§3.6 周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换
周期信号的傅里叶变换与傅里叶级数有很大的关系，它与非周期信号的傅里叶不是一回事，非周期傅叶变换对不对用在周期信号上。
先做个铺垫：
虚指函数是一个周期函数，他的傅里叶变换可以从下面的开始考虑
由傅里叶级数可知，一个周期信号可以用
表示，即用一串虚指函数的加权表示。
那么由上式可知：虚指函数的傅里叶变换是02()πδωω-。
一个周期信号x （t ）的傅里叶变换是一个脉冲串，可用表示。
式
中表示的是，发生在第K 次谐波关系的的冲激函数的面积是加权的系数
的2pi 倍。
现在关键在于加权的系数的计算。
这里的就是傅里叶级数中的。
下面是傅里叶级数的表达式：
到此为止，可以计算周期信号的傅里叶变换了！
计算的时候注意，可以尽量先直接化成虚指函数，再根据虚指函数与脉冲这间的关系直接计算求得，如果不行，可以通过计算，再代入.
满足狄里赫利条件的周期信号都可以用傅里叶级数的形式表示，即虚指函数的加权；虚指函数的频谱为脉冲02()πδωω-，那么所有可以用傅里叶级数表示的周期信号的频谱都是脉冲串。
如正弦函数的频谱是在+wo 和-wo 处的脉冲。
周期信号的傅里叶变换
第17讲 周期信号的傅里叶变换
周期信号进行傅里叶变换的目的
将周期信号用傅里叶级数展开得到周期信号的离散 频谱，令周期信号的周期趋近无穷大引出非周期信 号，从傅里叶级数在周期趋于无穷大的极限导出傅 里叶变换，由周期信号的离散谱过渡到连续谱，引 出频谱密度函数的概念
周期信号进行傅里叶变换的目的
f ( t )
F n . e j n 1t
n
根据傅里叶变换的线性和频移特性
F T [ f (t)] 2 Fn ( n1 )
n
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F ( j) 2 Fn( n1)
n
周期信号的频谱是离散的，而傅里叶变换反映 的是频谱密度的概念，因此周期信号的傅里叶 变换不同于其傅里叶系数，它不是有限值，而 是冲激函数，这表明在谐波频率点处,即无穷小 的频带范围内取得了无穷大的频谱值。
1.复指数信号的傅里叶变换
因为
1 2 ()
对于复指数
f (t) e j0t
由频移特性，可知
e j0t 2 ( 0)
2. 余弦和正弦信号信号的傅里叶变换
对于正弦和余弦信号，根据欧拉公式，并利用
e j0t 2 ( 0)
得到其频谱函数分别为
cos0t [ ( 0 ) ( 0 )]
sin0t j[ ( 0 ) ( 0 )]
3.一般的周期信号的傅立叶变换
F( j) 2 Fn ( n1)
n
周期信号的傅里叶变换是由无穷多个频域上的 冲激函数组成，这些冲激函数位于信号的各谐
波频率 n1处，其强度为相应傅里叶级数系数
Fn 的 2 倍。
4、周期单位冲激序列的傅里叶变换
T (t)
n
(t nT1)
014第三章-5常用信号的傅里叶变换
jct
jc t
F ( j( c ))
相乘，等效于在
频域中将整个频谱向频率增加方向搬移c
F f (t )e
jct
f (t )e
jct jt
e
dt dt F j jc
f (t )e
j c t
例：已知 f (t ) F ( j ) 求 f (t ) cosc t 的频谱。 解：
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
扩展
压缩
压缩
扩展
2 A Sa( )
ASa (
2
)
A Sa ( ) 2 4
四、尺度变换特性（时域频域成反比）
1 若：f (t ) F ( j ) 则 f (at) F ( j ) a a
t
记 f1 (t ) e (t )
1 F f1 (t ) j
则 f (t ) e
|t|
t f1 (t ) f1 (t )
F ( j) F[ f1 (t )] F[ f1 (t )]
F1 ( j) F ( j)
* 1
F f at
f at e
若不符合绝对可积条件则不能直接计算， 但可通过其它变换对推出，并且一般含有 冲激函数。
常用信号的傅氏变换—8 8、周期性冲激序列δT(t)
间隔为T的均匀冲激序列， 以符号δT(t)表示
δT(t)是一个周期函数，可以展开成傅里叶级数：
1 jnt T (t ) (t nT ) An e 2 n n
傅里叶变换的证明
1 T nm 2 cos(nw1t ) cos(m w t ) dt 1 0 n m
即有： t
t0 T1
0
t0 T1
t0
1 T nm 2 sin(nw1t ) sin(m w t ) dt 1 0 n m
n
F (nw1)e
jnw1t
n
jnw1t F e n （6）
证明:思路由三角形式→指数形式
f (t ) a0 [an cos(nw1t ) bn sin(nw1t )] （ 7）
n 1
利用欧拉公式:
jnw1t jnw1t 1 cos( nw t ) ( e e ) 1 2 8） jnw1t jnw1t （ 1 e ) sin(nw1t ) 2 j (e
把(10),(11)代入(9)得
f (t ) a0 [ F (nw1 )e jnw1t F (nw1 )e jnw1t ] （ 12 ）
n 1
令a0 F (0)
F ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱnw )e
n1 1
jnw1t
n
F (nw )e
1
1
jnw1t
(12)式写为f (t )
an
t0 T1 1 T1 t 0
f (t )dt
信号的平均值、直流分量
是nw1的偶函数 是nw1的奇函数
t0 T1 2 T1 t 0
f (t ) cos(nw1t )dt
2 bn T 1
t0 T1
t0
f (t ) sin(nw1t )dt
第三章周期信号的傅里叶级数表示
1、复指数傅里叶级数
sk =jk0，即:
eskt e jk0t , k 0, 1, 2,L
一个周期为T的周期信号x(t) 的复指数傅里叶级数：
x(t) ake jk0 t k
0 2 / T
其中系数 ak一般来说是 k0 的复函数。
e jk0t , k 0, 1, 2, 成谐波关系的复指数信号集
0
xˆ4
a4e j 40t
a4e j 40t
0
x(t) ake jk0 t
k
k
即：x(t) a0 xˆ1(t) xˆ3(t) xˆ5(t)
xˆ1 xˆ3 xˆ5 xˆ9 xˆ19
a0 xˆ1 xˆ3 a0 xˆ1 xˆ3 xˆ5 a0 xˆ1 xˆ7 a0 xˆ1 xˆ19 a0 xˆ1 xˆ99 x(t)
est 是连续LTI系统的特征函数
zn 是离散LTI系统的特征函数
对一个特定 sk 或 zk , H (sk )或 H (z就k ) 是对应的特征值。
7
4、将一个信号分解为特征函数(复指数信号) 的线性加权和
如果一个LTI系统的输入信号（连续/离散）可以分解 为复指数信号的线性加权和：
x(t) ak e skt
因此xn可以分解为n个不同的特征函数的线性加权和其傅里叶级数只需对连续n个独立k值求和记为352傅里叶级数系数的确定两边同乘以并在n内求和范围同的取值其中周期内求和为一个周期正弦信号在以下推导供学有余力同学参考36离散时间周期信号周期为n的傅里叶级数是一个有限项级数n个不同的复指数信号求和但a本身是一个周期为n的周期信号
T x(t)e jn0tdt T
0
0
ak e e jk0t jn0t dt
周期信号的分解-傅里叶级数
傅里叶级数
傅里叶级数是一种将周期信号分 解为不同频率的正弦和余弦函数 的数学方法。
三角函数系
傅里叶级数使用正弦和余弦函数 作为基底，将周期信号表示为这 些函数的线性组合。
频谱分析
通过傅里叶级数，可以分析周期 信号的频谱，了解信号中各个频 率分量的强度和分布。
周期信号的频谱分析
频谱图
频谱图是用来表示周期信 号中各个频率分量强度的 图形，横轴表示频率，纵 轴表示幅度。
傅里叶级数的发展经历了多个阶段， 包括早期的数学证明和后来的完善， 最终成为数学和工程领域中分析周期 信号的重要工具。
傅里叶级数的应用领域
1 2 3
通信领域
傅里叶级数用于信号处理和调制解调，例如在频 分复用（FDM）和调频（FM）中分析信号的频 谱特性。
振动分析
傅里叶级数用于分析机械振动，通过将振动信号 分解为不同频率的分量，可以研究振动的模式和 频率成分。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中广泛应用，通过将图像 信号表示为傅里叶级数，可以实现图像的滤波、 去噪、压缩等处理。
02 傅里叶级数的数学基础
三角函数和正弦函数三角Fra bibliotek数包括正弦函数、余弦函数、正切函数 等，它们在周期信号的分解中起着关 键作用。
正弦函数
正弦函数是周期函数，其基本周期为 $2pi$，在信号处理中常用于描述周 期信号。
周期信号的频谱分析
频谱分析
通过将周期信号分解为不同频率的正弦波分量，可以分析信号中各频率分量的 幅度和相位。
频谱密度函数
描述了信号中各频率分量的分布情况，其图形称为频谱图或频谱密度图。
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数
是一个无穷级数，可以用来表示任何周期信号。
周期信号的傅立叶变换
又F 1[s
()]
1
s
n
(t
nTs )
fs (t)
f
(t) * 1
s
(t
n
nTs )
1
s
n
f
(t) *
(t
nTs )
1
s n f (t nTs )
由上式可知，假如有限时间信号f (t)的频谱函数
F ( j)在频域中被间隔为s的冲激序列采样,则被取样 后频谱Fs ( j)所对应的时域信号fs (t)以Ts为周期的序列.
举例4.6.2 已知周期为T的单位冲激函数序列T (t)
T (t)= (t mT ) m
式中m为整数。求其傅里叶变换?
解：根据前面的结论
F[ fT (t)] 2 Fn ( n) n
Fn ？
1
Fn T
T
2 T
fT (t)e jnt dt，n 0，1， 2，....
2
Fn
1 T
无失真传输频率特性
设输入信号为f (t），那么经过无失真传输后，输出信号 y(t) Kf (t td )
Y ( j) Ke jtd F ( j)
系统的频率响应
H ( j) Ke jtd
其幅频特性和相频特性分别为
H ( j) | K () td
结论
为使信号无失真传输，对频率响应函数提出的要 求，即在全部频带内，系统地幅频特性应为一常 数，而相频特性应为通过原点的直线。
(
1
j 1)
Y ( j)
1
1 1
( j 2)( j 1) ( j 1) j 2
取傅立叶反变换
y(t) (et e2t ) (t)
例4.7 1某LTI系统的幅频响应|H(j)|和相频特性如图，
常用信号的傅里叶变换
⎧ ⎪⎪
f
(t) cosωct
↔
1 [F( 2
jω
−
jωc ) +
F(
jω
+
jωc )]
或
⎨ ⎪ ⎪⎩
f
(t ) sin ωct
↔
1 2j
[F(
jω
−
jωc )
−
F(
jω
+
jωc )]
例：已知：1↔ 2πδ(ω) ，则 e− jωct ↔ 2πδ(ω+ ωc )
东南大学 信息科学与工程学院
4． 尺度变换（比例）性质：
f ( at ) ↔ a≠0
1
ω
F( j
|a | a
)，
< Bτ = 常数 >
例：
f (at − t0 ) ↔ ?
东南大学 信息科学与工程学院
解：
f
(t)
f
(t−t0 )=g1(t )
→
F(
jω)e−
jωt0
g1(at)
→ |
1 F( j a|
ω− )e
j
ω at0
a
或
f (at)=g2 (t)
f (t) →
1
F(
j
ω)
g2
(t
−t0 a
→
)
1
F
(
j
ω− )e
j
ω a t0
|a| a
|a| a
东南大学 信息科学与工程学院
例：已知 f (t) 的带宽为 B ，求 f (3t − 6) 的带宽。
解： f (3t − 6) 的带宽与 f (3t) 的带宽相等 （ ∵ 延时不改变幅频 ）
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2023年信号与系统第二版（陈生潭著）课后答案下载2023年信号与系统第二版（陈生潭著）课后答案下载第1章信号与系统的基本概念1.0 信号与系统1.1 信号的描述和分类1.1.1 信号的描述1.1.2 信号的分类1.2 信号的基本特性1.3 信号的基本运算1.3.1 相加和相乘1.3.2 翻转、平移和展缩1.3.3 信号的导数和积分1.3.4 信号的差分和迭分1.4 阶跃信号和冲激信号1.4.1 连续时间阶跃信号1.4.2 连续时间冲激信号1.4.3 广义函数和艿函数性质1.4.4 阶跃序列和脉冲序列1.5 系统的描述1.5.1 系统模型1.5.2 系统的输入输出描述1.5.3 系统的状态空间描述1.5.4 系统的框图表示1.6 系统的特性和分类1.6.1 线性特性1.6.2 时不变特性1.6.3 因果性1.6.4 稳定性1.6.5 系统的分类1.7 信号与系统的分析方法习题一第2章连续信号与系统的`时域分析 2.0 引言2.1 连续时间基本信号2.1.1 奇异信号2.1.2 正弦信号2.1.3 指数信号2.2 卷积积分2.2.1 卷积的定义2.2.2 卷积的图解机理2.2.3 卷积性质2.2.4 常用信号的卷积公式2.3 系统的微分算子方程2.3.1 微分算子和积分算子2.3.2 LTI系统的微分算子方程2.3.3 电路系统算子方程的建立2.4 连续系统的零输入响应2.4.1 系统初始条件2.4.2 零输入响应算子方程2.4.3 简单系统的零输入响应2.4.4 一般系统的零输入响应2.5 连续系统的零状态响应2.5.1 连续信号的艿(￡)分解2.5.2 基本信号d(￡)激励下的零状态响应 2.5.3 一般信号厂(￡)激励下的零状态响应2.5.4 零状态响应的另一个计算公式2.6 系统微分方程的经典解法2.6.1 齐次解和特解2.6.2 响应的完全解习题二第3章连续信号与系统的频域分析3.0 引言3.1 信号的正交分解3.1.1 矢量的正交分解3.1.2 信号的正交分解3.2 周期信号的连续时间傅里叶级数3.2.1 三角形式的傅里叶级数3.2.2 指数形式的傅里叶级数3.3 周期信号的频谱3.3.1 周期信号的频谱3.3.2周期信号频谱的特点3.3.3周期信号的功率3.4 非周期信号的连续时IⅫ傅里叶变换 3.4.1 傅里叶变换3.4.2 非周期信号的频谱函数3.4.3 典型信号的傅里叶变换3.5 傅里叶变换的性质3.6 周期信号的傅里叶变换3.7 连续信号的抽样定理3.7.1 信号的时域抽样定理3.7.2 周期脉冲抽样……第4章连续信号与系统的S域分析第5章离散信号与系统的时域分析第6章离散信号与系统的频域分析第7章离散信号与系统的Z域分析第8章系统的状态空间分析第9章随机信号通过线性系统分析第10章 MATLAB在信号与系统分析中的应用附录各章习题参考答案信号与系统第二版（陈生潭著）：内容提要本书可作为高等学校电子信息工程、通信工程、计算机科学与技术、测控技术与仪器、光信息科学与技术、电气工程及自动化等专业“信号与系统”课程的教材,也可供相关专业科技工作人员参考。
傅里叶变换的证明
第三章傅里叶变换§3.1 引言§3.2周期信号的傅里叶级数分析频谱分析§3.3典型周期信号的傅里叶级数频谱§3.4傅立叶变换§3.5典型非周期信号的傅里叶变换FT §3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换§3.7傅里叶变换的基本性质§3.8卷积特性§3.9周期信号的傅里叶变换§3.10抽样信号的傅里叶变换§3.11抽样定理第三章复习课§3.1 引言法国数学家傅里叶有两个最主要的贡献: 1 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和. 2 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分表示. 本章要点: 1 建立信号频谱的概念. 2 利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的离散频谱. 3 利用傅里叶积分变换分析非周期信号的连续频谱. 4 理解信号时域与频域间的关系. 5 用傅里叶变换的性质进行正、逆变换. 6 掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理. §3.2周期信号的傅里叶级数分析频谱分析周期信号的傅里叶级数两种表现形式: 1: 三角函数级数2: 指数形式一周期信号展开成三角函数形式的傅里叶级数. 1 周期信号: 2 傅里叶级数展开表达式: fwnnTtftfT1211102sin2cossincos121211110twbtwatwbtwaatf1 无限项和1110sincosnnntnwbtnwaa2 n正整数100110TttTdttfa 信号的平均值、直流分量3 1001cos12TttTndttnwtfa的偶函数是1nw4 1001sin12TttTndttnwtfb的奇函数是1nw5 补充正交三角函数系tnwtnwtwtw1111sincossincos1上的积分为零乘积在区间任何不同的两个函数的2211TT即有mnmndttmwtnwTTtt0coscos2111100mnmndttmwtnwTTtt0sinsin2111100nmdttmwtnwT tt0sincos10011所有nnba导系数利用正交函数系性质推3 满足狄利克雷条件:充分条件①在一个周期内若有间断点存在间断点数目应该是有限个②在一个周期内极大值和极小值数目应该是有限个③在一个周期内信号绝对可积100Tttdttf注:我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件. 4 三角函数形式的另一种表达形式.同频率项加以合并110cosnnntnwcctf的函数都是122sincosarctannwcbcabacnnnnnnabnnnnnn5 画频谱图幅度谱、相位谱P91页图3-1 单边谱谱线:每条线代表某一频率分量的幅度. 包络线:连接各谱线顶点的曲线.反映各频率分量的幅度变化情况6 周期信号频谱特点. ①离散谱: 离散频率点上出现在111320www ②收敛性. ③谐波性: 是各谐波频率111132nwwww二指数形式的傅里叶级数1 展开式: 6111ntjnwnntjnweFenwFtf 证明:思路由三角形式→指数形式7sincos1110nnntnwbtnwaatf8sincos1111211211tjnwtjnwjtjnwtjnweetnweetnw9122011 ntjnwjbatjnwjbaeeatfnnnn令10321211njbanwFnn利用欧拉公式: 得的奇函数是的偶函数是1121111nnnnjbanwFnwbnwa把1011代入9得12111011ntjnwtjnwenwFenwFatf00Fa令111111ntjnwntjnwenwFenwFntjnwenwFtf1121式写为nFnwF1计算傅里叶系数整数1001111ndtetfFnwFTtttjnwTn 证明:把45代入10即可. 2: 000caF21nnjnnjbaeFFn21nnjnnjbaeFFnnnnnncFbaF212221nnncFF3 两种傅氏级数系数间的关系. 4 画复数频谱. P93页双边谱 5 周期复指数信号频谱图的特点: ①引入了负频率变量没有物理意义.只是数学推导的结果. ②一般是复函数nF 和相位谱合一相位幅度谱和的正负表示是实函数时可以用当0nnFF③三、函数的对称性与傅立叶系数关系是偶函数tftftf0nb是奇函数tftftf只含正弦项000naa是奇谐函数tf21Ttftf 1 只含直流项、余弦项3 2 波形沿时间轴平移半个周期并相对该轴上下反转此时波形不发生变化。
傅里叶变换(周期和非周期信号)
例1的频谱图
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
T
2 T
f (t )e jn0tdt
2
证明
- n
傅里叶复系数
周期信号的傅里叶变换——傅里叶级数
2、指数形式的傅里叶级数
式中，
f (t) Fne jn0t n
1
Fn T
A
T1
2 A sin n1
n1 n
2
cos n1t
A
T1
2A sin
1
2
cos1t
A
sin
1
cos 21t
2A sin
3
31
2
cos 31t
......
2. 指数形式的傅里叶级数
周期矩形脉冲
f (t) Fne jn1t n
Fn
1 T1 A T1
T1
2 T1
f (t )e jn1tdt
2. T不变，τ减小，则频谱的幅度也将减小，谱线密度 保持不变，但包络过零点的间隔将增大。
A
F0 T
Back
非周期信号的傅立里叶变换
两个重要公式：
f ( t ) F( ) : F( ) f ( t )e jtdt
F( ) f (t ):
F -1F( ) f ( t ) 1 F( )e jtd
1、 三角函数式傅里叶级数
若周期函数 f (t) 满足狄里赫利（ Dirichlet）条件:
(1)在任意周期内存在有限个第一类间断点； (2)在任意周期内存在有限个的极值点； (3)在任意周期上是绝对可积的，即
周期信号的傅里叶变换
f
2 (t)sin
0t
j
4
F() [F(
0)
F (
0 )]
(3) f (t 1) F ()e j
f [2(t 1)] 1 F ( )e j
22
t f [2( 1)]d 1 F( )e j F(0) ()
2 j 2
2
例题6 :利用FT及其性质证明下式 :
(1) sin x dx
0x
n 1
cos n1t
bn
sin
n1t )
余弦分量幅度 : an
2 T1
t0 T1 t0
f (t) cos n1tdt(n 0,1,...)
正弦分量幅度 : bn
2 T1
t0 T1 t0
f (t) sin n1tdt(n 1,2,...)
指数形式 : f (t)
F (n1 )e jn1t
与T (t)的卷积求解.
f1(t) G1 (t) [4 (t) 2 (t 1)]
2
2sin
4 (4 2e j )
f (t) f1(t) T (t) T (t) ( )
T 2
2
T
F ()
4sin n 4 [2 (1)n ] ( n )
n
n
例题5 :已知f (t) F (),求下列信号的FT :
fs(t)
Ts h(t)
Ts f(t)
Ts
Fs(ω)
t
H(ω) ωm ωs 1
卷积
F(ω)
ωc
相 乘
ωm
频域抽样定理
一个时限信号f(t),如果集中于 |t|≤tm,则其频谱F(ω)可以唯一由其 均匀频率间隔fs (fs≤1/(2tm))上的 抽样值F(nωs)确定.
信号傅里叶变换
信号傅里叶变换引言信号傅里叶变换是一种在信号处理中常用的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。
通过傅里叶变换，我们可以将一个信号分解成若干不同频率分量的叠加，从而能够更加深入地理解信号的特性和结构。
本文将对信号傅里叶变换的原理、应用以及算法进行介绍，并对其进行详细解析。
信号傅里叶变换的原理信号傅里叶变换基于傅里叶级数展开的思想，将一个周期信号分解成一系列谐波分量的叠加。
而对于非周期信号，傅里叶变换则将其看作一个无穷长的周期信号，并将其分解成一系列频率连续的谐波分量的叠加。
傅里叶变换的核心思想是将一个信号转换成其频谱表示，即将信号在频域上的幅度和相位信息提取出来。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号在不同频率上的能量分布情况，进而对信号进行分析和处理。
信号傅里叶变换的数学表达式对于一个信号f(t)，其傅里叶变换可以表示为：F(ω)=∫f∞−∞(t)e−jωt dt其中，F(ω)表示信号f(t)在频率为ω上的复振幅。
可以看出，傅里叶变换将信号f(t)从时域表示转换到频域表示。
逆傅里叶变换则将频域表示的信号恢复到时域，可以表示为：f(t)=12π∫F∞−∞(ω)e jωt dω信号傅里叶变换的应用信号傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：频谱分析频谱分析是傅里叶变换的主要应用之一。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以得到信号在频域上的能量分布情况，从而分析信号中不同频率分量的贡献程度。
频谱分析对于音频处理、图像处理等领域具有重要意义。
滤波器设计傅里叶变换可以用于滤波器的设计。
通过在频域上对信号进行滤波操作，我们可以选择性地增强或抑制信号中的某些频率分量，从而达到滤波的效果。
傅里叶变换为滤波器设计提供了有效的理论和工具。
图像处理信号傅里叶变换在图像处理中有着广泛的应用。
通过将图像进行傅里叶变换，我们可以提取图像的频域特征，进行频域滤波、图像增强、图像压缩等操作。
图像傅里叶变换也常用于图像压缩编码和图像识别等领域。
周期信号的傅里叶变换
f t 傅里叶变换F j 连续谱
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
f
t 非周周期期
统一的分析方法：傅里叶变换
X
一、指数函数e j c t的傅里叶变换
第 4
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F {e jct } e jct e jt dt e j( c )t dt
F 1{1} 1
e
jt d
f
2
t e jnt d t
(2)
X
第 12
页
T
F0 j
2 T
f0 t ejt d t
(1)
2
f
t
An e jnt 2 n
An 2
1 T
T
2 T
f
2
t e jnt d t
(2)
比较式(1),(2)
f0 t
n
f t
在
T 2
,
T 2
内f
0
t
与f
t
相
同
所以 An 2
n
2
n
E Sa n n
n 2
X
方法2
第 14
页
利用时域卷积定理，周期T1
f (t) f0(t)T(t)
F ( j ) F0 ( j ) ( n) n
利用冲激函数的抽样性质
因为
F ( j ) F0 (n) ( n)
n
F0 (
j )
E
Sa
2
所以
F ( j ) E Sa n ( n)
sin0t jπ 0 jπ 0
sin0t 频谱图:
F j
π
π
2
0
傅里叶变换的证明
cn
2
1 3
2
1 5 2
n
w1 3w1 5w1 w
w1 2w1 3w1 4w1 5w1 w
2
三:画 f (t ) 1 sin(w1t ) 2 cos(w1t ) cos(2w1t 4 ) 的频谱
f (t ) c0 cn cos(nw1t n )
n
F (nw )e
1
jnw1t
F (nw1 ) Fn 2: 计算傅里叶系数
F (nw1 ) Fn
t0 T1 1 T1 t 0
f (t )e jnw1t dt n ~ 整数
证明:把(4)(5)代入(10)即可.
3 两种傅氏级数系数间的关系.
F0 a0 c0
t0 T1
t0
cos(nw m, n 1t ) sin(mw 1t )dt 0 所有
利用正交函数系性质推 导系数an , bn
3 满足狄利克雷条件:(充分条件) ①在一个周期内，若有间断点存在，间断点数目应该是有限个 ②在一个周期内,极大值和极小值数目应该是有限个 ③在一个周期内,信号绝对可积
t0 T1
t0
f (t ) dt
注:我们遇到的周期信号都能满足狄利克雷条件. 4 三角函数形式的另一种表达形式.(同频率项加以合并)
f (t ) c0 cn cos(nw1t n )
n 1
2 2 cn an bn a n c n cos n b n arctana 都是nw1的函数 bn c n sin n
T
n2 f (t ) sin(nw1t )dt 0
周期信号的傅里叶变换
二、一般周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f1
e 一般周期信号：f (t)
F jn1t n
n
F 2 Fn n1 n
其中：
Fn
1 T1
T1
2 T1
f (t)e jwtdt
2
1.单脉冲信号的傅里叶变换
单脉冲信号：从周期脉冲信号f(t)中截取一个周 期，得到单脉冲信号。
思考题
1.正弦、余弦信号的傅里叶变换公式？ 2. 一般周期信号的傅里叶变换公式？
n
又
1 Fn T1
fT (t) T (t) FT w1 (w nw1) n
可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换中只包含位于 =0,1, 21, n1, 频率处的冲激函数，其强度大 小相等，均等于1 。
例3-11
求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和 傅里叶变换。
f (t)
E
…
…
T
0
T
一、正弦、余弦周期信号的傅里叶变换
e Q f (t) j0t F F( m0 ), 0 0 1F2 (t) e j0t F 2 ( m0 ), 0 0
余弦信号：cos(1t) F ( 1) ( 1) 正弦信号：sin(1t) F j ( 1) ( 1)
1 f (t) cos w1t
2
f
(t
)e
jwt
dt
wnw1
周期信号的傅里叶级数的系数Fn等于单脉冲信号的傅里 叶变换F0()在n1频率点的值乘以1/T1。
可利用单脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里 叶级数的系数。
例3-10 单位冲激函数的间隔为T1，用符号T(t)
表示周期单位冲激序列：
周期信号的傅立叶变换
(对于LTI系统除了可以用第二章讲过的时域分析法外还可以用频域 分析法进行分析。它的基本原理是：将信号分解为无穷多项不同频 率的虚指数信号之和通过系统，最后进行响应的合成得到待求的响 应。时域分析与频域分析的关系如图)
f (t)
信号分解
F( j)
LTI
h(t)
H( j)
"0"
f (t)
LTI
y f (t)
h(t)
F
F 1
F( j) H ( j) Y ( j)
X
频域系统分析的步骤： ①输入信号的FT f(t)→F(jω) ②系统函数 h(t)→H(jω) ③输出信号的FT Y(jω)=F(jω)H(jω) ④输出的零状态响应 yzs(t)=F-1[Y(jω)]
卷积 积积 卷
积积
sss
s s
ooooooPooooTF1msTTFFs1m1mPTTFFs1m1mssssjssssssssssjjssssjjsssjsj
X
三、 时域抽样定理
一个频带受限的信号 f (t)，若频谱只占据 m ~ m
的范围，采样后保证不丢失原信号的信息，即通过合
适的低通滤波器后可恢复原信号 f t 的条件是采样频率
F 1
s
j
P
FPjjj
1s
Ts
sTs
s
o TS o ooTtSTTSS t t t
s
omss sso
oo
m
ss
s
X
fs(t ) of(t )Ts(tt)
mom
Fs
j
F
opf(t)t
p(t)
Ts
t
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中国计量学院电子信息工程专业
主要内容
第 2
页
•指数函数的傅里叶变换 •正弦信号的傅里叶变换 •一般周期信号的傅里叶变换 •如何由F0(ω)求F(nω1) •周期冲激序列的傅氏变换
X
引言
第 3
页
周期信号：
f t 傅里叶级数cn 离散谱
非周期信号：
f t 傅里叶变换F j 连续谱
F ( j) F0 ( j) ( n) n
利用冲激函数的抽样性质
因为
F ( j) F0 (n) ( n)
n
F0 (
j )
E
Sa
2
所以
F( j) E Sa n ( n)
2
E Sa n n
n 2
X
第
周期矩形脉冲信号的傅里叶级数系数与傅里叶变换
几点认识
第 8
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F( j) π An n
1 f t的频谱由冲激序列组成;
位置 : n 谐波频率
强度 : πAn 与An成正比, 离散谱
2 谱线的幅度不是有限值, 因为F j表示的是频谱密度。 周期信号的F j只存在于 n处,
频率范围无限小,幅度为。
X
四．周期单位冲激序列的傅里叶变换第页9
15 页
T1 2
cn
2
0 2
T1
FF((j))
E1
2
0 2
T1
X
0
0 o
0
0
o
2
X
三．一般周期信号的傅里叶变换
第 7
页
设信号周期: T 2π
由傅里叶级数的指数形式出发：
其傅氏变换(用定义)
f
t
1 2
Ane jnt
n
F j F f t
1
F
2
An
e
jnt
1 2
An F
e jnt
1 2
An
2π
n
π An n
X
1
F e jnt
T1 n
1
2π n
T1 n
2π
n
n
T1 n
n
An 12
T1
2 o 2
F j
2 o 2
T t 的频谱密度函数仍是冲激序列,强度和间隔都是。
X
如何由F0
j
求
An 2
第 11
页
即单个脉冲的F0
f0 t
j
与周期信号f
t
的谱系数
再把上式中积分变量以t代换，t以( c )代换，可得
F{e jct }
e j(c )t dt
2 (
c
)
e jct 2 ( c )
X
二．正弦信号的傅里叶变换
第 5
页
由欧拉公式 所以
cosct
1 2
e jct
e jct
sinct
1 2j
e jct
e jct
e j c t 2 c ejc t 2 c
T t t nT1 n
T t的傅氏级数谱系数
T t
1 1 1 1 1
2T1 T1 o T1 2T1 t
An 1
2 T1
T1 2 T1
(t )e jnT dt
1 T1
2
所以
T t
An e jnt 1
e jnt
n 2
T1 n
X
频谱
第 10
页
F j F T t
2
f
t
An e jnt 2 n
An 2
1 T
T
2 T
f
2
t ejnt d t
(2)
比较式(1),(2)
f0 t
n
f t
在
T 2
,
T 2
内f
0
t
与f
t
相同
所以 An 2
1 T
F0
j
n
可由F0 j 求周期函数 f t 的谱系数 An
X
第
五．周期矩形脉冲序列的傅氏变换
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
X
一、指数函数ej c t的傅里叶变换
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页
F{e jct } e jct e jt dt e j(c )t dt
F 1{1} 1
e
jt d
(t)
2
e jt d 2 (t) 2 (t)
fT t
An 2
的关系
T o
T
t T
o
2
2
T
t
T
设 f0 t F0 j
F0 j
2
(1)
2
f
t
An e jnt 2 n
An 2
1 T
T
2 T
f
2
t ejnt d t
(2)
X
第 12
页
T
F0 j
2 T
f0 t ejt d t
(1)
cos c t
1 2
2π
c
2π
c
π
c
π
c
同理
sinct jπ c jπ c
X
频谱图
第 6
页
cos0t π ( 0 ) ( 0 )
cos0t 频谱图:
F j
π
π
0 O 0
sin0t jπ 0 jπ 0
sin0t 频谱图:
F j
π
π
2
13
页
f t
E
方法1
T1
o
22
T1
t
F0 ( j) cn F( j)
F0 (
j )
E
Sa
2
所以cn
1 T1
F0
j
n
F( j)
2π cn
n
n
2π
n
E
T1
Sa
n
2
n
E Sa n n
n 2
X
方法2
第 14
页
利用时域卷积定理，周期T1
f (t) f0(t)T(t)