二次函数y=ax2bxca0
二次函数的特殊性质与公式解析与归纳
二次函数的特殊性质与公式解析与归纳二次函数是数学中的一种常见函数形式，由形如y = ax^2 + bx + c 的方程所表示。
在二次函数中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
本文将就二次函数的特殊性质进行探讨，并对其公式进行解析与归纳。
一、二次函数的图象特殊性质1. 对称轴：二次函数的图象总是关于一条垂直于x轴的直线对称。
这条直线称为二次函数的对称轴。
对称轴的方程可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)2. 零点：二次函数在坐标系中与x轴相交的点称为零点。
求二次函数的零点可以通过以下公式计算：x = (-b ± √(b^2-4ac)) / (2a)其中，b^2-4ac被称为判别式，当判别式大于0时，函数有两个不相等的零点；当判别式等于0时，函数有一个唯一的零点；当判别式小于0时，函数没有实数解。
3. 开口方向：二次函数的开口方向由二次项的系数a所决定。
当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
4. 最值点：二次函数的最值点就是函数的最大值或最小值点。
最值点的纵坐标称为二次函数的最值。
当二次函数的开口向上时，最值为最小值；当二次函数的开口向下时，最值为最大值。
最值点的横坐标可以通过对称轴的x坐标计算得出。
二、二次函数的公式解析与归纳1. 一次项系数的影响：在二次函数的标准形式y = ax^2 + bx + c中，一次项系数b确定了对称轴的位置。
当b>0时，对称轴向右平移；当b<0时，对称轴向左平移。
2. 二次项系数的影响：二次项系数a决定了二次函数的开口方向。
当|a|>1时，开口较为陡峭；当0<|a|<1时，开口较为平缓；当a=1时，开口最为平缓；当a=0时，函数退化为一次函数。
3. 常数项的影响：常数项c表示二次函数与y轴的交点，也即函数在x=0时的取值。
当c>0时，函数在原点下方与y轴相交；当c<0时，函数在原点上方与y轴相交。
九年级数学二次函数y=ax2bxc(a≠0)的图像与性质(知识讲解2)Word版含解析
专题2.13 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解2）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2．13 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（知识讲解2）类型六、两个二次函数图像的综合判断1．已知二次函数y ＝ax 2与y ＝﹣2x 2+c ．（1）随着系数a 和c 的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；（2）若这两个函数图象的形状相同，则a ＝ ；若抛物线y ＝ax 2沿y 轴向下平移2个单位就能与y ＝﹣2x 2+c 的图象完全重合，则c ＝ ；（3）二次函数y ＝﹣2x 2+c 中x 、y 的几组对应值如表：表中m 、n 、p 的大小关系为 （用“＜”连接）．2．如图，抛物线F ：2y ax bx c =++的顶点为P ，抛物线：与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B ．过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，平移抛物线F 使其经过点A 、D 得到抛物线F ′：2y a x b x c '''=++，抛物线F ′与x 轴的另一个交点为C ．（1）当a = 1，b =－2，c = 3时，求点C 的坐标(直接写出答案)；（2）若a 、b 、c 满足了22b ac =，⊥求b ：b ′的值；⊥探究四边形OABC 的形状，并说明理由．类型七、根据二次函数图象判断式的符号3．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经过点()1,2-和()1,0，且与y 轴相交于负半轴．第()1问：给出四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=．写出其中正确结论的序号（答对得3分，少选、错选均不得分）第 ()2问：给出四个结论：⊥abc ＜0；⊥2a +b ＞0；⊥a +c =1；⊥a ＞1．写出其中正确结论的序号．4．抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示：（1）判断a ，b ，c ，24b ac -的符号；（2）当OA OB =时，求a ，b ，c 满足的关系．5．已知抛物线2y ax bx c =++，如图所示，直线1x =-是其对称轴，()1确定a ，b ，c ，24b ac =-的符号；()2求证：0a b c -+>；()3当x 取何值时，0y >，当x 取何值时0y <．类型八、根据抛物线上的对称点求对称轴6．已知二次函数y=ax2+bx 的图象过点（6，0），（﹣2，8）．（1）求二次函数的关系式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标．7．已知二次函数2y x bx c =-++，函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如表：（1）写出二次函数图象的对称轴．（2）求二次函数的表达式．（3）当41x -<<-时，写出函数值y 的取值范围．8．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ．（1）二次函数图象的对称轴是直线x ＝ ；（2）当0≤x ≤3时，y 的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a ＜0，对于二次函数图象上的两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，请结合函数图象，直接写出t 的取值范围．9．如图，已知抛物线2142y x x =--+与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C.（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）若点E 与点C 关于抛物线的对称轴对称，求梯形AOCE 的面积.类型九、二次函数y=ax2 +bx+c (a≠0)的最值10．如图在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图像经过点()0,4A -、()2,0B 交反比例函数m y x=()0x >的图像于点()3,C a ，点P 在反比例函数的图像上，横坐标为n ()03n <<，//PQ y 轴交直线AB 于点Q ，D 是y 轴上任意一点，连接PD 、QD ．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求DPQ 面积的最大值．11．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3的图象经过点（1，﹣4）和（﹣1，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）x 在什么范围内，y 随x 增大而减小？该函数有最大值还是有最小值？求出这个最值．12．已知二次函数的图象经过三点（1,0)()3,0-，30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；(3)当x 为何值时，函数有最大值或最小值？最大值或最小值是多少？类型十、二次函数y=ax2 +bx+c (a≠0)图象中的将军饮马问题13．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A （1，0），B （﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上求出Q 点的坐标使得⊥QAC 的周长最小．14．如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于A （1，0），B （﹣4，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上求出Q 点的坐标使得⊥QAC 的周长最小．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线l 1：y ＝x 2+bx+c 过点C(0，﹣3)，且与抛物线l 2：y ＝﹣12x 2﹣32x+2的一个交点为A ，已知点A 的横坐标为2．点P 、Q 分别是抛物线l 1、抛物线l 2上的动点．（1）求抛物线l 1对应的函数表达式；（2）若点P 在点Q 下方，且PQ⊥y 轴，求PQ 长度的最大值；（3）若以点A 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点P 的坐标．16．如图，抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+分别相交于A 、B 两点，其中点A 在y 轴上，且此抛物线与x 轴的一个交点为()3,0C -．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使MBC ∆的周长最小，请求出这个周长的最小值． 类型十一、二次函数图象的平移17．已知：抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点B （﹣1，0）和点C （2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y 轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．18．已知抛物线212y x bx c =-++经过点（1，0），（0，32）． （1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线212y x bx c =-++可以由抛物线212y x =-怎样平移得到？请写出一种平移的方法．19．已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3．（1）直接写出函数图象的顶点坐标、与x 轴交点的坐标；（2）将图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得到新的函数图象，直接写出平移后的图象与y 轴交点的坐标．类型十二、二次函数综合20．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P 是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC +的值为最小的点P 坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E ，使四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E 坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索） 21．已知抛物线23y ax bx =++过()30A -,，()10B ,两点，交y 轴于点C ． （1）求该抛物线的表达式．（2）设P 是该抛物线上的动点，当PAB 的面积等于ABC 的面积时，求P 点的坐标．22．已知m,n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m<n，抛物线y=－x2+bx+c的图象经过点A(m,0)、B(0,n)．(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和⊥BCD的面积；(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把⊥PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P点的坐标．23．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C．（1）求A，B，C，D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积．参考答案：1．（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）±2，﹣2；（3）p＜m＜n 【分析】(1)根据二次函数的性质即可得到结论；(2)由函数图象的形状相同得到a=±2，根据上加下减的平移规律即可求得函数y =ax2-2，根据完全重合，得到c =-2．(3)由二次函数的解析式得到开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离即可判断．【详解】解：（1）二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化，但是对称轴、顶点坐标不会改变；二次函数y＝﹣2x2+c的图象随着c的变化，开口大小和开口方向都没有改变，对称轴也没有改变，但是，顶点坐标会发生改变；（2）⊥函数y＝ax2与函数y＝﹣2x2+c的形状相同，⊥a＝±2，⊥抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位得到y＝ax2﹣2，与y＝﹣2x2+c的图象完全重合，⊥c＝﹣2，故答案为：±2，﹣2．（3）由函数y＝﹣2x2+c可知，抛物线开口向下，对称轴为y轴，⊥1﹣0＜0﹣（﹣2）＜5﹣0，⊥p＜m＜n，故答案为：p＜m＜n．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．2．（1）C（3，0）；（2）⊥2：3；⊥矩形，理由见解析【分析】（1）由于抛物线F′由抛物线F平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a＝a′＝1；由于两条抛物线都与y轴交于A点，那么c＝c′＝3．然后可根据抛物线F的坐标求出其顶点坐标，即可得出D点的坐标，然后将D的坐标代入抛物线F′中，即可求出抛物线F′的解析式，进而可求出C点的坐标．（2）⊥与（1）的方法类似，在求出D的坐标后，将D的坐标代入抛物线F′中，即可得出关于b，b′的关系式即可得出b，b′的比例关系．⊥探究四边形OABC的形状，无非是平行四边形，菱形，矩形这几种．那么首先要证的是四边形OABC 是个平行四边形，已知了OA //BC ，只需看A ，B 的纵坐标是否相等，即OA 是否与BC 的长相等．根据抛物线F 的解析式可求出P 点的坐标，然后用待定系数法可求出OP 所在直线的解析式．进而可求出抛物线F 与直线OP 的交点B 的坐标，然后判断B 的纵坐标是否与A 点相同，如果相同，则四边形OABC 是矩形（⊥AOC ＝90°），如果B ，A 点的纵坐标不相等，那么四边形AOCB 是个直角梯形．【详解】解：（1） ⊥a = 1，b =－2，c = 3⊥223y x x =-+=()212x -+⊥P （1，2）⊥过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，⊥D （1，0）由于抛物线F ′由抛物线F 平移所得，开口方向和开口大小都无变化，因此a ＝a ′＝1；由于两条抛物线都与y 轴交于A 点，那么c ＝c ′＝3．⊥抛物线F ′：23y x b x '=++，代入D （1，0）得0=1+b ’+3解得b ’=-4⊥243y x x =-+=()()13x x --⊥点C 的坐标为（3，0）；（2）⊥抛物线2y ax bx c =++，令x =0，则y =c ，⊥A 点坐标（0，c ）．⊥22b ac =， ⊥244224442ac b ac ac ac c a a a --===， ⊥点P 的坐标为（2b a -，2c ）． ⊥PD ⊥x 轴于D ，⊥点D 的坐标为（2b a -，0）． 根据题意，得a =a ′，c = c ′，⊥抛物线F ′的解析式为2'y ax b x c =++．又⊥抛物线F ′经过点D （2b a-，0），⊥220()42b b a b c a a'=⨯+-+． ⊥2024b bb ac '=-+．又⊥22b ac =，⊥2032b bb '=-．⊥b :b ′=23．⊥由⊥得，抛物线F ′为232y ax bx c =++． 令y =0，则2302ax bx c ++=． ⊥12,2b b x x a a=-=-． ⊥点D 的横坐标为2b a- ⊥点C 的坐标为（ba -，0）．设直线OP 的解析式为y kx =．⊥点P 的坐标为（,22b c a -）， ⊥22c b k a =-， ⊥22222ac ac b b k b b b =-=-=-=-， ⊥2b y x =-． ⊥点B 是抛物线F 与直线OP 的交点， ⊥22b ax bxc x ++=-． ⊥12,2b b x x a a=-=-． ⊥点P 的横坐标为2b a-， ⊥点B 的横坐标为ba -． 把b x a =-代入2b y x =-，得22()222b b b ac y c a a a=--===． ⊥点B 的坐标为(,)b c a-． ⊥BC //OA ，AB //OC ．（或BC //OA ，BC =OA ），⊥四边形OABC 是平行四边形．又⊥⊥AOC =90°，⊥四边形OABC 是矩形．【点睛】本题着重考查了待定系数法求二次函数的性质、函数的平移变换、探究矩形的构成情况等重要知识点．3．（1）正确的序号为⊥⊥；（2）正确的序号为⊥⊥⊥．【分析】（1）根据抛物线开口向上对⊥进行判断；根据抛物线对称轴x=-2b a在y 轴右侧对⊥进行判断；根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方对⊥进行判断；根据x=1时，y=0对⊥进行判断；（2）有（1）得到a>0，b<0，c<0，则可对⊥进行判断；根据0<-2b a<1可对⊥进行判断；把点(-1,2)和(1,0)代入解析式得a ﹣b +c =2，a +b +c =0,整理有a+c=1，则可对⊥进行判断；根据a=1-c ，c<0可对⊥进行判断．【详解】（1）⊥由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，正确；⊥因为对称轴在y 轴右侧，对称轴为x =2b a-＞0． 又⊥a ＞0，⊥b ＜0，错误；⊥由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，⊥c ＜0，错误；⊥由图象可知：当x =1时y =0，⊥a +b +c =0，正确．故（1）中，正确结论的序号是⊥⊥．（2）⊥⊥a ＞0，b ＜0，c ＜0，⊥abc ＞0，错误；⊥由图象可知：对称轴x =2b a -＞0且对称轴x =2b a -＜1，⊥2a +b ＞0，正确； ⊥由图象可知：当x =﹣1时y =2，⊥a ﹣b +c =2，当x =1时y =0，⊥a +b +c =0；a ﹣b +c =2与a +b +c =0相加得2a +2c =2，解得：a +c =1，正确；⊥⊥a +c =1，移项得：a =1﹣c ．又⊥c ＜0，⊥a ＞1，正确．故（2）中，正确结论的序号是⊥⊥⊥．【点睛】二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0．（2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x =2b a-判断符号． （3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2﹣4ac 由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2﹣4ac ＞0；1个交点，b 2﹣4ac =0；没有交点，b 2﹣4ac ＜0．4．（1）240b ac ->；（2）10ac b -+=．【分析】（1）根据图形，开口向下得a ＜0，x =0时可得c ＞0，由对称轴可得b ＞0，与x 轴有两个不同交点可得b 2﹣4ac ＞0；（2）由于B 点坐标可以表示为：（0，c ），|OA |=|OB |，可知A （﹣c ，0）即可进行求解．【详解】（1）由图象可知，抛物线开口向下，可得：a ＜0；x =0时，y =c ＞0；⊥对称轴x =02b a->，a ＜0，⊥b ＞0； 图象与x 轴有两个不同交点可得b 2﹣4ac ＞0；（2）当|OA |=|OB |时，即A 点坐标为（﹣c ，0），代入抛物线方程得y =ac 2﹣bc +c 两边同时除以c 得：ac ﹣b +1=0．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，难度一般，关键在已知条件下表示出A 点的坐标代入抛物线方程．5．（1）0a <，0b <，0c >，240b ac =->；（2）详见解析；（3）当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【分析】（1）根据开口方向确定a 的符号，根据对称轴的位置确定b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的符号，根据抛物线与x 轴交点的个数确定b 2-4ac 的符号；（2）根据图象和x=-1的函数值确定a -b+c 与0的关系；（3）抛物线在x 轴上方时y ＞0；抛物线在x 轴下方时y ＜0．【详解】()1∵抛物线开口向下，∴0a <，∵对称轴12b x a=-=-， ∴0b <，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，∴0c >，∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac =->；()2证明：∵抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为1x =-，∴当1x =-时，0y a b c =-+>；()3根据图象可知，当31x -<<时，0y >；当3x <-或1x >时，0y <．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系.6．（1）y=12x2﹣3x ；（2）对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣92）． 【分析】（1）根据图像过点（6，0），（﹣2，8）列方程组求出a 、b 的值即可，（2）把解析式配方后即可确定对称轴和顶点坐标．【详解】（1）⊥y=ax 2+bx 的图象过点（6，0），（﹣2，8）．⊥3660428a b a b +=⎧⎨-=⎩， 解得：123a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ⊥二次函数解析式为y=12x 2﹣3x ； （2）⊥y=12x 2﹣3x=12（x ﹣3）2﹣92， ⊥抛物线的对称轴为直线x=3、顶点坐标为（3，﹣92）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，可采用了“配方法”．灵活运用二次函数的三种形式是解题关键. 7．（1）x=2；（2）242y x x =---；（3）22y -<≤【分析】（1）二次函数是轴对称图形，而（-4，-2），（0，-2）关于对称轴对此，利用中点坐标公式可求，（2）求二次函数解析式2y x bx c =-++，可知b,c 待定，但（-4，-2），（0，-2）只能取一点，取两点坐标（-1，1），（0，-2）代入解之即可，（3）由于对称轴与x 轴交点横坐标，在41x -<<-，说明x=-4与x=-1取值不是最大值，为此x=-4与x=-1对应的函数值的最小值与x=-2时函数值即可．【详解】解：（1）⊥二次函数是轴对称图形，4x =-、0x =时的函数值相等，都是2-，对称轴是（-4，-2），（0，-2）两点连结的中垂线，⊥此函数图象的对称轴为直线4022x -+==-； （2）由点（-1，1），（0，-2）在抛物线上将()1,1-，()0,2-代入2y x bx c =-++，得：112b c c --+=⎧⎨=-⎩， 解得：42b c =-⎧⎨=-⎩， ⊥二次函数的表达式为：242y x x =---；（3）⊥()224222y x x x =---=-++，⊥当2x =-时，y 取得最大值2，由表可知当4x =-时=2y -，当=1x -时1y =，⊥当41x -<<-时，22y -<≤．【点睛】本题考查利用列表求对称轴表示式，二次函数解析式，函数值范围，关键利用数形结合思想，掌握二次函数的性质，函数值的求法，抛物线最值．8．（1）1；（2）y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）﹣1≤t ≤2【分析】（1）由对称轴是直线x ＝2b a -，可求解； （2）分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，求出y 的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解．【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x ＝22a a--＝1， 故答案为：1；（2）当a ＞0时，⊥对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y 有最小值为﹣a ，当x ＝3时，y 有最大值为3a ，⊥3a ﹣（﹣a ）＝4．⊥a ＝1，⊥二次函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ；当a ＜0时，同理可得y 有最大值为﹣a ； y 有最小值为3a ，⊥﹣a ﹣3a ＝4，⊥a ＝﹣1，⊥二次函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ；综上所述，二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）⊥a ＜0，对称轴为x ＝1，⊥x ≤1时，y 随x 的增大而增大，x ＞1时，y 随x 的增大而减小，x ＝﹣1和x ＝3时的函数值相等，⊥t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，⊥t ≥﹣1，t +1≤3，⊥﹣1≤t ≤2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．9．（1）A （-4,0），B （2,0），C,0,4）；（2）12【分析】（1）在抛物线的解析式中，令x=0可以求出点C 的坐标，令y=0可以求出A 、B 点的坐标；（2）先求出E 点坐标，然后求出OA ，OC ，CE 的长计算面积即可.【详解】解：（1）当y=0时，212x --x+4=0，解得x 1=－4，x 2=2， ⊥A （－4，0），B （2，0），当x=0时，y=4，⊥C （0，4）；（2）y=212x -﹣x+4=12-（x+1）2+92， ⊥抛物线y=212x -﹣x+4的对称轴是直线x=－1， ⊥E 的坐标为（－2，4），则OA=4，OC=4，CE=2，S 梯形AOCE =(24)4122+⨯= 【点睛】本题是对二次函数的基础考查，熟练掌握二次函数与x 轴，y 轴交点坐标的求解及梯形面积知识是解决本题的关键.10．（1）624,y x y x=-=；（2）4. 【分析】（1）利用点()0,4A -、()2,0B 求解一次函数的解析式，再求C 的坐标，再求反比例函数解析式；（2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭则(),24,Q n n -再表示PQ 的长度，列出三角形面积与n 的函数关系式，利用函数的性质可得答案．【详解】解：（1）设直线AB 为,y kx b =+把点()0,4A -、()2,0B 代入解析式得：420b k b =-⎧⎨+=⎩解得：24k b =⎧⎨=-⎩∴ 直线AB 为24,y x =-把()3,C a 代入得：2342,a =⨯-=()3,2,C ∴把()3,2C 代入：,m y x= 236m ∴=⨯=，6,y x∴= （2）设6,,P n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭//PQ y 轴， 则(),24,Q n n - 由0＜n ＜3，()666242424,PQ n n n n n n∴=--=-+=-+ 16242DPQ S n n n ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭()222314,n n n =-++=--+即当1n =时， 4.DPQ S ∴=最大【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键．11．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）当x ＜1时，y 随x 增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．【分析】（1）将（1，﹣4）和（﹣1，0）代入解析式中，即可求出结论；（2）将二次函数的表达式转化为顶点式，然后根据二次函数的图象及性质即可求出结论．【详解】（1）根据题意得3430a b a b +-=-⎧⎨--=⎩， 解得12a b =⎧⎨=-⎩， 所以抛物线解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）∵y ＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为（1，﹣4），∵a ＞0，∴当x ＜1时，y 随x 增大而减小，该函数有最小值，最小值为﹣4．【点睛】此题考查的是二次函数的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象及性质是解决此题的关键．12．(1)21322y x x =+-；(2)顶点()1,2--，对称轴=1x -，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(3)=1x -时函数有最小值为2-．【分析】（1）抛物线的点过（1,0)3,0，可以设抛物线的解析式为y=a(x -1)(x+3)，把点30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入解得a 即可；（2）由配方法，得出抛物线解析式的顶点式，可得顶点坐标，对称轴以及抛物线与坐标轴的交点；（3）由抛物线的开口向上，可得函数有最小值，顶点坐标的纵坐标是函数的最小值．【详解】(1)设抛物线解析式为y=a(x -1)(x+3)， 将30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入，解得12a =， 所以抛物线解析式为21322y x x =+-， 故答案为：21322y x x =+-； （2）抛物线解析式为21322y x x =+-， 配方可得，()221123=1222y x x x =+-+-（）， ⊥顶点()1,2-- ，对称轴=1x -，由（1）知，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故答案为：顶点()1,2--，对称轴=1x -，交点：()()31,0,3,0,0,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (3)由（2）可知，函数解析式为()21122y x =+-，开口向上，函数有最小值，当=1x - 时函数有最小值为2-， 故答案为：=1x -时函数有最小值为2-．【点睛】本题考查了二次函数的解析式求法，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．13．（1）y ＝﹣x 2﹣3x+4（2）Q （﹣32，52） 【分析】（1）函数的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）（x+4），即可求解；（2）点B 为点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q ，则点Q 为所求，即可求解．【详解】解：（1）函数的表达式为：y ＝﹣（x ﹣1）（x+4）＝﹣x 2﹣3x+4；（2）抛物线的对称轴为：x ＝﹣32， 点B 为点A 关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q ，则点Q 为所求，点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：404k mm-+=⎧⎨=⎩，解得：14km=⎧⎨=⎩，故直线BC的表达式为：y＝x+4，当x＝﹣32时，y＝52，则点Q（﹣32，52）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短14．（1）y＝﹣x2﹣3x+4（2）Q（﹣32，52）【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4），即可求解；（2）点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，即可求解．【详解】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x﹣1）（x+4）＝﹣x2﹣3x+4；（2）抛物线的对称轴为：x＝﹣32，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC交函数对称轴与点Q，则点Q为所求，点C（0，4），将点B、C坐标代入一次函数表达式：y＝kx+m得：404k mm-+=⎧⎨=⎩，解得：14km=⎧⎨=⎩，故直线BC的表达式为：y＝x+4，当x＝﹣32时，y＝52，则点Q（﹣32，52）．【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，周长最小本质上考查抛物线的对称轴上求出Q点的坐标使得QA+QC最短，点B为点A关于函数对称轴的对称点，连接BC 交函数对称轴与点Q，原理是是两点之间线段最短15．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）12124；（3）(﹣1，0)或(3，0)或(43-，139)或(﹣3，12)【分析】（1）将x＝2代入y＝﹣12x2﹣32x+2，从而得出点A的坐标，再将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解得b与c的值，即可求得抛物线l1对应的函数表达式；（2）设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），则可得点Q的坐标为（m，﹣12m2﹣32m+2），从而PQ等于点Q的纵坐标减去点P的纵坐标，利用二次函数的性质求解即可；（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），分两类情况：第一种情况：AC为平行四边形的一条边；第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．分别根据平行四边形的性质及点在抛物线上，得出关于n的方程，解得n的值，则点P的坐标可得．【详解】解：（1）将x＝2代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得y＝﹣3，⊥点A的坐标为（2，﹣3）．将A（2，﹣3），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得23=2+23b cc⎧-+⎨-=⎩，解得23bc=-⎧⎨=-⎩，⊥抛物线l1对应的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）⊥点P、Q分别是抛物线l1、抛物线l2上的动点．⊥设点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），⊥点P在点Q下方，PQ⊥y轴，⊥点Q的坐标为（m，﹣12m2﹣32m+2），⊥PQ＝﹣12m2﹣32m+2﹣（m2﹣2m﹣3），＝﹣32m2+12m+5，⊥当m＝﹣112=3622⎛⎫⨯-⎪⎝⎭时，PQ长度有最大值，最大值为：﹣23126⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭+1126⨯+5＝12124；⊥PQ长度的最大值为121 24；（3）设点P的坐标为（n，n2﹣2n﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边．AC=2⊥当点Q在点P右侧时，点Q的坐标为（n+2，﹣12（n+2）2﹣32（n+2）+2），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，，得n2﹣2n﹣3＝﹣12（n+2）2﹣32（n+2）+2，解得，n＝0或n＝﹣1．⊥n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，⊥n＝﹣1，⊥点P的坐标为（﹣1，0）；⊥当点Q在点P左侧时，点Q的坐标为（n﹣2，﹣12（n﹣2）2﹣32（n﹣2）+2），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得n2﹣2n﹣3＝﹣12（n﹣2）2﹣32（n﹣2）+2，解得n＝3或n＝﹣43．⊥此时点P的坐标为（3，0）或（﹣43，139）；第二种情况：AC为平行四边形的一条对角线．Q点的纵坐标y Q，n2-2n-3-(-3)=-3-y Q，y Q=-n2+2n-3，点Q的坐标为（2﹣n，﹣n2+2n﹣3），将Q的坐标代入y＝﹣12x2﹣32x+2，得﹣n2+2n﹣3＝﹣12（2﹣n）2﹣32（2﹣n）+2，解得，n＝0或n＝﹣3．⊥n＝0时，点P与点C重合，不符合题意，舍去，⊥n＝﹣3，⊥点P的坐标为（﹣3，12）．综上所述，点P的坐标为(﹣1，0)或(3，0)或(43，139)或(﹣3，12)．【点睛】本题考查抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，掌握抛物线解析式，平行y轴线段的最值，平行四边形的性质，利用平形四边形的性质构造方程是解题关键．16．（1）215322y x x =++；（2【分析】（1）利用132y x =+的解析式求解A 的坐标，把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++，利用待定系数法列方程组，解方程组可得答案；（2）联立两个函数解析式，求解B 的坐标，线段BC 的长度， 如图，要使MBC 的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x =++与x 轴的另一交点为D ，抛物线的对称轴为：552,1222x =-=-⨯ 点()2,0D -，连接,BD 交对称轴于,M MD MC =，此时，MB MC MB MD BD +=+=最小，再利用勾股定理求解BD =【详解】.解：（1）抛物线212y x bx c =++与直线132y x =+交于y 轴上一点A ， 令0,x = 则3,y =∴ 点()0,3A 把()0,3A ，()3,0C -代入212y x bx c =++得： 39302c b c =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 解得：523b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式是215322y x x =++； （2）将直线132y x =+与二次函数215322y x x =++联立得方程组： 213215322y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ 215133,222x x x ∴++=+ 240,x x ∴-=解得：0x =或4x =-，04,,31x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩()0,3A ，()4,1B ∴-BC ∴=如图，要使MBC 的周长最小，则MB MC +最小，设二次函数215322y x x=++与x 轴的另一交点为D ， 抛物线的对称轴为：552,1222x =-=-⨯ ()3,0C - ∴ 点()2,0D -，连接,BD 交对称轴于,MMD MC ∴=，此时，MB MC MB MD BD +=+=最小，此时：BD ==MBC ∴【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解三角形的周长的最小值，掌握以上知识是解题的关键．17．（1）y =﹣x 2+2x +3；（2）需将抛物线向上平移4个单位【分析】（1）把点B 和点C 的坐标代入函数解析式解方程组即可；（2）求出原抛物线上x ＝－2时，y 的值为－5，则抛物线上点（－2，－5）平移后的对应点为（－2，－1），根据纵坐标的变化可得平移的方向和平移的距离．【详解】解：（1）把B （﹣1，0）和点C （2，3）代入y ＝﹣x 2＋bx ＋c得10423b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得23b c =⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为y ＝﹣x 2＋2x +3；（2）把x ＝﹣2代入y ＝﹣x 2＋2x +3得y ＝﹣4﹣4＋3＝﹣5，点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），所以需将抛物线向上平移4个单位．【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的平移，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．18．（1）213y 22x x =--+；（2）先向左平移1单位，再向上平移2个单位 【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b 与c 的值即可；（2）先将抛物线的一般式转化为顶点式，然后指出满足题意的平移方法即可．【详解】解：（1）把()1,0，30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线解析式得： 10232b c c ⎧-++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得：132b c =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 则抛物线解析式为213y 22x x =--+； （2）抛物线解析式为22131y (1)2222x x x =--+=-++， 抛物线213y 22x x =--+可以由抛物线212y x =-先向左平移1单位，再向上平移2个单位． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键． 19．（1）顶点坐标为()2,1-，与x 轴的交点坐标为()1,0，()3,0；（2）()0,3-． 【分析】（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据函数值为零，可得相应自变量的值；（2）根据图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减，可得平移后的解析式，根据自变量与函数值的关系，可得答案．【详解】解：（1）()22x 4321y x x =--＝－＋，顶点坐标为()2,1-， 当0y =时，2430x x -+=，解得1x =或3x =，即图象与x 轴的交点坐标为()1,0，()3,0；（2）图象先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得()2,2212y x =-+--， 化简得23y x =-，当0x =时，3y =-，即平移后的图象与y 轴交点的坐标()0,3-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用配方法得出顶点坐标，利用图象向左平移加，向右平移减，向上平移加，向下平移减得出平移后的解析式是解题关键．20．（1）2545442y x x -+＝，函数的对称轴为：3x ＝；（2）点8(3)5P ，；（3）存在，点E 的坐标为12(2,)5-或12,)5(4-． 【分析】1（）根据点AB 、的坐标可设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，由C 点坐标即可求解；2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，即可求解； 3（）512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝，则125E y ＝，将该坐标代入二次函数表达式即可求解． 【详解】解：1（）根据点0(1)A ，,(50)B ，的坐标设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝，⊥抛物线经过点4(0)C ，， 则54a ＝，解得：45a ＝， 抛物线的表达式为：()()2224416465345555245y x x x x x --+--+＝=＝ ， 函数的对称轴为：3x ＝； 2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，设BC 的解析式为：y kx b +＝，将点B C 、的坐标代入一次函数表达式：y kx b +＝得：05,4k b b =+⎧⎨=⎩解得：4,54k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 直线BC 的表达式为：4y x 45=-+， 当3x ＝时，85y ＝， 故点835P （，）； 3（）存在，理由： 四边形OEBF 是以OB 为对角线且面积为12的平行四边形， 则512E E OEBF S OB y y ⨯⨯四边形＝＝＝， 点E 在第四象限，故：则125E y ＝-， 将该坐标代入二次函数表达式得：()24126555y x x -+＝＝-， 解得：2x ＝或4， 故点E 的坐标为122,5（-）或12,5（4-）． 【点睛】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中2（），求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．21．（1）y=-x 2-2x +3；（2）P 坐标为（-，-3）或（-1-3）．【分析】（1）把A与B坐标代入求出a与b的值，即可确定出表达式；（2）根据已知三角形面积相等求出P的坐标即可．【详解】解：（1）把A与B坐标代入得：9330a ba b c-+=⎧⎨++=⎩，解得：12ab=-⎧⎨=-⎩，则该抛物线的表达式为y=-x2-2x+3；（2）由抛物线解析式得：C（0，3），⊥⊥ABC面积为12×3×4=6，⊥⊥P AB面积为6，即12×|Py|×4=6，即Py=3或-3，当P y=3时，可得3=-x2-2x+3，解得：x=-2或x=0（舍去），此时P坐标为（-2，3）；当y P=-3时，可得-3=-x2-2x+3，解得：x=-此时P坐标为（-，-3）或（-1-3）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．(1)、y=－x2－4x+5；(2)、15；(3)、(－,0)或(－,0).【详解】试题分析：(1)、首先求出方程的解得出点A和点B的坐标，然后利用待定系数法求出函数解析式；(2)、根据二次函数的解析式得出点C的坐标和顶点坐标，过D作x轴的垂线交x轴于M，从而求出⊥DMC、梯形MDBO和⊥BOC的面积，然后得出面积；(3)、设P点的坐标为（a,0），得出直线BC的方程，则PH与直线BC的交点坐标为(a，a+5)，PH与抛物线的交点坐标为H(a,－a2－4a+5)，然后根据EH=EP和EH=EP两种情况分别求出点P的坐标.试题解析：(1)、解方程x2－6x+5=0，得x1=5,x2=1.由m<n，m=1,n=5,。
初中二次函数知识点总结(全面)
初中二次函数知识点总结(全面)初中二次函数知识点总结(全面)二次函数知识点（一）、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数yax2bxc的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（二）、二次函数yax2bxc的性质b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．2a4a2a 当xbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当2a2a4acb2b．x 时，y有最小值4a2a2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为xb，顶点坐标为2ab4acb2bb 时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增，．当x4a2a2a2a4acb2b大而减小；当x时，y有最大值．4a2a（三）、二次函数解析式的表示方法1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)()A.B.C.D.2.函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是()A.(1，-4)B.(-1，2)C.(1，2)D.(0，3)3.抛物线y=2(x-3)2的顶点在()A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上4.抛物线的对称轴是()A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=45.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是()A.ab>0，c>0B.ab>0，c10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是()A.C.二、填空题1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）yx20（3）yx2（2）y(x2)(x2)(x1)2B.D.1（4）yx22x3x2、二次函数y2(x3)25的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴是；3、当k为何值时，函数y(k1)xk2k1为二次函数？画出其函数的图象．3、函数yx(23x)，当x为时，函数的最大值是；14、二次函数yx22x，当x时，y0;且y随x的增大而减2小；5.二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.6.若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.7.若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.8.抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.9、二次函数yx2x的对称轴是．10二次函数y2x2x1的图象的顶点是，当x时，y随x的增大而减小．11抛物线yax4x6的顶点横坐标是-2，则a=．12、抛物线yax2xc的顶点是(,1)，则a、c的值是多少？222213．已知抛物线y=125x－３x－22（１）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（２）求抛物线与x轴、y轴的交点坐标；（３）画出草图（４）观察草图，指出x为何值时，y＞0,y＝0,y＜0.14、（20xx年宁波市）如图，已知二次函数y12xbxc2的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
x值的增大而减小？
例3、若点（ - 1 2
，y1），（
3 2
，y2），（4 ，y3）在二次函数y=2x2-8x+6
的图像上，试比较y1，y2，y3的大小。
探索新知3：y=ax2+bx+c( a≠0）的图像与a、b、c及b2-4ac的符号关系：★★
字母 项目 字母的符号
图像的特征
a b c b2-4ac
直击中考：
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3、（2014甘肃兰州，14,4分）二次函数y=ax2+bx+c( a≠0）的图像如图
所示，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是：（ D ）
A. abc<0
B. 2a+b=0
C. b2-4ac>0
D. a-b+c>0
4、（2013河南，14，3分） 如图抛物线的顶点为P（-2,2），与y轴交于 点A（0,3），若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P´（2，-2）， 点A的对应点为A´，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为？
2.2.4 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
兰州市第二十二中学 李琼
探索新知1：二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k( a≠0）的关系：★
用配方法将二次函数y=ax2+bx+c（一般式）化为y=a(x-h)2+k（顶点式）。
结论：二次函数y=ax2+bx+c一般式化为顶点式为
a＞0 a＜0 b=0 ab＞0 ab＜0 c=0 c＞0 c＜0 b2-4ac=0 b2-4ac>0 b2-4ac<0
二次函数y=ax2bxc的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质一、教材分析二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质是高中学习函数的重要基础。
本课时的学习是学生在以往学习经验的基础上，进一步经历探索二次函数图象特征和性质的过程。
教学时应注意引导学生找出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像的联系，然后通过观察图像，结合解析式特点，思考和归纳函数图像的特征及其性质，从简单到复杂、从特殊到一般，去理解二次函数顶点式中a,h,k对函数图象的影响；并能正确判断出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，让学生对二次函数y=a(x-h)2+k有一个形象和直观的认识。
二、学生情况分析目前的学生课堂学习不够专注，缺乏数学思维，因而导致他们的数学基础较差、学习信心不足、兴趣不大，有的学生感到学习数学很困难。
三、教学目标分析知识目标：1能够正确作出二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象；2理解二次函数关系式中系数a,h,k对函数图象的影响；3能够正确指出y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标。
能力目标：1、在精心设计的问题引领下，通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；2、通过观察图象，发现函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力；3、通过小组合作，进一步培养学生的数学探究能力。
情感价值观目标：让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的自信心，感受数学的美，从而激发学生的学习兴趣。
教学重难点：能够正确作出y=a(x-h)2+k的图象，并抽象出它的图象特征和性质。
四、教法学法分析采用“问题引领，小组学习”的教学模式实施教学。
让学生在正确作出二次函数图象之后，抽象出二次函数y=a(x-h)2+k中系数与图象之间的关系。
先鼓励学生在问题引领下，独立思考，解决问题；然后把出现的问题带到小组学习中去，经过学习小组或全班集中展示交流，师生合作点评，推导出结论并达成共识。
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
二次函数，又称之为平方函数，它是最基本的解析函数之一。
它的标准形式是y=ax2＋bx＋c，其中a,b, c是实数，a≠0。
二次函数的图像是根据函数表达式的特性来推断的，只要我们把函数上的点代入进函数的表达式，并确定函数的拐点，就可以找出图形的形状。
一般来说，当a>0时，二次函数的图像是一条“U”形(有可能是拱状或者凹状)，当a<0时，二次函数的图像是一条蛇形抛物线(有可能是凸状或者凹状)，沿X轴的对称轴是当x=－b/2a时，它的最高点或者最低点是（－b/2a,f (－b/2a))。
二次函数不仅表示物理现象，也可以表示天文现象，甚至于在经济学中也有运用。
从数学上来讲，它具有众多的特性和性质，如：
A、二次函数有且只有两个极值，可能是极大值或极小值；
B、当a > 0时，函数有一个唯一的最小值点，沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
C、当a < 0时，函数有一个唯一的最大值点，同样沿X轴的对称轴也就是当x=－b/2a时的单位；
D、当x→±∞时，函数值→±∞，即它是一个可以到达正负无穷远处的无限延伸曲线。
以上就是二次函数的图像与性质，只要我们掌握了它的一般形式与特性，就可以很容易的根据题设的条件把它画出来，用它来描述和解决各种实际问题，它是一种有效的数学工具。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
二、图象特征
（1）二次函数 y ax 2 bx c（a 0) 的图象是一条抛物线。
顶点坐标是（ -
b 2a
, 4ac b 2 4a
），对称轴是直线
x
b 2a
函数
y=ax2+bx+c(a>0)
2a
4a
y x
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
y
x
开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最值
向上
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b 2a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的 右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的 右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时, 最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的 右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时, 最大值为 4ac b2
2a
4a
三、确定二次函数的表达式
（1）一般式（知三点）：
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
向上
y=ax2+bx+c(a<0)
二次函数y=ax^2+bx+c的图像与性质
二次函数的性质
1 单调性和极值
二次函数在开口方向内是单调增或者单调减 的，它的极值就是顶点的y轴坐标。
2 范围和值域
二次函数的范围和值域取决于开口方向，范 围表示y值的取值范围，值域表示y值可能的 取值范围。
3 系数a的影响
系数a决定了二次函数的图像形态，a的正负 和绝对值大小都会影响函数的特性。
利用一元二次方程求根公 式可以直接求得二次函数 的零点。
2 完全平方公式
对二次函数进行平方，然 后进行合并和配凑，得到 二次函数的零点。
3 因式分解法
将二次函数进行因式分解， 找出能将二次函数化简为 两个一次函数相乘的因式， 得到二次函数的零点。
二次函数与其他函数的关系
线性函数和指数函数的对比
与线性函数相比，二次函数呈现出曲线状，而与指 数函数相比，二次函数的增长速度较为平缓。
二次函数y=ax^2+bx+c的 图像与性质
二次函数是由幂函数进一步演化而来的函数，表达式为y=ax^2+bx+c。其图像 呈现特定的形状和性质。
二次函数的定义和基本形式
定义
二次函数是一个含有二次项的多项式函数。
基本形式
二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c, 其中a、b和 c是实数常量，且a ≠ 0。
二次函数与多项式
二次函数是多项式函数的一种特殊形式，它是次数 为2的多项式。
二次函数的图像特点
开口方向和开口大小
二次函数的开口方向由a的正负 号决定，正系数表示开口向上， 负系数表示开口向下；a的绝对 值越大，开口越大。
对称轴和顶点
二次函数的对称轴是通过顶点 垂直于x轴的直线，顶点的坐标 为(-b/2a, c-b^2/4a)。
初中数学专题练习-二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质
《二次函数》专题第三讲：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质一、二次函数2y ax bx c =++的图象和性质1．如何画216212y x x =-+的图象？2．用配方法推导顶点坐标公式二次函数2y ax bx c =++的图象是抛物线,其顶点坐标是（2b a -, 244ac b a -）,对称轴是平行于y 轴的一条直线2b x a=-． 列表小结=2++ （≠0）的图象和性质示意图 a >0a <0开口方向a >0时,开口向上 a <0时,开口向下 形状 ①a 相同⇔抛物线的形状、大小相同; ②a 越大, 开口越小; a 越小, 开口越大．二次函数2y ax bx c =++的图像与性质：顶点坐标24(,)24b ac b a a --,是抛物线最高（或最低）点 对称轴直线2b x a =- 函数最值 若a >0,当2b x a =-时,y 最小值=244ac b a-． 若a <0,当2b x a =-时, y 最大值244ac b a -． 增减性 若a>0,当2b x a ≤-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大． 若a<0,当2b x a≤-时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a>-时,y 随x 的增大而减小．二、过特殊位置的抛物线：对于抛物线2y ax bx c =++,（1）若顶点是原点,则（2）若经过原点,则（3）若顶点在y 轴上,则（4）若顶点在x 轴上,则（5）若经过（1,0）点,则若经过（－1,0）点,则练习（1）抛物线223y x x =--的顶点坐标是 ,对称轴是 ．（2）若二次函数2221y ax x a =++-（0a ≠）的图象如图所示, 则a 的值是 ．（3）二次函数22y x bx c =++的顶点坐标是（1,－2）,则 b = ,c = ．（4）已知二次函数2y ax bx c =++（其中a >0,b >0,c <0）,关于 这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上;xyO②图象的顶点一定在第四象限;③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3。
2次函数解析式
2次函数解析式二次函数是高中数学中重要的概念之一，它在许多实际问题的建模和解决中发挥着关键作用。
本文将介绍二次函数的解析式及其相关内容，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
二次函数的解析式一般形式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数常数，且a不等于0。
这个函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线，它在坐标平面上呈现出各种不同的形状。
首先，我们来了解一下二次函数的各个参数对函数图像的影响。
参数a决定了抛物线的开口方向和抛物线的开口程度。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
参数b则决定了抛物线在x轴方向的平移，正值表示向左平移，负值表示向右平移。
参数c决定了抛物线在y轴方向的平移，正值表示向上平移，负值表示向下平移。
其次，二次函数的解析式可以用来求解函数的顶点、判别式和零点等重要信息。
通过求解二次函数的顶点，可以确定函数的最值和抛物线的对称轴。
顶点的横坐标可以通过公式x=-b/(2a)来得到，纵坐标则是将横坐标代入函数得到的值。
判别式是二次函数的重要指标，可以判断二次函数的零点情况。
当判别式大于0时，函数有两个不相等的实根；当判别式等于0时，函数有一个实根；当判别式小于0时，函数没有实根。
零点即函数的解，可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到。
另外，二次函数还与一些实际问题密切相关。
例如，在物理学中，二次函数可以用来描述自由落体运动的高度随时间的变化；在经济学中，二次函数可以用来建模成本、利润和需求等与价格相关的问题。
通过对二次函数的解析式进行分析和计算，可以得到这些问题的定量结果，为实际应用提供依据和参考。
总之，二次函数的解析式是数学中一种重要的表达形式，它能够描述抛物线的形状、位置和特征。
了解二次函数的解析式及其相关内容，对于理解和运用抛物线概念具有重要意义。
无论是在数学学习中还是实际问题的建模中，对二次函数的理解都是至关重要的。
通过深入学习和掌握二次函数的解析式，我们可以更好地解决与二次函数相关的问题，提升数学能力和应用能力。
二次函数知识点总结
二次函数知识点总结二次函数是数学中一个重要的函数类型，它在许多领域都有广泛的应用。
二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
以下是二次函数的主要知识点总结：1. 定义：二次函数是最高次项为二次的多项式函数。
2. 标准形式：二次函数的标准形式是 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
3. 系数意义：系数 a 决定了抛物线的开口方向和宽度，b 和 c 决定了抛物线的位置。
4. 开口方向：当 a > 0 时，抛物线向上开口；当 a < 0 时，抛物线向下开口。
5. 顶点：二次函数的顶点是抛物线的最值点，其坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。
6. 对称轴：二次函数的对称轴是一条垂直于 x 轴的直线，其方程为x = -b/2a。
7. 极值：当 a > 0 时，抛物线有最小值；当 a < 0 时，抛物线有最大值。
8. 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴的交点，可以通过求解方程 ax^2 + bx + c = 0 得到。
9. 判别式：二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的判别式为Δ = b^2 -4ac，它决定了方程的根的性质。
- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根。
- 当Δ < 0 时，方程没有实数根。
10. 应用：二次函数在物理、工程、经济学等领域有广泛应用，如抛体运动、最优化问题等。
11. 图像特征：二次函数的图像是一个抛物线，其形状和位置由系数a、b、c 共同决定。
12. 函数性质：二次函数具有连续性、可导性等性质，其导数为 f'(x) = 2ax + b。
13. 函数图像绘制：通过确定顶点、对称轴和零点，可以绘制出二次函数的图像。
14. 函数变换：通过对二次函数进行平移、伸缩等变换，可以得到新的二次函数图像。
知识卡片-二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质
二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质能量储备二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的图象与性质了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，一般方法是现将一般式y=ax2+bx+c通过配方化为顶点式y=a（x--h）2+k，然后找出顶点坐标、对称轴，画出图象并观察图象得到它的增a＞0a＜0通关宝典★ 基础方法点方法点1：利用抛物线的对称性解题如果抛物线上两点(x 1，m )，(x 2，m )的纵坐标相等，那么这两点关于抛物线的对称轴直线x ＝x 1＋x 22对称；反过来，如果两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线上的对称点，那么这两点的纵坐标相等，即y 1＝y 2.例：如图所示，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝2，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，其中点A 的坐标为(0，3)，则点B 的坐标为( ) A ．(2，3) B ．(3，2) C ．(3，3) D ．(4，3)解析：∵ 点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，∴ 点A 与点B 关于对称轴x ＝2对称．又∵ A (0，3)，∴ AB ＝4，y B ＝y A ＝3，∴ 点B 的坐标为(4，3)，故选D . 答案：D方法点2：比较两个二次函数值大小的方法 (1)把自变量直接代入解析式求值．(2)当点在对称轴同侧时，根据函数的增减性判断．(3)当点在对称轴的两侧时，找某点关于对称轴的对称点，均转化到同侧求解，或利用抛物线上的点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大；当抛物线的开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小． 例： 若A (413，y 1)，B (－1，y 2)，C (53，y 3)为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 3<y 1<y 2D ．y 2<y 1<y 3解析：把y ＝－x 2－4x ＋5配方，得y ＝－(x ＋2)2＋9，因为a ＝－1<0，所以当x >－2时，y 随x 的增大而减小．由抛物线的对称性知，y 1的值等于函数在x ＝－34处的函数值．又53>－34>－1>－2，所以y 3<y 1<y 2.答案：C★★易混易误点易混易误点1: 用配方法求抛物线的顶点坐标时出错例：用配方法求y ＝2x 2－8x ＋6的顶点坐标．分析：在二次函数y ＝2x 2－8x ＋6中a ＝2，为了便于配方，需逆用乘法分配律，将原解析式变形为y＝2(x2－4x＋3)，然后再把括号内的多项式进行配方．解：原二次函数变形为y＝2(x2－4x＋3)，∴y＝2(x2－4x＋4－4＋3)＝2[(x－2)2－1]＝2(x－2)2－2.∴顶点坐标为(2，－2)．常见错因：在解决本题中容易犯的错误是只在解析式的右边除以2，把二次项系数变为1，这不符合等式的基本性质，从而会造成错解．蓄势待发考前攻略考查二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）图象的顶点坐标、开口方向、对称轴及函数的增减性等，注重数形结合思想的运用，中考中既有考查基础知识的选择题、填空题，又有考查能力的综合题．完胜关卡。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质—九年级上学期数学知识讲解(提高)
二次函数y=ax 2+bx+c(a *0)的图象与性质一知识讲解(提高)责编：康红梅【学习目标】2c(a 0)的图象；会用配万法将二次函数 y ax bx c 的解2析式与成y a(x h) k 的形式;y ax 2 bx c.2. 一般式化成顶点式要点诠释:式加以记忆和运用.2y ax bx c 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用.1.会用描点法画二次函数y ax 2 bx2.通过图象能熟练地掌握二次函数 2y ax bx c 的性质;3.经历探索y ax 2bx c 与ya(x h)2k 的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想.要点一、二次函数 y ax2bx c(a 0)与y a(x h)2k(a 0)之间的相互关系1.顶点式化成一般式从函数解析式y a(xh)2 k 我们可以直接得到抛物线的顶点(h , k),所以我们称2y a(x h) k 为顶点式，2将顶点式y a(x h)k 去括号， 合并同类项就可化成一般式2y axbx cb 2ab 2a2bx 一4ac 4ab 2对口y y a(xh)24ac 4ab 2抛物线y2ax bx c 的对称轴是直线b ........——,顶点坐标是2ab 4ac b 22a ， 4a 1.抛物线y2ax bx c 的对称轴是直线 xb ........——,顶点坐标是2ab 4ac b 2——, ------- ,可以当作公2a 4a2.求抛物线要点二、二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法.其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴.(2)求抛物线y ax2 bx c与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点 A B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C关于对称轴的对称点D,将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来. 要点诠释：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D,由C M D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B,然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，2 ......要点二、一次函数y ax bx c(a 0)的图象与性质1.二次函数y ax2 bx c(a 0)图象与性质2.二次函数y ax2 bx c(a 0)图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系要点四、求二次函数y ax2 bx c(a 0)的最大(小)值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当x -b时，2a4ac b2y最值4a要点诠释：b如果自变量的取值范围是x iW xW x2,那么首先要看——是否在自变量白^取值范围x iw xwx2内，若2ab 4ac b2在此范围内，则当x 旦时，y最值4a c b ,若不在此范围内，则需要考虑函数在x i<x< x2范围2a 4a内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x = x2时，y最大值ax2 bx, c；当x=x i时，y最小值ax2 bx c，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x = x i时，y最大值=ax12+bx1+c ;b 当x=x2时，y最小值=ax22+bx2+c ,如果在此氾围内，y值有增有减，则需考祭x=x i, x = x2, x ——2a 时y值的情况.【典型例题】类型一、二次函数y ax2 bx c（a 0）的图象与性质1. （2016?达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c （aw0）的图象与x轴交于点A （- 1, 0）,与y 轴的交点B在（0, - 2）和（0, - 1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1 .下列结论：①abc> 0②4a+2b+c>0③4ac- b2< 8a④导a4⑤ b>c.其中含所有正确结论的选项是（）A .①③B .①③④C .②④⑤D .①③④⑤【思路点拨】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过（3, 0）,则得②的判断；根据图象经过（- 1,0）可得到a、b、c之间的关系，从而对②⑤ 作判断；从图象与y轴的交点B在（0, -2）和（0, -1）之间可以判断c的大小得出④ 的正误. 【答案】D.【解析】解：①:函数开口方向向上，a>0;•••对称轴在y轴右侧ab异号，•.•抛物线与y轴交点在y轴负半轴，c< 0,abc> 0,故①正确；②二•图象与x轴交于点A （-1, 0）,对称轴为直线x= - 1,，图象与x轴的另一个交点为（3, 0）,・・・当x=2 时，y<0,.•.4a+2b+cv 0,故②错误；③二•图象与x轴交于点A （T, 0）,・・・当x=- 1 时，y= （—1）2a+bx （—1） +c=0, a - b+c=0, IP a=b - c, c=b - a,・••对称轴为直线x=1__k_=1,即b= - 2a,2ac=b - a= ( - 2a) - a=- 3a,••4ac- b2=4?a? (-3a) - (- 2a) 2=- 16a2< 0 ,•,8a>04ac- b2< 8a故③正确④二•图象与y轴的交点B在(0, - 2)和(0, - 1)之间, 「• - 2V c< - 1「•一2V — 3a< — 1,故④正确⑤,. a>0,b - c>0,即b> c;故⑤正确；故选：D.【总结升华】主要考查图象与二次函数系数之间的关系.解题关键是注意掌握数形结合思想的应用.举一反三：【高清课程名称：二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象与性质高清ID号：392790 关联的位置名称(播放点名称)：练习2-3】【变式】若二次函数y ax2 2x a2 1 ( a 0)的图象如图所示，则a的值是.【答案】-1.类型二、二次函数y ax2 bx c(a 0)的最值C2.分别在下列范围内求函数y x2 2x 3的最大值或最小值.(1)0 vx<2; (2)2 <x<3.【答案与解析】y x2 2x 3 (x 1)2 4,顶点坐标为(1 , -4).(1)••• x =1 在0vxv 2 范围内，且a=1>0,当x = 1时y有最小值，y最小值 4 .: x = 1是0V x< 2范围的中点，在x = 1两侧图象左右对称，端点处取不到，不存在最大值.(2)••• x =1不在2WxW 3范围内(如图所示)，又因为函数y x2 2x 3 (2 WxW 3)的图象是抛物线y x2 2x 3的一部分，且当2WxW3时，y随x的增大而增大，•••当x=3时，y最大值32 2 3 3 0;当x = 2时，y最小值22 2 2 3 3.中♦打； ,\ i t\ I' ：}-i h 1 n 4~F【总结升华】先求出抛物线y x2 2x 3的顶点坐标，然后看顶点的横坐标是否在所规定的自变量的取值范围内，根据不同情况求解，也可画出图象，借助于图象的直观性求解，如图所示，2Wxw 3为图中实线部分，易看出x=3时，y最大值0； x= 2时，y最小值 3 .2类型二、一次函数y ax bx c(a 0)性质的综合应用C3. (2014秋？白云区期末)如图4,已知抛物线y=ax2+bx+c (a>0)经过点A (2, 0), B (6, 0), 交y轴于点C,且Sz\ABC=16.(1)求点C的坐标；(2)求抛物线的解析式及其对称轴；(3)若正方形DEFG内接于抛物线和x轴(边FG在x轴上，点D , E分别在抛物线上)，求S正方形DEFG.【答案与解析】解：(1) .「A (2, 0), B (6, 0),AB=6 — 2=4 . S AABC =16, . — >4?OC=16,2.•.OC=8,点C 的坐标为(0, 8);(2)二.抛物线 y=ax 2+bx+c (a>0)经过点 A (2, 0), B (6, 0), ，可设抛物线的解析式为 y=a (x-2) (x-6), 将 C (0, 8)代入，得 8=12a,, y= W (x-2) (x- 6) Jx2-号x+8, JI "J -J（3）设正方形 DEFG 的边长为 m,则m>0,•••正方形DEFG 内接于抛物线和 x 轴（边FG 在x 轴上，点D, E 分别在抛物线上），1. D (4 - mm , - m), E ( ■_ ■斗弓 E (4+Jm) — m)代入 y=—；x 2- Arx+8 ?2 :1 32付—m= (4+-m)3 2整理得，m 2+6m - 16=0,解得m i =2, m 2=-8 （不合题意舍去）， ・•.正方形DEFG 的边长为2,S 正方形 DEFG =22=4 .【总结升华】熟练掌握待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象与性质是解题综合题的前提 第（3）问中设出正方形 DEFG 的边长为m,根据二次函数与正方形的性质用含m 的代数式正确表示点D 与点E 的坐标是解题的关键.故抛物线的解析式为 y 二:为2- li^x+8 ,其对称轴为直线 x=4 ; m, 一 m)2一条抛物线yax bx c经过A (2, 0)和B (6, 0),最局点C的纵坐标是1.(1)求这条抛物线的解析式，并用描点法画出抛物线;xy(2)设抛物线的对称轴与x轴的交点为D,抛物线与y轴的交点为E,请你在抛物线上另找一点P(除点A、B、C E外)，先求点C、A、E、P分别到点D的距离，再求这些点分别到直线y 2的距离；(3)观察(2)的计算结果，你发现这条抛物线上的点具有何种规律？请用文字写出这个规律.【答案与解析】(1)由已知可得抛物线的对称轴是x 4.•••最高点C的坐标为(4,1).14a 2b c 0, a 4，则36a 6b c 0,解得b 2,16a 4b c 1. c 3.1•••所求抛物线的解析式为y 1x2 2x 3.4列表:x -2 0 2 4 6 8 10y -8 -3 0 1 0 -3 -8描点、连线，如图所示:(2)取点(-2 , -8)为所要找的点巳如图所示，运用勾股定理求得ED= 5, PD= 10,观察图象知AD= 2, CD= 1,点E P、A、C到直线y= 2的距离分别是5、10、2、1 .(3)抛物线上任一点到点D的距离等于该点到直线y = 2的距离.【总结升华】(1)描点画图时，应先确定抛物线的对称轴，然后以对称轴为参照，左右对称取点.(2)计算两点之间的距离应构造两直角边分别平行于两坐标轴的直角三角形，然后运用勾股定理求得.举一反三：【高清课程名称：二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象与性质高清ID号：392790 关联的位置名称(播放点名称)：练习4】【变式】已知二次函数y ax2 bx c （其中a>0, b>0, c<0）,关于这个二次函数的图象有如下说法:①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧.以上说法正确的个数为（）A .0 B.1 C.2 D.3【答案】C.。
二次函数的三种表达形式
二次函数的三种表达形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。
③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。
二次函数的解析式
二次函数的解析式二次函数是指形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
它是数学中的重要内容，在代数学、几何学和物理学中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的解析式的含义、性质及应用。
一、解析式的含义二次函数的解析式是指其函数表达式，即y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c是常数，而x是自变量。
二次函数的解析式可以帮助我们确定函数的图像、求解方程、计算函数的性质等。
二、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
b、c的值会影响函数图像的位置和形状，b 决定了抛物线的对称轴位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
2. 零点二次函数的解析式中，y=0对应的x的值即为二次函数的零点。
我们可以通过解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求解零点。
当Δ(判别式)=b^2 - 4ac > 0时，二次方程有两个不同的实根；当Δ = 0时，二次方程有两个相同的实根；当Δ < 0时，二次方程没有实根。
3. 极值点当a > 0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a < 0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
这个点也被称为函数的顶点。
通过求解二次函数的极值点，我们可以进一步确定函数图像的形状。
4. 对称性二次函数的图像具有轴对称性，其对称轴为x = -b/2a。
这意味着函数图像关于对称轴对称。
这个性质在讨论二次函数的图像时非常重要。
三、二次函数的应用二次函数在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 物体运动的抛物线轨迹在物理学中，抛体运动的轨迹是一个抛物线。
通过分析抛体运动的初速度、角度和位移等参数，可以建立物体运动的二次函数模型，从而求出对象的运动轨迹。
2. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数用来描述企业的生产成本。
二次函数可以用来建立成本函数模型，分析生产成本与产量之间的关系，从而帮助企业进行经济决策。
初三数学之二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质(基础)
105二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质（基础）一、选择题1. 将二次函数化为的形式，结果为（）．A．B．C．D．2．已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（）．A．B．C．D．3．若二次函数配方后为，则b、k的值分别为（）．A．0，5B．0，1C．-4，5D．-4，14．抛物线的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式，则b、c的值为（）．A. b=2，c=2B. b=2，c=0C. b= -2，c= -1D. b= -3，c=25．已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，则a+b+c的值()A. 等于0B. 等于1C. 等于-1D. 不能确定6．二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是( )二、填空题7．二次函数的最小值是________．8．已知二次函数，当x＝-1时，函数y的值为4，那么当x＝3时，函数y的值为________．9．二次函数的图象经过A(-1，0)、B(3，0)两点，其顶点坐标是________．10．二次函数的图象与x轴的交点如图所示．根据图XX息可得到m的值是________．第10题第11题11．如图二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点(-1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴第①问：给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0其中正确的结论的序号是_________；第②问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1，其中正确的结论的序号是___________.12．已知二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴交于点A、B两点，在x轴上方的抛物线上有一点C，且△ABC的面积等于10，则C点的坐标为__________.三、解答题13．（1）用配方法把二次函数变成的形式；（2）在直角坐标系中画出的图象；（3）若，是函数图象上的两点，且，请比较、的大小关系．14. 如图所示，抛物线与x轴相交于点A、B，且过点C（5，4）．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．15. 已知抛物线：(1)求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)画函数图象，并根据图象说出x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？函数y有最大值还是最小值？最值为多少？105二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质（基础）【答案与解析】一、选择题1.【答案】D；【解析】根据配方法的方法与步骤，将化成含的完全平方式为，所以．2.【答案】D；【解析】由图象的开口方向向下知；图象与y轴交于正半轴，所以；又抛物线与x轴有两个交点，所以；当时，所对应的值大于零，所以．3.【答案】D；【解析】因为，所以，，．4.【答案】B；【解析】，把抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得抛物线，∴，∴，．5.【答案】A；【解析】因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(3，0)，所以过点（1,0）代入解析式得a+b+c=0.6.【答案】A；【解析】分类讨论，当a＞0，a＜0时分别进行分析.二、填空题7.【答案】-3；【解析】∵，∴函数有最小值．当时，．8.【答案】4；【解析】由对称轴，∴x＝3与x＝-1关于x＝1对称，∴x＝3时，y＝4.9.【答案】(1，-4) ；【解析】求出解析式.10.【答案】4；【解析】由图象发现抛物线经过点（1，0），把，代入，得，解得．11.【答案】①④，②③④；12.【答案】(-2，5)或(4，5)；【解析】先通过且△ABC的面积等于10，求出C点的纵坐标为5，点C在抛物线y=x2-2x-3上，所以x2-2x-3=5，解得x=-2或x=5，则C点的坐标为(-2，5)或(4，5).三、解答题13.【答案与解析】（1）．（2）略．（3）∵，∴当时，y随x增大而减小，又，∴．14.【答案与解析】（1）把点C(5，4)代入抛物线得，，解得．∴该二次函数的解析式为．∵，∴顶点坐标为．（2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数解析式为，即．15.【答案与解析】（1）∵，b＝-3，∴，把x＝-3代入解析式得，．∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x＝-3，顶点坐标是(-3，2)．（2）由于抛物线的顶点坐标为A(-3，2)，对称轴为x＝-3．抛物线与x轴两交点为B(-5，0)和C(-1，0)，与y轴的交点为，取D关于对称轴的对称点，用平滑曲线顺次连结，便得到二次函数的图象，如图所示．从图象可以看出：在对称轴左侧，即当x＜-3时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即当x＞-3时，y随x的增大而减小．因为抛物线的开口向下，顶点A是抛物线的最高点，所以函数有最大值，当x＝-3时，．。
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且a> b> c ∴a、c 必异号
故 a>0，c<0
训练7：二次函数 y=x２+bx+c中，如果
b＋c＝0 则图像经过 点
A. (－1，－1) C. (1，－1)
B. (1，1) D. (－1，1)
分析：若得 b＋c＝0
必取 x＝1，此时 y＝1＋b＋c＝1 ∴点（1，1）在抛物线上
△AOE与梯形ECDB面积的大小
A
B
E
CD
训练4:如图,A,B是反比例函数y=
1 xΒιβλιοθήκη 的图像上关于原点O对称的任意两点，AC∥y轴，
BC∥x轴,△ABC面积为S，则
A. S＝1
B. 1< S<2
C. S＝2
D. S >2
分析：∵A、B关于原点对称
A
可设A（x0，y0）
∴BC＝2x0，AC＝2y0
又∵点A在双曲线上
y’
函数值相等，则当
x取x1＋x2 时，
函数值为
x1 o’ x2
c
(
)
设四边形ＡＤＢＣ的面积为Ｓ，则
Ａ．Ｓ＝１ Ｂ．１＜Ｓ＜２ Ｃ．Ｓ＝２ Ｄ．Ｓ＞２
A D
C B
训练７ :已知直线 y＝ k3x与双曲线 y＝
k x
相交于A、B两点，AC⊥x轴，垂足为C，
且S△AOC＝
函数解析式
，求直线和双曲线的
A
C B
二次函数：y=ax２+bx+c (a,b,c≠0)
若x取x1、x2 (x1 ≠ x2)时，
反比例函数：y=
k x
(k≠0)
1. S矩形＝│k│ 1
S△＝ 2 │k│
B’（x’,y’） A
2. B与B’是双曲线上关于
B
(x,y)
原点对称的两个点。
│x│=│Ｘ’│,│ｙ│＝│ｙ’│
训练1:如图函数y=－2x 的图像上任意三点 A、B、C，分别向x轴、y轴作垂线，所围
成的面积分别记为S1、S2、S3，
用“＝”、“<”、“>”
表示
它们之间的关系。
A
B C
训练2:如图,面积为3的矩形OABC的一个
顶点B在反比例函数y＝
k x
的图像上，
另3个点在坐标轴上，则 k＝
A
C
B
训练3:如图,过反比例函数 y=
2 x
(x >0)
图像上任意两点A，B分别作x轴的垂线，
垂足分别为C，D，连结OA，OB，
设AC与OB的交点为E，试比较
B
C
∴x0 y0＝1
S ∴ △ABC＝
1 2
BC×AC=2
训练5:如图,正比例函数 y=kx (k>0)与反比例
函数y＝
1 x
的图像相交于A,
C两点
过点A作x轴的垂线交x轴于B，
连结BC，求△ABC的面积
A
B C
( S△ABC ＝
)
训 关练于６原如点Ｏ图对，称Ａ的，任Ｂ意是两函点数，ｙＡ＝Ｃ∥1x ｙ的图轴象，上交 ｘ轴于点Ｃ，ＢＤ∥ｙ轴，交ｘ轴于点Ｄ，
训练2：如图所示抛物线y=ax２+bx+c， 则有：
A. a+b+c<0 B. a+b+c=0 C. a+b+c>0 D. a+b+c符号不定
训练3：二次函数y=ax２+bx+c如图所示，
则点P(a+b+c,abc) 在
A. 第一象限 C. 第三象限
B. 第二象限 D. 第四象限
分析：
ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０ ∴ａｂｃ＞０ 又：ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ时，Ｘ＝１ 如图，ｘ＝１时，ｙ＞０ 即ａ＋ｂ＋ｃ＞０
训练4:如图, x＝1 是抛物线 y=ax２+bx+c 的对称轴，则 3b－2c 0
分析： ∵x＝1 是对称轴
∴－
b 2a
＝1，a＝－
1 2
b*
又∵ x＝－1时， y<0
∴a－b＋c <0
将*代入：－
1 2
b－b＋c
<0
变形可得：3b－2c > 0
训练5：抛物线表示函数 y=ax２+bx+c 的图像,
则a、b、c 的大小关系是
A. a> b= c B. a> c> b C. a> b> c D. a、b、c大小关系不确定
分析： a> 0，b< 0，c< 0 隐含：a－b＋c <0 ∴ c －b <－ a c －b < 0 c <b
训练6:如图已知二次函数y=ax２+bx+c,如果
a>b>c,且a+b+c=0,则它的图像可能是