压缩映像原理翻译部分1

部分1.文摘结果

主题和概括。压缩映像原理是一种研究非线性方程最有用的工具，比如代数方程，积分或微分方程。原则是一个不动点定理，证明了完备度量空间的压缩映像本身有一个独特的固定 点通过反复图像的映射下任意起始点的空间获得极限的定义。因此，这是一个建设性的不动点定理并且可以实现定点的数值计算。

从古代数学（即计算古代数字平方根的古代方案）以来，迭代格式一直被使用并且在牛顿法求解多项式或代数方程组和皮卡德的迭代过程求解初值和边值非线性常微分方程的问题变得特别实用(见,[58],[59])。 在完整的赋范线性空间中，这个原理首先被巴拿赫5证明在收缩映射（在巴拿赫的许多结果请看[60]）。同时，豪斯多夫为完备度量空间的收缩映射（来自Caccioppoli 17， [75]）提供了总体框架原则，介绍了一个抽象的度量空间的概念。它出现在各种文本实际分析(前一个注释,[56]) 在这些记录中，我们用不同的形式开发压缩映像原理并且提供不同数学文献中的许多应用程序。我们的目的是向读者介绍一些关于已经发现有用的原则在不同区域的分析。我们会讨论这些分析：牛顿法的收敛；如何确定分形是固定的点集值压缩迭代函数系统；积极使用希尔伯特的度量矩阵的门阶-弗罗贝尼乌斯定理和这个无限维空间的拓展(定理Krein-Rutman)；

常微分方程的存在性和唯一性定理的基本理论（Picard-Lindel 定理）和各种相关的结果；Abel-Liouville 类型的积分方程理论的应用程序；隐函数定理；变分不等式的基本存在和唯一性定理；非对称二次形式的Lax-Milgram 类型结果；Cauchy-Kowalevsky 基本存在性定理的偏微分方程的分析条件。

这些记录已经收集了几年,最近，被用来作为研讨会中VIGRE 项目的一个部门基础部分。我们在这里要感谢那些参加了研讨会的本科学生,给了我们有价值的反馈。

2．完备度量空间

在本节中,我们短暂回顾大多数本科生数学课程中一些非常基本的概念。我们将假定这些是必要的知识,这里是相关基本文本,例如。[15],[32],[62]。

2.1 度量空间。给定一个数组M,一个度量关于M(也称为M 是一个函数距离)。 ),0[d +∞=→⨯+

R

M M ：

满足

M y x x y d y x ∈∀=,),,(),(d

y x if onlu and if y x d =⋅⋅⋅=,,0),( (2.1)

,,,),,(),(),(M z y x z y d z x d y x d ∈∀+≤

(最后一个要求是称为三角不等式)。我们叫这一对(M,d)为度量空间（我们经常使用M 表示） 一个数组

}

x {n 1

n ∞= 在M 中收敛于M ∉x 的前提是

0),(n lim

=∞→x d x

n

这里我们可以写成

.x.as.n or.x n

lin x x

n n

∞→→=，

我们叫数组

}

x {n 1

n ∞=在M 中是一个柯西数组，前提是对任意0∍>，存在

)(n

n 0

∍=

≥

∀≤∍m ,n )(

d x

x m

n

，，n

一个度量空间M 是完整的,当且仅当每一个柯西序列在M 收敛于一个点。

度量空间形成一个useful-in-analysis 的拓扑空间。我们需要讨论的一些概念在研究这些空间的同时。然而,我们可以在度量空间的环境里这样做而不是一般的环境。下面的概念通常是在一个高级微积分或分析的基础课程。我们将简单地列出这些概念和参考在相应文本(例如。[32]或[72])的正式定义。我们考虑一个固定的度量空间(M,d)。 •开放和封闭的子集M; •有界和全有界集M;

•极限值(聚点)的一个子集M;

•M 的一个子集(注意关闭关闭开放的球不是 一定是封闭球); •一组直径集合;

•一组被密集的概念集合;

•一个点到另外一个集合之间的距离（或两个集合） 假设(M,d)是一个度量空间并且

M M

∈1

. 如果我们限制d 在M 1X M 1,M 1将是一

个度量空间的“相同”指标m 。我们重要注意的是如果M 是完整和M

1

X M 是一个封闭的

子集, 然后

M

1

也是完整的度量空间(任何柯西序列在

M

1

将M 的柯西序列,因此将收敛于

某些点在M 中，如果在M 中逼近

M

1

必须在

M

1

中现在M)。

概念的紧密性是关键。一个度量空间对于任何簇{A G ∈α：a

}相关M 的开集合，有一

个有限的自子集

A A

⊂0

。（用M 的任意一个覆盖面来描述这种情况）。我们可以“分析性的”

分析紧密性如下。对任何在M 中的{x n

}和点M ∈y ；对于任何的正整数k>0,我们说y 是

{

x

n

}的一个聚点，存在k n ≥并且

x

n

）（∍∈,y B 。因此在任何的开发球中，在每个数组

M 都存在一个聚点时，我们的M 是紧密的。

在本章的剩余部分,我们简要列表和描述一些有用的度量空间的例子。

2.2．赋范矢量空间. 如果M 是一个真实的或复杂的向量空间矢量 (标量)。一个映射

在下列条件下被叫做模：

如果M 是一个向量空间并且||||⋅是一个M 里的模，（M ，||||⋅）是一个赋范矢量空间。我们不应模糊地说M 是一个赋范矢量空间。M 是一个向量空间并且||||⋅是一个M 里的模， M 就变成了一个度量空间通过我们定义一个度量空间d ：

赋范矢量空间,是一个完备度量空间,在度量d 的指标上面,叫做巴拿赫空间。因此,一个封闭的巴拿赫空间的子集可能总是被视为完备度量空间,因此,一个封闭的子空间的巴拿赫空间也是一个巴拿赫空间。

我们暂时一下现在的讨论再一起讨论一个小的关于巴拿赫空间的目录,以供将来参考。我们应当考虑唯一真正的巴拿赫空间,类似的定义复杂的类似物。

在所有情况下,验证这些空间赋范线性空间是非常简单的,完整性的验证,另一方面通常是更加困难。的许多例子将稍后讨论的设置完成度量空间的子集或巴拿赫空间的子空间。

巴拿赫空间的例子

例2.1 （R ，||⋅）是一个简单的巴拿赫空间例子。 例2.2

以下是许多我们可以使用的定理：

例2.3 我们使

用坐标态加法和标量乘法运算,向量空间,可配备标准的某些子空间,尊重他们是完整的。

(1) 当1