人教版高中数学选修2-3课时训练排列与排列数公式

课堂练习(三) 排列与排列数公式

(建议用时：60分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1．下列问题属于排列问题的是( )

①从10个人中选2人分别去种树和扫地；

②从10个人中选2人去扫地；

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；

④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b 中的底数与真数．

A ．①④

B ．①②

C ．④

D ．①③④

A [根据排列的概念知①④是排列问题．]

2．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有(

) A ．6个 B ．10个

C ．12个

D ．16个

C [符合题意的商有A 2

4＝4×3＝12.]

3．已知A 2

n ＝132，则n 等于( )

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14

B [∵A 2

n ＝n (n －1)，∴由n (n －1)＝132可知n ＝12.]

4．计算A 67－A 5

6

A 45

＝( )

A ．12

B ．24

C ．30

D ．36

D [A 67＝7×6A 45，A 56＝6A 4

5，所以A 67－A 5

6A 45＝36A 4

5

A 45

＝36.]

5．给出下列4个等式：

①n ！＝(n ＋1)！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A m n ＝n

！

(n －m )！；

④A m －1

n －1＝(n －1)！

(m －n )！.

其中正确的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

C [由排列数公式逐一验证，①②③成立，④不成立．故选C.]

二、填空题

6．集合P ＝{x |x ＝A m 4，m ∈N *}，则集合P 中共有______个元素．

3 [因为m ∈N *，且m ≤4，所以P 中的元素为A 14＝4，A 24＝12，A 34＝A 44＝24，即集合P 中有3个元素．]

7．如果A m

n ＝15×14×13×12×11×10，那么n ＝________，m ＝________.

15 6 [15×14×13×12×11×10＝A 615，故n ＝15，m ＝6.]

8．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答)

1 680 [将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．]

三、解答题

9．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成多少个以b 为首的不同排列，试列出所有不同的排法．

[解] 画出树形图如下：

可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .

10．解方程：A 42x ＋1＝140A 3x .

[解] 根据排列数的定义，x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *，

解得x ≥3，x ∈N *

.

根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －

2)．

因为x ≥3，于是得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，

即4x 2－35x ＋69＝0，

解得x ＝3或x ＝234(舍去)．

所以原方程的解为x ＝3.

[能力提升练]

1．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋…＋A 20192019，则S 的个位数字是( )

A ．0

B ．3

C ．5

D ．8 B [∵A 55＝120，∴n ≥5时A n n 的个位数都为零，∴1！＋2！＋3！＋4！＝1＋2＋6＋24＝

33.

故S 的个位数字为3.]

2．满足不等式A 7

n A 5n

>12的n 的最小值为( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．8 B [由排列数公式得n ！(n －5)！(n －7)！n ！

>12，则(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2(舍去)．又n ∈N *，所以n 的最小值为10.]

3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)

1 560 [A 240＝40×39＝1 560.]

4．从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．

30 [易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线条数为A 26＝30.]

5．规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．

(1)求A 3

－15的值；

(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．

[解] (1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080.

(2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.

令f ′(x )＞0，得x ＞3＋33或x ＜3－33

， 所以函数f (x )的单调增区间为

⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3－33，⎝ ⎛⎭

⎪⎫3＋33，＋∞； 令f ′(x )＜0，得3－33＜x ＜3＋33，