§3.6 周期信号的傅里叶变换

再把上式中积分变量以t代换，t以( c )代换，可得
F{e jct }
e j(c )t dt
2 (
c
)
e jct 2 ( c )
X
二．正弦信号的傅里叶变换
第 5
页
由欧拉公式 所以
cosct
1 2
e jct
e jct
sinct
1 2j
e jct
e jct
e j c t 2 c ejc t 2 c
cos c t
1 2
2π
c
2π
c
π
c
π
c
同理
sinct jπ c jπ c
X
频谱图
第 6
页
ห้องสมุดไป่ตู้
cos0t π ( 0 ) ( 0 )
cos0t 频谱图:
F j
π
π
0 O 0
sin0t jπ 0 jπ 0
sin0t 频谱图:
F j
π
π
2
2
f
t
An e jnt 2 n
An 2
1 T
T
2 T
f
2
t ejnt d t
(2)
比较式(1),(2)
f0 t
n
f t
在
T 2
,
T 2
内f
0
t
与f
t
相同
所以 An 2
1 T
F0
j
n
可由F0 j 求周期函数 f t 的谱系数 An
X
第
五．周期矩形脉冲序列的傅氏变换
周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
X
一、指数函数ej c t的傅里叶变换
第 4
页
F{e jct } e jct e jt dt e j(c )t dt
F 1{1} 1
e
jt d
(t)
2
e jt d 2 (t) 2 (t)
T t t nT1 n
T t的傅氏级数谱系数
T t
1 1 1 1 1
2T1 T1 o T1 2T1 t
An 1
2 T1
T1 2 T1
(t )e jnT dt
1 T1
2
所以
T t
An e jnt 1
e jnt
n 2
T1 n
X
频谱
第 10
页
F j F T t
F ( j) F0 ( j) ( n) n
利用冲激函数的抽样性质
因为
F ( j) F0 (n) ( n)
n
F0 (
j )
E
Sa
2
所以
F( j) E Sa n ( n)
2
E Sa n n
n 2
X
第
周期矩形脉冲信号的傅里叶级数系数与傅里叶变换
fT t
An 2
的关系
T o
T
t T
o
2
2
T
t
T
设 f0 t F0 j
F0 j
2
T
f0
t
ejt d t
(1)
2
f
t
An e jnt 2 n
An 2
1 T
T
2 T
f
2
t ejnt d t
(2)
X
第 12
页
T
F0 j
2 T
f0 t ejt d t
(1)
13
页
f t
E
方法1
T1
o
22
T1
t
F0 ( j) cn F( j)
F0 (
j )
E
Sa
2
所以cn
1 T1
F0
j
n
F( j)
2π cn
n
n
2π
n
E
T1
Sa
n
2
n
E Sa n n
n 2
X
方法2
第 14
页
利用时域卷积定理，周期T1
f (t) f0(t)T(t)
1
F e jnt
T1 n
1
2π n
T1 n
2π
n
n
T1 n
n
An 12
T1
2 o 2
F j
2 o 2
T t 的频谱密度函数仍是冲激序列,强度和间隔都是。
X
如何由F0
j
求
An 2
第 11
页
即单个脉冲的F0
f0 t
j
与周期信号f
t
的谱系数
0
0 o
0
0
o
2
X
三．一般周期信号的傅里叶变换
第 7
页
设信号周期: T 2π
由傅里叶级数的指数形式出发：
其傅氏变换(用定义)
f
t
1 2
Ane jnt
n
F j F f t
1
F
2
An
e
jnt
1 2
An F
e jnt
1 2
An
2π
n
π An n
X
几点认识
第 8
页
F( j) π An n
1 f t的频谱由冲激序列组成;
位置 : n 谐波频率
强度 : πAn 与An成正比, 离散谱
2 谱线的幅度不是有限值, 因为F j表示的是频谱密度。 周期信号的F j只存在于 n处,
频率范围无限小,幅度为。
X
四．周期单位冲激序列的傅里叶变换第页9
§3.6 周期信号的傅里叶变换
中国计量学院电子信息工程专业
主要内容
第 2
页
•指数函数的傅里叶变换 •正弦信号的傅里叶变换 •一般周期信号的傅里叶变换 •如何由F0(ω)求F(nω1) •周期冲激序列的傅氏变换
X
引言
第 3
页
周期信号：
f t 傅里叶级数cn 离散谱
非周期信号：
f t 傅里叶变换F j 连续谱
15 页
T1 2
cn
2
0 2
T1
FF((j))
E1
2
0 2
T1
X