matlab最短路径
matlab的floyd算法
matlab的floyd算法Floyd算法，是一种图论算法，用于在加权图中求解最短路径。
它是以发明者之一、罗伯特·弗洛伊德的名字命名的。
这个算法同样被用于对于任意两点之间的最长路径（所谓的最短路径问题）进行求解。
算法描述给定一个带权的有向图G=(V,E)，其权值函数为w，下面我们定义从顶点i到顶点j的路径经过的最大权值为dist(i,j)。
特别地，当i=j时，dist(i,j)=0。
为了方便描述算法，我们用D(k,i,j)表示从顶点i到顶点j且路径中的所有顶点都在集合{1,2,⋯,k}中的所有路径中，最大边权值的最小值。
则从顶点i到顶点j的最短路径的边权值就是 D(n,i,j)，其中n是图中顶点的数量。
算法思想：建立中间顶点集合算法是通过不断地扩充中间顶点集合S，来求解任意两点之间的最短路径。
具体来说，设S={1, 2, ⋯, k}，其中k是整数。
Floyd算法的基本思想是，依次考察所有可能的中间顶点x（即所有S中的顶点），对于每个中间顶点x，若从i到x再到j的路径比已知的路径更短，则更新dist(i,j)为更小的值D(k,i,j)。
最终，在S={1, 2, ⋯, n}的情况下，所得到的D(n,i,j)就是顶点i到顶点j之间的最短路径的长度。
Floyd算法的核心是一个三重循环，在每一轮循环中，枚举S中所有的中间顶点x，通过动态规划计算出从i到j的最短路径长度D(k,i,j)。
这一过程可表述为：for k = 1 to nfor i = 1 to nfor j = 1 to nif D(k,i)+D(j,k) < D(k,i,j)D(k,i,j) = D(k,i)+D(j,k)其中D(0,i,j)即为dist(i,j)，若i和j不连通，则D(0,i,j)=+Inf。
算法实现function D = Floyd(adjmat)% adjmat为邻接矩阵邻接矩阵adjmat的定义为：- 若两个顶点之间有边相连，则对应位置为该边的边权值；- 若两个顶点之间没有边相连，则对应位置为0。
最短路径法射线追踪的MATLAB实现
最短路径法射线追踪的MATLAB 实现李志辉 刘争平（西南交通大学土木工程学院 成都 610031）摘 要：本文探讨了在MA TLAB 环境中实现最短路径射线追踪的方法和步骤，并通过数值模拟演示了所编程序在射线追踪正演计算中的应用。
关键词：最短路径法 射线追踪 MATLAB 数值模拟利用地震初至波确定近地表介质结构，在矿产资源的勘探开发及工程建设中有重要作用。
地震射线追踪方法是研究地震波传播的有效工具，目前常用的方法主要有有限差分解程函方程法和最小路径法。
最短路径方法起源于网络理论，首次由Nakanishi 和Yamaguchi 应用域地震射线追踪中。
Moser 以及Klimes 和Kvasnicha 对最短路径方法进行了详细研究。
通过科技人员的不断研究，最短路径方法目前已发展较为成熟，其基本算法的计算程序也较为固定。
被称作是第四代计算机语言的MA TLAB 语言，利用其丰富的函数资源把编程人员从繁琐的程序代码中解放出来。
MA TLAB 用更直观的、符合人们思维习惯的代码，为用户提供了直观、简洁的程序开发环境。
本文介绍运用Matlab 实现最短路径法的方法和步骤，便于科研院校教学中讲授、演示和理解最短路径方法及其应用。
1 最短路径法射线追踪方法原理最短路径法的基础是Fermat 原理及图论中的最短路径理论。
其基本思路是，对实际介质进行离散化，将这个介质剖分成一系列小单元，在单元边界上设置若干节点，并将彼此向量的节点相连构成一个网络。
网络中，速度场分布在离散的节点上。
相邻节点之间的旅行时为他们之间欧氏距离与其平均慢度之积。
将波阵面看成式由有限个离散点次级源组成，对于某个次级源（即某个网格节点），选取与其所有相邻的点（邻域点）组成计算网格点；由一个源点出发，计算出从源点到计算网格点的透射走时、射线路径、和射线长度；然后把除震源之外的所有网格点相继当作次级源，选取该节点相应的计算网格点，计算出从次级源点到计算网格点的透射走时、射线路径、和射线长度；将每次计算出来的走时加上从震源到次级源的走时，作为震源点到该网格节点的走时，记录下相应的射线路径位置及射线长度。
matlab避障最短路径
matlab避障最短路径一、引言随着机器人技术的发展，自动化导航成为一个重要的研究领域。
在许多应用中，机器人需要通过复杂的环境中，避开障碍物并找到最短路径。
Matlab作为一种强大的数学计算工具，为我们提供了实现这一目标的丰富功能和工具。
二、建立环境模型在开始编写避障算法之前，首先需要建立机器人所在环境的模型。
可以使用Matlab的图形界面工具来实现，也可以通过编程方式来创建。
这里我们选择使用编程方式来建立环境模型。
在Matlab中，可以使用矩阵来表示环境模型。
假设我们的环境是一个网格，每个网格可以是空地、障碍物或起点/终点。
我们可以用不同的数值来表示不同的状态，例如0表示空地，1表示障碍物，2表示起点，3表示终点。
三、编写避障算法在建立环境模型之后，我们可以开始编写避障算法了。
这里我们使用A*算法来寻找最短路径。
A*算法是一种常用的启发式搜索算法，它通过估计当前节点到目标节点的代价来选择下一个节点，从而找到一条最短路径。
具体来说，A*算法通过维护一个开放列表和一个关闭列表来搜索最短路径。
初始时，将起点加入开放列表。
然后，重复以下步骤直到找到终点或开放列表为空：1. 从开放列表中选择代价最小的节点作为当前节点。
2. 如果当前节点是终点，搜索结束，返回最短路径。
3. 否则，将当前节点加入关闭列表，并计算其相邻节点的代价。
4. 对于每个相邻节点，如果它不在关闭列表中并且不是障碍物，则更新其代价，并将其加入开放列表。
四、Matlab实现在Matlab中，可以使用自定义函数来实现A*算法。
下面是一个简单的示例代码：```matlabfunction path = astar(start, goal, map)% 初始化开放列表和关闭列表openList = start;closeList = [];% 初始化起点的代价为0start.g = 0;while ~isempty(openList)% 选择开放列表中代价最小的节点作为当前节点[~, index] = min([openList.f]);current = openList(index);% 如果当前节点是终点，搜索结束if current == goalpath = reconstructPath(current);return;end% 将当前节点加入关闭列表closeList = [closeList, current];openList(index) = [];% 对当前节点的相邻节点进行处理neighbors = findNeighbors(current, map);for i = 1:length(neighbors)neighbor = neighbors(i);% 如果相邻节点在关闭列表中或是障碍物，跳过if ismember(neighbor, closeList) || map(neighbor) == 1continue;end% 计算相邻节点的代价g = current.g + 1;h = heuristic(neighbor, goal);f =g + h;% 如果相邻节点不在开放列表中，或其代价更小if ~ismember(neighbor, openList) || g < neighbor.gneighbor.g = g;neighbor.f = f;neighbor.parent = current;% 如果相邻节点不在开放列表中，加入if ~ismember(neighbor, openList)openList = [openList, neighbor];endendendend% 如果开放列表为空，搜索失败error('No path found.');endfunction path = reconstructPath(node)path = [];while ~isempty(node.parent)path = [node, path];node = node.parent;endendfunction neighbors = findNeighbors(node, map)% 根据当前节点的位置和地图大小，找到相邻节点[row, col] = size(map);neighbors = [];% 上方节点if node.row > 1neighbors = [neighbors, struct('row', node.row-1, 'col', node.col)];end% 下方节点if node.row < rowneighbors = [neighbors, struct('row', node.row+1, 'col', node.col)];end% 左方节点if node.col > 1neighbors = [neighbors, struct('row', node.row, 'col', node.col-1)];end% 右方节点if node.col < colneighbors = [neighbors, struct('row', node.row, 'col', node.col+1)];endendfunction h = heuristic(node, goal)% 使用曼哈顿距离作为启发函数h = abs(node.row-goal.row) + abs(node.col-goal.col);end```以上代码实现了A*算法，并提供了辅助函数来计算相邻节点、启发函数和重构最短路径。
matlab弗洛伊德算法求出最短距离
最短路径Floyd算法
Floyd算法是一种用于解决最短路径问题的动态规划算法，其时间复杂度为O(n^3 )。
Floyd算法可以求出任意两点之间的最短路径，并且可以处理负权边（但不能处理负权环）。
算法思想
Floyd算法的基本思想是：对于图中的每一对顶点i和j，看看是否存在一个顶点k，使得从i 到k 再到j 比已知的路径更短。
如果是更短的，就修改当前路径为更短的那个路径。
算法步骤
1.初始化：将图中任意两点之间的最短路径长度初始化为它们之间的权值，如果两点之间没有直接的边，则权值为∞。
2.对于每一个中间节点k，依次考察所有的节点对(i,j)，如果从i到j经过节点k比原来的路径更短，则更新最短路径长度。
3.最后得到的矩阵即为任意两点之间的最短路径长度。
Matlab代码
function [D,P] = floyd(W)
% W为邻接矩阵
% D为最短距离矩阵
% P为最短路径矩阵
n = size(W,1);
for k=1:n
for i=1:n
for j=1:n
if W(i,k)+W(k,j)<W(i,j)
W(i,j)=W(i,k)+W(k,j);
P(i,j)=k;
end
end
end
end。
ART算法MATLAB程序
ART算法MATLAB程序
Dijkstra贪婪算法是一种解决最短路径问题的算法，它通过一次搜索查找出从源点到目的点的最短路径，是一种可以用多种步骤解决
最短路径问题的算法。
而UMK实用快速路算法（UMKUART）是一种基于图结构的技术，
是建立在Dijkstra贪婪算法基础上的一种改进的算法。
它的核心思想
是借助一个“虚拟源点”去完成对整个地图的最短路径的搜索，而不
是从一个实际的源点出发。
将虚拟源点看作是源点，虚拟源点到所有
实际源点的虚拟距离都设置为1。
UMKUART算法利用减枝技术，对所有
图中结节进行迭代，计算所有源点到其他源点的最短距离，最终求得
最短路径。
MATLAB是一种高级编程语言，专为科学计算而开发，用于处理非线性问题和大规模数值分析。
MATLAB可以使用UMKUART算法求解最短
路径问题。
具体而言，首先，建立相应的图结构，以及图中的节点和
路径的关系，接着使用MATLAB语句umkuart函数，获得从源点到目的
点的最短路径，最后将路径中所有节点依次连接起来就可以得到最短
路径。
使用MATLAB程序，可以将UMKUART算法运用到最短路径问题中，求解出最短路径，减少了路径搜索所需的时间和空间，极大的提高了
最短路径问题的解决效率。
MATLAB解决最短路径问题代码
默认是Dijkstra 算法是有权的, 我想如果把权都赋1的话, 就相当于没权的了参数是带权的稀疏矩阵及结点看看这两个例子(一个有向一个无向), 或许你能找到你想知道的% Create a directed graph with 6 nodes and 11 edgesW = [.41 .99 .51 .32 .15 .45 .38 .32 .36 .29 .21]; %这是权DG = sparse([6 1 2 2 3 4 4 5 5 6 1],[2 6 3 5 4 1 6 3 4 3 5],W) %有权的有向图h = view(biograph(DG,[],'ShowWeights','on')) %画图, 这个好玩% Find shortest path from 1 to 6[dist,path,pred] = graphshortestpath(DG,1,6) %找顶点1到6的最短路径% Mark the nodes and edges of the shortest pathset(h.Nodes(path),'Color',[1 0.4 0.4]) %上色edges = getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(path),'ID'));set(edges,'LineColor',[1 0 0]) %上色set(edges,'LineWidth',1.5) %上色下面是无向图的例子% % Solving the previous problem for an undirected graph% UG = tril(DG + DG')% h = view(biograph(UG,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on')) % % Find the shortest path between node 1 and 6% [dist,path,pred] = graphshortestpath(UG,1,6,'directed',false)% % Mark the nodes and edges of the shortest path% set(h.Nodes(path),'Color',[1 0.4 0.4])% fowEdges = getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(path),'ID'));% revEdges = getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(fliplr(path)),'ID')); % edges = [fowEdges;revEdges];% set(edges,'LineColor',[1 0 0])% set(edges,'LineWidth',1.5)clc;close all; clear;load data;% global quyu;quyu = [2,3];%一片区域z_jl = lxjl(jdxx,lxxh);%计算路线的距离z = qyxz(jdxx,quyu,z_jl);% 根据节点信息，从z中将y区域的节点和路线选出所有点的信息hzlx(z);%绘制Z的图像[qypt, nqypt] = ptxzm(xjpt,quyu);changdu = length(bhxz(jdxx,1:6));%选出x中y区的标号,只是分区域，求长度并绘制它tt = z(:,[1,2,end])';k = min(min(tt(1:2,:)));%求两次最小值t = tt(1:2,:) ;xsjz = sparse(t(2,:),t(1,:),tt(3,:),changdu,changdu);%产生稀疏矩阵[dist, path, pred] = zdljxz(xsjz, qypt, k );%三个原包矩阵通过zdljxz计算得到最短路径hold onfor j = 1:nqyptcolors = rand(1,3);%产生随机数并用颜色标记hzptxc(path{j},jdxx,colors)endhold offaxis equal%把坐标轴单位设为相等zjd = jdfgd( path, quyu);function z = lxjl(x, y)%计算路线的距离[m n] = size(y);for i = 1:myy(i,1:2) = x(y(i,1),2:3);yy(i,3:4) = x(y(i,2),2:3);endz = sqrt((yy(:,3) - yy(:,1)).^2 + (yy(:,2) - yy(:,4)).^2);y = sort(y');y = y';z = [y yy z];z = sortrows(z);function [z lz] = ptxz(xjpt,y)pt = xjpt(:,2);wei = ismember(xjpt(:,1),y);z = pt(wei);lz = length(z);unction hzptxc(path,jdxx,colors)n = length(path);% hold onfor i = 1:nhzptjd(jdxx, path{i},colors)end% hold offunction hzptjd(jdxx,x,colors)% m = length(x);% x = x';hold onplot(jdxx(x,2),jdxx(x,3),'o','LineStyle' ,'-' ,...'Color',colors,'MarkerEdgeColor',colors)plot(jdxx(x(1),2),jdxx(x(1),3),'*','MarkerFaceColor',colors)hold offfunction hzlx(x)%绘制x的图像[m n] = size(x);hold onfor i = 1:mplot([x(i,3) x(i,5)],[x(i,4) x(i,6)],'k:')endhold offfunction z = bhxz(x,y)%选出x中y区的标号,只是分区域xzq = x(:,4);xzr = ismember(xzq,y);z = x(xzr,:);z = z(:,1);。
matlab最短路径问题标号法
一、介绍MATLAB是一种非常流行的数学建模和仿真软件，被广泛应用于工程、科学和金融领域。
在MATLAB中，最短路径问题是一个常见的优化问题，通常会涉及到图论、线性代数和优化算法等知识。
在解决最短路径问题时，我们常常需要使用标号法来求解，本文将对MATLAB中最短路径问题的标号法进行介绍。
二、什么是最短路径问题最短路径问题是指在一个加权有向图或无向图中寻找两个顶点之间的最短路径。
在实际应用中，最短路径问题通常涉及到网络规划、路线规划、物流配送等方面。
我们需要求解城市之间的最短路径来设计公交线路，或者求解货物在仓库之间的最短路径来优化物流方案。
三、最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以使用标号法（Label Correcting Algorithm）来求解最短路径问题。
标号法是一种基于节点标号的启发式算法，它通过不断更新节点的标号信息来逐步搜索最短路径。
下面是标号法的基本思路：1. 初始化：我们需要对图中的节点进行初始化，设置起点的标号为0，其他节点的标号为无穷大。
2. 标号更新：我们开始不断更新节点的标号。
对于每个节点，我们计算通过它能够到达的节点的距离，并将这些距离与当前节点的标号进行比较。
如果通过当前节点到达某个邻居节点的路径距离更短，则更新该邻居节点的标号为当前节点的标号加上当前节点到邻居节点的距离。
3. 节点选择：在标号更新的过程中，我们需要选择一个未加入最短路径的节点，并将其标记为已加入最短路径。
这个过程通常会涉及到优先级队列等数据结构的使用，以便快速找到最短路径的下一个节点。
4. 终止条件：当所有节点都已加入最短路径，或者找到目标节点时，算法终止，最短路径即为标号信息所指示的路径。
四、MATLAB实现最短路径问题的标号法在MATLAB中，我们可以利用图论工具箱和优化工具箱来实现最短路径问题的标号法。
下面是一个简单的MATLAB示例：```matlab创建图N = 5; 节点数E = [1, 2; 1, 3; 2, 3; 2, 4; 3, 4; 3, 5; 4, 5]; 边集L = [1, 2, 3, 4, 5]; 标号W = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]; 权重G = digraph(E(:, 1), E(:, 2), W);最短路径求解[s, t] = deal(1, N); 起点和终点[P, D] = graphshortestpath(G, s, t, 'Method', 'positive');```在这个例子中，我们首先创建了一个有向图G，并指定了节点数N、边集E、节点标号L和边权重W。
matlab实现dijkstra算法
matlab实现dijkstra算法Matlab实现Dijkstra算法第一段：什么是Dijkstra算法，为什么它重要？Dijkstra算法是一种用于解决最短路径问题的经典算法。
它由荷兰计算机科学家Edsger Dijkstra在1956年提出，被广泛应用于网络路由、地图导航和图论等领域。
该算法的核心思想是在给定的带权图中找到从起点到终点的最短路径，通过迭代的方式逐步推进，直到找到最短路径或处理完所有节点。
Dijkstra算法被广泛认为是一种高效、可靠的解决方案，具有良好的理论基础和实际应用性。
第二段：如何在Matlab中实现Dijkstra算法？在Matlab中实现Dijkstra算法，可以分为以下几个步骤：1. 创建带权图：我们需要将问题转化为带权图的形式。
在Matlab中，可以使用邻接矩阵来表示图的连接关系，其中每个边的权重存储在矩阵中的对应位置。
2. 初始化距离和路径：将起点到每个节点的距离初始化为无穷大，并为每个节点设置一个空路径。
将起点的距离设置为0，表示起点到自身的距离为0。
3. 遍历节点：循环遍历所有节点，找到距离起点最近的节点，并标记为已访问。
更新与该节点相邻节点的距离和路径信息。
如果经过当前节点到达某个相邻节点的距离更短，则更新该节点的距离和路径。
4. 重复步骤3，直到所有节点都被遍历为止。
这样，我们就能得到从起点到其他节点的最短路径信息。
第三段：个人观点和理解Dijkstra算法是解决最短路径问题的经典算法之一，它具有广泛的应用价值。
在日常生活中，我们经常需要找到最佳的路径规划，例如快递员送货时选择最短路径、地铁或公交车乘客选择最快到达目的地的路线等。
对于这些问题，Dijkstra算法可以提供一个可靠、高效的解决方案。
在使用Matlab实现Dijkstra算法时，我们可以利用Matlab强大的矩阵运算能力和易用的函数库来简化算法的实现过程。
Matlab还提供了丰富的可视化工具，可以帮助我们直观地展示算法执行过程和结果。
matlab最短路径算法代码
matlab最短路径算法代码dijkstra算法如下：function [dist,path] = dijkstra(A,Start)% A是负责表示网络图的邻接矩阵% 前提：随路网络中不存在负值回路if Start==0 %默认起点为1Start=1;endN=size(A,1); %N是有向网络中结点的数目dist=inf*ones(1,N); %dist保存结点间最短距离，初始化为无穷大dist(1,Start)=0; %将起始点的距离初始化为0path=zeros(N,N); %path保存路径% 标志向量flag，元素值为1表示相应结点已成为最短路径结点flag=zeros(1,N);for i=2:(N-1)% 找出距离当前最短路径最近的结点mini=inf;n=-1;for j=2:(N-1)if flag(1,j)==0 && dist(1,j)<mini %flag(1,j)==0说明未找出最短路径n=j;mini=dist(1,j);endendflag(1,n)=1; %将新找到的最短路径结点标记for j=2:(N-1) %对所有没有找到最短路径结点if A(n,j)~=inf && flag(1,j)==0 %未找到最短路径if A(n,j)+dist(1,n)<dist(1,j) %更新最短距离path(j,n)=1; %增加一条边dist(1,j)=A(n,j)+dist(1,n); %更新最短距离endendendenddist(1,N-1)=dist(1,N); %终点（0，0）处没有结点end。
matlab a星算法
matlab a星算法
A星算法（A* Algorithm）是一种图搜索算法，常用于寻找最
短路径或最佳路径。
在MATLAB中，可以使用以下步骤实现A星算法：
1. 创建一个表示图的数据结构，可以是一个邻接矩阵、邻接表或其他自定义数据结构。
2. 定义一个启发式函数（heuristic function），用于估计每个
节点到目标节点的距离。
常用的启发式函数是欧几里得距离或曼哈顿距离。
3. 初始化两个集合：开放集合和关闭集合。
开放集合包含待检查的节点，关闭集合包含已经检查过的节点。
4. 初始化起始节点，并将其添加到开放集合中。
5. 当开放集合不为空时，重复以下步骤：
- 从开放集合中选择一个节点，使其成本最小。
- 将该节点从开放集合中移除，添加到关闭集合中。
- 检查该节点是否为目标节点。
如果是，则找到了最短路径。
- 对于每个相邻节点：
- 如果该节点在关闭集合中，跳过。
- 如果该节点不在开放集合中，将其添加到开放集合中，并
计算该节点的成本。
- 如果该节点已经在开放集合中，并且新的成本小于之前的
成本，更新该节点的成本。
6. 如果开放集合为空，则无法找到最短路径。
在MATLAB中，可以使用循环和条件语句来实现上述步骤。
具体实现代码可能因具体问题而异，但以上步骤提供了A星算法的一般框架。
基于MATLAB的最短路径算法分析
基于MATLAB的最短路径算法分析周志进(贵阳学院贵州贵阳550005)摘要：随着社会快速发展，人们生活水平提高，很多需求都在向着最优化、最快捷、最高效的方向延伸，而最短路径算法则是图论研究中的典型问题。
该文简要概述MATLAB软件，分析基于MATLAB的4种用于解决最短路径问题的算法，并研究基于MATLAB的最短路径算法的实际应用状况，以期对最短路径算法的应用提供一定借鉴意义。
关键词：MATLAB最优路径Dijkstra算法Floyd算法Bellman-Ford算法SPFA算法中图分类号：TP301.6文献标识码：A文章编号：1672-3791(2022)08(a)-0217-03最短路径算法就是用于计算一个节点到其他节点的最短路径问题，一般是指确定起点的最短路径问题，求起始节点到某一终点的最短路径问题，也常用于已知起点和终点，求解两节点之间的最短路径。
1MATLAB程序概述MATLAB是由美国MathWorks公司出品的数学软件，MATLAB意为矩阵工程，将用于一维、二维与三维数值积分的函数进行了统一，并经过基本数学和内插函数的辅助，提供数值分析、矩阵计算等诸多功能，为应用数学、工程设计和数值计算提供全方位的解决方案，很大程度上摆脱了传统程序设计语言的编辑模式。
其高效的数值及符号计算功能，可以帮助用户快速处理繁杂的数学运算问题，具备的图形处理功能可以实现计算结果和编程的可视化。
MATLAB本身是一个高级的矩阵语言，包括诸多算法、控制语句、函数等面向基本对象或问题的应用程序[1]。
比如：在最短路径计算中可以利用矩阵运算和线性方程组的求解或是数据的统计分析来优化相关问题。
2基于MATLAB的4种最短路径算法2.1Dijkstra算法Dijkstra（迪杰斯特拉）算法是最经典的单源最短路径算法，也就是用于计算一个节点到其他所有节点最短路径的算法。
Dijkstra算法采用贪心算法策略，每次遍历与起点距离最近且未访问过的节点，直至扩展到终点。
matlab dijkstra算法求解最短路径例题
matlab dijkstra算法求解最短路径例题Dijkstra算法是一种用于在带有非负权值的图中找到单源最短路径的算法。
以下是一个用MATLAB实现Dijkstra算法求解最短路径的简单例子：function [shortestDistances, predecessors] = dijkstra(graph, startNode)% 输入参数：% - graph: 表示图的邻接矩阵，graph(i, j) 表示节点i 到节点 j 的权值，如果没有直接连接则为 inf。
% - startNode: 起始节点的索引。
numNodes = size(graph, 1);% 初始化距离数组，表示从起始节点到每个节点的最短距离 shortestDistances = inf(1, numNodes);shortestDistances(startNode) = 0;% 初始化前驱节点数组predecessors = zeros(1, numNodes);% 未访问的节点集合unvisitedNodes = 1:numNodes;while ~isempty(unvisitedNodes)% 选择当前最短距离的节点[~, currentNodeIndex] = min(shortestDistances(unvisitedNodes));currentNode = unvisitedNodes(currentNodeIndex);% 从未访问节点集合中移除当前节点unvisitedNodes(currentNodeIndex) = [];% 更新与当前节点相邻节点的距离for neighbor = unvisitedNodesif graph(currentNode, neighbor) + shortestDistances(currentNode) < shortestDistances(neighbor) shortestDistances(neighbor) = graph(currentNode, neighbor) + shortestDistances(currentNode);predecessors(neighbor) = currentNode;endendendend现在，让我们使用一个简单的例子来测试这个算法：% 创建一个邻接矩阵表示图graph = [0, 2, 0, 4, 0;2, 0, 3, 7, 0;0, 3, 0, 1, 0;4, 7, 1, 0, 5;0, 0, 0, 5, 0];startNode = 1; % 起始节点% 调用Dijkstra算法[shortestDistances, predecessors] = dijkstra(graph, startNode);% 显示结果disp('最短距离：');disp(shortestDistances);disp('前驱节点：');disp(predecessors);这个例子中，graph 表示一个带有权值的图的邻接矩阵，startNode 是起始节点的索引。
matlab最短路径
matlab最短路径在计算机科学中，最短路径问题是一个经典的问题，它涉及到在图形或网络中找到两个点之间的最短路径。
这个问题可以用许多不同的算法来解决，其中一种是Dijkstra算法，它是一种贪婪算法，用于解决单源最短路径问题。
Matlab提供了一种方便的方法来计算最短路径，使用Matlab中的图形对象和图形算法工具箱。
下面是一个简单的例子，演示如何使用Matlab计算最短路径：1. 首先，创建一个图形对象，可以使用Matlab中的graph函数。
2. 接着，添加节点和边到图形对象中，可以使用addnode和addedge函数。
3. 然后，使用shortestpath函数计算从一个起点到一个终点的最短路径。
4. 最后，使用plot函数绘制最短路径。
这里是一个使用Matlab计算最短路径的示例代码：% 创建一个图形对象g = graph();% 添加节点到图形对象g = addnode(g, {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F'});% 添加边到图形对象g = addedge(g, 'A', 'B', 1);g = addedge(g, 'A', 'C', 2);g = addedge(g, 'B', 'D', 3);g = addedge(g, 'C', 'D', 1);g = addedge(g, 'C', 'E', 1);g = addedge(g, 'D', 'F', 2);g = addedge(g, 'E', 'F', 2);% 计算最短路径p = shortestpath(g, 'A', 'F');% 绘制最短路径plot(g, 'EdgeLabel', g.Edges.Weight);highlight(g, p, 'EdgeColor', 'r', 'LineWidth', 2);这个例子创建了一个包含6个节点和7条边的图形对象，使用Dijkstra算法计算从节点A到节点F的最短路径，并绘制了这条路径。
matlab 最短路径
matlab 最短路径
Matlab最短路径算法是一种经典的图论算法，主要用于在给定的图中找到两个节点之间的最短路径。
在Matlab中，可以使用Dijkstra算法或Floyd算法来实现最短路径的计算。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于求解单源最短路径问题。
它从起点开始，依次加入离该点最近的邻居节点，并更新最短路径，直到所有节点都被加入。
Dijkstra算法的时间复杂度为O(n^2)，适用于稠密图。
Floyd算法是一种动态规划算法，用于求解所有点对之间的最短路径。
它通过中间节点的枚举，逐步更新路径长度，直到所有点对的最短路径都被求解出来。
Floyd算法的时间复杂度为O(n^3)，适用于稀疏图。
在Matlab中，可以使用built-in函数graph和shortestpath 来实现最短路径的计算。
代码示例：
% 创建图
G = graph([1 2 3 4 4 5 6],[2 3 4 5 6 6 1]);
% 使用Dijkstra算法求解最短路径
[dist,path,pred] = shortestpath(G,1,5);
% 输出结果
disp(dist);
disp(path);
disp(pred);
% 使用Floyd算法求解最短路径
dist = floyd(G);
% 输出结果
disp(dist);
以上就是Matlab最短路径算法的简要介绍和代码示例。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的算法，并注意算法的时间复杂度和空间复杂度，以及图的特征。
贝尔曼福特算法matlab
贝尔曼福特算法matlab贝尔曼-福特算法也叫作最短路径算法，主要用于求解一个有向图中从一个源节点到其他所有节点的最短路径。
在MATLAB中，可以按照以下步骤来实现该算法：1. 定义有向图（可使用MATLAB自带的graph类）和源节点。
例如，定义一个3个节点的有向图，并将节点1作为源节点：```g = graph([1 1 2], [2 3 3]);s = 1;```2. 初始化节点到源节点的距离数组dist和前驱节点数组prev。
一开始，源节点到自身距离为0，前驱节点为空。
例如，对于上例中的有向图，初始化dist数组为[0 inf inf]，prev数组为[NaN NaN NaN]：```dist = inf(1, numnodes(g));dist(s) = 0;prev = NaN(1, numnodes(g));```3. 多次进行松弛操作，更新dist和prev数组的值。
松弛操作是指尝试将经过一个节点的路径变短。
例如，对于有向图中所有的边，重复松弛操作V-1次（其中V为节点数）：```for i = 1:numnodes(g)-1for e = g.Edges.EndNodes.' % 转置得到每一条边的起点和终点u = e(1);v = e(2);w = g.Edges.Weight(findedge(g, u, v)); % 找到边的权重if dist(v) > dist(u) + wdist(v) = dist(u) + w;prev(v) = u;endendend```4. 检查是否存在负环路（即从一个节点出发，最终回到该节点时，路径的总权重为负数）。
如果存在，该算法无法得到正确结果。
可以通过第二遍遍历来检查。
例如，对于有向图中所有的边，进行第二遍松弛操作。
如果任何节点的dist值继续变小，则说明存在负环路。
```for e = g.Edges.EndNodes.'u = e(1);v = e(2);w = g.Edges.Weight(findedge(g, u, v));if dist(v) > dist(u) + werror('该有向图存在负环路！');endend```5. 根据prev数组，构建从源节点到所有其他节点的最短路径。
matlab练习程序（dubins曲线）
matlab练习程序（dubins曲线）dubins曲线是在满⾜曲率约束和规定的始端和末端的切线⽅向的条件下，连接两点的最短路径。
计算⽅法：1. 给定起始终点位置和⽅向，并且设定最⼩转弯半径r。
2. 坐标转换，以起始点作为原点，起始点到结束点向量作为x轴，其垂直⽅向作为y轴构建新坐标系，在新坐标系下求解路径。
3. 根据论⽂《Classification of the Dubins set》中六个公式计算六种情况下起点到终点的距离，论⽂参考参考⽹址1。
4. 选择最短的距离所代表的转弯⽅向并计算路径中间所有的点。
5. 连接所有点得到从起点到终点的完整路径。
六种情况分为'LSL'，'LSR'，'RSL'，'RSR'，'RLR'，'LRL'。
LSL：LSR：RSL：RSR：RLR：LRL：matlab代码如下：main.m：clear all;close all;clc;r=5;%LSLp1 = [10100*pi/180];p2 = [15150*pi/180];%LSR% p1 = [10100*pi/180]; % p2 = [25250*pi/180]; %% %RSL% p1 = [10100*pi/180]; % p2 = [25 -250*pi/180]; %% %RSR% p1 = [0090*pi/180];% p2 = [15150*pi/180]; %% %RLR% p1 = [10100*pi/180]; % p2 = [1515180*pi/180]; %% %LRL% p1 = [1010180*pi/180]; % p2 = [15150*pi/180];dx = p2(1) - p1(1);dy = p2(2) - p1(2);d = sqrt( dx^2 + dy^2 ) / r;theta = mod(atan2( dy, dx ), 2*pi);alpha = mod((p1(3) - theta), 2*pi);beta = mod((p2(3) - theta), 2*pi);L = zeros(6,4);L(1,:) = LSL(alpha,beta,d);L(2,:) = LSR(alpha,beta,d);L(3,:) = RSL(alpha,beta,d);L(4,:) = RSR(alpha,beta,d);L(5,:) = RLR(alpha,beta,d);L(6,:) = LRL(alpha,beta,d);[~,ind] = min(L(:,1));types=['LSL';'LSR';'RSL';'RSR';'RLR';'LRL'];p_start = [00 p1(3)];mid1 = dubins_segment(L(ind,2),p_start,types(ind,1));mid2 = dubins_segment(L(ind,3), mid1,types(ind,2));path=[];for step=0:0.05:L(ind,1)*rt = step / r;if( t < L(ind,2) )end_pt = dubins_segment( t, p_start,types(ind,1));elseif( t < L(ind,2)+L(ind,3) )end_pt = dubins_segment( t-L(ind,2),mid1,types(ind,2));elseend_pt = dubins_segment( t-L(ind,2)-L(ind,3),mid2,types(ind,3));endend_pt(1) = end_pt(1) * r + p1(1);end_pt(2) = end_pt(2) * r + p1(2);end_pt(3) = mod(end_pt(3), 2*pi);path=[path;end_pt];endplot(p1(1),p1(2),'ro');hold on;quiver(p1(1),p1(2),2*cos(p1(3)),2*sin(p1(3)));plot(p2(1),p2(2),'r*');quiver(p2(1),p2(2),2*cos(p2(3)),2*sin(p2(3)));plot(path(:,1),path(:,2),'b');axis equal;dubins_segment.m：function seg_end = dubins_segment(seg_param, seg_init, seg_type)if( seg_type == 'L' )seg_end(1) = seg_init(1) + sin(seg_init(3)+seg_param) - sin(seg_init(3)); seg_end(2) = seg_init(2) - cos(seg_init(3)+seg_param) + cos(seg_init(3)); seg_end(3) = seg_init(3) + seg_param;elseif( seg_type == 'R' )seg_end(1) = seg_init(1) - sin(seg_init(3)-seg_param) + sin(seg_init(3)); seg_end(2) = seg_init(2) + cos(seg_init(3)-seg_param) - cos(seg_init(3)); seg_end(3) = seg_init(3) - seg_param;elseif( seg_type == 'S' )seg_end(1) = seg_init(1) + cos(seg_init(3)) * seg_param;seg_end(2) = seg_init(2) + sin(seg_init(3)) * seg_param;seg_end(3) = seg_init(3);endendLSL.m：function L = LSL(alpha,beta,d)tmp0 = d + sin(alpha) - sin(beta);p_squared = 2 + (d*d) -(2*cos(alpha - beta)) + (2*d*(sin(alpha) - sin(beta)));if( p_squared < 0 )L = [inf inf inf inf];elsetmp1 = atan2( (cos(beta)-cos(alpha)), tmp0 );t = mod((-alpha + tmp1 ), 2*pi);p = sqrt( p_squared );q = mod((beta - tmp1 ), 2*pi);L=[t+p+q t p q];endendLSR.m：function L = LSR(alpha,beta,d)p_squared = -2 + (d*d) + (2*cos(alpha - beta)) + (2*d*(sin(alpha)+sin(beta)));if( p_squared < 0 )L = [inf inf inf inf];elsep = sqrt( p_squared );tmp2 = atan2( (-cos(alpha)-cos(beta)), (d+sin(alpha)+sin(beta)) ) - atan2(-2.0, p);t = mod((-alpha + tmp2), 2*pi);q = mod(( -mod((beta), 2*pi) + tmp2 ), 2*pi);L=[t+p+q t p q];endendRSL.m：function L = RSL(alpha,beta,d)p_squared = (d*d) -2 + (2*cos(alpha - beta)) - (2*d*(sin(alpha)+sin(beta)));if( p_squared< 0 )L = [inf inf inf inf];elsep = sqrt( p_squared );tmp2 = atan2( (cos(alpha)+cos(beta)), (d-sin(alpha)-sin(beta)) ) - atan2(2.0, p);t = mod((alpha - tmp2), 2*pi);q = mod((beta - tmp2), 2*pi);L=[t+p+q t p q];endendRSR.m：function L = RSR(alpha,beta,d)tmp0 = d-sin(alpha)+sin(beta);p_squared = 2 + (d*d) -(2*cos(alpha - beta)) + (2*d*(sin(beta)-sin(alpha)));if( p_squared < 0 )L = [inf inf inf inf];elsetmp1 = atan2( (cos(alpha)-cos(beta)), tmp0 );t = mod(( alpha - tmp1 ), 2*pi);p = sqrt( p_squared );q = mod(( -beta + tmp1 ), 2*pi);L=[t+p+q t p q];endendRLR.m：function L = RLR(alpha,beta,d)tmp_rlr = (6. - d*d + 2*cos(alpha - beta) + 2*d*(sin(alpha)-sin(beta))) / 8.;if( abs(tmp_rlr) > 1)L = [inf inf inf inf];elsep = mod(( 2*pi - acos( tmp_rlr ) ), 2*pi);t = mod((alpha - atan2( cos(alpha)-cos(beta), d-sin(alpha)+sin(beta) ) + mod(p/2, 2*pi)), 2*pi); q = mod((alpha - beta - t + mod(p, 2*pi)), 2*pi);L=[t+p+q t p q];endendLRL.m：function L = LRL(alpha,beta,d)tmp_lrl = (6. - d*d + 2*cos(alpha - beta) + 2*d*(- sin(alpha) + sin(beta))) / 8.;if( abs(tmp_lrl) > 1)L = [inf inf inf inf];elsep = mod(( 2*pi - acos( tmp_lrl ) ), 2*pi);t = mod((-alpha - atan2( cos(alpha)-cos(beta), d+sin(alpha)-sin(beta) ) + p/2), 2*pi);q = mod((mod(beta, 2*pi) - alpha -t + mod(p, 2*pi)), 2*pi);L=[t+p+q t p q];endend参考：。
dijkstra matlab 代码
Dijkstra算法是一种用于寻找图中单源最短路径的算法，由荷兰计算机科学家艾兹赫·迪科斯彻尔（Edsger Dijkstra）于1956年提出。
它主要用于计算从一个节点到其他所有节点的最短路径，通过不断更新起始节点到其他节点的最短距离来实现。
Dijkstra算法的基本思想是利用贪心算法，不断更新起始节点到其他节点的最短距离，直到所有节点的最短路径都被找到。
这个过程中，算法会维护一个距离数组，来记录起始节点到其他节点的最短距离，通过不断更新这个数组来找到最短路径。
对于一幅图G，Dijkstra算法可以描述如下：1. 初始化起始节点到其他所有节点的距禫数组，将起点到自己的距离设为0，其他节点的距离设为无穷大。
2. 从起始节点开始，选择距离数组中距离最小的节点，标记为已访问。
3. 遍历该节点的所有邻接节点，更新距离数组中的距离，如果有更短的路径，则更新距离数组。
4. 重复步骤2和3，直到所有节点都被访问过。
在Matlab中，我们可以通过编写Dijkstra算法的代码来实现对图的最短路径计算。
下面是一个简单的Dijkstra算法的Matlab实现：```matlabfunction [dist, path] = Dijkstra(graph, start)n = length(graph); 获取图的节点个数dist = inf(1, n); 距离数组初始化为无穷大path = ones(1, n) * -1; 路径数组初始化为-1visited = false(1, n); 标记数组初始化为falsedist(start) = 0; 起始节点到自己的距离为0for i = 1:n[mindist, u] = min(dist(~visited)); 找到距离数组中未访问节点的最小值以及对应的节点visited(u) = true; 标记该节点为已访问for v = 1:nif ~visited(v) graph(u, v) > 0 dist(u) + graph(u, v) < dist(v) 如果节点未访问且存在边u到v，并且通过u到v的距离小于dist(v) dist(v) = dist(u) + graph(u, v); 更新起始节点到v的距离path(v) = u; 记录最短路径中v的前驱节点endendendend```在这段Matlab代码中，我们首先定义了一个函数Dijkstra，输入参数为图graph和起始节点start，输出参数为距离数组dist和路径数组path。
matlab最短路径算法
Matlab提供了多种用于计算最短路径的算法和工具。
其中最常用的是Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
以下是这两种算法的简要介绍以及如何在Matlab中使用它们：1. **Dijkstra算法**：- Dijkstra算法用于找到从一个起始节点到所有其他节点的最短路径。
- 在Matlab中，您可以使用`graph` 和`shortestpath` 函数来实现。
首先，创建一个图对象，然后使用`shortestpath` 函数来计算最短路径。
```matlab% 创建一个有向图对象G = digraph([1 1 2 3], [2 3 4 4]);% 计算从节点1到所有其他节点的最短路径[distances, path, pred] = shortestpath(G, 1, 'Method','Dijkstra');```2. **Bellman-Ford算法**：- Bellman-Ford算法用于计算单源最短路径，允许存在负权边，但不能存在负权环。
- 在Matlab中，您可以使用`bellmanford` 函数来实现。
```matlab% 创建一个有向图的权重矩阵weights = [0 5 inf inf; inf 0 2 inf; inf inf 0 1; inf inf inf 0];% 计算从节点1到所有其他节点的最短路径[distances, path, predecessor] = bellmanford(weights, 1);```这些算法可以根据您的需求选择。
请根据您的具体问题和数据设置来决定使用哪种算法来计算最短路径。
同时，请确保您已在Matlab中加载相关的图论工具箱。
蚁群算法最短路径matlab程序 - 副本
蚁群算法最短路径matlab程序 - 副本蚁群算法最短路径通用Matlab程序下面的程序是蚁群算法在最短路中的应用，稍加扩展即可应用于机器人路径规划function [ROUTES,PL,Tau]=ACASP(G,Tau,K,M,S,E,Alpha,Beta,Rho,Q) D=G2D(G);N=size(D,1);%N表示问题的规模(象素个数) MM=size(G,1);a=1;%小方格象素的边长Ex=a*(mod(E,MM)-0.5);%终止点横坐标if Ex==-0.5Ex=MM-0.5;endEy=a*(MM+0.5-ceil(E/MM)); Eta=zeros(1,N); for i=1:N if ix==-0.5 ix=MM-0.5;endiy=a*(MM+0.5-ceil(i/MM)); if i~=EEta(1,i)=1/((ix-Ex)^2+(iy-Ey)^2)^0.5;elseEta(1,i)=100;endendROUTES=cell(K,M);PL=zeros(K,M);%% -----------启动K轮蚂蚁觅食活动，每轮派出M只蚂蚁--------------------for k=1:Kdisp(k);for m=1:MW=S;Path=S;PLkm=0;TABUkm=ones(1,N);TABUkm(S)=0;DD=D;DW=DD(W,:);DW1=find(DW)for j=1:length(DW1)if TABUkm(DW1(j))==0 DW(j)=inf;endendLJD=find(DWLen_LJD=length(LJD); while W~=E&&Len_LJD>=1 PP=zeros(1,Len_LJD); for i=1:Len_LJDPP(i)=(Tau(W,LJD(i))^Alpha)*(Eta(LJD(i))^Beta);endPP=PP/(sum(PP)); Pcum=cumsum(PP);Select=find(Pcum>=rand);Path=[Path,to_visit]; PLkm=PLkm+DD(W,to_visit); W=to_visit;for kk=1:Nif TABUkm(kk)==0 DD(W,kk)=inf;DD(kk,W)=inf;endendTABUkm(W)=0;for j=1:length(DW1)if TABUkm(DW1(j))==0DW(j)=inf;endendLJD=find(DWLen_LJD=length(LJD);%可选节点的个数 end ROUTES{k,m}=Path; if Path(end)==EPL(k,m)=PLkm;elsePL(k,m)=inf;endendDelta_Tau=zeros(N,N);%更新量初始化for m=1:Mif PL(k,m) ROUT=ROUTES{k,m};TS=length(ROUT)-1;%跳数PL_km=PL(k,m);for s=1:TSx=ROUT(s);Delta_Tau(x,y)=Delta_Tau(x,y)+Q/PL_km;Delta_Tau(y,x)=Delta_Tau(y,x)+Q/PL_km;endendendTau=(1-Rho).*Tau+Delta_Tau;%信息素挥发一部分，新增加一部分 end %% ---------------------------绘图-------------------------------- plotif=1;%是否绘图的控制参数if plotif==1%绘收敛曲线meanPL=zeros(1,K);minPL=zeros(1,K);for i=1:KPLK=PL(i,:);Nonzero=find(PLKPLKPLK=PLK(Nonzero);meanPL(i)=mean(PLKPLK);minPL(i)=min(PLKPLK);endfigure(1)plot(minPL);hold onplot(meanPL);grid ontitle('收敛曲线(平均路径长度和最小路径长度)'); xlabel('迭代次数');ylabel('路径长度');%绘爬行图figure(2)axis([0,MM,0,MM])for i=1:MMfor j=1:MMif G(i,j)==1x1=j-1;y1=MM-i;x2=j;y2=MM-i;x3=j;y3=MM-i+1;x4=j-1;y4=MM-i+1;fill([x1,x2,x3,x4],[y1,y2,y3,y4],[0.2,0.2,0.2]); hold onelsex1=j-1;y1=MM-i;x2=j;y2=MM-i;x3=j;y3=MM-i+1;x4=j-1;y4=MM-i+1;fill([x1,x2,x3,x4],[y1,y2,y3,y4],[1,1,1]); hold onendendendhold onROUT=ROUTES{K,M};LENROUT=length(ROUT);Rx=ROUT;Ry=ROUT;for ii=1:LENROUTRx(ii)=a*(mod(ROUT(ii),MM)-0.5);if Rx(ii)==-0.5Rx(ii)=MM-0.5;endRy(ii)=a*(MM+0.5-ceil(ROUT(ii)/MM));endplot(Rx,Ry)endplotif2=1;%绘各代蚂蚁爬行图if plotif2==1figure(3)axis([0,MM,0,MM])for i=1:MMfor j=1:MMif G(i,j)==1x1=j-1;y1=MM-i;x2=j;y2=MM-i;x3=j;y3=MM-i+1;x4=j-1;y4=MM-i+1;fill([x1,x2,x3,x4],[y1,y2,y3,y4],[0.2,0.2,0.2]); hold onelsex1=j-1;y1=MM-i;x2=j;y2=MM-i;x3=j;y3=MM-i+1;x4=j-1;y4=MM-i+1;fill([x1,x2,x3,x4],[y1,y2,y3,y4],[1,1,1]);hold onendendendfor k=1:KPLK=PL(k,:);minPLK=min(PLK);pos=find(PLK==minPLK);m=pos(1);ROUT=ROUTES{k,m};LENROUT=length(ROUT);Rx=ROUT;Ry=ROUT;for ii=1:LENROUTRx(ii)=a*(mod(ROUT(ii),MM)-0.5);if Rx(ii)==-0.5Rx(ii)=MM-0.5;endRy(ii)=a*(MM+0.5-ceil(ROUT(ii)/MM));endplot(Rx,Ry)hold onendend将上述算法应用于机器人路径规划，优化效果如下图所示。
matlab graphshortestpath函数
matlab graphshortestpath函数
MATLAB中的GraphShortestPath函数可以帮助我们求解有向图和无向图上的最短路径，其算法基于Dijkstra算法和Bellman-Ford 算法。
在使用该函数前，我们需要将图的结构表示成一个邻接矩阵或邻接表的形式。
邻接矩阵表示图中节点之间的连接关系，而邻接表则用链表记录连接关系。
GraphShortestPath函数的基本调用格式为：
[dist,path,pred] = graphshortestpath(A,s,t)
其中，A为表示图结构的邻接矩阵或邻接表，s为起点，t为终点，而dist、path、pred则分别表示起点到终点的最短距离、路径和前驱节点。
除此之外，GraphShortestPath函数还支持一些其他的参数设置，例如可以通过'Method'参数选择使用Dijkstra算法或Bellman-Ford 算法，也可以通过'Directed'参数设置图是否是有向图。
总之，GraphShortestPath函数是MATLAB中十分实用的函数，能够帮助我们在图结构中快速求解最短路径，方便了我们在科学计算和工程设计中的应用。
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最短路径算法
Floyd算法程序的使用说明： 算法程序的使用说明：
1. [D, path]=floyd(a), 返回矩阵D, path 。其中a是所求 返回矩阵D, 其中a 图的带权邻接矩阵，D(i,j)表示 表示i 的最短距离; 图的带权邻接矩阵，D(i,j)表示i到j的最短距离; path(i,j)表示 path(i,j)表示i与j之间的最短路径上顶点i的后继点. 表示i 之间的最短路径上顶点i的后继点. 2. [D, path, min1, path1]= floyd(a,i,j) 返回矩阵D, path; 返回矩阵D, 并返回i 之间的最短距离min1和最短路径 和最短路径path1. 并返回i与j之间的最短距离min1和最短路径path1.
算法思路： 算法思路： 采用标号作业法,每次迭代产生一个永久标号, 采用标号作业法,每次迭代产生一个永久标号, 从而生长一颗以v 为根的最短路树, 从而生长一颗以v0为根的最短路树,在这颗树上每 个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径. 个顶点与根节点之间的路径皆为最短路径.
Dijkstra算法 Dijkstra算法——算法步骤 算法——
3 5 9 9
3 6
5 6 2 3
4
8 1 7 7 8
8
1
12
5 10 11
9
7 2 10
2
5
最短路径算法
Dijkstra算法 Dijkstra算法
使用范围: 使用范围:
1) 2) 3)
2
3
3
8 1 7 7 8
8
5 6 2 9 3 7 9 9 2
5 4 6 1
10
1 5 12 11 0 2
寻求从一固定顶点到其余各点的最短路径; 寻求从一固定顶点到其余各点的最短路径; 有向图、无向图和混合图; 有向图、无向图和混合图; 权非负. 权非负.
13
引例1 Matlab求解 引例1的Matlab求解
edge= [ 2,3,1,3,3,5,4, 4,1,7,6,6,5, 5,11, 1,8,6,9,10,8,9, 9,10;... 3,4,2,7,5,3,5,11,7,6,7,5,6,11, 5, 8,1,9,5,11,9,8,10,9;... 3,5,8,5,6,6,1,12,7,9,9,2,2,10,10,8,8,3,7, 2, 9,9, 2, 2]; n=11; weight=inf*ones(n, n); for i=1:n weight(i, i)=0; end for i=1:size(edge,2) end [dis, path]=dijkstra(weight, 1, 11)
MATLAB程序（Floyd算法 MATLAB程序（Floyd算法） 算法） 程序
function [D,path,min1,path1]=floyd(a,start,terminal) D=a;n=size(D,1);path=zeros(n,n); for i=1:n if nargin==3 for j=1:n min1=D(start,terminal); if D(i,j)~=inf m(1)=start; path(i,j)=j; i=1; end, end, end path1=[ ]; for k=1:n while path(m(i),terminal)~=terminal for i=1:n k=i+1; for j=1:n m(k)=path(m(i),terminal); if D(i,k)+D(k,j)<D(i,j) i=i+1; D(i,j)=D(i,k)+D(k,j); end path(i,j)=path(i,k); m(i+1)=terminal; end, end, end,end path1=m; end
引例1 引例1：最短运输路线问题
如图的交通网络， 如图的交通网络，每条弧上的数字代表车辆在该路段行 驶所需的时间，有向边表示单行道， 驶所需的时间，有向边表示单行道，无向边表示可双向 行驶。若有一批货物要从1号顶点运往11号顶点， 11号顶点 行驶。若有一批货物要从1 号顶点运往11号顶点 ， 问运 货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？ 货车应沿哪条线路行驶，才能最快地到达目的地？ 2
更新l(v), f(v) 更新 寻找不在S中的顶点 使 为最小.把 加入到 加入到S中 寻找不在 中的顶点u,使l(u)为最小 把u加入到 中, 中的顶点 为最小 然后对所有不在S中的顶点 如 然后对所有不在 中的顶点v,如l(v)>l(u)+w(u,v),则 中的顶点 则 更新l(v),f(v), 即 l(v)←l(u)+w(u,v),f(v)←u; 更新 ← ←
14
2 8 1 7 7 8
3 5 9 9
3 6 3 9 25 6 Nhomakorabea4 1 5
12 10 11 2
8 weight(edge(1, i), edge(2, i))=edge(3, i);
7 2 10
引例1 引例1的求解
运行上页程序输出： 运行上页程序输出： dis = 21 path = 1 8 9 10 11
最短路径算法
Dijkstra算法程序的使用说明： 算法程序的使用说明：
调用格式为 [min,path]=dijkstra(w,start,terminal), 其中输入变量w为所求图的带权邻接矩阵， 其中输入变量w为所求图的带权邻接矩阵，start, terminal分别为路径的起点和终点的号码 返回start terminal分别为路径的起点和终点的号码。返回start 分别为路径的起点和终点的号码。 terminal的最短路径 的最短路径path及其长度 及其长度min. 到terminal的最短路径path及其长度min. 注意：顶点的编号从1开始连续编号。 注意：顶点的编号从1开始连续编号。
[D, path]=floyd(a)
运行便可输出结果。 运行便可输出结果。
0 50 ∞ 40 25 10
4
最短路径问题
定义： 是加权图G中从 的路径,则该路 定义：设P(u,v)是加权图 中从 到v的路径 则该路 是加权图 中从u到 的路径 径上的边权之和称为该路径的权,记为 径上的边权之和称为该路径的权 记为w(P). 从u到v 到 记为 的路径中权最小者 P*(u,v)称为 到v的最短路径 称为u到 的最短路径 的最短路径. 称为 2
S: 具有永久标号的顶点集 具有永久标号的顶点集; l(v): v的标记 f(v):v的父顶点 用以确定最短路径 的标记; 的父顶点,用以确定最短路径 的标记 的父顶点 用以确定最短路径; 输入加权图的带权邻接矩阵w=[w(vi,vj)]nxm. 输入加权图的带权邻接矩阵
1) 2)
初始化
Φ∀ ≠ ∞ 令l(v0)=0,S=Φ;∀ v≠v0 ,l(v)=∞;
3)
重复步骤2), 直到所有顶点都在S中为止 中为止. 重复步骤 直到所有顶点都在 中为止
MATLAB程序（Dijkstra算法 MATLAB程序（Dijkstra算法） 算法） 程序
function [min,path]=dijkstra(w,start,terminal) n=size(w,1); label(start)=0; f(start)=start; for i=1:n min=label(terminal); if i~=start path(1)=terminal; label(i)=inf; i=1; end, end s(1)=start; u=start; while path(i)~=start path(i+1)=f(path(i)); while length(s)<n i=i+1 ; for i=1:n ③ end ins=0; ① for j=1:length(s) path(i)=start; L=length(path); if i==s(j) path=path(L:path=path(L:-1:1); ins=1; end, end if ins==0 v=i; if label(v)>(label(u)+w(u,v)) label(v)=(label(u)+w(u,v)); f(v)=u; end, end, end v1=0; k=inf; ② for i=1:n ins=0; for j=1:length(s) if i==s(j) ins=1; end, end if ins==0 v=i; if k>label(v) k=label(v); v1=v; end, end, end s(length(s)+1)=v1; u=v1; end
3 5 9 9
3 6
5 6 2 3
4
8 1 7 7 8
8
1
12
5 10 11
9
7 2 10
2
3
引例2 引例2：最廉价航费表的制定
某公司在六个城市C 某公司在六个城市C1,C2,C3,C4,C5,C6都有分公司， 都有分公司， 公司成员经常往来于它们之间，已知从Ci Ci到 公司成员经常往来于它们之间，已知从Ci到Cj的直达航 班票价由下述矩阵的第i 列元素给出（ 班票价由下述矩阵的第 i 行 ， 第 j 列元素给出 （ ∞ 表示无 直达航班） 直达航班），该公司想算出一张任意两个城市之间的最 廉价路线航费表。 廉价路线航费表。 0 50 ∞ 40 25 10 50 0 15 20 ∞ 25 ∞ 15 0 10 20 ∞ 40 20 10 0 10 25 25 ∞ 20 10 0 55 10 25 ∞ 25 55 0
Floyd算法 Floyd算法——算法步骤 算法——
d(i,j) : i到j的距离 的距离; 到 的距离 path(i,j): i到j的路径上 的后继点 的路径上i的后继点 到 的路径上 的后继点; 输入带权邻接矩阵a(i,j). 输入带权邻接矩阵 1）赋初值 ） 对所有i,j, d(i,j)←a(i,j) , path(i,j)←j,k=l. 对所有 ← ← 2）更新d(i,j) , path(i,j) ）更新 对所有i,j, 对所有 若d(i,k)+d(k,j)<d(i,j),则 则 d(i,j)←d(i,k)+d(k,j) , path(i,j)←path(i,k) , k ←k+1 ← ← 3）重复2)直到 ）重复 直到 直到k=n+1