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上海高中数学-复数练习

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高中数学复数练习题含答案

高中数学复数练习题含答案

高中数学复数练习题含答案一、单选题 1．设复数z 满足i 1i(i z ⋅=+为虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.3．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．24．若复数i (2i)z m m =++在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1)C ．(,0)-∞D ．(1,)-+∞5．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z 的共轭复数z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+C ．2i -D ．2i +7．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知复数z 满足(12i)43i z -=-（i 为虚数单位），则z =（ ）AB ．5CD ．2 9．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 10．设i 12z =+，则在复平面内z 的共轭复数z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |z ＝（ ） A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i12．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +13．下列关于复数的命题中（其中i 为虚数单位），说法正确的是（ ） A ．若复数1z ，2z 的模相等，则1z ，2z 是共轭复数B ．已知复数1z ，2z ，3z ，若()()2212230z z z z -+-=，则123z z z ==C ．若关于x 的方程()21i 14i 0x ax +++-=（a ∈R ）有实根，则52a =-D ．12i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，其中,p q 为实数，则5q = 14．若5i2iz =+，则||z =（ ）A．2 B C ．D ．315．复数5ii 2iz -=-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 16．已知复数i(1i)z =-，则其共轭复数z =（ ）A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +17．设向量OP ，PQ ，OQ 对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么（ ）A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0 18．已知复数z 满足z ＋2i －5＝7－i ，则|z |＝（ ）A ．12B ．3C ．D ．9 19．向量a ＝（－2，1）所对应的复数是（ ）A ．z ＝1＋2iB ．z ＝1－2iC ．z ＝－1＋2iD ．z ＝－2＋i20．已知复数23i z =-，则()1i z +=（ ） A ．3i - B ．3+3i - C ．3i + D ．3i -+二、填空题21．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则2zz-＝________． 22．设复数1z ，2z 是共轭复数，且12229i,-=-+z z ，则1z =___________.23．已知i 是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.24．设(3i)i 6i a a b +=-，其中a ，b 是实数，则i a b +=____________． 25．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 26．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 27．设12z i =-，则z =___________ . 28．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 29．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.30．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________. 31．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果） 32．复数1515cos77isin ππ+的辐角主值是________． 33．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________．34i 对应的向量绕原点按逆时针方向旋转90，则所得向量对应的复数为________．35．已知复数cos isin i z θθ=+（为虚数单位），则1z -的最大值为___________ 36．把复数z 的共轭复数记作z ，已知()12i 43i z +=+（其中i 是虚数单位），则z =______．37．方程()()2223256i 0x x x x --+-+=的实数解x =________.38．设复数20211i 1iz -=-（i 为虚数单位），则z 的虚部是_______．39．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.40．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 三、解答题41．若43i 3i m m -+(m ∈R)为纯虚数，求42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭的值． 42．设复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++（m ∈R ），试求m 取何值时？ (1)z 是实数；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．43．已知i 是虚数单位，复数()()221i z m m m =---，m ∈R.(1)当复数z 为实数时，求m 的值； (2)当复数z 纯虚数时，求m 的值.44．由方程()31cos2πisin 2πz k k k ==+∈Z 得310z -=的三个根为()2π2πcosisin 02,33k k k k k ω=+≤≤∈Z ，则()()()321111z z z z ωω-=---．将上式右边的各个一次因子适当分组相乘，则可变成有理系数多项式，就得到了31z -的有理分解式．请你仿此将151z -进行有理分解．45．在复平面内，复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，求线段AB 的中点所对应的复数．【参考答案】一、单选题 1．D 2．D 3．B 4．A 5．A 6．B 7．D 8．A 9．B 10．D 11．D 12．B 13．D 14．B 15．C 16．C 17．D18．C19．D20．B二、填空题21．－1＋2i##2i－1 222324．25．四26．13i22-+2728．29．2-30．1##1+ 31．13i+##3i1+32．7π3334．1-1-35．236．2i+##i2+ 37．238．039．340．三、解答题41．【解析】【分析】由题可得21230130mm⎧-=⎨-≠⎩，进而即得.【详解】因为243i (43i)(3i)3i 9m m m m m ---=++=22(123)13i9m m m --+是纯虚数， 所以21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，，解得m =±2．于是当m =2时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=i 4=1; 当2m =-时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4(i)-=1． 综上，42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭=1．42．(1)2m =-或1m =-； (2)3m =； (3)2m <-或3m >. 【解析】 【分析】（1）（2）利用复数的分类，分别列式，求解作答. （3）复数的几何意义列式，求解作答. (1)复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++是实数，则22220320m m m m ⎧-->⎨++=⎩，解得2m =-或1m =-，所以当2m =-或1m =-时，z 是实数. (2)复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++是纯虚数，则22lg(22)0320m m m m ⎧--=⎨++≠⎩，解得3m =，所以当3m =时，z 是纯虚数. (3)复数22()(lg 2232i )z m m m m =--+++在复平面内对应点2222(lg(,)32)m m m m --++，依题意，22lg(22)0320m m m m ⎧-->⎨++>⎩，解得：2m <-或3m >，所以当2m <-或3m >时，z 对应的点位于复平面的第一象限. 43．(1)1或1-； (2)0. 【解析】 【分析】(1)虚部为零，则为实数；(2)虚部不为零，实部为零，则为纯虚数. (1)当210m -=时，得1m =±； (2)当22010m m m ⎧-=⎨-≠⎩时，得0m =.44．()()()()()231411111z z z z z ωωωω----⋅⋅⋅-【解析】 【分析】根据题目所给的信息即可求解. 【详解】根据题目有理分解式原理可知151=0z -的15个根为()2π2πcosisin 0151514,k k k k k ω=+≤≤∈Z ， 则151z -()()()()()231411111z z z z z ωωωω=----⋅⋅⋅-.45．12i + 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求出点A 、B 的坐标，可得出线段AB 的中点坐标，利用复数的几何意义即可得出结果. 【详解】解：由复数的几何意义可得()1,1A 、()1,3B ，所以线段AB 的中点为()1,2M ， 故线段AB 的中点所对应的复数为12i +.。

上海上海师大附中附属龙华中学必修第二册第二单元《复数》检测题(包含答案解析)

上海上海师大附中附属龙华中学必修第二册第二单元《复数》检测题(包含答案解析)

一、选择题1．设a R ∈，则复数22121a aiz a-+=+所对应点组成的图形为（ ） A ．单位圆B ．单位圆除去点()1,0±C ．单位圆除去点()1,0D ．单位圆除去点()1,0-2．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．33．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．324．如果复数z 满足|||i 2|i z z ++-=，那么|1|z i ++的最小值是( ) A ．1 B 2C ．2D5．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．iB ．i -C ．2iD ．2i -6．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限7．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = ) A ．2i -+ B ．2i -C ．2i --D ．2i +8．复数21iz i+=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是A ．z =B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限9．i 为虚数单位，复平面内表示复数2iz i-=+的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限10．若i 为虚数单位，复数z 满足z i ≤，则2z i -的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．D ．11．已知复数21aiz i+=-是纯虚数，则实数a 等于（ ） AB ．2CD12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．若复数z满足||1z i -，则2z i +（i 为虚数单位）的最小值为______． 14．设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________． 15．已知复数z 满足()14i z a i +=+（i为虚数单位），且z =，则实数a =________．16．若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是________. 17．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 18．已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________． 19．已知i 为虚数单位，则（1）(23i)(32i)-+-+=________________； （2）(4i)(23i)+--+=________________；（3）已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b R ∈，若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第三象限，则+a b 的取值范围为________________；（4）在复平面内，复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，若复数21z z z =-，则复数z 对应的点在第________________象限．20．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = _________________；三、解答题21．设m R ∈，复数22(56)(3)m m m m i -++-(i 为虚数单位)是纯虚数． （1）求m 的值；（2）若2mi -+是方程20x px q ++=的一个根，求实数p ，q 的值．22．已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)z i z i -=+（i 为虚数单位），|1z． （I ）求1z 的值；（II ）若1z 的虚部大于零，且11mz n i z +=+（m ，n ∈R ），求m ，n 的值． 23．已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的两根为1x 、2x . （1）若134x i =+，求p 的值；（2）若121x x -=，求实数p 的值. 24．计算下列各题：(1)55(1)(1)11i i i i +-+-+；(2)201920191111i i i i +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭；；(4) 23201920202320192020i i i i i +++++.25．已知1(3)(?4)z x y y x i =++-,2(42)(53)(,)z y x x y i x y R =--+∈,设12z z z =-,且132z i =+,求复数1z ,2z .26．已知O 为坐标原点，向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，且()213105z a i a =+-+，()()22251z a i a R a =+-∈-.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据复数222221212111a ai a az i a a a-+-==++++，得到复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，然后由22212,11a ax y a a -==++，利用复数的模求解. 【详解】因为复数222221212111a ai a az i a a a-+-==++++， 所以复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 即22212,11a ax y a a -==++， 所以222222212111a a x y a a ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因为22212111a x a a-==-+++， 又因为a R ∈， 所以211a +≥， 所以22021a <≤+， 所以221111a -<-+≤+， 即11x -<≤，所以复数z 对应点组成的图形为单位圆除去点()1,0-. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2．B解析：B 【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．3．B解析：B 【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解. 【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-， ∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=. 故选B 【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．A解析：A 【分析】直接利用复数模的几何意义求出z 的轨迹．然后利用点到直线的距离公式求解即可． 【详解】：∵|z ＋i|＋|z －i|＝2∴点Z 到点A （0，-1）与到点B （0，1）的距离之和为2． ∴点Z 的轨迹为线段AB ．而|z ＋1＋i|表示为点Z 到点（-1，-1）的距离． 数形结合，得最小距离为1 故选A ． 【点睛】本题只要弄清楚复数模的几何意义，就能够得到解答．5．A解析：A 【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 6．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】()()()()32i 2i 32i 47i2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，z ==，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.7．C解析：C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．8．D解析：D 【分析】利用复数的四则运算，求得1322z i =+，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【详解】 由题意()()()()22121313111122i i i i z i i i i i ++++====+--+-，则2z ==，z的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭为a bi -． 9．C解析：C【解析】(2)21122(2)(2)555i i i i z i i i i -----====--++-．故选C 10．D解析：D 【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解. 【详解】因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max 20321333z i MN R -=+=--+--=故选：D. 【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆；（4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线.11．B解析：B 【分析】 化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a+≠，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a az i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a+≠，解得2a =， 所以实数a 等于2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．A解析：A 【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限.故选:A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】设由知点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部表示点与点的距离数形结合即可得到答案【详解】设由可得此式表示复平面上的点在以为圆心1为半径的圆上及圆的内部此式表示点与点的距离故所以的最小值为故答案1【分析】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +，知点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2z i =(,)P a b 与点(2)B 的距离，数形结合即可得到答案. 【详解】设,,z a bi a b R =+∈，由||1z i +可得22((1)1a b -++≤，此式表示复平面上的点(,)P a b 在以1)A -为圆心，1为半径的圆上及圆的内部，2232(3)(2)z i a b +-=++-，此式表示点(,)P a b 与点(3,2)B -的距离，故22min 1(23)31PB AB =-=+-=211-.所以32z i +-的最小值为211-. 故答案为：211- 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生数形结合思想以及数学运算求解能力，是一道中档题.14．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】 解析：6【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值. 【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==， 6. 【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈； （2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .15．0【分析】先化简再利用建立方程最后解得实数的值【详解】解：∵∴∵∴解得：故答案为：0【点睛】本题考查复数的运算复数的几何意义求参数是基础题解析：0 【分析】先化简4422a a z i +-=+，再利用z ==后解得实数a 的值. 【详解】解：∵ ()14i z a i +=+， ∴ ()()4(1)4(4)(4)4411(1)222a i i a i a a i a a z i i i i +-+++-+-====+++-∵z =，∴z ==解得：0a =， 故答案为：0. 【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，是基础题.16．【分析】设利用列方程组解方程组求得题目所求两个数【详解】设依题意有即所以将代入得；将代入解得；将代入得结合解得或所以对应的数为故答案为：【点睛】本小题主要考查复数运算属于中档题 解析：2i ±【分析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，利用12124,5z z z z +=⋅=列方程组，解方程组求得题目所求两个数. 【详解】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以405a cb d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -. 故答案为：2i ± 【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题.17．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题解析：1+【分析】 先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】 设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 2334z ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=，∴1144z z -=+，解得13z i =+.故答案为：1+. 【点睛】本题考查复数三角形式的定义，属基础题.18．4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|求出|z+3+4i|的最小值即可方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1∴|z+3解析：4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a |﹣|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，求出|z +3+4i |的最小值即可．方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆．则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d ==5，∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4，故答案为4．【点睛】本题考查了不等式的应用问题，也考查了复数的几何意义及运算问题，属基础题．19．四【分析】(1)利用复数的加法法则计算即可；(2)利用复数的减法法则计算即可；(3)由题意可得则且据此可得的取值范围(4)由题意可得结合可得据此确定其所在的象限即可【详解】（1）（2）（3）因为所以解析：1i --62i -(,5)-∞四【分析】(1)利用复数的加法法则计算()()2332i i -+-+即可；(2)利用复数的减法法则计算()()423i i +--+即可；(3)由题意可得12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，则2b <且3a <，据此可得+a b 的取值范围.(4)由题意可得122i z =-+，21z i =-，结合21z z z =-可得33z i =-，据此确定其所在的象限即可.【详解】（1）()()(23)(32)23321i i i i i -+-+=-+-+=--．（2）()()(4)(23)42362i i i i i +--+=++-=-．（3）因为13i z b =-，22i z a =-+，所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，又复数z 对应的点在第三象限，所以2030b a -<⎧⎨-<⎩，所以2b <且3a <， 所以5a b +<，故+a b 的取值范围为(,5)-∞．（4）因为复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，所以122i z =-+，21z i =-，又复数21z z z =-，所以1i (22i)33i z =---+=-，所以复数z 对应的点为(3,3)-，在第四象限【点睛】本题主要考查复数的加法、减法运算，复数所在象限的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【分析】先根据复数除法得再根据共轭复数概念得【详解】因为所以即【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等属于基本题复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：2i +【分析】 先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z .【详解】因为()1243i z i +=+，所以43212i z i i+==-+,即2.z i =+ 【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b(,)a b 、共轭为.-a bi三、解答题21．（1）2.（2）4p =，8q =．【分析】（1）根据纯虚数的定义求出m 的值即可；（2）将2mi -+代入方程20x px q ++=，得到关于p ，q 的方程组，解出即可．【详解】（1）复数22(56)(3)m m m m i -++-是纯虚数， 2256030m m m m ⎧-+=∴⎨-≠⎩解得：2?30?3m m m m ==⎧⎨≠≠⎩或且 2m ∴=（2） 2mi -+是方程20x px q ++=的一个根由（1）可得2m =，即：22i -+是方程20x px q ++=的一个根2(22)(22)0i p i q ∴-++-++=即(2)(28)0p q p i -++-=20280p q p -+=⎧∴⎨-=⎩解得：4p =，8q =．【点睛】本题解题关键是掌握纯虚数定义和复数相等求参数方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22．（I ）11z i =-或11z i =-+（II ）4,1m n =-=【分析】（I ）设1z x yi =+，得出2z 的表达式，根据12(1)(1)z i z i -=+和1z =方程组求得,x y 的值，进而求得1z 的值.（II ）根据（I ）的结论确定1z 的值.代入11m z n i z +=+运算化简，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得,m n 的值. 【详解】解：（I ）设1z x yi =+（x ，y ∈R ），则2z =－x+yi ，∵z 1（1－i ）=2z （1+i ），|1z，∴22()(1)()(1)2x yi i x yi i x y +-=-++⎧⎨+=⎩， ∴11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即11z i =-或11z i =-+ （II ）∵1z 的虚部大于零，∴11z i =-+，∴11z i =--， 则有(1)1m i n i i +--=+-+，∴12112m n m ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，∴41m n =-⎧⎨=⎩． 【点睛】 本小题主要考查复数的概念，考查复数的模、复数相等、复数的虚部等知识，属于基础题. 23．（1）6；（2）p =或p =±【分析】（1）将134x i =+代入方程，将复数化为一般形式，利用复数相等可求得实数p 的值； （2）列出韦达定理，由121x x -=可得出关于p 的等式，由此可解得实数p 的值.【详解】（1）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以，()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=，所以，1832440p p -=-=，解得6p ；（2）2100p ∆=-，由题意得121225x x p x x +=⎧⎨=⎩. 若0∆≥，即2100p ≥，则121x x -===，解得p =；若∆<0，即100p <，由2250x px -+=，可得22210024p p x ⎫-⎛⎫⎪-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p x =+，22p x =，则121x x i -===，解得p =±.综上所述，p =或p =±【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）在解第一问时，可利用实系数的二次方程的两个虚根互为共轭复数来求解； （2）在解第二问时，应对二次方程是否有实根进行分类讨论，并结合韦达定理求解. 24．(1)0；(2)2i -；(3)516；(4)10101010i - 【分析】根据复数的乘除运算法则及乘方运算，即可计算出(1)(2)的值；利用复数模的运算性质可求出(3)的值；利用分组求和及i 的运算性质可求出(4)的值.【详解】 (1) 5566232322(1)(1)(1)(1)[(1)][(1)]11(1)(1)(1)(1)11i i i i i i i i i i i i i i +-+-+-+=+=+-+-++--- 3333(2)(2)44022i i i i -=+=-=. (2)因为21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+，21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-， 所以20192019201945043201920319111(22221)i i i i i i i i i i ⨯+-=--==+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+=⎝⎭=-⎝⎭.545488(43)(1)|(43)(1)|(42)|(42||)|||||i i i i ⋅--==++545454884|43|1||525|42|2516i i -⨯====+⋅⨯. (4) 23201920202320192020i i i i i +++++(234)(5678)(2017201820192020)i i i i i i =--++--+++--+(22)(22)(22)+i i i =-+-+- 505(22)i =⨯-10101010i =-.【点睛】本题主要考查复数的乘除运算，乘方运算，复数的模的运算性质及i 的运算性质，属于中档题.25．1z =59,i -287.z i =--【分析】明确复数1z ,2z 的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数z ，从而用,x y 表示出z ，接下来根据复数相等的充要条件列出关于,x y 的方程组求解，即可得出1z ,2z .【详解】∵12z z z =- ()()()()344253x y y x i y x x y i =++---++ ()()342x y y x ⎡⎤=+--⎣⎦ ()()453y x x y i ⎡⎤+-++⎣⎦ ()()534x y x y i =-++. ∴()()534z x y x y i =--+.又∵132z i =+∴531342x y x y -=⎧⎨+=-⎩∴21x y =⎧⎨=-⎩∴()()1321142z i =⨯-+--⨯ 59,i =-∴()()24122523187.z i i ⎡⎤⎡⎤=⨯--⨯-⨯+⨯-=--⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.26．（1）3a =；（2）118. 【分析】（1）求出1z 和2z ，由复数12z z +是实数，可求得实数a 的值；（2）求出1OZ 和2OZ ，利用平面向量的数量积求出12cos Z OZ ∠，进一步求出12sin Z OZ ∠，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.【详解】（1）由题意可得()213105z a i a =--+， ()22251z a i a =+--，则()2123221551z z a a i a a+=+++-+-， 由于复数12z z +是实数，则221505010a a a a ⎧+-=⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得3a =；（2）由（1）可得138z i =+，21z i =-+，则点13,18Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21,1Z -， 因此，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积为121118S Z Z =⨯=. 【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.。

(人教版)上海市必修第二册第二单元《复数》测试(含答案解析)

(人教版)上海市必修第二册第二单元《复数》测试(含答案解析)

一、选择题1．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ）A ．2a ≠，或1a ≠B ．2a ≠，且1a ≠C ．2a =，或0a =D ．0a = 2．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆3．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）A ．0B ．1C D ．2 4．能使得复数()32z a aia R =-+∈位于第三象限的是（ ） A ．212a i -+为纯虚数 B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a > 5．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 7．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 8．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-1 9．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．111．复数11i i +-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．若复数2(1)34i z i+=+，则z =（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．25二、填空题13．已知集合{}11M z z =+=，{}i N z z i z =+=-，则M N =______. 14．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.15．复数(1sin )(cos sin )z θθθ=++-i 是实数，[]0,2θπ∈则θ=______.16．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____17．已知复数z 满足43(z i i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝____． 18．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = _________________； 19．已知，则 =____．20．给出下列四种说法：①-2i 是虚数，但不是纯虚数；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③已知 x y R ，∈，则 x i 1i y +=+ 的充要条件为x y 1==；④如果让实数a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确说法的为 __________．三、解答题21．当实数m 取什么值时，复数224(6)Z m m m i =-+--分别满足下列条件？ （1）复数Z 实数；（2）复数Z 纯虚数；（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y x =-上.22．已知复数z 满足2z =，2z 的虚部为2，（1）求复数z ；（2）设22,,z z z z -在复平面上对应点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积. 23．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i -++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<<（i ）求z 的值及z 的实部的取值范围；（ii ）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．24．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根.(1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值.25．设复数12,z z 满足12122210z z iz iz +-+=.（1）若12,z z 满足212z z i -=，求12,z z .（2）若1z =k ，使得等式24z i k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.26．已知1251034.z i z i =+=-，（1）若12z z ，若在复平面上对应的点分别为A,B ，求AB 对应用的复数（2）若12111z z z z =+，求【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出.【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,因此, 220a a -=，解得2a =，或0a =故选C【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键. 2．A解析：A【详解】 因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.3．B解析：B【分析】 利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -.【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，12z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -==1==.故选：B【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题. 4．A解析：A【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a aia R =-+∈是第三象限的点.【详解】 322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足200a a -<⎧⎨-<⎩，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件.故选：A【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.5．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.6．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.7．C解析：C【解析】 因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C. 8．C解析：C【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 9．A解析：A【详解】因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ．10．A解析：A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 11．A解析：A【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果.【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=，故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11i i+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事； （3）进而求得a b +的值.12．C解析：C【分析】先求出8625i z -=，再求出||z 得解. 【详解】 由题得()()()()212342863434343425i i i i i z ii i i +-+====+++-，所以102255z ===. 故选：C二、填空题13．【分析】根据复数的几何意义可知代表的是圆上代表的是线利用线与圆的位置关系可知结果【详解】的几何意义是以点为圆心1为半径的圆表示到点和点的距离相等的点的集合是线段的垂直平分线也就是轴的几何意义是轴与圆 解析：{}0,2-【分析】 根据复数的几何意义，可知11z +=代表的是圆上,i z i z +=-代表的是线，利用线与圆的位置关系，可知结果.【详解】11z +=的几何意义是以点()1,0-为圆心，1为半径的圆.i i z z +=-表示到点()0,1A 和点()0,1B -的距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴.M N ⋂的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数，故0z =或2z =-，{}0,2M N ∴⋂=-.【点睛】本题考查复数的几何意义，属中档题.14．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．或【解析】【分析】由复数的虚部为0求得再由的范围得答案【详解】是实数即又或故答案为：或【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法实部虚部的概念利用三角函数求角属于中档题 解析：4π或54π. 【解析】【分析】 由复数z 的虚部为0求得tan θ，再由θ的范围得答案. 【详解】(1sin )(cos sin )z i θθθ=++-是实数，cos sin 0θθ∴-=，即tan 1θ=，又[0,2],θπ∈4πθ∴=或54π， 故答案为：4π或54π 【点睛】 本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题. 16．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积．【详解】 由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．17．【分析】利用复数的运算法则共轭复数的定义即可得出结果【详解】由可得即所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念属于简单题目解析：34i -+【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果.【详解】 由43z i i +=可得34z i i=-，即23434z i i i =-=--， 所以34z i =-+，故答案是：34i -+.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.18．【分析】先根据复数除法得再根据共轭复数概念得【详解】因为所以即【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等属于基本题复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：2i +【分析】 先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z .【详解】因为()1243i z i +=+，所以43212i z i i+==-+,即2.z i =+ 【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi19．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值.详解：由题得，故答案为-2-3i点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了. 20．③【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断详解：①因为是虚数也是纯虚数错误；②两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共解析：③.【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断.详解：①因为2i -是虚数也是纯虚数，错误；②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1i -和3i +，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；③已知,x y R ∈，则i 1i x y +=+的充要条件为1x y ==，正确；④如果让实数a 与i a 对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当0a =时，错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题21．（1）2m =-或3m =；（2）2m =；（3）2m =-或52m =. 【分析】（1）由虚部为0，求解m 值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m 值；（3）由实部与虚部的和为0，列式求解m 值．【详解】解：由题可知，复数224(6)Z m m m i =-+--，（1）当Z 为实数时，则虚部为0，由260m m --=，解得：2m =-或3m =；（2）当Z 纯虚数时，实部为0且虚部不为0， 由224060m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得：2m =； （3）当Z 对应的点位于直线y x =-上时，则0x y +=，即：实部与虚部的和为0，由224(6)0m m m -+--=，解得：2m =-或52m =． 【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 22．（1）1i +或1i --；（2）1【分析】（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； （2）分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知可得：22ab ==⎪⎩2221a b ab ⎧+=⎨=⎩， 解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩． ∴z ＝1+i 或z ＝﹣1﹣i ；（2）当z ＝1+i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝1﹣i ，∴A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1； 当z ＝﹣1﹣i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝﹣1﹣3i ，∴A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1． ∴△ABC 的面积为1．【点睛】 本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．23．（1）12z =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩122z ∴=-± （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211*********a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭ 12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．24．(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【解析】【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=.（2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（1）123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-.（2）存在，k =【分析】（1）由条件可得211230z iz --=，设1z a bi =+，即可算出（2）由条件得212212iz z z i -=+，然后22212iz z i-=+22427z i -= 【详解】（1）由212z z i -=，可得212z z i =-，代入已知方程得()()1111222210z z i iz i z i -+--+=， 即211230z iz --=.令()1,z a bi a b =+∈R ， 所以()22230a b i a bi +---=， 即()222320a b b ai +---=， 所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩. 所以123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）由已知得212212iz z z i-=+，又1z =所以22212iz z i-=+22222132iz z i -=+， 所以()()()()22222121322iz iz z i z i ---=+-， 整理得()()224427z i z i -+=，所以22427z i -=，即24z i -=，所以存在常数k =，使得等式24z i k -=恒成立.【点睛】设()1,z a bi a b =+∈R ，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.26．（1）214i --（2）552i -【详解】 （1）()()2134i 510i 214.AB z z i =-=--+=--所以AB 对应用的复数为214i --. （2）由题得121212111z z z z z z z +=+= 1212552z z z i z z ∴==-+。

高中数学复数练习题含答案

高中数学复数练习题含答案

高中数学复数练习题含答案一、单选题1．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为(1,2)，则复数iz 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知复数()1i z a a =-+（a ∈R ），则1a =是1z =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设复数z 满足()1i 2i z -=，则z 在复平面内对应的点在第几象限.（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四4．下列说法正确的是（ ）A ．若复数()i ,z a b a b R =+∈，则z 为纯虚数的充要条件是0a =且0b =.B ．若()()21i 0,x y x y R -+->∈，则2x >且1y >.C ．若()()2212230Z Z Z Z -++=，则123Z Z Z ==.D ．若复数z 满足i 2z -=，则复数z 对应点的集合是以()0,1为圆心，以2为半径的圆.5．已知复数5i1iz -=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．23i +B ．24i -C ．33i +D ．24i +6．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．27．已知 i 是虚数单位，复数412⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 8．设复数z 满足i 3i z z --=，则z 的虚部为（ ）A ．2i -B ．2iC ．2-D ．2 9．复数z 满足：(2i)5z +=（i 是虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．i -D ．1-10．下列命题：①若i 0a b +=，则0a b ；②i 22i 2x y x y +=+⇔==；③若y R ∈，且()()211i 0y y ---=，则1y =.其中正确命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11．“1x =”是“22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 12．设复数z 满足i 4i 0z ++=，则||z =（ ）A B ．4C D 13．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．复数z 满足(1i)23i z -=-，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．4 16．设复数z 1=1+i ，z 2=x +2i(x ∈R)，若z 1z 2∈R ，则x 等于（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．217．若5i2iz =+，则||z =（ ）A ．2B C ．D ．318．已知复数z 满足(34i)5(1i)z +⋅=-，则z 的虚部是（ ） A ．15-B ．75-C ．1i 5-D ．7i 5-19．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（ ）A ．3B ．4CD 20．在复平面中，复数z 对应的点的坐标为()1,2，则()i z z -的对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题21．定义12,C z z ∈，221212121(||||)4z z z z z z ⊕=+--，121212i(i )z z z z z z ⊗=⊕+⊕.若134i z =+，21z =+，则12||z z ⊗=___________.22．已知复数z i =，i 为虚数单位，则z =______23．已知z 是复数，3i 13i z z z z +-⋅⋅=-，则复数z =_________24．已知复数20202023i i z =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于第________象限．25．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________. 26．复数2ii 1+-的共轭复数是_______． 27．复数1i z =+（其中i 为虚数单位）的共轭复数z =______． 28．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________.29．若复数31i 2iz a -=-为实数，则实数a 的值为_______.30．已知复数z 满足294i z z +=+，则z =___________.31．若复数()()32i z a a R =-+-∈为实数，则2021i 1ia a -+的值为______.32．若复数2(1i)34iz +=+，则z =__________．33．若存在复数z 同时满足i 1z -=，33i z t -+=，则实数t 的取值范围是_______．34．将复数1＋i 对应的向量顺时针旋转45°，则所得向量对应的复数为________． 35．计算cos 40isin 40cos10isin10________．36．已知复数12,z z ，满足121z z ==，且12z z +=，则12z z =________．37．已知m R ∈，复平面内表示复数()3i m m --的点位于第三象限内，则m 的取值范围是____________38．已知z =，则22022z z z ++⋅⋅⋅+=___________. 39．若a ∈R ，且i2ia ++是纯虚数，则a =____． 40．已知2i +是关于x 的方程()20,R x ax b a b ++=∈的根，则b a -=________.三、解答题41．若43i 3i m m -+(m ∈R)为纯虚数，求42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭的值． 42．已知复数2(2)()i z m m m =-+-，其中i 是虚数单位，m 为实数． (1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数z 在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围． 43．设z 是虚数，且1z zω=+满足12ω-<<. (1)求||z 的值及z 的实部的取值范围； (2)设11zu z-=+，求证：u 为纯虚数； (3)求2u ω-的最小值. 44．已知1z ，2z ∈C ，12z =，23z =，124z z +=，求12z z ．（提示：()1122cos isin z z z z θθ=+或()1122cos isin z zz z θθ=-，θ是1z ，2z 所表示的向量的夹角．） 45．根据复数的几何意义证明：121212z z z z z z -≤+≤+．【参考答案】一、单选题 1．B 2．A 3．B 4．D 5．A 6．B 7．C 8．C 9．D 10．B 11．A 12．A 13．A 14．A15．B 16．A 17．B 18．B 19．C 20．D 二、填空题 21．35 22．123．12或12##12-或12 24．四 25．1 26．13i 22-+ 27．1i -##i+1-2829．2- 30．5 31．i - 32．825i 625- 33．[]4,6 343512i36．12- 37．()0,3 38．039．12-##0.5- 40．9 三、解答题41．【解析】 【分析】由题可得21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，进而即得.【详解】因为243i (43i)(3i)3i 9m m m m m ---=++=22(123)13i9m m m --+是纯虚数， 所以21230130m m ⎧-=⎨-≠⎩，，解得m =±2．于是当m =2时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭=i 4=1; 当2m =-时，4442i 22i 1i 2i 22i 1i m m +--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4(i)-=1． 综上，42i 2i m m +⎛⎫⎪-⎝⎭=1． 42．(1)2 (2)()0,1 【解析】 【分析】（1）由复数z 为纯虚数，得到220m m m -=⎧⎨-≠⎩，即可求解； （2）由复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，得出不等式组2200m m m -<⎧⎨-<⎩，即可求解. (1)解：由题意，复数2(2)()i z m m m =-+-， 因为复数z 为纯虚数，则满足2200m m m -=⎧⎨-≠⎩，解得2m =. (2)解：由复数2(2)()i z m m m =-+-，因为复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，可得2200m m m -<⎧⎨-<⎩，解得01m <<， 所以m 的取值范围为()0,1.43．(1)||1z =，112⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)证明见解析(3)1 【解析】 【分析】（1）根据复数的除法可得ω，根据其为实数可得221a b +=，从而z 的实部的取值范围；（2）根据复数的除法可得i 1bu a =-+，从而可证u 为纯虚数； （3）根据基本不等式可求最小值. (1)设i z a b =+，a b R ∈、，0b ≠， 则22221i i i a b a b a b a b a b a b ω⎛⎫⎛⎫=++=++- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， ∵12ω-<<，∴ω是实数，又0b ≠，∴221a b +=，即||1z =，∴2a ω=，122a ω-<=<，112a -<<，∴z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，； (2)()222211i 12i i 11i 11z a b a b b b u z a b a a b ------====-++++++， ∵1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，0b ≠，∴u 为纯虚数；(3)()()22212122212131111b a u a a a a a a a a ω-⎡⎤-=+=-=-+=++-⎢⎥+++⎣⎦+，∵112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，∴10a +>，故223431u ω-≥⨯=-=， 当111a a +=+，即0a =时，2u ω-取得最小值1.44．16+或16 【解析】 【分析】算出1z ，2z 所表示的向量的夹角的正、余弦即可. 【详解】设复数1z 对应OA ，2z 对应OB ，OA OB OC +=，则22223431cos 223124OAC +-∠==-=-⨯⨯ 所以1cos 4AOB ∠=，所以15sin AOB ∠= 所以122115115346z z ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭或121156z z =. 45．证明详见解析 【解析】 【分析】结合三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边来证得不等式成立. 【详解】当12,z z 方向相同时，121212z z z z z z -<+=+；当12,z z 方向相反时，121212z z z z z z -=+<+；当12,z z 不共线时，1212,,z z z z +满足三角形的三边，根据三角形两边的和大于第三边、两边的差小于第三边可知：121212z z z z z z -<+<+.综上所述，不等式121212z z z z z z -≤+≤+成立.。

高中数学第七章复数经典大题例题(带答案)

高中数学第七章复数经典大题例题(带答案)

高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知z =2+i ，则z−i 1+i =（ ）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z =2−i ，所以z−i 1+i =2−i−i 1+i =2(1−i )×(1−i )(1+i )×(1−i )=2×(1−2i+i 2)2=−2i .故选：D.2、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可. 因为(−1+2i )x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi |=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.3、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .5、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，分别计算|z 12|、|z 1|2即可判断选项D ，进而可得正确选项.对于选项A ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，z 12=(2+i )2=3+2i ，z 22=(2−i )2=3−2i ，满足z 12+z 22=6>0，但z 12与z 22是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，|z 1−z 2|=|2i |=2，而√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2=√42−4(2+i )(2−i )=√16−20无意义，故选项B 不正确；对于选项C ：取，z 2=i ，则z 12+z 22=0，但是z 1≠0，z 2≠0，故选项C 不正确；对于选项D ：设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，则z 12=(a +bi )2=a 2−b 2+2abi11z =11z =|z 12|=√(a 2−b 2)2+4a 2b 2=√(a 2+b 2)2=a 2+b 2，z 1=a −bi ，|z 1|=√a 2+b 2，所以|z 1|2=a 2+b 2，所以|z 12|=|z 1|2，故选项D 正确.故选：D.6、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（ ）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解.根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.7、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D8、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC．－3－iD．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n的值，进而得出复数z. 由题意知（n2＋mn）＋2n i＝－2－2i，即{n 2+mn+2=02n+2=0，解得{m=3,n=−1，∴z=3−i故选：B多选题9、已知复数z=21+i，则正确的是（）A．z的实部为﹣1B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的虚部为﹣iD．z的共轭复数为1+i答案：BD分析：根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.因为z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以z的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为z=1+i，故AC错误，BD正确.故选：BD10、复数z=1−i，则（）A．z在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)B．z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)C．|z|=2D．|z|=√2答案：AD分析：利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为(1,−1)，即可得答案；z=1−i在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，|z|=√2．故选：AD.11、已知复数z满足(1+i3)z=2，则下列说法中正确的有（）A．z的虚部是iB．|z|=√2C．z⋅z=2D．z2=2答案：BC分析：根据复数的除法运算求出z，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i，其虚部为1，|z|=√2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，z2=(1+i)2=2i≠2．故选：BC.12、已知复数z1=−2+i（i为虚数单位），复数z2满足|z2−1+2i|=2，z2在复平面内对应的点为，则（）A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B．1z1=−25−15iC．(x+1)2+(y−2)2=4D．|z2−z1|的最大值为3√2+2答案：ABD分析：利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.对于A选项，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(−2,1)，该点位于第二象限，A对；对于B选项，1z1=1−2+i=−2−i(−2+i)(−2−i)=−25−15i，B对；对于C选项，由题意可得z2−1+2i=(x−1)+(y+2)i，因为|z2−1+2i|=2，则(x−1)2+(y+2)2=4，C错；对于D选项，z1−1+2i=−3+3i，则|z1−1+2i|=√(−3)2+32=3√2，所以，|z2−z1|=|(z2−1+2i)−(z1−1+2i)|≤|z2−1+2i|+|z1−1+2i|=2+3√2，D对.(), M x y故选：ABD.13、若复数z 满足：z (z +2i )=8+6i ，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C ．zz =√10D ．z 在复平面上对应的点位于第一象限答案：ABD分析：根据待定系数法，将z =a +bi (a,b ∈R )代入条件即可求解a =3，b =1，进而即可根据选项逐一求解. 设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z (z +2i )=8+6i ，所以zz +2iz =8+6i ，所以(a 2+b 2−2b )+2ai =8+6i ，所以a 2+b 2−2b =8，2a =6，所以a =3，b =1，所以z =3+i ，所以z 的实部为3，虚部为1，故A ，B 正确；zz =|z |2=10，故C 不正确；z 在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限，故D 正确．故选:ABD ．填空题14、i 2 021＝________.答案：i分析：利用周期性求得所求表达式的值.i 2021=i 505×4+1=i 1=i所以答案是：i15、设复数z ，满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=√3−i ，则|z 1−z 2|=____________．答案：√6解析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出|z 1−z 2|的值.设z 1,z 2在复平面中对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，z 1+z 2对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如下图所示：因为z 1+z 2=√3−i ，所以|z 1+z 2|=√3+1=2，所以cos∠OZ 1Z 3=12+22−221×2×2=14， 又因为∠OZ 1Z 3+∠Z 1OZ 2=180°，所以cos∠Z 1OZ 2=−cos∠OZ 1Z 3=−14，所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OZ 12+OZ 22−2OZ 1⋅OZ 2⋅cos∠Z 1OZ 2=1+4+1=6， 所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，又|z 1−z 2|=|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，所以答案是：√6.小提示：名师点评复数的几何意义：（1）复数z =a +bi (a,b ∈R )一一对应↔复平面内的点Z (a,b )(a,b ∈R )； （2）复数z =a +bi (a,b ∈R ) 一一对应↔平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 16、在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z =___________.答案：−2−8i ##−8i −2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5)，则z =3−5i ，所以(1−i)z =(1−i)(3−5i)=−2−8i .所以答案是：−2−8i解答题17、已知复数z 1＝4－m 2＋（m －2）i ，z 2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i （其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R ）.(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围.答案：(1)-2；(2)[2，6]分析：（1）z 1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z 1＝z 2，实部、虚部分别相等，求得λ关于θ的函数表达式，根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数，则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3=(sinθ−1)2+2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6].18、已知m ∈R ，α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m 的值；（2）用m 表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析：（1）由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．可得α+β=−2，αβ=m ，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m 及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．∴α+β=−2，αβ=m ，若α，β为实数，即Δ=4−4m ≥0，解得m ≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ，解得m =−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m <0，解得m >1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m −4i|，解得m =3．综上可得：m =−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。

专题16 复数(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)

专题16 复数(习题)-2021届沪教版高考数学一轮复习(上海专用)

2021届高考数学一轮复习 专题16复数一、填空题1．（2020·上海松江·期末）已知复数z 满足，则2z i -（其中i 是虚数单位）的最小值为____________. 【答案】1 【解析】复数z 满足||1(z i =为虚数单位）， 设cos sin z i θθ=+，[0θ∈，2)π．则|2||cos (sin 2)|1z i i θθθ-=+-，当且仅当时取等号．故答案为：1．2．（2020·上海高三其他）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________ 【答案】1- 【解析】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1- 【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力. 3．（2020·上海普陀·高三一模）设i 是虚数单位，若11z ai i=++是实数，则实数a = 【答案】12【解析】依题意，由于z 为实数，故110,22a a -==.4．（2020·上海市建平中学高三月考）已知x C ∈，且，则_____． 【答案】4或-1【解析】由()()54321110x x x x x x -=-++++=,得1x =,或43210x x x x ++++=,进而得到答案．∵x C ∈，且()()54321110x x x x x x -=-++++=,故1x =,或43210x x x x ++++=， 当1x =时,,当43210x x x x ++++=时， ， 故，或-1故答案为：4或-1．5．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32- 【解析】设z a bi =+，（且），将原方程变为，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；设z a bi =+，（且） 则原方程变为所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，此时1x =-，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，b =所以14z =-±综上满足条件的所以复数的和为 故答案为：32-6．（2019·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足(4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_______． 【答案】-3 【解析】试题分析：由题意得：32436iz i i+=+=-+，其虚部为-3 7．（2019·上海市建平中学高三月考）已知复数z 满足(1i)1i z +=-，则Re()z =________ 【答案】0 【解析】因为，所以()Re 0z =. 故答案为0.8．（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________【解析】由题意2z i =-+，∴。

(北师大版)上海市高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)

(北师大版)上海市高中数学选修2-2第五章《数系的扩充与复数的引入》测试题(含答案解析)

一、选择题1．设复数z 满足1z =，则1z i -+的最大值为（ ）A 1B ．2C 1D ．22．若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 3．复数34i z i -=，|z |＝（ ）A B ．3 C ．4 D ．5 4．若复数34sin cos 55z i θθ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭是纯虚数，则tan()θ-π的值为( ) A ．34± B ．43 C ．34- D ．43- 5．若复数z 满足(34)25i z i +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是A ．3iB ．3i -C ．3D ．-3 6．已知复数z 满足z （1﹣i ）＝﹣3+i （期中i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 在复平面对应的点是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知0)z a a =>且||2z =，则z =( )A．1B ．1C ．2D ．3+ 8．已知复数33i z i --=，则z 的虚部为（ ） A ．3- B ．3 C ．3i D ．3i -9．复数z 满足(1)35i z i -⋅=+，则||z =A ．2B ．CD 10．已知复数122i z i +=- （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．i11．设i 是虚数单位，则复数734i i ++在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标为 ( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)二、填空题13．设221i z i-=+，则z =_____________． 14．在复数集中分解因式：2364x x -+=________.15．已知复数zi =，i 为虚数单位，则z =____________16．设12,z z 为复数，21z =，则21121z z z z -=-___________. 17．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为_____（米）．18．已知复数z 满足21z i i=++，则z 的共轭复数z=__________. 19．已知复数z 满足(1)i z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为_________． 20．下列四个命题中正确的有_______（填上所有正确命题的序号）①若实数,,a b c 满足3a b c ++=，则,,a b c 中至少有一个不小于1②若z 为复数，且z =1，则z i -的最大值等于2③(0,),sin x x x ∈+∞>任意都有④204π=三、解答题21．已知复数2(1)(24)33Z i m i m i =+-+-+（1）当m 为何值时 , Z 为纯虚数 ?（2） 当m 为何值时 , Z 对应的点在y x =上?22．实数m 取什么数值时，复数()2212z m m m i =-+--分别是： （1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z 的点在复平面的第四象限？23．已知z 是复数，121z z ==，12z z +=12z z -.24．复数2(21)(1),z a a a i a R =--+-∈.（1）若z 为实数，求a 的值；（2）若z 为纯虚数，求a 的值；（3）若93z i =-，求a 的值.25．方程21(4)02x m x m --+=的两根为α，β，且||||αβ+=m 的值.26．若关于x 的方程22470x zx i -++=有实根，求复数z 的模的最小值和此时z 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】 如图所示，复数满足1z =时轨迹方程为复平面内的单位圆， 而()11z i z i -+=--表示z 与复数1i -所对应的点在复平面内的距离，结合圆的性质可知，1z i -+的最大值为()2211121+-+=+.本题选择C 选项. 2．A解析：A 【分析】设z x yi =+，得到()()22221x y ++-=，化简得到()()221212z i x y --=-+-根据其几何意义计算得到答案.【详解】设z x yi =+，则()()()()222222221z i x y i x y +-=++-=++-=， 即()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆. ()()()()22121212z i x y i x y --=-+-=-+-，表示点(),x y 和()1,2之间的距离，故()()min 12122z i r --=---=.故选：A.【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 3．D解析：D【分析】根据复数的除法运算先把z 化成(),z a bi a b R =+∈的形式，再根据公式z =求模.【详解】 ()()()2234343443i i i i i z i i i i i----+====----，5z ∴==.故选：D .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，属于基础题.4．C解析：C【分析】根据所给的虚数是一个纯虚数，得到虚数的实部等于0，而虚部不等于0，得到角的正弦和余弦值，根据同角三角函数之间的关系，得到结果.【详解】 若复数34sin (cos )55z i θθ=-+-是纯虚数， 则3sin 05θ-=且4cos 05θ-≠， 所以3sin 5θ=，4cos 5θ=-， 所以3tan 4θ=-，故tan()θ-π=3tan 4θ=-． 故选C ．【点睛】 本题主要考查了复数的基本概念，属于基础题．纯虚数是一个易错概念，不能只关注实部为零的要求，而忽略了虚部不能为零的限制，属于易错题.5．C解析：C【分析】本道题目可以设出z a bi =+,然后结合待定系数法,计算参数,即可得出答案.【详解】设z a bi =+,代入原式得到()()()()34343434i z i a bi a b b a i +=++=-++结合待定系数法得到340,3425a b b a -=+=,解得3b =,故选C.【点睛】本道题目考查了待定系数法和复数的四则运算,注意虚部是指i 的系数.6．B解析：B【分析】先化简得到2z i =--，再计算2z i =-+得到答案。

(完整word版)高中数学复数专项练习题(含答案)

(完整word版)高中数学复数专项练习题(含答案)

高考复数练习题一、选择题1.设有下面四个命题：p1：若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1·z2∈R，则z1=z2−；p4：若复数z∈R，则z−∈R．其中的真命题为()A. p1，p3B. p1，p4C. p2，p3D. p2，p42.若z(1−i)=|1−i|+i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为()A. √2−12B. √2−1 C. 1 D. √2+123.i为虚数单位，i607的共轭复数为()A. iB. −iC. 1D. −14.在复平面内，复数11−i的共轭复数对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.若复数(1−i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A. (−∞,1)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (−1,+∞)6.复数z=2−i2+i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()．A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限7.若复数z满足(3−4i)z=|4+3i|，则z的虚部为()A. 45i B. 45C. 4iD. 48.若z=1+2i，则4iz⋅z−−1=()A. 1B. −1C. iD. −i9.设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于()A. −3B. −2C. 2D. 310.已知i是虚数单位，a，，得“a=b=1”是“”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件11.若复数z满足2z−z−=3+12i，其中i为虚数单位，z−是z的共轭复数，则复数|z|=()A. 3√5B. 2√5C. 4D. 512.设z=3−i1+2i，则|z|=()A. 2B. √3C. √2D. 113.复数21−i(i为虚数单位)的共轭复数是()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i14.设z=11+i+i，则|z|=()A. 12B. √22C. √32D. 2二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）15.已知a∈R，i为虚数单位，若a−i2+i为实数，则a的值为．16.i是虚数单位，复数z满足(1+i)z=2，则z的实部为．17.已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为______．18.若z l=a+2i，z2=3−4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为______．19.设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=．20.已知复数z满足z+3z=0，则|z|=．三、解答题（本大题共3小题，共36.0分）21.设z1=2x+1+(x2−3x+2)i，z2=x2−2+(x2+x−6)i(x∈R)，其中i是虚数单位．(1)若z1是纯虚数，求实数x的取值范围；(2)若z1>z2，求实数x的取值范围．22.当实数a为何值时z=a2−2a+(a2−3a+2)i．(1)为纯虚数；(2)为实数；23.已知复数z=bi(b∈R)，z−2是实数，i是虚数单位．1+i(1)求复数z；(2)若复数(m+z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】B本题主要考查命题的真假判断，考查了复数的运算，复数的概念，共轭复数，属于基础题．【解答】解：设z=a+bi(a,b∈R)，则1z =1a+bi=a−bia2+b2，若复数z满足1z∈R，则b=0，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=−1∈R，但z∉R，故命题p2为假命题；p3：复数z1=i，z2=2i满足z1·z2=−2∈R，但z1≠z2−，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则z−=z∈R，故命题p4为真命题．故选B．2【答案】D本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念及模，属于基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z(1−i)=|1−i|+i=√2+i，∴z=√2+i1−i=(√2+i)(1+i)(1−i)(1+i)=√2−12+√2+12i，则z的虚部为√2+12，故选D．3.【答案】A本题考查复数的基本运算，复数单位的幂运算以及共轭复数的知识，基本知识的考查．【解答】解：i 607=i 604+3=i 3=−i ，它的共轭复数为：i ．故选：A ．4.【答案】D本题考查复数的四则运算，复数的代数表示及其几何意义，属于基础题． 可得复数11−i 的共轭复数为12−12i ，即可得解．【解答】解：复数11−i =1+i (1−i)(1+i)=12+12i ，则复数11−i 的共轭复数为12−12i ，在复平面内，复数11−i 的共轭复数对应点的坐标为(12,−12)，故在复平面内，复数11−i 的共轭复数对应的点位于在第四象限．故选D ．5.【答案】B本题考查了复数的运算法则，几何意义，属于基础题．根据条件可得{a +1<01−a >0，解得a 范围即可． 【解答】解：复数(1−i)(a +i)=a +1+(1−a)i 在复平面内对应的点在第二象限， ∴{a +1<01−a >0，解得a <−1． 则实数a 的取值范围是(−∞,−1)．故选B ．6.【答案】D先将复数z 进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限． 判断复数对应的点所在的位置，只要看出实部和虚部与零的关系即可，把所给的式子展开变为复数的代数形式，得到实部和虚部的取值范围，得到结果．解：∵z=2−i2+i =(2−i)2(2+i)(2−i)=35−45i，∴复数在复平面对应的点的坐标是(35,−45)，∴它对应的点在第四象限，故选：D．7.【答案】B本题考查复数的运算，考查复数的概念，比较基础．由题意，z=53−4i =35−45i，可得z的虚部．【解答】解：由题意，z=53−4i =35+45i，∴z的虚部为45．故选B．8.【答案】C本题考查复数的代数形式的混合运算，共轭复数的概念，属于基础题．利用复数的四则运算法则化简求解即可．【解答】解：因为z=1+2i，所以z−=1−2i，则4iz·z−−1=4i(1+2i)(1−2i)−1=4i5−1=i，故选C．9.【答案】A本题考查复数的概念及复数的乘法的运算法则，考查计算能力，属于基础题．利用复数的乘法运算法则，根据复数的概念求解即可．【解答】解：(1+2i)(a+i)=a−2+(2a+1)i的实部与虚部相等，可得：a−2=2a+1，解得a=−3．10.【答案】A本题考查的知识点是充分、必要条件的判断，复数的相等，复数的运算，属于简单题．利用复数的运算性质，分别判断“a =b =1”⇒“(a +bi )2=2i ”与“(a +bi )2=2i ”⇒“a =b =1”的真假，进而根据充分条件和必要条件的判断得到结论．【解答】解：当a =b =1时，(a +bi )2=(1+i )2=2i 成立，故“a =b =1”是“(a +bi )2=2i ”的充分条件；当(a +bi )2=a 2−b 2+2abi =2i 时，a =b =1或a =b =−1，故“a =b =1”不是“(a +bi )2=2i ”的必要条件；综上所述，“a =b =1”是“(a +bi )2=2i ”的充分不必要条件．故选A ．11.【答案】D【解析】解：复数z =a +bi ，a 、b ∈R ，∵2z −z −=3+12i ，∴2(a +bi)−(a −bi)=3+12i ，即{2a −a =32b +b =12，解得a =3，b =4， ∴z =3+4i ，∴|z|=√32+42=5．故选：D ．根据复数的四则运算法则先求出复数z ，再计算它的模长．本题主要考查了复数的计算问题，要求熟练掌握复数的四则运算以及复数长度的计算公式，是基础题． 12.【答案】C本题考查复数模的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．直接利用复数商的模等于模的商求解．【解答】解：由z=3−i1+2i，得|z|=|3−i1+2i |=|3−i||1+2i|=√10√5=√2．故选C．13.【答案】B本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．【解答】解：化简可得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，∴z的共轭复数z−=1−i，故选：B．14.【答案】B【解答】解：z=11+i+i=1−i(1+i)(1−i)+i=12+12i．故|z|=√14+14=√22．故选B．15.【答案】BD本题主要考查随机事件中的互斥与对立事件的判断，属于基础题．根据互斥与对立事件的概念即可得解．【解答】解：将一个骰子抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，由题意，事件A与事件B能同时发生，不是互斥事件，故A错误，B正确；事件B与事件C不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故C错误，D正确；16.【答案】−2本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简a−i2+i，再由复数为实数的条件：虚部为0，解方程即可得到所求值．【解答】解：a∈R，i为虚数单位，a−i 2+i =(a−i)(2−i)(2+i)(2−i)=2a−1−(2+a)i4+1=2a−15−2+a5i由a−i2+i为实数，可得−2+a5=0，解得a=−2．故答案为−2．17.【答案】1本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是中档题．把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由(1+i)z=2，得z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i，∴z的实部为1．故答案为：1．18.【答案】21【解析】解：z=(5+2i)2=25+20i+4i2=25−4+20i=21+20i，故z的实部为21，故答案为：21根据复数的有关概念，即可得到结论．本题主要考查复数的有关概念，利用复数的基本运算是解决本题的关键，比较基础．19.【答案】83利用实部等于0，虚部不为0，求出a 即可．本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，是基础题．【解答】解：z 1z 2=a+2i 3−4i =(a+2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3a−8+(4a+6)i 25，它是纯虚数，所以3a −8=0，且4a +6≠0，解得a =83，故答案为：83． 20.【答案】−1本题考查的知识点是复数的运算及其几何意义，属基础题．可由(1+i)(a +i)=a −1+(a +1)i ，则a +1=0，解得答案．【解答】解：因为(1+i)(a +i)=a −1+(a +1)i ，若复数(1+i)(a +i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a +1=0，解得a =−1．故答案为−1．21.【答案】√3本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．设z =a +bi(a,b ∈R)，代入z 2=−3，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案．【解答】解：由z +3z =0，得z 2=−3，设z =a +bi(a,b ∈R)，由z 2=−3，得(a +bi)2=a 2−b 2+2abi =−3，即{a 2−b 2=−32ab =0，解得：{a =0b =±√3． ∴z =±√3i ．则|z|=√3．故答案为：√3．⇒{x =−12(x −1)(x −2)≠0⇒{x =−12x ≠1且x ≠2⇒x =−12所以实数x 的取值范围是{x|x =−12}；(2)依题意得{x 2−3x +2=0x 2+x −6=0⇒{(x −1)(x −2)=0(x +3)(x −2)=0⇒{x =1或x =2x =−3或x =2 所以x =2，检验：当x =2时，z 1=2×2+1=5,z 2=22−2=2，满足z 1>z 2符合题意． 所以实数x 的取值范围是{x|x =2}．【解析】本题考查复数的基本概念，是基础题．(1)利用复数的实部为0且虚部不为0，列出方程求解即可．(2)利用复数z 1，z 2是实数，虚部都为0求出x 的值，然后判断即可．23.【答案】解：(1)复数z 是纯虚数，则由{a 2−2a =0a 2−3a +2≠0，得{a =0或a =2a ≠1且a ≠2，即a =0．(2)若复数z 是实数，则a 2−3a +2=0，得a =1或a =2．(3)在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限，则{a 2−2a >0a 2−3a +2>0， 即{a >2或a <0a <1或a >2，解得a <0或a >2．【解析】(1)复数为纯虚数，则实部为0，虚部不等于0．(2)复数为实数，则虚部等于0．(3)若复平面内对应的点位于第一象限，则实部大于0，虚部大于0．本题主要考查复数的有关概念，建立条件关系是解决本题的关键，比较基础． 24.【答案】解：(1)因为z =bi(b ∈R)，所以z−21+i =bi−21+i =(bi−2)(1−i)(1+i)(1−i)=(b−2)+(b+2)i 2=b−22+b+22i. 又因为z−21+i 是实数，所以b+22=0，所以b =−2，即z =−2i ．(2)因为z =−2i ，m ∈R ，所以(m +z)2=(m −2i)2=m 2−4mi +4i 2=(m 2−4)−4mi ， 又因为复数(m +z)2所表示的点在第一象限，所以{m 2−4>0,−4m >0,解得m <−2， 即m ∈(−∞,−2)．。

完整版)高中数学复数练习题

完整版)高中数学复数练习题

完整版)高中数学复数练习题高中数学《复数》练题一、基本知识：复数的基本概念1.形如a+bi的数叫做复数（其中a，b∈R）；复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=－1.其中a叫做复数的实部，b叫做虚部。

2.实数：当b=0时复数a+bi为实数；虚数：当b≠0时的复数a+bi为虚数；纯虚数：当a=0且b≠0时的复数a+bi为纯虚数。

3.两个复数相等的定义：a+bi=c+di⟺a=c且b=d（其中，a，b，c，d，∈R）。

特别地a+bi=0⟺a=b=0.4.共轭复数：z=a+bi的共轭记作z=a-bi；5.复平面：z=a+bi，对应点坐标为p(a,b)；（象限的复）6.复数的模：对于复数z=a+bi，把z²=a²+b²叫做复数z的模；二、复数的基本运算：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i1.加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；2.减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i；3.乘法：z1·z2=(a1a2-b1b2)+(a2b1+a1b2)i。

特别z·z=a²+b²。

4.幂运算：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，i⁵=i，i⁶=-1……以此类推。

三、复数的化简把c+di（a,b是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：z=(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i/(c²+d²)四、例题分析例1】已知z=a+1+(b-4)i，求1) 当a,b为何值时z为实数2) 当a,b为何值时z为纯虚数3) 当a,b为何值时z为虚数4) 当a,b满足什么条件时z对应的点在复平面内的第二象限。

变式1】若复数z=(x²-1)+(x-1)i为纯虚数，则实数x的值为A。

-1 B。

1 C。

0 D。

-1或1例2】已知z1=3+4i，z2=(a-3)+(b-4)i，求当a,b为何值时z1=z2例3】已知z=1-i，求z，z·z；变式1】复数z满足z=(2-i)/(1-i)，则求z的共轭z变式2】已知复数z=3+i，则z·z=？例4】已知z1=2-i，z2=-3+2i1) 求z1+z22) 求z1·z22.已知复数 $z$ 满足 $(z-2)i=1+i$，求 $|z|$。

上海兰生复旦必修第二册第二单元《复数》测试(答案解析)

上海兰生复旦必修第二册第二单元《复数》测试(答案解析)

一、选择题1．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6 2．复数()211i z i+=-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的( ) A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．122i --B ．12-+C ．12+D ．122- 5．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．12 D ．-16．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i -- 7．已知z 是纯虚数，21z i ＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i8．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,8 9．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝A ．B ．2C ．4 D10．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．3 11．已知复数21ai z i +=-是纯虚数，则实数a 等于（ ）A B ．2 C D12．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ） A ．3- B ．3 C ．3i - D ．3i二、填空题13．复平面上点,()Z a b 对应着复数Z a bi =+以及向量(,)OZ a b =，对于复数123,,z z z ，下列命题都成立；①1221z z z z +=+；②1212z z z z +≤+；③2211z z =；④1212z z z z ⋅=⋅；⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零向量123OZ OZ OZ ，，仍然成立的命题的所有序号是___________. 14．i 是虚数单位，若84i z z +=+，则z =___________. 15．已知1i z z -=-+，则复数z =______.16．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.17．化简：202020191z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________. 18．若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．19．661i ⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭_______________. 20．已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．三、解答题21．已知复数(,)z a bi a b =+∈R ，且2(1)430a i a b i --++=． （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若m z z+是实数，求实数m 的值． 22．（1）求复数2320191i i i i z i++++=+的值. （2）复数()213105z a i a =+-+，()22251z a i a =+--，若12z z +是在复平面内对应的点在第三象限，求实数a 的取值范围. 23．i 为虚数单位，(,)z a bi a b R =+∈是虚数， 1z zω=+是实数，且12ω-<<，11z u z-=+. （1）求||z 及a 的取值范围； （2）求2u ω-的最小值.24．（1）已知()232z z z i i ++=-，求复数z ；（2）已知复数z 满足2z z-为纯虚数，且1z i -=，求复数z ． 25．设12cos ,1sin z x i z i x =+=+（x 为实数且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，i 是虚数单位），求函数()212f x z z =-的值域.26．已知复数1sin 2i z x λ=+，2()i z m m x =+（,,m x λ∈R ），且12z z =. （1）若0λ=且0πx <<，求x 的值；（2）设()f x λ=；①求()f x 的最小正周期和单调递减区间；②已知当x α=时，12λ=，试求cos(4)3πα+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值.【详解】 由()()()()11711768341112i i i i z i i i i -+--++====+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由222||11z x y =⇒+=，()()2134z z x y i -=-+-=2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离，()3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1，所以21max 516z z -=+=.故选：D【点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.2．C解析：C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应的点的坐标得答案．【详解】 ()()()()212121,1,1111i i i i z i z i ii i i +⋅+====-+∴=-----⋅+ 即z 的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限 .故选C.【点睛】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．A解析：A【解析】分析：先化简“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断. 详解：因为复数()()211z x x i =-++为纯虚数， 所以210, 1.10x x x ⎧-=∴=⎨+≠⎩因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件. 故答案为A.点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b ≠0漏掉了. 4．C解析：C【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得12z z +=+，从而求得结果.详解：根据122z =--，可得12z =-+，且1z ==，所以有1112222z z +=-++=+，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.5．C【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 6．B解析：B【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一. 7．D解析：D【分析】 根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)，则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]． ∵∈R ， ∴2＋b ＝0，解得b ＝－2，∴z ＝－2i.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8．A解析：A【分析】利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.【详解】()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，因此，4z i -的取值范围是[]28,.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.9．A解析：A【解析】【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可.【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y =⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．A解析：A【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A. 11．B解析：B【分析】 化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a +≠，即可求解.【详解】 由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a a z i i i i +++-+===+--+，因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a +≠，解得2a =， 所以实数a 等于2.故选：B.【点睛】 本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+，又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3.故选：B.二、填空题13．①②③【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定；③由判定；④结合复平面中向量数量积判定；⑤结合复平面中向量数量积判定【详解】解：①成立满足加法的交换律故①正确；②在复平解析：①②③【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定；③由221111z z z z ==判定；④结合复平面中向量数量积判定；⑤结合复平面中向量数量积判定.【详解】解：①1221z z z z +=+成立，满足加法的交换律，故①正确；②在复平面内，根据复数模长的几何意义知， 1212z z z z +，，分别对应三角形的三边，则1212z z z z +<+，若120,z z =或或12,z z 对应的向量方向相同时，有1212z z z z +=+， 综上，1212z z z z +≤+，故②正确；③221111z z z z ==成立，故③正确； ④121212cos z z z z z z θ⋅=⋅≤⋅，故④不成立，⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =， 121213132323cos ,cos ,cos cos ,z z z z z z z z z z z z αβαβ===不一定等于，故⑤不成立.故答案为：①②③【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复a bi +与复平面上的点(,)a b 一一对应.14．【分析】先设复数再求得最后利用复数相等即可求得【详解】解：设复数则所以所以根据复数相等得：解得所以故答案为：【点睛】本题考查复数的相等概念共轭复数复数的模等是基础题解析：34i +【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，再求得z =. 【详解】解：设复数(),,z a bi a b R =+∈，则z a bi =-=所以84z a bi i z =+=++，所以根据复数相等得：84a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩， 所以34z i =+，故答案为：34i +【点睛】本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.15．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解 解析：i -【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z = 因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-. 故答案为：i -【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题解析：1122i + 【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数.【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +，由复数乘法的几何意义得：11(1)cos sin 3322z i i ππ+⎛⎫=+⋅+=+ ⎪⎝⎭，.. 【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.17．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等 解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案.【详解】2019201633i i i i i =⋅==-，()1010202010102101010082222i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --.故答案为：1i --.【点睛】 本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等. 18．0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解【详解】是关于的实系数方程的一个根是关于的实系数方程的另一个根则即故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算 解析：0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i -是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题. 19．【分析】由于次数比较高先利用的周期性将其次数降低再进行四则运算【详解】故答案为：【点睛】本主要考查了有关的幂的运算和复数的四则运算还考查了转化问题运算求解的能力属于基础题解析：2i【分析】由于次数比较高，先利用()*n in ∈N 的周期性，将其次数降低，再进行四则运算. 【详解】661i ⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭33233121⎡⎤+⎛⎫⎢⎥=+=+= ⎪ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦i i i i i i i . 故答案为：2i【点睛】本主要考查了有关i 的幂的运算和复数的四则运算，还考查了转化问题，运算求解的能力，属于基础题.20．4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|求出|z+3+4i|的最小值即可方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1∴|z+3解析：4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a |﹣|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，求出|z +3+4i |的最小值即可．方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆．则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d ==5，∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4，故答案为4．【点睛】本题考查了不等式的应用问题，也考查了复数的几何意义及运算问题，属基础题．三、解答题21．（Ⅰ）33z i =-（Ⅱ）18m =【分析】（Ⅰ）根据复数相等列方程组，解得,a b （Ⅱ）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数m 的值．【详解】解： （Ⅰ）由题意240{30a ab a ++=-+=，解之得3,3a b ==-． 所以33z i =-为所求（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()133333333666m i m m m m z i i i z i +⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ m z z +是实数，306m ∴-=，即18m =为所求． 【点睛】 本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题22．（1）1122z i =-+；（2）()1,3 【分析】 （1）根据4142434,1,,1n n n n ii i i i i +++==-=-=得414243442340,n n n n i i i i i i i i n N +++++++=+++=∈，进而得2311122i i i z i i ++==-++； （2）由题得()()()2121321551a z z a a i a a -+=++-+-，再结合题意，根据复数的几何意义得()()2130512150a a a a a -⎧<⎪+-⎨⎪+-<⎩，解不等式组即可得答案. 【详解】解：（1）由于4142434,1,,1n n n n ii i i i i +++==-=-=， 所以414243442340,n n n n i i i i i i i i n N +++++++=+++=∈，而201945043=⨯+， 所以()232019231111111222i i i i i i i i z i i i i --++++++-=====-++++； （2）()()()()22123232102510255151z z a i a i a a i a a a a ⎛⎫⎡⎤+=+-++-=++-+- ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭()()()21321551a a a i a a -=++-+-， 因为12z z +在复平面内对应的点在第三象限，所以()()2130512150a a a a a -⎧<⎪+-⎨⎪+-<⎩，解不等式组得：13a <<. 故实数a 的取值范围是()1,3【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，考查运算能力，是中档题.23．（1）||1z =；112a -<<；（2）1. 【分析】（1）化简ω得到22221()a b z a b i z a b a bω=+=++-++，利用ω是实数，得到220b b a b-=+，解得0b ≠，得到221a b +=，从而求得||1z =，进而求得12z a z ω=+=，根据12ω-<<，得到112a -<<； （2）各年级题意可知2121a u a a ω--=++，进一步转化，利用基本不等式求得其最值. 【详解】（1）22221()a b z a b i z a b a b ω=+=++-++，因为ω是实数， 所以220b b a b-=+，又0b ≠，所以221a b +=，所以||1z = 因为12z a z ω=+=，且12ω-<<，所以112a -<<. （2）由题意知111a bi bi u a bi a ---==+++， 所以2222211222(1)(1)1b a a u a a a a a a ω---=+=+=++++ 12(1)311a a =++-≥+，当且仅当0a =时，等号成立， 所以2u ω-的最小值为1.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的分类，复数的乘法除法运算，基本不等式求最值，属于简单题目.24．（1）1-±；（2）2z i =或1z i =-+或1z i =+.【分析】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据复数的运算法则和复数相等得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z ；（2）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据2z z-为纯虚数和1z i -=列出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，可得出复数z .【详解】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，由()232z z z i i ++=-，得()22232a b ai i ++=-，根据复数相等得22322a b a ⎧+=⎨=-⎩，解得1a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩1z =-； （2）设复数(),z a bi a b R =+∈，则()()()222222222a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=-++ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭， 由题意可得2220a a a b -=+，2220b b a b +≠+. ()11z i a b i -=+-=1=，所以有()()()2222222222202011a a b a b b a b a b a b ⎧+-⎪=+⎪⎪++⎪≠⎨+⎪⎪+-=⎪⎪⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩或11a b =±⎧⎨=⎩. 因此，2z i =或1z i =-+或1z i =+.【点睛】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.25．3⎡⎤-⎣⎦【分析】求出()fx 的解析式后利用辅助角公式化简得到()34f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，由x 的范围结合正弦函数的性质可得()f x 的值域.【详解】 ()()()()22212cos 11sin 32cos sin f x z z x x x x =-=-+-=-+ 34x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦sin 14x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的值域为3⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查复数的模的计算以及三角函数的值域的求法，此类问题属于中档题.26．（1）6π，23π；（2）①周期T π=，单调减区间511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z ；②78- 【分析】根据复数相等的概念列方程，求得关于,,sin 2,cos 2m x x λ的关系式.（1）将0λ=代入上述求得的关系式，由此解出x 的值.（2）由上述求得的关系式，求得()f x λ=的表达式.①利用辅助角公式和三角函数最小正周期和的单调减区间的求法，求得()f x 的最小正周期和单调递减区间.②利用二倍角公式和诱导公式，求得cos(4)3πα+的值.【详解】 由于12z z =，所以sin 22x m m xλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故sin 22x x λ=. （1）当0λ=时，sin 220x x -=，则tan 2x =0πx <<所以022πx <<，所以π23x =或4π23x =，所以π6x =或2π3x =. （2）由于sin 22x x λ=，故()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭. ①函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.由ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，解得5π11πππ1212k x k +≤≤+，所以函数()f x 的单调递减区间为511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z . ②依题意π1sin 222sin 232x αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 234α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以ππcos 4cos 2236αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππ2cos 212sin 2163αα⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1721168=⨯-=-. 【点睛】本小题主要考查复数相等的概念，考查辅助角公式，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查二倍角公式和诱导公式，考查运算求解能力，属于中档题.。

高中数学复数练习题附答案

高中数学复数练习题附答案

高中数学复数练习题附答案一、单选题1．复数20222i 1iz =+（其中i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数13i z a =-，22i z =+（i 为虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数=a （ ） A ．32- B ．32C ．6-D ．63．设复数21iz =-+，则z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．（1，1） B ．（-1，1） C ．（1，-1） D ．（-1，-1）4．已知复数113i z =+的实部与复数21i z a =--的虚部相等，则实数a 等于（ ） A ．-3 B ．3 C ．-1D ．15．在复平面内，复数z 满足()()1i 1i ,z a b a b R +=++∈，且z 所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则2+a b 的最小值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 6．设||(12i)34i z -=+，则z 的共轭复数对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．如图，在复平面内，复数z 对应的点为P ，则复数i=z ⋅（ ）A ．2i -B ．12i -C ．1+2i -D ．2i --8．已知复数z 满足i 232i z z +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知复数2ii+=a z （a R ∈，i 是虚数单位）的虚部是3-，则复数z 对应的点在复平面的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．若复数z 满足()13i 17i -=-z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知z 1，z 2∈C ，|z 1＋z 2|＝|z 1|＝2，|z 2|＝2，则|z 1－z 2|等于（ ） A ．1 B ．12 C．2D ．12．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12-B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-13．复数2i z =-（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．2 B ．1C ．iD ．1-14．若复数z 满足()12i 10z -=，则（ ）A ．24i z =+B ．2z +是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α=15．若复数2(1i)-的实部为a ，虚部为b ，则a b +=（ ） A ．3-B ．2-C ．2D ．316．已知34i z =+，则()i z z -=（ ） A ．1117i +B ．1917i +C ．1117i -D ．1923i +17．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数22z z+=（ ） A ．1i - B ．1i + C ．2i + D ．2i - 18．复数z 在复平面内对应点的坐标为（－2，4），则1z +=（ ）A ．3B ．4CD 19．已知复数z 满足(2i)43i z +=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i20．若复数()()2i ,z a b a b =+-∈R ，在复平面内对应的点在直线20x y --=上，则a b -=（ ）A ．4-B ．0C ．2D ．4二、填空题21．若复数(1i)+(2+3i)z =-（i 为虚数单位），则z =__________.22．设复数i 12z =+（i 是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为________.23．已知复数z 满足()1i 42i z -=+，则z =_________（用代数式表示）.24．已知i是虚数单位，则202220221i 1i ⎛+⎛⎫+= ⎪ -⎝⎭⎝⎭________.25．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离，在复数平面内，复数02i1ia z +=+ (i 是虚数单位，)a R ∈是纯虚数，其对应的点为0Z ，Z 为曲线1z =上的动点，则0Z 与Z 之间的最小距离为________________.26．若i 为虚数单位，复数3i z =+，则表示复数1iz+的点在第_______象限. 27．若复数z 满足i 2022i z ⋅=-（i 是虚数单位），则z 的虚部是___________. 28．若复数z 满足i 3i=iz -+，则z =________. 29．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(21)A ，和(01)B ，，则12zz=_______. 30．若复数()2(2)9i()z m m m R =++-∈是正实数，则实数m 的值为________．31．已知i 是虚数单位，复数z 满足322i z =+，则z =___________. 32．已知复数()3iR ib z b -=∈的实部和虚部相等，则z =___________． 33．已知复数z =，则复数z 的虚部为__________. 34．甲､乙､丙､丁四人对复数z 的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z z +=；乙：2z z -=；丙：26;:4z z z z z ⋅==丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则z =___________. 35．复数1515cos77isin ππ+的辐角主值是________． 36．下列命题：①若a R ∈，则()1i a +是纯虚数；②若()()()22132i x x x x R -+++∈是纯虚数，则1x =±；③两个虚数不能比较大小． 其中正确命题的序号是________． 37．若i 是虚数单位，则复数310i3i =-________．（写成最简结果） 38．设i 是虚数单位，复数z =，则z =___________. 39．设i 为虚数单位，则复数2(1i)1i+-=____．40．已知复数ππsin i cos 33z =+，则z =________． 三、解答题41．设实部为正数的复数z ，满足z =(12i)z +在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上. (1)求复数z ； (2)若i()1im z m R ⋅+∈+为纯虚数，求实数m 的值.42．已知复数z1i ，z 2＝12-+ (1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设C z ∈，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 43．已知复数22(6)(215)i z m m m m =--++-（i 是虚数单位）. (1)若复数z 是实数，求实数m 的值； (2)若复数z 是纯虚数，求实数m 的值. 44．根据要求完成下列问题：(1)关于x 的方程2(2i)i 10x a x a +--+=有实根，求实数a 的取值范围； (2)若复数22(2)(23)i z m m m m =+-+--（R m ∈）的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．45．（1）已知设方程α，β是方程220x x a ++=的两根，其中a R ∈，则||||αβ+的值；（2）关于x 的方程243i 0x ax +++=有实根，其中a C ∈，求||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根．【参考答案】一、单选题1．B 2．A 3．D 4．C 5．B 6．D 7．D 8．A 9．D 10．D 11．D 12．C 13．D 14．D 15．B 16．B 17．A 18．C 19．B 20．B 二、填空题2122．()34-，23．13i +##3i+1 2425．1 26．四 27．2022-2829．12i -##2i+1- 30．3 3132．33．34．2 35．7π36．③ 37．13i +##3i 1+38．39．1i -+ 40．1 三、解答题41．(1)3i z =-； (2)6m =-. 【解析】 【分析】（1）根据复数的模公式，结合复数乘法的运算法则、第一、三象限的角平分线的性质进行求解即可；（2）根据纯虚数的定义，结合共轭复数的定义、复数除法的运算法则进行求解即可. (1)设i(0,),10,(12i)2(2)i z a b a b R z z a b b a =+>∈∴=+=-++，由题意得，22223,101a b b a a a b b -=+=⎧⎧∴⎨⎨+==-⎩⎩，即3i z =-； (2)i i 3i 3(1)i 1i 222m m m m mz ⋅++=++=++++为纯虚数， 30,62mm ∴+=∴=-. 42．(1)12122,1,z z z z ==>(2)以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周） 【解析】 【分析】（1）根据复数模的计算公式可求得1||z ，2||z 的值；（2）根据复数几何意义可解决此问题． (1)解：（1）13i z =+，212z =-，1||2z ∴，2||1z =， ∴12z z >； (2)解：由21||||||z z z ≤≤，得1||2z ≤≤，根据复数几何意义可知复数z 对应的点到原点的距离， 所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合， |z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，所以复数z 对应的点Z 的轨迹是以原点O 为圆心，以1和2为半径的圆之间的部分（包括两边界）． 43．(1)5-或3 (2)2- 【解析】 【分析】（1）根据复数是实数得到虚部为零即可求解；（2）根据复数为纯虚数得到实部为零且虚部不为零即可求解. (1)由22(6)(215)i z m m m m =--++-是实数，得22150m m +-=，即()()530m m +-=，解得5m =-或3m =，所以实数m 的值为5-或3. (2)由22(6)(215)i z m m m m =--++-是纯虚数，得22602150m m m m --=+-≠⎧⎨⎩，解得2353m m m m =-=≠⎩-≠⎧⎨或且，即2m =-， 所以实数m 的值为2-. 44．(1)1a =±(2)312（，）【解析】 【分析】（1）设方程的根为0x ，并代入方程中，根据复数相等得到方程组，解得答案；（2）写出22(2)(23)i z m m m m =+-+--的共轭复数，根据z 对应的点在第一象限，列出不等式组，解得答案. (1)设0x 是其实根，代入原方程变形为200021()i 0x ax a x ++-+=，由复数相等的定义，得20002100x ax a x ⎧++=⎨+=⎩，解得1a =±；(2)由题意得22(2)(23)i z m m m m =+----，∴2220(23)0m m m m ⎧+->⎨--->⎩，即2220230m m m m ⎧+->⎨--<⎩，解得312m <<， 故实数m 的集合为3(1,)2.45．（1）()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩；（2）min ||a =3i)+或3i)+．【解析】 【分析】（1）求出判别式4(1)a ∆=-，对a 分类讨论：当01a 时，当0a <时，当1a >时三种情况，分别求出||||αβ+；（2）设0x 为方程的实根，代入原方程，表示出a ，利用基本不等式求出||a 的最小值，并求取得最小值时方程的根． 【详解】（1）判别式444(1)a a ∆=-=-， ①若0∆，即1a ，则α，β是实根，则2αβ+=-，a αβ=，则2222(||||)2||()22||422||a a αβαβαβαβαβαβ+=++=+-+=-+，故||||αβ+，当01a 时，||||2αβ+=， 当0a <时，||||αβ+=②若∆<0，即1a >，则α，β是虚根，1α=-，1β=-，故||||αβ+==综上：()()()0201a a a a αβ⎧<⎪+=≤≤⎨⎪>⎩.（2）设0x 为方程的实根，则20043i 0x ax +++=， 所以00043i a x x x =---，则20020004325||2()2()2818a x x x x x =++=++， 当202025x x =即0x =||min a =当0x =3i)+，当0x =3i)+．。

高中数学第七章复数考点专题训练(带答案)

高中数学第七章复数考点专题训练(带答案)

高中数学第七章复数考点专题训练单选题1、若复数z =21+i ，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A ．1+iB ．1−iC ．−1+iD ．−1−i答案：B分析：复数的除法运算，分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即可.z =21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i 故选：B.2、设i 为虚数单位，a ∈R ，“复数z =a 22−i 20201−i 不是纯虚数“是“a ≠1”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A分析：先化简z ，求出a ，再判断即可.z =a 22−i 20201−i =a 22−11−i =a 22−1+i (1−i )(1+i )=a 22−12−12i ， z 不是纯虚数，则a 22−12≠0，所以a 2≠1，即a ≠±1，所以a ≠±1是a ≠1的充分而不必要条件.故选：A .小提示：本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.3、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，11z(a,b∈R)，分别计算|z12|、|z1|2即可判断选项D，进而可得正确选项.对于选项A：取z1=2+i，z2=2−i，z12=(2+i)2=3+2i，z22=(2−i)2=3−2i，满足z12+z22=6>0，但z12与z22是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确；对于选项B：取z1=2+i，z2=2−i，|z1−z2|=|2i|=2，而√(z1+z2)2−4z1⋅z2=√42−4(2+i)(2−i)=√16−20无意义，故选项B不正确；对于选项C：取，z2=i，则z12+z22=0，但是z1≠0，z2≠0，故选项C不正确；对于选项D：设z1=a+bi，(a,b∈R)，则z12=(a+bi)2=a2−b2+2abi|z12|=√(a2−b2)2+4a2b2=√(a2+b2)2=a2+b2，z1=a−bi，|z1|=√a2+b2，所以|z1|2=a2+b2，所以|z12|=|z1|2，故选项D正确.故选：D.4、已知i为虚数单位，则i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=（）A．i B．−i C．1D．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0，得到i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=i2021，即可求解.根据虚数的性质知i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=1+i−1−i=0，所以i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2021=505×0+i2021=i.故选：A.5、已知复数z=1+i，z是z的共轭复数，若z·a=2+bi，其中a，b均为实数，则b的值为（）A．-2B．-1C．1D．2答案：A分析：根据共轭复数的定义，结合复数的运算性质和复数相等的性质进行求解即可.因为z=1+i，所以z=1−i，因此z=2+bia =2a+bai=1−i，所以2a =1且ba=−1,则a=2,b=−2.11z故选：A6、在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,−2)，则zi的共轭复数为（）A．1−2i B．1+2i C．2+i D．2−i答案：D分析：依题意根据复数的几何意义得到z=1−2i，再根据复数代数形式的乘法运算及共轭复数的概念计算可得.解：由题知，z=1−2i，则zi=(1−2i)i=2+i，所以zi=2−i，故选：D．7、若i(1−z)=1，则z+z=（）A．−2B．−1C．1D．2答案：D分析：利用复数的除法可求z，从而可求z+z.由题设有1−z=1i =ii2=−i，故z=1+i，故z+z=(1+i)+(1−i)=2，故选：D8、若z=1+i．则|iz+3z|=（）A．4√5B．4√2C．2√5D．2√2答案：D分析：根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．因为z=1+i，所以iz+3z=i(1+i)+3(1−i)=2−2i，所以|iz+3z|=√4+4=2√2．故选：D.多选题9、已知复数z满足(1+i3)z=2，则下列说法中正确的有（）A．z的虚部是iB．|z|=√2C．z⋅z=2D．z2=2答案：BC分析：根据复数的除法运算求出z，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i，其虚部为1，|z|=√2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，z2=(1+i)2=2i≠2．故选：BC.10、欧拉公式e xi=cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数之间的关系，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A．复数e2i对应的点位于第三象限B．eπ2i为纯虚数C．复数xi√3+i 的模等于12D．eπ6i的共轭复数为12−√32i答案：BC分析：根据欧拉公式写出e2i=cos2+isin2、eπ2i=cosπ2+isinπ2、eπ6i=cosπ6+isinπ6，再判断复数所在象限、类型及求模长、共轭复数.由题知e2i=cos2+isin2，而cos2<0，sin2>0，则复数e2i对应的点位于第二象限，故A错误；eπ2i=cosπ2+isinπ2=i，则eπ2i为纯虚数，故B正确；xi √3+i =√3+i=√3−i)(√3+i)(√3−i)=√3cosx+sinx4+√3sinx−cosx4i，则xi√3+i的模为√(√3cosx+sinx4)2+(√3sinx−cosx4)2=√3cos2x+sin2x+3sin2x+cos2x16=12，故C正确；eπ6i=cosπ6+isinπ6=√32+12i，其共轭复数为√32−12i，故D错误．故选：BC11、设复数z1，z2满足z1+z2=0，则（）A．z1=z2B．|z1|=|z2|C．若z1(2−i)=3+i，则z1z2=−2i D．若|z1−(1+√3i)|=1，则1≤|z2|≤3答案：BCD分析：由待定系数法先假设z1=a+bi，则z2=−a−bi，根据共轭复数的概念判断A选项，根据模长的公式判断B选项，根据复数的运算法则判断C选项，根据复数的几何意义判断D选项.设复数z1=a+bi，由z1+z2=0，所以z2=−a−bi，因此：z1=a−bi≠z2，故A选项错误；因为|z1|=√a2+b2,|z2|=√(−a)2+(−b)2=√a2+b2，所以B选项正确；因为z1(2−i)=3+i，所以z1=3+i2−i=1+i，则z2=−1−i所以z1z2=(1+i)(−1−i)=−2i，所以C选项正确；因为|z1−(1+√3i)|=1，根据复数的几何意义可知，复数z1=a+bi所表示的点(a,b)的轨迹是以(1,√3)为圆心，1为半径的圆，则由对称性可知，复数z2=−a−bi所表示的点(−a,−b)的轨迹是以(−1,−√3)为圆心，1为半径的圆，由|z2|的几何意义表示点(−a,−b)与(0,0)间的距离，由图可知：1≤|z2|≤3，故D选项正确；故选：BCD.小提示：本题主要考查了复数的几何意义以及复数的乘除运算，在求解过程中始终利用i2=−1对式子进行化简，而复数的几何意义有两个，一个是点对应，一个是向量对应，在解题中要清楚.12、对任意复数z=a+bi(a,b∈R),i为虚数单位，则下列结论中正确的是（）A．z−z=2a B．|z|=|z|C．z+z=2a D．z+z=2bi答案：BC分析：写出共轭复数，然后计算判断各选项．由已知z=a−bi，因此z−z=2bi，z+z=2a，|z|=√a2+b2=|z|．故选：BC．13、欧拉公式e xi=cosx+isinx(其中i为虚数单位，x∈R)，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项能确的是（）A．复数e2i对应的点位于第三象限B．eπi2为纯虚数C．eπi3的共轭复数为12−√32i；D．复数xi√3+i的模长等于12答案：BCD分析：对于A，e2i=cos2+isin2，根据2∈(π2，π)，即可判断出；对于BCD，根据欧拉公式e xi=cosx+ isinx逐项计算，然后判断正误即可．解：对于A，由于e2i=cos2+isin2，∵2∈(π2，π)，∴cos2∈(−1,0)，sin2∈(0,1)，∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限，故A错误；对于B，e π2i=cosπ2+isinπ2=i，可得eπ2i为纯虚数，故B正确；对于C，e π3i=cosπ3+isinπ3=12+√32i，∴eπ3i的共轭复数为12−√32i，故C正确．对于D，xi√3+i =√3+i=√3−i)(√3+i)(√3−i)=√3cosx+sinx4+√3sinx−cosx4i，可得其模的长为√(√3cosx+sinx4)2+(√3sinx−cosx4)2=√3cos2x+2√3sinxcosx+sin2x16+3sin2x−2√3sinxcosx+cos2x16=12，故D正确；故选：BCD．填空题14、已知复数z＝√3+i(1−√3i)2，则z·z＝________.答案：14分析：化简z,计算z·z即可.z＝√3+i(1−√3i)2＝√3i2(1−√3i)2＝√3i)(1−√3i)2＝1−√3i＝√3i)(1−√3i)(1+√3i)＝−√34+i4z=−√34−i4z⋅z=316+116=14所以答案是：1415、若非零复数x,y满足x2+xy+y2=0，则(xx+y )2020+(yx+y)2020的值是___________.答案：−1分析：由题设有xy =−1±√3i2、xy+1=−(xy)2易得(xy)3n=1，同理(yx)3n=1，n∈N∗，而xx+y=−yx，yx+y=−xy，由此可知(xx+y )2020+(yx+y)2020=yx+xy，即可求值.由题设有：(xy )2+xy+1=0，解得xy=−1±√3i2，且xy+1=−(xy)2，∴(xy )3=1，即(xy)3n=1，同理有(yx)3n=1，n∈N∗，x x+y =x(x+y)(x+y)2=x2+xyx2+2xy+y2，yx+y=y(x+y)(x+y)2=y2+xyx2+2xy+y2，又x2+xy+y2=0，∴xx+y =−y2xy=−yx，yx+y=−x2xy=−xy，∴(xx+y )2020+(yx+y)2020=(yx)2020+(xy)2020=(yx)3×673+1+(xy)3×673+1=yx+xy=−1，所以答案是：−1.16、若复数z1=sinπ3−icosπ6，z2=2+3i，则|z1|________|z2|（填“>”“<”或“=”）．答案：<分析：由复数模的计算公式，分别计算出|z1|和|z2|，即可比较大小.|z1|=√sin2π3+cos2π6=√34+34=√62，|z2|=√22+32=√13．因为√62=√32<√13，所以|z1|<|z2|.所以答案是：<解答题17、已知复数z1＝4－m2＋（m－2）i，z2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i（其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R）.(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.答案：(1)-2；(2)[2，6]分析：（1）z 1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z 1＝z 2，实部、虚部分别相等，求得λ关于θ的函数表达式，根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数，则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3=(sinθ−1)2+2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6].18、已知m ∈R ，α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m 的值；（2）用m 表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析：（1）由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．可得α+β=−2，αβ=m ，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m 及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．∴α+β=−2，αβ=m ，若α，β为实数，即Δ=4−4m ≥0，解得m ≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ，解得m =−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m<0，解得m>1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m−4i|，解得m=3．综上可得：m=−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。

上海所在城市必修第二册第二单元《复数》检测(有答案解析)

上海所在城市必修第二册第二单元《复数》检测(有答案解析)

一、选择题1．12i 12i+=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55-- D ．34i 55-+ 2．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．33．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数 4．能使得复数()32z a aia R =-+∈位于第三象限的是（ ） A ．212a i -+为纯虚数B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a > 5．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB =（ ）A B C ．2 D ．47．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 8．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i -- 9．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A B ．12CD ．2 11．已知复数z 满足()211i i z +=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．1i --12．已知复数21ai z i +=-是纯虚数，则实数a 等于（ ）A B ．2 C D二、填空题13．i 是虚数单位，若84i z z +=+，则z =___________.14．计算：8811i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭______________. 15．已知复数z 满足|z 2-2i||z|+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标（x ，y ）的轨迹方程为__________.16．已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．17．设b R ∈，i 是虚数单位，已知集合{}|2A z z i =-≤，{}11|1,B z z z bi z A ==++∈，若A B ⋂≠∅，则b 的取值范围是________． 18．复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为________.19．关于x 的不等式mx 2-nx+p>0(m ,n ,p ∈R)的解集为(-1,2),则复数m+p i 所对应的点位于复平面内的第____象限.20．若复数z 满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________三、解答题21．计算下列各式：（1）32322323i i i i+-+-+；（2）()3111i i i i +++-； 22．已知1z i =+，i 为虚数单位.（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az b i z z ++=--+，求实数a ，b 的值. 23．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 24．已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的两根为1x 、2x . （1）若134x i =+，求p 的值；（2）若121x x -=，求实数p 的值.25．复数()()()2152615z i m i m i =++-+-．（1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．26．若z C ∈，i 为虚数单位，且|22|1z i +-=，求|22|z i --的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：212(12)341255i i i i ++-+==∴-选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2．B解析：B【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题． 3．C解析：C【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】 ()2222110t t t ++=++>，z ∴不可能为实数，所以D 错误；z ∴对应的点在实轴的上方，又z 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.4．A解析：A【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a aia R =-+∈是第三象限的点.【详解】 322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足200a a -<⎧⎨-<⎩ ，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件.故选：A【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.5．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.6．C解析：C【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案．【详解】因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ，所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =，所以(0,2)AB OB OA =-=，则22022AB AB ==+=，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题． 7．B解析：B【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论.【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++，即()()222211x y x y -+=++，解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上.故选B.【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题. 8．B解析：B【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.9．C解析：C【解析】【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．A解析：A【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝，2z ∴=＝故选A ． 11．B解析：B【解析】因为()211i i z+=-，所以22(1)112i i z i i i ==+=-- ，选B. 12．B解析：B【分析】 化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a +≠，即可求解.【详解】 由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a a z i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a +≠，解得2a =，所以实数a 等于2.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】先设复数再求得最后利用复数相等即可求得【详解】解：设复数则所以所以根据复数相等得：解得所以故答案为：【点睛】本题考查复数的相等概念共轭复数复数的模等是基础题解析：34i +【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，再求得z =. 【详解】解：设复数(),,z a bi a b R =+∈，则z a bi =-=所以84z a bi i z =+=++，所以根据复数相等得：84a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩， 所以34z i =+，故答案为：34i +【点睛】本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.14．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为：解析：0【分析】 先利用复数的运算法则将11i i -+和2化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及8的值，然后得出8811i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值． 【详解】()()()()8422848811111011i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦． 故答案为：0．15．【分析】设复数根据模的计算公式得到化简即可求解【详解】设复数则所以整理得即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的运算以及复数的表示及应用其中解答中熟记复数的模 解析：20x y -+=【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈=简即可求解.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则z =22(2)(2)z i x y i +-=++-==20x y -+=，即z 在复平面内对应的点的坐标(,)x y 的轨迹方程为20x y -+=.故答案为：20x y -+=.【点睛】本题主要考查了复数的模的运算，以及复数的表示及应用，其中解答中熟记复数的模的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.16．4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|求出|z+3+4i|的最小值即可方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1∴|z+3解析：4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a |﹣|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，求出|z +3+4i |的最小值即可．方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆．则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d ==5，∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4，故答案为4．【点睛】本题考查了不等式的应用问题，也考查了复数的几何意义及运算问题，属基础题． 17．【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（01）为圆心半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（11+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围【详解】由题意集解析：b ≤≤【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（1，1+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围．【详解】由题意，集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部； 集合B 表示点的轨迹为以（1，1+b ）为圆心，半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴4≤．可得：b ≤≤，故答案：b ≤≤，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B 集合的意义是关键，是中档题18．【分析】根据复数的乘法运算可求z 写出其共轭复数即可【详解】因为所以故填【点睛】本题主要考查了复数的运算共轭复数属于中档题解析：1i -【分析】根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可.【详解】因为()1z i i =-1i =+，所以 1z i =-，故填1i -【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数，属于中档题.19．二【解析】分析：先根据x 的不等式mx2-nx+p>0(mnp ∈R)的解集为(-12)得到再分析出m<0p>0再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限详解：∵mx2-nx+p>0(mnp ∈R解析：二.【解析】分析：先根据x 的不等式mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2)得到0,n -12,m p -12,m m ⎧⎪<⎪⎪+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩（）（）再分析出m<0,p>0,再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.详解：∵mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2),0,n (-1)2,m p (-1)2,m m ⎧⎪<⎪⎪∴+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩即m<0,p>0.故复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.故答案为二.点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义和一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)已知一元二次不等式的解集，一般要想到韦达定理.20．【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段表示线段上的点到的距离根据数形结合思想结合点到直线距离公式可得结果详解：因为复数满足在复平面内设复数对应的点为则到的距离之和为所以点的轨迹为解析：【解析】分析：由复数的几何意义解得点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数z 满足2z i z i -++=，在复平面内设复数z 对应的点为(),z x y ，则(),z x y 到()()0,1,0,1-的距离之和为2，所以点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，可得最小距离是()0,1与()1,1的距离，等于1；最大距离是()0,1-与()1,1即1z i --的取值范围是⎡⎣，故答案为⎡⎣.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.三、解答题21．（1）0；（2）8i -【分析】利用复数的乘除运算法则求解.【详解】计算下列各式：（1）()()23233232023232323i i i i i i i i i i i i--++-+=+=-=-+-+；（2）()())3338111i i i i i i i i i+++=-++-=-=-.【点睛】 本题主要考查复数的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）ω；（2）12a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）求出1z i =+的共轭复数，代入234z z ω=+-化简，再求ω； （2）根据2211z az b i z z ++=--+，得到()()21a b a i i +++=+，列方程组即可求解. 【详解】（1）已知1z i =+，1z i ∴=-，()()213141i i i ω=++--=--∴，ω∴=（2）()()22211a b a z az b i z z i i+++++==--+， ()()21a b a i i ∴+++=+，121a b a +=⎧∴⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解.23．（1）5；（2）22i -或22-+. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值；（2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++， 由2510z z +=+=2225x y +=，因此，5z ==； （2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，z=或. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.24．（1）6；（2）p =或p =±【分析】（1）将134x i =+代入方程，将复数化为一般形式，利用复数相等可求得实数p 的值； （2）列出韦达定理，由121x x -=可得出关于p 的等式，由此可解得实数p 的值.【详解】（1）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以，()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=，所以，1832440p p -=-=，解得6p ；（2）2100p ∆=-，由题意得121225x x p x x +=⎧⎨=⎩.若0∆≥，即2100p ≥，则121x x -===，解得p =；若∆<0，即100p <，由2250x px -+=，可得22210024p p x ⎫-⎛⎫⎪-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p x =+，22p x =，则121x x i -===，解得p =±.综上所述，p =或p =±【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）在解第一问时，可利用实系数的二次方程的两个虚根互为共轭复数来求解； （2）在解第二问时，应对二次方程是否有实根进行分类讨论，并结合韦达定理求解. 25．（1）5m =或3-；（2）2m =-；（3）12m =或2- 【分析】复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得m 即可得出． （2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得m 即可得出． （3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．解出即可得出．【详解】解：复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得5m =或3-．5m ∴=或3-时，复数z 为实数．（2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得2m =-． 2m ∴=-时，复数z 为纯虚数．（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．化为：22320m m +-=，解得12m =或2-．12m ∴=或2-，z 对应点在直线70x y ++=上． 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．3 【分析】根据|22|1z i +-=，结合复数减法的模的几何意义，判断出z 对应点的轨迹，再根据复数减法的模的几何意义，结合圆的几何性质，求得|22|z i --的最小值.【详解】由|22|1z i +-=得|(22)|1z i --+=，因此复数z 对应的点Z 在以022z i =-+对应的点0Z 为圆心，1为半径的圆上，如图所示.设|22|y z i =--，则y 是Z 点到22i +对应的点A 的距离.又04AZ =，∴由图知min 0||13y AZ =-=.【点睛】本小题主要考查复数减法的模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.。

上海浦东新区高三复数复习专题

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一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +2．已知复数2z i =-，若i 为虚数单位，则1i z +=（ ） A ．3155i + B ．1355i + C ．113i + D ．13i + 3．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4B ．()4,3-C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 4．已知复数()2m m m i z i --=为纯虚数，则实数m =（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．0或1 5．设()2211z i i =+++，则||z =（ ）A B ．1 C ．2 D 6．设2i z i +=，则||z =（ ）A B C ．2 D ．5 7．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ）A B C ．3 D ．58．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z ，则z 为（ ）A ．1 BC ．2D ．4 9．若复数()41i 34i z +=+，则z =（ ）A ．45B ．35C ．25D ．510．已知复数z 的共轭复数212i z i -=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．i - 11．若()()324z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 12．122i i-=+（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．-i 13．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ）A ．4B ．2C ．0D ．1-14．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．已知i 是虚数单位，设11i z i ，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 二、多选题16．若复数351i z i -=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限17．下列四个命题中，真命题为（ ）A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足1R z ∈，则z R ∈C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =18．已知复数122z =-+（其中i 为虚数单位，，则以下结论正确的是（ ）． A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z = 19．下面是关于复数21i z =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z = B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1- 20．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限21．下列结论正确的是（ ） A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥22．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限23．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ）A ．若12z z =，则12=z zB ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >24．下列命题中，正确的是（ ）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数25．已知复数z 的共轭复数为z ，且1zi i =+，则下列结论正确的是（ ）A ．1z +=B ．z 虚部为i -C ．202010102z =-D ．2z z z +=26．以下为真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数27．已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A ．38z =B ．zC ．z 的共轭复数为1D ．24z = 28．（多选）()()321i i +-+表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模29．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方 30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】.故选：C解析：C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-. 故选：C2．B【分析】利用复数的除法法则可化简，即可得解.【详解】，.故选：B.解析：B【分析】 利用复数的除法法则可化简1i z+，即可得解. 【详解】 2z i =-，()()()()12111313222555i i i i i i z i i i +++++∴====+--+. 故选：B. 3．D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可. 【详解】因为，所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.故选：D解析：D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数534ii-的表示，最后选出答案即可.【详解】因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i iii i i⋅+-===-+--+，所以在复平面内，复数534ii-（i为虚数单位）对应的点的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭.故选：D4．C【分析】结合复数除法运算化简复数，再由纯虚数定义求解即可【详解】解析：因为为纯虚数，所以，解得，故选：C.解析：C【分析】结合复数除法运算化简复数z，再由纯虚数定义求解即可【详解】解析：因为()()22m m m iz m m mii--==--为纯虚数，所以20m mm⎧-=⎨≠⎩，解得1m=，故选：C.5．D【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解．【详解】因为，所以，则．故选：D．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ．【详解】 因为()()()()2221211211211111i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z =故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．6．B【分析】利用复数的除法运算先求出，再求出模即可.【详解】，.故选：B ．解析：B【分析】利用复数的除法运算先求出z ，再求出模即可.【详解】()22212i i i z i i i++===-，∴z ==故选：B ．7．B【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模.【详解】由复数（）为纯虚数，则 ，则所以故选：B解析：B【分析】把给出的复数化简，然后由实部等于0，虚部不等于0求解a 的值，最后代入模的公式求模.【详解】 由()()()()()()21i 2221112a i a a i a i i i i ----+-==++- 复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则202202a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩ ，则2a =所以112ai i -=-=故选：B8．B【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此.故选：B.解析：B【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为z，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =， 所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B. 9．A【分析】首先化简复数，再计算求模.【详解】，.故选：A解析：A【分析】首先化简复数z ，再计算求模.【详解】()()()2242112434343434i i i z i i i i ⎡⎤++⎣⎦====-++++ ()()()()43443412163434252525i i i i i --=-=-=-++-，45z ∴==. 故选：A10．A【分析】先化简，由此求得，进而求得的虚部.【详解】，所以，则的虚部为.故选：A解析：A【分析】 先化简z ，由此求得z ，进而求得z 的虚部.【详解】()()()()212251212125i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z i ，则z 的虚部为1.故选：A11．D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D ．解析：D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限．故选：D ． 12．D【分析】利用复数的除法求解.【详解】.故选：D解析：D【分析】利用复数的除法求解.【详解】()()()()12212222i i i i i i i ---==-++-. 故选：D13．A【分析】先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ．【详解】，故选：A解析：A【分析】先利用复数的乘法运算法则化简()()112i i +-，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】()()112i i +-1223i i i =-++=-3a bi i ∴+=+3,1a b ==，4a b +=故选：A14．A【分析】利用复数的乘法化简复数，利用复数的乘法可得出结论.【详解】，因此，复数在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A.解析：A【分析】利用复数的乘法化简复数z ，利用复数的乘法可得出结论.【详解】()()221223243z i i i i i =-+=+-=+，因此，复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A.15．A【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果.【详解】由已知，，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果.【详解】 由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-， 222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限， 故选：A.二、多选题16．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.17．AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数满足，设，其中，则，则选项A 正确；对选项B ，若复数满足，设，其中，且，则，则选项B 正确；对选项C ，若复数满足，设解析：AB【分析】利用特值法依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足1R z ∈，设1a z =，其中a R ∈，且0a ≠， 则1z R a=∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，但z i R =∉，则选项C 错误；对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ， 而21z i z =-≠，则选项D 错误；故答案选：AB【点睛】本题主要考查复数的运算，同时考查复数的定义和共轭复数，特值法为解决本题的关键，属于简单题.18．BCD【分析】计算出，即可进行判断.【详解】，，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误；，故C 正确；，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查复数的相关计算，属于基础题.解析：BCD【分析】 计算出23,,,z z z z ，即可进行判断.【详解】12z =-+， 221313i i=22z z ，故B 正确，由于复数不能比较大小，故A 错误； 33131313i i i 1222z ，故C 正确； 2213122z，故D 正确.故选：BCD.【点睛】 本题考查复数的相关计算，属于基础题.19．BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A错误；，B正确；z的共轭复数为，C错误；z的虚部为，D正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】把21iz=-+分子分母同时乘以1i--，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：22(1)11(1)(1)iz ii i i--===---+-+--，||z∴=A错误；22iz=，B正确；z的共轭复数为1i-+，C错误；z的虚部为1-，D正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.20．ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.21．ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z ==C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题. 22．BCD根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.23．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确； 当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.24．ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确． 对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．25．ACD【分析】先利用题目条件可求得，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由可得，，所以，虚部为；因为，所以，．故选：ACD ．【解析：ACD【分析】先利用题目条件可求得z ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．【详解】由1zi i =+可得，11i z i i+==-，所以12z i +=-==，z 虚部为1-；因为2422,2z i z =-=-，所以()5052020410102z z ==-，2211z z i i i z +=-++=-=．故选：ACD ．【点睛】本题主要考查复数的有关概念的理解和运用，复数的模的计算公式的应用，复数的四则运算法则的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题． 26．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--，则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=， 但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题. 27．AB【分析】利用复数的模长运算及在复平面内对应的点位于第二象限求出 ，再验算每个选项得解.【详解】解：，且，复数在复平面内对应的点位于第二象限选项A:选项B: 的虚部是选项C:解析：AB【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =+在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z =224a +∴=，=1a ±复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=-选项A : 3323(1)(1)+3(1)+3())8-+=---+=选项B : 1z =-选项C : 1z =-的共轭复数为1z =--选项D : 222(1)(1)+2()2-+=--=--故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力.求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．28．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模29．CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.30．BD【分析】选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。

上海奉贤区实验中学必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)

上海奉贤区实验中学必修第二册第二单元《复数》测试题(包含答案解析)

一、选择题1．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆2．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．213(1)ii +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 4．已知复数()()31z m m i m Z =-+-∈在复平面内对应的点在第二象限，则1z=（ ） A ．2 B ．2C ．22D ．125．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．26．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．127．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ） A ．[]28,B ．10103⎡⎤⎣⎦C ．[]1,9D ．[]3,88．已知(,)a bi a b R +∈是11ii+-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．19．已知复数 1cos isin z αα=+ 和复数2cos isin z ββ=+，则复数12z z ⋅的实部是( ) A ．()sin αβ-B ．()sin αβ+C ．()cos αβ-D ．()cos αβ+10．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A ．22B ．12C ．2D ．211．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．设i 为虚数单位，a R ∈，“复数2202021a i z i=--不是纯虚数“是“1a ≠”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．复数2018|(3)|z i i i =-+（i 为虚数单位），则||z =________.14．计算121009100(23)(13)(123)i z i i -+=+=-++_______.15．已知复数z 满足|z 2-2i||z|+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标（x ，y ）的轨迹方程为__________.16．已知1cos z isin αα=+，2cos z isin ββ=-，α，β为实数，i 为虚数单位，且125121313z z i -=+，则cos()αβ+的值为_______. 17．已知复数[(1)]z a ai i =++（i 是虚数单位）是虚数，且||1z =，则实数a 的值是______ 18．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____19．已知复数z 满足43(zi i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝____． 20．定义运算a c ad bc b d=-，复数z 满足i 1i 1iz =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝___________.三、解答题21．已知复数()212(24)z a a i =--+，()221z a a i =-+，12z z z =-（i 为虚数单位，a R ∈）.（1）若复数12z z z =-为纯虚数，求12z z ⋅的值； （2）若1z z i +=-，求z i +的值.22．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根. (1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值.23．当m 为何值时，复数()228()x m m i m =++-∈R 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？24．已知复数()()21,,z a i bi a b R =+-∈，其中i 是虚数单位. （1）若5z i =-，求a ，b 的值；（2）若z 的实部为2，且0a >，0b >，求证：214a b+≥.25．已知复数z 满足||z =2z 的虚部为2-，且z 在复平面内对应的点在第二象限.（1）求复数z ； （2）若复数ω满足1zz iω-≤+，求ω在复平面内对应的点的集合构成图形的面积. 26．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【详解】因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项. 【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确， 对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误， 对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④， 故选B. 【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.3．A解析：A 【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果. 【详解】()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A. 【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.4．C解析：C 【解析】分析：由题意得到关于m 的不等式组，求解不等式组确定m 的范围，然后结合题意即可求得最终结果.详解：由题意可得：3010x m m Z -<⎧⎪->⎨⎪∈⎩，即13m <<且m Z ∈，故2m =，则：1z i =-+，由复数的性质1122z z ===. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的综合运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．A解析：A 【分析】 利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.6．C解析：C 【分析】用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案. 【详解】用向量,OA OB 表示12,z z ，因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==， 又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.7．A解析：A 【分析】利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围. 【详解】()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤， 因此，4z i -的取值范围是[]28,. 故选：A. 【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．9．D解析：D【解析】分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可. 详解：()()12cos cos cos cos z z isin isin ααββαβ⋅=++=()()2cos cos cos i sin isin i sin sin isin αβαβαβαβαβ+++=+++，∴实部为()cos αβ+,故选D.点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误.10．A解析：A 【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝，2z ∴=＝故选A ． 11．A解析：A 【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限.故选:A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．A解析：A 【分析】先化简z ，求出a ，再判断即可. 【详解】()()2202022211112121211222a i a a i a z i i i i i +=-=-=-=-----+，z 不是纯虚数，则21022a -≠，所以21≠a ，即1a ≠±，所以1a ≠±是1a ≠的充分而不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查根据复数的类型求参数，考查充分条件和必要条件的判断，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.二、填空题13．1【分析】由复数模的求法及虚数单位的性质化简求值【详解】解：由题得故答案为：1【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位的性质是基础题解析：1 【分析】由复数模的求法及虚数单位i 的性质化简求值. 【详解】解：由题得2|1|1211z i =+==-=，||1z ∴=.故答案为：1. 【点睛】本题考查复数模的求法考查虚数单位i 的性质，是基础题.14．-511【分析】利用复数的运算公式化简求值【详解】原式故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查复数的次幂的运算注意以及等公式化简求值解析：-511 【分析】利用复数的运算公式，化简求值. 【详解】原式1212369100121511()i =+=+=-+=--. 故答案为：511- 【点睛】思路点睛：本题考查复数的n次幂的运算，注意3112⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值.15．【分析】设复数根据模的计算公式得到化简即可求解【详解】设复数则所以整理得即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的运算以及复数的表示及应用其中解答中熟记复数的模 解析：20x y -+=【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈=简即可求解. 【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则z =22(2)(2)z i x y i +-=++-==20x y -+=，即z 在复平面内对应的点的坐标(,)x y 的轨迹方程为20x y -+=. 故答案为：20x y -+=. 【点睛】本题主要考查了复数的模的运算，以及复数的表示及应用，其中解答中熟记复数的模的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.16．【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组结合两角和的余弦公式化简求得的值【详解】得即故答案为：【点睛】本小题主要考查复数减法和复数相等的条件考查两角和的余弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基解析：12【分析】根据复数减法和复数相等的条件列方程组，结合两角和的余弦公式，化简求得cos()αβ+的值. 【详解】1cos sin z i αα=+，2cos sin z i ββ=-，12512(cos cos )(sin sin )1313z z i i αβαβ∴-=-++=+，5cos cos ,1312sin sin ,13αβαβ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩①②22+①②，得22cos()1αβ-+=，即1cos()2αβ+=. 故答案为：12【点睛】本小题主要考查复数减法和复数相等的条件，考查两角和的余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.17．【解析】【分析】计算复数根据结合模长公式即可解出实数的值【详解】由题：复数是虚数则即解得或（舍）所以故答案为：【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值注意概念辨析一个复数是虚数则虚部不为零 解析：0【解析】 【分析】计算复数2[(1)](1)(1)z a ai i a i ai a a i =++=++=-++，根据||1z =，结合模长公式即可解出实数a 的值． 【详解】由题：复数2[(1)](1)(1)z a ai i a i ai a a i =++=++=-++，是虚数，则10a +≠，22||()(1)1z a a =-++=，即2220a a +=，解得0a =或1a =-（舍） 所以0a =． 故答案为：0 【点睛】此题考查复数的运算和模长的计算并求参数取值，注意概念辨析，一个复数是虚数，则虚部不为零，此题的易错点在于漏掉考虑为虚数的限制条件．18．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0 解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积． 【详解】由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．19．【分析】利用复数的运算法则共轭复数的定义即可得出结果【详解】由可得即所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念属于简单题目解析：34i -+【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果.【详解】 由43z i i +=可得34z i i=-，即23434z i i i =-=--， 所以34z i =-+，故答案是：34i -+.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.20．2＋i 【解析】根据题意得到=故得到z=2-i ＝2＋i 故答案为2＋i解析：2＋i【解析】 根据题意得到1z i zi i i =-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.故答案为2＋i.三、解答题21．（1）123626z z i ⋅=--；（2）1或584.【分析】（1）由复数12z z z =-为纯虚数，可得2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，从而可求出a 的值，进而可求出12z z ⋅的值；（2）由1z z i +=-，可得复数z 在直线y x =-上，所以22232a a a a --=-++，从而可求出a 的值，进而可得z i +的值【详解】解：（1）()()22122241()z z a a a a i a R -=--+--++∈为纯虚数， ∴2220230a a a a ⎧--=⎨--≠⎩，解得2a =， ∴128z i =-，225z i =-，∴12(28)(25)3626z z i i i ⋅=-⋅-=--.（2）()()2212223z z z a a a a i =-=--+--， ∵1z z i +=-，∴复数z 对应的点22(2,23)a a a a ----在直线y x =-上，即22232a a a a --=-++，解得1a =-或52a =. 当1a =-时，0z =，1z i +=；当52a =时，7744z i =-，73444z i i +=-=. 【点睛】此题考查复数的有关概念，考查复数的模，考查计算能力，属于中档题22．(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【解析】【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=.（2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．（1）4m =-（2）3m ≥或1m ≤-且4m ≠-（3）1m =-或3m =【分析】（1）根据实数的定义，由实部中根式内部的代数式大于等于0，虚部等于0，列式求解； （2）根据虚数的定义，由实部中根式内部的代数式大于等于0，虚部不等于0，列式求解；（3）根据纯虚数的定义，由实部中根式内部的代数式等于0，虚部不等于0，列式即可求解．【详解】（1）由题意知22230280m m m m ⎧--≥⎨+-=⎩，所以4m =-， 故当4m =-时，复数z 为实数.（2）由题意得22230280m m m m ⎧--≥⎨+-≠⎩，即3124m m m m ≥≤-⎧⎨≠≠-⎩或且， 所以3m ≥或1m ≤-且4m ≠-，故当3m ≥或1m ≤-且4m ≠-时，z 为虚数.（3）由题意得20280m m =+-≠⎪⎩，所以1324m m m m =-=⎧⎨≠≠-⎩或且， 所以1m =-或3m =，故当1m =-或3m =时，复数z 为纯虚数.【点睛】本题考查复数的基本概念和复数的分类，根据复数的类型求参数，还涉及一元二次方程和一元二次不等式的解法，考查计算能力，是中档题．24．（1）31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩;（2）见解析. 【分析】（1）由复数的乘法可得()22z a b ab i =+--，由5z i =-可知2521a b ab +=⎧⎨-=⎩，从而可求出a ，b 的值；（2）由z 的实部为2可得22a b +=，结合“1”的代换可知211442a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式可证明214a b +≥. 【详解】 （1）解：由()()()21225z a i bi a b ab i i =+-=+--=-，则2521a b ab +=⎧⎨-=⎩， 解得31a b =⎧⎨=⎩或232a b =⎧⎪⎨=⎪⎩（2）证明：由题意知，22a b +=，所以()21121142422a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0a >，0b >，所以4424a b a b b a b a +≥⋅=， 当且仅当4a b b a =，即11,2a b == 时等号成立，则()2114442a b +≥⨯+=. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了基本不等式，考查了复数的定义.运用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.25．（1）1z i =-+；（2）25π 【分析】（1）设出复数z ，利用已知列出方程组，求解可得复数z ； （2）把复数1i z =-+代入iz z +，利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数求模公式计算i z z +，由复数ω满足1015ω-≤，由复数的几何意义得出ω在复平面内对应的点的集合构成图形是什么，从而计算出对应面积.【详解】(1)设z=x+yi(x,y ∈R),则z 2=x 2-y 2+2xyi,由|z|=,z 2的虚部为-2,且z 在复平面内对应的点在第二象限, 得解得 ∴z=-1+i.(2)由(1)知,z=-1+i,∴i z z +====-+i,∴i z z +==, ∴复数ω满足|ω-1|≤. 由复数的几何意义,得ω在复平面内对应的点的集合构成的图形是以(1,0)为圆心,为半径的圆面,∴其面积为π·=. 【点睛】 本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.26．1,22【解析】【分析】根据复数相等的概念得到实部虚部均为0，即21020x y y -+=⎧⎨-=⎩ 求得参数值. 【详解】∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴21020x y y -+=⎧⎨-=⎩解得12x = ,y=2 所以实数x ，y 的值分别为12，2. 【点睛】这个题目考查了复数相等的概念，两个复数相等则需要实部等于实部，虚部等于虚部即可.。

上海崇明县实验中学必修第二册第二单元《复数》测试卷(包含答案解析)

上海崇明县实验中学必修第二册第二单元《复数》测试卷(包含答案解析)

一、选择题1．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 2．若复数(1a i z i i +=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2 3．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．22i -+D ．22i -- 4．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ）A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6 5．若复数z 满足()11z i i --⋅=+，则z =（ ）A B C ．D ．36．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i --B ．1i +C ．55i +D ．55i - 7．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 8．已知复数 1cos isin z αα=+ 和复数2cos isin z ββ=+，则复数12z z ⋅的实部是( ) A ．()sin αβ- B ．()sin αβ+C ．()cos αβ-D ．()cos αβ+ 9．已知复数z 满足()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i -- 10．设复数11i zi ，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．若i 为虚数单位，复数z 满足z i ≤，则2z i -的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．D ．12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题13．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数33z i --的最大值与最小值的乘积为___________．14．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667~1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第______象限.15．复数31+i i 1i+-的值是______. 16．设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________．17．复数2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭的辐角主值为________.18．复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=-，则复数12z z -的模的最大值为________. 19．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2212z z +=________.20．在复平面内，三点A 、B 、C 分别对应复数A z 、B z 、C z ，若413B AC A z z i z z -=+-，则ABC ∆的三边长之比为________三、解答题21．已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈．（1）若123x x -=，求实数p 的值；（2）若123x x +=，求实数p 的值．22．已知复数z满足||z =2z 的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z 、2z 、2z z -在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求()OA OB OC +⋅的值.23．（1）已知z C ∈，解关于z 的方程(3)13z i z i -⋅=+；（2）已知32i +是关于x 的方程220x ax b ++=在复数集内的一个根，求实数a ，b 的值. 24．已知12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，它们满足方程()122195z i z i +-=+，求2212z z +. 25．已知复数z 满足|3+4i|+z=1+3i.(1)求z ；(2)求()()2134i i z++的值. 26．已知1(3)(?4)z x y y x i =++-,2(42)(53)(,)z y x x y i x y R =--+∈,设12z z z =-,且132z i =+,求复数1z ,2z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.2．C解析：C【分析】 利用复数代数形式的除法运算化简复数1a i z i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】 ()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数， 1010a a +≠⎧∴⎨-=⎩，即1a =，故选C. 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．A【解析】【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=, 整理可得：()()2440b a i b b ++++=， 所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A . 4．B解析：B【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可.【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=， 所以()()2231563m m m m i --+--=， 可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.5．A解析：A【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.【详解】由()11z i i --⋅=+，得()()21111i i i z i i i +-+--===--，则2z i =-+，∴z ==故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模的运算，属于中档题. 6．A解析：A【分析】化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案.()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.7．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝，()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题8．D解析：D【解析】分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可.详解：()()12cos cos cos cos z z isin isin ααββαβ⋅=++=()()2cos cos cos i sin isin i sin sin isin αβαβαβαβαβ+++=+++，∴实部为()cos αβ+,故选D.点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误. 9．B 解析：B【解析】因为()211i i z +=-，所以22(1)112i i z i i i ==+=-- ，选B.解析：C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解.【详解】 由题得21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--，所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限.故选：C11．D解析：D【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.【详解】 因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max20321333z i MN R -=+=--+--= 故选：D.【点睛】 结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆； （4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线.解析：A【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限. 故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．24【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为最小值为 解析：24【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由33z i --的几何意义求解即可．【详解】设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=,得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，33z i =--z 在复平面内对应点到点(3,3)P 的距离所以33z i --最大值为||116PA +==．最小值为||114PA -==故最大值与最小值的乘积为2446=⨯故答案为：24【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 14．二【分析】先根据棣莫弗公式得再根据三角函数确定符号根据复数集合意义得答案【详解】由得∵∴∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限故答案为：二【点睛】本题考查复数的几何意义三角函数符号的判断是中档题 解析：二【分析】 先根据棣莫弗公式得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭，再根据三角函数确定符号，根据复数集合意义得答案.【详解】由()cos sin cos sin n x i x nx i nx +=+，得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭， ∵627πππ<<，∴6cos 07π<，6sin 07π>， ∴复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第二象限. 故答案为：二.【点睛】本题考查复数的几何意义，三角函数符号的判断，是中档题.15．0【分析】先利用复数的除法运算计算再计算相加即得解【详解】【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生数学运算能力属于基础题解析：0【分析】 先利用复数的除法运算计算1+i 1i-，再计算3 i ，相加即得解. 【详解】 ()()()231i 1i 2i i i i 01i 1i 1i 2+++=-=-=--+. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生数学运算能力，属于基础题. 16．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值.【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯， 又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=， 所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==，6.【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈；（2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .17．【分析】先化简再根据辐角主值的定义求解即可【详解】因为所以所以所以复数z 的辐角主值为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析属于基础题解析：34π 【分析】 先化简2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭再根据辐角主值的定义求解即可.【详解】 因为11i i i +=-,所以2021202111i i i i +⎛⎫== ⎪-⎝⎭所以3312cos sin 44z i i ππ⎫=-+=+⎪⎭,所以复数z 的辐角主值为34π. 故答案为：34π 【点睛】 本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析,属于基础题.18．【分析】先求再求模将其转化为角度的函数从而求最大值【详解】由题意可得因为故的最大值为故答案为：【点睛】考查向量的减法模的计算以及函数的最大值属综合基础题【分析】先求12z z -，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值.【详解】由题意可得12cos sin 2z z i θθ-=-+，12z z -==，因为45sin 26θ-，故12z z -..【点睛】考查向量的减法、模的计算以及函数的最大值.属综合基础题.19．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100【解析】【分析】设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2212z z +的值. 【详解】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==， 所以22222121212100z z OM OM M M =+=+=.故答案为：100.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．3：4：5【分析】设对应的复数计算对应的复数从而得出再根据与的比值得出答案【详解】设表示的复数为表示的复数为则所以所以表示的复数为所以所以又所以又则所以的三边长之比为：故答案为：【点睛】本题考查了复 解析：3：4：5【分析】设AB 、AC 对应的复数，计算BC 对应的复数，从而得出AC BC ⊥，再根据AB 与AC 的比值得出答案.【详解】设AB 表示的复数为a bi +，AC 表示的复数为i c d +， 则444()(1)()()333a bi c di i c d d c i +=++=-++， 所以43a c d =-，43b dc =+， 所以BC 表示的复数为44()()33AC AB c a bd i d ci -=-+-=-， 所以44(,)(,)033AC BC c d d c ⋅=⋅-=， 所以AC BC ⊥, 又B A C A z z AB AC z z -=-，所以45133AB i AC =+==， 又AC BC ⊥,则433BC AC ==， 所以ABC ∆的三边长之比为：3:4:5,故答案为：3:4:5.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，考查了推理能力，属中档题.三、解答题21．（1）52p =或2-；（2）2p =-或94． 【分析】（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值.【详解】解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ， 则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222x x x x x x x x x x x x +=++=+-+， 1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==， 综上所述，2p =-或94. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.22．（1）1i z =+或1i z =--；（2）2-【分析】 （1）设出z a bi =+,根据题意可得22222a b ab ⎧+=⎨=⎩,求解即可； （2）由（1）作分类讨论,根据题意计算即可【详解】（1）设z a bi =+,由题,可得z ==,()()22222z a bi a b abi =+=-+, 2z 的虚部为2则22222a b ab ⎧+=⎨=⎩ 11a b =⎧∴⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩ 故1z i =+或1i z =--（2）由（1）可知22z i =,即B 为()0,2,()0,2OB ∴=当1z i =+时,即A 为()1,1,()1,1OA ∴=,此时21z z i -=-,即C 为()1,1-,()1,1OC ∴=- ()1,3OA OB ∴+=∴()()11+312OA OB OC +⋅=⨯⨯-=-当1i z =--时,即A 为()1,1--,()1,1OA ∴=--,此时213z z i -=--,即C 为()1,3--,()1,3OC ∴=--()1,1OA OB ∴+=-∴()()()()11+132OA OB OC +⋅=-⨯-⨯-=-综上, ()2OA OB OC +⋅=-【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面,考查数量积,考查分类讨论的思想,考查运算能力 23．（1）1z =-或13i -+；（2）12,26a b =-=.【分析】（1）设,z a bi z a bi =+=-，代入(3)13z i z i -⋅=+，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得,a b 的值，由此求得z .（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得,a b 的值.【详解】（1）设z a bi =+，则(3)()13a bi i a bi i +--=+，即223313a b b ai i +--=+ ∴223133a b b a ⎧+-=⎨-=⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩，或13a b =-⎧⎨=⎩∴1z =-或13i -+； （2）由题知方程在复数集内另一根为32i -，故323262(32)(32)132a i ib i i ⎧-=++-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩， 即12,26a b =-=.【点睛】本小题主要考查复数运算，考查复数相等的概念，属于中档题.24．-190【分析】根据12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，可知12,z z 互为共轭复数，由此设出12,z z 的表达式，代入()122195z i z i +-=+，由此求得12,z z ，进而求得2212z z +的值.【详解】由于12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，所以12,z z 互为共轭复数，设12,,(,)z a bi z a bi a b R =+=-∈，代入()122195z i z i +-=+得()()()2195a bi i a bi i ++--=+，化简得()395a b b a i i -+-=+，所以395a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得7,12a b ==.所以()()2222122249144190z z a b +=-=-=-. 【点睛】本小题主要考查实系数一元二次方程虚根成对，考查复数相等的概念，考查复数乘方运算，考查方程的思想，属于基础题.25．（1）43i --；（2）2【分析】（1）先求出为34i 5+= ,即可求出z ，再根据共轭复数的定义即可求出z ；（2）根据复数的运算法则计算即可得出结论.【详解】(1)因为|3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)===2.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 26．1z =59,i -287.z i =--【分析】明确复数1z ,2z 的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数z ，从而用,x y 表示出z ，接下来根据复数相等的充要条件列出关于,x y 的方程组求解，即可得出1z ,2z .【详解】∵12z z z =- ()()()()344253x y y x i y x x y i =++---++ ()()342x y y x ⎡⎤=+--⎣⎦ ()()453y x x y i ⎡⎤+-++⎣⎦ ()()534x y x y i =-++.∴()()534z x y x y i =--+.又∵132z i =+∴531342x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ∴21x y =⎧⎨=-⎩ ∴()()1321142z i =⨯-+--⨯ 59,i =-∴()()24122523187.z i i ⎡⎤⎡⎤=⨯--⨯-⨯+⨯-=--⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.。

上海市高考数学练习---复数

上海市高考数学练习---复数

上海市高考数学试题汇编（3）---复数
（一）填空题
1、若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________.（04上海春季）
2、若复数z =(m －2)+(m+1)i 为纯虚数(i 为虚数单位),其中m ∈R,,则z = .
3、若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-
z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ ．（06上海理） （二）解答题
4、（本题满分12分）证明：在复数范围内，方程i
i z i z i z +-=+--+255)1()1(||2（i 为虚数单位）无解。

（05上海理）
5、(本题满分12分)已知复数z 1满足(1＋i )z 1＝－1＋5i ， z 2＝a －2－i ， 其中i 为虚数单位，a ∈R ， 若21z z -<1z ，求a 的取值范围.（04上海理）
6、（本题满分12分）(03上海理)
已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值.
7、(本题满分12分) （05上海春） 已知z 是复数，i
z i z -+22、
均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(i a z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围. 8、(本小题满分12分) (03上海春季)
已知z 、ω为复数，（1+3i ）z 为虚数，ω=.,25||,2ωω求且=+i
z 9、 (本题满分12分) 已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=
w w z ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程. (06上海春)。

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复数综合练习题
一、 选择题
1、若22
(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值是（ ） A 1 B 1- C 1± D 以上都不对
2、22
1(1)(4),.z m m m m i m R =++++-∈232.z i =-则1m =是12z z =的（ ）条件
A 充分不必要
B 必要不充分
C 充要
D 既不充分又不必要 3、若12,z z C ∈，则1212z z z z ⋅+⋅是（ ） A 纯虚数 B 实数 C 虚数 D 无法确定 4、(),()n
n
f n i i n N -+
=+∈的值域中，元素的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 无数个 5、3()m i R +∈，则实数m 的值为（ ）
A ±3±
2
± 6、若x C ∈，则方程||13x i x =+-的解是（ ）
A
122+ B 124,1x x ==- C 43i -+ D 122
- 7、|34|2z i ++≤，则||z 的最大值为（ ） A 3 B 7 C 9 D 5 8、已知
z =则501001z z ++的值为（ ） A i B 1 C 2i + D 3 9、已知11x x +
=，则199619961
x x
+的值为（ ） A 1- B 1 C i - D i
10、已知方程|2||2|z z a --+=表示等轴双曲线，则实数a 的值为（ ）
A ±
B 11、复数集内方程2
5||60z z ++=的解的个数是（ ）
A 2
B 4
C 6
D 8
12、复数1cos sin ,(2)z i ααπαπ=++<<的模是（ ） A 2cos
2
α B 2cos
2
α- C 2sin
2
α D 2tan
2
α-
二、填空题
13、34i +的平方根是 、 。

14、在复平面内，若复数z 满足|1|||z z i +=-，则z 所对应的点的集合构成的图形是 。

15、设12ω=-
，则集合A={|()k k x x k Z ωω-=+∈}中元素的个数是 。

16、已知复数122,13z i z i =-=-，则复数 2
15
z i z + = 。

三、解答题 （写出必要的运算步骤）
17 在复平面上，设点A 、B 、C ，对应的复数分别为,1,42i i +。

过A 、B 、C 做平行四边形ABCD ，求此平行四边形的对角线BD 的长。

18、设,a b 为共轭复数，且2
()3412a b abi i +-=- ，求,a b 的值。

19、已知复数z 满足|4||4|,z z i -=-且141
z
z z -+-为实数，求z 。

20、已知,z ω为复数，(13)i z +⋅为纯虚数，2z
i
ω=+，且||ω=
求复数ω。

21、求同时满足下列两个条件的所有复数z ； （1）10z R z +
∈，且10
16z z
<+≤；
（2）z 的实部与虚部都是整数。

22、=x ＋yi (x ，y ∈R )，且 222
log 8(1log )x y
i x y i ++-=-，求z ．
23、于x 的的方程是0)2()(tan 2
=+-+-i x i x θ；若方程有实数根， 求锐角θ和实数根；
复数综合练习题（二）参考答案
答案:
一、A 、A 、B 、B 、B 、 C 、B 、A 、A 、A 、 A 、B
二、 13 2,2i i +-- 14 y x =-直线 15 2 16 i 三、简答题
17、由题知平行四边形三顶点坐标为(0,1),(1,0),(4,2)A B C ，设D 点的坐标为 (,)D x y 。

因为BA CD =，得(1,1)(4,2)x y -=--，得41,2 1.x y -=-⎧⎨-=⎩得3
3x y =⎧⎨=⎩
，即(3,3)D
所以(2,3)BD = ，
则||BD =
18、设,,(,)a x yi b x yi x y R =+=-∈。

带入原方程得
2
2
2
43()412x x y i i -+=-，由复数相等的条件得2
22
44,
3()12.x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
解得1x y =⎧⎪⎨
=⎪⎩
1
x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩.对应四组解略。

19、,(,)z x yi x y R =+∈，因为|4||4|,z z i -=-带入得x y =，所以,z x xi x R =+∈
又因为141z
z z -+
-为实数，所以141411
z z z z z z --+=+--， 化简得，所以有0z z -=或2
|1|13z -=
由0z z -=得0x =；由2
|1|13z -=得2,3x x =-=或。

所以0;22;3 3.z z i z i ==--=+ （也可以直接用代数形式带入运算）
20、设,(,)z x yi x y R =+∈，则(13)i z +⋅=(3)(3)x y x y i -++为纯虚数，所以30x y =≠， 因
为|||
|2z
i
ω==+，所
以||z ==；又3x y =。

解得15,5;15,5x y x y ===-=- 所以155(7)2i
i i
ω+=±=±-+。

21、（一）使用19题的方法解得0z z -=
或||z =，然后解决。

（二）设,(,)z x yi x y R =+∈
则1010z x yi z x yi +
=+++2210()x yi x yi x y -=+++22221010(1)(1)x y i x y x y =++-++ 因为10
z R z
+
∈，所以2
2
10(1)0y x y -=+。

所以22010y x y =+=或。

当0y =时，z x =，又1016z z <+≤，所以x R +∈
，而10
6z z
+≥>，所以在实数范围内无解。

当2
2
10x y +=时，则102z z z z z z x z z ⋅+
=+=+=。

由112632
x x <≤⇒<≤ 因为,x y 为正整数，所以x 的值为 1，或2，或3。

当1,3;x y ==±时
当2,)x y ==时舍；当3,1x y ==±时。

则133z i z i =±=±或,。

22本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法． ∵ 222
log 8(1log )x y
i x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y
+⎧-=⎨=-⎩，∴3
2x y xy +=⎧⎨=⎩，
解得21x y =⎧⎨
=⎩或1
2x y =⎧⎨=⎩
, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ． 23（1）设实数根是a ，则0)2()(tan 2
=+-+-i x i a θ，即---2tan 2
θa a
0)1(=+i a ，∵a 、R ∈θtan ，⎩⎨
⎧=+=--;
01,
02tan 2a a a θ ∴,1-=a 且1tan =θ，又2
0πθ<
<，∴1,4
-==
a π
θ；。

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