Chapt3幂级数展开

域中一致收敛k 1。
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3、级数一致收敛的外氏（Weierstrass）判别法， 或优级数判别法，或M判别法
若对于某区域B(或曲线l )上所有各点z, 函数项级
数 wk (z) 各项的模 | wk (z) | mk（, mk 是与z无关
k 1
的正数)，而正的常数项级数 mk 收敛，则 wk (z)
R
1,
级数发散 即： | z z0 | R, 收敛
| z z0 | R, 发散
R
CR
z0
收敛 发散
R：收敛半径
CR: 收敛圆
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2、根式判别法：
若
lim k
k
| ak
||
z
z0
|k
1
（3.2.2）收敛，
（3.2.1）绝 对收敛
lim k
k
| ak
|| z z0 |k
1
级数发散
R lim 1 , k k |ak |
k 1
k 1
这样复级数 wk 归结为两个实级数 uk， vk
k 1
实级数的一些性质可移于复级数 k1
k 1
二、收敛性问题
1、收敛定义：
部分和 An n wk , n 1,2,3, 于 n
k 1
2
有确定的极限，便称级数收敛，极限不存在
或
lim
n
An
，便称级数发散
2、柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）：
, 对于任给的小正数 必有N存在，使得
n>N 时，
n p
wk ,
式中 p 为任意正k整n数1 。
3
3、绝对收敛级数
若
| wk |
uk2 vk2
k 1
k 1
收敛，则 wk 绝对
k 1
收敛.
a. 绝对收敛级数改变先后次序，和不变.
b. 两个绝对收敛级数逐项相乘，其和收敛，为 两级数和之积.
也是B内的连续函数。
（2）逐项求积分 在曲线l上一致收敛的级数， 如果级数的每一项 wk (z) 都是l上的连续函数，
则级数的和 w(z) 也是l上的连续函数，而且级
数可沿l逐项求积分。
l w(z)dz l wk (z) dz l wk (z)dz
k 1
k 1
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（3）逐项求导数（外氏－Weierstrass 定理）
| ak || (z z0 )k | | a0 | | a1 || (z z0 ) | | a2 || (z z0 )2 | ,
k 0
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按比值判别法（达朗伯判别法）
若
lim
k
|
ak 1 | ak
|| ||
z z
z0 z0
|k 1 |k
lim ak1 k ak
| z z0 | 1,
第三章 幂级数展开
意义：1、利用级数计算函数的近似值；
2、级数法求解微分方程； 3、以级数作为函数的定义； 4、奇点附近函数的性态。
§3.1 复数项级数
一、复级数概念
wk w1 w2 wk
k 1
wk uk ivk
1
原级数成为
wk uk ivk uk i vk
k 1
k 1
pk A,
k 0
qk B,
k 0
4
pk qk pkql cn AB
k 0
k 0
k0 l0
n0
n
cn pk qnk
k 0
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三、函数项级数
1、概念与收敛判据
wk (z) w1(z) w2 (z) wk (z)
k 1
设 wk (z) (k 1,2,3,) 是z平面上 某区域B中的
单值解析函数。如果函数项级数
wk (z) 在B中
（或某曲线l上）所有点上都收敛，则k说1 级数在B中
（或某曲线l上）收敛。
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柯西收敛判据 （级数收敛的充分必要条件）：
对B内每点 z，任给小正数 0, 必有 N ( , z)
存在，使得当 n N ( , z) 时，
n p
wk (z) ,
k n1
式中 p 为任意正整数。N一般随z不同而不同，但
如果对任给小正数 0, 存在与z无关的
N ( ), 使得 n N ( ) 时，上式成立，便说
wk (z) 在B内一致收敛。
k 1
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2、一致收敛级数的性质
记级数和为 w( z )
（1）在B内一致收敛的级数，如果级数的每一项
wk (z)都是B内的连续函数，则级数的和 w(z)
收敛半径的另一公式
R
CR
z0
收敛 发散
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3、收敛圆内幂级数绝对且一致收敛
作 CR1 (R1 R)
在 | z z0 | R1 有 | ak (z z0 )k || ak | R1k
z R C R1 R1 0
CR
收敛
发散
对
| ak | R1k
应用比值判别法
k 0
有
lim
k
|
ak 1 | ak
k 1
在区域B(或曲线l )上绝对且一致收敛。
k 1
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§3.2 幂级数
一、定义
ak (z z0 )k a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 ,
k 0
其中 z0，a0，a1，a2， 为复常数。这样的级
数叫作以z0为中心的幂级数。 二、幂级数敛散性
1、比值判别法（达朗伯判别法）
则（3.2.2）收敛，而（3.2.1）绝对收敛
引入记号
R lim ak a k
k 1
则即：若
|
z
z0
百度文库
|
lim
k
ak ak 1
R
，则（3.2.1) 绝对收敛
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另一方面，若 | z z0 | R 则
lim | ak1 k | ak
|| z || z
z0 z0
|k 1 |k
lim
k
ak 1 ak
设级数 wk (z)
在
B
中一致收敛，wk (z) (k 0,1,2,)
在 B k中1 单值解析，则级数的和 w(z) 也是 B 中的单值解析函数， w(z) 的各阶导数可由
wk (z)逐项求导数得到，即：
k 1
w(n) (z) wk(n) (z)
k 1
且最后的级数 wk(n) (z) 在 B 内的任意一个闭区
则
lim n tk 1 tn1 1 ,
n k0
1t 1t
1 t t2 tk 1 (| t | 1). 1t
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例 2 求 1 z2 z4 z6 的收敛圆。z 为复
数
解： z2 t
1 t t2 t3
R lim ak lim 1 1.
a 1 k
k
k 1
z R C R1 R1 0
| |
R1k R1k
1
lim
k
ak 1 ak
R1
1,
幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛！
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三、例题
例1 求1 t t2 tk 的收敛圆。t 为复数
解： 若
R lim ak lim 1 1.
a 1 k
k
k 1
n tk 1 t t2 tn 1 tn1 ,
k 0
1 t
| t | 1,