电磁场理论练习题

第一章 矢量分析

1.1 3ˆ2ˆˆz y x e e e

A -+= ，z y e e

B ˆ4ˆ+-= ，2ˆ5ˆy x e e

C -= 求（1）ˆA e ；（2）矢量A 的方向余弦；（3）B A ⋅；（4）B A ⨯；

（5）验证()()()B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ ；

（6）验证()()()B A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯。

1.2 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，则可确定该未知矢

量。设A 为已知矢量，X A B ⋅=和X A B ⨯=已知，求X 。

1.3 求标量场32yz xy u +=在点（2,-1,1）处的梯度以及沿矢量z y x e e e

l ˆ2ˆ2ˆ-+= 方向上的方向导数。

1.4 计算矢量()()

3222224ˆˆˆz y x e xy e x e

A z y x ++= 对中心原点的单位立方体表面的面积分，再计算A ⋅∇对此立方体的体积分，以验证散度定理。

1.5 计算矢量z y e x e x e

A z y x 22ˆˆˆ-+= 沿(0,0)，(2,0)，(2,2)，(0,2)，(0,0)正方形闭合回路的线积分，再计算A ⨯∇对此回路所包围的表面积的积分，以验证斯托克斯定理。

1.6 f 为任意一个标量函数，求f ∇⨯∇。

1.7 A 为任意一个矢量函数，求()A ⨯∇⋅∇。

1.8 证明：A f A f A f ⋅∇+∇=∇)(。

1.9 证明：A f A f A f ⨯∇+⨯∇=⨯∇)()()(。

1.10 证明：)()()(B A A B B A ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇。

1.11 证明：A A A 2)(∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇。

1.12 ϕρϕρϕρρsin cos ˆ),,(32z e e

z A += ，试求A ⋅∇，A ⨯∇及A 2∇。 1.13 θθθϕθϕθcos 1ˆsin 1ˆsin ˆ),,(2r

e r e r e r A r ++= ，试求A ⋅∇，A ⨯∇及A 2∇。 1.14 ϕρϕρsin ),,(z z

f =，试求f ∇及f 2∇。

1.15 2sin ),,(r r f θϕθ=，试求f ∇及f 2∇。

1.16 求⎰⋅S

r S e d )sin 3ˆ(θ，S 为球心位于原点，半径为5的球面。 1.17 矢量ϕϕθ23cos 1ˆ),,(r

e r A r = ，21<

【专题】麦克斯韦方程

1 在直角坐标系中，试将微分形式的麦克斯韦方程写成8个标量方程。

2 试证明：任意矢量E 在进行旋度运算后再进行散度运算，其结果恒为零，即 ∇ ⋅ (∇ ⨯ E ) = 0。

3 试由微分形式麦克斯韦方程组，导出电流连续性方程t

∂∂-

=⋅∇ρJ 。

4 参看4题图，分界面上方和下方两种媒质的介电常数分别为 ε1和 ε2，分界面两侧电场强度矢量E 与单位法向矢量n 21之间的夹角分别是 θ1和 θ2。假设两种媒质分界面上的电荷面密度 ρS = 0，试证

明： 2

121tan tan εεθθ= 上式称为电场E 的折射定律。

5 参看4题图，分界面上方和下方两种媒

质的磁导率分别为 μ1和 μ2，假设两种媒质的分界面上的表面电流密度矢量J S = 0，把题图中的

电场强度矢量E 换成磁感应强度矢量B 。试证

明：

2

121tan tan μμθθ= 上式称为磁场B 的折射定律。若 μ1为铁磁媒质，μ2为非铁磁媒质，即 μ1 >> μ2，当 θ1 ≠ 90︒ 时，试问 θ2的近似值为何？请用文字叙述这一结果。

6 已知电场强度矢量的表达式为

E = i sin(ω t - β z ) + j 2cos(ω t - β z )

通过微分形式的法拉第电磁感应定律 t

∂∂-=⨯∇B E ，求磁感应强度矢量B (不必写出与时间t 无关的积分常数)。

7 一平板电容器由两块导电圆盘组成，圆盘的半径为R ，间距为d 。其间填充介质的介电常数为 ε 。如果电容器接有交流电源，已知流过导线的电流为I (t ) = I 0sin(ω t )。忽略边缘效应，求电容器中的电位移矢量D 。

8 在空气中，交变电场E = j A sin(ω t - β z )。试求：电位移矢量D ，磁感应强度矢量B 和磁场强度矢量H 。

4题图

第 2-3 章 静电场和恒定电场

2-1 参看图2-1，无限大导板上方点P (0, 0, h ) 处有一点电荷q 。试求：z > 0半无限大空间的电场强度矢量E 和电位移矢量D ，以及导板上的面电荷密度 ρS 和总电荷量q 。

图2-1 导体平面上方的点电荷及其镜像

2-2 如果将4块导板的电位分别改为：上板120 V ，左板40 V ，下板30 V ，右板90 V 。按下面步骤和要求用迭代法计算4个内节点处的电位值：(1) 列出联立方程；(2) 用塞德尔迭代法求解；(3) 计算最佳加速因子 α；(4) 用超松弛迭代法求解；(5) 比较两种迭代法的结果和收敛速度。两种迭代方法的迭代次数都取n = 4。

2-3 如果平板电容其中电荷分布的线密度为 ρ = ε0(1 + 4x 2)，其余条件相同，用矩量法(伽辽金法)求两导板之间的电位分布函数 ψ。选择基函数为

f n (x ) = x (1 - x n ) n = 1,2,3,…

2-4 如果在该问题中选择权函数为

x k R x w k R x w 6)( 2)(2

211-=∂∂=-=∂∂=和 上式中，R 是余数，由式(2-7-8)表示。矩量法中，通过这种方式来选择权函数，又称为最小二乘法。在其他已知条件均不变的情况下，用最小二乘法来求解两导板之间的电位分布函数 ψ。

2-5 通过直角坐标系试证明，对于任意的矢量A 都满足下面关系：

(1) ∇ ⨯ (∇ψ) ≡ 0； (2) ∇ ⋅ (∇ ⨯ A ) ≡ 0

2-6 同轴线内、外半径分别为a 和b ，内外导体之间介质的介电常数为 ε，电导率为 σ。设在同轴线内外导体上施加的电压为U ab ，求内外导体之间的漏电