第五章矩阵分析(改)
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第五章 矩阵分析
本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念,简要介绍向量与矩阵范数的有关知识.
§5.1 向量与矩阵的范数
从计算数学的角度看,在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时,范数起到了十分重要的作用.
一、向量的范数
定义1 设V 是数域F 上n 维(数组)向量全体的集合,x 是定义在V 上的一个实值函数,如果该函数关系还满足如下条件:
1)非负性 对V 中任何向量x ,恒有0x ≥,并且仅当0=x 时,才有
x =0;
2)齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ,有;x k kx = 3)三角不等式 对任意V y x ∈,,有
y x y x +≤+,
则称此函数x (有时为强调函数关系而表示为⋅) 为V 上的一种向量范数.
例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =,定义
2
22212
n
x x x x
+++=
则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模].
证 首先,2n x C 是上的实值函数,并且满足
1)非负性 当0x ≠时,0x >;当0x =时,0x =; 2)齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈,有
22||||||kx k x =
=;
3)三角不等式 对任意复向量1212(,,
,),(,,
,)T T n n x x x x y y y y ==,有
222
221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++
++
2221122()()()n n x y x y x y ≤++++
++
2
21
1
1
||2||||||n
n
n
i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑(由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ
不等式)
222222
2
22||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+
因此 222||||||||||||x y x y +≤+
所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义
112||||||||||n x x x x =+++,
1max i i n
x
x ∞
≤≤=,
则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数,分别称为1-范数和∞-范数.
证 仅对后者进行证明. 1)非负性 当0x ≠时,max 0i i
x
x ∞
=>,又显然有00∞=;
2)齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ,
max max ;i i i
i
kx
kx k x k x ∞
∞===
3)三角不等式 对任意向量1212(,,
,),(,,
,),T T n n x x x x y y y y ==
()i i i
i i i
y x y x y
x +≤+=+∞
max max
i i
i i
y x max max +≤ =∞∞
+y x .
综上可知∞x 确为向量范数.
上两例中的∞x x x ,,21是常用的三种向量范数.
一般地,对于任何不小于1的正数p ,向量()T n x x x x ,,,21 =的函数
p
n
i p i p
x x
1
1⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∑= 也构成向量范数,称为向量的p -范数.
注(1)当1p =时,1;p
x
x =
(2)当2p =时,2x 为2-范数,它是酉空间范数;当i x 为实数时,
122
21()n
i i x x ==∑为欧氏空间范数;
由p -范数的存在,可知向量的范数有无穷多种,而且,向量的范数并不仅限于p -范数.在验证向量的范数定义中,三角不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式,即:
1、Hölder 不等式 设正实数,p q 满足
11
1,p q
+=则对任意的,,n x y C ∈有
111
1
1
()()n
n
n
p
q p
q
i i
i i i i i x y
x y ===≤∑∑∑
2、Minkowski 不等式 对任意实数1p ≥,及,,n x y C ∈有
(1111
1
1
()()()n
n
n
p
p p
p
p
p
i i i i i i i x y x y ===+≤+∑∑∑).
例3 设()T n 1,,1,1 =为n 维向量,则
1,
,
21===∞
x
n x n x
各种范数值差距很大.但是,各种范数之间却存在着内在的制约关系,
称为范数的等价性.
定理1 设βα⋅⋅,为有限维线性空间V 的任意两种向量范数(它们不限于p -范数),则存在正的常数12,C C ,使对一切向量x ,恒有
βαβ
x C x x
C 21≤≤ (1)
证 如果范数x α和x β都与一固定范数譬如2-范数2x 满足式(1)的关系,则这两种范数之间也存在式(1)的关系,这是因为若存在正常数
12
,C C ''和12,C C '''',使 12
2212
2,C x x C x C x
x C x α
β
β
''≤≤''''≤≤
成立,则显然有
112
2||||||||||||C C x x C C x βαβ''''''≤≤ 令11122
2,C C C C C C ''''''==,则得式(1),因此只要对2β=证明或(1)成立即可.
设V 是n 维的,它的一个基是12,,
,n x x x ,于是V 中的任意向量x 可表示为
1122n n x x x x ξξξ=++
+
从而,1122n n x x x x ααξξξ=+++可视为n 个变量12,,,n ξξξ的函数,