刚体转动惯量计算方法

刚体对轴转动惯量的计算

一、转动惯量及回转半径

在第一节中已经知道，刚体对某轴z 的转动惯量就就是刚体内各质点与该点到

z 轴距离

2

平方的乘积的总与，即

J

z

口小。如果刚体质量连续分布，则转动惯量可写成

J z r 2

dm

M

(18-11)

由上面的公式可见，刚体对轴的转动惯量决定于刚体质量的大小以及质量分布情况 ，而与

刚体的运动状态无关，它永远就是一个正的标量。如果不增加物体的质量但使质量分布离轴 远一些，

就可以使转动惯量增大。例如设计飞轮时把轮缘设计的厚一些 ，使得大部分质量集中

在轮缘上，与转轴距离较远，从而增大转动惯量。相反,某些仪器仪表中的转动零件，为了提高灵 敏

度，要求零件的转动惯量尽量小一些 ，设计时除了采用轻金属、 塑料以减轻质量外，还要尽量

将材料多靠近转轴。

工程中常把转动惯量写成刚体总质量

M 与某一当量长度

的平方的乘积

(18-12)

相距为z 的点上，则此集中质量对z 轴的转动惯量与原刚体的转动惯量相同。

具有规则几何形状的均质刚体，其转动惯量可以通过计算得到，形状不规则物体的转动惯 量往往不就是由计算得出，而就是根据某些力学规律用实验方法测得。

二、简单形状物体转动惯量的计算 1.均质细直杆

dm

如图18-7所示，设杆长为I ，质量为M 。取杆上微段dx ，其质量为

图 18-7

杆对z c 轴的转动惯量为

对应的回转半径

2.均质细圆环

如图18-8所示均质细圆环半径为

R ，质量为M 。任取圆环上一微段，其质量为dm ，则对z

z

称为刚体对于 z 轴的回转半径(或惯性半径)，它的意义就是 ，设想刚体的质量集中在与

Mdx

I ，则此

J z c

I

2 2 x 2

dm

2/

—Ml 12

J z c I M

2、3

0.289I

0.707R

常见简单形状的均质物体对通过质心转轴的

转动惯量及回转半径可由表 18-1或机械设

计手册中查得。

表18-1

均质简单形体的转动惯量（m 表示形体的质量）

形体

转动惯量

回转半径

轴的转动惯量为

对应的回转半径

3.均质薄圆盘

如图18-9所示均质圆盘半径为 R,质量为M 。在圆盘上取半径为r 的圆环,则此圆环的质

dm 量为

M R

2

2 rdr

2M ,

2 rdr

R

，则

对z 轴的转动惯量为

对应的回转半径

J z

r 2

dm

R

2M R 2 r

3

dr

J z M R 2dm

MR 2

图 18-9

R 2

J X J Z J y 0 丄ml2 12

J x

3 l

6

J z J y

2

mr

2

—mr

2 ——r

2

J x J z

2 J y- mr

4

1 2

—mr

2

H側曲r|

J x-mb2

4 2b

I I 2

J y 一ma

4

J z— m(a2b2)

4

J y J z mr X y z

「10

--- r

5

J x

. 1 . _ 2

J y—m( 3r

l2)

J z

1 2 —mr 2 ,3(3r2

6 、2 z 2 r

三、平行移轴定理

l2

机械设计手册给出的一般都就是物体对于通过质心的轴（简称质心轴）的转动惯量，而有时需要物体对于与质心轴平行的另一轴的转动惯量。平行移轴定理阐明了同一物体对于上述

两轴的不同转动惯量之间的关系。

设刚体的质心为 C,刚体对过质心的轴 z '的转动惯量为J z ,对与Z 轴平行的另外一轴 z

坐标系Cx y '与'Oxyz,由图可见

2 2

、

m i (

X i y i )

J z mj i 2

m i (X i 2 y 2

)

其中

体质量与两轴间距离平方的乘积。这就就是 转动惯量的平行移轴定理

由公式(18-13)可知，在一组平行轴中，物体对于质心轴的转动惯量为最小。

例18-3钟摆简化力学模型如图

18-11所示，已知均质杆质量 m i 、杆长I,圆盘质量m 2、

半径R,求钟摆对水平轴O 的转动惯量。

X i X i , y i y i d

代入得

J z

m i [x'2 (y'i d)2

]

m i (x'i 2 y'2 2dy ； d 2

)

2 2

m i (x'i y'i )

2d 1

m i y i d 2 m i

因质心 C 就是坐标系 Cx' y '的'坐标原点 ,故

1

m i y i

°,又

m

i

m

,所以上式简化为

J z J z ‘ md 2

(18-13)

上式表明：物体对于任一轴

z 的转动惯量，等于物体对平行于 z 轴的质心轴的转动惯量

的转动惯量为

J z

J z' ，加上物