第五章矩阵分析(改)

第五章 矩阵分析本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识.§5.1 向量与矩阵的范数从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用.一、向量的范数定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：1）非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有x =0；2）齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3）三角不等式 对任意V y x ∈,，有y x y x +≤+，则称此函数x （有时为强调函数关系而表示为⋅） 为V 上的一种向量范数.例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义222212nx x x x+++=则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模].证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有22||||||kx k x ==；3）三角不等式 对任意复向量1212(,,,),(,,,)T T n n x x x x y y y y ==，有222221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++++2221122()()()n n x y x y x y ≤++++++22111||2||||||nnni i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不等式）222222222||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+因此 222||||||||||||x y x y +≤+所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义112||||||||||n x x x x =+++，1max i i nxx ∞≤≤=，则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数.证 仅对后者进行证明. 1）非负性 当0x ≠时，max 0i ixx ∞=>，又显然有00∞=；2）齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ，max max ;i i iikxkx k x k x ∞∞===3）三角不等式 对任意向量1212(,,,),(,,,),T T n n x x x x y y y y ==()i i ii i iy x y x yx +≤+=+∞max maxi ii iy x max max +≤ =∞∞+y x .综上可知∞x 确为向量范数.上两例中的∞x x x ,,21是常用的三种向量范数.一般地，对于任何不小于1的正数p ，向量()T n x x x x ,,,21 =的函数pni p i px x11⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑= 也构成向量范数，称为向量的p -范数.注（1）当1p =时，1;pxx =（2）当2p =时，2x 为2-范数，它是酉空间范数；当i x 为实数时，12221()ni i x x ==∑为欧氏空间范数；由p -范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且，向量的范数并不仅限于p -范数.在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式，即：1、Hölder 不等式 设正实数,p q 满足111,p q+=则对任意的,,n x y C ∈有11111()()nnnpq pqi ii i i i i x yx y ===≤∑∑∑2、Minkowski 不等式 对任意实数1p ≥,及,,n x y C ∈有（111111()()()nnnpp ppppi i i i i i i x y x y ===+≤+∑∑∑）.例3 设()T n 1,,1,1 =为n 维向量，则1,,21===∞xn x n x各种范数值差距很大.但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，称为范数的等价性.定理1 设βα⋅⋅,为有限维线性空间V 的任意两种向量范数（它们不限于p -范数），则存在正的常数12,C C ,使对一切向量x ，恒有βαβx C x xC 21≤≤ (1)证 如果范数x α和x β都与一固定范数譬如2-范数2x 满足式（1）的关系，则这两种范数之间也存在式（1）的关系，这是因为若存在正常数12,C C ''和12,C C ''''，使 1222122,C x x C x C xx C x αββ''≤≤''''≤≤成立，则显然有1122||||||||||||C C x x C C x βαβ''''''≤≤ 令111222,C C C C C C ''''''==，则得式（1），因此只要对2β=证明或（1）成立即可.设V 是n 维的，它的一个基是12,,,n x x x ，于是V 中的任意向量x 可表示为1122n n x x x x ξξξ=+++从而，1122n n x x x x ααξξξ=+++可视为n 个变量12,,,n ξξξ的函数，记为12(,,,)n x αϕξξξ=，易证12(,,,)n ϕξξξ是连续函数，事实上，若令1122nn x x x x V ξξξ''''=+++∈,则 12(,,,)nx αϕξξξ''''=. 1212(,,,)(,,,)n n x x x x αααϕξξξϕξξξ'''''-=-≤- 11111()()nn n nn n x x x x αααξξξξξξξξ''''=-++-≤-++-. 由于ix α(1,2,,)i n =是常数，因此i ξ'与i ξ充分接近时，12(,,,)nϕξξξ'''就与12(,,,)n ϕξξξ充分接近，所以12(,,,)n ϕξξξ是连续函数.所以在有界闭集{}2221212(,,,)1n S ξξξξξξ=+++=上，函数12(,,,)n ϕξξξ可达到最大值2C 及最小值1C .因此在S 中，i ξ不能全为零，所以10C >.记向量1212222nn y x x x xxxξξξ=+++，则其坐标分量满足22212122221nx x xxxξξξ+++=，因此，y S ∈.从而有 11122220,,n C yC xx x αξξξϕ⎛⎫<≤=≤ ⎪ ⎪⎝⎭. 但2,xy x =故 122x C C x α'≤≤. 即 12222C x x C x ≤≤.二、矩阵的范数定义 2 设V 是数域F 上所有n m ⨯矩阵的集合，A 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：对V 中任意矩阵A 、B 及F 中任意常数k 总有1）非负性 0≥A 并且仅当0=A 时，才有0=A ； 2）齐次性 A kkA =；3）三角不等式 B A B A +≤+； 则称()⋅A是V 上的一种矩阵范数.例4 对n m C ⨯（或n m R ⨯）上的矩阵A ()ij a =定义∑∑===mi nj ij M a A111，∑∑===m i nj ijM aA1122，11max ij M i m j nA a ∞≤≤≤≤=，则∞⋅⋅⋅M M M ,,21都是n m C ⨯（或n m R ⨯）上的矩阵范数.实用中涉及较多的是方阵的范数，即m n =的情形.定义 3 设F 是数域，⋅是n n F ⨯上的方阵范数.如果对任意的,n n A B F ⨯∈，总有AB A B ≤⋅，则说方阵范数⋅具有乘法相容性.注意：在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳入方阵范数的定义中作为第4个条件，在读书时，只要注意到各自定义的内涵就可以了.例 5 对n n C ⨯上的矩阵][A ij a =定义ij nj i a n A ≤≤⋅=,1max ，则⋅是一种矩阵范数，并且具备乘法相容性.证 非负性与齐次性显然成立，另两条证明如下：三角不等式ij ij b a n B A +⋅=+max()max max ij ij n a b ≤+ B A +=； 乘法相容性⎪⎭⎫⎝⎛⋅≤⋅=∑∑==n k kj ik nk kj ik b a n b a n AB 11max max()()B A b n a n ij ij =⋅≤max max ， 证得A 为矩阵范数且具有乘法相容性.并不是所有的方阵范数都具有乘法相容性.例如对于22⨯R 上的方阵范数.M ∞就不具备相容性条件.此时ij j i M a A2,1m ax ≤≤=∞.取 1110,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有 1==∞∞M M BA ，而 2M M M ABA B∞∞∞=>.定义4 如果n 阶矩阵A 的范数A 与n 维向量x 的范数x ，使对任意n 阶矩阵A 及任意n 维向量x 均有x A Ax ≤，则称矩阵范数A 与向量范数x是相容的.定理2 设x 是某种向量范数，对n 阶矩阵A 定义AxxAx A x x 1max max=≠==（2）则A 为方阵范数，称为由向量范数x 导出的矩阵范数，而且它具有乘法相容性并且与向量范数x 相容.证 首先可证，由（2）式定义的函数关系||||A 满足与向量范数||||x 的相容性.对于任意n 阶矩阵A 及n 维向量x ，当0x ≠时，有0||||||||max ||||||||||||y Ax Ay A x y ≠≤=， 即 ||||||||||||;Ax A x ≤（3）而当0x =时，||||0||||||||Ax A x ==，于是总有（3）式成立.容易验证||||A 满足范数定义中的非负性、齐次性及三角不等式三个条件，因而A 是一种方阵范数.并且，对任意n 阶矩阵,A B ，利用（2）式和（3）式可得maxmaxmaxx x x A BxABx Bx AB A A B xxx≠≠≠=≤==.即说矩阵范数A 具备乘法相容性.一般地，把由向量p -范数p x 导出的矩阵范数记作p A .下面看常用的三种矩阵范数：例6 证明：对n 阶复矩阵[]i j A a =，有 1）11max nij j ni Aa ∞≤≤==∑，称为A 的列和范数.2）11max nij j nj Aa ∞≤≤==∑，称为A 的行和范数.证 1）设111max nnijikj ni i w a a≤≤===∑∑.若A 按列分块为12(,,,)n A ααα=则111max k j j nw αα≤≤==.任意n 维向量12(,,)T n x x x x =，有112211221111112111()max .n n n nn jj nAx x x x x x x x x x x w ααααααα≤≤+++≤+++≤+++≤＝于是，对任意非零向量x 有11Ax w x ≤. 以下证明存在非零向量k e 使11k kAe w e =.事实上，设k e 是第k 个分量为1而其余分量全为0的向量，则1k e =1,且1k ik i Ae a w =∑n=1＝,即11k kAe w e =.2）的证明与1）相仿，留给读者去完成. 例7 证明对n 阶复矩阵A ，有21max i i nA σ≤≤=，这里()n i i ,,2,1 =σ是A 的奇异值，称此范数为A 的谱范数.证 设H A A 的全部特征根为12,,n λλλ不妨设11max i i nλλ≤≤=.于是11max i i nσσ≤≤==.因为H A A 为H -矩阵，故有酉矩阵U ，使得,,H H U A AV diag λλλ=Λ=12n (,).如设12(,,,)n U u u u =则i u 是H A A 相应于特征根i λ的单位特征向量，即有,H i i i A A u u λ= 21iu =.对任意满足2||||1x =的复向量12(,,,)T n x x x x = ，有22||||()()H H Ax Ax Ax x ==HU U x Λ令H y U x =，则222222||||||||||||1H y U x x ===，说明y 亦为单位向量.若设12(,,,)T n y y y y =,则2221||||||1nii y y ===∑于是 22211||||||nHi i i Ax y y y λλ==Λ=≤∑.即有12Ax σ≤.由x 的任意性，便得21221max x A Ax σ==≤特别取1x u =，则有211111112H H H Au u A Au u u λλ==＝， 即112Au σ=.这说明2Ax 在单位球面{}21,n x x x C =∈上可取到最大值1σ，从而证明了21221max x A Ax σ===各种矩阵范数之间也具有范数的等价性定理 3 设,a A A β是任意两种矩阵范数 则有正实数12,,C C 使对一切矩阵A 恒有12a C A A C A ββ≤≤§5.2 向量与矩阵序列的收敛性在这一节里，我们将把数列极限的概念，扩展到向量序列与矩阵序列上去.可数多个向量（矩阵）按顺序成一列，就成为一个向量（矩阵）序列，例如 ()()()12(,,,)k k k Tk n x x x x =，1,2,3,k=是一个n 维向量序列，记为{}k x ，诸k x 的相应分量则形成数列{}k i x .定义5 设有向量序列()()()12{}:(,,,)k k k Tk k n x x x x x =.如果对1,2,i n =，数列(){}k i x 均收敛且有()lim k i i k x x →∞=，则说向量序列{}k x 收敛.如记12(,,,)T n x x x x =，则称x 为向量序列{}k x 的极限，记为lim k k x x →∞=，或简记为k x x →.如果向量序列{}k x 不收敛，则称为发散.类似于数列的收敛性质，读者不难证明向量序列的收敛性具有如下性质.设{},{}k k x y 是n C 中两个向量序列，,a b 是复常数，n ,m A C ⨯∈如果lim ,lim k k k k x x y y →∞→∞==，则1lim();2lim .k k k k k ax by ax by Ax Ax →∞→∞>+=+>=定理 4 对向量序列{}k x ，x x k =∞→k lim 的充分必要条件是0lim =-∞→x x k k ，其中⋅是任意一种向量范数.证明1）先对向量范数i ni x x≤≤∞=1max 证明定理成立.有i k i k k k x x x x =⇔=∞→∞→)(lim lim ，n i ,...,2,1=；,0lim )(=-⇔∞→i k i k x x n i ,...,2,1=；0max lim )(1=-⇔≤≤∞→i k i ni k x x ；0lim =-⇔∞∞→xx k k .2）由向量范数等价性，对任一种向量范数⋅，有正实数21,b b ，使∞∞-≤-≤-x x b x x xx b k k k 21.令∞→k 取极限即知lim 0lim 0k k k k x x x x∞→∞→∞-=⇔-=.于是定理对任一种向量范数都成立.根据上述定义，向量序列有极限的根本之处在于各分量形成的数列都有极限.由于m n C ⨯中矩阵可以看作一个mn 维向量，其收敛性可以和mn C 中的向量一样考虑.因此，我们可以用矩阵各个元素序列的同时收敛来规定矩阵序列的收敛性.定义 6 设有矩阵序列{}n m k ij k k a A A ⨯=][:)(，如果对任何,(1,1)i j i m j n ≤≤≤≤，均有ij k ij k a a =∞→)(lim 则说矩阵序列{}k A 收敛，如令n m ij a A ⨯=][，又称A 为{}k A 的极限.记为,lim A A k k =∞→或A A k →.矩阵序列不收敛时称为发散.讨论矩阵序列极限的性质，以下设所涉及的矩阵为n 阶矩阵： 1) 若A A k k =∞→lim ，{}k a 为数列且a a k k =∞→lim ，则()aA A a k k k =∞→lim .特别，当a 为常数时，()k k k k A a aA ∞→∞→=lim lim .2) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()B A B A k k k ±=±∞→lim .3) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()AB B A k k k =∞→lim .4) 若A A k k =∞→lim 且诸k A 及A 均可逆，则{}1-k A 收敛，并且11lim --∞→=A A k k .容易证明性质1)-3)成立，对性质4)注意到行列式k A 值定义的和式无非是k A 中元素()(,1,2,,)k ij a i j n =的乘法与加法之组合，再由lim k →∞(),k ij ij a a =即可知lim k k A A →∞=用()k ij A 表示Ak 中(,)i j 元素的代数余子式，用ij A 表示A 中（,i j ）元素的代数余子式，便有()lim k ij ij k A A →∞=.进而 **lim k k A A →∞=.这里*k A 是k A 的伴随矩阵，*A 是A 的伴随矩阵.又*1kkk A A A -=， 所以*11lim kk A A A A--→∞==. 定理5 对于矩阵序列{}k A ，lim k k A A →∞=的充分必要条件是对任何一种矩阵范数⋅,有lim 0k k A A →∞-=定理5的证明与定理4类似，由于矩阵范数的等价性，只需证明对矩阵范数,max ij i jA a =定理成立，其方法也与定理4的证明一致，这里从略.以下主要介绍范数在特征值估计方面的应用. 定义7 设n n A C ⨯∈,1,,,,j n λλλ为A 的n 个特征值，称()max j jA ρλ=为A 的谱半径.有了谱半径的概念，可以对矩阵范数作如下的初步估计. 定理6 设n n A C ⨯∈,则对n n C ⨯上的任一矩阵范数⋅，皆有 ()A A ρ≤证 设λ是A 的特征值，x 为A 的属于特征值λ的特征向量，故0x ≠，所以0x ≠.另设v ⋅是n C 上与矩阵范数⋅相容的向量范数，由Ax x λ=，应有v v Ax x λ=而v v Ax A x ≤,于是有v v x A x λ≤同除0v x ≠，有 A λ≤. 故 max jA λ≤,于是 ()A A ρ≤.定理7 设n n A C ⨯∈，lim 0k k A →∞=的充分必要条件是()1A ρ<.证 对n n A C ⨯∈,由定理3.5.1知，存在n 阶的逆矩阵P 使得112(,,,)s P AP J diag J J J -==,其中10110i ii ii ii n n J λλλλ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,则 112(,,)k k k k k s P A P J diag J J J -==.因此lim 0lim 0lim 0(1,2,,)k k k i k k k A J J i s →∞→∞→∞=⇔=⇔==.而(1)11()()()()2(1)()()1()2()()i n k i k i k i k i i k i k i ki k i k i k i f f f f n f f J f f f λλλλλλλλλ-⎛⎫''' ⎪- ⎪' ⎪ ⎪⎪= ⎪'' ⎪ ⎪' ⎪⎪⎝⎭！！！ 其中()k k f λλ=因为对任一多项式(),g λ当k →∞时，()01ki i g k λλ→⇔<.而1(1,2,,)()1i i s A λρ<=⇔<.由定理6和定理7即得如下结果.定理8 设n n A C ⨯∈,如果存在n n C ⨯上的一种相容矩阵范数.使1A <，则lim k →∞0k A =§5.3 矩阵的导数本节讨论三种导数：矩阵对变量的导数、函数对矩阵的导数、矩阵对矩阵的导数一、函数矩阵对变量的导数如果矩阵中诸元素都是某实变量x 的函数，则称这种矩阵为函数矩阵.它的一般形式是()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=)()()()()()()()()(212222111211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x A mn m m n n ，其中()()1,2,,;1,2,,ij a x i m j n ==都是实变量x 的函数.定义8 设函数矩阵()[()]ij m n A x a x ⨯=，如果对一切正整数(),1,1i j i m j n ≤≤≤≤，均有()0lim ij ij x x a x b →=则说当0x x →时函数矩阵()A x 有极限,n m ij b B ⨯=][叫做()A x 的极限,记为()0lim x x A x B →=.该定义的实质是：如果()A x 的所有各元素()ij a x 在0x 处都有极限，则说()A x 在0x 处有极限()A x .若()A x 的所有各元素()ij a x 在0x 处连续，即0lim ()()ij x x A x a x →= (1,2,,;1,2,,)i m j n ==则称A ()x 在0x x =处连续，且记为00lim ()()x x A x A x →=.如果()A x 在某区间[,]a b 上处处连续，则说()A x 在[,]a b 上连续.容易验证下列等式是成立的： 设()()0lim ,lim x x x x A x A B x B →→==，则（1）0lim(()())x x A x B x A B →±=±；（2）()0lim ()x x kA x kA →=；（3）()0lim ()()x x A x B x AB →=.定义9 对于函数矩阵()n m ij x a x A ⨯=)]([，如果所有元素()()n j m i x a ij ,,2,1;,,2,1 ==在某点x 处[或在某区间上]均可导，则称()x A在x 处[或在某区间上]可导.导数[或导函数]记为()dA x dx，简记为()x A '.并规定()()()()()()()()()()()111212122212n n m m mna x a x a x a x a x a x d A x A x dxa x a x a x '''⎛⎫⎪''' ⎪'== ⎪ ⎪ ⎪'''⎝⎭, 其中()ija x '表示()x a ij 对x 的一阶导数. 矩阵对变量的导数运算具有如下一些性质：1° 若函数矩阵()()x B x A ,都可导，则它们的和亦可导，并且()()[]()()x B dxd x A dx d x B x A dx d+=+. 2° 若()x A 可导，()f x 是x 的可导函数，则()x f ()x A 可导，且()()[]()()()()x A dx d x f x A x f dx d x A x f dx d +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=， 特别地，当()x f 为常数k 时，有()[]()x A dxd k x kA dx d=. 3° 若()x A 可导，则()x A T 可导，并且()()TT dx x dA x A dx d ⎪⎭⎫⎝⎛= 4° 若()x A ，()x B 可导且二者可乘，则()x A ()x B 亦可导，且()()[]()()()()x B dx d x A x B x A dx d x B x A dx d +⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⋅. 推论 若()x A 可导，Q P ,为数字矩阵，则()[]()x A dxd P x PA dx d=,()[]()Q x A dx d Q x A dx d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=. 5° 若()x A 为可逆的可导函数矩阵，则()x A 1-亦可导，且()[]()()()x A dxx dA x A x A dx d 111----=. 证 因为1()(),A x A x E -=所以111()()[()()]()()0d dA x dA x A x A x A x A x dx dx dx---=+=. 于是111()()()()dA x dA x A x A x dx dx---=- 函数矩阵的导数本身也是一个函数矩阵，它可以再进行术导运算，下面我们给出函数矩阵对纯量的高阶导数：2232321()()()()()()()()()k k kd A x d dA x dx dx dx d A x d d A x dx dx dx d A x d d A x dx dx dx-=== 例1 设)(x A 为n 阶可导函数矩阵，求()x A 2的一、二阶导数.解()()()[]()()()()x A x A x A x A x A x A dxdx A dx d '+'==2 [注意一般 2()2()()dA x A x A x dx'≠]()()()()()[]x A x A x A x A dx dx A dxd '+'=222 ()()()[]()()x A x A x A x A x A ''+'+''=22.例2 设()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=t x t x t x x n 21,其中()t x i 均为t 的可导函数，n n ij a A ⨯=][为n 阶实对称矩阵，求二次型Ax x T 对t 的导数.解 []()x A x x A x Ax x Ax x dtd T T T T'+'+'=.又A 为数字矩阵， A '=0，又x A x T '为t 的函数.而有()()()Ax x x A x x A x x A x T T TTT T '='='='.所以()x A x Ax x dxd T T'=2. 二、函数对矩阵的导数定义1 设n m ij x X ⨯=][为多元实变量矩阵，()()1111,,,,,,n m mn f X f x x x x =是以X 中诸元素为变量的多元函数，并且偏导数ijx f∂∂()1,2,,;1,2,,i m j n ==都存在，则定义函数)(X f 对矩阵X 的导数为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=mn m m nn x f x f x f x f x f x f x f x f x fdX df212222111211 特别，当X 为向量()Tn x x x x ,,,21 =时，函数()n x x x f ,,,21 对x 之导数为()x f x f x f x f dx df Tn ∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂=,,,21 例3 设[]()∑∑==⨯==m i nj ij nm ijx X f x X 112,,求dXdf解 2,1,2,,;1,2,,ij ijfx i m j n x ∂===∂.X x x x x x x x x x dX df mn m m n n 2222222222212222111211=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= . 例4 设1122,n n a x a x a x a x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1122()T n n f x a x a x a x a x ==+++，则12n a a df a dx a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭三、矩阵对矩阵的导数定义11 设矩阵n m kl a A ⨯=][中每一个元素kl a 都是矩阵q p ij b B ⨯=][中各元素(1,2,...,;1,2,...,)ij b i p j q ==的函数，当A 对B 中各元素都可导时，则称矩阵A 对矩阵B 可导，且规定A 对B 的导数为11122122212q q p p pq A A A b b b A A A dA b b b dB A A A b b b ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂= ⎪⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭,其中111122212212n ij ij ij n ijij ij ij m m mn ijijij a a a b b b a a a A b b b b a a a b b b ∂∂∂⎛⎫⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂∂= ⎪∂⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭，dB dA 是一个nq mp ⨯矩阵.例5 设n m ij a A ⨯=][，求dA dA 解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=mn m m n n mn m m n n E E E E E E E E E a A a A a A a A a A a A a A a A a AdA dA212222111211212222111211. 这里),(j i E ij 是元素都是1，其余元素都是0的n m ⨯矩阵. 例6 设()n x x x x ,,,21 =，()Tn y y y y ,,,21 =,其中()()m i x x x f y n i i ,,2,1,,,21 ==.如果()1,2,,;1,2,ijy i m j n x ∂==∂都存在，则y 对x 可导且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=n mm m n n n x y x y x y x y x y x y x y x y x y x yx y x y dx dy21222121211121,, 例7 设12(,,,)n x x x x =,求Tdx dx.解 111122221212n T n n n n n x x x x x x x x x dx E dx x x x x x x x x x ⎛⎫∂∂∂⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂==⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭. 以下我们考虑向量对向量的导数设 12(,,),n x x x x = 12n y y y y ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中 12(,)(1,2,,).i i n y f x x x i m ==如果(1,2,,;1,2)ijy i m j n x ∂==∂都存在，则y对x 可导，且12(,,,)ndy y y ydx x x x ∂∂∂=∂∂∂111122221212n n m m n n y y y x x x y y y x x x y y y x x x ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦（1）在一些书上，往往对行向量和列向量不加区别，而规定任何一个m 维向量y 对另一个n 维向量x 的导数都以上面（1）式最后的矩阵形式来表达，这主要是为了应用的方便例8 设数量函数()n x x x f y ,,,21 =的所有二阶偏导数都存在，记()Tn x x x x ,,,21 = 求梯度()dyf x dx∇=，及海森[Hessian]矩阵22()d y H x dx =解 12(),,,Tn dy y yy f x dx x x x ⎛⎫∂∂∂∇== ⎪∂∂∂⎝⎭. 222211212222221222222212()n n n n n y y y x x x x x yy y d y d dy H x x x x x x dx dx dx y y y x x x x x ⎛⎫∂∂∂ ⎪∂∂∂∂∂⎪ ⎪∂∂∂⎪⎛⎫===∂∂∂∂∂ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪ ⎪∂∂∂⎪∂∂∂∂∂⎝⎭.当y 的所有二阶偏导数都连续时，Hessian 矩阵为n 阶对称矩阵.§5.4 矩阵的微分与积分定义12 当函数矩阵()[()]ij m n A x a x ⨯=可导时，其微分111212122212[]n n ij m nm m mn da da da da da da dA da da da da ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中()ij ij da a x dx '=.（1）矩阵的微分实质上就是各个元素分别微分，因此，相应于每一个导数运算性质都可以得到一个关于微分的相应性质，例如();d A B dA dB +=+()();d AB dA B AdB =+ ();d kA kdA =（k 为常数）()()()d fA df A f dA =+ (()f f x =为可微函数）都是正确的如果矩阵A 中每个元素都是以矩阵B 中诸元素为变量的多元函数，则称矩阵A 是矩阵B 的函数，记为()A B .此时矩阵A 作为一个多元函数矩阵，它的全微分仍可按（1）式定义，只不过其中元素ij da 应该换成全微分，即 11pqij ij kl k l kla da db b ==∂=∂∑∑，这里,p q 分别是矩阵B 的行数和列数.定义13 若函数矩阵()(())ij m n A x a x ⨯=的所有各元素()(1,2,,;ij a x i m =1,2,,)j n =都在[,]a b 上可积，则称()A x 在[,]a b 上可积,且 111211222212()()()()()()()()()()nn m m mn bbb a x dx a x dx a x dx a a a bbba x dx a x dx a x dxb A x dx aa a ab bb a x dx a x dxa x dx a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.函数矩阵的定积分有如下简单性质:（1）()()b bkA x dx k A x dx a a=⎰⎰ k R ∈（2）[]()()()()b b bA xB x dx A x dx B x dx a a a+=+⎰⎰⎰ 函数矩阵的不定积分也有类似的情况.例8 设sin cos ()cos sin x x A x x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求()0x A x dx ⎰及2()0x d A x dx dx ⎰.解 sin (cos )01cos sin ()0sin 1cos cos sin 00xxxdxx dx x x x A x dx x x x x xdx xdx ⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰.因为若以()ij a x 表示()A x 中各元素(,1,2)i j =，则有22()2()0ij ij x d a x dx xa x dx =⎰. 所以有 222222sin cos ()2()20cos sin x x x d A x dx xA x x dx x x ⎛⎫-== ⎪⎝⎭⎰.。