最新整式乘除与因式分解培优精练专题答案
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整式乘除与因式分解培优精练专题答案一.选择题(共9小题)222之值的十位数字为何?(+88805)+77707 1.(2014?台湾)算式99903A.1 B.2 C.6 D.8222分析:的后两位数,再相加即可得到答案.、、8880577707分别得出999032解答:的后两位数为09,解:999032的后两位数为25,888052的后两位数为49,7770709+25+49=83,所以十位数字为8,故选:D.32)a正确的结果是(2014?盘锦)计算(2a)?2.(6777 D.B.C.A. 4 43aaa a根据幂的乘方与积的乘方、单项式与单项式相乘及同底数幂的乘法法则进行计算即分析:可.解答:解:原式=7 =4a,故选:B.22 +b)的值为(,.(2014?遵义)若a+b=2ab=2,则a3D .B.4 C.6A. 3 2222分析:﹣2ab利用a代入数值求解.+b(=a+b)222解答:解:a4=4+b(=a+b),﹣2ab=8﹣.故选:B22+m,则a,m的值分别是())?4.(2014拱墅区二模)如果ax+2x+=(2x+D ,B A.2,0.40C..4,2,运用完全平方公式把等号右边展开,然后根据对应项的系数相等列式求解即可.解答:22∵解:ax+2x+,+2x+=4x+m∴,.解得.故选D.)),则有((a>b>05.(2014?江阴市模拟)如图,设2>2D.k1.B.C.<k<A22解答:a﹣b)解:甲图中阴影部分的面积=a﹣b,,乙图中阴影部分的面积=a (=,>∵ab>0,,∴2∴1<k<.故选:C.)的值为(,则.6(2012?鄂州三月调考)已知法确定C.无D...A B解答:,解:∵a+=2)两边平方得:(a+∴=10,2 =10,a展开得:++2a?2a∴,2=8=10+﹣222)∴a﹣(2=6,﹣2=8﹣=a+2a﹣=a?+,±=﹣a∴.故选C.)7.已知,则代数式的值等于(D .C.A.B.分析:两边平方并整理成的平先判断a是正数,然后利用完全平方公式把方的形式,开方即可求解.解答:,解:∵22+a,且﹣a∴>0 ,=12+2+a∴=5,2 =5即(+|a|),开平方得,+|a|=.故选C.201232012232,则+…+2的值,可令S=1+2+2…滨州)求8.(2012?1+2+2+2+2+2+20122320134232013+5+5+2S=2+2.仿照以上推理,计算出+21+5+5+2+…+2S=2,因此2S﹣…﹣1 )的值为(20132012..D A.B.C1 ﹣1 ﹣55201223分析:S﹣+5整理即可得解.,用根据题目提供的信息,设S=1+5+55S+5+…2013201242332解答:5S=5+5+5,+5+…解:设S=1+5+5+5+5+…+5,则2013因此,5S﹣S=5﹣1,.S= C.故选222bc﹣+c﹣ab,那么代数式c=x+19,x+20b=,x+21郑州)已知2004.9(?a=a+b ac的值是()﹣ 1 .B 4 A.3.D 2 .C压轴题.:专题.,c=﹣1﹣b=1,a﹣三个式子消去分析:已知条件中的几个式子有中间变量x,x即可得到:a ﹣2,用这三个式子表示出已知的式子,即可求值.b﹣c=222解答:﹣ac,﹣ab解:法一:a﹣+bbc+c ),+c(c﹣aa﹣b)+b(b﹣c)=a(,,c=x+21又由a=x+20,b=x+19,得(a﹣bx+20﹣)=x﹣19=1 ,2,(c﹣a)=1(同理得:b﹣c)=﹣.x+19)+x+21=3所以原式=a﹣2b+c=x+20﹣2(B故选.222 bc法二:a﹣+b,+cac﹣ab﹣222 +2b,+2c2ac﹣2ab=(2a﹣2bc﹣)222222,)])+(b=[(a﹣2ab+b﹣)+(a﹣2ac+c2bc+c222,])﹣c=[(a﹣b)+(a﹣c)(+b.1+1+4)=3=×(故选B.二.填空题(共9小题)2)?江西样卷)已知(x+5(x+n)=x5+mx ﹣,则m+n=3.201410.(n的值.把式子展开,根据对应项系数相等,列式求解即可得到m、分析:2解答:x+5n5+n)x+n)()=x+(解:展开(x+52=x(x+5)(x+n)∵+mx﹣,5 ﹣5,5+n=m∴,5n= m=4n=∴﹣1,.∴1=3.m+n=4﹣3故答案为:23.,则﹣徐州一模)已知2014.11(?x=1x+=分析:2,然后利用完全平方公式展开,=1)﹣x的两边分别平方,可得(=1﹣x首先将.2变形后即可求得x+的值.222代入,即可+2,然后将)﹣x或者首先把x﹣+凑成完全平方式x=1+=(x2 +求得x的值.解答:x﹣=1,解:方法一:∵2)x﹣∴(,=12即x,+﹣2=12x∴+=3.,x﹣=1∵方法二:22x∴(x﹣)+2,+=2 +2,=1 =3.故答案为:3.226.12(2011?平谷区二模)已知,那么x+y.=2分析:用(x+y)与xy的代数式表示,然后把x+y,首先根据完全平方公式将(x+y)xy的值整体代入求值.解答:解:∵x+y=,xy=2,222)∴(x+y+2xy,+y =x2210=x∴+4,+y22x∴=6.+y故答案是:6.点评:本题主要考查完全平方公式的变形,熟记公式结构是解题的关键.完全平方公式:222.2ab+b=a ±±(ab)mn3m+2n=72=3,则10.201013.(?贺州)已知10=2,103m+2n3m2nm3n232解答:.9=72×=83?=2)10()10(=10=1010解:本题利用了同底数幂相乘的性质的逆运算和幂的乘方的性质的逆运算.同底数幂相点评:乘,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘.222 a﹣+b+c的值等于=1,则ab+bc+ca.14.(2005?宁波)已知a﹣b=b﹣c=,c),(﹣a﹣c)的平方和,然c的值,再利用完全平方公式求出(a﹣b),(b求出分析:先a﹣后代入数据计算即可求解.解答:解:∵a﹣b=b﹣c=,22)﹣b∴(a=,a﹣c=,,=(b﹣c)222222a∴﹣2ac=a,2bc=+c2ab=﹣,b +c,﹣+b222a∴2()﹣2(ab+bc+ca)+b++==,+c∴2﹣2(ab+bc+ca)=,,=ab+bc+ca)∴1﹣(.∴ab+bc+ca=﹣=﹣故答案为:﹣.点评:本题考查了完全平方公式,解题的关键是要由a﹣b=b﹣c=,得到a﹣c=,然后对a﹣b=,b﹣c=,a﹣c=三个式子两边平方后相加,化简求解.22222,则数a,b747b=888,﹣30c,c=1053按从小到大厦门)设15.(2014?a=19﹣×918,的顺序排列,结果是a<c<b.考点:因式分解的应用.分析:运用平方差公式进行变形,把其中一个因数化为918,再比较另一个因数,另一个因数大的这个数就大.2解答:×918=361×918,:a=19 解22=(888﹣30)×(b=888888+30﹣30)=858×918,22=(1053+747)×(1053﹣747)=1800×306=600c=1053747﹣×918,所以a<c<b.故答案为:a<c<b.16.(1999?杭州)如果a+b+ .03c=﹣a+2b那么,,然后将等号左边的式子配成两个完全平方式,从而得到三个非负数的和为0分析:先移项,b、c的值后,再代值计算.根据非负数的性质求出a、解答:解:原等式可变形为:5 a﹣2+b+1+|﹣1|=4+2﹣+|)(b+1﹣1|﹣4﹣﹣2+5=0 (a2)+2(a﹣2)﹣+1+|﹣1|=04b+1)﹣+4+(22(11|=0﹣;)﹣(+|2)+﹣,2=0﹣1=0﹣,﹣1=0即:,,=1∴,,=1=2∴a,c﹣1=1﹣2=4,b+1=1,,c=2;解得:a=6,b=0 ×3c=6+0﹣32=0.﹣∴a+2b=117.已知x﹣,则.=分析:2的值,﹣把x=1两边平方求出x+再把所求算式整理成的形式,然后代入数据计算即可.解答:解:∵x﹣=1,2x∴+﹣2=1,2x∴+=1+2=3,===.故应填:.22=1,则(2008﹣a)?(2007)a﹣a)=0.﹣(a200818.已知(﹣)+2007解答:22,=1)a﹣2007(+)a﹣2008(∵解:22)∴(2008﹣a ,)(2007﹣a)(2007﹣a)﹣=1﹣2(2008a2007﹣2(2008﹣a)(﹣a)+2,)(2007﹣aa﹣2007+a))=1﹣2(2008﹣a即(2008﹣,2007﹣a)=0整理得﹣2(2008﹣a)(.2007﹣a)=0∴(2008﹣a)(8三.解答题(共小题)22 4或﹣2(k﹣1)ab+9b.是一个完全平方式,那么k=19.如果a﹣2解答:2222,3b)﹣2(k﹣1)解:∵a﹣2(k﹣1)ab+9bab+=a (,×3b)k﹣1ab=±2×a∴﹣2(,﹣3∴k﹣1=3或k﹣1= .﹣2解得k=4或k= 2.或﹣即k=42.故答案为:4或﹣本题主要考查了完全平方式,根据平方项确定出这两个数是解题的关键,也是难点,点评:熟记完全平方公式对解题非常重要.x+3x.已知3.=8,求3203xx+3解答:?3:3=3解27×=8 .=216 点评:本题考查了同底数幂的乘法,底数不变指数相加.3m+2n1m232n5n+13m2﹣﹣﹣﹣(﹣21.计算:ab(abb)))+(a 分析:先利用积的乘方,去掉括号,再利用同底数幂的乘法计算,最后合并同类项即可.3m+253m632n+26m43nn﹣﹣﹣﹣解答:(b)(﹣)+a 解:原式=abba,436m3n36m43n﹣﹣﹣﹣+a)b=a(﹣b,46m3n3n36m43﹣﹣﹣﹣,bb﹣a=a =0.本题考查了合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方,理清指数的变化是点评:解题的关键.±1++是一个有理式A的平方,那么,A=n22.已知是正整数,.解答:解:1++=,22222222,+2n+1+n+n)n+1(=n+n)n+1(+)n+1(n分子:22+2n(n+1))+1,=n (n+12,](n+1)+1=[n∴分子分母都是完全平方的形式,±.∴A=.故答案为:±为正整数,求x+y的最大值和最小值.,其中x,y23.已知2008=分析:可能的、yxy=2009,再根据x首先根据2008=,y为正整数,确定x可知y、73、、9.通过x取值.根据xy的乘积的个位是9,确定x、y的个位可能是1、的十位数最大xx取过的值,y也有可能,故只取x即可,都具有同等的地位,那么.因而不会超过5、39、41、4327、29、31、33、37、、、就x取值可能是111、13、17、1921、23、47、49.就这几种情况讨论即可.解答:2008=解:∵1 2008=xy﹣2009=xy∴9 的个位数是∵x,y为正整数,并且乘积是20099 的个位可能是y1、3、7、因而x、①当x的个位是1时,x=1y=2009显然成立,,y不存在,x=11,不存在,x=21,y yx=31,不存在,,y=49,x=41 3时②当x的个位是不存在,,x=3y 不存在,x=13,y x=23,y不存在,x=33,y 不存在,不存在;,x=43y 当的个位是7时③y=287 x=7,不存在x=17,y x=27,y不存在yx=37,不存在不存在;,x=47y 时9的个位是x当④.x=9,y不存在x=19,y不存在x=29,y不存在x=39,y不存在x=49,y=41.故可能的情况是①x=1,y=2009或x=2009,y=1,x+y=2010②x=7,y=287或x=287,y=7,x+y=7+287=394③x=41,y=49或x=49,y=41,x+y=41+49=90故x+y的最大值是2010,最小值是90?内蒙古)计算:24.(200012347=n+1,12345=n﹣1,解答:解:由题意可设字母n=12346,那么2).)(n+1于是分母变为nn﹣(﹣1 应用平方差公式化简得22222 +1=1﹣﹣1n)=nn,﹣(n 1,即原式分母的值是.所以原式=246902242 0,求1﹣ab的值.+2a﹣1=0,b﹣2b≠﹣1=0a25.设,且22分析:a的题设条件求得b,代入所求的分式化简求值.=解法一:根据1﹣ab﹣≠0224,解得:1=0,由a=﹣1﹣b﹣﹣2b解法二:根据aa=+2a﹣1=0,解得﹣1+或2+1b,把所求的分式化简后即可求解.= 解法一:解答:2421=0 ﹣2b,b﹣解:∵a﹣+2a1=0224a ∴(=0﹣2b)1+2a﹣)﹣(b1﹣22=0)+2化简之后得到:(a+b()a﹣b2222,与题设矛盾,所以2a=0﹣a﹣)﹣a﹣b+2=0,即b=a+2,则1ab﹣=1a(a+2=1若20+2≠a﹣b22a 因此=0,即a+b=﹣b=∴=200311(﹣=)=﹣解法二:2,﹣1﹣或﹣1=0(已知),解得a=﹣1+解:aa=+2a224=由b,﹣2b+1﹣1=0,解得:b2=b∴+﹣2+,+1﹣2+==+1﹣2+4+3=4+3,当a=1时,原式﹣2ab﹣∵11舍去;﹣≠0,∴a==时,原式﹣当a= ﹣1﹣+1﹣2=﹣1,2003)(﹣1∴1,﹣=.即=﹣12点评:的0ab≠本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式,解题关键是注意1﹣运用.2222 =0,求x+y值.+z+2xy+2xz+2yz﹣1|+26.已知3|2x﹣+(z1)首先利用非负数的性质求得x、y、z的值,然后代入代数式求解即可.分析:解答:2 1+∵解:3|2x﹣1|+(z﹣),=01=0 ∴2xz﹣﹣1=0,3y1=0,﹣z=1y=,,∴x=222222x∴×+2×+2)()(+z+y+2xy+2xz+2yz=++1×1=××1+2×点评:本题考查了因式分解的应用及非负数的性质,解题的关键是求得未知数的值.。
(完整版)整式的乘除培优(可编辑修改word版)
(完整版)整式的乘除培优(可编辑修改word版)整式的乘除培优⼀、选择题:1﹒已知x a=2,x b=3,则x3a+2b 等于()A﹒17 B﹒72 C﹒24 D﹒362﹒下列计算正确的是()A﹒5x6·(-x3)2=-5x12 B﹒(x2+3y)(3y-x2)=9y2-x4C﹒8x5÷2x5=4x5 D﹒(x-2y)2=x2-4y23、已知M=20162,N=2015×2017,则M 与N 的⼤⼩是()A﹒M>N B﹒M<N C﹒M=N D﹒不能确定4、已知x2-4x-1=0,则代数式 2x(x-3)-(x-1)2+3 的值为()A﹒3 B﹒2 C﹒1 D﹒-15、若a x ÷a y =a2,(b x)y=b3,则(x+y)2的平⽅根是()A﹒4 B﹒±4C﹒±6D﹒166、计算-(a -b)4 (b -a)3 的结果为()A、-(a -b)7B、-(a +b)7C、(a-b)7D、(b-a)77、已知a=8131,b=2741,c=961,则a,b,c 的⼤⼩关系是()B、A.a>b>c B.a>c>b C.a<b<c D.b>c>a8、图①是⼀个边长为(m+n)的正⽅形,⼩颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状,由图①和图②能验证的式⼦是()A.(m+n)2﹣(m﹣n)2=4mn B.(m+n)2﹣(m2+n2)=2mnC.(m﹣n)2+2mn=m2+n2 D.(m+n)(m﹣n)=m2﹣n29、若a﹣2=b+c,则a(a﹣b﹣c)+b(b+c﹣a)﹣c(a﹣b﹣c)的值为()=90 pA.4 B.2 C.1 D.810、当x=1 时,ax+b+1 的值为﹣2,则(a+b﹣1)(1﹣a﹣b)的值为()A.﹣16 B.﹣8 C.8 D.1611、已知a2+a﹣3=0,那么a2(a+4)的值是()A.9 B.﹣12 C.﹣18 D.﹣1512、在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69 的值时,⼩林发现:从第⼆个加数起每⼀个加数都是前⼀个加数的6 倍,于是她设:S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①,然后在①式的两边都乘以6,得:6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②,②﹣①得6S﹣S=610﹣1,即5S=610﹣1,所以S=,得出答案后,爱动脑筋的⼩林想:如果把“6”换成字母“a”(a≠0 且a≠1),能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014 的值?你的答案是()A. B. C. D.a2014﹣1⼆、填空:1、若ax3m y12÷3x3y2n=4x6y8,则(2m+n-a)n=﹒2、若(2x+3y)(mx-ny)=4x2-9y2,则mn=.3. 已知a+b=8,a2b2=4,则1(a2+b2)-ab=. 2999 p999 , q =119,那么9q (填>,<或=)5.已知10a= 20, 10b=1,则3a÷ 3b= 56.设A =(x -3)(x - 7),B =(x - 2)(x -8),则A B(填>,<,或=)7.若关于x 的多项式x2-8x +m =(x - 4)2 ,则m 的值为若关于x 的多项式x2+nx +m2=(x - 4)2 ,则m n=4. 若225 4 3 2 1 3 1 若关于 x 的多项式 x 2 + nx + 9 是完全平⽅式,则 n=8.计算: 20162 - 2015? 2016 =9. 计算: ?1- 1 ??1- 1 ? ?1- 1 ??1- 1 ? =? 32 ? 992 1002 ? 10.计算: (2 +1)(22 +1)(24 +1)(22n+1)=11、已知:(x +1)5 = a x 5 + a x 4 + a x 3 + a x 2+ a x + a ,则 a + a + a =12、已知: x 2 - (m - 2)x + 36 是完全平⽅式,则 m=13、已知:x 2 + y 2- 6 y = 2x - 10 ,则 x - y =14、已知:13x 2 - 6xy + y 2 - 4x +1 = 0 ,则(x + y )2017 x 2016= 15、若 P = a 2 + 2b 2 + 2a + 4b + 2017 ,则 P 的最⼩值是=16、已知 a =1 2018 x2 + 2018,b = 1 2018 x 2 + 2017,c = 1 2018x 2+ 2016 ,则 a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ac 的值为17、已知(2016 - a )(2018 - a ) = 2017 ,则(2016 - a )2 + (2018 - a )2 =x - 1 18、已知 x x 2 5,则 x 4+ 1 =19、已知: x 2 - 3x - 1 = 0 ,则 x 2 + 1x2三、解答题:=, x 4 +1=x41、(x 2-2x -1)(x 2+2x -1);②(2m+n ﹣p )(2m ﹣n+p )2、形如 a b c的式⼦叫做⼆阶⾏列式,它的运算法则⽤公式表⽰为da c = ad - bc ,⽐如 2b d 1 5= 2 ? 3 -1? 5 = 1,请按照上述法则计算 30 5 =-2ab -3ab2a2b(-ab)2的结果。
整式的乘除与因式分解练习题及答案
第十一练:整式乘除和幂运算【练习1】 已知y x y x 11,200080,200025+==则等于 . 【练习2】满足3002003)1(>-x 的x 的最小正整数为 . 【练习3】 化简)2(2)2(2234++-n n n 得 . 【练习4】 计算220032003])5[()04.0(-⨯得 .【练习5】 4)(z y x ++的乘积展开式中数字系数的和是 .【练习6】 若多项式7432+-x x 能表示成c x b x a ++++)1()1(2的形式,求a ,b ,c .【练习7】 若=-+=-+=+-c b a c b a c b a 13125,3234,732则( )A.30 B.-30 C.15 D.-15【练习8】 若=-+-=-+=++z y x z y x z y x 则,473,6452 .【练习9】 如果代数式2,635-=-++x cx bx ax 当时的值是7,那么当2=x 时,该代数式的值是 .【练习10】 多项式12+-x x 的最小值是 .【练习1】下列各式得公因式是a得是()A.ax+ay+5 B.3ma-6ma2 C.4a2+10ab D.a2-2a+ma 【练习2】-6xyz+3xy2-9x2y的公因式是()A.-3x B.3xz C.3yz D.-3xy【练习3】把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)分解因式的结果是()A.8(7a-8b)(a-b) B.2(7a-8b)2 C.8(7a-8b)(b-a)D.-2(7a-8b)【练习4】把(x-y)2-(y-x)分解因式为()A.(x-y)(x-y-1) B.(y-x)(x-y-1)C.(y-x)(y-x-1) D.(y-x)(y-x+1)【练习5】下列各个分解因式中正确的是()A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)B.(a-b)3-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b-c=(b+c-a)(x+y -1)D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)【练习6】观察下列各式①2a+b和a+b,②5m(a-b)和-a+b,③3(a+b)和-a-b,④x2-y2和x2和y2。
中考数学复习《整式的乘法与因式分解》专项练习题--附带有答案
中考数学复习《整式的乘法与因式分解》专项练习题--附带有答案一、选择题1.下列计算正确的是()A.(3a)2=6a2B.(a2)3=a5C.a6÷a2=a3D.a2⋅a=a32.若8x=21,2y=3,则23x−y的值是()A.7 B.18 C.24 D.633.计算(−2ab)(ab−3a2−1)的结果是()A.−2a2b2+6a3b B.−2a2b2−6a3b−2abC.−2a2b2+6a3b+2ab D.−2a2b2+6a3b−14.若(x−1)(x+4)=x2+ax+b,则a、b的值分别为().A.a=5,b=4 B.a=3,b=−4 C.a=3,b=4 D.a=55.下列变形中正确的是()A.(x+y)(−x−y)=x2−y2B.x2−4x−4=(x−2)2C.x4−25=(x2+5)(x2−5)D.(−2x+3y)2=4x2+12xy+9y26.下列分解因式正确的是()A.x2+2xy−y2=(x−y)2B.3ax2−6ax=3(ax2−2ax)C.m3−m=m(m−1)(m+1)D.a2−4=(a−2)27.图(1)是一个长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,小长方形的长为a,宽为b(a>b),然后按图(2)拼成一个正方形,通过计算,用拼接前后两个图形中阴影部分的面积可以验证的等式是()A.a2b2=(ab)2B.(a+b)2=(a−b)2+4abC.(a+b)2=a2+b2+2ab D.a2−b2=(a+b)(a−b)8.若x−y=−3,xy=5则代数式2x3y−4x2y2+2xy3的值为()A.90 B.45 C.-15 D.-30二、填空题9.若27×3x=39,则x的值等于10.计算:(√3−√2)(√3+√2)=.11.在实数范围内分解因式2x2+3x−1=.12.要使(y2−ky+2y)⋅(−y)的展开式中不含y2项,则k的值是.13.已知4y2−my+9是完全平方式,则m的值为.三、解答题14.计算:(2a−1)(a+2)−6a3b÷3ab.15.把下列多项式分解因式:(1)a4−8a2b2+16b4(2)x2(y2−1)+2x(y2−1)+(y2−1)16.已知a+b=5,ab=−6,求:(1)a2b+ab2的值;(2)a2+b2的值;(3)a-b的值.17.下面是某同学对多项式(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4进行因式分解的过程解:设x2−4x=y原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)=y2+8y+16(第二步)=(y+4)2(第三步)=(x2−4x+4)2(第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的____(填序号).A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换,得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后?.(填“是”或“否”)如果否,直接写出最后的结果.(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2−2x)(x2−2x+2)+1进行因式分解.18.对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式,例如图1可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2,请解答下列问题:(1)写出图2中所表示的数学等式;(2)根据整式乘法的运算法则,通过计算验证上述等式;(3)若a+b+c=10,ab+ac+bc=35利用得到的结论,求a2+b2+c2的值.参考答案1.D2.A3.C4.B5.C6.C7.B8.A9.610.111.2(x −−3+√174)(x −−3−√174)12.213.±1214.解:原式=2a 2+4a −a −2−2a 2=3a −2.15.(1)解:a 4−8a 2b 2+16b 4=(a 2−4b 2)2=(a +2b)2(a −2b)2(2)解:x 2(y 2−1)+2x(y 2−1)+(y 2−1)=(x 2+2x +1)(y 2−1)=(x +1)2(y +1)(y −1)16.(1)解:∵a +b =5,ab =−6∴a 2b +ab 2=ab(a +b)=−30(2)解: a 2+b 2=(a +b)2−2ab=25+12=37(3)解: (a −b)2=a 2+b 2−2ab=37+12=49故a−b=±7 .17.(1)C(2)否;(x−2)4(3)解:设x2−2x+1=y原式=(y−1)(y+1)+1=y2−1+1=y2=(x2−2x+1)2=[(x−1)2]2=(x−1)4.18.(1)解:∵边长为(a+b+c)的正方形的面积为:(a+b+c)2,分部分来看的面积为a2+b2+c2+2ab+ 2bc+2ac∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(2)解:∵(a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(3)解:∵a+b+c=10∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2ab−2bc−2ac=102−2×35=30∴a2+b2+c2的值为30.。
人教版2022-2023学年八年级数学上册阶段性复习精选精练《整式的乘法与因式分解》培优卷含答案解析
第14章 整式的乘法与因式分解(培优篇)一、单选题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.下列计算正确的是( ) A .a 2•a 3=a 6B .a 6÷a 3=a 2C .4x 2﹣3x 2=1D .(﹣2a 2)3=﹣8a 62.计算20206060(0.125)(2)-⨯的结果是( ) A .1B .1-C .8D .8-3.若3x y -=,则226x y y --=( ) A .3B .6C .9D .124.下列运算中,结果正确的是( ) A .235a b ab += B .()2a a b a b -+=- C .()222a b a b +=+D .236a a a ⋅=5.已知553a =,444b =,335c =,则a 、b 、c 的大小关系为( ) A .c a b <<B .c b a <<C .a b c <<D .a c b <<6.若220x x +-=,则3222016x x x +-+等于( ) A .2020B .2019C .2018D .-20207.观察等式(2a ﹣1)a +2=1,其中a 的取值可能是( ) A .﹣2B .1或﹣2C .0或1D .1或﹣2或08.若(b ﹣c )2=4(1﹣b )(c ﹣1),则b +c 的值是( ) A .﹣1B .0C .1D .29.已知(2x ﹣3)7=a 0x 7+a 1x 6+a 2x 5+……+a 6x +a 7,则a 0+a 1+a 2+……+a 7=( ) A .1B .﹣1C .2D .010.我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律,称之为“杨辉三角”,这个“三角形”给出了()(1,2,3,4,)n a b n +=的展开式的系数规律(按n 的次数由大到小的顺序)1 1 1()a b a b +=+ 12 1 222()2a b a ab b +=++1 3 3 1 +=+++33223()33a b a a b ab b 1 4 6 4 1 4322344()464a b a a b a b ab b +=++++ … … 请依据上述规律,写出20212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中含2019x 项的系数是( )A .-2021B .2021C .4042D .-4042二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,共32分) 11.若34x =,97y =,则3x ﹣2y 的值为__. 12.因式分解:22421x y y -+-=________.13.如果实数a ,b 满足a+b =6,ab =8,那么a 2+b 2=_____.14.若实数a ,b 满足1a b -=,则代数式2225a b b --+的值为_______________. 15.多项式2222627a ab b b -+-+的最小值为________. 16.计算:(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1=_____. 17.设123,,a a a 是一列正整数,其中1a 表示第一个数,2a 表示第二个数,依此类推,n a 表示第n 个数(n 是正整数),已知11a =,2214(1)(1)n nn a a a ,则2018a =___________.18.如图,用大小相同的小正方形拼图形,第1个图形是一个小正方形;第2个图形由9个小正方形拼成;第3个图形由25个小正方形拼成,依此规律,若第n 个图形比第(n -1)个图形多用了72个小正方形,则n 的值是___________.三、解答题(本大题共6小题,共58分)19.(8分)已知a+b=-8 , ab=10,求22a b +和 2()a b -的值.20.(8分)爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现:若(0m n a a a =>,且1a ≠,m 、n 都是正整数),则m n =,例如:若455m =,则4m =.小明将这个发现与老师分享,并得到老师确认是正确的,请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题:(1)如果3624322x x ⨯⨯=,求x 的值; (2)如果2133108x x +++=,求x 的值.21.(10分)阅读材料:若2222440m mn n n -+-+=,求m ,n 的值.解:∵2222440m mn n n -+-+=,∵()()2222440m mn n n n -++-+=,∵22()(2)0m n n -+-=,∵2()0m n -=,2(2)0n -=,∵2n =,2m =. 根据你的观察,探究下面的问题:(1)已知22228160x y xy y +-++=,则x =________,y =________;(2)已知ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数,且满足22248180a b a b +--+=,求ABC 的周长.22.(10分)观察以下等式:第1个等式:42+32=52;第2个等式82+152=172;第3个等式:122+352=372;第4个等式:162+632=652;……;按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第5个等式: ;(2)写出你猜想的第n 个等式: ______(用含n 的等式表示),并证明.23.(10分)图1是一个长为2m ,宽为2n 的长方形,将该长方形沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形,然后按照图2所示拼成一个正方形.(1)使用不同方法计算图2中小正方形的面积,可推出(m+n )2,(m -n )2,mn 之间的等量关系为: ;(2)利用(1)中的结论,解决下列问题: ∵已知a -b =4,ab =5,求a +b 的值; ∵已知a >0,a -3a =2,求a +3a的值.24.(12分)如果一个自然数M 能分解成A ×B ,其中A 和B 都是两位数,且A 与B 的十位数字之和为10,个位数字之和为9,则称M 为“十全九美数”,把M 分解成A ×B 的过程称为“全美分解”,例如:∵2838=43×66,4+6=10,3+6=9,∵2838是“十全九美数”; ∵391=23×17,2+1≠10,∵391不是“十全九美数”. (1)判断2100和168是否是“十全九美数”?并说明理由;(2)若自然数M 是“十全九美数”,“全美分解”为A ×B ,将A 的十位数字与个位数字的差,与B 的十位数字与个位数字的和求和记为()S M :将A 的十位数字与个位数字的和,与B 的十位数字与个位数字的差求差记为()T M .当()()S M T M 能被5整除时,求出所有满足条件的自然数M .参考答案1.D解:试题分析:根据同底数幂相乘,底数不变,指数相加,可知a 2·a 3=a 5,故不正确; 根据同底数幂相除,底数不变,指数相减,可知a 6÷a 3=a 3,故不正确; 根据合并同类项法则,可知4x 2-3x 2=x 2,故不正确; 根据积的乘方,可知(-2a 2)3=-8a 6,故正确. 故选D. 2.A【分析】将6060(2)化为2020(8)使两个幂的指数相同,再利用积的乘方逆运算进行计算. 解:20206060202022020002(0.125)(2)(0.125)(8)(01.1258)-⨯-⨯-⨯===, 故选:A.【点拨】此题考查幂的乘方逆运算,积的乘方逆运算,熟记公式是解题的关键. 3.C【分析】由3x y -=得x=3+y ,然后,代入所求代数式,即可完成解答. 解:由3x y -=得x=3+y代入()2222369669y y y y y y y +--=++--= 故答案为C.【点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用,灵活对代数式进行变形是解答本题的关键.4.B【分析】A .不是同类项,不能合并; B.去括号合并同类项直接得答案判断即可; C.利用完全平方公式运算即可; D.利用同底数幂乘法进行运算即可.解:A. 2a+3b 不是同类项,不能合并,故此选项错误; B. 2a -(a+b)=2a -a -b=a -b ,故此选项正确; C. (a+b)2=a 2+2ab+b 2,故此选项错误; D.235a a a ⋅=,故此选项错误 故选:B【点拨】本题考查了整式运算,涉及合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式;熟练掌握这些知识点并能灵活运用是解题的关键.5.A【分析】把a 、b 、c 三个数变成指数相同的幂,通过底数可得出a 、b 、c 的大小关系.解:∵a =(35)11=24311,b =(44)11=25611,c =(53)11=12511, 又∵125243256<<, ∵c a b <<. 故选:A .【点拨】本题考查了幂的乘方的逆运算,解答本题关键是掌握幂的乘方法则,把各数的指数变成相同.6.C【分析】将220x x +-=变形为22x x =-+,22x x +=,代入3222016x x x +-+即可求解.解:∵220x x +-=, ∵22x x =-+,22x x +=, ∵3222016x x x +-+ 2222016x x x x =+-+()2222016x x x x =-++-+ 22016x x =++22016=+=2018. 故选:C【点拨】本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值,将已知条件适当变形,代入所求代数式求解是解题关键.7.D【分析】存在3种情况:一种是指数为0,底数不为0;第二种是底数为1,指数为任意值;第三种是底数为-1,指数为偶数,分别求解可得.解:情况一:指数为0,底数不为0 即:a +2=0,2a -1≠0 解得:a =-2情况二:底数为1,指数为任意值 即:2a -1=1 解得:a =1情况三:底数为-1,指数为偶数 即:2a -1=-1,解得a =0 代入a +2=2,为偶数,成立 故答案为:D【点拨】本题考查0指数和底数为±1的指数的特点,本题底数为-1的情况容易遗漏,需要关注.8.D【分析】先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式,即可得到b +c 的值.解:∵(b ﹣c )2=4(1﹣b )(c ﹣1), ∵b 2﹣2bc +c 2=4c ﹣4﹣4bc +4b , ∵(b 2+2bc +c 2)﹣4(b +c )+4=0, ∵(b +c )2﹣4(b +c )+4=0, ∵(b +c ﹣2)2=0, ∵b +c =2, 故选:D .【点拨】本题考查因式分解的应用,掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关键.9.B【分析】根据等式的性质,只有当x =1时,才表示系数之和,故代入x =1计算即可. 解:当x =1时,(2﹣3)7=a 0+a 1+a 2+……+a 6+a 7, 则a 0+a 1+a 2+……+a 7=﹣1, 故选B .【点拨】本题主要考查方程的解,关键在于x =1的确定,要使出现所以系数之和,则必须使得x =1.10.D【分析】先观察规律,再按照规律写出第一项、第二项,其中第二项2019x ,写出系数即可解:根据规律可以发现:20212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭第一项的系数为1,第二项的系数为2021,∵第一项为:x 2021, 第二项为:20202020201922202120214042x x x x x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭故选:D【点拨】本题考查杨辉三角多项式乘法找规律的问题,观察发现式子中的规律是关键 11.47【分析】根据2233339x y x y x y ÷÷﹣==即可代入求解. 解:2233339x y x y x y ÷÷﹣==47=.故答案是:47.【点拨】本题考查了同底数的幂的除法运算,正确理解2233339x y x y x y ÷÷﹣==是关键. 12.(21)(21)x y x y +--+【分析】根据多项式特点,进行分组,两次运用公式法分解因式即可. 解:22421x y y -+- ()22=421x y y --+()22=41x y --=(21)(21)x y x y +--+故答案为:(21)(21)x y x y +--+【点拨】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式,结合式子特点,对多项式分组,两次运用公式法进行分解,要注意符号问题,正确分组是解题关键.13.20 解:∵6,a b +=∵222()236,a b a ab b +=++= ∵ab=8,∵22a b +=36-2ab=36-2×8=20.【点拨】本题考查了完全平方公式的变形应用,熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.14.6.【分析】将所求代数式中的22a b -因式分解,再把1a b -=代入,化简即可. 解:2225()()25a b b a b a b b --+=+--+,把1a b -=代入得()25255a b b a b b a b +-+=+-+=-+, 再把1a b -=代入得5156a b -+=+=; 故答案为:6.【点拨】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算,解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形,然后整体代入求值.15.18.【分析】利用公式法进行因式分解,根据非负性确定最小值. 解:2222627a ab b b -+-+, =222)((269)18a ab b b b -+-+++, =22()(3)18a b b -+-+, ∵22()(3)00a b b --≥≥,,∵22()(3)18a b b -+-+的最小值为18; 故答案为:18.【点拨】本题考查了因式分解和非负数的性质,解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解,根据非负数的性质确定最值.16.264【分析】在原式前面乘以(2﹣1)构造能用平方差公式的结构,连续使用平方差公式即可.解:原式=()()()()232212121211-++++,=()()()22322121211-+++, =()()()44322121211-+++,=264﹣1+1, =264;故本题答案为264.【点拨】此题主要考查平方差公式的应用,解题的关键是将原式变形为平方差的形式. 17.4035解:【分析】()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---整理得()()22n n 1a 1a 1++=-,从而可得a n+1-a n =2或a n =-a n+1,再根据题意进行取舍后即可求得a n 的表达式,继而可得a 2018.解:∵()()22n n 1n 4a a 1a 1+=---, ∵()()22n n n 14a a 1a 1++-=-, ∵()()22n n 1a 1a 1++=-, ∵a n +1=a n+1-1或a n +1=-a n+1+1, ∵a n+1-a n =2或a n =-a n+1,又∵123a ,a ,a ⋯⋯是一列正整数, ∵a n =-a n+1不符合题意,舍去, ∵a n+1-a n =2, 又∵a 1=1,∵a 2=3,a 3=5,……,a n =2n -1, ∵a 2018=2×2018-1=4035, 故答案为4035.【点拨】本题考查了完全平方公式的应用、平方根的应用、规律型题,解题的关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n =2.18.10【分析】依次观察前几个图形以及正方形的个数,进而归纳得到拼成第n 个图形需要2(21)n -个正方形,即可得出结论.解:第1个图形是一个小正方形;第2个图形由29(221)=⨯-个小正方形拼成; 第3个图形由225(231)=⨯-个小正方形拼成, ……拼成第1n -个图形需要2(23)n -个正方形, 拼成第n 个图形需要2(21)n -个正方形, 2(21)n -2(23)72n --=,解得:10n =; 故答案为:10.【点拨】本题主要考查了图形类规律探索,根据图形得出小正方形的变化规律是解题的关键.19.44,24.【分析】运用完全平方公式给a+b=-8左右两边平方,然后结合ab=10,求出22a b +;再展开2()a b -,代入22a b +和ab 的值即可.解:(a+b )2=(-8)2 22a b ++2ab=64 22a b +=64-2ab 22a b +=64-2×10=44 2()a b -=22a b +-2ab =44-2×10 =24【点拨】本题考查了完全平方公式的应用,掌握并灵活应用完全平方公式是解答本题的关键.20.(1)x =5(2)x =2【分析】(1)利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理,从而可求解;(2)利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理,即可求解. 解:(1)因为2×4x ×32x =236, 所以2×22x ×25x =236, 即21+7x =236,所以1+7x =36,解得:x =5;(2)因为3x +2+3x +1=108,所以3×3x +1+3x +1=4×27,4×3x +1=4×33,即3x +1=33,所以x +1=3,解得:x =2.【点拨】本题主要考查幂的乘方,同底数幂的乘法,解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用.21.(1)-4,-4;(2)ABC 的周长为9.【分析】(1)利用完全平方公式配方,再根据非负数的性质即可得出x 和y 的值;(2)利用完全平方公式配方,再根据非负数的性质即可得出a 和b 的值,从而得出c 的取值范围,根据c 为整数即可得出c 的值,从而求得三角形的周长.解:(1)由22228160x y xy y +-++=得222)((2816)0x xy y y y -+++=+,22()(4)0x y y -++=,∵0x y -=,40y +=,∵4x y ==-,故答案为:-4,-4;(2)由22248180a b a b +--+=得:222428160a a b b -++-+=,222(1)(4)0a b -+-=,∵a -1=0,b -4=0,∵a =1,b =4,∵3<c <5,∵∵ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数,∵c =4,∵ABC 的周长为9.【点拨】本题主要考查了配方法的应用及偶次方的非负性,同时考查了三角形的三边关系,本题难度中等.22.(1)202+992=1012; (2)(4n )2+[(2n -1)(2n +1)]2=[(2n -1)(2n +1)+2]2;证明见分析.【分析】(1)观察等式中的3个数中的数字与等式的序号的关系,第一个数是序号的4倍的平方,第二个数是从1开始的连续两个奇数的乘积的平方,第三个数是连续两个奇数乘积+2的平方,以此规律可得结论;(2)依据(1)中找到的规律得到第n个式子,通过计算式子的左边和右边来证明猜想的正确.解:(1)观察等式中的3个数中的数字与等式的序号的关系,第一个数是序号的4倍的平方,第二个数是从1开始的连续两个奇数的乘积的平方,第三个数是连续两个奇数乘积+2的平方,∵第5个等式为(4×5)2+[9×11]2=202+992=1012;故答案为202+992=1012;(2)依据(1)中找到的规律得到第n个式子为:(4n)2+[(2n-1)(2n+1)]2=[(2n-1)(2n+1)+2]2;证明:左边=16n2+16n4-8n2+1=(4n2+1)2;右边=(4n2+1)2;∵左=右,即原等式成立.【点拨】本题考查了数字的变化规律,列代数式,积的乘方,多项式乘多项式.准确找出等式中的数字与等式序号的关系是解题的关键.23.(1)(m-n)2=(m+n)2-4mn;(2)∵6或-6;∵4.【分析】(1)由题意知,阴影部分小正方形的边长为m-n.根据正方形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积,也可以用大正方形的面积减去四个小长方形的面积求图中阴影部分的面积,利用两种求法确定出所求关系式即可;(2)∵利用(1)的结论,可知(a-b)2=(a+b)2-4ab,把已知数值整体代入即可;∵先利用完全平方公式进行变形,即将a-3a=2两边同时平方,然后求出(a+3a)2的值,从而得出结果.解:(1)阴影部分的面积可以看作是边长m-n的正方形的面积,也可以看作边长m+n 的正方形的面积减去4个小长方形的面积,∵(m-n)2=(m+n)2-4mn,故答案为:(m-n)2=(m+n)2-4mn;(2)∵∵a-b=4,ab=5,且由(1)知(a-b)2=(a+b)2-4ab,∵(a+b)2=16+20=36,∵a+b=6或-6;∵∵a-3a=2,∵(a-3a)2= a2-6+29a=4,∵a 2+6+29a =16, ∵(a +3a)2=16, 又a >0,∵a +3a=4. 【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景,整式的混合运算以及分式的求值等知识,熟练掌握运算法则是解本题的关键.24.(1)2100是“十全九美数” , 168不是“十全九美数”,理由见分析;(2)满足“十全九美数”条件的M 有:1564或1914或1164.【分析】(1)根据“十全九美数”的定义直接判定即可;(2)设A 的十位数字为m ,个位数字为n ,得出S (M )=19-2n ,T (M )=2m -1,当()()S M T M 能被5整除时,设值为k ,再分类进行讨论即可求解.(1)解:2100是“十全九美数” , 168不是“十全九美数”,理由如下:∵2100=25×84,2+8=10,5+4=9,∵2100是“十全九美数”;∵168=14×12,1+1≠10,∵168不是“十全九美数”;(2)解:设A 的十位数字为m ,个位数字为n ,则A =10m +n ,∵M 是“十全九美数”, M=A ×B ,∵B 的十位数字为10-m ,个位数字为9-n ,则B =10(10-m )+9-n =109-10m -n ,由题知:S (M )=m -n +10-m +9-n =19-2n ,T (M )=m +n -()109m n ⎡⎤---⎣⎦=2m -1,根据题意令()()192521S M n k T M m -==-(k 为整数), 由题意知:1≤m ≤9,0≤n ≤9,且都为整数,∵1≤19-2n ≤19,1≤2m -1≤17,当k =1时,19221n m --=5, ∵1925211n m -=⎧⎨-=⎩或19210212n m -=⎧⎨-=⎩或19215213n m -=⎧⎨-=⎩, 解得17m n =⎧⎨=⎩或3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)或22m n =⎧⎨=⎩;当k=2时,19221nm--=10,∵19210211nm-=⎧⎨-=⎩,解得192mn=⎧⎪⎨=⎪⎩(舍去),当k=3时,19221nm--=15,∵19215211nm-=⎧⎨-=⎩,解得12mn=⎧⎨=⎩,∵A=10m+n=17,B=109-10m-n=92;或A=10m+n=22,B=109-10m-n=87;或A=10m+n=12,B=109-10m-n=97;∵M=A×B=17×92=1564或M=A×B=22×87=1914或M=A×B=12×97=1164,综上,满足“十全九美数”条件的M有:1564或1914或1164.【点拨】本题是新定义题,主要考查了列代数式,以及因式分解的应用,一元一次方程的应用,关键是准确理解“十全九美数”含义.。
整式的乘法与因式分解习题带答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版Array第十四章、整式乘除与因式分解14.1 整式的乘法(1)(-3x)2(x+1)(x+3)+4x(x-1)(x2+x+1),其中x=-1;解:原式=9x2(x2+3x+x+3)+4x(x3+x2+x-x2-x-1)=9x2(x2+4x+3)+4x(x3-1)=9x4+36x3+27x2+4x4-4x=13x4+36x3+27x2-4x当x=-1时原式=13×(-1)4+36×(-1)3+27×(-1)2-4×(-1)=13-36+27+4=8(2)y n(y n+3y-2)-3(3y n+1-4y n),其中y=-2,n=2.解:原式=y2n+3y n+1-2y n-9y n+1+12y n=y2n-6y n+1+10y n当y=-2,n=2时原式=(-2)2×2-6×(-2)2+1+10×(-2)2=16+48+40=10415、已知不论x、y为何值时(x+my)(x+ny)=x2+2xy-8y2恒成立.求(m+n)mn的值.解:x2+nxy+mxy+mny2=x2+2xy-8y2x2+(m+n)xy+mny2=x2+2xy-8y2∴m+n=2,mn=-8∴(m+n)mn=2×(-8)=-166、已知31=+a a,则221a a +=( B ) A .5 B .7 C .9 D .117、如果x 2+kx +81是一个完全平方式,则k 的值是( D )A .9B .-9C .±9D .±188、下列算式中不正确的有( C )①(3x 3-5)(3x 3+5)=9x 9-25②(a +b +c +d)(a +b -c -d)=(a +b)2-(c +d)2③22)31(5032493150-=⨯ ④2(2a -b)2·(4a +2b)2=(4a -2b)2(4a -2b)2=(16a 2-4b 2)2A .0个B .1个C .2个D .3个9、代数式2)(2y x +与代数式2)(2y x -的差是( A ) A .xy B .2xy C .2xy D .0 10、已知m 2+n 2-6m +10n +34=0,则m +n 的值是( A )A .-2B .2C .8D .-8二、解答题11、计算下列各题:(1)(2a +3b)(4a +5b)(2a -3b)(5b -4a)(2)(x +y)(x -y)+(y -z)(y +z)+(z -x)(z +x);(3)(3m 2+5)(-3m 2+5)-m 2(7m +8)(7m -8)-(8m)2(1) 解:原式=(2a +3b)(2a -3b)(4a +5b)(5b -4a)=(4a 2-9b 2)(25b 2-16a 2)=100a 2b 2-64a 4-225b 4+144a 2b 2=-64a 4+244a 2b 2-225b 4(2) 解:原式=x 2-y 2+y 2-z 2+z 2-x 2=0(3) 解:原式=25-9m 4-m 2(49m 2-64)-64m 2=-58m 4+2512、化简求值:(1)4x(x 2-2x -1)+x(2x +5)(5-2x),其中x =-1(2)(8x 2+4x +1)(8x 2+4x -1),其中x =21 (3)(3x +2y)(3x -2y)-(3x +2y)2+(3x -2y)2,其中x =31,y =-21 (1) 解:原式=4x 3-8x 2-4x +x(25-4x 2)=4x 3-8x 2-4x +25x -4x 3=-8x 2+21x当x =-1时原式=-8×(-1)2+21×(-1)=-8-21=-29(2) 解:原式=(8x 2+4x)2-1当x =时,原式=[8×()2+4×]2-1=(2+2)2-1=15(3) 解:原式=9x 2-4y 2-9x 2-12xy -4y 2+9x 2-12xy +4y 2=9x 2-24xy -4y 2当x =,y =-时原式=9×()2-24××(-)-4×(-)2=1+4-1=413、解下列方程:(1)(3x)2-(2x +1)2=5(x +2)(x -2)解:9x 2-4x 2-4x -1=5x 2-205x 2-4x -1=5x 2-204x =19∴x =419(2)6x +7(2x +3)(2x -3)-28(x -21)(x +21)=4解:6x +28x 2-63-28x 2+7=46x -56=46x =60∴x =1014、解不等式:(1-3x)2+(2x -1)2>13(x -1)(x +1)解:1-6x +9x 2+4x 2-4x +1>13x 2-1313x 2-10x +2>13x 2-13-10x>-15∴x<2315、若n 满足(n -2004)2+(2005-n)2=1,求(2005-n)(n -2004)的值.解:(n -2004)2+2·(n -2004)·(2005-n)+(2005-n)2=1+2(n -2004)(2005-n)(n -2004+2005-n)2=1+2(n -2004)(2005-n)1=1+2(2005-n)(n -2004)∴(2005-n)(n -2004)=014.3 因式分解一、选择题1、下列各式,从左到右的变形是因式分解的为( B )A .x 2-9+5x =(x +3)(x -3)+5xB .x 2-4x +4=(x -2)2C .(x -2)(x -3)=x 2-5x +6D .(x -5)(x +2)=(x +2)(x -5)2、把多项式x 2-mx -35分解因式为(x -5)(x +7),则m 的值是( B)A .2B .-2C .12D .-123、分解因式:x 2-2xy +y 2+x -y 的结果是( A )A .(x -y )(x -y +1)B .(x -y )(x -y -1)C .(x +y )(x -y +1)D .(x +y )(x -y -1)4、若9x 2-12xy +m 是一个完全平方公式,那么m 的值是( B )。
《整式的乘除与因式分解》培优训练及答案
整式的乘除与因式分解一、选择题:1.下列计算正确的是( )A .105532a a a =+B .632a a a =⋅C .532)(a a =D . 8210a a a =÷2.下列计算结果正确的是( )A .4332222y x xy y x -=⋅-B .2253xy y x -=y x 22-C .xy y x y x 4728324=÷D .49)23)(23(2-=---a a a3.两个三次多项式相加,结果一定是 ( )A .三次多项式B .六次多项式C .零次多项式D .不超过三次的多项式4.把多项式()()()111---+x x x 提取公因式()1-x 后,余下的部分是( )A .()1+xB .()1+-xC .xD .()2+-x5.计算24(1)(1)(1)(1)x x x x -++--的结果是 ( )A 、2B 、0C 、-2D 、-56.已知代数式12x a -1y 3与-3x -b y 2a+b 是同类项,那么a 、b 的值分别是( )A .2,1a b =-⎧⎨=-⎩B .2,1a b =⎧⎨=⎩C .2,1a b =⎧⎨=-⎩D .2,1a b =-⎧⎨=⎩7.已知2239494b b a b a n m =÷,则( )A .3,4==n mB .1,4==n mC .3,1==n mD .3,2==n m8.如图,是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形,则该图形的面积为()A .m 2+12mnB .22mn n -C .22m mn+ D .222m n +9.若2()9a b +=,2()4a b -=,则ab 的值是( )A 、54B 、-54C 、1D 、-1 二、填空题: 1.分解因式2233ax ay -= .2.分解因式ab b a 8)2(2+- =_______.3.分解因式221218x x -+= .4.若22210a b b -+-+=,则a = ,b = .5.代数式4x 2+3mx +9是完全平方式,则m =___________.6. 已知a+b=5,ab=3,求下列各式的值:(1)a 2+b 2= ;(2)-3a 2+ab-3b 2= .7. 已知522=+b a ,()()223232a b a b --+=-48,则a b +=________. 8. 已知正方形的面积是2269y xy x ++ (x >0,y >0),利用分解因式,写出表示该正方形的边长的代数式 .9.观察下列等式: 第一行 3=4-1第二行 5=9-4第三行 7=16-9第四行 9=25-16… …按照上述规律,第n 行的等式为____________ .三、解答题:1.计算题(1)(-3xy 2)3·(61x 3y )2 (2)4a 2x 2·(-52a 4x 3y 3)÷(-21a 5xy 2)(3)222)(4)(2)x y x y x y --+( (4)221(2)(2))x x x x x-+-+-(2.因式分解(1)3123x x - (2)2222)1(2ax x a -+(3)xy y x 2122--+ (4))()3()3)((22a b b a b a b a -+++-3.解方程:41)8)(12()52)(3(=-+--+x x x x4.已知x 2+x -1=0,求x 3+2x 2+3的值5.若(x 2+px +q )(x 2-2x -3)展开后不含x 2,x 3项,求p 、q 的值.四.综合拓展:1.已知c b a 、、是△ABC 的三边的长,且满足0)(22222=+-++c a b c b a ,试判断此三角形的形状.2.已知2006x+2006y=1,x+3y=2006,试求2x 2+8xy+6y 2的值五.巩固练习:1.若n221623=÷,则n 等于( )A .10B .5C .3D .62.计算:xy xy y x y x 2)232(2223÷+--的结果是( ) A .xy y x 232- B .22322+-xy y x C .1232+--xy y x D .12322+--xy y x3.下列计算正确的是( )A .x y x y x 221222223=⋅÷ B .57222257919n m n m m n n m =÷⋅ C .mn mn n m n m =⋅÷24322)(2 D .22242231043)3012(y x y x y x y x +=÷+4.已知一个多项式与单项式457y x -的积为2234775)2(72821y x y y x y x +-,则这个多项式为___5.若(a+b )2=13(a-b )2=7求a 2+b 2和ab 的值。
整式乘除与因式分解培优精练专题答案汇编
整式乘除与因式分解培优精练专题答案一.选择题(共9小题)2222.(2014•盘锦)计算(2a2)3•a正确的结果是()7776可.解:原式==4a7,故选:B.22.3D.2故选:B.4.(2014•拱墅区二模)如果ax2+2x+=(2x+)2+m,则a,m的值分别是()A.2,0 B.4,0 C.2,D.4,运用完全平方公式把等号右边展开,然后根据对应项的系数相等列式求解即可.解:∵ax2+2x+=4x2+2x++m,∴,解得.5.(2014•江阴市模拟)如图,设(a>b>0),则有()A.B.C.1<k<2 D.k>2 解:甲图中阴影部分的面积=a2﹣b2,乙图中阴影部分的面积=a(a﹣b),=,∵a>b>0,∴,∴1<k<2.故选:C.6.(2012•鄂州三月调考)已知,则的值为()A.B.C.D.无法确定解:∵a+=,∴两边平方得:(a+)2=10,展开得:a2+2a•+=10,∴a2+=10﹣2=8,∴(a﹣)2=a2﹣2a•+=a2+﹣2=8﹣2=6,∴a﹣=±,7.已知,则代数式的值等于()A.B.C.D.分析:先判断a是正数,然后利用完全平方公式把两边平方并整理成的平方的形式,开方即可求解.解:∵,∴a>0,且﹣2+a2=1,∴+2+a2=5,即(+|a|)2=5,开平方得,+|a|=.故选C.8.(2012•滨州)求1+2+2+2+…+2的值,可令S=1+2+2+2+…+2,则2S=2+22+23+24+…+22013,因此2S﹣S=22013﹣1.仿照以上推理,计算出1+5+52+53+…+52012.D.根据题目提供的信息,设S=1+5+5+5+…+5,用5S﹣S整理即可得解.解:设S=1+5+52+53+...+52012,则5S=5+52+53+54+ (52013)因此,5S﹣S=52013﹣1,S=.故选C.9.(2004•郑州)已知a=x+20,b=x+19,c=x+21,那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc A.4B.3C.2D.1b﹣c=﹣2,用这三个式子表示出已知的式子,即可求值.解:法一:a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac,=a(a﹣b)+b(b﹣c)+c(c﹣a),又由a=x+20,b=x+19,c=x+21,得(a﹣b)=x+20﹣x﹣19=1,同理得:(b﹣c)=﹣2,(c﹣a)=1,所以原式=a﹣2b+c=x+20﹣2(x+19)+x+21=3.故选B.法二:a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac,=(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac),=[(a2﹣2ab+b2)+(a2﹣2ac+c2)+(b2﹣2bc+c2)],=[(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2],=×(1+1+4)=3.故选B.10.(2014•江西样卷)已知(x+5)(x+n)=x2+mx﹣5,则m+n=3.11.(2014•徐州一模)已知x﹣=1,则x2+=3.分析:首先将x﹣=1的两边分别平方,可得(x﹣)2=1,然后利用完全平方公式展开,变形后即可求得x2+的值.或者首先把x2+凑成完全平方式x2+=(x﹣)2+2,然后将x﹣=1代入,即可求得x2+的值.解:方法一:∵x﹣=1,∴(x﹣)2=1,即x2+﹣2=1,∴x2+=3.方法二:∵x﹣=1,∴x2+=(x﹣)2+2,=12+2,=3.故答案为:3.12.(2011•平谷区二模)已知,那么x2+y2=6.的值整体代入求值.解:∵x+y=,xy=2,∴(x+y)2=x2+y2+2xy,∴10=x2+y2+4,m n3m+2n14.(2005•宁波)已知a﹣b=b﹣c=,a2+b2+c2=1,则ab+bc+ca的值等于﹣.后代入数据计算即可求解.解答:解:∵a﹣b=b﹣c=,∴(a﹣b)2=,(b﹣c)2=,a﹣c=,∴a2+b2﹣2ab=,b2+c2﹣2bc=,a2+c2﹣2ac=,∴2(a2+b2+c2)﹣2(ab+bc+ca)=++=,∴2﹣2(ab+bc+ca)=,∴1﹣(ab+bc+ca)=,∴ab+bc+ca=﹣=﹣.故答案为:﹣.点评:本题考查了完全平方公式,解题的关键是要由a﹣b=b﹣c=,得到a﹣c=,然后对a ﹣b=,b﹣c=,a﹣c=三个式子两边平方后相加,化简求解.15.(2014•厦门)设a=192×918,b=8882﹣302,c=10532﹣7472,则数a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是a<c<b.16.(1999•杭州)如果a+b+,那么a+2b﹣3c=0.根据非负数的性质求出a、b、c的值后,再代值计算.解答:解:原等式可变形为:a﹣2+b+1+|﹣1|=4+2﹣5(a﹣2)+(b+1)+|﹣1|﹣4﹣2+5=0(a﹣2)﹣4+4+(b+1)﹣2+1+|﹣1|=0(﹣2)2+(﹣1)2+|﹣1|=0;即:﹣2=0,﹣1=0,﹣1=0,∴=2,=1,=1,∴a﹣2=4,b+1=1,c﹣1=1,解得:a=6,b=0,c=2;∴a+2b﹣3c=6+0﹣3×2=0.17.已知x﹣=1,则=.分析:把x﹣=1两边平方求出x2+的值,再把所求算式整理成的形式,然后代入数据计算即可.解:∵x﹣=1,∴x2+﹣2=1,∴x2+=1+2=3,===.故应填:.=0.2220.已知3x=8,求3x+3.n﹣5n+13m﹣22n﹣1m﹣233m+222.已知n是正整数,1++是一个有理式A的平方,那么,A=±.解答:解:1++=,分子:n2(n+1)2+(n+1)2+n2=n2(n+1)2+n2+2n+1+n2,=n2(n+1)2+2n(n+1)+1,=[n(n+1)+1]2,∴分子分母都是完全平方的形式,∴A=±.故答案为:±.23.已知2008=,其中x,y为正整数,求x+y的最大值和最小值.分析:首先根据2008=可知xy=2009,再根据x,y为正整数,确定x、y可能的取值.根据xy的乘积的个位是9,确定x、y的个位可能是1、3、7、9.通过x、y 都具有同等的地位,那么x取过的值,y也有可能,故只取x即可,x的十位数最大不会超过5.因而就x取值可能是1、11、13、17、19、21、23、27、29、31、33、37、39、41、43、47、49.就这几种情况讨论即可.解:∵2008=2008=xy﹣1∴2009=xy∵x,y为正整数,并且乘积是2009的个位数是9因而x、y的个位可能是1、3、7、9①当x的个位是1时,x=1,y=2009显然成立,x=11,y不存在,x=21,y不存在,x=31,y不存在,x=41,y=49,②当x的个位是3时x=3,y不存在,x=13,y不存在,x=23,y不存在,故x+y的最大值是2010,最小值是9024.(2000•内蒙古)计算:25.设a2+2a﹣1=0,b4﹣2b2﹣1=0,且1﹣ab2≠0,求的值.解法一:根据1﹣ab2≠0的题设条件求得b2=﹣a,代入所求的分式化简求值.解法二:根据a2+2a﹣1=0,解得a=﹣1+或a=﹣1﹣,由b4﹣2b2﹣1=0,解得:b2=+1,把所求的分式化简后即可求解.解法一:学习-----好资料a﹣b2+2≠0因此a+b2=0,即b2=﹣a∴===(﹣1)2003=﹣1解法二:解:a2+2a﹣1=0(已知),解得a=﹣1+或a=﹣1﹣,由b4﹣2b2﹣1=0,解得:b2=+1,∴=b2+﹣2+=+1﹣2+,当a=﹣1时,原式=+1﹣2+4+3=4+3,∵1﹣ab2≠0,∴a=﹣1舍去;当a=﹣﹣1时,原式=+1﹣2﹣=﹣1,∴(﹣1)2003=﹣1,即=﹣1.本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式,解题关键是注意1﹣ab2≠0的26.已知3|2x﹣1|++(z﹣1)2=0,求x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz值.分析:首先利用非负数的性质求得x、y、z的值,然后代入代数式求解即可.解:∵3|2x﹣1|++(z﹣1)2=0,∴2x﹣1=0,3y﹣1=0,z﹣1=0∴x=,y=,z=1∴x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=()2+()2+12+2××+2××1+2××1=本题考查了因式分解的应用及非负数的性质,解题的关键是求得未知数的值.更多精品文档。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练:整式与因式分解【含答案】
九年级数学下册2023年中考专题培优训练:整式与因式分解一、单选题1.下列说法正确的是( )A .的项是,2B .是二次三项式3x−23x 2x 2y +xy 2−x C .与是同类项D .单项式的系数是3x 2y −4yx 2−3πx 2y −32.若5x =125y ,3y =9z ,则x :y :z 等于( )A .1:2:3B .3:2:1C .1:3:6D .6:2:13.下列叙述中,正确的是( )A .单项式 的系数是0,次数是3x 2y B .a 、 、0、 都是单项式π22C .多项式 是六次三项式3a 3b +2a 2+1D . 是二次二项式m +n24.如图,7张全等的小长方形纸片(既不重叠也无空隙)放置于矩形ABCD 中,设小长方形的长为a ,宽为b(a>b),若要求出两块黑色阴影部分的周长和,则只要测出下面哪个数据( )A .aB .bC .a+bD .a-b5.下列运算正确的是( )A .a 2+a 3=a 5B .a 2•a 3=a 6C .(a 2)3=a 8D .a 3÷a 2=a6.下列运算正确的是( )A .(x 3)3=x 9B .(﹣2x )3=﹣6x 3C .2x 2﹣x=xD .x 6÷x 3=x 27.下列单项式中,与 是同类项的是( )0.3ab 2A .B .C .D .2a 2ba 2b 2−14b 2a 3ab8.下列计算错误的是( )A .3 =2B .﹣2+|﹣2|=0C .x 2•x 3=x 6D .(﹣3)2=93−339.下列各式变形中,是因式分解的是( )A .B .a 2−2ab +b 2−1=(a−b)2−1x 4−1=(x 2+1)(x +1)(x−1)C .D .(x +2)(x−2)=x 2−42x 2+2x =2x 2(1+1x )10.长方形的一边为2a﹣3b ,另一边比它小a﹣b ,则此长方形的另一边为( )A .3a﹣4bB .3a﹣2bC .a﹣2bD .a﹣4b11.下列说法中,正确的是( ) A .单项式 的系数 12πxy 212B .单项式 的次数为2−5x 2y C .多项式x 2+2xy+18是二次三项式D .多项式 x 3 - x 2y 2-1次数最高项的系数是 12231212.如图,阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形,已知S 1+S 2=9,且AC+BC =10,则AB 的长为( )A .6B .7C .8D .62二、填空题13.已知a=2255,b=3344,c=5533,d=6622,则a ,b ,c ,d 的大小关系是 .14.分解因式:x 3-4x 2+4x= .15.若 ,则 的值为 .2x =2,4y =4216.七年级一班有2a﹣b 个男生和3a+b 个女生,则男生比女生少 人.三、计算题17.计算: (26−5)2019×(26+5)202018.计算:(1)(﹣2)+(﹣3)﹣(+1)﹣(﹣6);(2)﹣22﹣(﹣2)2×0.25÷;12(3)(3x﹣2)﹣(x﹣3);(4)5﹣2(a 2b﹣ab 2)+(3a 2b+ab 2).19.利用乘法公式计算:5002-499×501.20.已知,求代数式的值.x 2+2x−4=0x (x−2)2−x 2(x−6)−3四、综合题21.如图①是一个长为2m ,宽为2n 的长方形(m >n ),用剪刀沿图中虚线剪开,把得到的四块相同的长方形按图2那样拼成一个正方形.(1)图②中,中间的小正方形(阴影部分)的边长为 (用含m 、n 的式子表示);(2)观察图②,可得到(m+n )2、(m﹣n )2和4mn 之间的等量关系,请直接写出这个等量关系式;(3)若m+n =5,mn =,利用(2)的关系式求(m﹣n )2的值.9422.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图1),分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m ,宽为n 的长方形盒子底面(如图2、图3),盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.(1)求图2中阴影部分图形的周长;(用含m 、n 的式子直接写出答案)(2)求图3中两个阴影部分图形的周长和.(用含有m 、n 的式子表示)23.已知x 1,x 2 是关于x 的方程(x -2)(x -m )=(p -2)(p -m )的两个实数根.(1)求x 1,x 2 的值;(2)若x 1,x 2 是某直角三角形的两直角边的长,问当实数m ,p 满足什么条件时,此直角三角形的面积最大?并求出其最大值.24.黑板上有一个正确的整式加法式,小明不小心擦去了前面的多项式,如下:+ (x 2-124xy+2y 2)=3x 2-xy.(1)求出擦去的多项式;(2)当x=-1,y=2时,求擦去的多项式的值.答案解析部分1.【答案】C 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】A 5.【答案】D 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】D 9.【答案】B 10.【答案】C 11.【答案】C 12.【答案】C13.【答案】a >b >c >d 14.【答案】x (x-2)215.【答案】1216.【答案】a+2b17.【答案】解:原式 =[(26−5)(26+5)]2019×(26+5)=(−1)2019(26+5)=−26−518.【答案】(1)解:原式=﹣2﹣3﹣1+6=0;(2)解:原式=﹣4﹣4××214=﹣4﹣2=﹣6;(3)解:(3x﹣2)﹣(x﹣3)=3x﹣2﹣x+3=2x+1;(4)解:5﹣2(a 2b﹣ab 2)+(3a 2b+ab 2)=5﹣2a 2b+2ab 2+3a 2b+ab 2=a 2b+3ab 2+5.19.【答案】解:原式=5002-(500+1)(500-1)=5002-5002+1=1.20.【答案】解:原式=x(x 2−4x +4)−x 3+6x 2−3=x 3−4x 2+4x−x 3+6x 2−3=2x 2+4x−3∵,∴x 2+2x−4=0x 2+2x =4原式=2(x 2+2x)−3=2×4−3=521.【答案】(1)解:由图②可知,中间的小正方形(阴影部分)的边长为;m−n (2)解:由图②可得,大正方形的边长为,m +n ∴大正方形的面积可以表示为,(m +n)2又∵大正方形由4个小长方形和一个小正方形组成,∴大正方形的面积还可以表示为,(m−n)2+4mn ∴.(m +n)2=(m−n)2+4mn (3)解:∵,(m +n)2=(m−n)2+4mn ∴把m+n =5,mn =代入得:,94(m +n)2=(m−n)2+4mn 52=(m−n)2+4×94解得:.(m−n)2=1622.【答案】(1)解:图2中阴影部分图形的周长是:2m +2n(2)解:设小长方形的宽为x ,长为y ,根据题意得:2x +y =m , PF =y ,EQ =2x ,PQ =EQ +PF﹣EF =y +2x﹣n =m﹣n ,EP +FQ =n﹣(m﹣n )=2n﹣m ,则两个阴影部分图形的周长和是:2m +2(2n﹣m )=4n23.【答案】(1)解:原方程变为:x 2-(m + 2)x + 2m = p 2-(m + 2)p + 2m ,∴x 2-p 2-(m + 2)x +(m + 2)p = 0,(x -p )(x + p )-(m + 2)(x -p )= 0,即 (x -p )(x + p -m -2)= 0,∴x 1 = p , x 2 = m + 2-p .(2)解:∵ 直角三角形的面积为 x 1x 2= p(m+2-p)1212= −12p 2+12(m +2)p= −12[p 2−(m +2)p +(m +22)2−((m +2)24)]= ,−12(p−m +22)2+(m +2)28∴ 当且m >-2时,以x 1,x 2为两直角边长的直角三角形的面积最大,最大面积为 p =m +22 (或 ).(m +2)2812p224.【答案】(1)解:(3x 2−xy)−12(x 2−4xy +2y 2)=3x 2−xy−12x 2+2xy−y 2= 52x 2+xy−y 2(2)解:当x=-1,y=2时,原式= = = 52×(−1)2+(−1)×2−2252−2−4−72。
北师大版七年级数学下册第一章:整式的乘除—计算专题培优训练 【含答案】
北师大版七年级数学下册第一章:整式的乘除—计算专题培优训练一、计算题1.计算:(1)(a 3)3·(a 4)3;(2)(-a 2)3·(b 3)2·(ab)4.(3)(3x -1)(2x -1);(4)5x(x +1)2-(2x +3)(2x -3).2.计算:(1)(﹣2a 2b )3+8(a 2)2•(﹣a )2•(﹣b )3;(2)(x﹣3)0﹣()﹣2+(﹣1)2021+|﹣5|.123.计算:(1)x 3y 2··.23(32xy 2)2(23x )(2);[(−a 5)4÷a 12]2⋅(−2a 4)4.要求:利用乘法公式计算(1)2023×2021−20222(2)(2x−y +3)(2x−y−3)5.计算:(1);(−2022)0−(12)−2+(−2)3(2).(3a−b)2−(a−3b)(a +3b)6.计算:(1);(π−2)0−(12)−2+32(2).(−2x 2)2+x 3⋅x−x 5÷x 7.计算:(1)(π−3)0+(12)−2×2−1(2)2x 2⋅x 4+(−2x 2)3−x 7÷x8.计算:(1);(3−π)0+(−13)−3+(−3)3÷(−3)2(2) .(x−2)2−(x−1)(x +3)9.计算:(1)(12)−1+(π−3.14)0−(−1)2022(2)(−2x 2)3+x 2⋅x 4+(−3x 3)210.计算:(1);(2022−π)0−32+(12)−3(2).m 2⋅m 6−(2m 2)4+m 9÷m 11.计算(1).15x 5(y 4z)2÷(−3x 4y 5z 2)(2).(x +1)(x−1)+x(2−x)12.计算:(1)(−2a 2bc 4)3(2)3x 2−x 6÷x 4(3)[−8a 2b 3+6ab 2−(−2ab)]÷(−2ab)(4)6x 2−2(2x−3)(4x +1)(5)(a +2b)2−(a−2b)2+(a +b)(a−b)13.计算:(1);−42⋅(−12)3−(−1)202(2).[(3xy +1)(3xy−1)+(xy−1)2]÷2xy 14.化简:.[(2a +b)(2a−b)−4(a−b)2−b 2]÷(−2b )15.化简:.[(x−y)(x +y)+(3x−y)2]÷2x 16.计算:(1) .(2m 3)⋅(3m 2p)÷(2mp)(2) .(a +1)2+(a +3)(a−3)17.计算:(1)(﹣x 2y 5)•(xy )3;(2)(a 2﹣b 2)2+2a (ab﹣1).18.计算:(1)a 5·(﹣a )4﹣(﹣a 3)3;(2)20210+()﹣1;13(3)(15x 2y﹣10xy 2)÷5xy .(4)x (x﹣3)﹣(x﹣1)(x+2).(1)已知:=5,=3,计算的值.4m 8n 22m +3n (2)已知:3x+5y =8,求的值.8x ⋅32y 20.计算:(1);|−2|−(2−π)0+(13)−1(2);(3x 2)2⋅(−4y 3)÷(6xy)2(3)(简便运算);1032−102×104(4).[(2x−y)(2x +y)+y(y−6x)]÷2x 21.计算:(1);(x−3)(x +2)(2);(3+a )(3−a )(3);a 3⋅a 4⋅a +(a 2)4+(−2a 4)2(4).(a +b )2−b (2a +b )22.计算题:(1)(−13)−1+(−2)2+(π−2015)0(2)(4x 3y−6x 2y 2+2xy )÷(−2xy )(3)(2a 2b )3⋅(−7ab 2)÷14a 4b 3(4)(用简便方法计算)20152−2014×2016(5)(x +2)2−(x +1)(x−1)(6)(2a-b+3)(2a+b-3)(1)2-3÷+(﹣)2;1212(2)(﹣2x 3y )2·(﹣3xy 2)÷(6x 4y 3);(3)(2x +1)(2x﹣1)+(x +2)2;(4)20212﹣2020×202224.计算或化简:(1)(−x 2)3⋅x 4(2)(13)2022×(−3)2021(3)(m +1)2−(m +1)(m−1)+2m(m−1)(4)(a 4−8a 2+16)÷(a 2+4a +4)25.计算(1)x 5•(-2x )3+x 9÷x 2•x-(3x 4)2(2)(2a-3b )2-4a (a-2b )(3)(3x-y )2(3x+y )2(4)(2a-b+5)(2a+b-5)26.计算:(1)4mn 2 (2m+3n -n 2);(2)(3m + 4n ) 2-(3m -4n )2;(3)(6a 3b 2-3a 2b 2+9a 2b )(-3a 2b );÷(4)(-8)2020 ×(-0.125)2021.(1)3x(2x−3)(2)(a+b )(3a-2b )(3)(4a 2-6ab+2a )÷2a(4)20192-2017×2021(用乘法公式)28.计算:(1);(−34)2021×(−43)2022(2);(−2a 2)3⋅a 2−3a 11÷a 3(3).(x +2y−3)(x−2y−3)29.计算:(1)2a (3a +2);(2)(4m 3﹣2m 2)÷(﹣2m );(3)(x +2)(x﹣2)﹣(x﹣2)2;(4).(π−3)0+(−12)−2−21+(−1)202130.算一算:(1)3m 2⋅m 8−(m 2)2⋅(m 3)2(2)[(a 5)3⋅(b 3)2]5(3)−t 3⋅(−t)4⋅(−t)5(4)已知,求的值.2x +3y−3=09x ⋅27y (5)已知,求x 的值.2×8x ×16=223(1)a 2⋅a 4+(−a 2)3(2)(a 2)3⋅(a 2)4⋅(−a 2)5(3)(−2a 2b 3)4+(−a)8⋅(2b 4)3(4)−t 3⋅(−t)4⋅(−t)5(5)(p−q)4⋅(q−p)3⋅(p−q)2(6)(−3a)3−(−a)⋅(−3a)232.化简:(1);(x 2)3⋅x 3−(−x)2⋅x 9÷x 2(2)(m﹣n )(m+n )﹣m (m﹣n );(3);(3a +2b)2−(2a−3b)2(4).[(2x +y)2−(3x−y)(3x +y)−2y 2]÷(−12x)33.计算:(1)35×(−3)3×(−3)2(2)−x 11÷(−x)6⋅(−x)5(3)y 3⋅y 3+(−2y 3)2(4)(3x 2y−xy 2+2xy)÷xy34.计算:(1)(−x)(−x)5+(x 2)3;(2) ;2x 3(−x)2−(−x 2)2×(−3x)(3) ;(−4x−3y 2)(3y 2−4x)(4) .(2x−y)2⋅(2x +y)235.计算.(1)(-)9÷(-)5;1313(2)(-a )10÷(-a )3;(3)(2a )7÷(2a )4;(4)a 19÷(a 12÷a 3);(5)(-)6÷(-)2;1414(6)(-x-y )6÷(x+y )4.36.计算.(1)a 2·(ab )3;(2)(ab )3·(ac )4;(3)a 5·(-a )3+(-2a 2)4;(4)(-2x 2)3+x 2·x 4-(-3x 3)237.逆用积的乘方公式计算.(1)()2022·(-1.25)2022;45(2)(-4)3×(-)3×(-)33413(3)(3)12×()11x (-2)318825(4)()100×(1)100x ()2021x4202223121438.计算.(1)(-5a 2b 3)(-3a )(2)6a 2x 5·(-3a 3b 2x 2)(3)(-a 2b )3·(-3ab 3)413(4)(-3a n+2b )3·(-4ab n+3)2(5)(ab 2-2ab )·ab2312(6)-2x·(x 2y+3y-1)1239.计算.(1)20170+2-2-()2+2017;12(2)(-2ab )(3a 2-2ab-b 2);(3)(2a+3b )2-(2a-b )(2a+b );(4)(9x 2y-6xy 2+3xy )÷()40.计算.(1)x 3·(2x 3)2÷(x 4)2;(2)(a 4)3÷a 6÷(-a )3;(3)(-x )3÷x·(-x )2;(4)-102n ×100÷(-10)2n-1.41.计算(1)(−x 2y)3÷(−13xy 3)(2)(−14x−3y)(−14x+3y)(3)(3x−1)(x+2)+(x−3)2(4)(a−b)3÷(a−b)+2ab 42.计算.(1)102×105(2)x·x5x7·(3)a2·(-a)4(4)x2m+1·x m43.计算(1)a2⋅a3(2)(y2)3⋅y2(3)(−15x2y3)3−x6y4(4) .(x−y)8÷(y−x)5⋅(y−x)2二、解答题44.已知,,求代数式的值.(a+b)2=5ab=−2(a−b)245.计算:已知(x+y)2=1,(x-y)2=49,求x2+y2和xy的值.46.已知:,求2xy的值.x2+y2=25, x+y=747.已知(a+b)2=25,(a﹣b)2=9.求a2﹣6ab+b2.48.已知a+b=3,ab=2,求①;②的值a2+b2a2+b2−ab 49.①已知a m=2,a n=3,求a m+2n的值。
初中数学整式的乘法与因式分解培优训练题(附答案详解)
初中数学整式的乘法与因式分解培优训练题(附答案详解)1.计算-2015×2017的值。
答案:C。
2014解析:将2015×2017先计算出来,再用减去结果即可得到答案2014.2.若a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2+ab-ac-bc=0,b2+bc-ba-ca=0,则△ABC的形状是什么?答案:B。
等腰三角形解析:将两个式子分别移项,得到a2=ac+bc-b2,b2=ab+ac-c2.将第一个式子代入第二个式子中,得到b2=ab+bc-a2.将这个式子变形,得到a2+b2=ab+bc,即△ABC为等腰三角形。
3.下列计算正确的是什么?A。
x+x=x2B。
x3·x3=2x3C。
(x3)2=x6D。
x3÷x=x3答案:A。
x+x=x2解析:这个式子可以化简为x=0或x=1,因此等式成立。
4.若m为整数,则m2+m一定能被哪个数整除?A。
2B。
3C。
4D。
5答案:A。
2解析:m2+m可以因式分解为m(m+1),其中m和m+1中必有一个是偶数,因此m2+m一定能被2整除。
5.若m为大于0的整数,则(m+1)2-(m-1)2一定是什么?A。
3的倍数B。
4的倍数C。
6的倍数D。
16的倍数答案:B。
4的倍数解析:将式子展开,得到4m。
因此,(m+1)2-(m-1)2一定是4的倍数。
6.若,则等于什么?A。
B。
C。
D。
答案:D。
解析:将式子展开,得到16m2.因此,等于16的倍数。
7.计算:7ab2的值是多少?(28a2b2-21ab2)÷(4a2-3b)答案:A。
4a2-3b解析:将分子分母都因式分解,得到7ab2=(7a)(b2),(28a2b2-21ab2)÷(4a2-3b)=7ab2÷(4a2-3b)=(7a)(b2)÷(4a2-3b)=7ab2÷(4a2-3b)×a÷a=7b2÷(4a2-3b)×7a=49a÷(4a2-3b)×b2.由于分母为(4a2-3b),因此可将分子中的a和分母中的4a2合并,得到49a÷(4a2-3b)×b2=49a×b2÷(4a2-3b)=4a2b2-3ab2÷(4a2-3b)=4a2-3b。
部编数学八年级上册专题04整式的乘法与因式分解单元综合提优专练(解析版)(人教版)含答案
专题04整式的乘法与因式分解单元综合提优专练(解析版)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.下列从左到右的变形中是因式分解的有( )①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1;②x3+x=x(x2+1);③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2;④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y).A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式,可得答案.【详解】①没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故①不是因式分解;②把一个多项式转化成几个整式积的形式,故②是因式分解;③整式的乘法,故③不是因式分解;④把一个多项式转化成几个整式积的形式,故④是因式分解;故选B【点睛】本题考查了因式分解,把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键.2.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )A.2x(x+3)=2x2+6x B.24xy2=3x•8y2C.x2+2xy+y2+1=(x+y)2+1D.x2﹣y2=(x+y)(x﹣y)【答案】D【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可.【详解】A、不是因式分解,故本选项不符合题意;B、不是因式分解,故本选项不符合题意;D、是因式分解,故本选项符合题意;故选D.【点睛】本题考查了因式分解的定义,能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键,注意:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解.3.已知A=﹣4x2,B是多项式,在计算B+A时,小马虎同学把B+A看成了B•A,结果得32x5﹣16x4,则B+A为()A.﹣8x3+4x2B.﹣8x3+8x2C.﹣8x3D.8x3【答案】C【分析】根据整式的运算法则即可求出答案.【详解】由题意可知:-4x2•B=32x5-16x4,∴B=-8x3+4x2∴A+B=-8x3+4x2+(-4x2)=-8x3故选C.【点睛】本题考查整式的运算,解题的关键是熟练运用整式的运算法则,本题属于基础题型.4.图(1)是一个长为2m,宽为2n(m>n)的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是()A.2mn B.(m+n)2C.(m-n)2D.m2-n2【答案】C【详解】解:由题意可得,正方形的边长为(m+n),故正方形的面积为(m+n)2.又∵原矩形的面积为4mn,∴中间空的部分的面积=(m+n)2-4mn=(m-n)2.故选C.(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…请你猜想(a+b)10的展开式第三项的系数是()A.36B.45C.55D.66【答案】B【分析】归纳总结得到展开式中第三项系数即可.【详解】解:解:(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5;(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6;(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7;第8个式子系数分别为:1,8,28,56,70,56,28,8,1;第9个式子系数分别为:1,9,36,84,126,126,84,36,9,1;第10个式子系数分别为:1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1,则(a+b)10的展开式第三项的系数为45.故选B.【点睛】本题考查了完全平方公式的规律,根据给的式子得出规律是解题的关键.6.已知a2+a﹣4=0,那么代数式:a2(a+5)的值是()A.4B.8C.12D.16【答案】D【分析】由a2+a﹣4=0,变形得到a2=-(a-4),a2+a=4,先把a2=-(a-4)代入整式得到a2(a+5)=-(a-4)(a+5),利用乘法得到原式=-(a2+a-20),再把a2+a=4代入计算即可.∵a 2+a ﹣4=0,∴a 2=-(a-4),a 2+a=4,a 2(a+5)=-(a-4)(a+5)=-(a 2+a-20)=−(4−20)=16,故选D【点睛】此题考查整式的混合运算—化简求值,掌握运算法则是解题关键7.下列因式分解正确的是( )A .21x x x x +﹣=()B .()()234=41a a a a -+--C .2222a ab b a b +﹣=(﹣)D .()()22x y x y x y +-﹣=【答案】D【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误.【详解】A 、21x x x x ﹣=(-),故A 选项错误;B 、()()234=41a a a a --+-,故B 选项错误;C 、222a ab b +﹣不能分解,故C 选项错误;D 、()()22x y x y x y +-﹣=,正确,故选D.【点睛】本题考查了因式分解,熟练掌握因式分解的方法以及注意事项是解题的关键.8.观察下列两个多项式相乘的运算过程:根据你发现的规律,若(x +a )(x +b )=x 2-7x +12,则a ,b 的值可能分别是( )A .3-,4-B .3-,4C .3,4-D .3,4【答案】A【分析】根据题意可得规律为712a b ab +=-ìí=î,再逐一判断即可.根据题意得,a ,b 的值只要满足712a b ab +=-ìí=î即可,A.-3+(-4)=-7,-3×(-4)=12,符合题意;B.-3+4=1,-3×4=-12,不符合题意;C.3+(-4)=-1,3×(-4)=-12,不符合题意;D.3+4=7,3×4=12,不符合题意.故答案选A.【点睛】本题考查了多项式乘多项式,解题的关键是根据题意找出规律.9.在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形(a b >)(如图甲),把余下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证( )A .()()22a b a b a b -=+-B .()2222a b a ab b -=-+C .()2222a b a ab b +=++D .()()2222a b a b a ab b +-=+-【答案】A【分析】分别表示出甲乙图形中阴影部分的面积,根据面积相等可得结论.【详解】甲图中阴影部分的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积,即22a b -,乙图中阴影部分长方形的长为()a b +,宽为()-a b ,阴影部分的面积为()()a b a b +-,根据两个图形中阴影部分的面积相等可得22()()a b a b a b -=+-.故选:A.【点睛】本题考查了平方差公式的验证,灵活表示图形的面积是解题的关键.10.因式分解2x ax b ++,甲看错了a 的值,分解的结果是()()61x x +-,乙看错了b 的值,分解的结果为()()21x x -+,那么x ax b ++分解因式正确的结果为( ).A .()()23x x -+B .()()23x x +-C .()()23x x --D .()()23x x ++【答案】B【分析】根据甲看错了a 的值,将分解的结果展开,能求出正确的b 的值,乙看错了b 的值,可以求出a 的值,再因式分解即可得到答案.【详解】解:∵甲看错了a 的值∴b 是正确的∵()()61x x +-=256x x +-∴b=-6∵乙看错了b 的值∴a 是正确的∵()()21x x -+=22x x --∴a=-1∴26x x --=()()23x x +-故选:B .【点睛】本题主要考查了因式分解,熟练因式分解以及计算是解决本题的关键.二、填空题11.如图,两个正方形边长分别为a 、b ,如果a+b=7,ab=13,则阴影部分的面积为_____.【答案】5【分析】可求出值.【详解】解:根据题意得:当a+b=7,ab=13时,S 阴影=12a 2-12b (a-b )=12a 2-12ab+12b 2=12[(a+b )2-2ab]-12ab=5,故答案为5【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景,表示出阴影部分面积是解本题的关键.12.甲、乙两个同学分解因式2x ax b ++时,甲看错了b ,分解结果为()()x 2x 4++;乙看错了a ,分解结果为()()x 1x 9++,则a b += ______ .【答案】15【分析】由题意分析a ,b 是相互独立的,互不影响的,在因式分解中,b 决定因式的常数项,a 决定因式含x 的一次项系数;利用多项式相乘的法则展开,再根据对应项系数相等即可求出ab 的值.【详解】解:分解因式x 2+ax+b ,甲看错了b ,但a 是正确的,他分解结果为(x+2)(x+4)=x 2+6x+8,∴a=6,同理:乙看错了a ,分解结果为(x+1)(x+9)=x 2+10x+9,∴b=9,因此a+b=15.故应填15.【点睛】此题考查因式分解与多项式相乘是互逆运算,利用对应项系数相等是求解的关键.13.若x ,y 满足方程组1,2225,x y x y ì-=-ïíï+=î则22x y -的值为______.【答案】54-【分析】方程组中第二个方程整理后求出x+y 的值,原式利用平方差公式变形,将各自的值代入计算即可求出值.解:1,2225,x y x y ì-=-ïíï+=î①②由②得52x y +=,因为12x y -=-,所以225()()4x y x y x y -=+-=-.故答案为54-【点睛】此题考查了二元一次方程组的解,以及平方差公式,将原式进行适当的变形是解本题的关键.14.有两个正方形,A B ,现将B 放在A 的内部得图甲,将,A B 并列放置后构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12,则正方形,A B 的边长之和为________.【答案】5【分析】设正方形A ,B 的边长分别为a ,b ,根据图形构建方程组即可解决问题.【详解】解:设正方形A ,B 的边长分别为a ,b .由图甲得:2()1a b -=,由图乙得:22()()12+--=a b a b ,化简得6ab =,∴22()()412425+=-+=+=a b a b ab ,∵a +b >0,∴a +b =5,故答案为:5.【点睛】本题考查完全平方公式,正方形的面积等知识,解题的关键是学会利用参数,构建方程15.在我们所学的课本中,多项式与多项式相乘可以用几何图形的面积来表示.例如,(2a+b )(a+b )=2a 2+3ab+b 2就可以用图(1)来表示.请你根据此方法写出图(2)中图形的面积所表示的代数恒等式:____________.【答案】(a+2b )(2a+b )=2a 2+5ab+2b 2【详解】试题分析:图②的面积可以用长为a+a+b ,宽为b+a+b 的长方形面积求出,也可以由四个正方形与5个小长方形的面积之和求出,表示出即可.解:根据图形列得:(a+2b )(2a+b )=2a 2+5ab+2b 2.故答案为(a+2b )(2a+b )=2a 2+5ab+2b 2.考点:多项式乘多项式.点评:此题考查了多项式乘以多项式法则,熟练掌握法则是解本题的关键.16.分解因式(2a ﹣1)2+8a =__.【答案】(2a +1)2【分析】运用乘法公式展开,合并同类项即可,再根据完全平方公式进行分解因式.【详解】原式═4a 2+4a +1=(2a )2+4a +1=(2a +1)2,故答案为:(2a +1)2.【点睛】本题考查乘法公式在多项式的化简及因式分解中的运用.解题关键是明确要求,特别是因式分解时,要分解到不能再分解为止.17.2222111111......112319992000æöæöæöæö----ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø=_______.【答案】20014000【分析】法,从而可得答案.【详解】解:2222111111......112319992000æöæöæöæö----ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø=111111111111......111122331999199920002000æöæöæöæöæöæöæöæö-+-+-+-+ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøèøèøèø=1341998200019992001 (223319991999200022000)´´´´´´´´=1200122000´=20014000故答案为:20014000.【点睛】本题考查的是有理数的乘法运算,运用平方差公式对有理数进行简便运算,掌握以上知识是解题的关键.18.若多项式225a ka ++是完全平方式,则k 的值是______.【答案】10±【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到结果.【详解】∵225a ka ++是完全平方式,∴2••510ka a a =±=±,∴10k =±,故答案为:10±.【点睛】本题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键.三、解答题19.先化简,再求值:()()222322a a b ab b a a b a b éù---¸ëû,其中12a =-,13b =.【答案】ab-1,116-【分析】先算乘法,再合并同类项,算除法,最后代入求出即可.()()222322a a b ab b a a b a b éù---¸ëû3222322322222221a b a b a b a b a b a b a b a b ab éùéù=--+¸=-¸=-ëûëû,当12a =-,13b =时,原式116=-.【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值,能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键.20.(1)若3a =5,3b =10,则3a+b 的值.(2)已知a+b=3,a 2+b 2=5,求ab 的值.【答案】(1)50;(2)2 .【分析】(1)逆用同底数幂的乘法进行计算即可得;(2)由a+b=3,可得a 2+2ab+b 2=9,再根据a 2+b 2=5,即可求得ab 的值.【详解】(1)∵3a =5,3b =10,∴3a+b =3a ×3b =5×10=50;(2)∵a+b=3,∴(a+b )2=9,即a 2+2ab+b 2=9,又∵a 2+b 2=5,∴ab=2.【点睛】本题考查了同底数幂乘法的逆用,完全平方公式,熟练掌握同底幂乘法的运算法则是解(1)的关键,掌握完全平方公式是解(2)的关键.21.如图①所示是一个长为2m ,宽为2n 的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图②的方式拼成一个正方形.(1)按要求填空:①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于______;②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积:方法1:______方法2:______③观察图②,请写出代数式(m+n)2,(m-n)2,mn这三个代数式之间的等量关系:______;(2)根据(1)题中的等量关系,解决如下问题:若|m+n-6|+|mn-4|=0,求(m-n)2的值.(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示,如图③,它表示了______.【答案】(1)①m﹣n;②(m﹣n)2;(m+n)2﹣4mn,③(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn;(2)(m﹣n)2=20;(3)(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2【分析】(1)①观察可得阴影部分的正方形边长是m-n;②方法1:阴影部分的面积就等于边长为m-n的小正方形的面积;方法2:边长为m+n 的大正方形的面积减去4个长为m,宽为n的长方形面积;③根据以上相同图形的面积相等可得;(2)根据|m+n-6|+|mn-4|=0可得m+n=6、mn=4,利用(1)中结论(m-n)2=(m+n)2-4mn 计算可得;(3)根据:大长方形面积等于长乘以宽或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和列式可得.【详解】(1)①阴影部分的正方形边长是m﹣n.②方法1:阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积,即(m﹣n)2,方法2:边长为m+n的大正方形的面积减去4个长为m,宽为n的长方形面积,即(m+n)2﹣4mn;③(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn.(2))∵|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0,∴m+n﹣6=0,mn﹣4=0,∴m+n=6,mn=4∵由(1)可得(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn∴(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn=62﹣4×4=20,∴(m﹣n)2=20;(3)根据大长方形面积等于长乘以宽有:(2m+n)(m+n),或两个边长分别为m、n的正方形加上3个长为m、宽为n的小长方形面积和有:2m2+3mn+n2,故可得:(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2.故答案为(1)m﹣n;(2)①(m﹣n)2,②(m+n)2﹣4mn,③(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn;(3)(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2.【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景,解题的关键是熟练的掌握完全平方公式的相关知识.22.观察下列算式:①2´-=-=-132341②2´-=-=-243891③2´-=-=-35415161(1)请按照三个算式的规律写出第④个、第⑤个算式;(2)把这个规律用含有字母的式子表示出来,并说明其正确性.【答案】(1) 4×6-52=24-25=-1;5×7-62=35-36=-1;(2)n×(n+2)-(n+1)2=-1.【分析】(1)按照前3个算式的规律写出即可;(2)观察发现,算式序号与比序号大2的数的积减去比序号大1的数的平方,等于-1,根据此规律写出即可.【详解】(1)①1×3-22=3-4=-1,②2×4-32=8-9=-1,③3×5-42=15-16=-1,④4×6-52=24-25=-1;⑤5×7-62=35-36=-1;(2)第n个式子是:n×(n+2)-(n+1)2=-1.故答案为4×6-52=24-25=-1;5×7-62=35-36=-1;n×(n+2)-(n+1)2=-1.【点睛】本题是对数字变化规律的考查,观察出算式中的数字与算式的序号之间的关系是解题的关键.23.阅读以下材料:对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Nplcr,1550-1617年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evlcr,1707-1783年)才发现指数与对数之间的联系.对数的定义:一般地,若a x=N(a>0,a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作:x=log a N.比如指数式24=16可以转化为4=log216,对数式2=log525可以转化为52=25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质:log a(M•N)=log a M+log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0);理由如下:设log a M=m,log a N=n,则M=a m,N=a n∴M•N=a m•a n=a m+n,由对数的定义得m+n=log a(M•N)又∵m+n=log a M+log a N∴log a(M•N)=log a M+log a N解决以下问题:(1)将指数43=64转化为对数式: .(2)仿照上面的材料,试证明:loga MN=log a M—log a N(a>0,a¹l,M>0,N>0).(3)拓展运用:计算log32+log36-log34=____.【答案】(1)3=log464;;(2)见解析;(3)1【分析】(1)根据题意可以把指数式43=64写成对数式;(2)先设log a M=m,log a N=n,根据对数的定义可表示为指数式为:M=a m,N=a n,计算MN的结果,同理由所给材料的证明过程可得结论;(3)根据公式:log a(M•N)=log a M+log a N和log a MN=log a M-log a N的逆用,将所求式子表示为:log3(2×6÷4),计算可得结论.【详解】(1)由题意可得,指数式43=64写成对数式为:3=log464,故答案为3=log464;(2)设log a M=m,log a N=n,则M=a m,N=a n,∴MN=mnaa=a m-n,由对数的定义得m-n=log aMN,又∵m-n=log a M-log a N,∴log a MN=log a M-log a N(a>0,a≠1,M>0,N>0);(3)log32+log36-log34,=log3(2×6÷4),=log33,=1,故答案为1.【点睛】此题考查整式的混合运算,解题的关键是明确新定义,明白指数与对数之间的关系与相互转化关系.24.阅读:已知a、b、c为△ABC的三边长,且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,试判断△ABC 的形状.解:因为a2c2﹣b2c2=a4﹣b4,①所以c2(a2﹣b2)=(a2﹣b2)(a2+b2).②所以c2=a2+b2.③所以△ABC是直角三角形.④请据上述解题回答下列问题:(1)上述解题过程,从第 步(该步的序号)开始出现错误,错的原因为 ;(2)请你将正确的解答过程写下来.【答案】(1)③,忽略了a2﹣b2=0的可能;(2)见解析【分析】(1)上述解题过程,从第三步出现错误,错误原因为在等式两边除以a2-b2,没有考虑a2-b2是否为0;(2)正确的做法为:将等式右边的移项到方程左边,然后提取公因式将方程左边分解因式,根据两数相乘积为0,两因式中至少有一个数为0转化为两个等式;根据等腰三角形的判定,以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形.【详解】解:(1)上述解题过程,从第③步开始出现错误,错的原因为:忽略了a2﹣b2=0的可能;(2)正确的写法为:c2(a2﹣b2)=(a2+b2)(a2﹣b2),移项得:c2(a2﹣b2)﹣(a2+b2)(a2﹣b2)=0,因式分解得:(a2﹣b2)[c2﹣(a2+b2)]=0,则当a2﹣b2=0时,a=b;当a2﹣b2≠0时,a2+b2=c2;所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.故答案为:③,忽略了a2﹣b2=0的可能.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.25.如图,一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板,一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板,一块小正方形以及另两块长方形的纸板,恰好拼成一个大正方形,求大正方形的面积.【答案】大正方形的面积是36cm 2【分析】设小正方形的边长为x ,然后表示出大正方形的边长,利用正方形的面积相等列出方程求得小正方形的边长,然后求得大正方形的边长即可求得面积.【详解】设小正方形的边长为x ,则大正方形的边长为4+(5−x )cm 或(x +1+2)cm ,根据题意得:4+(5−x )=(x +1+2),解得:x =3,∴4+(5−x )=6,∴大正方形的面积为36cm 2.答:大正方形的面积为36cm 2.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,解题的关键是设出小正方形的边长并表示出大正方形的边长.26.某小区有一块长为(3a b +)米,宽为(2a b +)米的长方形地块(如图所示),物业公司计划将中间修建一小型喷泉,然后将周围(阴影部分)进行绿化;(1)应绿化的面积是多少平方米?(2)当 3, 2a b ==时求出应绿化的面积.【答案】(1)253a ab +;(2)63.【分析】(1)依据应绿色的面积=矩形面积-正方形面积列式计算即可;(2)将a=3,b=2代入化简后的结果,最后,依据有理数的运算法则进行计算即可.【详解】(1) 依题意得:绿化的面积=()()()232a b a b a b ++-+22226+52=+---a ab b a ab b 253a ab=+答:绿化的面积为(253a ab +)平方米;(2) 当 3, 2a b ==时,2253=53+332=63+´´´a ab 平方米.答:当 3, 2a b ==时应绿化的面积为63平方米.【点睛】本题考查了阴影部分面积的表示和多项式的乘法,完全平方公式,准确列出阴影部分面积的表达式是解题的关键.27.下面是某同学对多项式(x 2-4x+2)(x 2-4x+6)+4进行因式分解的过程.解:设x 2-4x=y原式=(y+2)(y+6)+4 (第一步)= y 2+8y+16 (第二步)=(y+4)2 (第三步)=(x 2-4x+4)2(第四步)回答下列问题:(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______.A .提取公因式B .平方差公式C .完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底?________.(填“彻底”或“不彻底”),若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果_________.(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.【答案】(1)C;(2)不彻底,(x-2)4 ;(3)(x-1)4【分析】(1)观察多项式结构发现利用了完全平方公式;(2)观察发现分解不彻底,最后一步括号里还能利用完全平方公式分解;(3)类比例题中的方法将原式分解即可.【详解】解:(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式,故选:C;(2)∵x2-4x+4=(x-2)2 ,∴该同学因式分解的结果不彻底,最后结果为(x-2)4 ,故答案为:不彻底,(x-2)4 ;(3)设x2-2x=y,则:原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=( x2-2x+1)2=(x﹣1)4.【点睛】本题考查利用换元法和公式法进行因式分解,熟记完全平方公式,熟练掌握因式分解的各种方法是解答的关键.。
整式的乘除与因式分解计算题精选2(含答案)
整式的乘除与因式分解习题精选一.解答题(共30小题)1.计算:﹣4m(m2﹣m﹣2).2.化简:(1)(﹣2ab)(3a2﹣2ab﹣4b2)(2)5ax(a2+2a+1)﹣(2a+3)(a﹣5)3.(﹣7x2﹣8y2)(﹣x2+3y2)4.计算:(x﹣)(x+).5.计算:(﹣)2014×(﹣2)2015.6.计算:(﹣)2014×.7.化简:(a+b)(a﹣b)+2b2.8.化简:(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2).9.计算:(1)(a﹣2b+1)(a+2b﹣1)(2)(x﹣y﹣z)2.10.运用乘法公式计算:(1)(a+2b﹣1)2;(2)(2x+y+z)(2x﹣y﹣z).11.因式分解:a(2a+b)﹣b(2a+b).12.因式分解:(m﹣n)3+2n(n﹣m)2.13.分解因式:(3a﹣4b)(7a﹣8b)﹣(11a﹣12b)(8b﹣7a).14.分解因式:﹣36ab2x6﹣39a3b2x5.15.分解因式:4m3n2﹣4m2n+m.16.因式分解:(y﹣x)2+2x﹣2y.17.因式分解:①﹣6(2a﹣b)2﹣4(b﹣2a)2②6(x+y)2﹣2(x﹣y)(x+y)③﹣3(x﹣y)2﹣(y﹣x)3④3a(m﹣n)﹣2b(n﹣m)⑤9(a﹣b)(a+b)﹣3(a﹣b)2⑥3a(a+b)(a﹣b)﹣2b(b﹣a)18.9(a+b)2﹣(a﹣b)2.19.因式分解:(1)(m+n)2﹣n2(2)(x2+y2)2﹣x2y2.20.﹣4(x+2y)2+9(2x﹣y)2.21.因式分解:(a)2﹣b2.22.因式分解:36(a+b)2﹣25.23.因式分解:9(x﹣y)2﹣12(x﹣y)+4.24.因式分解:(a+2b)2﹣2(a+2b)+1.25.因式分解:16(m+n)2﹣25(m﹣n)2.26.因式分解:4(x﹣y)2﹣4(x﹣y)+1.27.因式分解:(1)9(m+n)2﹣16(m﹣n)2;(2)(x+y)2+10(x+y)+25;(3)4a2b2﹣(a2+b2)2.28.(a2+4a)2+8(a2+4a)+16.29.(a2+b2)2﹣4a2b2 30.分解因式:(1)﹣4a2x+12ax﹣9x (2)(2x+y)2﹣(x+2y)2.7.给出三个多项式:x2+2x﹣1,x2+4x+1,x2﹣2x.请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算,并把结果因式分解.8.先化简,再求值:(2a+b)(2a﹣b)+b(2a+b)﹣4a2b÷b,其中a=﹣,b=2.9.当x=﹣1,y=﹣2时,求代数式[2x2﹣(x+y)(x﹣y)][(﹣x﹣y)(﹣x+y)+2y2]的值.10.解下列方程或不等式组:①(x+2)(x﹣3)﹣(x﹣6)(x﹣1)=0;②2(x﹣3)(x+5)﹣(2x﹣1)(x+7)≤4.整式的乘除与因式分解习题精选参考答案与试题解析一.解答题(共30小题)1.计算:﹣4m(m2﹣m﹣2).考点:单项式乘多项式.专题:计算题.分析:原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果.解答:解:原式=﹣2m3+4m2+8m.点评:此题考查了单项式乘多项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键.2.化简:(1)(﹣2ab)(3a2﹣2ab﹣4b2)(2)5ax(a2+2a+1)﹣(2a+3)(a﹣5)考点:单项式乘多项式;多项式乘多项式.专题:计算题.分析:(1)根据单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加计算即可;(2)先算乘法,再去括号、合并同类项即可.解答:解:(1)(﹣2ab)(3a2﹣2ab﹣4b2)=﹣6a3b+4a2b2+8ab3;(2)5ax(a2+2a+1)﹣(2a+3)(a﹣5)=5a3x+10a2x+5ax﹣(2a2﹣10a+3a﹣15)=5a3x+10a2x+5ax﹣2a2+7a+15.点评:本题主要考查了整式的乘法,熟练掌握单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的法则是解题的关键.3.(﹣7x2﹣8y2)(﹣x2+3y2)考点:多项式乘多项式.分析:根据多项式乘以多项式法则展开,再合并同类项即可.解答:解:原式=﹣7x2•(﹣x2)+(﹣7x2)•3y2﹣8y2•(﹣x2)﹣8y2•3y2=7x4﹣21x2y2+8x2y2﹣24y44.计算:(x﹣)(x+).考点:多项式乘多项式.分析:根据多项式乘以多项式法则进行计算即可.解答:解:(x﹣)(x+)=x2+x﹣x﹣=x2﹣x﹣.点评:本题考查了多项式乘以多项式法则,合并同类项的应用,主要考查学生的计算能力.5.计算:(﹣)2014×(﹣2)2015.考点:幂的乘方与积的乘方.分析:根据同底数幂的乘法,可化成指数相同的幂的乘法,根据积的乘方,可得答案.解答:解:原式=(﹣)2014×(﹣2)2014×(﹣2)=[﹣×(﹣2)]2014×(﹣2)=﹣2.点评:本题考查了积的乘方,先化成指数相同的幂的乘法,再进行积的乘方运算.6.计算:(﹣)2014×.考点:幂的乘方与积的乘方.分析:根据同底数幂的乘法,可化成指数相同的幂的乘法,根据积的乘方,可得答案.解答:解:原式=(﹣)×(﹣)2013×()2013=(﹣)×(﹣×)2013=(﹣)×(﹣1)=.点评:本题考查了积的乘方,先化成指数相同的幂的乘法,再进行积的乘方运算.考点:平方差公式;合并同类项.专题:计算题.分析:先根据平方差公式算乘法,再合并同类项即可.解答:解:原式=a2﹣b2+2b2=a2+b2.点评:本题考查了平方差公式和整式的混合运算的应用,主要考查学生的化简能力.8.(2014•槐荫区一模)化简:(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2).考点:完全平方公式;平方差公式.分析:先根据完全平方公式和平方差公式算乘法,再合并同类项即可.解答:解:原式=x2+2x+1﹣x2+4=2x+5.点评:本题考查了对完全平方公式和平方差公式的应用,注意:完全平方公式有:(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式有(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.9.计算:(1)(a﹣2b+1)(a+2b﹣1)(2)(x﹣y﹣z)2.考点:完全平方公式;平方差公式.分析:(1)先变形得出[a﹣(2b﹣1)][a+(2b﹣1)],再根据平方差公式进行计算,最后根据完全平方公式求出即可;(2)首先把x﹣y﹣z看作(x﹣y)﹣z,利用完全平方公式展开,再进一步利用整式的乘法和完全平方公式继续计算即可.解答:解:(1)(a﹣2b+1)(a+2b﹣1)=[a﹣(2b﹣1)][a+(2b﹣1)]=a2﹣(2b﹣1)2=a2﹣4b2+4b﹣1;(2)(x﹣y﹣z)2=[(x﹣y)﹣z]2=(x﹣y)2﹣2(x﹣y)z+z2=x2﹣2xy+y2﹣2xz+2yz+z2.点评:本题考查了平方差公式和完全平方公式的应用,主要考查学生运用公式进行推理和计算的能力.10.运用乘法公式计算:(1)(a+2b﹣1)2;考点:完全平方公式;平方差公式.分析:(1)先把(a+2b)看作整体,再两次利用完全平方式展开即可.(2)把(y+z)看作整体,利用平方差公式展开,然后利用完全平方公式再展开.解答:解:(1)原式=[(a+2b)﹣1]2=(a+2b)2﹣2(a+2b)+1=a2+4ab+4b2﹣2a﹣4b+1;(2)原式=(2x)2﹣(y+z)2=4x2﹣y2﹣2yz﹣z2.点评:本题考查了平方差公式和完全平方公式.熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助.11.因式分解:a(2a+b)﹣b(2a+b).考点:因式分解-提公因式法.分析:直接提取公因式(2a+b),即可得出答案.解答:解:a(2a+b)﹣b(2a+b)=(2a+b)(a﹣b).点评:此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确提取公因式是解题关键.12.计算:(m﹣n)3+2n(n﹣m)2.考点:因式分解-提公因式法.分析:利用偶次幂的性质将原式变形,进而提取公因式(m﹣n)2,进而求出即可.解答:解:(m﹣n)3+2n(n﹣m)2=(m﹣n)3+2n(m﹣n)2=(m﹣n)2[(m﹣n)+2n]=(m﹣n)2(m+n).点评:此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确找出公因式是解题关键.13.分解因式:(3a﹣4b)(7a﹣8b)﹣(11a﹣12b)(8b﹣7a).考点:因式分解-提公因式法.分析:首先把代数式变形为(3a﹣4b)(7a﹣8b)+(11a﹣12b)(7a﹣8b),再提取公因式(7a﹣8b),然后把括号里面合并同类项可得(7a﹣8b)(14a﹣16b),再把后面括号李提取公因式2,进一步分解.解答:解:(3a﹣4b)(7a﹣8b)﹣(11a﹣12b)(8b﹣7a),=(3a﹣4b)(7a﹣8b)+(11a﹣12b)(7a﹣8b),=(7a﹣8b)(3a﹣4b+11a﹣12b),=(7a﹣8b)(14a﹣16b),=2(7a﹣8b)2.14.分解因式:﹣36ab2x6﹣39a3b2x5.考点:因式分解-提公因式法.分析:根据题意直接提取公因式﹣3ab2x5进而得出答案.解答:解:﹣36ab2x6﹣39a3b2x5=﹣3ab2x5(12x+13a2).点评:此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确提取公因式是解题关键.15.分解因式:4m3n2﹣4m2n+m.考点:因式分解-提公因式法.分析:根据提公因式法和公式法进行判断求解.解答:解:原式=m(4m2n2﹣4mn+1)=m(2mn﹣1)2.点评:本题考查了多项式的因式分解,分解因式要一提公因式,二套公式,三检查,注意分解要彻底.16.因式分解:(y﹣x)2+2x﹣2y.考点:因式分解-提公因式法.专题:计算题.分析:原式变形后,提取公因式即可得到结果.解答:解:原式=(x﹣y)2+2(x﹣y)=(x﹣y)(x﹣y+2).点评:此题考查了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握提公因式的方法是解本题的关键.17.因式分解:①﹣6(2a﹣b)2﹣4(b﹣2a)2②6(x+y)2﹣2(x﹣y)(x+y)③﹣3(x﹣y)2﹣(y﹣x)3④3a(m﹣n)﹣2b(n﹣m)⑤9(a﹣b)(a+b)﹣3(a﹣b)2⑥3a(a+b)(a﹣b)﹣2b(b﹣a)考点:因式分解-提公因式法.分析:利用提取公因式法分解因式得出即可.解答:解:①﹣6(2a﹣b)2﹣4(b﹣2a)2=﹣10(2a﹣b)2②6(x+y)2﹣2(x﹣y)(x+y)=2(x+y)[3(x+y)﹣(x﹣y)]=2(x+y)(2x+4y)=﹣3(x﹣y)2+(x﹣y)3=(x﹣y)2(﹣3+x﹣y);④3a(m﹣n)﹣2b(n﹣m)=3a(m﹣n)+2b(m﹣n)=(m﹣n)(3a+2b);⑤9(a﹣b)(a+b)﹣3(a﹣b)2=3(a﹣b)[3(a+b)﹣(a﹣b)]=3(a﹣b)(2a+4b)=6(a﹣b)(a+2b);⑥3a(a+b)(a﹣b)﹣2b(b﹣a)=3a(a+b)(a﹣b)+2b(a﹣b)=(a﹣b)(3a2+3ab+2b).点评:此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确得出公因式是解题关键.18.(2003•茂名)9(a+b)2﹣(a﹣b)2.考点:因式分解-运用公式法.专题:计算题.分析:先利用平方差公式分解因式,再整理计算即可.解答:解:9(a+b)2﹣(a﹣b)2,=[3(a+b)]2﹣(a﹣b)2,=[3(a+b)+(a﹣b)][3(a+b)﹣(a﹣b)],=(4a+2b)(2a+4b),=4(2a+b)(a+2b).点评:本题主要考查利用平方差公式分解因式,熟练掌握公式结构,找准公式中的a、b是解题的关键.19.因式分解:(1)(m+n)2﹣n2(2)(x2+y2)2﹣x2y2.考点:因式分解-运用公式法.分析:(1)根据平方差公式进行解答,将(m+n)看做整体;(2)根据平方差公式进行解答,将(x2+y2)和x2y2看做整体.解答:解:(1)原式=(m+n﹣n)(m+n+n)=m(m+2n);(2)原式=(x2+y2﹣xy)(x2+y2+xy).点评:本题考查了因式分解﹣﹣运用公式法,熟悉平方差公式的结构是解题的关键.20.﹣4(x+2y)2+9(2x﹣y)2.分析:直接利用平方差分解因式,进而合并同类项即可.解答:解:﹣4(x+2y)2+9(2x﹣y)2=9(2x﹣y)2﹣4(x+2y)2=[3(2x﹣y)+2(x+2y)][3(2x﹣y)﹣2(x+2y)]=(8x+y)(4x﹣7y).点评:此题主要考查了利用平方差分解因式,注意正确记忆平方差公式是解题关键.21.因式分解:(a)2﹣b2.考点:因式分解-运用公式法.分析:直接利用平方差公式分解因式得出即可.解答:解:(a)2﹣b2=(a+b)(a﹣b).点评:此题主要考查了公式法分解因式,熟练应用平方差公式是解题关键.22.因式分解:36(a+b)2﹣25.考点:因式分解-运用公式法.专题:计算题.分析:原式利用平方差公式分解即可得到结果.解答:解:原式=[6(a+b)+5][6(a+b)﹣5]=(6a+6b+5)(6a+6b﹣5).点评:此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.23.因式分解:9(x﹣y)2﹣12(x﹣y)+4.考点:因式分解-运用公式法.分析:直接利用完全平方公式分解因式进而求出即可.解答:解:9(x﹣y)2﹣12(x﹣y)+4=[3(x﹣y)﹣2]2=(3x﹣3y﹣2)2.点评:此题主要考查了公式法分解因式,熟练应用完全平方公式是解题关键.24.因式分解:(a+2b)2﹣2(a+2b)+1.考点:因式分解-运用公式法.分析:直接利用完全平方公式分解因式得出即可.解答:解:(a+2b)2﹣2(a+2b)+1=(a+2b﹣1)2.点评:此题主要考查了公式法分解因式,熟练应用完全平方公式是解题关键.25.因式分解:16(m+n)2﹣25(m﹣n)2.考点:因式分解-运用公式法.分析:根据平方差公式,可得答案.解答:解:原式=[4(m+n)+5(m﹣n)][4(m+n)﹣5(m﹣n)]=(9m﹣n)(﹣m+9n).点评:本题考查了因式分解,利用了平方差公式.26.因式分解:4(x﹣y)2﹣4(x﹣y)+1.考点:因式分解-运用公式法.分析:直接利用完全平方公式分解因式得出即可.解答:解:4(x﹣y)2﹣4(x﹣y)+1=[2(x﹣y)﹣1]2.点评:此题主要考查了公式法分解因式,熟练掌握乘法公式是解题关键.27.因式分解:(1)9(m+n)2﹣16(m﹣n)2;(2)(x+y)2+10(x+y)+25;(3)4a2b2﹣(a2+b2)2.考点:因式分解-运用公式法.专题:计算题;因式分解.分析:(1)原式利用平方差公式分解即可得到结果;(2)原式利用完全平方公式分解即可得到结果;(3)原式先利用平方差公式分解,再利用完全平方公式分解即可.解答:解:(1)原式=[3(m+n)+4(m﹣n)][3(m+n)﹣4(m﹣n)]=(7m﹣n)(﹣m+7n);(2)原式=(x+y+5)2;(3)原式=(2ab+a2+b2)(2ab﹣a2﹣b2)=﹣(a﹣b)2(a+b)2.点评:此题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键.28.分解因式:(a2+4a)2+8(a2+4a)+16.考点:因式分解-运用公式法.分析:根据平方和加积的二倍等于和的平方,可得答案.解答:解:原式=[(a2+4a)+4]2=[(a+2)2]2=(a+2)4.点评:本题考查了因式分解,两次利用了完全平方公式.29.分解因式:(a2+b2)2﹣4a2b2考点:因式分解-运用公式法.专题:计算题.分析:先利用平方差公式分解因式,再利用完全平方公式分解因式即可.解答:解:原式=(a2+b2)2﹣(2ab)2,=(a2+b2+2ab)(a2+b2﹣2ab),=(a+b)2(a﹣b)2.点评:本题考查用公式法进行因式分解的能力,熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键.完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式:(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.30.分解因式:(1)﹣4a2x+12ax﹣9x (2)(2x+y)2﹣(x+2y)2.考点:因式分解-运用公式法.专题:计算题.分析:(1)先提公因式,再用公式即可;(2)将2x+y与x+2y看作整体,运用平方差公式即可进行分解因式.解答:解:(1)原式=﹣x(4a2﹣12a+9)=﹣x(2a﹣3)2;(2)原式=(2x+y+x+2y)(2x+y﹣x﹣2y)=(3x+3y)(x﹣y)=3(x+y)(x﹣y).点评:本题考查了运用公式法进行因式分解,熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键.。
人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)
人教版八年级数学上册 整式的乘法与因式分解(培优篇)(Word版 含解析)一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题(难)1.将多项式24x +加上一个整式,使它成为完全平方式,则下列不满足条件的整式是( ) A .4-B .±4xC .4116xD .2116x 【答案】D【解析】【分析】分x 2是平方项与乘积二倍项,以及单项式的平方三种情况,根据完全平方公式讨论求解.【详解】解:①当x 2是平方项时,4士4x+x ²=(2士x )2,则可添加的项是4x 或一4x ;②当x 2是乘积二倍项时,4+ x 2+4116x =(2+214x )2,则可添加的项是4116x ; ③若为单项式,则可加上-4.故选:D.【点睛】本题考查了完全平方式,比较复杂,需要我们全面考虑问题,首先考虑三个项分别充当中间项的情况,就有三种情况,还有就是第四种情况加上一个数,得到一个单独的单项式,也是可以成为一个完全平方式,这种情况比较容易忽略,要注意.2.已知243m -m-10m -m -m 2=+,则计算:的结果为( ).A .3B .-3C .5D .-5【答案】A【解析】【分析】观察已知m 2-m-1=0可转化为m 2-m=1,再对m 4-m 3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m 2-m 作为一个整体代入,逐次降低m 的次数,使问题得以解决.【详解】∵m 2-m-1=0,∴m 2-m=1,∴m 4-m 3-m+2=m 2 (m 2-m)-m+2=m 2-m+2=1+2=3,故选A .【点睛】本题考查了因式分解的应用,解决本题的关键是将m 2-m 作为一个整体出现,逐次降低m 的次数.3.若代数式x 2+ax +64是一个完全平方式,则a 的值是( )A.-16 B.16 C.8 D.±16【答案】D【解析】试题分析:根据完全平方式的意义,首平方,尾平方,中间加减积的2倍,可知a=±2×8=16.故选:D点睛:此题主要考查了完全平方式的意义,解题关键是明确公式的特点,即:完全平方式分两种,一种是完全平方和公式,就是两个整式的和括号外的平方。
第一章《整式的乘除》同步单元基础与培优高分必刷卷(全解全析)
第一章《整式的乘除》同步单元基础与培优高分必刷卷全解全析1.D【分析】根据同底数幂的乘法,合并同类项,逐项分析判断即可求解.【详解】解:A. 2a 与3a 不是同类项,不能合并,故该选项不正确,不符合题意;B. 426a a a ´=,故该选项不正确,不符合题意;C. 6a 与4a 不是同类项,不能合并,故该选项不正确,不符合题意;D. 22245ab b a ab -=-,故该选项正确,符合题意.故选:D .【点睛】本题考查了同底数幂的乘法,合并同类项,掌握以上运算法则是解题的关键.2.C【分析】根据正方形的面积=边长´边长列出代数式,根据积的乘方化简,结果写成科学记数法的形式即可求得n 的值.【详解】解:()22410´()222410=´41610=´51.610=´(2m ),∴5n =故选:C .【点睛】本题考查了科学记数法——表示较大的数,掌握()nn n ab a b =是解题的关键.3.C【分析】根据同底数幂的除法运算法则判断①,根据合并同类项法则判断②,根据单项式乘单项式的运算法则判断③,根据单项式除以单项式的运算法则判断④,根据幂的乘方运算法则判断⑤,根据负整数指数幂运算法则判断⑥.【详解】解:()()32a a a -÷-=,故①不符合题意;34m n 与35mn 不是同类项,不能合并计算,故②不符合题意;()325326x x x ×-=-,原计算正确,故③符合题意;()32422a b a b a ÷-=-,原计算正确,故④符合题意;()236a a =,故⑤不符合题意;2124-=,故⑥符合题意;正确的是③④⑥,共3个.故选:C .【点睛】本题考查整式的混合运算,掌握同底数幂的乘法(底数不变,指数相加),同底数幂的除法(底数不变,指数相减),幂的乘方()nm mn a a =运算法则是解题关键.4.A【分析】根据平方差公式的结构特点判断即可.【详解】解:A 、()()()()()22112212121x x x x x --+=--=-,故该选项符合题意;B 、()()22111ab ab a b -+=-,故该选项不符合题意;C 、()()()()2222224x y x y y x y x y x ---=---+=-,故该选项不符合题意;D 、()()25525a a a -+--=-,故该选项不符合题意;故选:A .【点睛】本题考查了平方差公式,掌握()()22a b a b a b +-=-是解题的关键.5.B【分析】根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积,即可作出判断.【详解】解:根据题意得:图1中阴影部分的面积为2()a b -,图2中阴影部分的面积222a ab b -+,根据图1与图2中阴影部分的面积相等可得222()2a b a ab b -=-+,故选:B .【点睛】此题考查了完全平方公式的几何背景,弄清阴影部分面积的求法是解本题的关键.6.A【分析】根据完全平方公式,整式恒等变形,得出a ,b ,x ,y 之间的关系即可得到答案.【详解】解:由图形可知,x y b -=,x y a +=,因此①②正确;22()()x y x y x y ab +-=-=,故③正确;将①②平方相加可得22222a b x y ++=故④正确;将①②平方相减可得224a b xy -=,故⑤错误;故选A .【点睛】本题考查完全平方公式的应用,解题的关键是掌握完全平方公式的恒等变形.7.C【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可.【详解】解:∵22(3)16x m x +-+是完全平方式,∴34m -=±,解得:7m =或1-,故选:C .【点睛】此题考查了完全平方式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.8.C【分析】根据题意,可令23201415555A =++++¼+,则23201555555A ++¼=++,进行相减即可得.【详解】解:根据题意,可令23201415555A =++++¼+,则23201555555A ++¼=++,∴2015155A A -=-2015451A =-,即201523201445155551++++¼-=+,故选:C .【点睛】本题考查了整式混合运算的应用,解题的关键是理解题意,正确计算.9.C【分析】先利用完全平方公式去括号,再求值即可.【详解】解:22(23)(23)x y x y A -=++,222241294129x xy y x xy y A -+=+++,24A xy =-,故选:C .【点睛】本题考查整式的混合运算,解题关键是掌握完全平方公式.10.B【分析】根据整式的加减混合运算即可判断①,根据整式的乘法运算即可判断②,将1x =和2x =代入即可判断③.【详解】解:∵325610A x x =-+,2B x ex f =++,∴3626246105510A B x x x ex f x x ex f +=-++++=-+++,∵A B +为关于x 的三次三项式,且e 为非零常数,∴108f +=,解得:10f =-,说法①正确;322(5710)()A B x x x ex f ×=-+++5534423655366101010x ex fx x ex fx x ex f=++---+++54325(26)(36)(103)1010x e x f e x f x ex f =+-+-+-++,∵多项式A 与B 的乘积中不含x ⁴项,∴530e -=,解得 1.7e =,说法②错误;32325610(1)(1)(1)A x x a x b x c x d =-+=-+-+-+,当1x =时,55109d =-+=,当2x =时,3242421026a b c d ++-+=´´+=,则17a b c ++=,说法③错误.故选:B .【点睛】此题考查了整式的加减混合运算,整式的乘法运算,解题的关键是熟练掌握以上运算法则.11.A【分析】先根据定义列出代数式,然后再利用积的乘方、单项式除法解答即可.【详解】解:由题意可得:()()332323mn m n ×÷-=()33322163m n m n ÷-=72n -.故选A .【点睛】本题主要考查了整单项式除法运算,根据新定义列出整式是解答本题的关键.12.C【分析】利用题中的新定义将已知等式左边化简,再利用等式左右两边相等即可求得p ,m 的值.【详解】解:利用题中的新定义计算可知:()()()()()()()()()()21213243...1=+-+=+-++-++-+++-+éùëûånk x k x k x x x x x x x k x k ()2222=2612...1+-++-++-+++-+x x x x x x x x k k ,∵[]22()(1)4=+-+=+-ånk x k x k px x m ,∴=4p ,=261220=40+++m ,∴=440=36---p m ,故选:C .【点睛】本题考查整式的加减,根据多项式乘多项式将等式左边展开,求出p ,m 的值是解题的关键.13.41.210-´【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为10n a -´,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.【详解】解:40.00012 1.210-=´,故答案为:41.210-´.【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为10n a -´,其中110a ≤<,n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.14.9【分析】根据同底数幂乘法的逆运算,求出3n a =,再根据幂的乘方运算法则,即可求解.【详解】解:∵6m n m n a a a +=×=,2m a =,∴623n a =÷=,∴()22239n n a a ===,故答案为:9.【点睛】本题主要考查了同底数幂的运算,解题的关键是掌握:同底数幂的乘法(除法),底数不变,指数相加(相减);幂的乘方,底数不变,指数相乘.15.0【分析】首先根据多项式乘多项式法则进行运算,把原式化为含有x y +,xy 的形式,再把1x y +=,2xy =-代入计算,即可求得其值.【详解】解:1x y +=Q ,2xy =-,()()22x y \--422y x xy=--+()42x y xy=-++4212=-´-0=;故答案为:0.【点睛】本题考查了代数式求值问题,把原式化为含有已知式子的形式是解决本题的关键.16.256或14【分析】首先根据完全平方公式将等式变形,然后利用积的乘方的逆运算将25x y +的值整体代入求解即可.【详解】∵22420251230+16x xy y x y +=-++∴2242025123016x xy y x y ++--=∴()224202562516x xy y x y ++-+=∴()()225625925x y x y +-++=∴()225325x y +-=∴2535x y +-=-或2535x y +-=∴252x y +=-或258x y +=∴当252x y +=-时,25252443122222x y x y y x +-=×==×=;∴当258x y +=时,252586432222252x y x x y y +=×=×==;综上所述,432×=x y 14或256.故答案为:256或14.【点睛】此题考查了完全平方公式的变形应用,积的乘方的逆运算,解题的关键是将原等式利用完全平方公式正确变形.17.16213-【分析】将原式变形为()()()()22481212121213-+++,然后多次利用平方差公式计算即可.【详解】解:原式()()()()22481212121213=-+++()()()44812121213=-++()()88121213=-+()161213=-16213-=故答案为:16213-.【点睛】此题主要考查平方差公式的应用;解题的关键是将原式变形为平方差的形式.18【分析】将1x x -=1x x +【详解】解:∵1x x-=,0x >∴1x x +【点睛】本题考查了代数求值,解题的关键是掌握完全平方公式及其变形.19.(1)10()x y --(2)5()x y -【分析】(1)将x y -或y x -看作整体,利用同底数幂乘法运算法则进行计算即可;(2)将x y -或y x -看作整体,利用同底数幂乘法运算法则进行计算即可.【详解】(1)解:2323··()·()()()x y x y y x y x ----()2323()()(··)·x y x x y x y y éù=----ë-û2323()x y +++=--10()x y -=-;(2)解:234()()()()2x y y x x y x y ×+×----234)·2()()·()(x y x y x y x y =-----+55()(2)x y x y =---+5()x y =-.【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法运算,解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法运算法则,准确计算.20.(1)3a +(2)36【分析】(1)分别算出直角三角形较长的直角边和较短的直角边,再用较长的直角边减去较短的直角边即可得到小正方形面积;(2)根据(1)所得的小正方形边长,可以写出小正方形的面积代数式,再将a 的值代入即可.【详解】(1)解:∵直角三角形较短的直角边122a a =´=,较长的直角边23a =+,∴小正方形的边长233a a a =+-=+;(2)解:22(3)69S a a a =+=++小正方形,当3a =时,2(33)36S =+=小正方形.【点睛】本题考查割补思想,属性结合思想,以及整式的运算,能够熟练掌握割补思想是解决本题的关键.21.(1)2111616x -(2)22812x y -(3)22224469a ac c b bd d -+-+-(4)8256x -【分析】(1)把小数化为分数,提公因式后用平方差公式计算即可;(2)先用平方差公式进行计算,再去括号,合并同类项即可得到答案;(3)先分组()()()()2323a c b d a c c d -+---éùéùë-ûëû,再用平方差公式和完全平方公式运算即可;(4)将原式化为()()()()2422416x x x x -+++,再用平方差公式运算即可.【详解】(1)解:原式11114444x x æöæö-+ç÷ç÷èøèø221144x æöæö=-ç÷ç÷èøèø2161116x =-;(2)解:原式()()()2222243y x y x éù=----ëû22224169y x y x =--+22812x y =-;(3)解:原式=()()()()2323a c b d a c b d -+---éùéùë-ûëû()()2223a c b d =---()22224469a ac c b bd d =-+--+22224469a ac c b bd d =-+-+-;(4)解:原式()()()()2422416x x x x =-+++()()()2424164x x x ++=-()()441616x x =-+8256x =-.【点睛】本题主要考查了整式的混合计算,熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键.22.(1)1500;(2)27【分析】(1)先逆用积的乘方和幂的乘方运算法则,然后将已知代入即可解答;(1)先由3430x y +-=得3x+4y=3,然后逆用积的乘方和幂的乘方运算法则将【详解】解:(1)∵35m =,32n =,∴()()3232113233335231500m n m n ++=´´=´´=;(2)∵3430x y +-=,∴343x y +=,∴()()3434343278133333327x yx y x y x y +×==´===×.【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方法则的逆用,灵活应用相关运算法则是解答本题的关键.23.(1)活动场所面积:229124a a p +;花草的面积:229484a a p -;(2)5【分析】(1)活动场所的面积=A 区面积+B 区面积,花草的面积=整个健身馆的面积-活动场所的面积;(2)倍数=整个健身馆的面积÷成年人活动场所的面积.【详解】(1)活动场所面积:2223943()1224a a a a a p p ´+=+,花草的面积:(a +4a +5a )(1.5a +3a +1.5a ) –[4a ×3a +π(32a )2]=229484a a p -,(2)(a +4a +5a )(1.5a +3a +1.5a )÷(3a ×4a )=226012a a ÷ =5,所以整座健身馆的面积是成年人活动场所面积的5倍.【点睛】本题考查了整式的乘除法,结合图形理解所求的面积是解题的关键.24.(1)11n x --;(2)① 63-;② 122n +-;(3)① 1001x -;② 个位上数字是7,理由见解析.【分析】(1)根据一系列等式总结出规律即可;(2)① 令2,5x n ==,代入上面规律计算即可;(2)② 将式子变形为:12341222222112n n+-+++++=--L ,计算即可;(3)① 提取1-,将原式变形为:()()999897211x x x x x x --++++++L ,按照规律计算即可;(3)② 由2010200920082222221++++++L ,12345622,24,28,216,232,2=64=====…结果是以2、4、8、6,20114=502...3÷,20112的个位数字为8,进一步得到结果.【详解】解:(1)()()21111n n x x x x x--++++=-L (2)①()()234512122222-+++++=612-=63-② 234234222221+222221n n +++++=+++++-L L =112112n +---=122n +-(3)①()()999897211x x x x x x -++++++L =()()999897211x x x x x x --++++++L =()1001x --=1001x -② 2010200920082222221++++++L =20111212--=201121-∵12345622,24,28,216,232,2=64=====…结果是以2、4、8、6循环∴20114=502...3÷∴20112的个位数字为8,∴201121-的个位数字为7【点睛】本题考查整式混合运算的应用,找出本题的规律是解题关键.25.42b【分析】设AB x =,则42AD x =+,根据图形得出21S S -,再根据整式的运算法则即可求出答案.【详解】解:设AB x =,则42AD x =+,21S S -[][]()(42)(42)(42)()(42)()x a x b x a a x x a x a a b =-+-++--+-++--2222(424242)(42424242)x x bx ax a ab ax a a x ax x a ax bx a b a ab =+---+++---+-+-+--+222242424242424242x x bx ax a ab ax a a x ax x a ax bx a b a ab =+---+++--+-+-+-++-42b=【点睛】本题考查了列代数式和整式的混合运算,解题的关键是:能灵活运用整式的运算法则进行计算.。
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整式乘除与因式分解培优精练专题答案
一.选择题(共9小题)
222
2.(2014•盘锦)计算(2a2)3•a正确的结果是()
7776
可.
解:原式=
=4a7,
故选:B.
22
.3D.2
故选:B.
4.(2014•拱墅区二模)如果ax2+2x+=(2x+)2+m,则a,m的值分别是()
A.2,0 B.4,0 C.
2,D.
4,
运用完全平方公式把等号右边展开,然后根据对应项的系数相等列式求解即可.解:∵ax2+2x+=4x2+2x++m,
∴,
解得.
5.(2014•江阴市模拟)如图,设(a>b>0),则有()
A.B.C.1<k<2 D.k>2 解:甲图中阴影部分的面积=a2﹣b2,乙图中阴影部分的面积=a(a﹣b),
=,
∵a>b>0,
∴,
∴1<k<2.
故选:C.
6.(2012•鄂州三月调考)已知,则的值为()A.B.C.D.无法确定
解:∵a+=,
∴两边平方得:(a+)2=10,
展开得:a2+2a•+=10,
∴a2+=10﹣2=8,
∴(a﹣)2=a2﹣2a•+=a2+﹣2=8﹣2=6,
∴a﹣=±,
7.已知,则代数式的值等于()
A.B.C.D.
分析:
先判断a是正数,然后利用完全平方公式把两边平方并整理成的平方的形式,开方即可求解.
解:∵,
∴a>0,且﹣2+a2=1,
∴+2+a2=5,
即(+|a|)2=5,
开平方得,+|a|=.
故选C.
8.(2012•滨州)求1+2+2+2+…+2的值,可令S=1+2+2+2+…+2,则
2S=2+22+23+24+…+22013,因此2S﹣S=22013﹣1.仿照以上推理,计算出1+5+52+53+…+52012
.D.
根据题目提供的信息,设S=1+5+5+5+…+5,用5S﹣S整理即可得解.
解:设S=1+5+52+53+...+52012,则5S=5+52+53+54+ (52013)
因此,5S﹣S=52013﹣1,
S=.
故选C.
9.(2004•郑州)已知a=x+20,b=x+19,c=x+21,那么代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc A.4B.3C.2D.1
b﹣c=﹣2,用这三个式子表示出已知的式子,即可求值.
解:法一:a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac,
=a(a﹣b)+b(b﹣c)+c(c﹣a),
又由a=x+20,b=x+19,c=x+21,
得(a﹣b)=x+20﹣x﹣19=1,
同理得:(b﹣c)=﹣2,(c﹣a)=1,
所以原式=a﹣2b+c=x+20﹣2(x+19)+x+21=3.
故选B.
法二:a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac,
=(2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac),
=[(a2﹣2ab+b2)+(a2﹣2ac+c2)+(b2﹣2bc+c2)],
=[(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2],
=×(1+1+4)=3.
故选B.
10.(2014•江西样卷)已知(x+5)(x+n)=x2+mx﹣5,则m+n=3.
11.(2014•徐州一模)已知x﹣=1,则x2+=3.
首先将x﹣=1的两边分别平方,可得(x﹣)2=1,然后利用完全平方公式展开,
变形后即可求得x2+的值.
或者首先把x2+凑成完全平方式x2+=(x﹣)2+2,然后将x﹣=1代入,即可
求得x2+的值.
解:方法一:∵x﹣=1,
∴(x﹣)2=1,
即x2+﹣2=1,
∴x2+=3.
方法二:∵x﹣=1,
∴x2+=(x﹣)2+2,
=12+2,
=3.
故答案为:3.
12.(2011•平谷区二模)已知,那么x2+y2=6.
分析:首先根据完全平方公式将(x+y)2用(x+y)与xy的代数式表示,然后把x+y,xy 的值整体代入求值.
解:∵x+y=,xy=2,
∴(x+y)2=x2+y2+2xy,
∴10=x2+y2+4,
m n3m+2n
14.(2005•宁波)已知a﹣b=b﹣c=,a2+b2+c2=1,则ab+bc+ca的值等于﹣.
后代入数据计算即可求解.
解答:
解:∵a﹣b=b﹣c=,
∴(a﹣b)2=,(b﹣c)2=,a﹣c=,
∴a2+b2﹣2ab=,b2+c2﹣2bc=,a2+c2﹣2ac=,
∴2(a2+b2+c2)﹣2(ab+bc+ca)=++=,
∴2﹣2(ab+bc+ca)=,
∴1﹣(ab+bc+ca)=,
∴ab+bc+ca=﹣=﹣.
故答案为:﹣.
点评:
本题考查了完全平方公式,解题的关键是要由a﹣b=b﹣c=,得到a﹣c=,然后对a ﹣b=,b﹣c=,a﹣c=三个式子两边平方后相加,化简求解.
15.(2014•厦门)设a=192×918,b=8882﹣302,c=10532﹣7472,则数a,b,c按从小到大的顺序排列,结果是a<c<b.
16.(1999•杭州)如果a+b+,那么a+2b﹣3c=0.
根据非负数的性质求出a、b、c的值后,再代值计算.
解答:解:原等式可变形为:
a﹣2+b+1+|﹣1|=4+2﹣5
(a﹣2)+(b+1)+|﹣1|﹣4﹣2+5=0
(a﹣2)﹣4+4+(b+1)﹣2+1+|﹣1|=0
(﹣2)2+(﹣1)2+|﹣1|=0;
即:﹣2=0,﹣1=0,﹣1=0,
∴=2,=1,=1,
∴a﹣2=4,b+1=1,c﹣1=1,
解得:a=6,b=0,c=2;
∴a+2b﹣3c=6+0﹣3×2=0.
17.已知x﹣=1,则=.
分析:
把x﹣=1两边平方求出x2+的值,再把所求算式整理成的形式,然后代入数据计算即可.
解:∵x﹣=1,
∴x2+﹣2=1,
∴x2+=1+2=3,
===.
故应填:.
22=0.
22
20.已知3x=8,求3x+3.
n﹣5n+13m﹣22n﹣1m﹣233m+2
22.已知n是正整数,1++是一个有理式A的平方,那么,A=±
.
解答:
解:1++=,
分子:n2(n+1)2+(n+1)2+n2=n2(n+1)2+n2+2n+1+n2,
=n2(n+1)2+2n(n+1)+1,
=[n(n+1)+1]2,
∴分子分母都是完全平方的形式,
∴A=±.
故答案为:±.
23.已知2008=,其中x,y为正整数,求x+y的最大值和最小值.
分析:
首先根据2008=可知xy=2009,再根据x,y为正整数,确定x、y可能的取值.根据xy的乘积的个位是9,确定x、y的个位可能是1、3、7、9.通过x、y 都具有同等的地位,那么x取过的值,y也有可能,故只取x即可,x的十位数最大不会超过5.因而
就x取值可能是1、11、13、17、19、21、23、27、29、31、33、37、39、41、43、
47、49.就这几种情况讨论即可.
解:∵2008=
2008=xy﹣1
∴2009=xy
∵x,y为正整数,并且乘积是2009的个位数是9
因而x、y的个位可能是1、3、7、9
①当x的个位是1时,
x=1,y=2009显然成立,
x=11,y不存在,
x=21,y不存在,
x=31,y不存在,
x=41,y=49,
②当x的个位是3时
x=3,y不存在,
x=13,y不存在,
x=23,y不存在,
故x+y的最大值是2010,最小值是90
24.(2000•内蒙古)计算:
25.设a2+2a﹣1=0,b4﹣2b2﹣1=0,且1﹣ab2≠0,求的值.
解法一:根据1﹣ab2≠0的题设条件求得b2=﹣a,代入所求的分式化简求值.
解法二:根据a2+2a﹣1=0,解得a=﹣1+或a=﹣1﹣,由b4﹣2b2﹣1=0,解得:b2=+1,把所求的分式化简后即可求解.
解法一:
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a﹣b2+2≠0
因此a+b2=0,即b2=﹣a
∴==
=(﹣1)2003=﹣1
解法二:
解:a2+2a﹣1=0(已知),解得a=﹣1+或a=﹣1﹣,
由b4﹣2b2﹣1=0,解得:b2=+1,
∴=b2+﹣2+
=+1﹣2+,
当a=﹣1时,原式=+1﹣2+4+3=4+3,
∵1﹣ab2≠0,∴a=﹣1舍去;
当a=﹣﹣1时,原式=+1﹣2﹣=﹣1,
∴(﹣1)2003=﹣1,
即=﹣1.
本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式,解题关键是注意1﹣ab2≠0的
26.已知3|2x﹣1|++(z﹣1)2=0,求x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz值.
分析:首先利用非负数的性质求得x、y、z的值,然后代入代数式求解即可.解:∵3|2x﹣1|++(z﹣1)2=0,
∴2x﹣1=0,3y﹣1=0,z﹣1=0
∴x=,y=,z=1
∴x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz=()2+()2+12+2××+2××1+2××1=
本题考查了因式分解的应用及非负数的性质,解题的关键是求得未知数的值.
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