太多，而过分地忽略了波的图像呢？”“我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我1923我我我—我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我我”这种和实物粒子相联系的波称为德布罗意波或物质波(matter wave ) ， 1924年 ，青年博士研究生德布罗意 ，在Planck-Einstein 光量子论和Bohr 原子论的启发下，仔细分析了光的微粒说与波动说的发展历史，根据类比的方法，德布罗意假设：不仅光具有波粒二象性，一切实物粒子(电子、原子、分子等)也都具有波粒二象性; 具有确定动量 P 和确定能量 E 的实物粒子相当于频率为ν和波长为λ的波，满足：hνmc E ==2λh m p ==v P Eλνh爱因斯坦的支持 :德布罗意的物质波开始并没有受到物理学界的重视，他的导师朗之万将论文寄给了爱因斯坦。
实物粒子的波粒二象性(2020-6-10)
A.物质波属于机械波 B.只有像电子、质子、中子这样的微观粒子才具有波动性 C.德布罗意认为任何一个运动的物体，小到电子、质子、 中子，大到行星、太阳都有一种波与之相对应，这种波叫 物质波 D.宏观物体运动时，看不到它的衍射和干涉现象，所以宏 观物体运动时不具有波动性
例：要观察纳米级以下的微小结构，需要利用分辨率比 光学显微镜更高的电子显微镜.有关电子显微镜的下列
A 说法正确的是( )
A.它是利用了电子物质波的波长比可见光短，因此不容 易发生明显衍射
B.它是利用了电子物质波的波长比可见光长，因此不容 易发生明显衍射
C.它是利用了电子物质波的波长比可见光短，因此更容 易发生明显衍射
例：(物质波的理解与计算)如果一个中子和一个质量为 10 g的子弹都以103 m/s的速度运动，则它们的德布罗 意波的波长分别是多大？(中子的质量为1.67×10－27kg， 普朗克常量为6.63×10－34 J·s，结果保留三位有效数字)
解析：中子的动量为p1＝m1v 子弹的动量为p2＝m2v
由 λ＝hp知中子和子弹的德布罗意波长分别为 λ1＝ph1，λ2＝ph2
联立以上各式解得 λ1＝mh1v，λ2＝mh2v
λ1≈3.97×10－10 m，λ2＝6.63×10－35 m.
二、电子波动性的实验验证
1.实验探究思路：干涉 、衍射是波特有的现象，如果实 物粒子具有波动性，则在一定条件下，也应该发生干涉 或衍射现象. 2.实验验证：1926年戴维孙和他的合作者革末观察到了 电子衍射图样，首先证实了电子的波动性.
D.它是利用了电子物质波的波长比可见光长，因此更容 易发生明显衍射
电子显微镜：利用了电子的波动性。
物质波是一种概率波，粒子在空间各处出现的概 率受波动规律支配，不能以宏观观点中的波来理 解德布罗意波.
实物粒子的波粒二象性
二、德布罗意假设 、德布罗意波 1、德布罗意假设
德布罗意觉得自然界在很多方面是对称的，但整 个世纪以来，人们对光的研究是否过多地注意到 了它们的波动性；而对实物粒子（静止 质量不为 零的微观粒子及由它们组成的实物）的研究，又 是否把粒子的图象想得过多而忽略了它们的波的 图象呢！1922年他的这种思想进一步升华，经再 三思考，1924年，De Broglie在他的博士论文“量 子论研究”中，大胆地提出了如下假设： 不仅辐射具有二象性，而且一切实物粒子 也具有二象性。
粒子性 二者通过h来联系
h
波动性
a、在
2
时，考虑相对论
2
E mc m0c 2 h h h 1 v / c
h h p mv
1 v / c
h m0
2
v
b、在
时
m0 c h
2
h h P m0 v
注意：对实物粒子，v是指粒子的速度（群速） 故不存在v=的关系。 3、电子的德布罗意波长 加速电势差为 U，则
波动性--它能在空间表现出干涉、衍射等波动现 象，具有一定的波长、频率。 粒子性--是指它具有集中的不可分割的性质。一
E
颗光子就是集中的不可分割的一颗，它具有能 量（ ）、动量与质量。
X
波动
u
Z
Y
H 如此截然不同的图象却集中于一体， ---世界真奇妙 很难想象！
光子
光的波粒二象性引起了法国Lous De Broglie的思考
xPx / 2
2、能量与时间不确定关系 设有一个速度为v，质量为m的粒子，其能量
考虑到E的增量：
即： Et 2
能量与时间不确定关系式
高中物理 第四章 波粒二象性 4、5 实物粒子的波粒二象性 不确定关系教案 教科版选修3-5-教科版
4 实物粒子的波粒二象性5 不确定关系一、德布罗意物质波 1．粒子的波动性(1)德布罗意波：任何运动着的物体，小到电子、质子，大到行星、太阳，都有一种波与它相对应，这种波叫物质波，又叫德布罗意波．(2)德布罗意波波长、频率的计算公式为λ＝h p ，ν＝E h.(3)我们之所以看不到宏观物体的波动性，是因为宏观物体的动量太大，德布罗意波长太小的缘故．2．电子波动性的实验验证(1)实验探究思路：干涉、衍射是波特有的现象，如果实物粒子具有波动性，则在一定条件下，也应该发生干涉或衍射现象．(2)实验验证：1926年戴维孙观察到了电子衍射图样，1927年汤姆孙得到了电子的衍射图样，证实了电子的波动性．(3)说明①人们陆续证实了质子、中子以及原子、分子的波动性，对于这些粒子，德布罗意给出的ν＝E h 和λ＝h p关系同样正确．②德布罗意波也是一种概率波．德布罗意认为任何运动着的物体均有波动性，可是我们观察运动着的汽车(如图所示)，并未感到它的波动性．你如何理解该问题？请与同学交流自己的看法．提示：一切微观粒子都存在波动性，宏观物体(汽车)也存在波动性，只是因为宏观物体质量大、动量大、波长短，难以观测．二、氢原子中的电子云1．定义用点的多少表示的电子出现的概率分布．2．电子的分布某一空间X围内电子出现概率大的地方点多，电子出现概率小的地方点少．电子云反映了原子核外的电子位置的不确定性，说明电子对应的波也是一种概率波．三、不确定关系1．定义在经典物理学中，可以同时用质点的位置和动量精确描述它的运动，在微观物理学中，要同时测出微观粒子的位置和动量是不太可能的．2．微观粒子运动的位置不确定量Δx和动量的不确定量Δp x的关系式Δx·Δp x≥h4π，其中h是普朗克常量，这个关系式叫不确定关系．3．不确定关系告诉我们，如果要更准确地确定粒子的位置(即Δx更小)，那么动量的测量一定会更不准确(即Δp x更大)，也就是说，不可能同时准确地知道粒子的位置和动量，也不可能用“轨迹”来描述粒子的运动．单个粒子的运动情况可否预知？粒子出现的位置是否无规律可循？提示：由不确定性关系可知，我们不能准确预知单个粒子的实际运动情况，但粒子出现的位置也并不是无规律可循，我们可以根据统计规律知道粒子在某点出现的概率．考点一对德布罗意波的理解1．物质的分类：物理学中把物质分为两类，一类是分子、原子、电子、质子及由这些粒子组成的物质；另一类是场，像电场、磁场、电磁场这种看不见的，不是由实物粒子组成的，而是一种客观存在的特殊物质．2．任何物体，小到电子、质子，大到行星、太阳都存在波动性，我们之所以观察不到宏观物体的波动性，是因为宏观物体对应的波长太小的缘故．3．德布罗意波是一种概率波，粒子在空间各处出现的概率受波动规律支配，不要以宏观观点中的波来理解德布罗意波．4．德布罗意假说是光子的波粒二象性的一种推广，使之包括了所有的物质粒子，即光子与实物粒子都具有粒子性，又都具有波动性，与光子对应的波是电磁波，与实物粒子对应的波是物质波．5．对于光，先有波动性(即ν和λ)，再在量子理论中引入光子的能量ε和动量p来补充它的粒子性．反之，对于实物粒子，则先有粒子概念(即ε和p)，再引入德布罗意波(即ν和λ)的概念来补充它的波动性．不过要注意这里所谓波动性和粒子性，仍然都是经典物理学的概念，所谓补充仅是形式上的．综上所述，德布罗意的推想基本上是爱因斯坦1905年关于光子的波粒二象性理论(光粒子由波伴随着)的一种推广，使之包括了所有的物质微观粒子．【例1】某某综合新闻网2010年8月21日报道：近日，一种发源于南亚没有抗生素可以抵御的“超级细菌”成为社会关注的热点．假若一个细菌在培养器皿中的移动速度为3.5μm/s，其德布罗意波长为1.9×10－19m ，试求该细菌的质量．【解析】 由公式λ＝h p得该细菌的质量为m ＝p v ＝h vλ＝ 6.626×10－343.5×10－6×1.9×10－19kg ＝1.0×10－9kg. 【答案】 1.0×10－9kg德布罗意认为，任何一个运动着的物体，都有一种波与它对应，波长是λ＝h p，式中p 是运动物体的动量，h 是普朗克常量．已知某种紫光的波长是440 nm ，若将电子加速，使它的德布罗意波长是这种紫光波长的1104.求： (1)电子的动量大小；(2)试推导加速电压跟德布罗意波长的关系，并计算加速电压的大小(电子质量m ＝9.1×10－31kg ，电子电荷量e ＝1.6×10－19C ，普朗克常量h ＝6.6×10－34J·s，加速电压的计算结果取1位有效数字)．答案：(1)1.5×10－23kg·m/s(2)U ＝h 22emλ2 8×102V解析：(1)由λ＝h p得电子的动量大小p ＝h λ＝ 6.6×10－34440×10－9×10－4kg·m/s ＝1.5×10－23kg·m/s(2)设加速电压为U ，由动能定理得eU ＝12mv 2而12mv 2＝p 22m ，所以U ＝p 22em ＝h 22emλ2 代入数据得加速电压的大小U ＝8×102V考点二 对不确定关系的理解在经典力学概念中，一个粒子的位置和动量是可以同时精确测定的．在量子理论发展后，揭示出要同时测出微观物体的位置和动量，其精确度是有一定限制的．由不确定性关系Δx Δp x ≥h4π可知，微观粒子的位置和动量是不能同时被确定的，这也就决定了不能用“轨道”的观点来描述粒子的运动，因为“轨道”对应的粒子某时刻应该有确定的位置和动量，但这是不符合实验规律的．微观粒子的运动状态，不能像宏观物体的运动那样通过确定的轨迹来描述，而是只能通过概率波进行统计性的描述．【例2】 已知h4π＝5.3×10－35J·s，试求下列情况中速度测定的不确定量，并根据计算结果，讨论在宏观和微观世界中进行测量的不同情况．(1)一个球的质量m ＝1.0 kg ，测定其位置的不确定量为10－6m. (2)电子的质量m e ＝9.0×10－31kg ，测定其位置的不确定量为10－10m(即原子的数量级)．根据不确定性关系Δx ·Δp x ≥h4π，先求动量的不确定性关系，再由Δp ＝m Δv ，计算速度测量的不确定性关系．【解析】 (1)m ＝1.0 kg ，Δx 1＝10－6m ， 由Δx Δp x ≥h4π，Δp ＝m Δv 知Δv 1≥h4πΔx 1m ＝5.3×10－3510－6×1.0 m/s ＝5.3×10－29m/s.(2)m e ＝9.0×10－31kg ，Δx 2＝10－10mΔv 2≥h4πΔx 2m e ＝ 5.3×10－3510－10×9.0×10－31 m/s ＝5.89×105m/s.在宏观世界中物体的质量与微观世界中粒子的质量相比较，相差很多倍．根据计算的数据可以看出，宏观世界中物体的质量较大，位置和速度的不确定量较小，可同时精确地测出物体的位置和动量．在微观世界中，粒子的质量较小，不能同时精确地测出粒子的位置和动量，不能准确地把握粒子的运动状态．【答案】 见解析总结提能 ①不确定性关系不是说微观粒子的坐标测不准，也不是说微观粒子的动量测不准，更不是说微观粒子的坐标和动量都测不准，而是说微观粒子的坐标和动量不能同时测准．②普朗克常量是不确定性关系中的重要角色，如果h 的值可忽略不计，这时物体的位置、动量可同时有确定的值，如果h 不能忽略，这时必须考虑微粒的波粒二象性．h 成为划分经典物理学和微观物理学的一个界线．(多选)关于不确定性关系Δx Δp x ≥h4π有以下几种理解，其中正确的是( CD )A ．微观粒子的动量不可能确定B ．微观粒子的坐标不可能确定C ．微观粒子的动量和坐标不可能同时确定D ．不确定性关系不仅适用于电子和光子等微观粒子，也适用于其他宏观粒子 解析：不确定性关系Δx Δp x ≥h4π表示确定位置、动量的精度互相制约，此消彼长，当粒子位置不确定性变小时，粒子动量的不确定性变大；粒子位置不确定性变大时，粒子动量的不确定性变小．故不能同时准确确定粒子的动量和坐标．不确定性关系也适用于其他宏观粒子，不过这些不确定量微乎其微．故C 、D 正确．重难疑点辨析运用不确定性关系解题的方法1．运用不确定性关系ΔxΔp x≥h4π时，应明确两点：(1)位置不确定量Δx，在单缝衍射中，Δx为狭缝的宽度，也可以是光子或电子偏离中心的距离．子弹射出枪口时，Δx为枪口的直径，也可以认为是子弹偏离中心的距离．电子在晶体中衍射时，Δx为晶体中原子间的距离，其单位必须化为国际单位米(m)，Δx同时也可以是粒子打在屏上偏离中心的距离．(2)动量的不确定量Δp x：①对宏观的运动物体，Δp x＝mΔv，其中Δv为子弹射出枪口时横向速度的确定量，而m为物体的质量，单位应统一为国际单位．②对微观粒子如光子，Δp x＝hλ.2．使用ΔxΔp x≥h4π可以求Δx≥h4πΔp x①Δp x≥h4πΔx②Δv≥h4πmΔx③由③式可知，在单缝衍射中狭缝越窄，即Δx越小，粒子通过狭缝时横向速度的不确定量Δv越大，反之当Δp x＝mΔv或Δp x＝hλ越大时，Δx越小而横向位置的不确定量越小．【典例】已知h4π＝5.3×10－35J·s，试求下列两种情况中位置的不确定量．(1)一电子具有200 m/s的速率，动量的不确定X围为0.01%.(2)一颗质量为10 g的子弹，具有200 m/s的速率，动量的不确定量为0.01%. 【解析】(1)电子的动量为p＝mv＝9.1×10－31kg×200 m·s－1＝1.8×10－28kg·m·s－1.动量的不确定X围为Δp x ＝0.01%p ＝1.0×10－4×1.8×10－28kg·m·s －1＝1.8×10－32kg·m·s －1，由不确定性关系式Δx Δp x ≥h4π，得电子位置的不确定X 围为Δx ≥h4πΔp x，所以Δx ≥5.3×10－351.8×10－32 m ＝2.9×10－3m. (2)子弹的动量为p ＝mv ＝10×10－3 kg×200 m·s －1＝2 kg·m·s －1动量的不确定X 围为Δp x ＝0.01%p ＝1.0×10－4×2 kg·m·s －1＝2×10－4kg·m·s －1， 由不确定性关系式Δx Δp x ≥h4π，得子弹位置的不确定X 围为Δx ≥h4πΔp x，所以Δx ≥5.3×10－352×10－4 m ＝2.65×10－31m. 【答案】 (1)大于或等于2.9×10－3m (2)大于或等于2.65×10－31m宏观世界中的物体质量比微观世界中的物质(粒子)质量大许多倍，正是因为宏观物体质量较大，其位置和速度的不确定量极小，通常不计，可以认为其位置和速度(动量)可精确测定；而微观粒子由于其质量极小，其位置和动量的不确定性特明显，不可忽略，故不能准确把握粒子的运动状态.1．(多选)在用单缝衍射实验验证光的波粒二象性实验中，下列说法正确的是( AD ) A ．使光子一个一个地通过狭缝，如果时间足够长，底片上将会显示衍射图样 B ．单个光子通过狭缝后，底片上会出现完整的衍射图样 C ．光子通过狭缝的运动轨迹是直线 D ．光的波动性是大量光子运动的规律2．下列说法正确的是( B ) A ．概率波就是机械波 B ．物质波是一种概率波C ．概率波和机械波的本质是一样的，都能发生干涉和衍射现象D ．在光的双缝干涉实验中，若有一个光子，则能确定这个光子落在哪个点上 解析：概率波与机械波是两个概念，本质不同；物质波是一种概率波，符合概率波的特点；光的双缝干涉实验中，若有一个光子，这个光子的落点是不确定的，但有几率较大的位置．3．(多选)在光的双缝干涉实验中，在光屏上放上照相底片并设法减弱光子流的强度，尽可能使光子一个一个地通过狭缝，在曝光时间不长和曝光时间足够长的两种情况下，其实验结果是( ABC )A ．若曝光时间不长，则底片上出现一些无规则的点B ．若曝光时间足够长，则底片上出现干涉条纹C ．这一实验结果证明了光具有波动性D ．这一实验结果否定了光具有粒子性解析：实验表明，大量光子的行为表现为波动性，个别光子的行为表现为粒子性．上述实验表明光具有波粒二象性，故A 、B 、C 正确，D 错误．4．(多选)关于光的波动性与粒子性，下列说法正确的是( ABCD )A ．大量光子的行为能明显地表现出波动性，而个别光子的行为往往表现出粒子性B ．频率越低、波长越长的光子波动性明显，而频率越高、波长越短的光子粒子性明显C ．光在传播时往往表现出波动性，而光在与物质相互作用时往往显示出粒子性D ．光子的能量是与频率成正比的，这说明了光的波动性与光的粒子性是统一的 5．一辆摩托车以20 m/s 的速度向墙冲去，车身和人共重100 kg ，则车撞墙时的不确定X 围是Δx ≥2.64×10－38_m.解析：根据不确定关系Δx Δp x ≥h4π得：Δx ≥h4πΔp x ＝ 6.63×10－344×3.14×100×20 m ＝2.64×10－38m.。
实物粒子的波粒二象性
粒子性：主要是指它具有集中的不可分割的特性。
波动性：是指周斯性地传播、运动着的场。它能在空间 表现出干涉、衍射等波动现象，具有一定的波长、频率。
实物粒子的波称为德布罗意波或物质波，物质波的 波长称为德布罗意波长。
2.德布罗意关系式
得： P 1 c2 E 0E k E k 2 1 cE k 2 2 E km 0 c 2
代入德布罗意公式 h ，有：
hc
P
Ek2 2Ekm0c2
若：Ek m0c2则：
hc 2Ekm0c2
h 2m0Ek
若：Ek m0c2则：
hc hc Ek 2 Ek
4
（1）当EK=100eV时，电子静能E0=m0c2=0.51MeV，有：
• •
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高压
屏P
森共获 1937 年诺贝尔物理
学奖。
动画
此后，人们相继证实了原子、分子、中子等都具有波动性。
12
3.量子围栏(Quantum Corral)中的驻波
德布罗意波实物粒子的二象性
统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在 该处邻近出现的概率成正比的 .
概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不 可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的 概率 .
K 检测器
电子束
G
散
M
射
线
电子被镍晶体衍射实验
35
54
75 U / V
当散射角 50 时
电流与加速电压曲线
两相邻晶面电子束反射射线干涉加强条件
d
2
. . . . . . .2 .
. . 2. . . . . .
2d sin cos k
22
d sin k k 1, 50
........
解 两端固定的弦，
若其长度等于波长则可形
成稳定的驻波.
将弦弯曲成圆时
2π r
2π r n n 1,2,3,4,
电子绕核运动其德布罗意波长为
h
2π rmv nh
mv
角动量量子化条件
L mvr n h
2π
二 德布罗意波的实验证明
1 戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年）
U
电子枪
I
50
均平动动能可表示为
T 298K
平均平动动能
3 kT 3.85102 eV
2
mn 1.67 1027 kg
p 2mn 4.541024 kg ms1
慢中子的德布罗意波长
h 0.146nm
p
四 德布罗意波的统计解释
经典粒子 不被分割的整体，有确定位置和运动 轨道 ；经典的波 某种实际的物理量的空间分布作周 期性的变化，波具有相干叠加性 . 二象性 要求将 波和粒子两种对立的属性统一到同一物体上 .
量子学19章1-4节详解
4. 波函数统计诠释涉及对世界本质的认识 在已知的给定条件下，不可能精确地预知结果， 在已知的给定条件下，不可能精确地预知结果， 只能预言某些可能的结果的概率。 只能预言某些可能的结果的概率。 和经典物理的严格因果律直接矛盾，至今争论未息。 和经典物理的严格因果律直接矛盾，至今争论未息。 哥本哈根学派 VS 爱因斯坦 狄拉克
i − ( Et − p ⋅ r ℏ
二.波函数的物理意义 与光波类比， 与光波类比，波函数的强度为
Ψ = ΨΨ
2
*
Ψ* ----Ψ的共轭复数 ----Ψ 由玻恩的概率波概念， 由玻恩的概率波概念，粒子出现在 体积元dV内的概率为 体积元 内的概率为
dw = Ψ dV 2 ----概率密度 ∴ Ψ = dw dV ----概率密度
i − ( Et − px ) ℏ
∂Ψ p ∴ 2 =− 2 Ψ ∂x ℏ
2 2
ℏ ∂Ψ p − = Ψ 2 2m ∂x 2m
2 2 2
∂Ψ i ∂Ψ = − EΨ 又 iℏ = EΨ ∂t ℏ ∂t 2 p ∵E = （非相对论情况下） 2m 2 2 ℏ ∂ Ψ ∂Ψ ∴− = iℏ 2 2m ∂x ∂t
第19章 19章
§19.1
量子力学基础
实物粒子的波粒二象性 实物粒子的波粒二象性
实物粒子的波粒二象性 粒子的波粒二象性） 一.德布罗意波（实物粒子的波粒二象性）
1924年法国年轻的博士德布罗意提 1924年法国年轻的博士德布罗意提 出设想： 出设想：实物粒子与光一样也具有 波粒二象性 2 类比： E = mc = hν 类比：
电子束
电子束
P1
P12
P2
Ψ12 = Ψ1 + Ψ2
波粒二象性
氢原子从基态变
成电离态所需的氢 原子的电离能为：
4 n=3
激 发 态
-3.39
n=2
氢原子能级图
E电离 E E1
13.6eV
-13.6
n=1
基态
En 0 -0.85 -1.51
eV
氢原子光谱中的不同谱线 连续区
40.50
18.75
n =3
-3.39
1215.68 1025.83 972.54
此波长的数量级与 X 射线波长的数量 级相当.
0
12.2 0 A U
1937诺贝尔物理学奖
C.J.戴维孙
通过实验
发现晶体对 电子的衍射 作用
二、电子衍射实验（物质波的实验验证）
1927年戴维孙（C.J.Davisson）和革末 （L.H.Germer）用加速后的电子投射到晶体上进行 电子衍射实验。
2. 频率假设——原子从一个定态跃迁到另一定 态时，将辐射电磁波，电磁波的频率由下式决定:
h k n = En ν
时，角动量只能取分立值： L
Ek
3. 角动量量子化假设——电子作圆轨道运动
其中n为正整数，称为量子数。
n h = 2π
三、氢原子轨道半径和能量的计算 由牛顿定律: 2 2 e v 2 = m r π ε
所以宏观粒子坐标及动量可以同时确定。
px x h
[例2]一电子以速度
0
x 1.0 106 m s 1
的速度穿过晶体。 晶格常数
x d 1 A
由测不准原理
d
(m x ) x
34
10 31 m s 1 ( x ) m x 10 10 10
德布罗意波 实物粒子的波粒二象性
·4 ·
Chapter 17. 量子物理
§17. 3 德布罗意波 实物粒子的波粒二象性
例 估算动能为200eV的电子束的德布罗意波波长。
分析：Ek mc 2 m0c2 m0c2( 1)
1 Ek m0c2
若
Ek
E0
m0c2，
1
,
v c , m m0 , Ek
1 2
m0
v
2
解 由于 Ek<<moc2 = 0.512MeV, 则 v 2Ek 8.4106 m / s mo
镍单晶
即：当加速电压U=55.587V 时，集电器中的电流应
出现一次最大值！
·13 ·
Chapter 17. 量子物理
§17. 3 德布罗意波 实物粒子的波粒二象性
实验中发现 U=54 V 时，电 流达到最大值!
实验值与理论值接近！
电
U
子
K枪
D
电子束
集电器
B
G
镍单晶
·14 ·
Chapter 17. 量子物理
h 8.67 102 nm
mo v
·5 ·
Chapter 17. 量子物理
§17. 3 德布罗意波 实物粒子的波粒二象性
例 估算一颗质量为40g，速度为1000m/s的子弹的德布 罗意波波长。
解 子弹运动的速度远小于光速，其动量为：
p mov 40kg m / s
h 1.661026 m
Chapter 17. 量子物理
§17. 3 德布罗意波 实物粒子的波粒二象性
§17.3 德布罗意波 实物粒子的波粒二象性
·1 ·
Chapter 17. 量子物理
§17. 3 德布罗意波 实物粒子的波粒二象性
大学物理(下册) 14.5 德布罗意波 不确定关系
解：分析 首先求得加速后电子的速率，再由德布 罗意关系求得德布罗意波长。经过加速后，电子的 动能、速率及波长分别为：
1 m0υ2 eU υ 2 2eU m0
h h 1 12.25 10 10 λ 10 110 m m0υ 2m0e U U
注意：此波长数量级与 X 射线波长的数量级相当！ 子弹的德布罗意波长：
例题 14.5.2 由玻尔理论计算得到，氢原子中电子 的运动速率为 2.2 106 m s 1 ,若其不确定范围 为1.0% ，试求电子位置的变化范围。 解：分析 由不确定关系可解：
Δx 2Δp 2me υ
1.05 1034 9 2.6 10 m 31 6 2 9.1110 2.2 10 0.01
a.此值已超出原子线度 1010 m ； b.就原子中的电子而言，其具有确定的位置同时 又具有确定的速率无意义，由于微观粒子的波动性， 核外电子轨道的概念也无意义！
结论：对于具有波粒二象性的微观粒子，不可能再 用坐标、动量描述其运动状态。但若粒子坐标和动 量的不确定量相对较小，说明粒子的波动性不显 著，则仍可应用经典力学处理。不确定关系是量子 力学的基础。
海森伯(W.K.Heisenberg， 1901—1976）：德国理论物理 学家，1927年提出“不确定关 系”，为核物理学和粒子物理 学准备了理论基础，为量子力 学的创立作出了贡献，于1932 年获得诺贝尔物理学奖。
德布罗意（1892 —1987）： 法国 物理学家，1924年他在博士论文 《关于量子理论的研究》中提出把 粒子性和波动性统一起来。5年后 为此获得诺贝尔物理学奖，爱因斯 坦誉之为“揭开一幅大幕的一角”， 为量子力学的建立提供了物理基础.
例题 14.5.1 不考虑相对论效应的前提下，试计算 经过电势差 U 150V 加速后电子的德布罗意波长。
德布罗意波实物粒子的波粒二象性
RH 1.0973731534107 m1 里德伯表达式 ：
~
RH
1 m2
1 n2
T (m) T (n)
(n > m)
光谱项：
T (n)
R n2
结论：谱线的波数可以表示为两个光谱项之差。
Chapter 15. 量子物理 §15. 5德布罗意波 实物粒子的波粒二象性
h h , m0c2
p mov
h
试估算：对一般低速粒子而言, ,
Chapter 15. 量子物理 §15. 5德布罗意波 实物粒子的波粒二象性
例 估算动能为200eV的电子束的德布罗意波波长。
分析：Ek mc 2 m0c2 m0c2( 1)
1 Ek m0c2
波动性
光
粒子性
粒子性
实物 粒子
波动性
( Louis Victor de Broglie，1892 -1987, 法国物理学 家。因提出的物质波假设，开创了量子物理，为人类研究微观领域 内物体运动的基本规律指明了方向，获1929年诺贝尔物理学奖 )
Chapter 15. 量子物理 §15. 5德布罗意波 实物粒子的波粒二象性
1
1
1.097
107
1 12
1 32
0.975 107
1 1.025107 m
1
2
1.097
107
1 12
1 22
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即加速电压满足此式时，电 子流强度I 有极大值，由此计 算所得加速电势差U的各个量 值和实验相符，因而证实了德 布罗意的假设的正确性。
戴维逊发现电子 在晶体中的衍射现 象,荣获1937年诺贝 尔物理学奖.
C.J.Davison
太原理工大学物理系
2. G. P.汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 )
太原理工大学物理系
05年ZP39,9 （库）
例8 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，则
粒子物质波的波长与速度v有如下关系：
(A)
பைடு நூலகம்
(B)
(C)
(D)
解：
(C) [思考] 若作低速运动，则 与v的关系？
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二、实物粒子波动性的验证
P220倒数第2段
实物粒子的波动性，当时是作为一个假设提出来的， 直到1927年戴维孙和革末用电子衍射实验证实了德布 罗意假设。
h h h
P mv 2mEk
m m0 1 v2 /
1 mv2 p2
2
2m
P220，表下面起
c
2
b)电子由静止经电压U加速，当电子速度不太大时，
1 mv2 eU 2
h h h h 1.22 nm
P mv 2mEk 2meU U
太原理工大学物理系
（题库）
例1 设电子在电场中由静止加速,经过电压U加速
h
2
1.0545881034 J s
德布罗意因这一开创性工作获1929年诺贝尔物理学奖。
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说明：1）与实物粒子相联系的波，称为德布罗意波
（物质波）；其波长称为德布罗意波长。 P219，17.2a下第2行
2) 德布罗意波长
h h
P mv
讨论：a)对非相对论粒子(v<<c），Ek
k
3 kT 2
1 mv2 2
h
h
0
1.46 A
mv 3mkT
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ZP33,32B
（库）
例7 当电子的德布罗意波长与可见光波长
o
（λ=5500 A)相同时，求它的动能是多少电子伏特？
解
p2
Ek 2me
h2
5.0 106 eV
2me
作业ZP44,6，
ZP43-44,1-6 ZP38,1-7
后获得动能，若不考虑相对论效应，电子的德布
罗意波长为多少？ 解：若不考虑相对论效应，有
由德布罗意公式，可得
1 mv2 eU 2
h h h 1.22 nm
p mv 2meU U
若U 150 V, 0.1nm U 1.5104V, 0.01nm
应用：电子显微 镜（波长10-2～ 10-3nm).
指静止质量不为零的粒子。如：电子、质子、介子、中子、分子、原子等。
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• 德布罗意关系式 一个能量为E ，动量为p 的实物粒子，相当于
一频率 和波长 的平面波，它们之间的关系为：
E h
或
pr
h
nr0
r hk
r 式中， 2 角频率； n0 为粒子运动方向的单位矢量
r k
2
r n0 波矢量；
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例4ZP29,8
例4 若粒子（电量为2e)在磁感应强度为B的均匀
磁场中沿半径为R的圆形轨道运动，则粒子的德布
罗意波长是
(A) h/2eRB
(B) h/eRB
(C) 1/2eRBh
(D) 1/eRBh
解：圆周运动：
德布罗意波长
(A)
[思考] 若考虑相对论效应，结果？ 太原理工大学物理系
若动能相同，则 pp:p= ? p : =? 太原理工大学物理系
例6 ZP32,30
（库）
例6 已知中子的质量 m=1.67×10-27㎏，当中子的
动能等于温度为T=300K的热平衡中子气体的平
均动能时，其德布罗意波长为多少？
解 : 热中子是指在室温下(T=300K)与周围处于热 平衡的中子,它的平均动能：
例3 乒乓球的质量为2.0g, 速度为5m/s, 求：德布罗 意波长 ？
解 p mv
由德布罗意公式
h m0v
6.63 1034 2.0 103 5
=6.631032 m 6.631023 nm
指出：因为普朗克常量h 极小，所以宏观物体相应 的物质波波长太短,在通常情况下不会显示其波动性， 这也是物质波存在，而长期未被发现的原因。（自 由粒子的德布罗意波长P220表17—1）
（库）
例5 低速运动的质子和粒子, 若它们的德布罗意
波长相同, 则它们的动量之比pp:p=
比Ekp:Ek=
.
解： ⑴ 由德布罗意波长 =h/p
;动能之
因 p= ，则得到 pp:p = 1:1
⑵在粒子运动速度不太大时，Ek
p2 2m
由上面计算 pp= p ，所以 Ekp:Ek= m:mp=4:1
[思考]
3)实验原理 我们知道，X射线在晶体体上反射加强时，有下列规 律，即布拉格公式
2d sin k
（k =1,2,…）
只有当两相邻晶面电子束反射线之间的波程差
2d sin k 时,才出现衍射极大.
电子经加速电势差为U的电场加速后，在非相
对论下有
1.22 nm
U
代入布拉格公式得出：
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太原理工大学物理系
（库）
ZP例392,7电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U
o
的静电场加速后，其德布罗意波长是0.4 A,则U约为
(A) 150V (B) 330V (C) 630V (D) 940V
解 1.22 nm
U
U
1.22
10
2
V=930.25V
940V
选(D) 940V
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1.戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年）
实验研究了慢电子在单晶体上反射时产生的电
子衍射现象.
1）实验装置
D
法线
B
G
K
M
U
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2）实验结果
I与U的关系如图所示，可知， 单U调增加时，I 不是单调变化而是有一系列极大值，这说明电子
从晶体上沿 角方向反射时，对电压U的值有选择
性，即遵守反射定律的电子对电压有选择性。 太原理工大学物理系
实验研究了高速运动的电子束穿过晶体后产 生的衍射现象.
D
P
K
U
M
电子束透过多晶铝箔的衍射
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电子的衍射图样与X射线衍射结果非常相似。
电子束晶体（铝箔） X射线晶体（铝箔）
§17-1 实物粒子的波粒二象性 德布罗意波
• 自然界在许多方面都是明显对称的。
• 既然光具有波粒二象性，那么实物粒子，如电子， 是否也具有波粒二象性？
1924年，德布罗意大胆地提出实物粒子也具有
波粒二象性。
一、物质波假说
P219，第1段倒数1，2行，式 17.1a 17.1b
• 物质波假说：实物粒子具有波动性.