第五章矩阵分析(改)

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第五章 矩阵分析

本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念,简要介绍向量与矩阵范数的有关知识.

§5.1 向量与矩阵的范数

从计算数学的角度看,在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时,范数起到了十分重要的作用.

一、向量的范数

定义1 设V 是数域F 上n 维(数组)向量全体的集合,x 是定义在V 上的一个实值函数,如果该函数关系还满足如下条件:

1)非负性 对V 中任何向量x ,恒有0x ≥,并且仅当0=x 时,才有

x =0;

2)齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ,有;x k kx = 3)三角不等式 对任意V y x ∈,,有

y x y x +≤+,

则称此函数x (有时为强调函数关系而表示为⋅) 为V 上的一种向量范数.

例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =,定义

2

22212

n

x x x x

+++=

则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模].

证 首先,2n x C 是上的实值函数,并且满足

1)非负性 当0x ≠时,0x >;当0x =时,0x =; 2)齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈,有

22||||||kx k x =

=;

3)三角不等式 对任意复向量1212(,,

,),(,,

,)T T n n x x x x y y y y ==,有

222

221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++

++

2221122()()()n n x y x y x y ≤++++

++

2

21

1

1

||2||||||n

n

n

i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑(由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ

不等式)

222222

2

22||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+

因此 222||||||||||||x y x y +≤+

所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义

112||||||||||n x x x x =+++,

1max i i n

x

x ∞

≤≤=,

则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数,分别称为1-范数和∞-范数.

证 仅对后者进行证明. 1)非负性 当0x ≠时,max 0i i

x

x ∞

=>,又显然有00∞=;

2)齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ,

max max ;i i i

i

kx

kx k x k x ∞

∞===

3)三角不等式 对任意向量1212(,,

,),(,,

,),T T n n x x x x y y y y ==

()i i i

i i i

y x y x y

x +≤+=+∞

max max

i i

i i

y x max max +≤ =∞∞

+y x .

综上可知∞x 确为向量范数.

上两例中的∞x x x ,,21是常用的三种向量范数.

一般地,对于任何不小于1的正数p ,向量()T n x x x x ,,,21 =的函数

p

n

i p i p

x x

1

1⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∑= 也构成向量范数,称为向量的p -范数.

注(1)当1p =时,1;p

x

x =

(2)当2p =时,2x 为2-范数,它是酉空间范数;当i x 为实数时,

122

21()n

i i x x ==∑为欧氏空间范数;

由p -范数的存在,可知向量的范数有无穷多种,而且,向量的范数并不仅限于p -范数.在验证向量的范数定义中,三角不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式,即:

1、Hölder 不等式 设正实数,p q 满足

11

1,p q

+=则对任意的,,n x y C ∈有

111

1

1

()()n

n

n

p

q p

q

i i

i i i i i x y

x y ===≤∑∑∑

2、Minkowski 不等式 对任意实数1p ≥,及,,n x y C ∈有

(1111

1

1

()()()n

n

n

p

p p

p

p

p

i i i i i i i x y x y ===+≤+∑∑∑).

例3 设()T n 1,,1,1 =为n 维向量,则

1,

,

21===∞

x

n x n x

各种范数值差距很大.但是,各种范数之间却存在着内在的制约关系,

称为范数的等价性.

定理1 设βα⋅⋅,为有限维线性空间V 的任意两种向量范数(它们不限于p -范数),则存在正的常数12,C C ,使对一切向量x ,恒有

βαβ

x C x x

C 21≤≤ (1)

证 如果范数x α和x β都与一固定范数譬如2-范数2x 满足式(1)的关系,则这两种范数之间也存在式(1)的关系,这是因为若存在正常数

12

,C C ''和12,C C '''',使 12

2212

2,C x x C x C x

x C x α

β

β

''≤≤''''≤≤

成立,则显然有

112

2||||||||||||C C x x C C x βαβ''''''≤≤ 令11122

2,C C C C C C ''''''==,则得式(1),因此只要对2β=证明或(1)成立即可.

设V 是n 维的,它的一个基是12,,

,n x x x ,于是V 中的任意向量x 可表示为

1122n n x x x x ξξξ=++

+

从而,1122n n x x x x ααξξξ=+++可视为n 个变量12,,,n ξξξ的函数,

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