三角形重心的应用

三角形重心的应用

南昌县渡头中学邓淑刚

教学目的：1、了解三角形重心的概念，掌握重心的性质并能加以应用。

2、了解并掌握“一题多解法”证明思路。

教学重、难点：三角形重心的性质及其应用。

教学过程：

一、三角形重心性质定理

课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）

在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？

（提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND）

分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。

证法1：（根据课本上的提示证明）

取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。（如图1）

∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=1

2AB

又ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE=1

2AB

∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形∴GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD

同理可证：CG=2GF，BG=2GE

点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。

证法2：延长BE至F，使GF=GB，连接FC。

∵G是BF的中点，D是BC的中点

∴GD是△BFC的中位线，GD∥FC，GD=1

2FC

由GD∥FC，AE=CE，易证△AEG≌△CEF

∴AG=FC，即GD=1

2AG

点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。

证法3：取EC中点M，连DM，利用平行线分线段成比例及E是AC中点可证得相同的结论。（证明过程略）

二、三角形重心性质定理的应用

⑴求线段长

例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G 是Rt△ABC的重心，GE⊥AC于点E，若BC=6cm，则GE= cm。

解：Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6 ∴AB=BC=12，

D是斜边AB的中点，∴CD=1

2AB=6

G是Rt△ABC的重心，∴CG=23CD=4 由CD=AD，∠A=30°，∠GCE=30°

N

M

G

C

A B

G

B

C

A Rt △GCE 中，∠GCE=30°，CG=4，∴GE=12

CG=2（cm ）

⑵求面积

例2 在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点O ，若△BOD 的面积等于5，求△ABC 的面积。

解：∵O 是△ABC 的重心， ∴AO ∶OD=2∶1

∴S △AOB ∶S △BOD =2∶1 即S △AOB =2 S △BOD =10 ∴S △ABD = S △AOB + S △BOD =10+5=15 又AD 是△ABC 的中线 S △ABC =2 S △ABD =30 三、教学小结：由学生归纳总结

1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。

2、重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。 四、学生练习：

1、 已知，△ABC 中，∠C=900，G 是三角形的重心，，AB=8， 求：① GC 的长；

② 过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于M ，BC 于N ， 求MN 的长。

2、 已知，△ABC 中，G 是三角形的重心，AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长。