第八章 静电场4等势面梯度

×
(B)在电场中，电势为零的点，
电场强度必为零。
×
√
电势零点选 择任意，与 场强无必然 联系。
dV E en gradV dn
(C)在电势不变的空间，场强处
处为零。
(D) 在场强不变的空间，电势处
处相等。
×
反例：平行板 电容器中电场。
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练习. 高斯定理 的应用范围是:
(A)任何静电场. (B)任何电场.
2.等势面与电场线的关系 q0在等势面上移动, E与 dl 成 角 电场力做功
(1) dA = q0 E.dl
E
q0
电场力做功 与电势差
q 0 E d l cos (2) dA = q0 dV = 0
Eቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ dl 0
E dl
θdl
S
由于 q 0 0
cos 0
电场是
域的场强是
；若电势随空间坐标作线性变化，则该区
。
例：求均匀带电圆环轴线上的电场。 解：P点电势 V
q 4 0 ( R 2 x 2 )1 / 2
R
o r
利用场强与电势的关系得：
p x
x
qx ∂V Ex = 2 2 3/ 2 ∂x 4 0 ( R x ) qx ∴ E = E i = i 2 2 3 / 2 x E y = 0, Ez = 0 4πε0 ( R + x )
场强与电势梯度
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§8-6 带电粒子在静电场中的运动
一、受力情况
1.电荷q 受到的电场力 F q E
2. 电偶极子在均匀外场中所受的作用。
F E
F E
Pe 受到力矩M作用，大小为:
Pe所受的合力为零，不产生平动。
M = lF sin θ = lqE sin θ = p e E sin θ
= -grad V
∂z ∂x ∂y ∂V ∂V ∂V i+ j+ k ) 称为电势梯度 数学符号 gradV = ( ∂x ∂y ∂z
2
场强分量 E = - ∂V , E = - ∂V , Ez = - ∂V x y
三、 场强与电势梯度的关系的应用 练习：静电场中某个区域的电势等于常量，则该区域的
结论：电场线与等势面垂直。 即 E 与等势面垂直。
场强与等势面垂直，指向电势降低的方向。
等势面
1
二、场强与电势的数值关系
电势梯度
观察
V P = ∫E . dl
" 0" P
1. 数学上，电势的导数与电场强度有某种对应关系 2. E是矢量，V的偏导应与电场强度的分量对应。 可以严格证明，在直角坐标系中 ∂V ∂V ∂V E = -( i+ j+ k) ∂x ∂y ∂z
×
√
×
×
(C)具有球对称性、轴对称性和平面对称性的
静电场.
(D)虽然不具有（C）中所述的对称性、但可以
找到合适的高斯面的静电场.
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例. 关于高斯定理的理解有下面几种说法,其中正确的是︰
(A)如果高斯面上场强处处为零 ,则
该面内必无电荷。 上场强处处为零。
× ×
q
i内
0
(B)如果高斯面内无电荷 ,则高斯面
矢量式:
M pe E
F2
pe
q F 1
q

E
力偶矩M使电偶极子转向电场方向
带电粒子在静电场中的运动
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二、运动方程
讨论低速，忽略重力，均匀电场情况
带电粒子在电场中运动满足牛顿方程 :
1.初速度与电场同向 qE a 加速度 m 动能定理:电场力的功等于动能增量 1 1 2 2 m m 0 qU 2 2 2.初速度与电场垂直 qE a = ay = 加速度 m 粒子运动方程为 x 0 t 1 2 1 qE 2 y at t 2 2m
m F eE r
2 0
两圆筒之间的电势差：
2 m 0 E er
+
U =∫ R
R2
1
E .dr

6
m 02 R2 dr m 02 R2 ln R1 e r e R1
带电粒子在静电场中的运动
练习．关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中， 哪一种是正确的？
(A)在电场中，场强为零的点， 电势必为零。
反例：点电荷场 反例：点电荷场
(C)如果高斯面上场强处处不为零 ,
则高斯面内必有电荷。
×
(D)如果高斯面内有净电荷 ,则通过
过高斯面的电通量必不为零。 √
(E) 高斯定理仅适用于具有高度对 称性的电场。
×
9
带电粒子在静电场中的运动
dv m qE dt
E
v0
y
U
E
0
x
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例: 将半径分别为R1和R2的两个很长的共轴金属圆筒分 别连接到直流电源的两极上。今使一电子以速率 0 ， 沿半径为r（R1<r<R2）的圆周的切线方向射入两圆筒间。 欲使得电子作圆周运动，电源电压应为多大。 （设电子质量 m ,电子电量 e 为已知） 解：圆周运动所需向心力