一次函数与平行四边形综合

一．解答题（共3小题）

1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；

（2）求直线CE的解析式；

（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O 顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．

（1）求直线BD的解析式；

（2）求△OFH的面积；

（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根．

（1）求点D的坐标；

（2）求直线CD的解析式；

（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由．

参考答案与试题解析

一．解答题（共3小题）

1．（2015•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB ﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．

（1）求线段AB的长；

（2）求直线CE的解析式；

（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，

∴OA=8，OB=6，

在直角△AOB中，AB===10；

（2）∵BC平分∠ABO，

∴OC=CD，

设OC=x，则AC=8﹣x，CD=x．

∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，

∴△ACD∽△AOB，

∴，即，

解得：x=3．

即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）．

设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得

解得：

则直线AB的解析式是y=x+6，

设CD的解析式是y=﹣x+m，则4+m=0，则m=﹣4．

则直线CE的解析式是y=﹣x﹣4；

（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y=2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12=（m+8）2+（2m+6）2，=5m2+40m+100，BM12=m2+（2m+6﹣6）2=5m2，

AB=10，

根据AB2+AM12=BM12得100+5m2+40m+100=5m2，m=﹣5，

∴M1（﹣5，﹣4），BM1中点坐标为（﹣，1），

BM1中点同时也是AP1中点，则有，解得P1（3，2）

②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2=AM22+BM22，即100=5m2+40m+100+5m2，m=﹣4或m=0（舍去），

∴M2（﹣4，﹣2），AB中点坐标为（﹣4，3），

AB中点同时也是P2M2中点，则有，解得P2（﹣4，8）

综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．

2．（2015•黑龙江）如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；

（2）求△OFH的面积；

（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：

（1）解方程x2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，

∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC，

∴BC=2，OC=4，

∴B（﹣2，4），

∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，

∴OD=OC=4，DE=BC=2，

∴D（4，0），

设直线BD解析式为y=kx+b，

把B、D坐标代入可得，解得，

∴直线BD的解析式为y=﹣x+；

（2）由（1）可知E（4，2），

设直线OE解析式为y=mx，

把E点坐标代入可求得m=，

∴直线OE解析式为y=x，

令﹣x+=x，解得x=，

∴H点到y轴的距离为，

又由（1）可得F（0，），

∴OF=，

∴S

=××=；

△OFH

（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，

∴△DFM为直角三角形，

①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，

由（2）可知OF=，OD=4，

则有△MOF∽△FOD，

∴=，即=，解得OM=，

∴M（﹣，0），且D（4，0），

∴G（，0），

设N点坐标为（x，y），则=，=0，

解得x=，y=﹣，此时N点坐标为（，﹣）；

②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，

则有△FOD∽△DOM，

∴=，即=，解得OM=6，

∴M（0，﹣6），且F（0，），

∴MG=MF=，则OG=OM﹣MG=6﹣=，

∴G（0，﹣），

设N点坐标为（x，y），则=0，=﹣，

解得x=﹣4，y=﹣，此时N（﹣4，﹣）；

③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3，