人教版高中数学选修2-3课时训练排列与排列数公式
高中数学选修2-3-排列与组合
排列与组合知识集结知识元排列与排列数公式知识讲解1．排列及排列数公式【考点归纳】1．定义（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示．2．相关定义：（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）3．排列数公式（1）排列计算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．例题精讲排列与排列数公式例1.（x-2）（x-3）（x-4）…（x-15）（x∈N+，x>15）可表示为（）A．A B．A C．A D．A例2.若=12，则n=（）A．8B．7C．6D．4例3.已知=15，那么=（）A．20B．30C．42D．72组合与组合数公式知识讲解1．组合及组合数公式【考点归纳】1．定义（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取m个元素的一个组合．（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号表示．2．组合数公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．组合数的性质：性质1性质2．例题精讲组合与组合数公式例1.'排球单循环赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠军是一支南方球队（胜得1分败得0分）．'例2.'一个袋子里装有大小相同且标有数字1～5的若干个小球，其中标有数字1的小球有1个，标有数字2的小球有2个，…，标有数字5的小球有5个．（Ⅰ）从中任意取出1个小球，求取出的小球标有数字3的概率；（Ⅱ）从中任意取出3个小球，求其中至少有1个小球标有奇数数字的概率；（Ⅲ）从中任意取出2个小球，求小球上所标数字之和为6的概率．'例3.'求C3n38-n+C21+n3n的值．'排列组合的简单计数问题知识讲解1．排列、组合及简单计数问题【知识点的知识】1、排列组合问题的一些解题技巧：①特殊元素优先安排；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排；④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；⑥定序问题除法处理；⑦分排问题直排处理；⑧“小集团”排列问题先整体后局部；⑨构造模型；⑩正难则反、等价转化．对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．2、排列、组合问题几大解题方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；（10）指定元素排列组合问题：①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．例题精讲排列组合的简单计数问题例1.的展开式中，x的系数为___（用数字作答）例2.在的展开式中，x4的系数是____．例3.若，则n的展开式中，含x2项的系数为_______．当堂练习单选题练习1.计算2+3的值是（）A．72B．102C．5070D．5100练习2.=（）A．30B．24C．20D．15练习3.6本不同的书在书桌上摆成一排，要求甲，乙两本书必须放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（）种。
数学人教A版高中选修2-3排列与排列数公式
定义：一般地说,从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元 素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素 中取出m个元素的一个排列.
1、排列：
基本概念
从n个不同元素中取出m (m n)个元素，
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素 中取出m个元素的一个排列.
说明： 1、元素不能重复. （互异性）
（4）平面上有5个点，任意三点不共线，这五点最
多可确定多少条射线？可确定多少条直线？
是排列
不是排列
（5）10个学生排队照相，则不同的站法有多少种？ 是排列
（从中归纳这几类问题的区别）
练习2.在A、B、C、D四位候选人中，选举正、
副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能 的选举结果． 分析：先画“树形图”，再由此写出所有的排列．
小结：
【排列】从n个不同元素中选出m(m≤n)个元素,并按一定
的顺序排成一列.
【关键点】1、互异性(被选、所选元素互不相同)
2、有序性(所选元素有先后位置等顺序之分)
【排列数】所有排列总数
Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1)
Anm
=
n! (n- m)!
几种阶乘变形.
n!+n n!=(n+1)! 1- 1 = n n! (n+1)! (n+1)!
问题1
问题2
现有甲、乙、丙3个足球队， 从1，2，3，4这4个数
进行主客场双循环比赛，共 中，每次取出3个排成一
需比赛多少场？
个三位数，共可得到多少
个不同的三位数？
实质是：从3个不同的元素 中,任取2个,按一定的顺序 排成一列,有哪些不同的排 法？
实质是：从4个不同的元素 中, 任取3个,按照一定的顺 序排成一列,写出所有不同 的排法.
高中数学(人教A版)选修2-3之 1.2.2排列(二)
例10、从数字0，1，3，5，7中取出不同的三位数作系 2 数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax+bx+c=0? 其中有实根的方程有多少个？
变式：若直线Ax+By+C=0的系数A、B可以从0，1，2，
3，6，7这六个数字中取不同的数值，则这些方程所表 A 示的直线条数是（ ） A.18 B.20 C.12 D.22
例6：6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那 么不同的排法共有（ C ） A.30种 B. 360种 C. 720种 D. 1440种 例7：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种 不同排法： （1）男甲排在正中间；
A66 A77 -2 A66 + A55
对于相邻问题，常用“捆绑法”
解法二：（逆向思维法 ）由 1、 2、 3、 4、 5组成无重复
5 1 4 数字的5位数有A5 个，减去其中奇数的个 数A3 A4 个，再 1 3 减去偶数中大于 50000 的数A2 A3 个，符合题意的偶数 5 1 4 1 3 共有：A5 A3 A4 A2 A3 36个
有约束条件的排列问题
3 5
排列数
5 5 5 125
计数原理
练习 某段铁路上有12个车站，共需要准备多少 种普通客票？ 解 每张票对应着2个车站的一个排列
N A 1211 132
2 12
某信号兵用红,绿,蓝3面旗从上到下挂在 竖直的旗杆上表示信号,每次可挂一面,二面, 三面,并且不同的顺序表示不同的信号,一共可 表示多少种不同的信号?
引申练习
1、4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的 排法数有（ B ） 2A44 A44
A.2880
人教版高中数学【选修2-3】[知识点整理及重点题型梳理] 排列(理)(基础)
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；人教版高中数学选修 2-3知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习排 列【学习目标】1．理解排列的概念.2．能利用计数原理推导排列数公式．3．能利用排列数公式解决简单的实际问题． 【要点梳理】要点一、排列的概念1. 排列的定义一般地，从 n 个不同的元素中取出 m （m≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．要点诠释：（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从 n 个不同元素中取出 m 个元素后，再安排这 m 个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．要点二：排列数1.排列数的定义从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号 A m 表示.n要点诠释：（1）“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从 n 个不同的元素中，任取 m （m≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）（2）排列数是指“从 n 个不同元素中取出 m （m≤n ）个元素的所有不同排列的个数”，它是一个数．比如从 3 个元素 a 、b 、c 中每次取出 2 个元素，按照一定的顺序排成一列，有如下几种：ab ，ac ，ba ，bc ，ca ，cb ，每一种都是一个排列，共有 6 种，而数字 6 就是排列数，符号 A m 表示排列数，在此n题中 A 2 = 6 ．32．排列数公式A m = n (n - 1)(n - 2) (n - m + 1) ，其中 n ，m ∈N +，且 m≤n ．要点诠释：(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数。
排列与排列数公式课时练习-新人教A版高中数学选修2-3
课时练习（三） 排列与排列数公式A 级——基本能力达标1．下面问题中，是排列问题的是( )A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数B ．从40人中选5人组成篮球队C ．从100人中选2人抽样调查D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合解析：选A 选项A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B 、C 、D 只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为( )A ．6B ．4C ．8D ．10 解析：选B 列树形图如下：丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲共4种．3．若A 2n ＝132，则n 等于( )A ．11B ．12C ．13D ．14 解析：选B 因为A 2n ＝132，所以n (n －1)＝132，n 2－n －132＝0，所以n ＝12或n ＝－11(舍去)．4．已知A 2n ＋1－A 2n ＝10，则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：选B 因为A 2n ＋1－A 2n ＝10，则(n ＋1)n －n (n －1)＝10，整理得2n ＝10，即n ＝5.5．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A ．9B ．10C ．18D ．20解析：选C lg a －lg b ＝lg a b ，从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a ，b ，共有A 25＝20种，其中lg 13＝lg 39，lg 31＝lg 93，故其可得到18种结果． 6．计算：A 67－A 56A 45＝__________. 解析：因为A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36. 答案：367．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列．解析：画出树形图如下：可知共12个．答案：128．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示________种不同的信号．解析：将三面旗看作3个元素，“表示的信号”则是表示的3个元素中每次取出1个、2个或3个元素排列起来．分三类完成：第1类，挂1面旗表示信号，有A 13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A 23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A 33种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号共有A 13＋A 23＋A 33＝3＋3×2＋3×2×1＝15种． 答案：159．(1)有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有7种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A 37＝7×6×5＝210种不同的送法．(2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相同，根据分步乘法计数原理，共有不同的送法7×7×7＝343种．10．(1)解关于x 的方程：A 7x －A 5x A 5x＝89； (2)解不等式：A x 9>6A x －29.解：(1)法一：∵A 7x ＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)·(x －5)(x －6)＝(x －5)(x －6)·A 5x ， ∴(x －5)(x －6)A 5x －A 5x A 5x＝89. ∵A 5x >0，∴(x －5)(x －6)＝90.故x ＝－4(舍去)，x ＝15.法二：由A 7x －A 5x A 5x＝89，得A 7x ＝90·A 5x ， 即x ！(x －7)！＝90·x ！(x －5)！. ∵x ！≠0，∴1(x －7)！＝90(x －5)(x －6)·(x －7)！， ∴(x －5)(x －6)＝90.解得x ＝－4(舍去)，x ＝15.(2)原不等式即9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！， 由排列数定义知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤9，0≤x －2≤9， ∴2≤x ≤9，x ∈N *. 化简得(11－x )(10－x )>6，∴x 2－21x ＋104>0，即(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.又2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.B 级——综合能力提升1．从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( )A ．2B ．4C ．12D ．24解析：选C 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A 24＝12.2．下列各式中与排列数A m n 相等的是( )A.n ！(n －m ＋1)！ B ．n (n －1)(n －2)…(n －m )C.n A m n －1n －m ＋1 D ．A 1n ·A m －1n －1 解析：选D ∵A m n ＝n ！(n －m )！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！，∴A m n ＝A 1n ·A m －1n －1.3．从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人1本，则送法种数为( )A ．5B ．10C ．20D ．60 解析：选C 从5本不同的书中选2本送给2名同学，每人一本，是一个排列问题，由排列的定义可知共有A 25＝5×4＝20种不同的送法．4．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )A ．(A 126)2A 410个B ．A 226A 410个 C ．(A 126)2·104个 D ．A 226·104个 解析：选A 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有(A 126)2A 410个．5．满足不等式A 7n A 5n >12的n 的最小值为________． 解析：由排列数公式得n ！(n －5)！(n －7)！n ！>12， 即(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2.又n ≥7，所以n >9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：106．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析：由题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A 240＝40×39＝1 560条毕业留言．答案：1 5607．一条铁路线原有n 个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解：由题意可得A 2n ＋2－A 2n ＝58，即(n ＋2)(n ＋1)－n (n －1)＝58，解得n ＝14.所以原有车站14个，现有车站16个．8．规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求A 3－15的值；(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．解：(1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080.(2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.令f ′(x )>0，得x >3＋33或x <3－33，所以函数f (x )的单调增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋33，＋∞； 令f ′(x )<0，得3－33<x <3＋33，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33，3＋33.。
高二数学选修2-3排列知识点
高二数学选修2-3排列知识点排列是数学中的一个重要概念，在高二数学选修2-3中，我们将深入学习排列的相关概念和应用。
本文将从基本概念、排列的计算方法和排列的应用几个方面进行探讨。
一、基本概念1. 排列的定义：排列是从给定的元素中选取一部分按照一定的顺序排列的方式。
2. 全排列：全排列指的是从给定的元素中选取所有元素按照不同的顺序进行排列的方式。
3. 循环排列：循环排列是一种特殊的排列方式，即在排列的过程中，首尾相连形成一个环。
二、排列的计算方法1. 排列的计算公式：在计算排列的数量时，我们可以使用排列的计算公式，即n个不同元素的全排列数量为n!。
2. 有重复元素的排列：当排列中存在重复的元素时，计算排列的数量需要考虑重复元素的情况，我们可以使用排列计算公式的变形公式，即在n个元素中，有n1个元素相同，n2个元素相同，...，nk个元素相同，则排列的数量为n!/(n1! * n2! * ... * nk!)。
三、排列的应用1. 字母组合：排列的概念在字母组合的问题中经常被应用。
例如，计算一个字母串中可能的组合数量、字母的全排列数量等。
2. 座位安排：排列的概念也被广泛应用于座位安排的问题中。
例如，如何安排n个人坐在一排座位上的不同方式数量。
3. 时间安排：排列还可以应用于时间安排问题。
例如，在参加一场比赛的选手中，如何安排他们的比赛顺序，使得每个选手都能与其他选手进行比赛。
4. 数字密码：排列的概念在密码学中也扮演着重要的角色。
例如，当设置数字密码时，我们可以使用排列的方式来确定密码的顺序与组合。
综上所述，排列作为高二数学选修2-3中的重要知识点，具有一定的理论基础和应用价值。
通过深入学习和实践，我们可以更好地掌握排列的计算方法和应用技巧，进一步提升我们的数学能力和问题解决能力。
2020学年高中数学课时训练(三)排列与排列数公式新人教A版选修2-3(2021-2022学年)
课时跟踪检测三一、题组对点训练对点练一排列概念的理解1．下列问题是排列问题的是()A．从１0名同学中选取2名去参加知识竞赛,共有多少种不同的选取方法？B．１0个人互相通信一次,共写了多少封信?Ｃ.平面上有5个点,任意三点不共线,这５个点最多可确定多少条直线?D.从1,2,3,4四个数字中,任选两个相加，其结果共有多少种?解析:选 B 排列问题是与顺序有关的问题,四个选项中只有Ｂ中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关,所以选B。
２.从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘;④相除；⑤一个为被开方数,一个为根指数.则上述问题为排列问题的个数为(）Ａ.２ﻩＢ．３C．４ﻩＤ．5解析：选B排列与顺序有关,故②④⑤是排列.对点练二利用排列数公式进行计算或证明3．已知A错误!未定义书签。
=1３2,则n等于( )A．1１ﻩＢ．12C.13D.14解析:选Ｂ A错误!未定义书签。
=n（n－1)＝13２，即n2－ｎ－１32＝０,解得n=12或n＝-11（舍去)．4．A错误!未定义书签。
-A错误!的值是( ）Ａ．4８0 ﻩ B.５2０C.６00 ﻩＤ.132０解析：选ＣA错误!＝12×11×1０＝1 3２0,Ａ错误!未定义书签。
＝１0×9×8＝7２0，故A错误!－A错误!未定义书签。
=1３2０-７20＝６00.5．下列等式中不成立的是（)A．A错误!＝（n－2)A错误!未定义书签。
B。
错误!Ａ错误!=Ａ错误!Ｃ.n A错误!＝A错误!未定义书签。
D.错误!未定义书签。
A错误!未定义书签。
＝Ａ错误!未定义书签。
解析：选ＢＡ中,右边＝（ｎ－2)(ｎ-1)n=A错误!成立;C中，左边=n×（n－1)×…×２＝ｎ×(n－1）×(n-2)×…×2×１=A错误!成立；D中，左边=错误!未定义书签。
高二数学(选修2-3人教B版)-排列(2)
非0
0
典型例题
第二类 末位为2. 要保证首位非0，分两步完成：
非0
2
第一步 从除2外的4个非0数字中任选一个，填到首位，排列数为 A41 ；
第二步 从除了首位和末位2个数字的剩余4个数字中任选3个，填在中间
三个不同的位置，相应的排列数为 A43；
因此，大于20000的无重复数字的五位偶数共 312 72 240 个. 间接法:“正难则反”
典型例题
反思： 用间接法计算（1）中“用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的 五位偶数”的个数：
法一：先算由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数的个数，再算其
中奇数的个数，相减即可得.
4
0,2
第一步 从0,2中任选一个，放到末位上，相应的排列数为 A21 ；
第二步 从除了首位和末位2个数字的剩余4个数字中任选3个，填在中间
三个不同的位置，相应的排列数为 A43 . 由分步乘法计数原理，共 A21 A43 48个.
第二类 首位为5.末位为0,2或4，注意到第二、三、四个位置对数字无要 求，选定末位数字后，“用0,1,2,3,4,5组成以5为首位，0,2或4为末位的无 重复数字的五位数”这件事，均可抽象为“从除首位和末位2个数字外剩 下的4个元素中任取3个，排成一列”，因此可以分两步：
注意：排列数 Anm 是数，不指向具体的排列
二、排列数：
（2）排列数公式： Anm n(n 1)(n 2) (n m 1)
其中，m, n N, m n .
右边第一个因数是 n ，后面每一个因数比它前面的因数少1， 最后一个因数是 n m 1 ，共有 m 个正整数相乘.
人教A版数学高二选修2-3学案第一课时排列与排列数公式
1．2．1排列第一课时排列与排列数公式预习课本P14～20，思考并完成以下问题1．排列的概念是什么？2．排列数的定义是什么？什么是排列数公式？3．排列数公式有哪些性质？[新知初探]1．排列的概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．相同排列的两个条件(1)元素相同．(2)顺序相同．[点睛]排列中元素所满足的两个特性(1)无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题．(2)有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列．而检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序．3．排列数及排列数公式排列数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数排列数表示法A m n排列数公式乘积式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)阶乘式A m n＝n！(n－m)！性质A0n＝1备注n，m∈N*，m≤n[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)1,2,3与3,2,1为同一排列．()(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．()(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√2．集合P＝{x|x＝A m4，m∈N*}，则P中的元素个数为()A．3B．4C．6D．8答案：A3．若A m10＝10×9×…×5，则m＝________．答案：6排列的概念[典例]判断下列问题是否为排列问题．(1)选2个小组分别去植树和种菜；(2)选2个小组种菜；(3)某班40名同学在假期互发短信．[解](1)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题．(2)不存在顺序问题，不是排列问题．(3)A给B发短信与B给A发短信是不同的，所以存在顺序问题，是排列问题．判断一个具体问题是否为排列问题的方法[活学活用]判断下列问题是否为排列问题．(1)选10人组成一个学习小组；(2)从1,2,3,4,5中任取两个数相除；(3)10个车站，站与站间的车票．解：(1)不存在顺序问题，不是排列问题．(2)两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题．(3)车票使用时有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．简单排列问题[典例](1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位不同的数，一共可以组成多少个？(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．[解](1)由题意作“树形图”，如下．故组成的所有两位数为12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43，共有12个．(2)由题意作“树形图”，如下．故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．[活学活用]写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法．解：如图所示的树形图：故所有可能的站法是BACD ，BADC ，BCAD ，BDAC ，CABD ，CADB ，CBAD ，CDAB ，DABC ，DACB ，DBAC ，DCAB ，共12种．排列数公式及应用 [典例] (1)用排列数表示(55－n )(56－n )…(69－n )(n ∈N *且n <55)；(2)计算2A 34＋A 44；(3)求证：A m n －1＋m A m －1n －1＝A m n ．[解] (1)∵55－n,56－n ，…，69－n 中的最大数为69－n ，且共有69－n －(55－n )＋1＝15个元素，∴(55－n )(56－n )…(69－n )＝A 1569－n ．(2)2A 34＋A 44＝2×4×3×2＋4×3×2×1＝48＋24＝72． (3)证明：A m n －1＋m A m －1n －1＝(n －1)！(n －1－m )！＋m ·(n －1)！(n －m )！＝(n －1)！(n －m ＋m )(n －m )！＝n ！(n －m )！＝A m n ．排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式，一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式．[活学活用] 计算下列各题： (1)A 66；(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59； (3)若3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，求n ．解：(1)A 66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720．(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝1． (3)由3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，得3n (n －1)(n －2)＝2(n ＋1)n ＋6n (n －1)．因为n ≥3且n ∈N *， 所以3n 2－17n ＋10＝0． 解得n ＝5或n ＝23(舍去)．所以n ＝5．层级一 学业水平达标1．下面问题中，是排列问题的是( ) A ．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B ．从40人中选5人组成篮球队 C ．从100人中选2人抽样调查 D ．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合解析：选A 选项A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B 、C 、D 只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．2．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8D ．10解析：选B 列树形图如下： 丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲共4种．3．乘积m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)可表示为( ) A ．A 2mB ．A 21mC ．A 20m ＋20D ．A 21m ＋20解析：选D 因为m ，m ＋1，m ＋2，…，m ＋20中最大的数为m ＋20，且共有m ＋20－m＋1＝21个因式．所以m (m ＋1)(m ＋2)…(m ＋20)＝A 21m ＋20． 4．计算：A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选DA 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36． 5．体操男队共六人参加男团决赛，但在每个项目上，根据规定，只需五人出场，那么在鞍马项目上不同的出场顺序共有( ) A ．6种 B ．30种 C ．360种D ．A 56种解析：选D 问题为6选5的排列即为A 56．6．计算：5A35＋4A24＝________．解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348．答案：3487．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列．解析：画出树形图如下：可知共12个．答案：128．由1,4,5，x四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和为288，则x＝________．解析：当x≠0时，有A44＝24个四位数，每个四位数的数字之和为1＋4＋5＋x，即24(1＋4＋5＋x)＝288．解得x＝2，当x＝0时，每位四位数的数字之和为1＋4＋5＝10，而288不能被10整除，即x＝0不合题意，∴x＝2．答案：29．写出下列问题的所有排列．(1)甲、乙、丙、丁四名同学站成一排；(2)从编号为1,2,3,4,5的五名同学中选出两名同学任正、副班长．解：(1)四名同学站成一排，共有A44＝24个不同的排列，它们是：甲乙丙丁，甲乙丁丙，甲丙乙丁，甲丙丁乙，甲丁乙丙，甲丁丙乙；乙甲丙丁，乙甲丁丙，乙丙甲丁，乙丙丁甲，乙丁甲丙，乙丁丙甲；丙甲乙丁，丙甲丁乙，丙乙甲丁，丙乙丁甲，丙丁甲乙，丙丁乙甲；丁甲乙丙，丁甲丙乙，丁乙甲丙，丁乙丙甲，丁丙甲乙，丁丙乙甲．(2)从五名同学中选出两名同学任正、副班长，共有A25＝20种选法，形成的排列是：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54．10．(1)解关于x 的方程：A 7x －A 5xA 5x ＝89；(2)解不等式：A x 9>6A x －29．解析：(1)法一：∵A 7x ＝x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)＝(x －5)(x －6)·A 5x ，∴(x －5)(x －6)A 5x －A 5x A 5x＝89． ∵A 5x >0，∴(x －5)(x －6)＝90． 故x ＝－4(舍去)，x ＝15．法二：由A 7x －A 5x A 5x＝89，得A 7x ＝90·A 5x ， 即x ！(x －7)！＝90·x ！(x －5)！．∵x ！≠0，∴1(x －7)！＝90(x －5)(x －6)·(x －7)！，∴(x －5)(x －6)＝90．解得x ＝－4(舍去)，x ＝15． (2)原不等式即9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，由排列数定义知⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤9，0≤x －2≤9，∴2≤x ≤9，x ∈N *．化简得(11－x )(10－x )>6，∴x 2－21x ＋104>0， 即(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13． 又2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *．故x ＝2,3,4,5,6,7．层级二 应试能力达标1．从1,2,3,4中，任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( ) A ．2 B ．4 C ．12D ．24解析：选C 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A 24＝12．2．下列各式中与排列数A mn 相等的是( )A ．n ！(n －m ＋1)！B ．n (n －1)(n －2)…(n －m )C ．n A m n －1n －m ＋1D ．A 1n ·A m －1n －1解析：选D ∵A mn ＝n ！(n －m )！，而A 1n ·A m －1n －1＝n ·(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！，∴A mn ＝A 1n ·A m －1n －1，故选D ．3．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为A ．6B ．9C ．12D ．24解析：选B 构成四位数，可从特殊元素0进行分类：第一类，0在个位有2110，1210，1120，共3个；第二类，0在十位有2101，1201，1102，共3个；第三类，0在百位有2011，1021，1012，共3个，故由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为9．4．给出下列4个等式：①n ！＝(n ＋1)！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A m n ＝n ！(n －m )！；④A m －1n －1＝(n －1)！(m －n )！，其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C(n ＋1)！n ＋1＝(n ＋1)×n ！n ＋1＝n ！，所以①正确；n A m －1n －1＝n ×(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝n ！(n －m )！＝A m n ，所以②正确；③显然是正确的；A m －1n －1＝(n －1)！[(n －1)－(m －1)]！＝(n －1)！(n －m )！(分母为(n －m )！，而不是(m －n )！)，所以④不正确． 5．满足不等式A 7nA 5n>12的n 的最小值为________．解析：由排列数公式得n ！(n －5)！(n －7)！n ！>12，即(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2．又n ≥7，所以n >9，又n ∈N *，所以n 的最小值为10． 答案：106．在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有______种不同的试种方案．解析：画出树形图，如下：由树形图可知，共有11种不同的试种方案．7．一条铁路线原有n 个车站，为了适应客运需要，新增加了2个车站，客运车票增加了58种，问原有多少个车站？现有多少车站？解：由题意可得A 2n ＋2－A 2n ＝58，即(n ＋2)(n ＋1)－n (n －1)＝58，解得n ＝14．所以原有车站14个，现有车站16个．8．规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广． (1)求A 3－15的值；(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．解：(1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080．(2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2．令f ′(x )>0，得x >3＋33或x <3－33，所以函数f (x )的单调增区间为 －∞，3－33，⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋33，＋∞；令f ′(x )<0，得3－33<x <3＋33， 所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33，3＋33．。
选修2-3第一章1-2-1排列第1课时排列与排列数公式
一个元素．
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2．排列数的定义 所有不同排列 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的______________ 的个数 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数， _______ 用符号 Am n 表示．
如2÷5≠5÷2，
∴(2)是排列问题．
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题型二
列举法解决排列问题
【例2】 将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求 自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第 三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法． [思路探索] 可画出符合条件的树形图，然后写出所有的 排列．
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【变式1】 判断下列问题是否是排列问题： (1)从2，3，5，7中任取两数相乘可得多少个不同的积？ (2)从2，3，5，7中任取两数相除可得多少个不同的商？
解
关，
(1)由于两数相乘而得到的积与两数相乘时的顺序无
∴不是排列问题． (2)由于两数相除而得到的商与取出的两数中哪一数是除 数，哪一数是被除数的顺序有关．
解
由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一
个，据此可分为三类．
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由此可写出所有的排法为：BADC，BCDA，BDAC，
CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.
规律方法 “树形图”在解决排列问题个数不多的情况时， 是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺 序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准，进行分类， 在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定
数学选修2-3 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式
由“树形图”可知组成的三位数为 123,132,213,231,312,321，共 6 个．
【答案】 123,132,213,231,312,321
m 4．如果 An ＝17×16ׄ×5×4，则 n＝________，m＝________.
【解析】 易知 n＝17.又 4＝n－m＋1＝17－m＋1＝18－m，所以 m＝14.
3 1．A2 4＝________，A3＝________. 3 【解析】 A2 4＝4×3＝12；A3＝3×2×1＝6.
【答案】 12 6
A3 4 2. ＝________. 5！
【解析】 4×3×2 A3 1 4 ＝ ＝5. 5！ 5×4×3×2×1 1 5
【答案】
3．由 1,2,3 这三个数字组成的三位数分别是________. 【导学号：29472010】
[再练一题] 1．判断下列问题是否是排列问题． (1)从 2,3,5,7,9 中任取两数作为对数的底数与真数， 可得多少个不同的对数值？ (2)空间有 10 个点，任何三点不共线，任何四点不共面，则这 10 个点共可组 成多少个不同的四面体？ (3)某班有 10 名三好学生，5 名后进生，班委会决定选 5 名三好学生对 5 名后 进生实行一帮一活动，共有多少种安排方式？ (4)若从 10 名三好学生中选出 5 名和 5 名后进生组成一个学习小组， 共有多少 种安排方式？
【解析】 相同． (2)√
(1)×
因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序
因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与 “顺序”有
关，属于排列问题． (3)× (4)√ 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题． 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结
2018年数学(人教版选修2-3)课件：1-2-1 第1课时 排列与排列数公式
1.2 排列与组合
1.2.1 排列 第1课时 排列与排列数公式
• 1．理解并掌握排列的概念．(重点) • 2．理解并掌握排列数公式，能应用排列知识 解决简单的实际问题．(难点)
• 1．排列 • 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 一定的顺序 ，按照_______________排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列 (arrangement)． 所有不同排列 • 2．排列数 • 从 n 个不同元素中取出 m ( m ≤ n ) 个元素的 m A n _______________的个数叫做从n个不同元素 中取出m个元素的排列数，用符号_____表示
• 2．由数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位 偶数的个数为( ) • A．120个 B．48个 • C．24个 D．12个 • 解析：先排个位，有2种方法，在排前三位， 是从4个数中选3个数的排列，所以，方法数 是A＝4×3×2＝24，根据分步计数乘法原理 ，得四位偶数的个数为2A＝48(个)． • 答案：B
3．排列数公式
m n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) An ＝____________________________ (n，m∈N*，m≤n) n！ n－m！ ＝________________
• 1．将5本不同的数学教辅书放在同一层书架 上，则不同的放法有( ) • A．50种 B．60种 • C．120种 D．90种 • 解析：将5本不同的数学教辅书放在同一层书 架上，不同的放法共有5！＝120种． • 答案：C
• 4．用0、1、2、3、4五个数字组成无重复数 字的四位数的个数是________个．
解析：分两步，第一步排首位共 4 种不同排法，第二步排 余下的三位共有 A3 由分步乘法计数原理得共 4＝24 种不同排法， 组成无重复数字的四位数 4×24＝96 个．
人教新课标版数学高二-人教数学选修2-3.2排列及排列数公式
1．将6名同学排成两排，每排3人，则不同排法的种数为()A．36 B．120C．720 D．144解析：选C.相当于6名同学站一排，有A66＝6！＝720(种)不同排法．2．A，B，C，D，E五人并排站成一行，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数是()A．6 B．24C．48 D．120解析：选B.把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，A44＝24(种)，故选B.3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．(2013·黄山调研)在数字1、2、3与符号＋、－五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是()A．6 B．12C．18 D．24解析：选B.符号＋、－只能在两个数之间，这是间隔排列，排法有A33·A22＝12(种)．5．3张卡片正反面分别标有数字1和2,3和4,5和7，若将3张卡片并列组成一个三位数，可以得到不同的三位数的个数为()A．30 B．48C．60 D．96解析：选B.“组成三位数”这件事，分2步完成：第1步，确定排在百位、十位、个位上的卡片，即为3个元素的一个全排列A33；第2步，分别确定百位、十位、个位上的数字，各有2种方法．根据分步乘法计数原理，可以得到A33×2×2×2＝48个不同的三位数．6．8次投篮中，投中3次，其中恰有2次连续命中的情形有________种．解析：将2次连续命中当作一个整体，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6个空位里进行排列，有A26＝30种．答案：307．用1,2,3,4,5这五个数字组成没有重复数字的五位数，其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为________．解析：第1步，先将两个偶数排好，有A22种不同的排法．第2步，两个偶数中间的奇数，可以有A13种选择．第3步，将两个偶数和它中间的奇数捆在一起，与另外两个奇数排列，有A33种不同的排法．由分步乘法计数原理，符合题意的五位数共有A22·A13·A33＝36(个)．答案：368．用1,2,3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，这样的八位数共有________个．(用数字作答)答案：9609．喜羊羊家族的四位成员与灰太狼，红太狼进行谈判，通过谈判他们握手言和，准备一起照合影像(排成一排)．(1)要求喜羊羊家族的四位成员必须相邻，有多少种排法？(2)要求灰太狼、红太狼不相邻，有多少种排法？解：(1)把喜羊羊家族的四位成员看成一个元素，排法为A33.又因为四位成员交换顺序产生不同排列，所以共有A33·A44＝144种排法．(2)第一步，将喜羊羊家族的四位成员排好，有A44种排法；第二步，让灰太狼、红太狼插四人形成的空(包括两端)，有A25种排法，共有A44·A25＝480种排法．10．3名男生、4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须站两端；(3)甲、乙两人必须相邻；(4)甲、乙两人不得相邻．解：(1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有A36种站法，然后再排其余位置，有A44种站法，所以共有A36·A44＝2 880种不同站法．(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有A22种站法，其余5人全排列，有A55种站法．故共有A22A55＝240种不同站法．(3)(捆绑法)：把甲、乙两人看成一个元素，首先与其余5人相当于六个元素进行全排列，然后甲、乙两人再进行排列，所以共有A66·A22＝1 440种站法．(4)法一(直接法——插空)：先让其余的5人全排列，再让甲、乙两人在每两人之间(含两端)的6个位置插入排列，所以共有A55·A26＝3 600种不同站法．法二(间接法)：不考虑限制条件，共有A77种站法，除去甲、乙相邻的站法A66·A22，所以共有A77－A66A22＝3 600种不同站法．、。
数学选修2-3排列
数学选修2-3第一章：排列与组合排列与组合的主要公式二、排列.1. ⑴对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.⑵相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑶排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示.⑷排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--= 注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n . 三、组合.1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n-=+--== ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有m n C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C m n 种，依分类原理有m n m n m n C C C 11+-=+.⑷排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++kn k n k n k n m n m m n m m m m m mn n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C例1 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？（1）甲不站两端；（2）甲、乙必须相邻；（3）甲、乙不相邻；（4）甲、乙之间间隔两人；（5）甲、乙站在两端；（6）甲不站左端，乙不站右端.（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，（8）甲、乙之间有且只有两人变形1.用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：(1)奇数；(2)偶数；(3)大于3 125的数.2从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有 个.3．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻.这样的六位数的个数是 .（用数字作答）4.甲、乙、丙三名同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六值班工作，每天一人值班，每人值班两天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有 种.5．用1,4,5,x 四个不同数字组成四位数,所有这些四位数中的数字的总和为288,则x .6．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有________________个？例2 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.变形1.停车场每排恰有10个停车位.当有7辆不同型号的车已停放在同一排后，恰有3个空车位连在一起的排法有种.（用式子表示）2.将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里，每个盒子内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同投放方法共有种.例3 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？例4.有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每人2本.变形1.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？2．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（）例5.已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点.（1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同平面？（2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？（3）上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？练习：1。
人教A版选修2-3 排列与排列数公式 课件(48张)
2．两个排列若为相同的排列需具备哪些条件？
提示：需要具备两个条件：一是元素完全相同，二是元素的 排列顺序完全相同．
3．判断一个具体问题是否为排列问题的关键是什么？
提示：判断一个具体问题是不是排列问题，关键看在安排取 出的元素时是有序还是无序，有序就是排列，无序就不是排列．
【解】 (1)是．选出的 2 人分别担任正、副班长，与顺序有关， 所以该问题是排列问题；
(2)是．显然对数值与底数和真数的取值的不同有关系，与顺序 有关．
(3)是．道理同上． (4)不是．焦点在 x 轴上的椭圆，方程中的 a、b 必有 a>b，a、 b 的大小一定．
排列的特点是“先取后排”，即先从 n 个不同的元素中取出 m 个元素，再按一定顺序把这 m 个元素排成一列.因此，判断一 个问题是否为排列问题，只需考察与顺序是否有关，有关则是排 列问题，无关则不是排列问题.
化简得，n2－9n＋8＝0. 解得，n＝8 或 n＝1(因为 n≥3，所以 n＝1 舍去)，所以 n 的值为 8.
解析：12 名学生分为 4 组，3 人一组无先后顺序，不属于排列 问题．
2．已知 An2＝132，则 n＝( B )
A．11
B．12
C．13
D．14
解析：n(n－1)＝132，n＝12.
3．某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一 条毕业留言，那么全班共写了 1560 条毕业留言．(用数字作 答)
(3)排列数的第二个公式是阶乘的形式，所以又叫排列数的 阶乘式，它是一个分式的形式，分子是下标 n 的阶乘，分母是下 标减上标的阶乘，即(n－m)的阶乘，
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课堂练习(三) 排列与排列数公式
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列问题属于排列问题的是( )
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b 中的底数与真数．
A ．①④
B ．①②
C ．④
D ．①③④
A [根据排列的概念知①④是排列问题．]
2．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有(
) A ．6个 B ．10个
C ．12个
D ．16个
C [符合题意的商有A 2
4＝4×3＝12.]
3．已知A 2
n ＝132，则n 等于( )
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
B [∵A 2
n ＝n (n －1)，∴由n (n －1)＝132可知n ＝12.]
4．计算A 67－A 5
6
A 45
＝( )
A ．12
B ．24
C ．30
D ．36
D [A 67＝7×6A 45，A 56＝6A 4
5，所以A 67－A 5
6A 45＝36A 4
5
A 45
＝36.]
5．给出下列4个等式：
①n ！＝(n ＋1)！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A m n ＝n
！
(n －m )！；
④A m －1
n －1＝(n －1)！
(m －n )！.
其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
C [由排列数公式逐一验证，①②③成立，④不成立．故选C.]
二、填空题
6．集合P ＝{x |x ＝A m 4，m ∈N *}，则集合P 中共有______个元素．
3 [因为m ∈N *，且m ≤4，所以P 中的元素为A 14＝4，A 24＝12，A 34＝A 44＝24，即集合P 中有3个元素．]
7．如果A m
n ＝15×14×13×12×11×10，那么n ＝________，m ＝________.
15 6 [15×14×13×12×11×10＝A 615，故n ＝15，m ＝6.]
8．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法．(用数字作答)
1 680 [将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．]
三、解答题
9．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成多少个以b 为首的不同排列，试列出所有不同的排法．
[解] 画出树形图如下：
可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .
10．解方程：A 42x ＋1＝140A 3x .
[解] 根据排列数的定义，x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1≥4，x ≥3，x ∈N *，
解得x ≥3，x ∈N *
.
根据排列数公式，原方程化为(2x ＋1)·2x ·(2x －1)·(2x －2)＝140x ·(x －1)·(x －
2)．
因为x ≥3，于是得(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，
即4x 2－35x ＋69＝0，
解得x ＝3或x ＝234(舍去)．
所以原方程的解为x ＝3.
[能力提升练]
1．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋…＋A 20192019，则S 的个位数字是( )
A ．0
B ．3
C ．5
D ．8 B [∵A 55＝120，∴n ≥5时A n n 的个位数都为零，∴1！＋2！＋3！＋4！＝1＋2＋6＋24＝
33.
故S 的个位数字为3.]
2．满足不等式A 7
n A 5n
>12的n 的最小值为( ) A ．12 B ．10 C ．9 D ．8 B [由排列数公式得n ！(n －5)！(n －7)！n ！
>12，则(n －5)(n －6)>12，解得n >9或n <2(舍去)．又n ∈N *，所以n 的最小值为10.]
3．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)
1 560 [A 240＝40×39＝1 560.]
4．从集合{0,1,2,5,7,9,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．
30 [易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线条数为A 26＝30.]
5．规定A m x ＝x (x －1)…(x －m ＋1)，其中x ∈R ，m 为正整数，且A 0x ＝1，这是排列数A m n (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．
(1)求A 3
－15的值；
(2)确定函数f (x )＝A 3x 的单调区间．
[解] (1)由已知得A 3－15＝(－15)×(－16)×(－17)＝－4 080.
(2)函数f (x )＝A 3x ＝x (x －1)(x －2)＝x 3－3x 2＋2x ，则f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.
令f ′(x )＞0，得x ＞3＋33或x ＜3－33
， 所以函数f (x )的单调增区间为
⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，3－33，⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＋33，＋∞； 令f ′(x )＜0，得3－33＜x ＜3＋33，
所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－33，3＋33.。